Дидактический материал по Геометрии 7 класс.

                                  САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ  7 КЛАСС

1. Основные геометрические фигуры

Вариант 1

1. Изобразите прямую a и точки A, B, принадлежащие ей, и точки C, D, ей не принадлежащие.

2. На рисунке 1 изображены прямые CD и EF. Определите пересекаются ли они.

3. Отметьте точку. Можно ли через нее провести: а) прямую линию; б) кривую линию? Сколько

   таких линий можно провести?

4. Изобразите две пересекающиеся прямые m и n. Отметьте точки: OÎm и OÎn; MÎm и NÎn; AÏm,

    BÎ n; CÎ m, DÏ n. Как по-другому можно назвать прямые m и n? Может ли точка A принадлежать

    прямой n, а точка D принадлежать прямой m?

5*. Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Изобразите соответствующие

     геометрические ситуации.

6*. Найдите наибольшее число прямых, которые можно провести через различные пары из 6 точек.

Вариант 2

1. Изобразите прямую b и точки C, D, принадлежащие ей, и точки E, F, ей не принадлежащие.

2. На рисунке 2 изображены прямые AB и CD. Определите пересекаются ли они.

3. Отметьте две точки. Можно ли через них провести: а) прямую линию; б) кривую линию?

     Сколько таких линий можно провести?

4. Изобразите две параллельные прямые k и l. Отметьте точки: KÎ k и LÎ l; EÏ l, FÏ l; GÎ l,

     HÏ k и PÎ k. Как по-другому назвать прямые k и l? Могут ли точки E и F принадлежать прямой k?

5*. Сколько точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые?

6*. Найдите наибольшее число прямых, которые можно провести через различные пары из 5 точек.

2. Отрезок и луч

Вариант 1

1. Изобразите две пересекающиеся в точке O  прямые MN и KL. Запишите все образовавшиеся лучи.

2. На прямой a возьмите три точки H, P, Q. Запишите все образовавшиеся при этом отрезки.

3. Изобразите три отрезка и их сумму.

4. Изобразите отрезок AB и отрезок АВ/2.

5*. На прямой b отмечены четыре точки B₁, B₂, B₃, B₄. Сколько при этом получилось:

     а) полупрямых;   б) отрезков?

6*. Изобразите n прямых, которые разбивают плоскость на 11 частей. Чему равно n?

Вариант 2

1. Изобразите две прямые, проходящие через одну точку C. Назовите эти прямые и запишите все

   образовавшиеся при этом полупрямые.

2. На прямой b возьмите три точки А, В, С.  Запишите все образовавшиеся при этом отрезки.

3. Изобразите два отрезка и их разность.

4. Изобразите отрезок CD и отрезок 3CD.

5*. На прямой a отмечены четыре точки A₁, A₂, A₃, A₄, A₅. Сколько при этом получилось:

     а) полупрямых; б) отрезков?

6*. Изобразите n -  прямых, которые разбивают плоскость на 13 частей. Чему равно m?

  САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ  7 КЛАСС

3. Измерение длины отрезка

Вариант 1

1. Изобразите отрезок длиной: а) 2 см; б) 55 мм; в) 4⅕ см; г) 1,2 дм.

2. Точки A, B, C принадлежат одной прямой, причем B лежит по одну сторону от A и C. Найдите

   длину отрезка BC, если: а) AB=9,5 см, AC=4 см; б) AC=11,2 см, AB=28 см.

3. На данном отрезке KL=6 см найдите точку X, удаленную от K на: а) 1 см дальше, чем от L;

    б) расстояние в 2 раза меньшее, чем от L.

4. На прямой a последовательно отложены отрезки DE=2 см, EF=3 см и FG=4 см. Найдит

    расстояние между серединами отрезков: а) DE и EF; б) DE и FG; в) EF и DG.

5*. Отрезок GH делится точкой O в отношении 5:7, а точкой P в отношении 5:11, считая от точки G.

     Расстояние между точками O и P равно 30 см. Определите длину отрезка GH.

6*. Здание Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова на Воробьевых

      горах в 3 раза выше колокольни Ивана Великого в Московском Кремле и выше ее на 208 м,

      считая от уровня Москвы реки. Найдите высоты этих зданий, если Кремлевский холм на 30 м

     выше, а Воробьевы горы на 78 м выше уровня Москвы реки.

Вариант 2

1. Изобразите отрезок длиной: а) 3 см; б) 84 мм; в) 2см; г) 0,8 дм.

2. Точки D, E, F принадлежат одной прямой, причем D  лежит между точками E и F. Найдите длину

   отрезка DF, если: а) EF=21 см, DE=6 см; б) ED=3,8 см, EF=27,1 см.

3. На данном отрезке AB=8 см найдите точку C, чтобы она была удалена от: а) A на 3 см ближе, чем

    от B; б) B в 3 раза дальше, чем от A.

4. На прямой b последовательно отложены отрезки KL=3 см, LM=4 см и MN=7 см. Найдите

    расстояние между серединами отрезков: а) LM и MN; б) MN и KL; в) KN и MN.

5*. На отрезке PQ отмечена точка H такая, что отрезок PH равен 14/17 PQ. На отрезке PH взята точка

      S такая, что HS=2,5HQ и PS=78 см. Найдите расстояние между: а) точками P и Q; б) серединами

       крайних отрезков.

6*. По обеим сторонам одной аллеи посажено 80 деревьев через 4 м друг от друга. На другой аллее

      посажено всего 159 деревьев через 6 м друг от друга. Во сколько раз одна аллея короче другой?

4. Полуплоскость и угол

Работа № 1

Вариант 1

1. Изобразите две пересекающиеся прямые. На сколько частей: а) делит каждая из них плоскость, как

   называется каждая из них; б) делят они плоскость?

2. Изобразите прямую m и точки K, L, M, N, если K и N лежат в одной полуплоскости относительно

    m, отрезок MN пересекает l, а отрезок KL не пересекает l.

3. Изобразите угол EOВ и проведите в нем три внутренних луча. Сколько всего углов получилось?

4. На (рис. 3)  OCAB и ÐAOD=ÐBOE. Запишите все пары равных углов. Обоснуйте свой вывод.

5*. По данным сумме и разности двух углов Ψ  и φ  (рис. 4) постройте сами углы.

6*. На прямой даны m точек. Сколько получилось отрезков?

Вариант 2

1. Изобразите две параллельные прямые. На сколько частей: а) делит каждая из них плоскость, как

   называется каждая из них; б) делят они плоскость?

2. Изобразите прямую k  и точки A, B, E, F, причем известно, что отрезок EF не пересекает k, и точки

    A, F лежат в разных полуплоскостях относительно k.

3. Изобразите развернутый угол COD и проведите в нем три внутренних луча. Сколько всего углов

   получилось?

4. На (рис. 5) углы MOK и NOL равны, OH – биссектриса угла MON. Есть ли еще равные углы?

    Почему они равны?

5*. По данным сумме и разности двух отрезов a и b (рис. 6) постройте сами отрезки.

6*. Внутри угла проведено n лучей. Сколько получилось углов?

Работа № 2

Вариант 1

1. Чем отличается развернутый угол от прямой?

2. Изобразите прямую AB, на ней точку O. Сколько развернутых углов образовалась? Можно ли их

   считать вертикальными?

3. Изобразите угол COD и при помощи только линейки постройте равный ему угол.

4. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

5*. Докажите, что угол, дополняющий меньший из двух смежных углов до прямого, равен

    полуразности смежных углов.

6*. Концы отрезка XY принадлежат сторонам угла MON. Для каких углов MON отрезок XY (кроме

     концов) будет состоять из его внутренних точек?

Вариант 2

1. Какой угол должны образовывать два луча, чтобы  они составляли одну прямую?

2. Изобразите угол AOB и вертикальный к нему. Сколько пар вертикальных углов образовалось при

    этом?

3. Даны два равных угла. Сравните два смежных с ними угла.

4. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.

5*. Из точки O выходят последовательно лучи OA, OB, OC и OD. Угол AOB равен углу COD, а угол

    BOC равен углу AOD. Изобразите эту геометрическую ситуацию.

6*. Концы отрезка HP принадлежат сторонам угла KOL. Для каких углов KOL отрезок HP будет

    состоять из внутренних точек, не принадлежащих данному углу?

5. Измерение величины угла

Вариант 1

1. Найдите угол P, если он: а) составляет половину прямого угла; б) составляет треть развернутого

   угла; в) на 30° меньше своего смежного угла.

2. Данный угол равен 72°. Какую часть он составляет от: а) угла, равного 144°; б) прямого угла; в)

    развернутого угла?

3. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: а) 1:3; б) 2:7; в) 1:7.

4. На рисунке 7 ÐABD=ÐCBE, BF – биссектриса ÐDBE. Есть ли еще равные углы? Ответ обоснуйте.

5*. Из вершины угла KOL, равного 140^o, проведены два луча: OB – биссектриса угла, и OC, делящий

     его в отношении 3:5, считая от стороны OL. Найдите все образовавшиеся углы.

6*. Даны два непересекающихся угла с общей вершиной, причем их стороны соответственно

    перпендикулярны, и один угол в два раза меньше другого. Найдите эти углы.

Вариант 2

1. Найдите угол Q, если он: а) составляет треть прямого угла; б) составляет пятую часть развернутого

    угла; в) на 60° больше своего смежного угла.

2. Данный угол равен 20°. Какую часть он составляет от: а) угла, равного 60°; б) прямого угла;

    в) развернутого угла?

3. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: а) 1:2; б) 4:5; в) 3:5.

4. На рисунке 8 ÐKOL=ÐNOP, OM – биссектриса ÐKOP. Есть ли еще равные углы? Ответ обоснуйте.

5*. Из вершины угла EFG проведен луч FH, который делит его на две части, разность между

    которыми равна 30. Найдите угол между FH и биссектрисой данного угла.

6*. Даны два пересекающихся по лучу угла AOB и COB, причем известно, что их сумма равна 14/5

    прямого угла и что продолжение стороны OA за вершину делит угол COB пополам. Найдите эти

   углы.

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 1

1. Изобразите простую незамкнутую 6-стороннюю ломаную. Определите число ее вершин (В).

2. Изобразите непростую замкнутую ломаную. На сколько частей разбивает она всю плоскость в

   вашем случае?

3. Изобразите выпуклый  семиугольник. Из одной его вершины проведите все диагонали. На сколько

   треугольников разбивают они данный многоугольник?

4. Многоугольник имеет 10 диагоналей. Найдите число его углов.

5*. Сколько сторон в многоугольнике, если их число в k раз больше числа диагоналей, проведенных

    из одной вершины, если k равно: а) 2; б) 4; в) 5?

6*. Точки A₁, A₂, A₃, A₄ расположены так, как показано на рис. 9. Докажите, что существует 5

   простых замкнутых ломаных, все вершины которых являются данными точками.

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 2

1. Изобразите простую замкнутую 7-стороннюю ломаную. Определите число ее вершин (В).

2. Изобразите непростую незамкнутую ломаную. На сколько частей разбивает она всю плоскость в

    вашем случае?

3. Изобразите невыпуклый  пятиугольник. Проведите все его диагонали. Сколько их?

4. Многоугольник имеет 12 диагоналей. Найдите число его углов.

5*. Сколько сторон в многоугольнике, если их число в h раз меньше числа его диагоналей, если

    равно: а) 0,5; б) 1; в) 2; г) 2,5?

6*. Точки B₁, B₂, B₃, B₄ расположены так, как показано на рис.  10. Докажите, что существует 20

   простых незамкнутых ломаных, все вершины которых являются данными точками.

7. Треугольники

Вариант 1

1. Изобразите треугольник DEF и все его медианы. Сколько их?

2. Изобразите треугольник и его высоты таким образом, чтобы одна из них не лежала в

    треугольнике.

3. Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны и каждая в 3 раза больше третьей

    стороны, равной 9 см.

4. Периметр треугольника равен 153 см, а стороны относятся как 2:3:4. Найдите стороны данного

   треугольника.

5*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются его биссектрисами?

6*. Одна из сторон треугольника равна 8 см. Медиана, проведенная из ее вершины, делит периметр

    треугольника на две части, одна из которых меньше другой на 2 см. Найдите две другие стороны

    треугольника, если известно, что они равны.

Вариант 2

1. Изобразите треугольник NOP и все его биссектрисы. Сколько их?

2. Изобразите треугольник, один угол которого прямой, проведите в нем высоты. В какой точке они

     пересекутся?

3. Найдите периметр треугольника, если у него одна сторона равна 15 см, вторая на 2,5 см больше, а

    третья в 4 раза меньше первой.

4. Периметр треугольника равен 156 см, стороны относятся как 3:4:5. Найдите стороны данного

    треугольника.

5*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются его высотами?

6*. Одна из сторон треугольника равна 12 см. Медиана, проведенная к ней, делит периметр

    треугольника на две части, одна из которых больше другой на 3 см. Найдите каждую из двух

    других сторон треугольника, если известно, что одна из них равна данной стороне.

8. Первый признак равенства треугольников

Вариант 1

1. На рисунке 11 AB=DF, ÐA=ÐF и AB=FE. Будут ли данные треугольники равны?

2. Отрезки DH и RS пересекаются в точке H и делятся в ней пополам. Найдите отрезок RH, если

    SD=11,5 см.

3. На рисунке 12 найдите пары равных треугольников.

4. Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его

    биссектрисе.

5*. На продолжении каждой стороны правильного треугольника ABC отложены равные отрезки, а

     именно AA₁=BB₁=CC₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ тоже правильный. Сделайте

     соответствующий рисунок.

6*. Треугольник, периметр которого равен 12 см, делится высотой на две части, периметры которых

     равны 7 см и 9 см. Найдите данную высоту.

Вариант 2

1. На рисунке 11 AB=EF, CB=DE и ÐB=ÐE. Будут ли данные треугольники равны?

2. Отрезки TU и VW пересекаются в точке X и делятся в ней пополам. Соедините концы отрезков и

    найдите равные треугольники.

3. На рисунке 13 найдите пары равных треугольников.

4. На сторонах угла G отложены равные отрезки GA, GC и проведена его биссектриса, на которой

    отмечена точка B. Докажите, что BG является биссектрисой угла ABC.

5*. На каждой стороне правильного треугольника XYZ отложены равные отрезки, а именно

     XX₁=YY₁=ZZ₁. Докажите, что треугольник X₁Y₁Z₁ тоже правильный. Сделайте соответствующий

     рисунок.

6*. Периметр треугольника CDE равен 21 см. Из вершины D выходят равные стороны. Медиана CM

     делит треугольник на два треугольника, причем один из них имеет периметр на 3 см больше, чем

     другой. Найдите стороны данного треугольника.

9. Второй признак равенства треугольников

Вариант 1

1. На рисунке 14 определите равные треугольники.

2. Какие треугольники на рисунке 15 равны?

3. Есть ли на рисунке 16 равные треугольники?

4. На рисунке 17 Ð1=Ð2, Ð3=Ð4. Докажите равенство Ð5 и Ð6.

5*. Изобразите два неравных треугольника, у которых имеется по две равные стороны и одному

    равному углу.

6*. Проведите прямую, имеющую общие точки со всеми сторонами данного треугольника.

Вариант 2

1. На рисунке 18 определите равные треугольники.

2. Какие треугольники на рисунке 19 равны?

3. Есть ли на рисунке 20 равные треугольники?

4. Треугольники RST и R₁S₁T₁ равны (рис. 21). Отрезки SQ и S₁Q₁ образуют равные углы со сторонами

    треугольников соответственно RS и R₁S₁. Докажите равенство отрезков TQ и T₁Q₁.

5*. Изобразите два неравных треугольника, у которых имеется по два равных угла и одной равной

     стороне.

6*. Докажите, что нельзя провести прямую таким образом, чтобы она пересекала все стороны

     треугольника по внутренним точкам.

10. Равнобедренные треугольники

Вариант 1

1. Основание равнобедренного треугольника равно 16,3 см. Найдите другие стороны треугольника,

   если его периметр равен 40,5 см.

2. Боковые стороны равнобедренного треугольника каждая  больше в 2 раза его основания. Найдите

    стороны треугольника, если его периметр равен 44 см.

3. В треугольнике CDE (рис. 22) DH^CE, CH=EH. Докажите, что треугольник равнобедренный.

4. На рисунке 23 RT – основание равнобедренного треугольника SRT, Ð1=Ð4 и SH^RT. Докажите:

    а) Ð6=Ð7; б) RM=TN; в) Ð1=Ð4.

5*. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 44 см. Из вершины C его основания AC

     проведена медиана CM. Найдите стороны данного  треугольника, если периметр треугольника

     BCM на 8 см меньше периметра треугольника ACM.

6*. Сколько равнобедренных треугольников изображено на рисунке 24, где A₁A₂A₃A₄A₅ – правильный

    пятиугольник?

Вариант 2

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание меньше ее на 0,85 см.

    Найдите периметр треугольника.

2. Основание равнобедренного треугольника на 0,7 см больше его боковой стороны. Найдите

    стороны треугольника, если его периметр равен 25 см.

3. На рисунке 25 Ð1=Ð2. Определите вид треугольника KLM.

4. На рисунке 23 SM=SN, SH^MN и RM=TN. Докажите: а) Ð2=Ð3; б) Ð1=Ð4; в) SR=ST.

5*. В равностороннем треугольнике ABC сторона AC продолжена за вершину C и на продолжении

    отложен отрезок CD. Точка D соединена с вершиной B треугольника. Найдите периметр данного

    треугольника, если известно, что периметр треугольника BCD на 15 см меньше периметра

    треугольника ABD.

6*. Сколько различных типов равных равнобедренных треугольников изображено на рисунке 24, где

    A₁A₂A₃A₄A₅ – правильный пятиугольник?

11. Третий признак равенства треугольников

Вариант 1

1. Докажите, что на рисунке 26 ÐB=ÐD.

2. На рисунке 27 укажите пары равных треугольников.

3. На рисунке 28 укажите пары равных треугольников.

4. Докажите, что если в треугольнике высота делит сторону, к которой она проведена, пополам, то

   треугольник равнобедренный.

5*. На одной стороне угла P отложены отрезки PA и PB. На другой его стороне отложены отрезки

    PA₁=PA и PB₁=PB. Докажите, что прямые AB₁ и A₁B пересекаются в точке, принадлежащей

   биссектрисе данного угла P.

6*. Найдите в треугольнике XYZ на стороне XY или на ее продолжении точку M, одинаково

   удаленную от вершин X и Z. Отметьте особый случай.

Вариант 2

1. Докажите, что на рисунке 29 ÐH=ÐG.

2. На рисунке 30 укажите пары равных треугольников.

3. На рисунке 31 укажите пары равных треугольников.

4. Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна к стороне, которую она делит

    пополам, то треугольник равнобедренный.

5*. Докажите, что перпендикуляры, проведенные к обеим сторонам угла на равных расстояниях от

    вершины, пересекаются на его биссектрисе.

6*. Каждая из точек X и Y одинаково удалена от точек S и T. Определите положение прямой XY по

   отношению к отрезку ST.

12. Соотношение между  сторонами и  углами треугольника

Вариант 1

1. В треугольнике CDE известно, что CD>DE>CE. Найдите наименьший угол данного треугольника.

2. Известно, что в треугольнике FGH ÐG>ÐF=ÐH. Сравните стороны данного треугольника.

3. В треугольнике ABC наибольшей стороной является CB. Какие углы могут быть у данного

    треугольника?

4. Внешний угол при вершине L треугольника LMN острый. Какой вывод можно сделать о

    внутренних углах данного треугольника?

5*. Докажите, что, если две стороны и угол против большей из них одного треугольника

    соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то

    треугольники равны.

6*. Как можно найти расстояние между пунктами A и B, если между ними есть препятствие

    (например, поезд)?

Вариант 2

1. В треугольнике DEF известно, что EF<ED<DF. Найдите наибольший угол данного треугольника.

2. Известно, что в треугольнике NOP O>ÐP>ÐN. Сравните стороны данного треугольника.

3. В треугольнике KLM наименьшей стороной является KM. Какими могут быть углы данного

   треугольника?

4. Внешний угол при вершине C треугольника ABC прямой. Какой вывод можно сделать о

    внутренних углах данного треугольника?

5*. Докажите, что если две стороны и угол против меньшей из них одного треугольника

     соответственно равны двум сторонам и углу против меньшей из них другого треугольника, то

      треугольники могут быть как равными, так и неравными.

6*. Как можно найти расстояние между пунктами A и B, если к A нельзя подойти?

13. Соотношение между сторонами треугольника

Вариант 1

1. Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 9 см, 2 см, 6 см; б) 11 см, 16 см, 27 см?

2. Существует ли треугольник, стороны которого относятся как: а) 2:3:5; б) 3:7:11?

3. В равнобедренном треугольнике известны две стороны, равные 40 см и 15 см. Какая из них

   является основанием?

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 72 см. Одна его сторона составляет3/8  периметра.

    Найдите стороны треугольника.

5*. Докажите, что периметр треугольника больше суммы отрезков, соединяющих какую-либо точку

    внутри треугольника с его вершинами, и меньше удвоенной этой суммы.

6*. Докажите, что периметр треугольника больше суммы его медиан.

Вариант 2

1. Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 1 см, 7 см, 5 см; б) 12 см, 13,5 см, 20 см?

2. Существует ли треугольник, стороны которого относятся как: а) 1:8:19; б) 2:4:6?

3. В равнобедренном треугольнике известны две стороны, равные 18 см и 36 см. Какая из них

    является боковой стороной?

4. Две стороны равнобедренного треугольника относятся как 2:5. Найдите стороны треугольника,

    если его периметр равен 96 см.

5*. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с ней из одной

    вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника.

6*. Докажите, что периметр треугольника меньше удвоенной суммы его медиан.

14. Прямоугольные треугольники

Вариант 1

1. Изобразите прямоугольный треугольник: а) равнобедренный; б) неравнобедренный. Запишите его

    катеты и гипотенузу.

2. Найдите наибольшие стороны треугольников из предыдущей задачи. Ответ обоснуйте.

3. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке 32.

4. Постройте прямоугольный треугольник по катетам, равным 3 см и 4 см. Всегда ли такой

    треугольник можно построить?

5*. В треугольнике CDE проведена медиана CH. Докажите, что в треугольниках CHE и CHD

    найдутся равные высоты.

6*. Постройте прямоугольный треугольник по катету (a) и биссектрисе (m) острого угла,

     прилежащего к этому катету.

Вариант 2

1. Изобразите равнобедренный треугольник: а) прямоугольный; б) тупоугольный. Запишите его

   основание и боковые стороны.

2. Найдите наибольшие стороны треугольников из предыдущей задачи. Ответ обоснуйте.

3. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке 33.

4. Постройте прямоугольный треугольник по катету, равному 2,5 см, и прилежащему к нему углу,

    равному 30°. Всегда ли такой треугольник можно построить?

5*. В треугольнике KLM проведена медиана LO. Докажите, что в треугольниках KOL и MOL найдутся

     равные высоты.

6*. Постройте прямоугольный треугольник по катету (b) и биссектрисе (m) прямого угла.

15. Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

1. Изобразите точку AÏ a. Опустите из нее на данную прямую перпендикуляр AH и наклонную AM.

   Сравните их длины. Почему получился такой результат?

2. Изобразите прямоугольный треугольник. Запишите проекции его катетов на гипотенузу.

3. Изобразите геометрическую ситуацию, при которой проекцией отрезка на данную прямую

    является точка.

4. Докажите, что любая точка прямой, проведенной перпендикулярно к отрезку через его середину,

    одинаково удалена от концов данного отрезка.

5*. Из точки X, взятой вне прямой m, опустили на нее перпендикуляр XH и по одну сторону от него

     провели наклонные XA, XB, XC таким образом, что HXA=AXB=BXC. Докажите, что:

     а) HA<HB<HC;   б) HA<AB<BC.

6*. Даны две параллельные прямые a, b и точка O, не принадлежащая им и лежащая вне полосы,

    образованной ими. Докажите, что нельзя найти треугольник с вершинами O, AÎ a и BÎ b

     наименьшего периметра.

Вариант 2

1. Изобразите точку BÏ b. Опустите из нее на данную прямую перпендикуляр BP и наклонную BG.

    Какой отрезок больше и почему?

2. Изобразите прямоугольный равнобедренный треугольник. Запишите проекции его боковых сторон

    на основание.

3. Изобразите геометрическую ситуацию, при которой проекция отрезка на данную прямую равна

    самому отрезку.

4. Докажите, что любые две вершины треугольника одинаково удалены от медианы, проведенной из

    третьей вершины данного треугольника.

5*. Из точки Z, взятой вне прямой n, проведены к ней перпендикуляр ZP и наклонные ZA, ZB, ZC, …

    такие, что ZA>ZB>ZC>… , причем каждая следующая больше предыдущей на одну и ту же

    величину d (ZB=ZA+d, ZC=ZB+d и т.д.). Докажите, что PA<AB<BC… .

6*. Даны две прямые  k || l и точка R, не принадлежащая им и лежащая внутри полосы, образованной

      ими. Докажите, что нельзя найти треугольник KLR, KÎ k и LÎ l наименьшего периметра.

16. Окружность и круг

Вариант 1

1. Изобразите окр.(A; 2,5 см). Запишите неравенство, которому удовлетворяют точки M, не

   принадлежащие соответствующему кругу.

2. Наибольшая хорда окружности равна 25 см. Найдите ее радиус.

3. Каким неравенствам удовлетворяют длины хорд AB окружности радиуса R?

4. Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса, проходящих через данную

   точку? Изобразите соответствующую геометрическую ситуацию.

5*. Через точку диаметра окружности проведены две равные хорды. Докажите, что они одинаково

  наклонены к диаметру.

6*. В окружности с центром в точке O концы диаметров AB и CD соединены хордами  BC и BD таким

  образом, что ÐBOD>ÐBOC. Докажите, что хорда BD расположена ближе к центру окружности, чем

   хорда BC.

Вариант 2

1. Изобразите окр.(B; 3,2 см). Запишите неравенство, которому удовлетворяют точки K, лежащие

   внутри соответствующего круга.

2. Радиус окружности на 12,4 см меньше ее диаметра. Найдите ее наибольшую хорду.

3. Каким неравенствам удовлетворяют длины хорд EF окружности диаметра D?

4. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки? Изобразите

   соответствующую геометрическую ситуацию.

5*. Через точку диаметра окружности проведены две хорды, одинаково наклоненные к нему.

    Докажите равенство этих хорд.

6*. Даны хорды окружности AB, BC, CA, причем AB>BC>CA. Сравните их расстояния до центра

    окружности.

17. Взаимное расположение прямой и  окружности

Вариант 1

1. Изобразите окружность и две прямые, одна из которых пересекает окружность, а другая не имеет с

   окружностью ни одной общей точки. Запишите соответствующие условия такого расположения

   окружности и прямых, сделав необходимые измерения.

2. Определите вид треугольника AMB на рис. 34, где AM – касательная к данной окружности.

3. Определите взаимное расположение прямой и окружности радиуса 9,5 см, если расстояние от

   центра окружности до прямой равно: а) 6 см; б) 1 дм; в) 18 см.

4. Из внешней точки окружности проведены к ней две касательные и секущая, проходящая через

   центр окружности. Докажите, что эта секущая делит пополам хорду, соединяющую точки касания.

5*. Докажите, что перпендикуляр к касательной в точке касания проходит через центр окружности.

Вариант 2

1. Изобразите окружность и точку вне ее. Проведите через точку две прямые, одна из которых

   пересекает данную окружность, а другая не имеет с ней ни одной общей точки. Сколько таких

   прямых можно провести? От чего зависит взаимное расположение прямой и окружности?

2. Через данную точку окружности проведите к ней касательную.

3. Определите взаимное расположение прямой и окружности радиуса 4,2 см, если расстояние от

   центра окружности до прямой равно: а) 8,4 см; б) 2,1 см; в) 4,2 см.

4. Из внешней точки A окружности проведены к ней две касательные AB и AC. Найдите расстояние

    между точками касания B и C, если ÐBAC=60^o и длина ломаной BAC равна 1 дм.

5*. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к касательной, проходит через

  точку касания.

18. Взаимное расположение двух окружностей

Вариант 1

1. Изобразите две окружности: а) непересекающиеся и лежащие одна вне другой; б) пересекающиеся;

    в) касающиеся внутренним образом. Запишите соответствующее условие такого расположения,

    сделав необходимые измерения.

2. Определите взаимное расположение двух окружностей радиусов 6,5 см и 2 см, если расстояние

    между их центрами равно: а) 10 см; б) 4,5 см; в) 8,5 см; г) 3 см.

3.  Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 4:5. Найдите их диаметры, если

    ширина кольца, образованного этими окружностями, равна 7 см.

4. Две окружности не пересекаются и расположены одна внутри другой. Их диаметры относятся как

    2:5. Диаметр большей окружности делится меньшей окружностью на три части, причем крайние

    равны 10 см и 5 см. Найдите диаметры окружностей и расстояние между их центрами.

5*. Докажите, что все равные хорды, проведенные в данной окружности, касаются некоторой другой

    окружности. Определите взаимное расположение этой и данной окружностей.

6*. Данная окружность, радиус которой равен 3 дм, касается внутренним образом шести равных

   окружностей, каждая из которых касается двух других внешним образом (рис. 35). Найдите их

   радиусы.

Вариант 2

1. Изобразите две окружности: а) непересекающиеся и лежащие одна внутри другой; б) касающиеся

   внешним образом; в) пересекающиеся. Запишите соответствующее условие такого расположения,

    сделав необходимые измерения.

2. Определите взаимное расположение двух окружностей радиусов 3,5 см и 6 см, если расстояние

    между их центрами равно: а) 10 см; б) 9,5 см; в) 2,5 см; г) 1 см.

3.  Найдите радиусы двух концентрических окружностей, если известно, что их диаметры относятс

    как 2:5 и ширина кольца, образованного этими окружностями, равна 24 см.

4. Две окружности не пересекаются и расположены одна внутри другой. Диаметр большей

    окружности делится меньшей окружностью на три части, равные 2 см, 10 см и 6 см. Найдите

    радиусы окружностей и расстояние между их центрами.

5*. Найдите условие, при котором внутри окружности (O; R) целиком лежит окружность (O₁; r).

6*. Данная окружность, радиус которой равен 1 дм, касается внешним образом шести равных

     окружностей, каждая из которых касается внешним образом двух других (рис. 36). Найдите и

    диаметры.

19. Задачи на построение

Вариант 1

1. Разделите данный отрезок MN пополам.

2. Проведите касательную к данной окружности в данной на ней точке.

3. Постройте треугольник ABC по стороне BC и углам B, C. Всегда ли возможно построение?

4. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к нему.

5*. Точка A –  одна из точек пересечения двух окружностей с центрами O₁ и O₂. Проведите через A

   прямую, которая пересекала бы окружности в точках B и C таким образом, чтобы хорды AB и AC

   были равны.

6*. Разделите прямой угол L на три равные части.

Вариант 2

1. Разделите данный угол KLM пополам.

2. Через точку, принадлежащую данной прямой, проведите перпендикулярную к ней прямую.

3. Постройте треугольник BCD по сторонам BC и BD и углу B. Всегда ли возможно построение?

4. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к другому катету.

5*. Через точку A, взятую внутри окружности с центром в точке O проведите хорду EF таким

    образом, чтобы EA-FA=d, где d заданная длина.

6*. Разделите прямой угол POH на шесть равных частей.

ОТВЕТЫ

1. Основные геометрические фигуры

Вариант 1. 3. а), б) Да, бесконечно много. 5. 0; 1; 3. 6. 15.

Вариант 2. 3. а) Да, одну; б) да, бесконечно много. 5. 0; 1; 3; 4. 6. 10.

2. Отрезок и луч

Вариант 1. 5. а) 8; б) 6.

Вариант 2. 5. а) 10; б) 10.

3. Измерение длины отрезка

Вариант 1. 2. а) 5,5 см; б) 16,8 см. 4. а) 2,5 см; б) 6 см; в) 1 см. 5. 288 см. 6. 234 м и 74 м.

Вариант 2. 2. а) 15 см; б) 23,3 см. 4. а) 5,5 см; б) 9 см; в) 3,5 с м. 5. а) 204 см; б)147 см. 6. В 3 раза.

4. Полуплоскость и угол

Работа № 1

Вариант 1. 1. а) на две части, каждая из которых называется полуплоскостью; б) на четыре части. 3 10. 6. m(m-1)/2

Вариант 2. 1. а) на две части, каждая из которых называется полуплоскостью; б) на три части. 3. 10. 6. (m+2)(m+1)/2.

4. Полуплоскость и угол

Работа № 2

Вариант 1. 2. 2; нет. 4. Прямой угол. 6. Данный угол меньше развернутого угла.

Вариант 2. 2. 2 пары. 4. Развернутый угол. 6. Данный угол больше развернутого угла.

5. Измерение величины угла

Вариант 1. 1. а) 45°; б) 60°; в) 75°. 2. а)½ ; б)⅘ , в)⅖ . 3. а) 45°, 135°; б) 40°, 140°; в) 22°30', 157°30'. 5. ÐKOB=ÐLOB=70°; ÐLOC = 52°30'; ÐKOC = 87°30'; ÐBOC = 17°30'. 6. 60°, 120°.

Вариант 2. 1. а) 30°; б) 36°; в) 120°. 2. а)⅓ ; б)2/9 , в)1/9 . 3. а) 60°, 120°; б) 80°, 100°; в) 67° 30', 112°30'. 5. 15°. 6. 108°, 144°.

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 1. 1. В = 6. 3. 5. 4. 5. 5. n =3k/(k-2), где n – число сторон в многоугольнике; а) нет многоугольника; б) 6; в) 5.

Вариант 2. 1. В=7. 3. 5. 4. 6. 5. n = 2h+3, где n – число сторон в многоугольнике; а) 4; б) 5; в) 7; г) 8.

7. Треугольники

Вариант 1. 3. 63 см. 4. 34 см, 51 см, 68 см. 5. Правильным. 6. 10 см, 10 см или 6 см, 6 см.

Вариант 2. 3. 36,25 см. 4. 39 см, 52 см, 65 см. 5. Правильным. 6. 12 см, 15 см или 12 см, 9 см.

8. Первый признак равенства треугольников

Вариант 1. 1. Нет. 2. 11,5 см. 6. 2см.

Вариант 2. 1. Да. 6. 8 см, 8 см, 5 см или 6 см, 6 см, 9 см.

10. Равнобедренные треугольники

Вариант 1. 1. 12,1 см, 12,1 см. 2. 17,6 см, 17,6 см, 8,8 см. 5. 12 см, 12 см, 20 см. 6. 35.

Вариант 2. 1. 38,15 см. 2. 8,1 см, 8,1 см, 8,8 см. 3. Равнобедренный. 5. 45 см. 6. 5.

11. Третий признак равенства треугольников

Вариант 1. 6. M – точка пересечения прямой XY с прямой, перпендикулярной XZ и проходящей через середину отрезка XZ. Особый случай: треугольник XYZ равнобедренный и XZ его основание, тогда точка M совпадает с вершиной Y треугольника.

Вариант 2. 6. Прямая XY  перпендикулярна ST и проходит через его середину.

12. Соотношение между  сторонами и  углами треугольника

Вариант 1. 1. <D. 2. FH > GH = GF. 3. Углы B и C – острые, угол A – острый, прямой или тупой. 4. Угол L - тупой, углы M и N – острые. 6. Решение показано на рисунке 37: выбирают точку C, из которой видны обе точки A и B.

Вариант 2. 1. ÐE. 2. NP > NO > OP. 3. Угол L - острый, каждый из углов K, M может быть острым, прямым или тупым, причем углы K и M одновременно не могут быть оба прямыми или тупыми. 4. Угол C - прямой, углы A и B - острые. 6. Решение показано на рисунке 38: BC – произвольный отрезок, из точки D видна точка A, AB = GF.

13. Соотношение между сторонами треугольника

Вариант 1. 1. а), б) Нет. 2. а), б) Нет. 3. 15 см. 4. 18 см, 27 см, 27 см.

Вариант 2. 1. а), б) Нет. 2. а), б) Нет. 3. 15 см. 4. 18 см, 27 см, 27 см.

16. Окружность и круг

Вариант 1. 2. 12,5 см. 3. 0 < AB £ 2R. 4. Центры принадлежат окружности данного радиуса с центром в данной точке.

Вариант 2. 2. 24,8 см. 3. 0 < EF £ D. 4. Центры принадлежат прямой, перпендикулярной к отрезку, соединяющему данные точки, и проходящей через его середину. 6. h_AB < h_BC < h_CA.

17. Взаимное расположение прямой и  окружности

Вариант 1. 2. Прямоугольный. 3. а) Пересекаются; б), в) не имеют общих точек. 6. 9,4 см.

Вариант 2. 3. а) Не имеют общих точек; б) пересекаются; в) касаются. 4. 5 см.

18. Взаимное расположение двух окружностей

Вариант 1. 2. а) Не имеют общих точек, лежат одна вне другой; б) касаются внутренним образом; в) касаются внешним образом; г) не имеют общих точек, одна лежит внутри другой. 3. 56 см, 70 см. 4. 10 см, 25 см; 2,5 см. 5. Окружность, концентрическая данной, радиус которой равен расстоянию от центра окружностей до любой из равных хорд. 6. 1 дм.

Вариант 2. 2. а) Не имеют общих точек, лежат одна вне другой; б) касаются внешним образом; в) касаются внутренним образом; г) не имеют общих точек, одна лежит внутри другой. 3. 16 см, 40 см. 4. 5 см, 9 см; 2 см. 5. OO₁<R-r. 6. 2 дм

19. Задачи на построение

Вариант 1. 5. Разделим пополам отрезок O₁O₂, O₁H=HO₂; проведем прямую AH и прямую a такую, что AÎ a и a^AH; назовем точки пересечения a с окружностями B и C, которые и будут искомыми, так как AB=AC, потому что H принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку BC. 6. Строим окр.(L; R), она пересечет стороны угла в точках M и N; строим окр.(M; R), назовем точку ее пересечения с  дугой MN  – K; треугольник KLM – равносторонний, значит, ÐMLK = 60°; проводим его биссектрису LP; таким образом, ÐMLP =ÐPLK =ÐKLN = 30°, т.е. прямой угол L разделен на три равные части.

Вариант 2. 5. Строим окр.(O; OA) и окр.(A; d); берем одну из точек пересечения B=окр.(O; OA)Çокр.(A; d); проводим хорду AB и продолжаем ее до пересечения с данной окружностью, точки пересечения называем E и F, EF – искомая хорда. 6. Сначала делим прямой угол на три равные части (см. решение задачи 6 из первого варианта), а потом в каждом полученном угле проводим биссектрису.

1  Смежные углы.

1	Вариант 1                          Найти величину каждого из смежных углов, если известно, что один из них на 35о больше другого.	2	Вариант 2                          Найти величину каждого из смежных углов, если известно, что один из них на 42о меньше другого.
3	Вариант 3                          Найти величину каждого из смежных углов, если известно, что один из них на 26о больше другого.	4	Вариант 4                          Найти величину каждого из смежных углов, если известно, что один из них на 56о меньше другого.
5	Вариант 5 Найти величину каждого из смежных углов, если известно, что один из них на 24о больше другого.	6	Вариант 6                                 Найти величину каждого из смежных углов, если известно, что один из них на 43о меньше другого.

2. Вертикальные углы

1	Вариант 1                          Используя рисунок, найти	2	Вариант 2                          Используя рисунок, найти
3	Вариант 3                          Используя рисунок, найти	4	Вариант 4                          Используя рисунок, найти
5	Вариант 5 Используя рисунок, найти	6	Вариант 6                                 Используя рисунок, найти

№1 Прямая и отрезок 1.      Через любые две точки можно провести _____________________________________ _____________________________________ 2.      Две прямые могут иметь одну общую точку, либо ___________________________ _____________________________________ 3.      Отрезок это - _________________________ _____________________________________ 4.      Концы отрезка ________________________ _____________________________________ 5.      Изобразите прямую, обозначьте ее. 6.      Изобразите отрезок, обозначьте его. 7.      Какие точки лежат на отрезке АВ                                O А   С        К      В         D   _______________________________________ 8.      Какие точки не лежат на отрезке АВ                                O А   С        К      В         D   ________________________________________	№1 Прямая и отрезок 1.      Через любые две точки можно провести _____________________________________ _____________________________________ 2.      Две прямые могут иметь одну общую точку, либо ___________________________ _____________________________________ 3.      Отрезок это - _________________________ _____________________________________ 4.      Концы отрезка ________________________ _____________________________________ 5.      Изобразите прямую, обозначьте ее. 6.      Изобразите отрезок, обозначьте его. 7.      Какие точки лежат на отрезке АВ                                O А   С        К      В         D   _______________________________________ 8.      Какие точки не лежат на отрезке АВ                                O А   С        К      В         D   ________________________________________	№1 Прямая и отрезок 1.      Через любые две точки можно провести _____________________________________ _____________________________________ 2.      Две прямые могут иметь одну общую точку, либо ___________________________ _____________________________________ 3.      Отрезок это - _________________________ _____________________________________ 4.      Концы отрезка ________________________ _____________________________________ 5.      Изобразите прямую, обозначьте ее. 6.      Изобразите отрезок, обозначьте его. 7.      Какие точки лежат на отрезке АВ                                O А   С        К      В         D   _______________________________________ 8.      Какие точки не лежат на отрезке АВ                                O А   С        К      В         D   ________________________________________
№2  Луч и угол 1.      Луч это ______________________________ _____________________________________ 2.       Начало луча ­­­­­­­­­­­­­______________________________ 3.       Луч обозначают __________________________ или_____________________________________ 4.       Угол это _________________________________ ________________________________________ _________________________________________ 5.       Стороны угла это __________________________ 6.       Вершина угла это _________________________ 7.       Развернутый угол _________________________ ________________________________________ ________________________________________ 8.       Угол обозначают _________________________ _______________________________ или _____ ________________________________________ 9.       Изобразите луч, обозначьте его. 10.   Изобразите угол, обозначьте его. __________________________________________ 11.   Какие точки лежат на сторонах угла _____________________________________ 12.   Какие точки лежат во внешней области  угла _____________________________________ 13.   На сторонах угла лежат точки _____________________________________ №3  Сравнение отрезков и углов 1.       Две фигуры называются равными, если ______ _________________________________________ ________________________________________ 2.       Если отрезок АВ меньше отрезка СD, то пишут ________________________________________ 3.       Середина отрезка это _____________________ ________________________________________ ________________________________________ 4.       Отрезки равны если ______________________ ________________________________________ 5.       Два угла равны, если ______________________ _________________________________________ 6.       Развернутый угол всегда ___________________ неразвернутого. 7.       Биссектрисой угла  называется ______________ _________________________________________ _________________________________________	№2  Луч и угол 1.      Луч это ______________________________ _____________________________________ 2.       Начало луча ­­­­­­­­­­­­­______________________________ 3.       Луч обозначают __________________________ или_____________________________________ 4.       Угол это _________________________________ ________________________________________ _________________________________________ 5.       Стороны угла это __________________________ 6.       Вершина угла это _________________________ 7.       Развернутый угол _________________________ ________________________________________ ________________________________________ 8.       Угол обозначают _________________________ _______________________________ или _____ ________________________________________ 9.       Изобразите луч, обозначьте его. 10.   Изобразите угол, обозначьте его. __________________________________________ 11.   Какие точки лежат на сторонах угла _____________________________________ 12.   Какие точки лежат во внешней области  угла _____________________________________ 13.   На сторонах угла лежат точки _____________________________________ №3  Сравнение отрезков и углов 1.       Две фигуры называются равными, если ______ _________________________________________ ________________________________________ 2.       Если отрезок АВ меньше отрезка СD, то пишут ________________________________________ 3.       Середина отрезка это _____________________ ________________________________________ ________________________________________ 4.       Отрезки равны если ______________________ ________________________________________ 5.       Два угла равны, если ______________________ _________________________________________ 6.       Развернутый угол всегда ___________________ неразвернутого. 7.       Биссектрисой угла  называется ______________ _________________________________________ _________________________________________	№2  Луч и угол 1.      Луч это ______________________________ _____________________________________ 2.       Начало луча ­­­­­­­­­­­­­______________________________ 3.       Луч обозначают __________________________ или_____________________________________ 4.       Угол это _________________________________ ________________________________________ _________________________________________ 5.       Стороны угла это __________________________ 6.       Вершина угла это _________________________ 7.       Развернутый угол _________________________ ________________________________________ ________________________________________ 8.       Угол обозначают _________________________ _______________________________ или _____ ________________________________________ 9.       Изобразите луч, обозначьте его. 10.   Изобразите угол, обозначьте его. __________________________________________ 11.   Какие точки лежат на сторонах угла _____________________________________ 12.   Какие точки лежат во внешней области  угла _____________________________________ 13.   На сторонах угла лежат точки _____________________________________ №3  Сравнение отрезков и углов 1.       Две фигуры называются равными, если ______ _________________________________________ ________________________________________ 2.       Если отрезок АВ меньше отрезка СD, то пишут ________________________________________ 3.       Середина отрезка это _____________________ ________________________________________ ________________________________________ 4.       Отрезки равны если ______________________ ________________________________________ 5.       Два угла равны, если ______________________ _________________________________________ 6.       Развернутый угол всегда ___________________ неразвернутого. 7.       Биссектрисой угла  называется ______________ _________________________________________ _________________________________________
№4  Измерение отрезков 1.      Измерить отрезок, значит найти его _____ _____________________________________ 2.      Единицами измерения отрезка могут быть ______________________________________ 3.      Равные отрезки имеют ____________длины 4.      Меньший отрезок имеет___________длину 5.      Длина отрезка АВ=12 см, найдите длины отрезков ½ АВ=_________,   ⅓ АВ=_________,    ⅔АВ=_______,  ⅙АВ=_______,  ⅛АВ=_________	№4  Измерение отрезков 1.      Измерить отрезок, значит найти его _____ _____________________________________ 2.      Единицами измерения отрезка могут быть ______________________________________ 3.      Равные отрезки имеют ____________длины 4.      Меньший отрезок имеет___________длину 5.      Длина отрезка АВ=12 см, найдите длины отрезков ½ АВ=_________,   ⅓ АВ=_________,    ⅔АВ=_______,  ⅙АВ=_______,  ⅛АВ=_________	№4  Измерение отрезков 1.      Измерить отрезок, значит найти его _____ _____________________________________ 2.      Единицами измерения отрезка могут быть ______________________________________ 3.      Равные отрезки имеют ____________длины 4.      Меньший отрезок имеет___________длину 5.      Длина отрезка АВ=12 см, найдите длины отрезков ½ АВ=_________,   ⅓ АВ=_________,    ⅔АВ=_______,  ⅙АВ=_______,  ⅛АВ=_________

№5  Измерение углов 1.      Единица измерения углов называется_____ _____________________________________ 2.      1/180 часть развернутого угла равна _____ _____________________________________ 3.      1/60 часть градуса равна _______________, обозначают ___________________________ 4.      1/60 часть минуты равна _______________, обозначают __________________________ 5.      Градусная мера развернутого угла равна _____________________________________ 6.      Градусная мера прямого угла  равна _____________________________________ 7.      Градусная мера острого угла ____________ _____________________________________ 8.      Градусная мера тупого угла _____________ _____________________________________ 9.      Инструмент для измерения углов называется __________________________

№5  Измерение углов 1.      Единица измерения углов называется____ ___________________________________ 2.      1/180 часть развернутого угла равна _____ _____________________________________ 3.      1/60 часть градуса равна _______________, обозначают ___________________________ 4.      1/60 часть минуты равна _______________, обозначают __________________________ 5.      Градусная мера развернутого угла равна _____________________________________ 6.      Градусная мера прямого угла  равна _____________________________________ 7.      Градусная мера острого угла ____________ _____________________________________ 8.      Градусная мера тупого угла _____________ _____________________________________ 9.      Инструмент для измерения углов называется __________________________

№5  Измерение углов 1.      Единица измерения углов называется_____ _____________________________________ 2.      1/180 часть развернутого угла равна _____ _____________________________________ 3.      1/60 часть градуса равна _______________, обозначают ___________________________ 4.      1/60 часть минуты равна _______________, обозначают __________________________ 5.      Градусная мера развернутого угла равна _____________________________________ 6.      Градусная мера прямого угла  равна _____________________________________ 7.      Градусная мера острого угла ____________ _____________________________________ 8.      Градусная мера тупого угла _____________ _____________________________________ 9.      Инструмент для измерения углов называется __________________________

№6 Перпендикулярные прямые 1.       Смежными углами называются _________ _____________________________________ _____________________________________ 2.       Сумма смежных углов равна ______________ 3.       Два угла называются вертикальными, если ____________________________________ ______________________________________ 4.       Вертикальные углы _____________________ 5.       Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если _______________ ______________________________________ _____________________________________ 6.       Как обозначают «Прямая АВ перпендикулярна прямой СD» ___________________________ 7.       Две прямые перпендикулярные к третей _____ _____________________________________ 8.       Изобразите смежные углы 9.       Изобразите вертикальные углы 10.   Изобразите перпендикулярные прямые	№6 Перпендикулярные прямые 1.       Смежными углами называются _________ _____________________________________ _____________________________________ 2.       Сумма смежных углов равна ______________ 3.       Два угла называются вертикальными, если ____________________________________ ______________________________________ 4.       Вертикальные углы _____________________ 5.       Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если _______________ ______________________________________ _____________________________________ 6.       Как обозначают «Прямая АВ перпендикулярна прямой СD» ___________________________ 7.       Две прямые перпендикулярные к третей _____ _____________________________________ 8.       Изобразите смежные углы 9.       Изобразите вертикальные углы 10.   Изобразите перпендикулярные прямые	№6 Перпендикулярные прямые 1.       Смежными углами называются _________ _____________________________________ _____________________________________ 2.       Сумма смежных углов равна ______________ 3.       Два угла называются вертикальными, если ____________________________________ ______________________________________ 4.       Вертикальные углы _____________________ 5.       Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если _______________ ______________________________________ _____________________________________ 6.       Как обозначают «Прямая АВ перпендикулярна прямой СD» ___________________________ 7.       Две прямые перпендикулярные к третей _____ _____________________________________ 8.       Изобразите смежные углы 9.       Изобразите вертикальные углы 10.   Изобразите перпендикулярные прямые
№7 Первый признак равенства треугольника (Теоретическая часть) 1.      Треугольником называется фигура _______ _____________________________________ _____________________________________ 2.      Вершины треугольника это _____________ _____________________________________ 3.      Стороны треугольника это ______________ _____________________________________ 4.      «Треугольник АВС» обозначают __________ 5.      Периметр треугольника это _____________ _____________________________________ 6.      Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника ___________________ _____________________________________ _____________________________________ 7.      В равных треугольниках против равных сторон  ______________________________ _____________________________________ 8.      В равных треугольниках против равных углов ______________________________________ ______________________________________ 9.      Равенство треугольников  АВС и ТОР обозначают ___________________________ 10.  Сформулируйте первый признак равенства треугольников ________________________ _______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ _______________________________________ ______________________________________ ______________________________________  ______________________________________	№7 Первый признак равенства треугольника (Теоретическая часть) 1.    Треугольником называется фигура _______ _____________________________________ _____________________________________ 2.      Вершины треугольника это _____________ _____________________________________ 3.      Стороны треугольника это ______________ _____________________________________ 4.      «Треугольник АВС» обозначают __________ 5.      Периметр треугольника это _____________ _____________________________________ 6.      Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника ___________________ _____________________________________ _____________________________________ 7.      В равных треугольниках против равных сторон  ______________________________ _____________________________________ 8.      В равных треугольниках против равных углов ______________________________________ ______________________________________ 9.      Равенство треугольников  АВС и ТОР обозначают ___________________________ 10.  Сформулируйте первый признак равенства треугольников ________________________ _______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ _______________________________________ ______________________________________ ______________________________________  ______________________________________	№7 Первый признак равенства треугольника (Теоретическая часть) 1.      Треугольником называется фигура _______ _____________________________________ _____________________________________ 2.      Вершины треугольника это _____________ _____________________________________ 3.      Стороны треугольника это ______________ _____________________________________ 4.      «Треугольник АВС» обозначают __________ 5.      Периметр треугольника это _____________ _____________________________________ 6.      Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника ___________________ _____________________________________ _____________________________________ 7.      В равных треугольниках против равных сторон  ______________________________ _____________________________________ 8.      В равных треугольниках против равных углов ______________________________________ ______________________________________ 9.      Равенство треугольников  АВС и ТОР обозначают ___________________________ 10.  Сформулируйте первый признак равенства треугольников ________________________ _______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ _______________________________________ ______________________________________ ______________________________________  ______________________________________

ТЕСТЫ

Тест № 1 «Начала планиметрии»

1. Что означает слово «геометрия»?

1) Измерение.    2) Земля.   3) Землемерие.      4) Теломерие.

2. Прямые имеют одну общую точку. Как они называются?

1) Совпадающие.    2) Пересекающиеся.  3) Параллельные.    4) Скрещивающиеся.

3. Сколько прямых можно провести через одну точку?

            1) 1.    2) 2.    3) 3.     4) Бесконечно много.

4. Сколько прямых можно провести через две точки?

            1) 1.     2) 2.     3) 4.     4) Бесконечно много.

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из трех точек?

            1) 1.    2) 3.    3) 6.     4) Бесконечно много.

6. На прямой отмечено 3 точки. Сколько отрезков при этом образовалось?

            1) 2.      2) 3.     3) 4.       4) 5.

7. На прямой отмечено 3 точки. Сколько лучей при этом образовалось?

            1) 2.     2) 4.     3) 6.     4) 9.

8. На прямой отмечено 5 точек. Сколько отрезков при этом образовалось?

            1) 5.    2) 10.    3) 15.    4) 20.

9. На прямой отмечено 5 точек. Сколько лучей при этом образовалось?

            1) 5.     2) 10.    3) 15.   4) 20.

10. Сколько отрезков, равных данному, можно отложить на луче от его начала?

            1) 0.    2) 1.    3) 2.    4) Бесконечно много.

11. Сумма двух отрезков равна 8 см, их разность равна 3 см. Найдите данные отрезки.

            1) 3 см и 5 см.     2) 5 см и 11 см.     3) 1,5 см и 4 см.     4) 5,5 см и 2,5 см.

12. На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?

1) 2.     2) 4.   3) 6.     4) 8.

13. В угле проведено 4 внутренних луча. Сколько всего углов образовалось при этом?

            1) 4.     2) 5.     3) 10.    4) 15.

14. Каким является следующее утверждение: «Вертикальные углы равны»?

            1) Аксиомой.     2) Теоремой.     3) Доказательством.     4) Определением.

15. Сколько пар вертикальных углов образовалось при пересечении в одной точке 3 прямых?

            1) 3.      2) 4.     3) 6.      4) 12.

16. Сколько пар вертикальных углов образовалось при пересечении в одной точке 4 прямых?

            1) 4.    2) 8.    3) 12.     4) 16.

17. Сколько пар смежных углов образовалось при пересечении в одной точке 4 прямых?

            1) 8.      2) 16.     3) 24.      4) 36.

18. Один из смежных углов равен  ⅖ с  (<с=90^o). Найдите эти углы.

1) 45и 135.    2) 36и 144.  3) 72и 108.   4) 18и 45.

19. Один из смежных углов меньше другого в 9 раз.  Найдите данные углы.

1) 20, 180.     2) 18, 162.   3) 20, 160.     4) 9, 171.

20. Один из смежных углов составляет 25%  другого.  Найдите данные углы.

1) 45, 135.    2) 36, 144.   3) 30, 150.     4) 40, 160.

Тест № 2 «Многоугольники»

1. Сколько вершин у 20-угольника?

            1) 5.    2) 10.    3) 20.    4) Нельзя определить.

2. Сколько сторон у 36-угольника?

            1) 9.    2) 18.    3) 36.    4) Нельзя определить.

3. На сколько треугольников делится выпуклый четырехугольник своей диагональю?

            1) 2.    2) 4.   3) 8.    4) 12.

4. На сколько треугольников делится своими диагоналями выпуклый четырехугольник?

            1) 4.   2) 8.    3) 10.   4) 12.

5. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины 5-угольника?

            1) 2.    2) 3.    3) 5.   4) 10.

6. На сколько треугольников разбивают выпуклый 5-угольник диагонали, проведенные из

   одной его вершины?

            1) 3.    2) 5.   3) 10.   4) 15.

7. Сколько всего диагоналей у 5-угольника?

            1) 5.    2) 10.   3) 15.    4) 20.

8. У многоугольника 9 диагоналей. Сколько у него углов?

            1) 3.   2) 6.    3) 9.    4) 12.

9. У многоугольника 14 диагоналей. Сколько у него сторон?

            1) 5.    2) 6.     3) 7.     4) 8.

10. Найдите стороны четырехугольника, если они относятся как 1:1:1:2, а его периметр

       равен 30 см.

             1) 10 см, 10 см, 10 см, 20.           2) 5 см, 5см, 5 см, 15 см.  

                    3) 6 см, 12 см, 12 см, 12 см        4) 6 см, 6 см, 6 см, 12 см.

11. Сколько медиан у треугольника?

            1) 1.      2) 2      3) 3.      4) 6.

12. Какой фигурой является биссектриса треугольника?

            1) Отрезком.         2) Лучом.         3) Прямой.        4) Полупрямой.

13. Периметр треугольника равен 36 см. Стороны пропорциональны числам 3, 4, 5.

       Найдите наибольшую сторону треугольника.

            1) 9 см.      2) 12 см.       3) 15 см.        4) 27 см.

14. Какие элементы треугольника могут проходить вне его?

            1) Диагональ.      2) Высота.       3) Биссектриса.        4) Медиана.

15. У треугольника равны две стороны и каждая составляет ⅖  его периметра. Третья

      сторона равна 20 см. Найдите периметр треугольника.

            1) 4 см.       2) 40 см.       3) 100 см.      4) 200 см.

16. Одна сторона треугольника в три раза больше второй стороны, а третья сторона больше

      второй на 8 см и равна 12 см. Найдите периметр треугольника.

            1) 24 см.       2) 28 см.      3) 36 см       4) 44 см.

17. Каким утверждением является следующее: «Если в треугольнике два угла равны, то он

       является равнобедренным»?

            1) Определением.     2) Свойством.     3) Признаком.        4) Аксиомой.

18. Каким утверждением является следующее: «Если в треугольнике две стороны равны,

      то он является равнобедренным»?

            1) Определением.      2) Свойством.      3) Признаком.       4) Аксиомой.

19. Периметр равностороннего треугольника KLM равен 54 см. Найдите отрезок KH, если

     LH – высота данного треугольника.

            1) 9 см.        2) 18 см.        3) 36 см.        4) 45 см.

20. Найдите биссектрису BL  равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, если

     периметры треугольников  ABC, ABL, BLC равны соответственно 16 см, 12 см, 12 см.

            1) 2 см.        2) 4 см.       3) 6 см.      4) 9 см.

Тест № 3 «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Прямоугольные треугольники»

1. В треугольнике ABC BC>AC. Какие углы △ можно сравнить по этим данным?

            1) A и B.        2) A и C.         3) B и C.       4) Нельзя сравнить.

2. В треугольнике DEF DF<DE. Какое неравенство при этом выполняется?

            1)< D < <F.        2) <F < <E.        3)< E >  <D.        4)< F > <E.

3. В треугольнике KLM KM>LM>KL. Какое неравенство при этом выполняется?

            1) <M < <L < <K.       2) <L < <M < <K.      3) <L > <K > <M.     4) <K > <M > <L.

4. Сравните стороны треугольника MON, если <O<<M=<N.

            1) OM=ON<MN.     2) MN>MO>NO.       3) MO=MN<NO.       4) MN<MO=NO.

5. В треугольнике XYZ сторона XY наибольшая. Каким может быть угол X?

               1) Тупым, или прямым, или острым.        2) Тупым или прямым.

                       3) Острым.                                                  4) Прямым или острым.

6. Какая сторона △ лежит против тупого угла?

            1) Наибольшая.    2) Наименьшая.   3) Средняя по величине.   4) Нельзя определить.

7. Какая сторона △ лежит против острого угла?

            1) Наибольшая.    2) Наименьшая.    3) Средняя по величине.   4) Нельзя определить.

8. В равнобедренном △ две стороны равны 7 см и 14 см. Найдите его периметр

            1) 21 см.        2) 28 см.         3) 35 см.         4) 42 см.

9. Периметр равнобедренного △ равен 63 см. Одна его сторона в три раза больше другой.

    Найдите боковую сторону △.

            1) 9 см.         2) 18 см.         3) 27 см.       4) 54 см.

10. Определите вид △, если известно, что у него один внешний угол прямой.         

1) Прямоугольный.    2) Тупоугольный.   3) Остроугольный.  4) Нельзя определить.

11. Определите вид треугольника, если известно, что у него один внешний угол острый. 

1) Прямоугольный.   2) Тупоугольный.   3) Остроугольный.  4) Нельзя определить.

12. Определите вид △, если один из его внутренних < больше суммы двух других <.        

1) Прямоугольный.  2) Тупоугольный.   3) Остроугольный.  4) Нельзя определить.

13. Определите вид △, если один из его внешних углов равен внутреннему углу.   

1) Прямоугольный.  2) Тупоугольный.   3) Остроугольный.  4) Нельзя определить.

14. В прямоугольном △ две стороны равны 20 см и 13 см. Какая из них является

      гипотенузой?

1) 13 см.   2) 20 см.   3) Нельзя определить.   4) может быть либо 13см  либо 20см

15. Сколько наклонных можно провести из данной точки к данной прямой?

            1) 1.        2) 2.        3) 4.         4) Бесконечно много.

16. Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки к данной

      прямой?

            1) 1.       2) 2.         3) 4.        4) Бесконечно много.

17. Из точки E к прямой a проведены ⊥ EH и наклонные EA, EB, EC. Причем  известно, что

      AH=HB и точка C лежит между точками H и B.  Сравните длины  наклонных.

            1) EA<EB<EC.     2) EA<EC<EB.    3) EA=EB<EC.    4) EC<EB=EA.

18. Из точки F проведены к прямой b, ⊥FO, две равные наклонные FM, FN и наклонная FL, причем луч FM является внутренним лучом <OFL. Сравните проекции данных наклонных.

            1) LM>MO=NO.     2) LM<OM=ON.    3) OL>OM=ON.   4) ON=OL<OM.

19. Сравните медиану треугольника с его периметром.

           1) Меньше полупериметра.   2) Меньше периметра.  3) Больше полупериметра.

                  4) Нельзя определить.

20. Укажите точку, сумма расстояний от которой до вершин выпуклого четырехугольника будет наименьшей.

              1) Вершина наименьшего угла четырехугольника.

                  2) Вершина наибольшего угла четырехугольника.

                       3) Точка пересечения диагоналей четырехугольника.    4) Нельзя найти.

Тест № 4 «Окружность и круг»

1. Сколько радиусов у окружности?

            1) 1.        2) 2.          3) 4.          4) Бесконечно много.

2. Что является пересечением двух диаметров одной окружности?

            1) Радиус.       2) Центр.   3) Диаметр, делящий угол между ними пополам.   4) Хорда.

3. Сколько окружностей можно провести через одну точку?

            1) Ни одной.        2) 1.        3) 2.         4) Бесконечно много.

4. Сколь окружностей можно   провести через две точки?

            1) Ни одной.       2) 1.       3) 2.         4) Бесконечно много.

5. Найдите наименьший радиус окружности, которую можно провести через точки A и B.

            1)1/4 AB.           2)½ AB.        3) AB.          4) Нет наименьшего.

6. Какому неравенству удовлетворяют точки C, принадлежащие  кругу с центром в точке O и

    радиусом R?

1) OC<R.         2) OCR.        3) OCR.      4) OC=R.

7. Какому неравенству удовлетворяют точки D, не принадлежащие кругу с центром в точке O и

    радиусом R?

            1) OD>R.        2) ODR.         3) OD=R.       4) OD<R.

8. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки вне окружности до точек окружности равны соответственно 21 см и 5 см. Найдите радиус окружности.

            1) 8 см.        2) 16 см.           3) 26 см.        4) 39 см.

9. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки, расположенной внутри окружности до точек

   окружности равны соответственно 18 см и 13 см. Найдите радиус окружности.

            1) 2,5 см.     2) 5 см.           3) 15,5 см.        4) 31 см.

10. Радиус окружности меньше диаметра на 11 см. Найдите диаметр данной окружности.

            1) 5,5 см.     2) 11 см.       3) 16,5 см.         4) 22 см.

11. Сколько касательных к данной окружности можно провести через точку, принадлежащую ей.

            1) 0.           2) 1.               3) 2.                  4). Бесконечно много.

12. Сколько касательных к данной окружности можно провести через точку вне окружности.

            1) 0.          2) 1.               3) 2.                  4). Бесконечно много.

13. Как расположены относительно друг друга прямая a и окружность   (O; 15 см), если OH=22,5

       см,  где OHa и Ha?

            1) Не имеют общих точек.     2) Пересекаются.     3) Касаются.      4) Параллельны.

14. Как расположены относительно друг друга прямая b и окружность   (O; 36 см), если расстояние

      от точки O до прямой  b равно 18 см?

            1) Не пересекаются.     2) Пересекаются.     3) Касаются.      4) Не имеют общих точек.

15. Как расположены относительно друг друга прямая и окружность, диаметр которой равен 48 см,

       если расстояние от ее центра до данной прямой равно 24 см?

            1) Не пересекаются.    2) Пересекаются.    3) Касаются.       4) Не имеют общих точек.

16. Запишите условие внутреннего касания двух окружностей (O₁;R₁) и (O₂;R₂), где R₂>R₁.

            1) O₁O₂<R₁ +R₂.       2) O₁O₂R₁ +R₂.       3) O₁O₂ = R₂-R₁.      4) R₂ -R₁<O₁O₂<R₁ +R₂.

17. Как расположены две окружности относительно друг друга, если их диаметры равны 64 см и

      32 см, а расстояние между центрами равно 48 см?

            1) Не имеют общих точек.        2) Пересекаются.       3) Касаются внешним образом.

              4) Касаются внутренним образом.

18. Как расположены две окружности  (O₁;R₁) и (O₂;R₂), относительно друг друга, если их 

      R₁=15 см, R₂=8 см, O₁O₂=9 см?

            1) Не имеют общих точек.     2) Пересекаются.     3) Касаются внешним образом.

               4) Касаются внутренним образом.

19. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:5. Найдите их, если ширина

      соответствующего кольца равна 30 см.

            1) 15 см и 25 см.     2) 30 см и 50 см.     3) 45 см и 75 см.      4) 90 см и 150 см.

20. Три окружности равного радиуса попарно касаются друг друга. Как расположены центры

      окружностей относительно друг друга?

            1) Принадлежат одной прямой.         2) Принадлежат окружности того же радиуса.

            3) Находятся в вершинах равностороннего треугольника.

            4) Один центр делит пополам отрезок, соединяющий центры двух других окружностей.

ОТВЕТЫ

Номер Задания	Номер теста
	1	2	3	4
1	3)	3)	1)	4)
2	2)	3)	4)	2)
3	4)	1)	3)	4)
4	1)	1)	4)	4)
5	2)	1)	3)	2)
6	2)	1)	1)	2)
7	3)	1)	4)	1)
8	2)	2)	3)	1)
9	2)	3)	3)	3)
10	2)	4)	1)	4)
11	4)	3)	2)	1)
12	2)	2)	2)	3)
13	4)	3)	1)	1)
14	2)	2)	3)	2)
15	3)	3)	4)	3)
16	3)	2)	2)	4)
17	3)	3)	4)	3)
18	2)	1)	3)	2)
19	2)	1)	1)	3)
20	2)	2)	3)	3)

ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

по теме «Признаки равенства треугольников

Задача № 1 по теме «Признаки равенства треугольников». 7 класс

Эта задача известна как задача Фалеса, ученого древней Греции, жившего в VI веке до нашей эры.

Определить расстояние от берега до корабля на море.

Решение:

Для определения расстояния от точки А на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строился ∆ АВС с доступной точкой С на берегу , после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону точки С и строился ∆ СDE, такой, что CD = AC, <ACB = <DCE

<CDE = <CAB. Тогда ∆ СDE = ∆САВ (по стороне и прилежащим к ней углам), значит AB=DE.

по теме «Неравенство треугольника

Деревни А и В находятся на одинаковом расстоянии от города М. На прямой, проходящей через М и В, расположены ещё две деревни С и D, как это изображено на . К какой из первых двух деревень А и В ближе расположена: а) деревня С; б) деревня D?

Решение:

 а) Соединив А с точками М и С , видим, что МА + АС > МС, но МА = МВ, следовательно АС > ВС. Поэтому, деревня С расположена ближе к В, чем к А.

в) Соединив А с точкой D, видим, что DМ + МА > DА, но МА = МВ, следовательно, DB > DA. Поэтому, деревня D расположена ближе к А, чем к В.

Основные геометрические фигуры

1. Найдите в окружающей нас обстановке модели: а) прямых линий; б) кривых линий; в) плоскостей.

2. Какое свойство света используется в стрельбе на этапе прицеливания?

3. На местности установлены два колышка. Как поставить колышки на прямой, определяемой заданными, причем поставить между и вне данных колышков?

4. На местности двумя колышками обозначены точки одной прямой и двумя колышками точки другой прямой. Как найти точку пересечения прямых?

5. Как проводят прямые линии строители: плотники, каменщики и др.?

6. От районного центра до центра села прокладывается телефонная линия. Сколько столбов для этого нужно заготовить, если их нужно поставить через каждые 50 м, а длина прямой линии равна 10 км?

7. На рисунке 1 изображен план дачного участка в масштабе 1:1000. Сколько досок штакетника шириной 10 см каждая нужно заготовить, чтобы установить забор по всему периметру участка? Калитка тоже закрывается досками.

8. На рисунке 2 изображена схема электропроводки комнаты от выключателя В до розетки Р. Сколько нужно взять двойного провода для такой проводки. Учесть, что на заделку концов провода уходит 2% и схема дана в масштабе 1:100.

9. Пила имеет длину 1 м, а расстояние между соседними зубцами равна 25 мм (рис. 3). Найдите число зубцов пилы.

10. Найдите в окружающей нас обстановке модели: а) углов; б) вертикальных углов; в) смежных углов.

11. Как проверить, является ли данный угол развернутым?

12. Из бумаги вырезали угол. Как без всяких инструментов найти его биссектрису?

13. Из бумаги вырезан угол. Найдите его половину и его четверть.

14. Как определить угол, образованный забором?

15. На (рис 4) были изображены прямая, кривая и ломаная линии. К сожалению, его испачкали. Можно ли восстановить эти линии?

16. На местности обозначены колышками три точки A, O и B. Как можно построить, т.е. обозначить колышками, биссектрису угла AOB?

Треугольники

17. Найдите в окружающей нас обстановке предметы, имеющие форму треугольника.

18. Сколько гвоздей и каким образом их нужно забить, чтобы прочно скрепить ими две доски?

19. Почему раскрытые оконные рамы закрепляют крючком?

20. Почему между ножками скамеек вставляют угольники?

21. От пластмассового равнобедренного треугольника отломились два угла при основании, от которого осталась одна точка (на рис. 5 это точка M). Как восстановить этот треугольник на бумаге?

22. Строителю нужно заделать треугольное отверстие. Сколько размеров и какие он должен узнать, чтобы сделать заплатку, имеющую форму: а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного треугольника; в) прямоугольного треугольника?

23. По рис.6  объясните, как определили расстояние AB на местности. Между точками A и B имеется препятствие.

24. Объясните по рис.7 , как определили расстояние EF на местности, если точка F недоступна.

25. Как на местности определить расстояние MN от точки M до недоступного предмета N без измерения углов?

26. На рис.8  изображен простой прибор. На дощечке (или картоне) нарисован прямой угол, на сторонах которого отложены равные отрезки. Получился равнобедренный треугольник с прямым углом. В его вершины вбиты гвоздики (или воткнуты булавки). Объясните, как с помощью этого прибора можно построить прямой угол на местности?

27. Как на местности измерить ширину небольшой реки или пруда, озера?

28. Как определить, стоя на берегу озера, длину его острова?

Соотношения между сторонами треугольника. Перпендикуляр и наклонная

29. В мастерской сделаны из проволоки стержни длиной 2 дм, 5 дм, 9 дм, 11 дм, 17 дм. Выясните, из каких стержней, соединяя их концы, можно сделать треугольные конструкции, а из каких нельзя.

30. На рисунке 9 изображен прибор, который можно использовать для деления угла пополам. A и B – шарнирные крепления, C – винт с крепительной головкой, BC – подвижная прорезь и AB=AC. Объясните, как с помощью этого прибора найти половину данного угла.

31. Существуют ли на местности три точки, расстояния между которыми равны 15,5 м, 316 дм и 1 км?

32. Четыре дачных домика находятся в вершинах некоторого выпуклого четырехугольника. В каком месте нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домиков была наименьшей?

33. Где на одной стороне улицы с семью домами следует построить продовольственный магазин, чтобы сумма расстояний от него до всех домов, расположенных на этой стороне, была наименьшей?

34. Предыдущая задача для восьми домов.

35. Два поселка расположены по одну сторону от прямолинейного участка шоссе. Где на нем нужно построить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний от нее до поселков была наименьшей?

36. Как на местности из точки C опустить перпендикуляр на прямую AB?

37. Прямолинейные участки проселочной дороги и шоссе пересекаются под острым углом, внутри которого находится дом. Как найти кратчайшую дорогу, которая идет от дома к проселочной дороге, а затем к шоссе?

38. Прямолинейные участки шоссе и магистрали пересекаются под острым углом, внутри которого расположились два населенных пункта, назовем их A и B. Как проложить кратчайший маршрут автобуса, соединяющего пункт A с шоссе, потом B и магистралью?

Окружность и круг

39. В окружающей нас обстановке назовите предметы, напоминающие формы окружности и круга.

40. Как используется свойство окружности в технике, в быту?

41. Звук распространяется в воздухе во все стороны со скоростью  1/3 км/ч. Как расположены относительно стреляющего человека все точки земной поверхности, в которых звук выстрела будет слышан через 2 секунды после него?

42. Как сделать на местности круглую клумбу?

43. Необходимо разбить клумбу, план которой дан на рисунке 10. Попробуйте изобразить его в тетради. Сколько изображено окружностей? Каково их взаимное расположение?

44. Предыдущая задача для клумбы, план которой изображен на рисунке 11.

45. На рисунке 12 показан несложный прибор для измерения диаметра окружности. Объясните, как он работает.

46. Изобразите окружность и найдите ее радиус с помощью прибора, описанного выше, в задаче 45.

47. Нужно провести окружность, которая проходила бы через две данные точки K и L (рис. 13) и чтобы ее центр принадлежал данной окружности. Всегда ли задача имеет решение?

48. На рисунке 14 изображен груз A,  блок и перекинутый через него натянутый шнур CD. Как расположен шнур по отношению к блоку?

49. Где в окружающем нас мире можно увидеть концентрические окружности?

50. На рисунке 15 показана деталь, которая называется фланец. Его внешний радиус равен 2,5 дм, внутренний – 1,5 дм. По середине кольца расположены четыре отверстия для болтов, диаметром каждое 2 см. Определите: а) ширину фланца; б) наименьшее расстояние от отверстий болта до краев фланца.

51. Внутри искусственного водоема правильной круглой формы имеется небольшой остров. Найдите кратчайший прямой путь лодки от одной точки берега до другой с заходом на остров. Рассмотрите два случая: а) остров находится в центре водоема; б) остров не в центре водоема.

52. На рисунке 16 изображен прибор – центроискатель. Его можно изготовить из фанеры или картона. Угол ABC - любой, BL – его биссектриса. Объясните, как с помощью этого прибора можно найти центр окружности или круга.

Задачи на построение

53. В каком месте нужно построить гараж, чтобы он находился на одинаковом расстоянии от двух домов? Где удобнее всего расположить его для жильцов двух домов?

54. Жильцы трех дачных домиков, не стоящих на одной прямой, решили поставить столб для освещения. Где его следует поставить?

55. Жильцы трех дачных домиков, не стоящих на одной прямой, решили поставить столб для освещения прямых тропинок между домами. Где его следует поставить?

56. На рисунке 17 представлен план участка, на котором расположены три домика, обозначенные Д₁, Д₂ и Д₃. Жильцы решили обнести их общим круглым забором. Для разметки им нужно поставить центр соответствующей окружности. Как его найти?

57. Жильцы трех сельских домов решили вырыть общий колодец. Где это нужно сделать, чтобы расстояния от каждого дома до колодца были равны?

58. На рисунке 18 изображена часть стропильных перекрытий. Как найти две точки D и E, в которых должны крепиться раскосы HD и HE, чтобы AD=HD и HE=BE?

59. Недалеко от двух дачных поселков проходит шоссе. Где на нем нужно поставить остановку автобуса, чтобы расстояния от нее до поселков были равны?

60. На двух деревьях сидит по вороне. Где между этими деревьями нужно положить кусок сыра, чтобы вороны могли долететь до него в одно и то же время при одинаковой скорости?

ОТВЕТЫ

2. Свет распространяется по прямой.

3. Назовем точки, в которых поставлены колышки A и B. Возьмем третий колышек и установим его в точку C на продолжении отрезка AB таким образом, чтобы он загораживал колышки A и B. Аналогично поставим колышек в точку D которая лежит между A и B, только теперь должны загораживаться  колышки A и C.

4. Назовем точки одной прямой A, B, другой прямой - C, D. Если колышки поставлены таким образом, что точка пересечения прямых принадлежит продолжению отрезков AB и CD (рис. 19), то в точке пересечения прямых загораживаются колышки A, B и C, D. В противном случае нужно поставить колышки на прямых (используя решение предыдущей задачи 3), чтобы точка пересечения прямых принадлежала пересечению продолжения соответствующих отрезков, и поступить как в первом случае.

6. 201.

7. 3000 досок.

8. 11,22 м.

9. 40 зубцов.

12. Перегнуть бумажный угол таким образом, чтобы совместились его стороны.

13. Перегибаем бумажный угол как в задаче 12, затем полученную половину перегибаем таким же образом еще раз.

15. Можно восстановить прямую линию.

16. На лучах OA и OB откладываем равные отрезки OC=OD, OE=OF (рис. 20). Точка M=CFDE (построение точки пересечения двух прямых см. выше, в решении задачи 4), OM – искомая биссектриса.

18. Тремя гвоздями, которые забиваются в вершины треугольника, здесь используется свойство жесткости треугольника

19. Тем самым образуется жесткая фигура – треугольник.

20. Для устойчивости, используется свойство жесткости треугольника.

21. Обвести на бумаге контур оставшегося треугольника, провести биссектрису OL данного угла O (рис. 21), провести MH^OL (HÎOL); точки A и B – точки пересечения MH со сторонами данного угла O, DAOB – искомый.

22. а) Один, сторону треугольника; б) два, например, основание и боковую сторону треугольника; в) два, например, два катета.

25. От точки M (рис. 22) откладываем произвольным образом MO=OP. На продолжении отрезка NM берем произвольную точку K. Откладываем OL=OK, R=NOÇLP . Искомое расстояние равно PR.

26. На местности ставим любые две точки (отмечаем, например, колышками), назовем их A и B. Затем встаем в определенную точку C (вершину прямого угла) и держим прибор близко от лица таким образом, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, точки  A и B покрылись ими (рис. 23). Теперь, не двигая прибор, смотрим вдоль других двух булавок и замечаем точку D, совмещаемую с булавками. Точка D принадлежит прямой, перпендикулярной прямой AB.

27. Предположим, что мы находимся на правом берегу реки (П на рис. 24). Найдем на левом берегу (Л на рис. 24) какой-нибудь объект, например, дерево, обозначим его A. Пусть B – противоположная точка на правом берегу. Отложим на правом берегу отрезок BC, перпендикулярный AB, и отметим его середину O. Затем (с помощью прибора из задачи 26) через точку C проведем прямую, перпендикулярную AB, и найдем точку D ee пересечения с прямой AO. Длина отрезка CD будет искомым расстоянием.

28. Назовем длину острова XY (рис. 25). На берегу возьмем две произвольные точки A и B (вобьем, например, в них колышки) и найдем на  AB такие точки H и P, чтобы углы AHX и BPY были прямые (с помощью прибора из задачи 26). В середину O отрезка HP втыкаем веху и находим точки пересечения: C=XHÇYO и D=YPÇXO. CD – искомая длина острова.

29. Можно: 5 дм, 9 дм, 11 дм; 5 дм, 9 дм, 17 дм. Нельзя из всех остальных сочетаний по 3 стержня.

30. Прикладываем планки AB и AD к сторонам угла, A – его вершина, тогда половина угла равна углу ABC.

31. Нет.

32. В точке пересечения диагоналей четырехугольника.

33. Назовем домики Д₁, Д₂, …, Д₇. Магазин следует построить около среднего дома Д₄.

34. Назовем домики Д₁, Д₂, …, Д₈. Магазин следует построить между средними домами Д₄ и Д₅.

35. Решение показано на рисунке 26, где A и B - поселки, h – шоссе, C – место остановки.

36. Решение показано на рисунке 27, нужно из C провести две прямые, пересекающие AB таким образом, чтобы CD = CE, где D и E – соответствующие точки пересечения, O – середина отрезка DE.

37. Решение показано на рисунке 28, где D – дом,  OP – проселочная дорога, OH – шоссе, DK=KD₁, D₁B=BD₂, DAB – искомый маршрут.

38. Решение показано на рисунке 29, где OM – магистраль, OH – шоссе, ACBD – искомый маршрут.

41. Точки, принадлежащие кругу с центром в точке, где стоит стреляющий человек и радиусом, равным приблизительно 18,5 см.

42. Например, можно поступить так: воткните в точку, где вы приблизительно хотите, чтобы был центр клумбы, колышек и  привяжите  к нему веревку. Другой конец веревки при вращении вокруг колышка будет описывать окружность, радиус которой определяет длины веревки.

45. Помещают линейку в какую-нибудь точку A окружности (рис. 12), тогда AB – ее хорда, и вращают линейку до тех пор, пока не получат наибольшую хорду AC, которая является диаметром данной окружности.

47. Нужно провести прямую a через середину отрезка KL, перпендикулярную ему. Точка пересечения a и данной окружности будет центром искомой окружности. Если a не имеет общих точек с данной окружностью, решения нет; если a касается – одно решение; пересекается – два решения.

49. Например, мишень для игры в дарц, круги от камня, брошенного в спокойную воду и т.п.

50. а) 1 дм; б) 4 дм.

51. Обратимся к рисунку 30: O – центр окружности. а) Если остров находится в точке O, то все маршруты имеют одинаковую длину, равную диаметру AB. б) Пусть остров расположен в точке C. Тогда искомая хорда DE проходит через C и перпендикулярна радиусу окружности, проходящему через C.

53. В любой точке серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему данные дома, удобнее построить в середине этого отрезка.

54. В точке пересечения серединных перпендикуляров к любым двум отрезкам, соединяющим эти дома.

55. В точке пересечения любых двух биссектрис треугольника, вершинами которого являются эти дома.

56. В точке пересечения серединных перпендикуляров к любым двум отрезкам, соединяющим эти дома.

57.  Если домики стоят на одной прямой, решения нет. Если домики не стоят на одной прямой, то в точке пересечения серединных перпендикуляров к любым двум отрезкам, соединяющим эти дома.

58. Решение показано на рисунке 31, где ÐAHD=ÐCAH и ÐBHE=ÐCBH, тогда треугольники ADH и BEH – равнобедренные и AD=HD=HE=BE.

59. В точке пересечения шоссе (считаем его прямой) и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему дачные поселки. Задача не имеет решения, если прямые параллельны.

60. Нужно провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки, в которых сидят вороны. Точка пересечения этого перпендикуляра с поверхностью земли будет искомой точкой (рис. 32).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ ПО ТЕМЕ

«НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ»

1. Основные геометрические фигуры.

2.      Сколько         прямых  можно провести через две точки?

3.      Сколько общих точек могут иметь две прямые?

4.      Как     называются прямые, имеющие общие точки?

5.      Что такое отрезок? Как обозначается отрезок?

6.      Что такое луч? Как он обозначается ?

7.      Определение угла. Обозначение угла.

8.      Развёрнутый угол.

9.      Какие фигуры называются равными?

10.  Что такое середина отрезка?

11.  Что такое биссектриса угла?

12. Объяснить, как измерить отрезок.
13. Как     связана длина отрезка с длинами частей, на которые он делится точкой?
14. Объяснить, как измерить угол.
15. Чему равна градусная мера развёрнутого угла ?
16. Как связана градусная мера угла с градусными мерами углов, на которые он делится лучом?
17. Виды углов.
18. Какие углы называются смежными?
19. Свойство смежных углов.
20. Какие углы называются вертикальными?
21. Свойство вертикальных углов.
22. Какие прямые  называются перпендикулярными?
23. Свойство двух прямых, перпендикулярных к третьей.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗА ЧЕТУ ПО ТЕМЕ

«ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

1.      Треугольник: определение, элементы, периметр.

2.      Равные           треугольники.

3.      Первый признак равенства треугольников

4.      Определение перпендикуляра к прямой.

5.      Теорема о перпендикуляре.

6.      Определение медианы.

7. Определение высоты.
8. Определение биссектрисы.

9.      Определение равнобедренного треугольника.

10.  Определение равностороннего треугольника.

11. Свойство углов равнобедренного треугольника.
12. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

13.  Второй           признак равенства треугольников.

14.  Третий признак равенства треугольников.

15.  Определение окружности.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ТЕМЕ

«ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ»

1.      Два случая взаимного расположения двух прямых.

2.      Определение параллельных прямых.

3.      Определение параллельных отрезков.

4.      Определение секущей.

5.      Как называются углы, получившиеся при пересечении двух прямых секущей?

6.      Признак параллельности прямых (накрест лежащие углы)

7.      Признак параллельности прямых (соответственные углы)

8.      Признак параллельности прямых (односторонние углы)

9.      Как построить параллельные прямые?

10.  Аксиома параллельных прямых.

11.  Следствие о прямой, пересекающей одну из параллельных прямых.

12.  Следствие о двух прямых, параллельных третьей.

13.  Свойство накрест лежащих углов, обр. при пересечении параллельных прямых секущей.

14.  Свойство соответственных углов, обр. при пересечении параллельных прямых секущей.

15.  Свойство односторонних углов, обр. при пересечении параллельных прямых секущей.

16.  Следствие о прямой, перпендикулярной одной из параллельных прямых.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ТЕМЕ

«СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА»

1. Сумма углов треугольника.
2. Какой угол называется внешним углом треугольника?
3. Свойство внешнего угла треугольника.
4. Виды треугольников.
5. Сколько тупых, прямых, острых углов может быть в треугольнике?
6. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
7. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.
8. Следствие 1 (свойство гипотенузы)
9. Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника)
10. Теорема о свойстве сторон треугольника.
11. Неравенство треугольника.
12. Сумма острых углов прямоугольного треугольника.
13. Свойство катета, лежащего против угла в 30°.
14. Свойство угла, лежащего против катета, равного половине гипотенузы.
15. Признаки равенства прямоугольных треугольников(4).
16. Какой отрезок называется наклонной к прямой?
17. Свойство перпендикуляра к прямой.
18. Что называется расстоянием от точки до прямой?
19. Теорема о равноудаленности точек параллельных прямых.
20. Что называется расстоянием между параллельными прямыми?

7 класс

«Смежные и вертикальные углы»

• Начертите пару смежных углов. Опишите вза­имное расположение их сторон.

• Начертите пару вертикальных углов. Опиши­те взаимное расположение их сторон.

• Среди углов, обозначенных на рис. 17, 18, найдите: а) все пары вертикальных углов; б) все пары смежных углов.

• Начертите, используя транспортир, угол, гра­дусная мера которого равна: 35°, 90°, 130°, 165°.

• Начертите луч ОА. С помощью транспортира отложите от этого луча углы: AOB = 23°, АОC =71°, AOD = 134°.

• Какой из углов на рис. 14 острый, разверну­тый, прямой, тупой?

• Начертите тупой угол. С помощью линейки постройте угол, вертикальный с ним.

• Начертите острый угол. С помощью линейки постройте угол, смежный с ним.

• Сформулируйте и докажите свойство смеж­ных углов. (При необходимости повторите мате­риал по учебнику.)

• Сформулируйте и докажите свойство верти­кальных углов. (При необходимости повторите ма­териал по учебнику.)

• Найдите градусную меру угла I, изображен­ного на рис. 19, 20.

           

7 класс

« Параллельные прямые»

• Дано: прямые а и Ь пересекаются; прямые о и с параллельны (рис. 21). Имеют ли общую точ­ку прямые: а) а и b; б) а и с; в) b и с?

• Начертите прямую т. Отметьте точки А и В, которые не лежат на этой прямой и расположены по разные стороны от нее. Проведите через каж­дую из этих точек прямую, перпендикулярную прямой т.

• Начертите прямую /. Отметьте на этой пря­мой точку К. Проведите через точку К прямую, перпендикулярную прямой /.

• Начертите прямую а, отметьте точку С, кото­рая не лежит на этой прямой. Измерьте расстоя­ние от точки С до прямой а.

• Начертите треугольник АВС. Измерьте рассто­яние от вершины В до прямой АС.

• Используя данные, приведенные на рис. 24, определите взаимное расположение прямых а и b. Ответ поясните.

• Используя данные, приведенные на рис. 25, определите, имеют ли общую точку прямые а и АС. Ответ поясните.

             

7 класс 

«Равнобедренный треугольник»

• Перечислите все тре­угольники, изображенные на рис. 28. Назовите две тройки треугольников, имеющих общую вершину.  Найдите два треуголь­ника с общей стороной АС. Есть ли на рисунке тре­угольники с общим углом?

• Дано: четырехугольник ABCD — прямоуголь­ник (рис. 29); четырехугольник MNPK — прямоу­гольная трапеция (рис. 30). Найдите на каждом рисунке по два: а) прямоугольных; б) остроуголь­ных; в) тупоугольных треугольника.

• Начертите на клетчатой бумаге: равносторон­ний, равнобедренный и разносторонний треуголь­ники.

• Вычислите длины сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 84 см.

• Найдите на рис. 31 равносторонний, равно­бедренный и разносторонний треугольники.

ш

• Начертите равнобедренный треугольник МКР (МК = КР).

а) Проведите его медиану КА и биссектрису РВ. Найдите на чертеже все пары равных углов.

б) Проведите высоту ВС треугольника РМВ. Найдите два треугольника, имеющих две парал­лельные стороны.

• Стороны треугольника ЛВС равны 10см, 12см и 14 см. Отрезки АК, ВМ и СР — его медианы. Вычислите периметр треугольника КМР.

• Углы  М и Р треугольника МКР равны 58° и 64°. Его биссектрисы пересекаются в точке О. Вы­числите градусные меры углов треугольника МОР.

7 класс

« Признаки равенства»

Дано: АВС= РКМ(рис. 32). Найдите: дли­ны сторон МК и КР, градусную меру угла CAB

• Дано: ΔOPK = ΔOQM (рис. 33). Найдите: дли­ны отрезков OQ и  МР, градусную меру угла OQM.

• Используя равенство отрезков, отмеченных на рис. 34, докажите равенство треугольников ABD и CBD. Найдите пары равных углов этих треуголь­ников.

• Используя равенство отрезков, отмеченных на рис. 35, докажите равенство треугольников АОС и BOD. Найдите пары равных углов этих треугольников.

• Используя равенство углов, отмеченных на рис. 36, докажите равенство треугольников ADC и АВС. Найдите две пары равных сторон этих тре­угольников.

• Начертите прямоугольный треугольник, кате­ты которого равны 3 см и 4 см.

• Начертите треугольник, две стороны которого равны 4,5 см и 2,5 см, а угол между ними равен 45⁰

• Начертите треугольник, сторона которого рав­на 5 см, а углы, прилегающие к ней, равны 45° и 30°

Итоговая диагностическая работа по геометрии 7 класс

Вариант 1

1. Укажите номера верных утверждений.

1) В равнобедренном треугольнике любая его биссектриса является и медианой;

2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180º, то такие прямые параллельны;

3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы;

4) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ__________________

2. (Рис. 1)Чему равна медиана треугольника АВС , проведенная к стороне АВ,

если резмер клетки 1×1 см?

Ответ__________________

3. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30º. Длина высоты, опущенной на боковую сторону, составляет 8 см. Чему равна боковая сторона этого треугольника?

Рисунок                                                 Решение:

Ответ__________________

4. (Рис.2) Угол 1 на 26º меньше угла 2. Чему равен угол 1, если m|| n ?

Решение:

Ответ__________________

5. Величины углов треугольника относятся как 2:3:5. Чему равен наименьший внешний угол этого треугольника?

Решение:

Ответ__________________

6.В треугольнике АВС построена высота ВD. Чему равны все углы треугольника АВС, если угол А в 1,5 раза больше угла В, а угол DВС равен 50º ?

Рисунок Решение:

Ответ__________________

7. (Рис.3) Прямые k и l пересекают параллельные прямые m|| n, как показано на рисунке. Отрезки АВ и СD равны. Докажите, что отрезки АС и ВD параллельны.

Доказательство:

  

Итоговая диагностическая работа по геометрии 7 класс

Вариант 2

1. Укажите номера верных утверждений.

1) В равнобедренном треугольнике любая его биссектриса является и высотой;

2) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы;

3) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма соответственных углов равна 180º, то такие прямые параллельны;

Ответ__________________

2. (Рис. 4) Чему равна медиана треугольника АВС, проведенная к стороне АВ, если резмер клетки 2×2 см?

Ответ__________________

3. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 60º. Длина боковой стороны составляет 15 см. Чему равно основание этого треугольника?

Рисунок Решение:

Ответ__________________

4. (Рис. 5) Угол 1 на 34º меньше угла 2. Чему равен угол 1, если m|| n ?

Решение:

Ответ__________________

5. Величины углов треугольника относятся как 1:4:5. Чему равен наибольший внешний угол этого треугольника?

Решение:

Ответ__________________

6.В треугольнике АВС построена высота ВD. Чему равны все углы треугольника АВС, если угол А в 1,8 раза больше угла В, а угол DВС равен 36º ?

Рисунок Решение:

Ответ__________________

7. (Рис. 6) Прямые k и l пересекают параллельные прямые m|| n, как показано на рисунке. Отрезки АВ и СD равны. Докажите, что отрезки АС и ВD параллельны.

Доказательство:

Итоговая диагностическая работа в 7 классе

по теме: Признаки параллельности двух прямых»

1. Две прямые параллельны, если___________________________________

2. Аксиома параллельных прямых формулируется так:__________________

_________________________________________________________________

3. Свойство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей________________________________________________________

4. Свойство соответственных углов при пересечении параллельных прямых секущей________________________________________________________

5. Свойство внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей_________________________________________________

6. Назовите фамилию основоположника аксиоматического построения геометрии___________________________________

7. Как называются углы 1 и 2 на рисунке?___________________________

                         1

                       3

                         2

8. Как называются углы 3 и 2 на рисунке?__________________________

9 . Как называются углы 5 и 6 на рисунке?______________________________

                 

                   5

                       6

 

10. Начертите  треугольник. Проведите через его вершины прямые, параллельные противолежащим сторонам.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

к УМК Атанасян и др.

Контрольная работа № 1 7класс

По теме Основные свойства простейших геометрических фигур.

1 Вариант

1. На луче с началом в точке А отмечены точки В и С. Найдите отрезок ВС, если  АВ= 9,2см, АС=2,4см. Какая из точек лежит между двумя другими.

2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых , в четыре раза меньше другого. Найдите эти углы.

3. Луч с – биссектриса <(аb). Луч d – биссектриса <(ас). Найдите < (bd), если <(ad)=20⁰.

4*. Рис. 1. <ВОС=148⁰, ОМ перпендикулярно ОС, ОК- биссектриса <СОВ. Найти <КОМ.

Контрольная работа № 1 7класс

По теме Основные свойства простейших геометрических фигур.

2 Вариант

1. На луче с началом в точке А отмечены точки В и  С . Найдите отрезок ВС, если АВ=3,8см, АС=5,6см. Какая из точек лежит между двумя другими.

2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых , на 70⁰ больше другого. Найдите эти углы.

3. Лус с – биссектриса <(аb). Луч d- биссектриса <ac. Найдите <(bd), если <(ab)=80⁰.

4*. Рис.1. <АОК=154⁰, ОС перпендикулярно ОК, ОМ – биссектриса <КОА. Найти <СОМ.

Контрольная работа №2

По теме Треугольники

1 вариант

1. Дано: рис. , АО=ВО, СО=ДО, СО=5см , ВО=3см, ВД=4см. Найти: периметр △ САО.

2. В равнобедренном △ АВС  точки К и М являются серединами  боковых  сторон  АВ и

   ВС соответственно . ВД- медиана треугольника.  Докажите : что △ ВКД = △ ВМД .

3.Даны неразвернутый угол и отрезок .На сторонах данного угла  постройте точки ,

   удаленные от вершины угла на расстоянии , равное половине  данного отрезка .

4. Прямые МК разбивает плоскость на две полуплоскости . Из точек М и К  в разные

    полуплоскости  проведены равные отрезки МА и КВ , причем    АМК =    ВКМ. Какие

    из высказываний  верные .

     а)   АМВ=   АКВ           б)    АКМ =   ВМК      в)   МКА =   КМВ     г)   АМВ =   КМВ   

Контрольная работа №2

По теме Треугольники

2 вариант

1. Дано : рис. , АВ=СД, ВС=АД, АС=7см, АД=6см, АВ=4см. Найти : периметр  △ АВС .

2. В равнобедренном треугольнике АВС  точки К и М  являются серединами боковых

    сторон  АВ и ВС соответственно . ВД медиана △ . Докажите : что △ АКД = △ СМД.

3. Дан неразвернутый  угол и отрезок . На биссектрисе данного угла постройте точку ,

    удаленную от  вершины угла  на расстоянии , равное данному отрезку .

4. Прямая АВ разбивает  плоскость на две полуплоскости . Из точек  А и В  в разные

    полуплоскости  проведены  равные отрезки АД и ВС , причем   ВАД =    АВС.

    Какие  из высказываний  верные .

   а)   САД=  ВДА        б)   ДВА=   САВ         в)   ВАД =    ВАС        г)   АДВ =     ВСА   

Контрольная работа №3 по геометрии 7кл

По теме Параллельные прямые .

1 вариант

1. Рис. 1 . Дано: а//в , с- секущая,  <1 + < 2 = 102⁰.  Найти : все образовавшиеся углы.

2. Рис. 2.  Дано:  <1 = < 2 ,    < 3 = 120⁰  .  Найти:  < 4

3. Отрезок АД – биссектрисы треугольника АВС . Через точку Д проведена прямая , параллельная  стороне АВ и пересекающая  сторону АС в точке F . Найти углы △ АДF , если  угол   ВАС = 72⁰ .

4^* Прямая ЕК является секущей  для прямых СД  и MN ( Е   СД  , К   MN ).  <ДЕК= 65⁰.  При каком значении угла  NKЕ  прямые  СД и   MN  могут быть параллельными.

  Контрольная работа №3 по геометрии 7кл

По теме Параллельные прямые .

2 вариант

1. Рис. 1. Дано: а // в , с- секущая ,   <1  -< 2 =102⁰ . Найти : все образовавшиеся углы

2.Рис.2.   <1 = < 2 ,  < 3 =140⁰   Найти :  < 4  .

3. Отрезок АК – биссектрисы треугольника САЕ . Через точку проведена прямая , параллельная стороне СА  и пересекающая  сторону АЕ  в точке N. Найдите углы △  АКN, если  < САЕ = 78⁰ .

4^*. Прямая MN  является  секущей для прямых АВ и СД  ( М   АВ , N   СД ). <АМN= 75⁰ . При каком значении угла СNМ  прямые  АВ  и  СД  могут быть параллельными.

Контрольная работа №4 по геометрии 7кл

По теме Сумма углов треугольника

1 вариант

1. В  треугольнике  АВС   АВ> ВС>АС. Найдите   < А  ,< В, < С , если известно , что один из углов  треугольника равен 120⁰ , а другой 40⁰.

2. В треугольнике АВС  , <А=50⁰ , а   <В  в 12 раз меньше < С  .Найдите углы В и С.

3. В треугольнике АВС  угол С равен 90⁰ , а угол В равен 35⁰ , СД – высота . Найдите углы треугольника  АСД .

4*Периметр равнобедренного треугольника 45см, а одна из его сторон больше другой на 12см. Найдите стороны треугольника.

Контрольная работа №4 по геометрии 7кл

По теме Сумма углов треугольника

2 вариант.

1. В треугольнике АВС:  АВ< ВС<АС . Найдите  <А, < В, < С , если известно , что один из углов треугольника  прямой , а другой равен 30⁰.

2. В треугольнике АВС , < А =90⁰ , а    < С на 40⁰ больше угла В . Найдите углы В и С .

3. В треугольнике АВС ,< С =90⁰ , а    < А=70⁰, СД- биссектриса . Найдите углы треугольника ВСД.

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 50см, а одна из его сторон на 13см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Контрольная работа №5 (7кл)

Вариант 1.

1. Дано рис. 1. < ВАД =<ВСД=90⁰, <АДВ=15⁰, <ВДС=75⁰. Доказать, что АД//ВС.

2. В треугольнике АВС, <С=60⁰, < В=90⁰. Высота ВВ₁= 2см. Найдите АВ-?

3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника.

4. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150⁰.

Контрольная работа №5 (7кл)

Вариант 2.

1.Дано рис.2. , < АОД=90⁰,  <ОАД=70⁰,  <ОСВ=20⁰. Доказать, что АД//ВС.

2. В треугольнике АВС ,  <С=90⁰,  СС₁- высота, СС₁=5см. ВС=10см. Найдите <САВ.

3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к нему из вершины треугольника.

4. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 120⁰.

Итоговая Контрольная работа

1 вариант

1. Рис. 1. Дано ВО=ДО, <АВС=45⁰, <ВСД =55⁰, <АОС=100⁰.  Найти:<Д .    Доказать: треугольник АВО равен треугольнику СДО

2. В равнобедренном треугольнике АВС  с основанием АС угол равен 42⁰. Найдите два других угла треугольника АВС.

3. Точки В и Д  лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС . Треугольники  АВС и АДС –равносторонние . Докажите , что АВ // СД.

4. Рис 2.  Дано: < EPM=90⁰, <MEP=30⁰, ME=10см

а) между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР

б) найдите длину медианы PD

Итоговая Контрольная работа

2 вариант

1. Рис.1. Дано АВ = СД,  <АВС=65⁰ , < АДС=45⁰, < АОС= 110⁰. Найти : <C.   Доказать: Треугольник АВО равен треугольнику ДСО

2. В равнобедренном треугольнике АВС  с основанием АС сумма углов  А  и  С равна 156⁰ . Найдите углы треугольника АВС.

3. Точки В и Д лежат в разных полуплоскостях  относительно прямой АС.  Треугольники АВС и АДС – равнобедренные прямоугольные (<В=<Д=90⁰). Докажите , что АВ// СД.

4. Рис 2. Дано <ДВС=90⁰, < ВДС= 60⁰, ВД=4см.

а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС

б) Найдите длину медианы PD

Дидактические материалы по геометрии для 7 класса

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ

1. Основные геометрические фигуры

Вариант 1

1. Основными геометрическими фигурами являются …

2. Точка обозначается …

3. Прямые обозначаются …

4. Если две прямые не имеют общих точек, то …

5. Аксиомой называется …

6. Прямые проводят на бумаге с помощью …

Вариант 2

1. Планиметрией называется раздел …

2. Прямая идеализирует …

3. Точки обозначаются …

4. Если две прямые имеют одну общую точку, то …

5. Теоремой называется …

6. Через любые две точки проходит … 

2. Отрезок и луч

Вариант 1

1. Каждая точка на прямой разбивает …

2. Лучом называется …

3. Вершина луча называется также …

4. Отрезок AB обозначается …

5. Отрезок MN больше отрезка KL, это обозначается …

6. Отрезок CD называется суммой отрезков CE и ED, если …

Вариант 2

1. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на …

2. Отрезком называется …

3. Луч называется также …

4. Луч AB обозначается …

5. Отрезок EF меньше отрезка DH, это обозначается …

6. Отрезок AC называется разностью отрезков AB и CB, если …

3. Измерение длины отрезка

Вариант 1

1. Отрезком называется …

2. Серединой отрезка называется …

3. Измерение длины отрезка основано на сравнении …

4. Если единичный отрезок целиком укладывается в отрезке FC  n-раз без остатка, то …

5. Длина суммы отрезков равна …

Вариант 2

1. Лучом называется …

2. Длина отрезка – это …

3. Для измерения длины данного отрезка AB нужно …

4. Если единичный отрезок укладывается в данном отрезке MK  n раз с остатком, то …

5. Длины равных отрезков …

4. Полуплоскость и угол

Вариант 1

1. Внутренней точкой угла называется …

2. Угол называется развернутым …

4. Два угла называются смежными …

5. Вертикальные углы – это …

6. Угол называется тупым …

Вариант 2

1. Внутренним лучом угла называется …

2. Угол называется неразвернутым, если …

3. Углы называются вертикальными …

4. Если два угла равны третьему, то …

5. Угол называется острым …

6. Биссектрисой угла называется …

5. Измерение величин углов

Вариант 1

1. Углом между пересекающимися прямыми называется …

2. Прямая разбивает плоскость на …

3. За единицу измерения угла принимается …

4. Прямой угол равен …

5. Угол C - острый, значит, его градусная величина …

6*. Астролябия состоит …

Вариант 2

1. Две прямые называются перпендикулярными …

2. Точка разбивает прямую на …

3. Угол в 10 – это …

4. Градусные величины равных углов …

5. Угол N – тупой, значит, его градусная величина …

6*. Квадрант состоит …

6. Ломаные и многоугольники

Вариант 1

1. Периметром многоугольника называется …

2. Вершиной многоугольника называется …

3. Пятиугольником называется …

4. Диагональю многоугольника называется …

5. Многоугольник называется правильным …

Вариант 2

1. Многоугольником называется …

2. Углом многоугольника называется …

3. Шестиугольником называется …

4. Стороной многоугольника называется …

5. Многоугольник называется выпуклым …

7. Треугольники

Вариант 1

1. Треугольником называется …

2. Треугольник обозначается …

3. Биссектрисой угла называется …

4. Высотой треугольника называется …

5. Каковы бы ни были треугольник и луч на плоскости, существует треугольник …

Вариант 2

1. Периметром треугольника называется …

2. Медианой треугольника называется …

3. Биссектрисой треугольника называется …

4. Перпендикулярность прямых a и b обозначается …

5. В заданной полуплоскости относительно заданного луча можно …

8. Первый признак равенства треугольников

Вариант 1

1.  ABC= CDE, значит, у них …

2. Если две стороны и угол между ними одного треугольника, …

3.  ABC= A₁В₁С₁ по первому признаку равенства треугольников, у них оказалось, что

    AB = A₁B₁, AC=A₁C₁ и …

4. Многоугольником называется …

5. 10-угольник имеет углов …

6. Треугольник имеет медиан …

Вариант 2

1. KLM= NOP, значит, у них …

2. Первый признак равенства треугольников заключается в том, что …

3.  XYZ= X₁Y₁Z₁ по первому признаку равенства треугольников, у них оказалось, что

    XY =X₁Y₁,  <X= <X₁ и …

4. Ломаной называется …

5. 12-угольник имеет сторон …

6. Треугольник имеет высот …

9. Второй признак равенства треугольников

Вариант 1

1. Четырехугольником называется …

2. Треугольник называется правильным …

3. Треугольник имеет биссектрис …

4. Первый признак равенства треугольников заключается в том, что…

5.  KLM= EPD по второму признаку равенства треугольников, у них оказалось, что  K= E,

     M= D  и …

6. Угол D – тупой, значит, …

Вариант 2

1. Треугольником называется …

2. Четырехугольник называется правильным, если …

3. Треугольник имеет диагоналей …

4. Второй признак равенства треугольников заключается в том, что …

5.  ABC= DEМ по второму признаку равенства треугольников, у них оказалось, что

      BC=EМ,  <C= <М и …

6. Угол C – прямой, значит, …

10. Равнобедренные треугольники

Вариант 1

1. Треугольник называется разносторонним …

2. Основанием равнобедренного треугольника называется …

3. Треугольник называется правильным …

4. Треугольник АВС - равнобедренный, СА - его основание, тогда равны углы …

5. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, …

6. Если в треугольнике два угла равны, то …

Вариант 2

1. Треугольник называется равнобедренным …

2. Боковыми сторонами равнобедренного треугольника называются …

3. Треугольник называется равносторонним …

4. Треугольник CКT - равнобедренный, CК и КT - его боковые стороны,  тогда равны углы..

5. В равнобедренном треугольнике углы при основании …

6. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, …

11. Третий признак равенства треугольников

Вариант 1

1. Второй признак равенства треугольников заключается в том, что …

2. Треугольник называется равнобедренным …

3. Признак равнобедренного треугольника заключается в том, что …

4. В треугольнике диагоналей …

5. Луч отличается от прямой тем, что …

6. Для доказательства равенства двух равнобедренных треугольников по третьему признаку

    равенства треугольников, нужно проверить …

Вариант 2

1. Первый признак равенства треугольников заключается в том, что …

2. Третий признак равенства треугольников заключается в том, что …

3. Треугольник называется правильным …

4. В четырехугольнике диагоналей …

5. Луч отличается от отрезка тем, что …

6. Для доказательства равенства двух равносторонних треугольников по третьему признаку

    равенства треугольников, нужно проверить …

12. Соотношение между сторонами и углами треугольника

Вариант 1

1. Два угла называются вертикальными …

2. Внешним углом треугольника называется …

3. Треугольник имеет внутренних углов …

4. Внешний угол произвольного треугольника …

5. В произвольном треугольнике против большего угла …

Вариант 2

1. Два угла называются смежными …

2. Внутренним углом треугольника называется …

3. Треугольник имеет внешних углов…

4. В произвольном треугольнике против большей стороны …

5. В произвольном треугольнике против меньшего угла …

5. Если в треугольнике три угла равны, то треугольник …

13. Соотношение между сторонами треугольника

Вариант 1

1. Каждая сторона треугольника …

2. Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, …

3. В произвольном треугольнике против большей стороны …

4. В произвольном  треугольнике против меньшего угла …

5. Утверждение «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» является …

Вариант 2

1. Неравенство треугольника заключается в том, что …

2. В многоугольнике любая сторона …

3. В произвольном треугольнике против большего угла …

4. В произвольном треугольнике против меньшей стороны …

5. Утверждение «Если в треугольнике равны два угла, то он равнобедренный» является …

14. Прямоугольные треугольники

Вариант 1

1. Треугольник называется прямоугольным …

2. Гипотенузой прямоугольного треугольника называется …

3. Наибольшей стороной тупоугольного треугольника является …

4. В треугольнике может быть только один прямой угол, так как …

5. Второй признак равенства треугольников применительно к прямоугольным

    треугольникам формулируется следующим образом …

Вариант 2

1.Треугольник называется тупоугольным …

2. Катетами прямоугольного треугольника называются …

3. Наибольшей стороной прямоугольного треугольника является …

4. В треугольнике может быть только один тупой угол, так как …

5. Первый признак равенства треугольников применительно к прямоугольным

    треугольникам можно формулируется следующим образом …

15. Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

1. Две прямые называются пересекающимися, если …

2. Перпендикуляром, опущенным из точки на прямую, называется …

3. Основанием перпендикуляра называется …

4. Расстоянием между двумя точками называется …

5. Проекцией наклонной на прямую называется …

6. Из точки на прямую проведено несколько наклонных. Наибольшая наклонная имеет …

Вариант 2

1. Две прямые называются перпендикулярными, если …

2. Наклонной, проведенной из точки к прямой, называется …

3. Основанием наклонной называется …

4. Расстоянием между точкой и прямой называется …

5. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, короче …

6. Из точки на прямую проведено несколько наклонных. Наклонная, имеющая наименьшую

     проекцию,  …

16. Окружность и круг

Вариант 1

1. Прямая изображается с помощью …

2. Окружностью называется …

3. Центром окружности называется …

4. Радиусом круга называется …

5. Хордой окружности называется …

6. Наибольшей хордой окружности …

Вариант 2

1. Окружность изображается с помощью …

2. Кругом называется …

3. Центром круга называется …

4. Радиусом окружности называется …

5. Диаметром окружности называется …

6. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, …

17. Взаимное расположение прямой и окружности

Вариант 1

1. Касательной к окружности называется …

2. Взаимное расположение окружности и прямой зависит от …

3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то …

4. Если отрезок соединяет точку, лежащую внутри окружности и точку, лежащую вне

  окружности, то …

5. Из одной точки окружности можно провести хорд …

 Вариант 2

1. Если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то …

2. Прямая и окружность называются пересекающимися, если …

3. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то …

4. Если отрезок соединяет точку, лежащую вне окружности и точку, лежащую внутри

    окружности, то …

5. Из одной точки окружности можно провести диаметров …

18. Взаимное расположение двух окружностей

            Вариант 1

1. Две окружности пересекаются, если они имеют …

2. Взаимное расположение двух окружностей зависит от …

3. Окружности касаются внешним образом, если …

4. Одна окружность расположена внутри другой окружности, если …

5. Концентрическими окружностями называются …

            Вариант 2

1. Две окружности касаются, если они имеют …

2. Взаимное расположение прямой и окружности зависит от …

3. Окружности касаются внутренним образом, если …

4. Одна окружность расположена вне другой окружности, если …

5. Кольцом называется …

19. Задачи на построение

Вариант 1

1. С помощью циркуля можно …

2. Биссектрисой угла называется …                           

3. Чтобы построить биссектрису данного угла AOB, нужно …

4. Два диаметра окружности пересекаются в …

5. Центр круга является  …

Вариант 2

1. С помощью линейки можно …

2. Серединным перпендикуляром к отрезку называется …

3. Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку CD, нужно …

4. Два радиуса круга пересекаются в …

            5. Центр окружности является  …

Таблица 7.1. Измерение отрезков

таблица 7.2. Измерение углов

Таблица 7.3. Смежные углы

Таблица 7.4. Смежные и вертикальные углы

Таблица 7.6. Равнобедренный треугольник

Доказать: Δ АВС — равнобедренный.

Таблица 7.7 Признаки параллельности прямых.

Параллельны ли прямые a и b?

Таблица 7.8  Признаки параллельности прямых.

В задачах 1 – 6 найти x и y.

Свойства параллельных прямых
Таблица 7.9. Сумма углов треугольника

Найти неизвестные углы Δ АВС.

Таблица 7.10. Сумма углов треугольника

Таблица 7.11. Прямоугольный треугольник

Найти равные треугольники (задачи 1-3).

Краткое описание документа:

Предлагаемая подборка дидактических материалов по геометрии предназначена для работы в 7 классе. Включают в себя: математические диктанты, задачи с практическим содержанием, самостоятельные работы, решение задач по готовым чертежам, тесты, тематические карточки, итоговые диагностические работы, зачеты, контрольные работы.