Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ
Каждую неделю мы делим 100 000 ₽ среди активных педагогов. Добавьте свои разработки в библиотеку “Инфоурок”
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика КонспектыДидактический материал по теме "Комплексные числа"

Дидактический материал по теме "Комплексные числа"

Выбранный для просмотра документ Контрольная работа по теме комплексные числа.docx

библиотека
материалов

Выбранный для просмотра документ Самостоятельная работа по теме комплексные числа (2).docx

библиотека
материалов

Выбранный для просмотра документ комплексные числа.pptx

библиотека
материалов
Множества чисел N  Z  Q  R  C R Z N С LOGO

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Множества чисел N  Z  Q  R  C R Z N С LOGO
Описание слайда:

Множества чисел N  Z  Q  R  C R Z N С LOGO

2 слайд Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для
Описание слайда:

Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Кардано Джероламо LOGO

3 слайд Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие пра
Описание слайда:

Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a+b√−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i=√−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. LOGO

4 слайд Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексн
Описание слайда:

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс LOGO

5 слайд Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного
Описание слайда:

Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного числа 3 Действия над комплексными числами 4 Понятие сопряженного числа 5 Примеры 6 LOGO

6 слайд Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рационал
Описание слайда:

Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √−1 LOGO

7 слайд Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительн
Описание слайда:

Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i2 = −1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. LOGO

8 слайд Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять
Описание слайда:

Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (−1). С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый» LOGO

9 слайд Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a =
Описание слайда:

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Умножение (a + bi)  (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i Деление a + bi c + di ac + bd c2 + d2 = +  i bc − ad c2 + d2 LOGO

10 слайд Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойс
Описание слайда:

Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi , то z  z = a2 + b2. Свойство 2: z1 + z2 = z1 + z2. Свойство 3: z1 – z2 = z1 – z2. Свойство 4: z1  z2 = z1  z2. Свойство 5: z1  z2  z3  …  zn = z1  z2  z3  … zn. Свойство 6: zn = ( z )n. LOGO

11 слайд Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 +
Описание слайда:

Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; 2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; 3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2. LOGO

12 слайд Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 +
Описание слайда:

Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;  2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi  di = bdi2 = − bd Например:  1. 5i•3i = 15i2 = − 15; 2. − 2i•3i = − 6i2 = 6.   LOGO

13 слайд Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 опр
Описание слайда:

Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например: (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) LOGO

14 слайд Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ
Описание слайда:

Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ LOGO

15 слайд
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ сам. работа комплексные числа.docx

библиотека
материалов
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.