Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Дидактический материал по теме "Комплексные числа"

Дидактический материал по теме "Комплексные числа"


  • Математика

Название документа Контрольная работа по теме комплексные числа.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Вариант 1

1. Вычислить: 1) hello_html_m205e333c.gif; 2) hello_html_299fd3f8.gif .

2. Выполнить действия hello_html_173c979d.gif и результат представить в тригонометрической форме.

3. Представить в тригонометрической форме число: 1) hello_html_58c60946.gif.

4. Выполнить действия: 1) hello_html_m5882300b.gif; 2) hello_html_8c72363.gif,

5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1)hello_html_m5b93065b.gif; 2) hello_html_m778911b.gif.

6. Решить уравнение hello_html_50ddf771.gif.

Вариант 2

1. Вычислить: 1) hello_html_m43c7238e.gif; 2) hello_html_m13b9efe8.gif.

2. Выполнить действия hello_html_23a9432c.gif и результат представить в тригонометрической форме.

3. Представить в тригонометрической форме число: 1) hello_html_6a66ec69.gif.

4. Выполнить действия: 1) hello_html_m7488a896.gif;

2) hello_html_m7e5cfc.gif.

5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1)hello_html_47f876a0.gif; 2) hello_html_31a7a8ce.gif.

6. Решить уравнение: 1) hello_html_6484c300.gif.

Вариант3

1. Вычислить: 1) hello_html_m43c7238e.gif; 2) hello_html_m13b9efe8.gif.

2. Выполнить действия hello_html_23a9432c.gif и результат представить в тригонометрической форме.

3. Представить в тригонометрической форме число: 1) hello_html_58c60946.gif.

4. Выполнить действия:

1) hello_html_m5882300b.gif; 2) hello_html_8c72363.gif,

5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1)hello_html_55de5598.gif; 2)hello_html_a7c4da5.gif.

6. Решить уравнение z2hello_html_m590045af.gif

Вариант 4

1. Вычислить: hello_html_m5be59459.gif 2)hello_html_m396864a2.gif

2. Выполнить действия hello_html_27fdbbed.gif и результат представить в тригонометрической форме.

3. Представить в тригонометрической форме число: hello_html_2f1d4701.gif.

4. Выполнить действия:

1)hello_html_m4997fc36.gif; 2) hello_html_4b4e3bdf.gif

5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1). hello_html_m1fa0e58d.gif; 2)hello_html_47c46df0.gif

6. Решить уравнение z2hello_html_md764438.gif



Название документа Самостоятельная работа по теме комплексные числа (2).docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Самостоятельная работа


  1. Найти модуль и аргумент

комплексного числа:

1) hello_html_m205e333c.gif;

2) hello_html_299fd3f8.gif .

2. Выполнить действия hello_html_173c979d.gif и результат представить в тригонометрической форме.


3. Представить в тригонометрической форме число: 1) hello_html_m7efa8419.gif; 2) hello_html_58c60946.gif.

4. Выполнить действия и записать в алгебраическом виде:


1) 2hello_html_42ac2de4.gif

2) hello_html_m7b769a5d.gif,


5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1)hello_html_m5b93065b.gif;

2) hello_html_m778911b.gif.


6. Решить уравнение

1) hello_html_50ddf771.gif;

2)hello_html_412703ee.gif.

  1. Найти модуль и аргумент

комплексного числа:

1) hello_html_m43c7238e.gif;

2) hello_html_m13b9efe8.gif.

2. Выполнить действия hello_html_23a9432c.gif и результат представить в тригонометрической форме.


3. Представить в тригонометрической форме число: 1) hello_html_m31471fbc.gif; 2) hello_html_6a66ec69.gif.

4. Выполнить действия:

1)hello_html_m3a077600.gif;

2) hello_html_m7e5cfc.gif.


5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1)hello_html_47f876a0.gif;

2) hello_html_31a7a8ce.gif.


6. Решить уравнение

1) hello_html_6484c300.gif;

2)hello_html_6d7e72d8.gif.


Название документа комплексные числа.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

Множества чисел N  Z  Q  R  C R Z N С LOGO
Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для...
Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие пра...
Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексн...
Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного...
Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рационал...
Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительн...
Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять...
Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a =...
Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойс...
Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 +...
Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 +...
Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 опр...
Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ...
1 из 15

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Множества чисел N  Z  Q  R  C R Z N С LOGO
Описание слайда:

Множества чисел N  Z  Q  R  C R Z N С LOGO

№ слайда 2 Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для
Описание слайда:

Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Кардано Джероламо LOGO

№ слайда 3 Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие пра
Описание слайда:

Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a+b√−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i=√−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. LOGO

№ слайда 4 Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексн
Описание слайда:

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс LOGO

№ слайда 5 Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного
Описание слайда:

Cодержание Множества чисел 1 Алгебраические операции 2 Понятие комплексного числа 3 Действия над комплексными числами 4 Понятие сопряженного числа 5 Примеры 6 LOGO

№ слайда 6 Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рационал
Описание слайда:

Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √−1 LOGO

№ слайда 7 Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительн
Описание слайда:

Понятие комплексного числа Комплексные числа C – это пара (a; b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi. i2 = −1, i – мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно: a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными. LOGO

№ слайда 8 Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять
Описание слайда:

Понятие комплексного числа Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (−1). С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый» LOGO

№ слайда 9 Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a =
Описание слайда:

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Умножение (a + bi)  (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i Деление a + bi c + di ac + bd c2 + d2 = +  i bc − ad c2 + d2 LOGO

№ слайда 10 Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойс
Описание слайда:

Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными Свойство 1: Если z = a + bi , то z  z = a2 + b2. Свойство 2: z1 + z2 = z1 + z2. Свойство 3: z1 – z2 = z1 – z2. Свойство 4: z1  z2 = z1  z2. Свойство 5: z1  z2  z3  …  zn = z1  z2  z3  … zn. Свойство 6: zn = ( z )n. LOGO

№ слайда 11 Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 +
Описание слайда:

Примеры (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Например: 1. (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; 2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; 3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Например: (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2. LOGO

№ слайда 12 Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 +
Описание слайда:

Примеры (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i Например: 1. (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;  2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi  di = bdi2 = − bd Например:  1. 5i•3i = 15i2 = − 15; 2. − 2i•3i = − 6i2 = 6.   LOGO

№ слайда 13 Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 опр
Описание слайда:

Примеры Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например: (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) LOGO

№ слайда 14 Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ
Описание слайда:

Комплексные числа на координатной плоскости Im z Re z 0 z = a + bi a b |z| φ LOGO

№ слайда 15
Описание слайда:

Название документа сам. работа комплексные числа.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Самостоятельная работа в 11 классе по теме «Комплексные числа»

Вариант 1

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_ma5c2f34.gif 2. hello_html_10e0ded9.gif 3. 1hello_html_51ee192d.gif. hello_html_380a961d.gif

5. Im hello_html_m64978ff7.gif 6. hello_html_m4e87ebc6.gif

Вариант 2

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_m11190020.gif 2. hello_html_md198a2e.gif 3. 1hello_html_m78200f07.gif. hello_html_7a35e4be.gif

5. Rehello_html_m64978ff7.gif 6. hello_html_m17ca20ef.gif

Вариант 3

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_m27b991f8.gif 2. hello_html_237779b4.gif 3. 1hello_html_5bfe6cf2.gif. hello_html_mdd4ff46.gif

5. Imhello_html_m1941d4bc.gif 6. hello_html_m2f20cf1a.gif

Вариант 4

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_m6a3d35b0.gif 2. hello_html_408e3942.gif 3. 1hello_html_7a19ccd7.gif. hello_html_2d55dd48.gif

5. Imhello_html_m7e24d5ab.gif 6. hello_html_5b164283.gif

Вариант 5

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_52db020e.gif 2. hello_html_30ee7bf3.gif 3. 1hello_html_1a95b61e.gif. hello_html_146845c2.gif

5. Rehello_html_m76a078a3.gif 6. hello_html_4eb153b1.gif

Вариант 6

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_ccc06fb.gif 2. hello_html_5bf86f70.gif 3. 0hello_html_42af88d1.gif. hello_html_m7918a11d.gif

5. Imhello_html_m67c481ae.gif 6. hello_html_157d17b7.gif

Вариант 7

  1. Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

1.hello_html_4b46a552.gif 2. hello_html_m4a34dfd8.gif 3. 1hello_html_7531ecf6.gif. hello_html_36d13b99.gif

5. Imhello_html_mf8159df.gif 6. hello_html_m2a4c05a3.gif










Краткое описание документа:

Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать любое уравнение разрешимым — одна из главных причин расширения понятия числа. Дидактические материалы предназначенны для организации самостоятельной работы учащихся и контроля за знаниями и умениями.Можно также дифференцировать деятельность учащихся по содержанию, выделяя для разных учеников разные фрагменты самостоятельной работы. Так, одним учащимся целесобразно начинать с самых простых упражнений.

Автор
Дата добавления 09.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров879
Номер материала 433743
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх