Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Дифференциальные уравнения в естествознании

Дифференциальные уравнения в естествознании

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Дифференциальные уравнения в естествознании

«Великая книга природы написана на языке математики»

Галилей

Тема «Дифференциальные уравнения» - составляет один из основных разделов высшей математики, через который она реализует себя в решении практических задачах. Эта тема является очень значимой для получения естественно – научного образования. Для создания представлений о науке математики, как о необходимой для освоения каждым человеком, а также понимания важности этой науки для дальнейшего развития технического и общественного прогресса.

Выдающийся математик современности А.Н. Колмогоров писал «Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой».
Для изучения достаточно многих химических, физических ,биологических технических и экономических явлений учёным удалось составить дифференциальные уравнения того или иного процесса, т.е.
перевести реальную задачу на язык математики , не теряя при этом основных свойств оригинала. В дальнейшем, решая эти уравнение, выводится функциональный закон описания изучаемой темы.

Дифференциальные уравнения играют огромную роль и в описании множества природных явлений. Они уникальные по содержанию и универсальные по применению в познания мира, повышая достоверность получаемых результатов.

Решение первых задач, приводящим к дифференциальным уравнениям, встречаются уде в 17 веке. К ним относится исследование Р. Декарта плоской кривой с применением свойств касательной, создание Дж. Неппером логарифмической таблицы.

Математические модели позволяют установить любые характеристики состояния процесса, качественные и количественные .

Например, скорость размножения бактерий, процесс самоиндукции, текущий в катушке после выключения постоянного напряжения, разность давлений при подъеме над уровнем моря.

С помощью дифференциальных уравнений можно вычислить движение планет солнечной системы вокруг Солнца. Решая такие , довольно сложные дифференциальные уравнения (т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые могут достаточно точно предсказать моменты лунного и солнечного затмений.

И так мы убедились, что различных областях человеческой деятельности есть задачи, решение которых сводится с к дифференциальным уравнениям. Вот как можно описать методику их решения. При изучении какого-нибудь процесса нас всегда интересует изменение характеристик этого явление во времени, то есть некоторой величины (температуры, давления, массы и т. п.). Имея достаточное количество сведений о протекании этого процесса, мы сумеем построить его математическую модель. Получая информацию из экспериментальных данных или научных законов можно получить данные о скорости изменения любой величины у = у(t) в зависимости от времени t, то есть от производной Описание: http://festival.1september.ru/articles/534688/f_clip_image022.gif. Далее можно записать полученную информацию в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией у = у(t). Это уравнение и описывает наш изучаемый процесс с точки зрения его характеристики у. Решив его мы находим все возможные варианты изменения величины у.

Как показывает опыт развития различных наук, многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к решению одинаковых дифференциальных уравнений. Допустим, решение какой-то задачи сводится к дифференциальному уравнению, способы решения которого мы знаем, тогда задачу можно считать решённой. Творческий этап решения данной задачи состоит в составление дифференциального уравнения, следующий же этап – решений уравнения – имеет чисто техническую задачу.

Рассмотрим пример :

Чем выше над уровнем моря, тем становится разряжённее воздух , т.е. атмосферное давление уменьшается с высотой . Определить зависимость давления от высоты h. (p = p(h))

Решение задачи приводит к дифференциальному уравнению

Описание: dalin05.wmf

где ρ(h) – плотность воздуха на высоте h; g – ускорение свободного падения.

А вот пример радиоактивного распада: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление Описание: http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_40.files/image014.gif как функция высоты Описание: http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_40.files/image003.gif над уровнем моря и масса радиоактивного вещества Описание: http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_40.files/image014.gif как функция времени Описание: http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_40.files/image003.gif удовлетворяют уравнению http://www.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_40.files/image006.gif

Эти примеры наглядно демонстрируют, что одно и то же дифференциальное уравнение может быть математической моделью совершенно различных природных процессов.

Итак, мы видим, что в изучении теории дифференциальных уравнений математика, конечно прежде всего, связана с другими разделами математики, но также выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание любых закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Список литературы

Интернет http://festival.1september.ru/articles/534688/

1.Половинкина Ю.С. методичка «Приложения дифференциальных уравнений»:Архангельск,2007.

2.Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В кн. – М.: ООО «Издательство Новая волна», 2004.

3.Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян «Практикум по высшей математике». – Ростов-на-Дону, Феникс, 2004.

4.Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, Высшая школа, 1990.






Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Краткое описание документа:

Искусство математического моделирования состоит в умении адекватно перевести реальную задачу на математический язык, не теряя при этом основных свойств оригинала. Математические модели дают возможность установить качественные и количественные характеристики состояния процесса, увидеть общность процессов различной природы.

Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Поэтому естественно разработать методы решения таких уравнений безотносительно к тем задачам, которые привели или могут привести к ним. Этим как раз и занимается математическая теория дифференциальных уравнений.

Автор
Дата добавления 09.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров377
Номер материала 518818
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх