Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Дифференцирование функции комплексных переменных

Дифференцирование функции комплексных переменных

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: Дифференцирование функции комплексных переменных

Цель: повторить навыки нахождения частных производных второго порядка. Определение действительной и мнимой части функции комплексной переменной. Научить находить производное функции комплексных переменных.

Тип урока: комбинированный

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Изложение материала.

  3. Домашнее задание.

  4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Изложение материала.

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image002.gif – это правило, по которому каждому значению независимой переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image004.gif (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image006.gif. Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image008.gif – это правило, по которому каждому комплексному значению  независимой переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image010.gif (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image012.gif. В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image014.gif. Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image016.gif, при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image018.gif зависит от переменных http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image004_0000.gif и http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image006_0000.gif, которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной, где http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image024.gif и http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image026.gif – две функции двух действительных переменных.

Функция http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image024_0000.gifназывается действительной частью функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image012_0000.gif.
Функция
 http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image029.gifназывается мнимой частью функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image012_0001.gif.

То есть, функция комплексной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image008_0000.gif зависит от двух действительных функций http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image031.gif и http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image033.gif. Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Найти действительную и мнимую часть функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image035.gif

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image016_0000.gif, поэтому:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image038.gif

(1) В исходную функцию http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image035_0000.gif подставили http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image016_0001.gif.

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image040.gif. В слагаемом http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image042.gif – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image044.gif, не забывая, что http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image046.gif

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image048.gif (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image048_0000.gif за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image022_0000.gif

Ответ: 
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image050.gif – действительная часть функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image012_0002.gif.
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image052.gif – мнимая часть функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image012_0003.gif.

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image016_0002.gif, проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image054.gif

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image046_0000.gif, аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Чтобы дальше легче жилось, обратим внимание на пару полезных формул. В Примере 1 было выяснено, что http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image056.gif.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image058.gif, выведем:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image060.gif.

Рекомендую переписать в тетрадь две рабочие формулы:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image062.gif

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image008_0001.gif справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image002_0000.gif.

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image022_0001.gif. Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image065.gif. Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image067.gif.

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:
Условия Коши-Римана

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Определить действительную http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image071.gif и мнимую http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image073.gif части  функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image075.gif. Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image016_0003.gif, то:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image078.gif

Таким образом:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image080.gif – действительная часть функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image082.gif;
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image084.gif – мнимая часть функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image082_0000.gif.

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image087.gif, а мнимую – так: http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image089.gif.

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image091.gif. Находим частные производные:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image093.gif
Таким образом, условие
 http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image091_0000.gif выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image095.gif:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image097.gif
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие
 http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image095_0000.gif также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image100.gif

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image080_0000.gif – действительная часть, http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image084_0000.gif – мнимая часть. 
Условия Коши-Римана выполнены,
 http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image102.gif.


ІІІ. Домашнее задание: Определить действительную http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image071_0000.gif и мнимую http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image073_0000.gif части  функции http://www.mathprofi.ru/g/funkcii_kompleksnoi_peremennoi_clip_image129.gif. Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

IV. Подведение итогов

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 18.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров528
Номер материала ДВ-353783
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх