Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.

ЕГЭ С-6: Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.

Диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными х и у будем называть уравнение вида mx+ny=k,где m, n, k, x, y Z. Будем считать, что m и n- взаимно простые числа.

Пример 1. Решить уравнение 3х-4у=1 в целых числах.

Решение: Перепишем уравнение в виде 3х=4у+1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.

1.   Если у=3t; t, то 4у+1=412у+1 не делится на 3.

2.     Если у=3t+1, то 4у+1=4(3t+1)+1=12t+5 не делится на 3.  

3.     Если у=3t+2, то 4у+1=4(3t+2)+1=12t+9  делится на 3. Поэтому 3х=12t+9, т.е. х=4t+3.

Ответ:    t.

    Пример 2. Решить уравнение 36х-25у=1 в целых числах.

Решение: -25у=1-36х,т.е. 25у=36х-1.Число слева делится на 5 ().

1.   х= 5t, t 25у=36х-1=36, не делится на 5.

2.   х= 5t+1. 25у=36(5t+1)-1=180t+35(, т.е.5у=36t+7.Дальше решаем как в первом примере.

1.   t=5u, u 5у=365u+7= 180u+7 не делится на 5.

2.     t=5u+1. 5у=36(5u+1)+7=180u+43 не делится на 5.

3.     t=5u+2. 5у=36(5u+2)+7=180u+79 не делится на 5.

4.     t=5u+3. 5у=36(5u+2)+7=180u+115 делится на 5. Значит у=36u+23

х=5t+1=5(5u+3)+1=25u+16. x=25u+16.

Ответ:  t.

Пример3. Решить уравнение 79у-23у=1 в целых числах.

Решение. Проведем процедуру уменьшения коэффициентов с помощью деления с остатком.

79у-1=(23+10)у-1=23х. 23х=23. 23х-69у=10у-1. Левая часть делится на 23. Значит и правая часть тоже делится на 23. 10у-1=23t. 10y=23t+1=(10левая часть делится на 10, значит и правая часть делится на 10.

3t=10u-1=(3делится на 3. Значит u-1=3v,v

u=3v+1.

3t=10u-1=10(3v+1)-1=30v+9 делится на 3. t=10v+3. 10y=23t+1=23(10v+3)+1=230v+ 70 делится на 10. у=23v+7. 23x=79y-1=79(23v+7)=79v+23. Т.е. х=79v+24.

Ответ:  t.