Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.

библиотека
материалов

ЕГЭ С-6: Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными.

Диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными х и у будем называть уравнение вида mx+ny=k,где m, n, k, x, y hello_html_m2e28bbd1.gifZ. Будем считать, что m и n- взаимно простые числа.

Пример 1. Решить уравнение 3х-4у=1 в целых числах.

Решение: Перепишем уравнение в виде 3х=4у+1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.

  1. Если у=3t; thello_html_md6b17d9.gif, то 4у+1=4hello_html_mdad2049.gif12у+1 не делится на 3.

  2. Если у=3t+1, то 4у+1=4(3t+1)+1=12t+5 не делится на 3.

  3. Если у=3t+2, то 4у+1=4(3t+2)+1=12t+9 делится на 3. Поэтому 3х=12t+9, т.е. х=4t+3.

Ответ: hello_html_m54ca7203.gif thello_html_md6b17d9.gif.

Пример 2. Решить уравнение 36х-25у=1 в целых числах.

Решение: -25у=1-36х,т.е. 25у=36х-1.Число слева делится на 5 (hello_html_m793cc5af.gif).

  1. х= 5t, thello_html_m37057192.gif 25у=36х-1=36hello_html_73913e9d.gif, не делится на 5.

  2. х= 5t+1. 25у=36(5t+1)-1=180t+35(hello_html_m47237448.gif, т.е.5у=36t+7.Дальше решаем как в первом примере.

  1. t=5u, uhello_html_m37057192.gif 5у=36hello_html_79c0f69b.gif5u+7= 180u+7 не делится на 5.

  2. t=5u+1. 5у=36(5u+1)+7=180u+43 не делится на 5.

  3. t=5u+2. 5у=36(5u+2)+7=180u+79 не делится на 5.

  4. t=5u+3. 5у=36(5u+2)+7=180u+115 делится на 5. Значит у=36u+23

х=5t+1=5(5u+3)+1=25u+16. x=25u+16.

Ответ: hello_html_4b18b97c.gif thello_html_md6b17d9.gif.

Пример3. Решить уравнение 79у-23у=1 в целых числах.

Решение. Проведем процедуру уменьшения коэффициентов с помощью деления с остатком.

79у-1=(23hello_html_m39e2311c.gif+10)у-1=23х. 23х=23hello_html_m5cd844c1.gif. 23х-69у=10у-1. Левая часть делится на 23. Значит и правая часть тоже делится на 23. 10у-1=23t. 10y=23t+1=(10hello_html_m4b2f2c11.gifлевая часть делится на 10, значит и правая часть делится на 10.hello_html_m6124b37d.gif

3t=10u-1=(3hello_html_m61ed6a58.gifделится на 3. Значит u-1=3v,vhello_html_ddd42ab.gif

u=3v+1.

3t=10u-1=10(3v+1)-1=30v+9 делится на 3. t=10v+3. 10y=23t+1=23(10v+3)+1=230v+ 70 делится на 10. у=23v+7. 23x=79y-1=79(23v+7)=79hello_html_m7b739c5e.gifv+23hello_html_m64e8cc3.gif. Т.е. х=79v+24.

Ответ: hello_html_23b1d6b6.gif thello_html_md6b17d9.gif.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 30.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров382
Номер материала ДВ-212188
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх