Дипломная работа Метаматериалы с отрицательным показателем преломления

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….. 1 ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ ……………………… 1. 1 Показатель преломления и закон преломления света……………. 1.2 Отрицательное преломление света ………………………………… 1.3 Принцип Ферма для обычных веществ……………………………. 2 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАМАТЕРИАЛОВ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ 2.1 Физические свойства материалов с отрицательным показателем преломления 2.2 Оптические свойства левых сред. Принцип Ферма для сред с отрицательным показателем преломления 2.3 Численное моделирование формы поверхности линзы из левого материала ЗАКЛЮЧЕНИЕ Список использованной литературы Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Оптика – один из старейших разделов физики – переживает в наши дни настоящее возрождение. В последние годы получены материалы со столь необычными оптическими свойствами, что свет в них может замедлиться в триллионы раз, в то время как скорость света в природных материалах замедляется максимум в два с половиной раза. Публикуются даже работы, описывающие принцип создания плаща-невидимки [1].

Поведение луча света зависит от среды, в которой он распространяется. Сейчас уже созданы искусственные среды с отрицательным показателем преломления, в которых свет преломлялся «в неправильную сторону». Поведение света в таких средах предсказал в 1960-е годы советский физик В.Г.Веселаго [2].

Явление отрицательного преломления открывает замечательные перспективы для развития технологий. В частности, одной из главных целей исследователей является создание суперлинзы, которая бы фокусировала свет в область размером меньше, чем длина волны света, т. е. лучше, чем это в принципе способны сделать обычные линзы.

В последние годы в этом направлении был достигнут заметный прогресс. Первыми были сконструированы разновидности суперлинз для излучения в микроволновом диапазоне. Речь шла, правда, не о сферических, а о «плоскопараллельных» линзах, не обладающих единым фокусом, или о цилиндрических линзах, способных фокусировать излучение только в одном из двух перпендикулярных направлений. Для создания суперлинзы для видимого света инженерам необходимо было существенно (в тысячи раз) уменьшить размер всех параметров линзирующей структуры.

В 2005 году была опубликована работа [3], в которой говорилось о создании суперлинзы в оптическом диапазоне. Однако описанная там структура, хотя и позволяла преодолеть дифракционный предел, представляла собой не линзу, а скорее «сканер», поскольку работала лишь в «ближней зоне» и при непосредственном контакте с объектом (наноструктурой) и детектором. Никакого дистанционного фокусирования света там не подразумевалось.

И вот недавно были опубликованы две работы, сообщающие о новых прорывах в этой области исследований.

В статье физиков из Делавэрского университета (Ньюарк, США) впервые сообщается о создании и успешном испытании настоящей сферической суперлинзы (правда, по-прежнему для микроволнового излучения) [4]. Сложная пористая структура была собрана из отдельных кубических блоков сложной формы. Излучение, распространяясь через такую структуру и многократно отражаясь от отдельных кубиков, как бы «запутывается» в ней, и в результате в ней появляются «разрешенные» и «запрещенные» зоны для излучения, так же, как у электронов в кристалле (такая конструкция называется «фотонный кристалл»).

Для микроволнового излучения определенной частоты фотонный кристалл, используемый в этом эксперименте, выглядел как среда с отрицательным показателем преломления. Поместив такую пластинку перед источником излучения и просканировав поле позади нее, исследователи убедились, что она действительно фокусирует расходящееся излучение.

Этот впечатляющий эксперимент, демонстрирующий сверхвысокое разрешение линзы, заключался в следующем. Два точечных источника, расположенных на расстоянии 10 мм друг от друга, испускали микроволновое излучение с длиной волны 18 мм. В случае «обычной» линзы изображения от столь близких источников попросту слились бы в одно пятно. Новая же линза выдала изображение двух отдельных четко различимых пятнышек размером около 5 мм. Авторы работы выражают уверенность в том, что усовершенствование их методики в скором времени еще сильнее улучшит свойства суперлинз.

В другой недавней статье американские физики сообщают о создании нового метаматериала, обладающего отрицательным коэффициентом преломления в ближнем инфракрасном диапазоне [5]. Отличие этой работы от предыдущих состоит в том, что типичный размер неоднородностей в этой структуре составляет сотни нанометров, что существенно меньше длины волны инфракрасного света. Из-за этого излучение «чувствует себя» не в решетке (фотонном кристалле), а в почти однородной среде, словно внутри материала совершенно нового типа (именно это и подразумевает слово «метаматериал»). Изюминкой этой работы является эффективная технология выращивания образца достаточно большого размера и микроскопической толщины.

Такие суперлинзы должны привести к прорыву в радио- и оптоэлектронике, оптических устройствах хранения данных, материаловедении, поэтому изучение возможностей, предоставляемых метаматериалами, является актуальной задачей.

Вещества, которые обладают отрицательным показателем преломления, были названы в [6, 7] “left-handed materials” («левые среды»). В русскоязычной научной литературе также применяется термин, предложенный академиком В.Г.Веселаго, «вещества с отрицательным преломлением» (сокращенно ВОП). Соответственно обычные вещества называют «вещества с положительным преломлением» (или ВПП) [8].

В научной литературе рассматриваются собирающие линзы из левого материала, имеющие форму плоскопараллельной пластинки. Но у такой линзы есть недостаток: она фокусирует в одну точку только те лучи, угол падения которых близок к нулю. Все остальные лучи, исходящие из источника, теряются.

В науке известны несколько экстремальных принципов (или фундаментальных постулатов), на которых строятся отдельные разделы современной физики. В геометрической оптике роль экстремального принципа играет принцип Ферма (1662 г.), который гласит, что луч света движется из начальной точки в конечную по такой траектории, которая минимизирует затраченное время. Применяются и другие эквивалентные формулировки этого принципа. Например, из всех возможных путей между двумя точками свет выбирает тот, время прохождения по которому наименьшее.

Принцип Ферма является математическим обобщением ранее сделанных оптических наблюдений: закон отражения света и закон преломления Снеллиуса непосредственно вытекают из него.

Весь набор законов геометрической оптики выводится из принципа экстремума. Но, очевидно, что для новых материалов с отрицательным показателем преломления принцип Ферма, а также основные законы геометрической оптики нуждаются в уточнении.

Объект исследования: вещества с отрицательным показателем преломления.

Предмет исследования: собирающая линза из вещества с отрицательным показателем преломления.

Цель работы: найти форму собирающей линзы из материала с отрицательным показателем преломления такую, чтобы она фокусировала в одну точку все лучи, исходящие от точечного источника, при всех углах падения.

Задачи:

1) Изучение хода световых лучей при преломлении на границе обычного вещества и вещества с отрицательным показателем преломления.

2) Обобщение принципа Ферма для левых сред.

3) Численное моделирование формы поверхности линзы из левого материала, фокусирующей в одну точку все лучи, исходящие от точечного источника.

4) Изучение свойств изображений, полученных в линзе из левого материала.

Новизна. В дипломной работе уточнена формулировка принципа Ферма для электромагнитных волн, распространяющихся в веществах с отрицательным показателем преломления, в которой используется понятие экстремума суммарной оптической длины волны. В ходе численных экспериментов изучены свойства изображений, полученных в результате преломления на границе раздела сред с отрицательным относительным показателем преломления. Найдена форма линзы из вещества с отрицательным преломлением, гарантирующая получение четкого изображения точечного источника.

Методы исследований: методы теоретической физики, методы численного моделирования.

1 ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

1.1    Показатель преломления и закон преломления света

На границе двух сред свет меняет направление своего распространения. Часть световой энергии возвращается в первую среду, т.е. происходит отражение света. Если вторая среда прозрачна, то свет частично может пройти через границу сред, также меняя при этом, как правило, направление распространения. Это явление называется преломлением света.

Вследствие преломления наблюдается кажущееся изменение формы предметов, их расположения и размеров. В этом нас могут убедить простые наблюдения. Положим на дно пустого не прозрачного стакана монету или другой небольшой предмет. Подвинем стакан так, чтобы центр монеты, край стакана и глаз находились на одной прямой. Не меняя положения головы, будем наливать в стакан воду. По мере повышения уровня воды дно стакана с монетой как бы приподнимается. Монета, которая ранее была видна лишь частично, теперь будет видна полностью. Установим наклонно карандаш в сосуде с водой. Если посмотреть на сосуд сбоку, то можно заметить, что часть карандаша, находящаяся в воде, кажется сдвинутой в сторону (рис. 1).

Рисунок 1. Кажущийся «излом» прямых линий на границе воздух-вода.

Эти явления объясняются изменением направления лучей на границе двух сред — преломлением света.

Закон преломления света определяет взаимное расположение падающего луча АВ (рис. 2), преломленного DB и перпендикуляра СЕ к поверхности раздела сред, восставленного в точке падения. Угол α называется углом падения, а угол β — углом преломления.

Падающий, отраженный и преломленный лучи нетрудно наблюдать, сделав узкий световой пучок видимым. Ход такого пучка в воздухе можно проследить, если пустить в воздух немного дыма или же поста­вить экран под небольшим углом к лучу. Преломленный пучок также виден в подкрашенной флюоресцеином воде аквариума (рис. 3).

Рисунок 2. Иллюстрация к закону преломления света.

Рисунок 3. Падающий, преломленный и отраженный пучки света.

Вывод закона преломления света

Закон преломления света был установлен опытным путем в XVII веке. Мы его выведем с помощью принципа Гюйгенса.

Преломление света при переходе из одной среды в другую вызвано различием в скоростях распространения света в той и другой среде. Обозначим скорость волны в первой среде через u₁, а во второй — через u₂.

Пусть на плоскую границу раздела двух сред (например, из воздуха в воду) падает плоская световая волна (рис. 4).

Рисунок 4. Вывод закона преломления света на границе двух сред.

Волновая поверхность АС перпендикулярна лучам А₁А и В₁В. Поверхности MN сначала достигнет луч А₁А. Луч В₁В достигнет поверхности спустя время Поэтому в момент, когда вторичная волна в точке В только начнет возбуждаться, волна от точки А уже имеет вид полусферы радиусом AD=u2∆t. Волновую поверхность преломленной волны можно получить, проведя поверхность, касательную ко всем вторичным волнам во второй среде, центры которых лежат на границе раздела сред. В данном случае это плоскость BD. Она является огибающей вторичных волн.

Угол падения α луча равен углу CAB в треугольнике AВС (стороны одного из этих углов перпендикулярны сторонам другого). Следовательно,

                                                  CB=u₁∆t=AB sinα.                                           (1) 

Угол преломления β равен углу ABDтреугольника ABD. Поэтому

                                                  AD=u₂∆t=AB sinβ.                                          (2)

Разделив почленно (1) на (2), получим

                                                                                                       (3)

где n – постоянная величина, не зависящая от угла падения

Из построения (рис. 4) видно, что падающий луч, луч преломленный и перпендикуляр, восставленный в точке падения, лежат в одной плоскости. Данное утверждение совместно с уравнением (3), согласно которому отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух сред, представляет собой закон преломления света.

Убедиться в справедливости закона преломления можно экспериментально, измеряя углы падения и преломления и вычисляя отношение их синусов при различных углах падения. Это отношение остается неизменным.

Показатель преломления

Постоянная величина, входящая в закон преломления света, называется относительным показателем преломления или показателем преломления второй среды относительно первой.

Из принципа Гюйгенса не только следует закон преломления, но с помощью этого принципа раскрывается физический смысл показателя преломления. Он равен отношению скоростей света в средах, на границе между которыми происходит преломление:

                                                                                                                  (4)

Если угол преломления β меньше угла падения α, то согласно (3) скорость света во второй среде меньше, чем в первой.

Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломления этой среды. Он равен отношению синуса угла падения к синусу угла преломления при переходе светового луча из вакуума в данную среду.

Пользуясь формулой (4), можно выразить относительный показатель преломления через абсолютные показатели преломления n₁ и n₂ первой и второй сред.

Действительно, так как

 

где с – скорость света в вакууме, то

                                                                                                          (5)

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления принято называть оптически менее плотной средой.

Абсолютный показатель преломления определяется скоростью распространения света в данной среде, которая зависит от физического состояния среды, т. е. от температуры вещества его плотности, наличия в нем упругих напряжений. Показатель преломления зависит также и от характеристик самого света. Для красного света он меньше, чем для зеленого, а для зеленого - меньше, чем для фиолетового.

     Поэтому в таблицах значений показателей преломления для разных веществ обычно указывается, для какого света приведено данное значение n и в каком состоянии находится среда. Если таких указаний нет, то это означает, что зависимостью от указанных факторов можно пренебречь.

     В большинстве случаев приходится рассматривать переход света через границу воздух - твердое тело или воздух - жидкость, а не через границу вакуум - среда. Однако абсолютный показатель преломления n₂ твердого или жидкого вещества отличается от показателя преломления того же вещества относительно воздуха незначительно. Так, абсолютный показатель преломления воздуха при нормальных условиях для желтого света равен приблизительно n1≈1,000292. Следовательно,

                                                                                                           (6)                                  

Значения показателей преломления для некоторых веществ относительно воздуха приведены в таблице 1 (данные относятся к желтому свету).

Таблица 1. Значения показателей преломления для некоторых веществ.

Вещество	Показатель преломления относительно воздуха
Вода (при 20°С)   Кедровое масло (при 20°С)   Сероуглерод (при 20°С)   Лед   Каменная соль   Кварц   Рубин   Алмаз   Различные сорта стекла	1.33 1,52 1,63 1,31 1,54 1.54 1,76 2,42 1,47 - 2.04

Ход лучей в треугольной призме

Закон преломления света позволяет рассчитать ход лучей в различных оптических устройствах, например в треугольной призме, изготовленной из стекла или других прозрачных материалов.

На рисунке 5 изображено сечение стеклянной призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. Луч в призме отклоняется к основанию, преломляясь на гранях ОА и 0В. Угол φ между этими гранями называют преломляющим углом призмы. Угол θ отклонения луча зависит от преломляющего угла призмы φ , показателя преломления п материала призмы и угла падения α. Он может быть вычислен с помощью закона преломления (3).

Рисунок 5. Ход луча в треугольной призме.

1.2 Отрицательное преломление света

Отрицательное преломление света на границах раздела сред является естественным следствием того, что групповая скорость волн в одной из сред отрицательна. В данной курсовой работе кратко прослеживается история возникновения такой интерпретации этого явления. Рассматривается несколько физических систем, в которых нормальные электромагнитные волны (поляритоны) могут иметь отрицательную групповую скорость, в частности, в области оптических частот. Эти системы исследуются при учете пространственной дисперсии. При таком рассмотрении используется диэлектрический тензор εij(ω, k), который определяет полный электромагнитный отклик, создаваемый электромагнитной волной с частотой ω и волновым вектором k. Поляритоны с отрицательной групповой скоростью как в естественных, так и в искусственных материалах образуются в тех случаях, когда пространственная дисперсия достаточно сильна. Приводятся соответствующие примеры объемных и поверхностных волн как в гиротропных, так и в негиротропных средах. Обсуждается также соотношение между упомянутым подходом, использующим обобщенный тензор диэлектрической восприимчивости εij(ω, k), и более известным, но более ограниченным описанием, основанном на использовании диэлектрической проницаемости  и магнитной восприимчивости μ(ω).

В данной работе явление отрицательного преломления света обсуждается в терминах дисперсии μ(к) поляритонов - нормальных электромагнитных волн, распространяющихся в среде в области резонансов. Мы будем рассматривать макроскопически однородную и изотропную среду с пренебрежимо малой диссипацией: в этом случае не возникает дополнительных осложнений и физика рассматриваемых явлений особенно прозрачна. Иными словами, мы рассматриваем тела размером порядка или больше длины волны в среде λ. В изотропной среде частота волны со зависит только от модуля волнового вектора к = |к|, а значит, групповая скорость волнового пакета

                                                                              (7)                

направлена либо по к, либо по -к в зависимости от знака dμ(k)/dk. Как было отмечено Л.И. Мандельштамом [1 -3], второй из этих случаев, случай "отрицательной групповой скорости", dμ(k)/dk<0, связан с явлением отрицательного преломления. Английский оптик Артур Шустер в книге [4] также упоминал о такой возможности. Однако он рассматривал область аномальной дисперсии в окрестности резонанса, где определение групповой скорости в виде (1) неприменимо.

Хорошо известно, что в среде с малой диссипацией скорость распространения энергии совпадает с групповой скоростью, так что вектор потока энергии S (в случае электромагнитных волн называемый вектором Пойнтинга) есть произведение

                                                                                      (8)    

где U - усредненная по времени плотность энергии. В состоянии термодинамического равновесия U > О, следовательно, для волн с отрицательной групповой скоростью вектор потока энергии S направлен в сторону, противоположную волновому вектору к. Отрицательное преломление света и все необычные свойства материалов с отрицательным преломлением - естественные следствия такой связи между S и к. Мы будем рассматривать отрицательное преломление только электромагнитных волн, однако Мандельштамом было ясно показано (см. раздел 2.1), что отрицательное преломление - это общее свойство волн любой природы с отрицательной групповой скоростью.

Мы обсудим некоторые физические системы, в которых могут существовать поляритоны с отрицательной групповой скоростью и в которых, следовательно, можно пытаться реализовать отрицательное преломление (в том числе и в оптической области частот). Существование поляритонов с отрицательной групповой скоростью оказывается возможным для сред с достаточно сильной пространственной дисперсией диэлектрических свойств [7-9]. Наличие пространственной дисперсии означает существование нелокального диэлектрического отклика и выражается в зависимости обобщенного диэлектрического тензора ε>(μ,к) от волнового вектора к [6, 7].

Далее будет показано, что подход, основанный на учете пространственной дисперсии, содержит в себе как частный случай более известный подход, обычно используемый для описания отрицательного преломления света в среде с одновременно отрицательными диэлектрической проницаемостью, ε(ω)<0, и магнитной восприимчивостью, μ(ω)<0. В связи с такими средами обычно упоминается работа Веселаго [10], хотя в действительности значительно раньше этот случай впервые обсуждался в работе Сивухина [11], а затем в статьях Пафомова [12, 13]. В частности, в этих работах содержится замечание об отрицательной групповой скорости в такой среде. Ветвь с отрицательной групповой скоростью ясно видна на рис. 1. На рисунке 1а изображен закон дисперсии ω(k) поперечных поляритонов, определяемый хорошо известным уравнением

                                                                      (9)

где n(ω) - коэффициент преломления, при модельном выражении для диэлектрической проницаемости

                                                                                (10)

            Рисунок 6. Дисперсия  поперечных поляритонов в материале.

Дисперсия ω(к) поперечных поляритонов в материале, описываемом модельной магнитной восприимчивостью (11) и диэлектрической проницаемостью, задаваемой (а) уравнением (10) и (б) уравнением (12) при специальном выборе характерных частот. Поляритонные ветви с отрицательной групповой скоростью указаны стрелками. Заметим, что рисунок (как и все другие в данном обзоре) выполнен не в масштабе: параметры подбирались с единственной целью - как можно яснее показать качественную сторону явления, имеющем резонансную структуру, и

                                                                         (11)

Одна из трех поляритонных ветвей, изображенных на рис. 1а, очевидно, обладает отрицательной групповой скоростью, поскольку частота поляритона со убывает с возрастанием волнового вектора k (эта ветвь указана стрелкой). Разумеется, ветвь с отрицательной групповой скоростью находится как раз в той области частот, где ε(ω) (10) и µ(ω) (11) одновременно отрицательны. На рисунке 6 параметры подобраны таким образом, чтобы значения частоты и полюса (ω), и нуля (ω_т2) магнитной восприимчивости попадали в щель хорошо известного продольно-поперечного (ω_г ω) расщепления, возникающего вследствие резонанса диэлектрической проницаемости. Конечно, возможно и другое расположение этих частот.

На рисунке 6 изображена дисперсия поляритонов при том же выражении (11) для µ(ω), но модельный вид диэлектрической проницаемости задается неравенством (10), а выражением

                                                                            (12)

соответствующим часто обсуждаемому случаю металлических систем, в которых отсутствует резонанс ω_±, а ω совпадает с плазменной частотой ω_р. Одна из двух поляритонных ветвей имеет отрицательную групповую скорость.

Недавнее наблюдение отрицательного преломления в области микроволн [14] и теоретическое предсказание возможности так называемой идеальной ("perfect") фокусировки света [15] привело к повышенному интересу к материалам с отрицательным преломлением. На эту тему опубликовано множество статей в научных и популярных журналах и даже в газетах. Причем очень часто отправным пунктом в развитии исследований отрицательного преломления света считается упоминавшаяся выше работа Веселаго 1968 года [10]. В действительности, как уже отмечалось во введении, история отрицательного преломления света началась значительно раньше - глубокое понимание сути этого явления было достигнуто Л.И. Мандельштамом по меньшей мере в 1940 г., а в статье Веселаго просто отсутствовали ссылки на ранее проведенные исследования.

Основоположник выдающейся Московской физической школы (см., например, [16]) Л.И. Мандельштам прочитал в Московском государственном университете несколько неформальных циклов лекций. Эти лекции, начавшиеся в 1930 г., продолжались многие годы. На лекциях, которые славились глубоким проникновением в суть обсуждаемого предмета, рассматривались многие важные и тонкие вопросы оптики, теории относительности и квантовой механики. Их посещали не только студенты, но и многие уважаемые профессора. Благодаря записям, сделанным сотрудниками Мандельштама С. М. Рытовым и М.А. Леонтовичем, эти лекции сохранились и вошли в Полное собрание трудов Мандельштама, а значительно позже были опубликованы отдельно [3].

На одной из лекций 1944 года Мандельштам дал детальный анализ отрицательного преломления, происходящего на плоской границе раздела двух сред, в одной из которых могут распространяться волны с отрицательной групповой скоростью. Ниже мы приводим отрывок из лекции Мандельштама. После обсуждения условий, при которых групповая скорость представляет собой скорость распространения энергии, Мандельштам продолжает:

"Пусть все эти условия выполнены, и, следовательно, энергия перемещается с групповой скоростью. Но мы знаем, что групповая скорость может быть отрицательна. Это означает, что группа (и энергия) движется в сторону, противоположную направлению распространения фазы волны. Возможны ли такие случаи в действительности?

В 1904 г. Лэмб придумал некоторые искусственные механические модели одномерных "сред", в которых групповая скорость может быть отрицательной. Сам он, по-видимому, не считал, что приведенные им примеры могут иметь физические применения. Но, как оказывается, существуют и вполне реальные среды, в которых для некоторых областей частот фазовая и групповая скорости действительно направлены навстречу друг другу. Это получается в так называемых "оптических" ветвях акустического спектра кристаллической решетки, рассмотренных М. Борном. Возможность подобного явления позволяет с несколько иной точки зрения подойти и к таким, казалось бы, хорошо известным вещам, как отражение и преломление плоской волны на плоскости раздела между двумя непоглощающими средами. Протекание этого явления, при разборе которого о групповой скорости обычно вообще не упоминают, существенно зависит от ее знака.

Действительно, в чем заключается идея вывода формул Френеля?

Рассматривают плоскую синусоидальную волну, падающую под углом ц, на плоскость раздела у = 0,

и наряду с ней еще две волны – отраженную и преломленную

На плоскости у = 0 эти волны должны удовлетворять так называемым граничным условиям. Для упругих тел это условие непрерывности напряжений и смещений по обе стороны от границы. В электромагнитной задаче на плоскости раздела должны быть непрерывны тангенциальные составляющие напряженностей и нормальная составляющая индукций. Легко показать, что с одной только отраженной волной (или только с преломленной) этим граничным условиям удовлетворить нельзя. Наоборот, при наличии обеих волн условия всегда могут быть выполнены. Отсюда, между прочим, вовсе не следует, что должны быть только три волны, а не больше: граничные условия допускают наличие еще одной, четвертой волны, идущей под углом я - <р_ъ во второй среде. Обычно молча принимают, что этой волны нет, т.е. постулируют, что во второй среде распространяется только одна волна.

Из граничных условий тотчас же следует закон отражения и закон преломления

Рисунок 7. Отражение и преломление падающей плоской волны. (Рисунок из лекций Мандельштама.

    Однако последнее равенство удовлетворяется как при угле ∆φ₁ так и при угле π - φ₁ Волна во второй среде, соответствующая φ₁ распространяется по направлению от границы раздела (рис. 2, слева). Волна же, соответствующая π - φ₁ распространяется по направлению к границе раздела (рис. 7, справа). Считается само собой понятным, что второй волны быть не может, так как свет падает из первой среды на вторую, а значит, во второй среде энергия должна оттекать от границы раздела. Но причем здесь энергия? Ведь направление распространения волны определяется ее фазовой Если же имеем случай отрицательной группоскоростью, энергия же перемещается с групповой скоростью. Здесь допускается, таким образом, логический скачок, которого не чувствуют лишь потому, что привыкли к совпадению направлений распространения энергии и фазы. Если такое совпадение имеет место, т.е. если групповая скорость положительна, то тогда все получается правильно.

вой скорости - случай, как я уже говорил, вполне реальный, - то все меняется. Требуя по-прежнему, чтобы энергия во второй среде оттекала от границы раздела, мы приходим тогда к тому, что фаза должна набегать на эту границу и, следовательно, направление распространения преломленной волны будет составлять с нормалью угол π - φ₁ [как показано на рисунке 2 справа]. Как ни непривычно такое построение, но, конечно, ничего удивительного в нем нет, ибо фазовая скорость еще ничего не говорит о направлении потока энергии".

Эти замечания, сделанные Мандельштамом более шестидесяти лет назад, в действительности объясняют физическую причину возникновения отрицательного преломления и его природу. Поучительно, что, говоря о природе отрицательного преломления, Мандельштам оперирует терминами "волновой вектор", "групповая скорость" и "принцип причинности", а не термином "отрицательный коэффициент преломления", так популярным сегодня. Из принципа причинности следует, что в среде, находящейся в термодинамическом равновесии, интенсивность волны, распространяющейся от границы раздела, должна уменьшаться. Это правило определяет знак мнимой части коэффициента преломления, а следовательно, и знак его действительной части, поскольку они взаимосвязаны и определяются знаком в следующем из (3) уравнении n(ω) = ε(ω)µ(ω).

Установленная Мандельштамом связь между отрицательным преломлением и отрицательной групповой скоростью ясно показывает, что отрицательное преломление возможно для волн любой природы, а также указывает на возможность отыскания подходящих для наблюдения отрицательного преломления материалов на основе изучения дисперсии ω(k) тех волн, которые могут в них распространяться. Краткий обзор истории вопроса об отрицательной групповой скорости можно найти также в недавней работе [17], где эта история прослеживается вплоть до таких ранних работ, как работы Лэмба [18] и фон Лауэ [19].

Тот факт, что понятие групповой скорости чрезвычайно важно в оптике кристаллов, подробно обсуждается в монографии [7]. Отрицательное преломление, возникающее на границе раздела с гиротропной средой, рассматривается уже в первом издании этой книги 1966 года и сопровождается так хорошо известным теперь рис. 7 (см. [7, с. 264]).

В тех средах, в которых распространяются волны с отрицательной групповой скоростью, излучение Черенкова имеет ряд особенностей. Эти особенности также уже давно известны. Из теории излучения Черенкова (см., например, [6]) легко получить, учитывая знак групповой скорости, "необычное" направление распространения излучения. Пусть заряженная частица движется в прозрачной среде вдоль оси х со скоростью v. В результате среда может излучать электромагнитные волны с частотой ω и волновым вектором к, такими, что ω = k_xv. С другой стороны, волновой вектор и частота связаны соотношением k = nω/c, где n= ε- коэффициент преломления. Поскольку k > k_x, должно выполняться соотношение v > v_ph = с/n(ω), т.е. излучение волн с частотой со возможно, если скорость частицы превышает фазовую скорость v_{ph .}

Рисунок 8. Иллюстрация к направлению излучения Черенкова в среде с положительной (а) и отрицательной (б) групповой скоростью.

Здесь v - направление скорости частицы, к - направление волнового вектора излучения, a S - направление вектора Пойнтинга. Вектор S направлен вдоль групповой скорости v_g и определяет действительное направление излучения.

Если обозначить через θ угол между направлением движения частицы и волновым вектором излучения к, то легко видеть, что

                                                                          (13)

Приведем цитату из [6]: "...излучение каждой частоты происходит вперед по направлению движения частицы и распределяется по поверхности конуса с углом раствора в, определяемым формулой (13)".

Из логики приведенного вывода ясно, что заключение о направлении излучения основано на неявном предположении о том, что отвечающая волновому вектору к групповая скорость v_g положительна, а значит, направлена по к - ситуация, показанная на рис. За. Если же групповая скорость, наоборот, отрицательна, т.е. v_g направлена в сторону, противоположную к, то направление излучения (поток энергии S) будет иметь противоположную ориентацию. В этом случае направление излучения образует тупой угол с направлением движения частицы, что впервые было отмечено Пафомовым [13]. На рисунке 36 изображено излучение Черенкова, направленное назад. Излучение распределено по поверхности конуса с тем же углом раствора.

В дальнейшем будет показано, что волны с отрицательной групповой скоростью могут возникать в кристаллах благодаря наличию пространственной дисперсии. В монографии обсуждаются различные случаи проявления пространственной дисперсии в излучении Черенкова. Особенно интересные эффекты как в гиротропных [7, 20], так и в негиротропных [7] средах возникают в окрестности экситонных резонансов: при возрастании скорости движущейся частицы направление конуса Черенкова изменяется от направления излучения вперед до направления излучения назад.

Интересно также влияние, оказываемое отрицательной групповой скоростью на переходное излучение заряженной частицы, проходящей через границу между двумя средами с разными диэлектрическими проницае-мостями. Важная роль знака групповой скорости для переходного излучения и особенности "обратного" эффекта Доплера впервые были изучены в работах Франка [21], Барсукова [22] и Пафомова [12].

1.3 Принцип Ферма для обычных веществ

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих принцип Ферма для обычных веществ (ВПП).

Пример 1. Отражение света от плоского зеркала. Рассмотрим отражение света от плоского зеркала (Рис. 9). Заслонка D исключает прямое попадание света из А в В.

Докажем два утверждения: (а) если выполняется закон отражения α = β, то свет распространяется по кратчайшей из возможных траекторий, т.е. по линии АСВ;  (б) если свет при отражении от зеркала распространяется по кратчайшей траектории, то выполняется закон отражения α = β.

Доказательство (а). На продолжении перпендикуляра АМ отметим точку А' так, что АМ=МА' (рис. 10). Соединим точку А' с точками С и Е. Поскольку треугольники ∆АМС=∆МА'С (как прямоугольные треугольники с равными катетами), то углы АСМ=А'СМ.  Так же ∆АМС=∆М'СВ, откуда углы АСМ=М'СВ. 

Значит, углы А'СМ=М'СВ.  Следовательно, линия А'СВ – прямая, т.е. кратчайшая линия. Но А'С=АС,  А'Е=АЕ, значит, длина ломаной АСВ меньше, чем длина ломаной А'ЕВ.

Рисунок 9. отражение света от плоского зеркала.            Рисунок 10. отражение света от плоского зеркала             Рисунок 11. отражение света от плоского зеркала          Рисунок 12 Отражение от вогнутого сферического зеркала

Доказательство (б). Пусть точка Е лежит на прямой ММ'  на расстоянии х от точки М (рис. 11). Найдем длину ломаной АЕВ:

.

Т.к. длина пути света минимальна, то выполняется условие .

Вычисляя эту производную и приравнивая ее к нулю, находим, что:

,

или

,    .

Можно также убедиться, что этот экстремум будет минимумом.

Пример 2. Отражение от вогнутого сферического зеркала. Пусть луч света отражается от вогнутого сферического зеркала радиусом R. (Рис. 12) Выведем закон отражения для этого случая при условии, что свет, распространяясь от точки А к В, выбирает минимальную по длине траекторию. Заслонка D исключает прямое попадание света в точку В. 

Для некоторой точки Е сферы длина пути света равна:  Условие экстремума:. Поэтому ,  или  φ = 45⁰.

Значит точка Е для истинной траектории должна лежать посередине дуги АЕВ, т.е. в точка С. При этом α = β.

Отрицательный знак второй производной указывает на то, что реализуется максимум – свет выбирает наидлиннейшую из возможный траекторий.

Пример 3. Отражение от вогнутого эллиптического зеркала. Докажем, что при отражении от  вогнутой эллипсоидальной поверхности выполняется закон отражения α = β при переходе света из фокуса А эллипса к фокусу В (рис. 13). Точка С может быть выбрана произвольно, СN – перпендикуляр к касательной в точке отражения, заслонка D исключает прямое попадание света из А в В. Проверим также, реализуется ли в этом случае условие экстремума.

Доказательство. Опустим из точки А перпендикуляр на касательную и продолжим его на расстояние АL=LA' (Рис. 14). Соединим произвольную точку эллипса Е с точкой А'. Треугольник АLE равен треугольнику А'LE (как два прямоугольных треугольника с равными катетами), тогда α = α' и АЕ=А'Е. Тогда длины ломаных:l_A'EB=l_AEB=2a,

          где a -  большая полуось эллипса. Ломаная линия АЕВ, соединяющая точки А и В через точку касания эллипса Е является кратчайшей линией, т.е. l_AEB<l_AE'B (Е' – точка за пределами эллипса). Поэтому также А'ЕВ является кратчайшей линией, соединяющей точки А' и В. Следовательно, это прямая. По теореме о накрест лежащих углах получаем, что α' = β, но т.к.  α' = α, то  α = β, а также  γ = δ  - угол падения равен углу отражения.

По определению эллипса, АЕ+ЕВ=2а=сonst, тогда l_AEB=l_AСB=сonst, значит, в данном случае не существует экстремума.

Рисунок 13. Отражение от вогнутого эллиптического зеркала.                Рисунок 14. Отражение от вогнутого эллиптического зеркала.

Во всех трех примерах отражения света общим требованием для выполнения закона отражения света являлось равенство нулю первой производной длины траектории луча по отклонению от истинной траектории в ту или другую сторону (Условие стационарности). При этом может быть или минимум, или максимум, или не быть ни того, ни другого.

Пример 4. Преломление света на плоской поверхности. Докажем, что (а) время распространения света через плоскую границу раздела двух сред из точки А (в среде, где скорость света равна υ₁) в точку В (где его скорость υ₂) минимально на такой траектории АСВ (рис. 14) для которой выполняется закон преломления:

                                             .                                            (14)

Докажем обратное: (б) если на плоской границе раздела сред выполняется закон преломления света при его распространении от точки А к В, то время распространения будет минимальным.

(а) Построим круг произвольного радиуса R (Рис. 15). Изобразим его диаметр MN, разделяющий две среды: сверху находится оптически менее плотная среда, снизу – более плотная (υ₁ >υ₂). Отметим наши точки А и В и проведем две ломаные: через центр С круга, при этом углы падения α и преломления β связаны соотношением (14), и через произвольную точку С'. Докажем, что время прохождения светом пути АСВ меньше времени прохождения светом пути АС'В.

Время движения света по пути АСВ равно:

                                                   .                                               (15)

Время движения света по пути АС'В равно:

                 ,               (16)

где  - угол падения в точке С'. Очевидно, что , если  , откуда следует, что . Во всех остальных случаях .

Рисунок 14. Преломление света на плоской поверхности.        Рисунок 15. Преломление света на плоской поверхности.              Рисунок 16 Преломление света на плоской поверхности.

 Пусть С – некоторая произвольная точка на отрезке MN. Найдем время перехода луча из точки А в В (Рис. 16) :

                          .                (17)

Необходимое условие минимума (стационарности) запишем в виде: , тогда

,  или   .

Так как

,    ,

то

.

Из положительности второй производной делаем вывод о том, что имеет место минимум.

Пример 5. Преломление света на сферической поверхности. Пусть В – действительное изображение точки А при преломлении света  на выпуклой сферической поверхности КСL (рис. 17). Докажем, что время распространения света между фиксированными точками А и В (точка В – это действительное изображение F точки А) по двум путям АСВ и АС'В одинаково. Предполагается, что угла α и β малые.

Рисунок 17. преломлении света  на выпуклой сферической поверхности. Рисунок 18 .Преломление света на сферической поверхности.

Обозначим (рис. 18) САС' = γ,  СВС' = δ,  АС' = s, BС' = s'. Тогда, если учесть параксиальность пучка лучей, т.е. малость углов α, β, γ, δ, получим:

                                                                                (18)

и

                           (19)

Если пренебречь членами второго порядка малости, по сравнению с членами первого порядка, получим:

                                           ,                                            (20)

что и требовалось доказать.

Пример 6. Докажем, что время распространения света через выпуклую сферическую поверхность раздела двух сред KCL (рис. 19) из точки А в точку В, находящуюся за действительным изображением  F точки А, максимально на такой траектории АСВ, для которой выполняется закон преломления (14).

В однородной среде свет распространяется по прямой линии. Построим наряду с реальной траекторией ACFB возможную окольную траекторию АС'В (рис. 20). Обе траектории выходят из одной и той же точки А и заканчиваются в той же точке В. Докажем, что время распространения света  вдоль истинной траектории будет больше, т.е. .

Проведем малую дугу с центром в точке F и радиусом FB, она пересечет прямую АОF в точке В'. Проведем большую дугу с центром в точке С' и радиусом С'В', она пересечет прямую С'В на ее продолжении в точке D, а точка В окажется выше. Поскольку F – действительное изображение, то .

Рисунок 19. распространения света через выпуклую сферическую поверхность. Рисунок 20.  Преломлении на выпуклой сферической поверхности.

Т.к. FB = FB' и среда однородная, то .

Т.к. C'D = C'B' и среда однородная, то  .

Поскольку точка В находится внутри, то .

Получаем, что .

Слева стоит время возможной траектории. Покажем, что справа стоит время истинной траектории. Действительно,

                          .                                    (21)

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Таким образом, при преломлении на выпуклой сферической поверхности на пути от А (в среде 1) к В (в среде 2 за фокусом F) время прохождения света по истинной траектории (т.е. при соблюдении закона преломления) будет максимальным по сравнению со временем по другим окольным траекториям.

Заметим, что при преломлении света, как и при отражении важна стационарность. Время может быть минимальным (если точка В находится ближе действительного изображения F точки А), может быть максимальным (если точка В дальше точки F), а может не быть ни максимальным, ни минимальным (если В находится в точке F).

 2 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАМАТЕРИАЛОВ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

 2.1 Физические свойства материалов с отрицательным показателем преломления

Метаматериалы (от греч. «мета» - «за пределами», «сверх») - это искусственные материалы, обладающие электромагнитными свойствами не встречающимися в природе. Метаматериалы состоят не из атомов и молекул, как обычные вещества, а из микроструктур: крошечных, меньше микрона, искусственных металлических резонаторов. Если размеры резонаторов намного меньше длины волны используемого излучения, электромагнитная волна распространяется в такой среде как в веществе с определенными диэлектрической ɛ и магнитной µ проницаемостями. [2]. В своей основополагающей работе В.Г. Веселаго показал, что рефракция (отклонение электромагнитной волны при прохождении границы раздела двух сред) изменяется в материалах с отрицательным коэффициентом преломления. В условиях, когда оба материала имеют одинаковый знак коэффициента преломления, волна, пересекая границу раздела, появляется на противоположной стороне линии, проходящей перпендикулярно к этой границе (нормаль к поверхности). Однако, если один материал имеет положительный коэффициент преломления, а другой — отрицательный, волна будет появляться на той же стороне нормали, с которой она подходила к границе раздела.

Также особым свойством метаматериалов является характерная дисперсия волн, распространяющихся в такой среде. Уравнение распространения электромагнитных волн в изотропной среде имеет вид

                                                                                        (22)

где k — волновое число, ω — угловая частота волны, c — скорость света в вакууме, n² =εμ — квадрат показателя преломления, ε — диэлектрическая проницаемость и μ — магнитная проницаемость среды. Дисперсия — это зависимость частоты колебаний волны от величины волнового числа, т.е. от длины волны λ волнового процесса (k = 2π/λ). Из (22) получаем

                                                                                                             (23)

Решающим фактором, определяющим дисперсию электромагнитной волны, является коэффициент преломления. Так называемые ”левосторонние“ среды имеют отрицательный коэффициент преломления. Уравнение (22) получено на основе теории Максвелла. Для сред, у которых диэлектрическая ε и магнитная μ проницаемости одновременно положительные, три вектора электромагнитного поля — электрический E, магнитный H и волновой k — образуют так называемую правую систему векторов

                                 [kE] = (ω/c)μH,

                                [kH] = − (ω/c)εE.                                                      (24)

Такие среды соответственно называют ”правыми“. Среды, у которых ε и μ одновременно отрицательные, электрический E, магнитный H и волновой вектор k образуют левую систему векторов. Такие среды называют ”левосторнними“. В англоязычной литературе описанные материалы называют right- и left-handed materials, или сокращенно RHM (правые) и LHM (левые) материалы соответственно.

Для характеристики распространения волны и ее дисперсии необходимо дать определение фазовой и групповой скоростей волны. В случае плоской гармонической волны фазовая скорость вдоль волнового вектора есть скорость движения поверхности равных фаз и ее можно выразить следующим образом

                                                                                                                    (25)

Подставляя сюда выражение для ω из (23), получаем на первый взгляд очевидное соотношение

                                                                                                          (26)

из которого следует, что в метаматериале фазовая скорость волны может быть отрицательна. Отрицательность фазовой скорости означает, что при распространении волны набег фаз происходит в направлении от приемника к источнику, в то время как перенос энергии очевидным образом происходит от источника к приемнику.

Групповая скорость — это параметр, характеризующий скорость распространения ”группы волн“, т.е. распространения более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Групповая скорость обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета. В одномерном случае групповая скорость вычисляется из закона дисперсии

                                                                                                         (27)

Если дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость обычно может быть интерпретирована как скорость переноса ”энергии“ волны или скорость, с которой могут быть переданы с помощью волнового пакета сигналы, несущие информацию в соответствии с принципом причинности. Как следует из теории относительности, групповая скорость всегда положительна и по величине меньше или равна скорости света в вакууме. В одномерных средах без дисперсии групповая скорость по величине совпадает с фазовой скоростью [3].

Рисунок, на котором была изображена схема преломления света, коренным образом отличающаяся от той, к которой мы привыкли со школьной скамьи, впервые был нарисован мелом на доске во время лекции по теории колебаний (рис.21а). Лектор, Леонид Исаакович Мандельштам, стремясь приучить студентов обосновывать каждый шаг рассуждений, обратил их внимание на “логический скачок”, который совершается при выводе закона преломления света. Из того факта, что световая энергия после прохождения поверхности должна оттекать от границы раздела сред, делается вывод, что луч преломленный r и луч падающий i должны лежать по разные стороны от нормали к поверхности n (рис.21б). Действительно, при таком расположении лучей параллельные поверхности раздела  составляющие волнового вектора, а энергия, согласно принципу причинности, будет распространяться от источника, а значит и от границы раздела. Однако это лишь один из двух возможных случаев.

Одновременное выполнение условия сшивки падающей и отраженной волн на границе  и принципа причинности (поток энергии S направлен от границы раздела) можно достичь, если вектор Умова-Пойнтинга S, указывающий направление движения волны, противоположен по направлению волновому вектору k, указывающему направление движения фазы (рис. 22). При этом закон преломления останется справедливым, если положить n₂ меньшим нуля (угол преломления β отсчитывается влево от нормали и также меньше нуля)

                     Рисунок 21 – Схема преломления света.

          Рисунок 22. Направление движения фазы.

Среды с отрицательным показателем преломления – это среды, в которых как диэлектрическая, так и магнитная проницаемость меньше нуля. В этом случае векторы электрического поля Е, магнитного поля H и волновой вектор k как следует из уравнений Максвелла:

образуют левую тройку. Это значит, что фазовая скорость направлена противоположно групповой, определяемой направлением вектора Умова-Пойнтинга . Необычные свойства таких сред были предсказаны отечественным ученым В.Г. Веселаго еще в 1966 году [2], им же предложено название “левые материалы”. В англоязычной литературе описанные материалы называют right- и left-handed materials, или сокращенно RHM (правые) и LHM (левые) материалы соответственно.Возможность существования материалов, которые на оптических частотах имеют магнитные восприимчивости существенно отличающиеся от 1, заставляет переформулировать многие из законов оптики, которые были выведены в естественном для традиционной оптики предположении µ=1. Наиболее яркие примеры:

 Обычно применяемое в “немагнитном приближении” соотношение для показателя преломления среды  должно быть заменено на .

 Условие отсутствия отражение от границы раздела среды, формулируемое ранее как равенство показателей преломления сред (т.е. другими словами, равенство скоростей света в двух средах), теперь запишется в виде равенства волновых сопротивлений:  . Подобная ситуация обычна для радиофизики, где существует понятие согласования импедансов (волновых сопротивлений) для волноводов: , являющегося условием отсутствия отражения волны на границе. Однако мысль о том, что равенство скоростей света в граничащих средах более не является достаточным условием отсутствия отражения, воспринимается людьми, специализирующимися в оптике как ломка привычных представлений.

  Следствиями отрицательных ɛ и µ являются также необычные реализации эффекта Доплера и Черенкова: доплеровского сдвиг изменяет знак, направление черенковского излучения меняется на противоположное. Формулировки принципа Ферма и формулы Френеля также претерпевают изменения. [4].

 Создана модель «плаща-невидимки», который действительно может скрыть объект от человеческого глаза. В отличие от предыдущих версий «магического» покрытия, работавших в инфракрасном диапазоне, новый «плащ» эффективен в области длин волн, соответствующих видимому свету.

Научная общественность уже не раз сообщала миру о создании «плаща-невидимки», который мог бы, как шапка волшебника Черномора в поэме «Руслан и Людмила», делать объект невидимым, но на поверку речь шла об «игре в прятки» в инфракрасном диапазоне. Свет этих длин волн представляет собой тепловое излучение и не виден человеческому глазу. Создание «плаща-невидимки» для видимого диапазона куда сложнее из-за требований, налагаемых на физические свойства материала, из которого он должен быть сделан. Однако ученым из Университета Калифорнии в Беркли (США) удалось разрешить эту проблему.

В журнале Nano Letters они сообщили о создании защитного покрытия, способного делать объекты невидимыми во всем диапазоне длин волн видимого света.

Предыдущие попытки создания «невидимости» использовали в основном метаматериалы на основе металлов (метаматериалы – это композиционные материалы, свойства которых определяются не составом, а микроструктурой). Однако такой состав оказался неприемлемым при приближении к видимому диапазону длин волн, поэтому, как пояснила специалист по метаматериалам, профессор Мичиганского университета Елена Семушкина, ряд групп обратились к созданию диэлектрических «плащей-невидимок». Они не имеют проводящих свойств металлов и больше похожи на стекло.

Позднее специалисты из Бирмингема предложили использовать для создания «плащей-невидимок» материалы из так называемых одноосных кристаллов. Для таких кристаллов характерно двойное лучепреломление при всех направлениях падающего на них света, кроме одного (это направление называется оптической осью кристалла). Материалы на одноосных кристаллах позволяли «прятать» микрообъекты от видимого света, однако лишь в случае его особой поляризации.

Усовершенствование этой технологии позволило эффективно скрывать относительно большие объекты (размером около 300 нм на 6 мкм) под отражающим «защитным покрытием».

«Плащ-невидимка» представляет собой гладкое оптическое зеркало, которое скрывает объект в видимом диапазоне длин волн.

Защитное покрытие работает следующим образом: вы прячете объект под особым материалом, который внешне выглядит как обычное зеркало – сквозь него не видно объекта, находящегося внизу. Внешний наблюдатель и не предполагает, что под зеркалом что-то находится.

Рисунок 23 - a) Картина нормального отражения света от объекта; b) при наличии «плаща-невидимки» свет отражается так, как будто под ним нет предмета.

Чтобы заставить видимый свет «обойти» спрятанный объект, исследователи изобрели материалы с переменным показателем преломления – это метаматериалы, несуществующие в природе.

Для этого волновод из нитрида кремния поместили на прозрачную нанопористую подложку оксида кремния, которая имела меньший показатель преломления, чем волновод.

С помощью нанесения наноразмерных отверстий в нитридном слое исследователям удалось придать композитному материалу свойства «плаща-невидимки».

Кроме красивого эффекта «невидимости» разработанная технология двигает вперед новую область – применение оптически непостоянных структур в диапазоне видимого света. Использование такой оптики позволяет исследователям «работать» со светом для усовершенствования, например, мощных микроскопов и компьютеров. [5].

Ученые придумали, как обойти один из главных недостатков ультразвуковых изображений — плохое разрешение. Это можно сделать с помощью новых метаматериалов.

Трудно найти человека, который ни разу не видел ультразвуковое изображение собственных органов, однако «прочитать» такие снимки зачастую может только специалист. Дело в том, что согласно законам физики, минимальная величина объекта, который можно «увидеть» с помощью волны, ограничена самой длиной волны. Например, для получения УЗИ тканей, используют частоту звуковой волны в 1-5 мегаГерц (такой звук человек расслышать не в состоянии), что соответствует разрешению около одного миллиметра.

В исследовании, опубликованном в журнале Nature Physics, физики из Беркли, Автономного университета в Мадриде (Universidad Autonoma de Madrid) и других европейских институтов показали, что с помощью специальной структуры из метаматериалов при УЗИ можно поймать быстро затухающие, так называемые исчезающие, волны и получить разрешение в 50 раз меньше, чем длина волны ультразвука.

На основе метаматериалов в последнее время уже были созданы оптические суперлинзы и двумерные акустические гиперлинзы. Теперь ученые предлагают на их основе новое устройство для улавливания исчезающих волн. Это 1600 полых медных трубок диаметром около миллиметра, упакованных в 16-сантиметровый брусок с квадратным поперечным сечением (6.3 см). Такая структура ловит исчезающие волны и, прогоняя по трубкам до конца бруска, помогает восстановить нужные детали на изображении. Устройство можно установить на ультразвуковом зонде.

Разрешение ультразвуковых изображений находится в миллиметровом диапазоне. С новым прибором его ограничивает только размер дырок структуры из метаматериала, объясняет руководитель исследований Сяобо Инь (Xiaobo Yin) из Беркли. Во время экспериментов ученые использовали акустические волны с частотой около 2 килоГерц, при этом разрешение изображения ограничивается длиной волны или 200 миллиметрами. С дырчатым метаматериалом при той же самой длине волны можно было различать детали размером менее 4 миллиметров.

Устройство поможет также улучшить работу сонаров, работающих под водой, и других ультразвуковых приборов. [7].Национальный Институт Стандартов и Технологии США (NIST) спроектировал и проверил экспериментальные антенны, которые очень эффективны при размерах антенн, меньших стандартных антенных систем с сопоставимыми свойствами. Новые антенны могут быть полезными в любых беспроводных системах, таких как устройства аварийной связи, микродатчики и портативные радары.

Инженеры NIST работают с учеными от Аризонского университета (Tucson) и Boeing Research & Technology (Сиэтл, Вашингтон), чтобы проектировать антенны, включающие метаматериалы - материалы, спроектированные с новыми, часто микроскопическими структурами, чтобы добиться необычных свойств. Новые антенны излучают всего 95 процентов подаваемого радиосигнала и все же бросают вызов обычным устройствам. Стандартные антенны, для того чтобы работать эффективно, должны быть длиной по крайней мере в половину длины волны сигнала. На 300 МГц, например, антенна должна была бы быть полметра длиной. Экспериментальные антенны такие маленькие, что не превышают одну пятидесятую длины волны и могут быть еще меньше.

В их последнем опытном образце исследовательская группа использовала металлическую проводную антенну, напечатанную на маленьком квадрате меди, с размером стороны меньше 65 миллиметров. Антенна телеграфирована источнику сигнала. Установленный в конце квадрата "Z элемент”, который действует как метаматериал, a Z-сформированная полоса меди с катушкой индуктивности (устройство, которое хранит магнитную энергию) в центре (см. фотографию). "Назначение антенны состоит в том, чтобы передать энергию в свободное пространство”, объясняет инженер NIST Christopher Holloway , "Но проблема с антеннами, которые являются очень маленькими по сравнению с длиной волны, состоит в том, что большая часть сигнала возвращается обратно к источнику. Метаматериал заставляет антенну вести себя, как будто она намного больше, чем это действительно, потому что структура антенны захватывает энергию и повторно излучает ее.” Обычные антенны, говорит Holloway, достигают подобного эффекта, добавляя согасующие элементы, чтобы повысить эффективность, но метаматериал может сделать систему намного меньшей".

Еще более интригующе то, что говорит Holloway , "метаматериал - намного ‘быстрее частоты. Возможно, что мы смогли бы настраивать их "на лету", чтобы работать с любой частотой, которую мы хотим. В известной степени это не возможно с обычными антеннами.

Антенны Z были разработаны и изготовлены в Аризонском университете и частично были протестированы в Boeing Research & Technology. Измерения эффективности были выполнены в лабораториях NIST в Boulder, Колорадо. Продолжающееся исследование спонсируется Оборонным Агентством Проектов Перспективных исследований. [8].

       Давайте рассмотрим одномерную периодическую структуру, показанную схематично на рис.3.1, где слои обычного диэлектрического материала шириной d1, отделены слоями метаматериала с отрицательным показателем преломления шириной d2. Мы опишем изменение показателя преломления в паре слоев следующим образом:

                  ,                             (28)

где n₁ и n₂ – показатели преломления диэлектрических и метаматериальных слоев, соответственно, d = d₁ + d₂ - период структуры. Структура однородна в y направлении (∂/∂y=0). Электрическое поле может быть выражено как . Область, как предполагается, монохроматическая с частотой ω.

  Рисунок 24 – 1) диэлектрик; 2) метаматериал с отрицательным показателем преломления.

Применим теорему Блоха для периодических систем

,                               (29)

где М – матрица перемещения, характеризующая волну, рассеивающуюся в периодической структуре,  - векторные компоненты продольной волны, k_x - векторный компонент волны вдоль слоев, индексы 1, 2 указывают на слой. Величина cosKd определяет структуру. Это должно дать реальные значения для СМИ без потерь и реальный k_y. Режимы, где Kdcos < 1 соответствуют реальному K и таким образом распространению волн Блоха. В режимах, где у Kd > 1 K есть воображаемой частью; поэтому, волны Блоха недолговечны, и этот режим соответствует запрещенным группам периодической среды. Отношение дисперсии ТМ поляризованных волн получаем, заменяя ε и μ в (29):

          (30)

В периодических структурах, содержащих переменные слои отрицательных преломляющих метаматериалов и обычных диэлектриков, возникают новые частичные запрещенные зоны. Эти запрещенные зоны появляются, когда условие  удовлетворено для определенных углов рассеивания. Это возможно, потому что k_y положительный в обычном диэлектрике и отрицательный в метаматериале с отрицательным показателем преломления.

Кроме того одномерная слоистая структура со слоями метаматериалов может показать полную двумерную запрещенную зону. Более сложная одномерная периодическая структура может обладать абсолютной запрещенной зоной. Эта структура содержит три различных вида слоев, чтобы подавить условия для существования угла полной поляризации. Отношение дисперсии для структуры с параметрами ε₁ = μ₁ =1, ε₂ = μ_3, ε₃ = μ₂ и d₂ = d₃ записано следующим образом:

                                  (31)

Это отношение дисперсии остается тем же самым и для TE и для ТМ поляризации. Хотя, запрещенные зоны появятся для обеих поляризаций одновременно. Присутствие запрещенных зон для обеих поляризаций указывает на существование абсолютной запрещенной зоны. Одномерная периодическая структура может заманить свет в ловушку в трех измерениях в отличии от обычных фотонных кристаллолв, которые требуют двух - и трехмерной периодичности. [9].Основное различие между периодическими структурами со слоями полупроводника и структурами с диэлектрическими слоями состоит в зависимости частоты от диэлектрической постоянной в слоях полупроводника. Зависимость диэлектрической постоянной от частоты приводит к появлению новых типов волн и формированию различной неустойчивости. Теперь мы остановимся на случае отсутствия потерь в слоях. Чтобы узнать основные характеристики поведения мод в структурах со слоями полупроводников, мы должны предположить, что диэлектрическая постоянная и проходимость слоев метаматериала постоянны.

Мы будем использовать гидродинамическую модель, чтобы описать движение носителей заряда в полупроводнике. Применение гидродинамической модели разумно для частот ω >> ν, где ν - эффективная частота столкновения, и для частот ν << ω. Типичные значения эффективной частоты столкновения для полупроводника позволяют сделать вывод, что гидродинамическая модель применима для описания процессов волны с частотами ω = 10¹⁰ с^-1. В продуманной периодической структуре может использоваться гидродинамический подход, если период структуры d = d₁ + d₂ намного больше, чем длины электромагнитной волны. Отдельный слой полупроводника толщины d₁ описан в гидродинамическом подходе диэлектрической постоянной:

                                     ,                                              (32)

где ε₀₁ - высокочастотная диэлектрическая константа,  - плазменная частота; e, m и N являются зарядом, эффективной массой и плотностью свободных носителей; ε₀ - диэлектрическая постоянная свободного пространства.

Здесь давайте вернёмся к распространению поляризованных ТМ волн. Отношение дисперсии для ТМ волн (3.3) является тем же самым что касается структуры материала с отрицательным показателем преломления - диэлектрик. Мы сравним положение запрещенных зон в структуре полупроводник-метаматериал и полупроводник – диэлектрик. Давайте левую часть уравнения (3.3) обозначим как F(k_x, ω). Рис.4.1 показывает график функции cosKd=F(k_x,ω) для структуры полупроводник - метаматериал для произвольного постоянного значения частоты ω. Сравнительно рис.4.2 показывает график функции F для периодической структуры полупроводник - диэлектрик, у которого есть те же самые величины диэлектрической постоянной и проходимости как у метаматериала.

Рисунок 25.а. – Графическое изображение запрещенных зон для структуры полупроводник - метаматериал соответственно уравнению (28)

Рисунок 25.б. - Графическое изображение запрещенных зон для структуры полупроводника - диэлектрик, соответственно уравнению (28)

Мы рассмотрим частоту ω, которая соответствует положительным значениям ε₁. Если cosKd > 1 распространение волны запрещено. Эти области заштрихованы. Мы можем заметить, что число запрещённых зон и их положения отличается в структурах метаматериал - полупроводник и метаматериале - диэлектрик.

Как очевидно из рис. 25.а, и 25. б, с увеличением k_x запрещенные зоны становятся более узкими. Наконец, после дальнейшего увеличения k_х, разрешенные зоны становятся настолько узкими, что запрещенные зоны сливаются друг с другом. Хотя, все это рассмотренное, один из слоев становится непрозрачным. Наконец, начиная с определенной ценности xk оба из слоя становятся непрозрачными, и непрерывная запрещенная группа сформирована. Эта величина k_х - одинакова для структур полупроводник- метаматериал и полупроводник - диэлектрик. В разрешенной зоне Блох волновое число изменяется от 2mπ/d до 2(m+1)π/d. На каждой границе прямые и отраженные волны появляются в равной фазе. Мы видим, что положение и количество запрещенных зон для структур полупроводник - метаматериал и полупроводник - диэлектрик различный, потому что у Блоха волновое число для этих структур – разные величины.

Теперь мы попытаемся исследовать случай когда . Затем соответственно,

                                                                                                       (33)

Описанное выше неравенство налагает ограничения на толщину слоев. Самое глубокое влияние периодичности происходит в k_xd ≈ 1. Таким образом, должно быть удовлетворено следующее ограничение . Уравнение дисперсии для ТМ поляризованных волн может быть преобразовано к следующей форме:

                                                              (34)

Рис. 26 дает отрывочную идею соответствующих кривых дисперсии. Как известно, спектр диэлектрической полупроводниковой структуры состоит из двух различных отделений. Акустическое отделение начинается в k_х = 0 и ω=0 и склоняется к ω_ps, где  - частота поверхности, n₀₁ – концентрация носителей. Оптическое отделение начинается в ω =ω_р1 и k_х→ 0 и склоняется к ω_ps (Рис. 26, a).

Рисунок 26. - Кривые дисперсии ТМ волны для периодической структуры: a) диэлектрик-полупроводник, б) полупроводник-метаматериал

В структуре полупроводник-метаматериал волны могут рассеиваться на высоких частотах ω > ω_ps (Рис.26,б). Это возможно, потому что у энергетического потока и волнового вектора есть противоположные направления в слое метаматериала с отрицательным показателем преломления.[9].

2.2 Оптические свойства левых сред. Принцип Ферма для сред с отрицательным показателем преломления

В работе группы ученых из Сан-Диего [6, 7] сообщалось о практической реализации композитных материалов, необычные электродинамические свойства которых могут быть объяснены, если принять, что коэффициент преломления таких материалов отрицателен. Этот композит состоит из диэлектрической основы, в которую вкраплены мелкие металлические элементы, с размерами меньше длины волны падающего излучения. (В то время экспериментаторы работали с сантиметровыми волнами, но к настоящему времени получены ВОП, работающие в диапазоне видимого света.) Эти элементы реализованы в двух разновидностях. Первая из них – это тонкие металлические стерженьки или антенны, взаимодействующие с электрической составляющей падающего поля. Вторая разновидность – это миниатюрные колечки с прорезями или антенны, взаимодействующие с магнитной компонентой поля. Обе эти разновидности располагаются в пространстве в строгом порядке, образуя решетку с периодом, также меньшим длины волны падающего излучения.

Подбором всех параметров этой решетки можно получить искусственную среду с различными коэффициентами преломления, в том числе и отрицательным, что и было убедительно продемонстрировано в эксперименте.

Таким образом, левые среды представляют собой двух- или трехмерные периодические структуры, в которых фазовая и групповая скорости волны могут быть направлены под разными углами друг к другу.

Левые среды также можно отнести к фотонным кристаллам или сверхрешеткам (crystal superlattice) — средам, в которых искусственно создано дополнительное поле с периодом, на порядки превышающим период основной решетки [9].

Для световой волны такое поле получают периодическим изменением коэффициента преломления среды — в одном, двух или трех измерениях (1D-, 2D-, 3D-фотонные структуры соответственно). Если период оптической сверхрешетки сравним с длиной электромагнитной волны, то поведение фотонов кардинально отличается от их поведения в решетке обычного кристалла, узлы которого находятся друг от друга на расстоянии, много меньшем длины волны света. Поэтому такие решетки и получили особое название - фотонные кристаллы.

Несмотря на то, что идея фотонных зон и фотонных кристаллов утвердилась в оптике лишь в последние несколько лет, свойства структур со слоистым изменением коэффициента преломления давно известны физикам. Одним из первых практически важных применений таких структур стало изготовление диэлектрических покрытий с уникальными оптическими характеристиками, применяемых для создания высокоэффективных оптических спектральных фильтров и снижения нежелательного отражения от оптических элементов (такая оптика получила название просветленной) и диэлектрических зеркал с коэффициентом отражения, близким к 100%. В качестве другого хорошо известного примера 1D-фотонных структур можно сказать о полупроводниковых лазерах с распределенной обратной связью, а также оптические волноводы с периодической продольной модуляцией физических параметров (профиля или коэффициента преломления).

Обычные штриховые дифракционные решетки — это тоже пример 1D-фотонных структур: по аналогии с ними фотонные кристаллы называют иногда трехмерными дифракционными решетками. Распространение излучения в таких решетках определяется условием максимума интерференции света, рассеянного на узлах, и зависит от угла между направлением волнового вектора и осями дифракционной решетки - фотонного кристалла.

При рассеянии фотонов на 1D- и 2D-структурах всегда находятся такие направления распространения дифрагировавших лучей, для которых условие максимума интерференции выполнено. Для одномерного кристалла - нити, такие направления образуют конические поверхности, а в двумерном случае — совокупность отдельных, изолированных друг от друга лучей.

Трехмерный случай принципиально отличается от одномерного и двумерного тем, что условие максимума интерференции для данной длины волны света может оказаться невыполнимым ни для одного из направлений в пространстве. Распространение фотонов с такими длинами волн в трехмерном кристалле невозможно, а соответствующие им энергии образуют запрещенные фотонные зоны.

Для практической реализации такой необычной среды учеными Калифорнийского института (UCSD) была изготовлена структура, представляющая собой периодический набор расщепленных медных круговых резонаторов и проводов, полученных методом масочного травления в стеклянном волокне толщиной 0,25 мм (рис. 1). Результаты измерений дали величину показателя преломления  для «левого» материала и   для «правого» (или обычного) материала.

Рисунок 27 – Материал с отрицательным показателем преломления

Ключевым экспериментальным результатом в исследовании ВОП стала демонстрация необычной реализации закона преломления Снеллиуса.

На рис. 27 изображен переход луча света через плоскую границу раздела двух сред с коэффициентами преломления п₁ и п₂ соответственно. Если без нарушения общности положить п₁=1, то привычный ход луча соответствует  пути 1 – 4. В экспериментах в Сан-Диего луч шел по  пути 1 – 3. Такой путь преломленного луча удовлетворяет закону Снеллиуса, если принять п₂ < 0. При этом сам закон Снеллиуса:

не меняется.

Отрицательным значением коэффициента преломления могут быть охарактеризованы изотропные вещества, у которых фазовая и групповая скорости антипараллельны. Такая ситуация, в частности, характерна для веществ, у которых значения диэлектрической ε и магнитной μ  проницаемости оба являются отрицательными [2]. Тогда в выражении для коэффициента преломления:

,

знак «плюс» соответствует положительным ε  и  μ, а знак «минус» — отрицательным.

Напомним, что фазовой скоростью υ монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показателем преломления n фазовая скорость υ равна υ=с/п, где c – скорость света в вакууме.

Как правило, среды обладают дисперсионными свойствами – волны разных частот распространяются в средах с различными фазовыми скоростями. Это явление называют дисперсией. При распространении монохроматической волны в среде с дисперсией никаких особых явлений не наблюдается; волна распространяется со своей фазовой скоростью, которая определяется значением показателя преломления на частоте волны. Но если в диспергирующей среде одновременно распространяется группа волн разных частот, то по мере распространения волн возникают фазовые сдвиги между отдельными спектральными компонентами. При этом происходит деформация формы суммарного процесса. Если на входе в диспергирующую среду возмущение имело вид импульса (волнового пакета) определенной формы, то после прохождения некоторого слоя форма импульса может существенно измениться.

Рисунок 28 – Преломление света на границе двух сред                   Рисунок 29 – Прохождение света через плоскую границу двух сред с показателями преломления п1 и п2

Для описания распространения волнового пакета в среде с дисперсией следят за перемещением центра волновой группы или точки с максимальным значением амплитуды. Скорость этой точки и есть групповая скорость.

Для ВОП характерна необычная реализация не только закона Снеллиуса, но и других явлений оптики и электродинамики, многие из которых были предсказаны в теоретических работах академика В.Г. Веселаго еще в 60-е годы 20 века. 

К перечню рассмотренных законов мы добавим еще один закон, точнее – принцип – принцип Ферма.

Формулировка этого принципа в литературе встречается в разных вариантах. Например:

Луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, вдоль которого время его прохождения меньше, чем вдоль любого другого пути, соединяющего эти точки [10].

Очевидно, что эта формулировка справедлива для ВПП и не подходит к случаю, когда свет хотя бы частично распространяется через ВОП.

Проиллюстрируем это на рис.3, на котором изображены возможные пути луча, пересекающего плоскую поверхность, разделяющую две среды, имеющие показатели преломления  п₁ и п₂. 

В том случае, если п₁ и п₂ оба положительны (т.е. обе среды состоят из ВПП), луч идет по пути АО₁В , а углы  и  удовлетворяют закону Снеллиуса:

.

Оптическая длина этого пути равна:

L=n₁· АО₁+n₂·О₁В.

Далее мы докажем, что закон Снеллиуса будет выполняться, если производная оптического пути L будет равна нулю. При этом сама величина L для реального пути будет минимальна и положительна.

Если п₁ и п₂ оба отрицательны (т.е. обе среды состоят из ВОП), ход лучей будет такой же, как и в предыдущем случае, но с одним важным отличием. В первом случае волновой вектор в обоих средах направлен вдоль лучей, т.е. от А к В, а во втором случае волновой вектор направлен против направления лучей, т.е. от В к А. При этом оптическая длина L оказывается отрицательной и для реального пути АО₁В будет максимальной.

Оба случая соответствуют положительному значению величины  относительного показателя преломления второй среды относительно первой.

Положение существенно изменится, если величина  будет отрицательной. Это произойдет, если по одну сторону границы находится ВПП, а по другую – ВОП. Тогда луч из первой среды во вторую пойдет по пути АО₃В, для углов  и  по-прежнему будет выполняться закон Снеллиуса, но с отрицательным значением угла  .

Подчеркнем, что в этом случае реальный путь от точки А до В не является самым коротким по времени распространения. Например, виртуальный путь АО₂В свет пройдет за меньшее время, а путь  АО₄В – за большее время по сравнению со временем прохождения светом реального пути АО₃В.

Поэтому формулировка принципа Ферма через время распространения не является корректной.

Для реального пути распространения света будет выполнено условие экстремума оптической длины пути с учетом знака относительного показателя преломления. Рассмотрим доказательство этого факта (рис. 30) для преломления лучей на границе ВПП и ВОП. Пусть сверху снова расположен материал с показателем преломления ,  а снизу – материал с показателем преломления . Пусть точка А – источник света, точка С – произвольная точка на границе веществ, точка В – некоторая точка преломленного луча.

Рисунок 30.  Преломления лучей на границе

Оптическая длина пути АСВ равна:

.

Или:

.

Найдем первую производную оптической длины пути по переменной х:

.

Очевидно, что производная   равна нулю в том и только в том случае, если выполняется закон Снеллиуса:

=0

с учетом знака показателя преломления .

Отметим, что когда относительный показатель преломления двух сред отрицательный, нельзя заранее утверждать, что экстремум длины оптического пути будет обязательно максимумом или минимумом. Тип экстремума зависит от геометрии конкретной задачи и конкретных величин п₁ и п₂.

В этом можно убедиться, если найти вторую производную: если она положительна, то имеет место минимум, а если вторая производная отрицательна – то у функции имеется максимум. Найдем вторую производную от длины оптического пути:

.

Последнее выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения или равняться нулю, в зависимости от взаимного расположения точек А, В и С .

Все сказанное позволяет обобщить принцип Ферма для сред с отрицательным показателем преломления.

Мы предлагаем записать принцип Ферма через экстремум длины оптического пути:

Реальный путь распространения света в среде соответствует локальному экстремуму длины оптического пути.

Слово «локальный» указывает на тот факт, что в задаче могут быть несколько возможных оптических путей. Отметим, что в такой формулировке принцип Ферма справедлив и для материалов с положительным показателем преломления.

Длина оптического пути L между точками А и В в общем случае, когда коэффициент преломления меняется от точки к точке, задается интегралом:

.

Т.к. величина п, входящая в эту формулу, может быть и отрицательной, то и длина оптического пути может иметь любой знак и любую величину. Если свет проходит через ВОП, то эта длина будет отрицательной.

2.3 Численное моделирование формы поверхности линзы из левого материала

В некоторых случаях длина оптического пути может равняться нулю. Именно такова длина оптического пути между объектом и его изображением в линзе, сделанной из ВОП и изображенной на рис. 5. Здесь изображена плоскопараллельная пластинка из левого материала, которая действует как собирающая линза.

Очевидно, что расстояние от источника до его изображения равно удвоенной толщине пластинки. Если источник расположен на расстоянии от пластинки, превышающем ее толщину, то изображение получится мнимое.

Такая линза обладает удивительным свойством: у нее отсутствует фокальная плоскость. Это значит, что линза создает объемное изображение предмета, что делает ее похожей на зеркало. Но в отличие от зеркала, это изображение действительное, что открывает новые возможности для развития трехмерной фотографии. Правда, у такой плоской линзы есть и недостаток: она создает изображения предметов, которые расположены достаточно близко к ее поверхности.

Рассмотрим формирование изображения при преломлении лучей на границе ВПП и ВОП. (рис.6) Пусть сверху расположен материал с показателем преломления , а снизу – материал с показателем преломления . Пусть точка А – источник света, точка С – произвольная точка на границе веществ, точка В – лежит на продолжении перпендикуляра, опущенного из А на границу раздела.

Рисунок 31 – Прохождение света от объекта А к изображению В сквозь плоскопараллельную линзу, изготовленную из ВОП с коэффициентом преломления .        Рисунок 32. Действительное изображение всех точек предмета. ←

Обозначим расстояние от источника до границы ,  расстояние от границы до изображения . Из закона Снеллиуса:

следует, что:

, или .

Тогда, , где относительный показатель преломления равен по модулю: . Найдем отношение:

,

                                          .                                         (35)                       

Чаще всего теоретически рассматривают ВОП такие, что , тогда из формулы (35) следует, что , все лучи от точечного источника А собираются в точке В, расположенной симметрично относительно границы раздела сред.

Эту ситуацию иллюстрирует рис. 31, на котором в качестве линзы используется плоскопараллельная пластинка из ВОП. Линза из идеальной левой среды (ВОП), у которой  ε = μ = –1, создает действительное изображение всех точек предмета, расположенных в слое, ширина которого равна толщине пластины (рис. 33).

Рисунок 33 – Объемное изображение, получаемое

из плоскопараллельной пластины из левого материала.

В работе [11] доказано, что разрешающая способность такой плоской линзы превышает предел, обусловленный волновой природой света.

Английский физик Джон Пендри показал, что такая «суперлинза» будет фокусировать свет в точку, размером в сотни раз меньшую, чем длина волны падающего света. В то же время в «правой» оптике, как известно, нельзя получить изображение такого же качества, что и исходное, прошедшее через обычную линзу, т.к. нельзя сфокусировать луч в точку, размерами меньше длины волны (умноженной на константу). Для «левой» оптики такого ограничения не существует!

Различие между фазовой и групповыми скоростями для линзы, изображенной на рис. 5, приводит еще к одному эффекту. Дело в том, что времена распространения света по центральному лучу и периферийным в этом устройстве оказываются различными. Поэтому при прохождении через такую линзу сверхкоротких импульсов света их форма будет искажаться. Этим недостатком не обладают (в идеале) обычные линзы, изготовленные из ВПП.

Как следует из (35), для достаточно малых углов  все лучи, исходящие из точки А, приблизительно пересекаются в точке В для любых . Т.е. и в случае произвольного отрицательного относительного показателя преломления граница раздела правой и левой сред может служить линзой, но только для малых углов падения.

Если угол  мал, то , , поэтому из (35) следует, что:

                                                   .                                                (36)                                                         

Действительный график функции расстояния  изображения от границы как функции угла   падения луча на границу раздела сред для значения  представлении на рисунке 34. При этом расстояния  источника мы положили равным :

.

Рисунок 34 Действительный график функции расстояния  изображения от границы как функции угла  .                Рисунок 35. Изображение при этом не существует.

Как видно из графика, при  значение функции . Изображение при этом не существует, что иллюстрирует рис.35.

Для небольших углов падения (приблизительно ) преломленные лучи практически пересекаются в одной точке. При увеличении угла падения расстояние до пересечения преломленнго луча с прямой АВ резко возрастает, и изображения нет.

Чтобы получить изображение для отрицательного значения коэффициента преломления  можно «искривить» поверхность раздела сред на некоторый угол, свой для каждого угла падения. Таким образом, плоская пластинка превратится в некоторую «закругленную» поверхность строго определенной формы.

В нашей работе с помощью численного моделирования решена задача построения  такой поверхности раздела сред, для которой все лучи, исходящие из точки А, после преломления пересекутся в одной точке (рис.36). При этом предполагается, что относительный показатель преломления сред . В соответствии с формулой  (36) расстояние до изображения В равно:   или 

                                                           .                                            (37)

Здесь АО – перпендикуляр к поверхности, ограниченной отрезком ОС₁, угол падения  ,  - перпендикуляр к поверхности раздела сред в точке падения луча.

Найдем угол , на который нужно повернуть поверхность раздела, чтобы преломленный луч пошел по пути .

Рисунок 36.Лучи преломления пересекаются в одной точке.

На рисунке 36 обозначено:  - положение элемента поверхности после поворота на угол , отрезок  - нормаль к этой новой поверхности в точке .

Из треугольников АОС₁ и ВОС₁  получим:

,   ,

откуда с учетом (37) следует, что:

                                     .                                                   (38)

Закон преломления Снеллиуса:

                                   ,                                                    (39)

где угол преломления есть .

Систему уравнений (38), (39) для неизвестных величин  и  мы решали численно следующим образом. 

1. Зная координаты точек  и О, с помощью скалярного произведения векторов определяем угол :

                                             

 2. Рассматриваем последовательные значения  угла  такие: , ,  - достаточно малый угол (в нашей программе он равнялся ). Для каждого  из уравнения (5) находим угол :

                              .                                                   (40)

3. В соответствии с уравнением (38) проверяем равенство нулю выражения:

                               .                                                    (41)

Если выражение в левой части (41) дает ноль с некоторой заданной точностью (в нашей программе она составила ), то угол  принимается за искомый угол поворота поверхности в точке .

Расчеты показали, что выражение в левой части (41) монотонно возрастает: пока угол  мал, оно отрицательно, начиная с некоторого значения  это выражение становится положительным. Уменьшая интервал, в котором заключен корень уравнения (41), можно определить угол поворота поверхности  с любой наперед заданной точностью.         

Мы подготовили программу на языке программирования FORTRAN (см. приложение), которая решает систему уравнений (38), (39),  находит угол  и строит такую поверхность раздела сред, на которой преломление лучей от точечного источника дает четкое изображение.

Алгоритм расчета.

1. Выбираем некоторое отрицательное значение  и расстояние источника от поверхности а.  Вычисляем соответствующее положение изображения по формуле: . Значение угла падения в начальный момент расчета  

2. Решая систему (38), (39), находим угол поворота поверхности  такой, чтобы преломленный луч проходил через известную точку В (с некоторой заданной точностью).

3. Строим новый элемент поверхности СС₁ и снова переходим к пункту 2, если .

Рассмотрим подробнее, каким образом строится новый элемент поверхности. Пусть после нескольких циклов работы алгоритма найдены точки поверхности ,  и угол поворота поверхности . Необходимо найти следующую точку  поверхности (рис. 37).

Будем считать, что , где  - достаточно малая, по сравнению с , величина (в нашей программе ).

Отложим вектора  и  от начала координат; концы этих векторов попадут на окружность радиуса . Обозначим  - угол, который составляет вектор  с осью Оу, величина  известна (рис. 38). Тогда вектор  составит с осью Оу угол , и координаты этого вектора будут равны:

=.

Получим координаты новой точки поверхности:

.

Рисунок 37. Угол поворота поверхности . Рисунок 38 . Векторы угла поворота .

На рисунке 39  представлен результат работы программы для  и . Здесь синим цветом показано сечение искомой поверхности плоскостью, проходящей через ее ось симметрии (ось Ох). Расстояние от источника до поверхности принято единичным: .

(а)	(б)
Рисунок 39 – Поверхность ВОП, собирающая лучи точечного источника в точку

Перечислим свойства построенных поверхностей раздела сред с отрицательным () относительным показателем преломления.

1. Построенная поверхность обеспечивает пересечение в точке В всех преломленных лучей, исходящих из источника А.

2. Расстояние до изображения можно найти по формуле (37): .   

3. Для малых углов падения (приблизительно ) поверхность близка к плоской.

4. У поверхности имеется оптическая ось – ее ось симметрии.

5. У поверхности отсутствует фокус: т.е. пучок лучей, падающий параллельно оптической оси не пересекается в одной точке. Это следует из формулы (37): если величина  конечна, то и величина  должна иметь конечное значение.

6. Форма поверхности не является сферической, как это имеет место для «обычных» тонких линз из ВПП.

7. Радиус линзы, изготовленной из ВОП должен быть порядка  (а – расстояние от источника до поверхности по оптической оси). При больших углах падения лучи просто скользят по поверхности без преломления. Формула полного внутреннего отражения для правых сред справедлива и здесь. Предельный угол полного отражения для левых сред можно найти по формуле:

 .

Если источник света не точечный, то четкого изображения после преломления в среде с , в общем, не получится. Эту ситуацию иллюстрирует рис. 40 (а). Два точечных источника расположены на оптической оси в точках с координатами  и . Соответствующие изображения находятся в точках с координатами  и . Но для получения четких изображений необходимы разные поверхности раздела сред: поверхность  для источника  и поверхность  для источника .

Расстояния между источниками меньше расстояния между изображениями: , следовательно, изображение «растягивается» в направлении, перпендикулярном поверхности.

(а)

(б)

                          Рисунок 40 – Получение изображения двух источников

Аналогичную ситуацию иллюстрирует рис .40 (б), на котором источники  и   расположены один под другим на расстоянии 1. Для получения четких изображений необходимы разные поверхности  и .

Отметим, что в этом случае расстояния между источниками равны расстоянию между изображениями: , следовательно, размеры изображения в направлении, параллельном поверхности, сохраняются.

Можно сформулировать еще одно свойство для неточечных источников света.

8. С помощью материала с отрицательным показателем преломления можно получить четкое изображение неточечного источника только в том случае, если размеры источника малы по сравнению с расстоянием до поверхности раздела сред.

Пусть из вещества с отрицательным показателем преломления (например, ) изготовлена линза, причем ее поверхность преломляет лучи так, что получается четкое изображение В источника А. После преломления на второй поверхности получаем действительное изображение Е.

Рассмотрим свойства этого изображения (рис.41).

Найдем расстояние между источником А и изображением Е:

,

где  - толщина пластинки. В частности, если , то , если , то , т.е. чем больше , тем изображение ближе к пластинке.

Это изображение прямое и действительное. Кроме того, размеры изображения в направлении осей у и х (перпендикулярной и параллельной оси пластинки) сохраняются, что следует из того, что расстояние от источника до изображения АЕ одно и тоже и не зависит от положения источника (формула (8)). Во сколько раз «промежуточное» изображение в точке В растянется вдоль оси линзы, во столько же раз изображение сожмется в точке Е. Т.е. размер изображения будет такой же, как и размер источника.

Рисунок 41 – Построение изображения в линзе из ВОП

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время в науке и технике формируется принципиально новое глобальное направление – создание и применение метаматериалов. Метаматериал представляет собой массив искусственных элементов- резонаторов с размерами, малыми по сравнению с длиной волны электромагнитного излучения. Такой массив воспринимается излучением как сплошная электромагнитная среда. От традиционных электромагнитных материалов метаматериалы отличаются беспрецедентной гибкостью формирования электромагнитных свойств.

В последние годы ведутся интенсивные исследования явлений, связанных с отрицательным коэффициентом преломления. Причиной интенсификации этих исследований стало появление нового класса искусственно модифицированных материалов с особой структурой, которые называются метаматериалами. Электрофизические свойства метаматериалов определяются элементами их внутренней структуры, размещёнными по заданной схеме на микроскопическом уровне. Поэтому свойства этих материалов можно изменять таким образом, чтобы они имели более широкий диапазон электромагнитных характеристик, включая отрицательный коэффициент преломления.

В дипломной работе получены следующие результаты.

1. Изучены свойства материалов с отрицательным показателем преломления.

2. Изучен ход световых лучей при преломлении на границе обычного вещества и вещества с отрицательным показателем преломления.

3. С помощью методов компьютерного моделирования лучей найдена геометрическая форма линзы из метаматериала с отрицательным показателем преломления такая, что она фокусирует в точку все лучи исходящие из точечного источника.

4. В ходе численных экспериментов были изучены свойства изображений, полученных в результате преломления на границе раздела сред с отрицательным показателем преломления.

5 Изучение свойств изображений, полученных в линзе из левого материала.

6. Уточнена формулировка принципа Ферма, из которого следуют все законы геометрической оптики. Для электромагнитных волн, распространяющихся в веществах с отрицательным показателем преломления, предложена новая формулировка принципа Ферма в терминах экстремума суммарной оптической длины волны.

Все задачи дипломной работы выполнены.

Список использованной литературы

1.     Веселаго В.Г. // УФН. 1967. Т. 92. Вып. 3. С. 517–526.

2.     А. Пятаков, Магнитные метаматериалы и левые среды, Бюллетень Магнитного Общества, т.6, n.2 (2005)

3.     Журнал технической физики, 2013, том 83, вып. 1 http://journals.ioffe.ru/jtf/2013/01/p3-28.pdf

4.     http://rudocs.exdat.com/docs/index-402302.html

5.     Журнал NanoNewsNet http://www.nanonewsnet.ru/articles/2011/sozdan-plashch-nevidimka-rabotayushchii-v-vidimom-diapazone-dlin-voln

6.     http://www.membrana.ru/particle/1723

7.     Статья Ольги Баклицкой на сайте доктор. кз http://doctor.kz/health/news/2010/12/14/10575

8.     http://www.ra4a.ru/publ/antenny_iz_metamaterialov_budushhee_radioljubitelej/3-1-0-505

9.     Mariya Golovkina// Electromagnetic Wave Propagation in Multilayered Structures with Negative http://cdn.intechopen.com/pdfs/6466/InTech-Electromagnetic_wave_propagation_in_multilayered_structures_with_negative_index_material.pdf

ПРИЛОЖЕНИЕ. Программа построения поверхности

parameter n=1000, pi=3.141592653, n21=3., delg=pi*1.E-5, dell=0.01

real           b(n,2), gam, alf, c(n,2), beta, d, s, a

do i=1,n

   b(i,1)=0.5*pi*dble(i)/dble(n);

   if (abs(cos(b(i,1)))>0.1)    then

      b(i,2)=sqrt(n21**2-(sin(b(i,1))**2))/cos(b(i,1))

    endif

enddo

a=-1.; alf=0.; i=1; c(1,1)=0.; c(1,2)=0.; c(2,1)=0.; c(2,2)=dell; d=0.

do while (c(i+1,2)>c(i,2))

   i=i+1;  alf=acos((c(i,1)-a)/sqrt((c(i,1)-a)**2+c(i,2)**2)); gam=0.;

   do j=1,50000

     beta=asin(sin(alf+gam)/n21)

     s=tan(alf)-n21*tan(gam+beta)

     if (abs(s)<0.0001) exit

     gam=gam+delg

   enddo

  if (gam==0.) then

   c(i+1,1)=c(i,1)+dell*sin(d); c(i+1,2)=c(i,2)+dell*cos(d)

   goto 123

  endif

d=gam+acos((c(i,2)-c(i-1,2))/dell)

c(i+1,1)=c(i,1)+dell*sin(d); c(i+1,2)=c(i,2)+dell*cos(d);

123 continue

  enddo

  do k=2,i

  c(i+k-1,1)=c(k,1); c(i+k-1,2)=-c(k,2)

  enddo

pause

end