Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Дипломная работа на тему: «Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений»

Дипломная работа на тему: «Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Г.Р. ДЕРЖАВИНА»

Институт математики, физики и информатики

Кафедра функционального анализа



Допущена к защите

Заведующий кафедрой

________Молчанов В.Ф.

«___»____________2015г.



Стерликова Марина Игоревна

«Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений»


Дипломная работа


Студентки 6 курса

направления подготовки

050101.65 математика

заочной формы обучения

______________ Стерликовой М.И.


Руководитель:

к. ф.-м. н., доцент кафедры функционального анализа

Фомичева Юлия Геннадьевна

_____________ Фомичева Ю.Г.



Тамбов 2015




Реферат

Стерликова М.И. Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений: выпускная квалификационная работа/ Стерликова Марина Игоревна; Тамбовский государственный университет имени Г.Р.Державина, институт математики физики и информатики, кафедра алгебры и геометрии.- Тамбов, 2015.- 40с.

Ключевые слова: функциональные уравнения, методы решения функциональных уравнений, элементарные функции, уравнения Коши.

Цель выпускной квалификационной работы: изучить функциональные уравнения и применение этих уравнений к определению элементарных функций: линейной, показательной, логарифмической, степенной и тригонометрических функций.

Методы: анализ, исследование

Аннотация: Данная работа выполнена на основе анализа учебно-практических пособий. В работе рассмотрены основные вопросы о функциональных уравнениях, методы решения функциональных уравнений. Приведенные примеры и задачи позволяют успешно овладеть знаниями по изучаемой дисциплине. Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, что только подчеркивает значимость выбранной темы.











Введение

Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе.

В настоящее время содержания различных олимпиад - от школьных и городских до международных - стали включать так называемые функциональные уравнения и неравенства. Даже прослеживается идея привлечения таких уравнений и неравенств к содержанию вступительных экзаменов в высшие учебные заведения на разные факультеты. Следовательно, желающих научиться решать такого рода задачи становится больше. Поэтому с уверенностью можно утверждать, что тема «Функциональные уравнения» на сегодня является вполне актуальной.
В настоящее время практически нет пособий, обучающих решению функциональных уравнений. Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений. В нашей выпускной квалификационной работе мы постараемся решить эту задачу.

Цель выпускной квалификационной работы: изучить функциональные уравнения и применение этих уравнений к определению элементарных функций: линейной, показательной, логарифмической, степенной и тригонометрических функций.

Задачи:

- изучить научно практическую литературу по теме выпускной квалификационной работы,

- рассмотреть функциональные уравнения,

- раскрыть методы решения функциональных уравнений,

- составить функциональные уравнения соответствующие элементарным функциям,

- развитие интереса к решению нестандартных математических задач и математики в целом.

При написании работы было изучено, проанализировано 4 источника.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав.

В первой главе рассмотрим методы решения функциональных уравнений: метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции, метод подстановок, применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений; для каждого метода подобраны примеры по решению уравнений.

Во второй главе представим определение основных элементарных функций (hello_html_m5791761a.gif,hello_html_m9ea96de.gif, hello_html_7ee21ac2.gif, hello_html_3d186385.gif, hello_html_4cd9cc33.gif) с помощью функциональных уравнений, а так же рассмотрели некоторые их свойства.

Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, что только подчеркивает значимость выбранной темы.










История развития функциональных уравнений

Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнение, неизвестная функция которого связана с известными функциями одной или нескольких переменных при помощи образования сложной функции (композиции).

Например: hello_html_m31216661.gif, где hello_html_6c0ff7fa.gif -неизвестная функция, hello_html_46dff828.gif и hello_html_m4fd42c2a.gif - независимые переменные.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса этоhello_html_m4533c0df.gif, hello_html_787e81fa.gif, hello_html_7f54624e.gif, которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Решением функционального уравнения на множестве hello_html_m5c138b4a.gif называется функция, при подстановке которой в функциональное уравнение оно превращается в верное равенство на множествеhello_html_m5c138b4a.gif.

Например: Покажем, что функция hello_html_m6d934213.gifявляется решением функционального уравнения hello_html_m31216661.gif.

Действительно, hello_html_m31216661.gifhello_html_53f2cb94.gif для всех x и y. Поэтому функция hello_html_m532f1309.gif является решением функционального уравнения hello_html_m31216661.gif. Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Еще в 1769 году Даламбер свел обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

hello_html_m5a1367e6.gif(1)

То же уравнение с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 - 1857) нашел общие решения этого уравнения hello_html_61391298.gif, hello_html_485a6728.gif, hello_html_2a93f31f.gif, предполагая только непрерывность hello_html_m66a31e82.gif.

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности hello_html_26e3228b.gif была получена Н.И. Лобачевским (1792 - 1856) из функционального уравнения

hello_html_1bb5c4cc.gif(2) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifкоторое он решил методом, аналогичным методу Коши.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792 -1871). Он изучал периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции hello_html_m1452f4c1.gif- произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой hello_html_m66a31e82.gif имеет ординату х. Следовательно,

hello_html_m15e0799.gif(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют функции: hello_html_226d9e39.gif, hello_html_m1dbd5bd9.gif

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

hello_html_21fb5722.gif, (4)

hello_html_m6552b0e1.gif, (5)

hello_html_55a1fb3e.gif, (6)

hello_html_m3f252c6e.gif. (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своем курсе анализа, изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырех основных уравнений имеют соответственно вид hello_html_3818895e.gif.

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию hello_html_7ef502bc.gif. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид hello_html_7ef502bc.gif. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. hello_html_7ef502bc.gifдля hello_html_79cc89d3.gif. Казалось бы, что тогда hello_html_7ef502bc.gifдля всех действительных hello_html_46dff828.gif. Если hello_html_m66a31e82.gif- непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить - то нет. Первый пример отличного от hello_html_7ef502bc.gifразрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение hello_html_6e3537a.gif характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение hello_html_m57cc572f.gif - класс функций, симметричных относительно прямойhello_html_3e839c1d.gif, и т. д.

Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Отсюда возникает необходимость рассмотреть вопрос о методах решения функциональных уравнений.





















1. Методы решения функциональных уравнений

1.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (4) – (7). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.

Пример 1. Найти все непрерывные функции hello_html_m66a31e82.gif, определенные на промежуткеhello_html_7ff79d00.gif, для которых разность hello_html_13713043.gif при произвольных допустимых значениях hello_html_ma10ac9f.gifи hello_html_m7613e523.gifне зависит от hello_html_2633e72.gif.

Решение. По условию, выражение hello_html_3104caac.gif не зависит отhello_html_2633e72.gif, поэтому hello_html_19f9cfe5.gif.

Положив hello_html_59c4ffc4.gif, получим функциональное уравнение Коши hello_html_27984fa1.gif.

Известно, что в классе непрерывных функций hello_html_m5ce32f07.gif. Отсюда hello_html_4cabee0f.gif, где hello_html_7e2fa081.gif. Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют функции hello_html_4cabee0f.gifпри произвольных hello_html_m46087894.gif и hello_html_12bd598b.gif.

Рассмотрим пример, считая hello_html_ma10ac9f.gifи hello_html_m7613e523.gifразличными фиксированными числами. Так как hello_html_13713043.gif не зависит от hello_html_2633e72.gif, то hello_html_m1a5a1b19.gif. Пустьhello_html_m1766be91.gif, тогда hello_html_m3a7eb4f5.gif, где hello_html_m2f17f390.gif, hello_html_m22ece39.gif— постоянная. Заменив hello_html_46dff828.gifна hello_html_4f253645.gif, получим hello_html_4488bac2.gif.

Вычитая из обеих частей hello_html_50222313.gif, получимhello_html_m4c003df.gif, или hello_html_79acfcb3.gifhello_html_m53d4ecad.gif, (8)

где hello_html_8d66590.gif.

Уравнению (8) удовлетворяют периодические с периодом hello_html_4cd5cac4.gif функции. Отсюда hello_html_m47b2ab18.gif .

При проверке убеждаемся, что функции вида hello_html_m11b3d1c1.gif где hello_html_60d2f2c2.gif – произвольная константа, аhello_html_2f01283e.gif– непрерывная периодическая с периодом hello_html_2544d222.gif функция, обладают требуемым свойством.

Пример 2. Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством: hello_html_e631b84.gif

для любых hello_html_274e133e.gif. Требуется найти все непрерывные функции hello_html_m66a31e82.gif, «сохраняющие» сочетательность, т. е.

hello_html_7c8cdd36.gif(9)

Решение. Перепишем (9) в виде hello_html_m714585bc.gif.

Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е. hello_html_25caac24.gif.

При hello_html_40b21446.gifимеем hello_html_4e609da6.gif. Пришли к функциональному уравнению Коши (4) hello_html_m53199d7f.gif. Его непрерывным решением являются функции hello_html_m19bc32f7.gif. Таким образом, hello_html_23eb13af.gif, где hello_html_60d2f2c2.gifи hello_html_12bd598b.gif— произвольные константы.

Пример 3. Найти плоские кривые, обладающие следующим свойством: для произвольных двух точек сумма произведений абсциссы одной точки на ординату другой равна ординате точки, абсцисса которой равна произведению абсцисс данных точек.

Решение. Ограничимся отысканием кривых, являющихся графиками непрерывных функций, определенных при положительных значениях аргумента.

Задача сводится к решению функционального уравнения hello_html_5e0288d1.gif

Пусть hello_html_m110253b6.gif. Тогда получим уравнение Коши (6) вида hello_html_429beea1.gif. Так как hello_html_2f01283e.gifнепрерывна приhello_html_2200c2ba.gif, тоhello_html_m5ce32f07.gif. Отсюда hello_html_35d484d1.gif с произвольной константой hello_html_12bd598b.gif.

Пример 4. Найти непрерывные решения функционального уравнения hello_html_m602e5fa8.gif.hello_html_m53d4ecad.gif

Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию: hello_html_m5d77e663.gif. Тогда подставляя в исходное уравнение hello_html_574e281f.gif, получим hello_html_72f86731.gif, hello_html_m53199d7f.gif.

Это уравнение Коши его решением является функция hello_html_633bddd9.gif. Окончательно находим hello_html_m208dfeb7.gif и все такие функции удовлетворяют условию.

Пример 5. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных функций hello_html_55ceb36e.gif.

Решение. Положим в уравнении hello_html_m104cc871.gifвместо hello_html_46dff828.gifи 0 вместо hello_html_2633e72.gif, получим: hello_html_1d3cde45.gif. Сравнивая полученное соотношение с первоначальным функциональным уравнением, имеем: hello_html_2a8ebe5f.gif. Это уравнение переходит в уравнение Коши (4) при подстановке hello_html_m54a2942b.gif, тогда hello_html_1f5b29e8.gif, а это решение действительно удовлетворяет уравнению Йенсена.

Пример 6. Найти все непрерывные функции hello_html_6b48cd4d.gif, удовлетворяющие тождеству hello_html_39a157b2.gif.

Решение. Поделив тождество на hello_html_3d31b531.gif, перепишем его так: hello_html_7e8699f0.gif, отсюда ясно, что в качестве вспомогательной нужно взять функцию: hello_html_m110253b6.gif. Тогда функция hello_html_4b55ae08.gifудовлетворяет (6). Поэтому находим hello_html_m5da58623.gif.


1.2 Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Пример 7. Найти все решения функционального уравнения hello_html_m37f8c48.gif.

Решение. Положим в уравнении hello_html_m7d6e6207.gif. Так как hello_html_2633e72.gif- произвольно, то hello_html_6283240a.gif.

Пусть теперьhello_html_md18aef1.gif. Подставим в уравнение hello_html_ma74a133.gif, получим: hello_html_m1f98bf83.gif или hello_html_6e550221.gif. Функция hello_html_44c47df7.gif является решением исходного уравнения.

Пример 8. Пусть hello_html_fa3aca0.gif - некоторое действительное число. Найти функцию hello_html_m66a31e82.gif, определённую для всех hello_html_4fc432c.gifи удовлетворяющую уравнению hello_html_73e79d85.gif, где hello_html_4b55ae08.gif– заданная функция, определённая при hello_html_4fc432c.gif.

Решение. При замене hello_html_5a739fcb.gif получаем систему hello_html_bbed2cb.gif,

решением которой при hello_html_m2d45b1e1.gif является функция hello_html_51f69331.gif.

Пример 9. Найти все функции hello_html_m66a31e82.gif, заданные на промежутке hello_html_8d9279a.gif, для которых выполнено равенство hello_html_m3bdebaf2.gif.

Решение. Выполнив последовательно две замены hello_html_5a739fcb.gif, hello_html_5889c7a.gif,

приходим к системе функциональных уравнений: hello_html_50344481.gif.

Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция hello_html_m66a31e82.gifоднозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим hello_html_a5687eb.gif, hello_html_m5aa11d2c.gif. Мы можем определить hello_html_m66a31e82.gifпроизвольным образом на одном из интервалов hello_html_4618c8a3.gif и эти формулы дадут нам расширение hello_html_m66a31e82.gifна все множество hello_html_m6820645b.gif.

Пример 10. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций hello_html_m66a31e82.gif иhello_html_2f01283e.gif: hello_html_4db25d41.gif

Решение. В первом уравнении сделаем подстановку hello_html_m2d60e2bf.gif. При этом hello_html_ed8702e.gif и первое уравнение принимает вид: hello_html_m3372d0c7.gif или hello_html_5b36e74d.gif. В результате получаем систему уравнений: hello_html_7afbb95f.gif, решение которой hello_html_m553e0cb8.gif, hello_html_6ec58806.gif.



1.3 Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений

1.3.1 Предельный переход

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.

Пример 14. Решить в классе непрерывных функций уравнение hello_html_m6377d645.gif, где hello_html_m11401c03.gif. (10)

Решение. Заменив hello_html_m27e40da3.gif на hello_html_43ebd343.gif, получим

hello_html_dfa7a6b.gif. (11)

Используя ту же замену, из уравнения (11) последовательно получим hello_html_m1e226520.gif, hello_html_7d758a23.gif,...

Методом математической индукции можно доказать, что hello_html_m68977dd9.gif.

Сложив все уравнения, начиная с (11), получим hello_html_14c41ff0.gif. (12)

Так как функция hello_html_m66a31e82.gifнепрерывна, то при любом фиксированном hello_html_46dff828.gifhello_html_m660dedf0.gif. hello_html_11090369.pngЗдесь hello_html_m3715f751.gif. Из уравнения (10) hello_html_mcedc882.gif. Тогда hello_html_4f567417.gif.

Левая часть равенства (12) не зависит отhello_html_med40e69.gif, поэтому существует ее предел приhello_html_m75ede278.gif. Переходя к пределу в равенстве, при hello_html_m75ede278.gifимеем hello_html_17ce2371.gif.

Правая часть является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий hello_html_m1541daec.gif, hello_html_57e9c22f.gif, hello_html_m1967b4b1.gif.

Итак,hello_html_m3cced8be.gif, что и подтверждается проверкой.

Пример 15. Доказать, что уравнение hello_html_49565cfb.gif, hello_html_6b4bf8a7.gif (13)

не имеет непрерывных решений.

Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения. Подставим в исходное уравнения вместо hello_html_46dff828.gif выражение hello_html_m31ec38d8.gif, ведь если hello_html_7f2fc2ed.gif, то иhello_html_m364b26a3.gif, получим: hello_html_67aa6a7a.gif (14)

Теперь сделаем такую же замену hello_html_77a8a35c.gif в соотношении (13): hello_html_67d690f4.gif (15)

Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем: hello_html_423243a6.gif


Сложим все получившиеся выражения, начиная с (13) (всего будет hello_html_7382c650.gifвыражений), и приведем подобные слагаемые: hello_html_2e8f5455.gif (16)

Равенство (16) верно для любого натурального hello_html_7382c650.gif. Зафиксируемhello_html_46dff828.gif, а hello_html_7382c650.gif устремим к ∞. Ввиду непрерывности hello_html_m66a31e82.gifв точкеhello_html_40b21446.gif, находим hello_html_47991198.gif (17) , где hello_html_3683edd8.gif.

В левой части (17) при конкретном (фиксированном) hello_html_m27e40da3.gif стоит некоторая константа, т.е. при данном hello_html_m27e40da3.gif ряд в правой части (17) сходится к этой константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значенияhello_html_2200c2ba.gif, таким образом, придём к противоречию.

Для любого натурального hello_html_4c3714c5.gif и hello_html_2200c2ba.gif верно неравенство hello_html_m2cb30106.gif, так что hello_html_m6513e44d.gif

Гармонический ряд hello_html_6041f35.gif неограниченно возрастает при увеличении hello_html_7382c650.gif(известный факт), следовательно, hello_html_m6bd6aae3.gif расходится кhello_html_m62eac1ed.gif. Что и требовалось доказать.

Пример 17. Найтиhello_html_m66a31e82.gif, ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению: hello_html_m56852e5b.gif.

Решение. hello_html_7a5f2820.gif;

hello_html_2f4d12cf.gif, hello_html_6e105593.gifhello_html_449ebf76.gif, hello_html_92b8cb3.gif

переходя к hello_html_m141424d.gif при hello_html_m40b0dc10.gifиспользуя непрерывность hello_html_m66a31e82.gifи hello_html_6283240a.gifполучаем, что hello_html_4e29e697.gif.

Пример 18. Решить функциональное уравнение hello_html_mceccbab.gif, hello_html_m11401c03.gif (18) в классе непрерывных функций.

Решение. Выполнив заменуhello_html_m782864ae.gif, получим hello_html_m17bc1926.gif (19).

Складывая (18) с уравнением (19), умноженным на hello_html_m137b52a5.gif, получим hello_html_bb208c4.gif.

Это уравнение решается аналогично уравнению (10). Найдем подстановку, переводящую hello_html_m13e7172a.gifв hello_html_4dad6d53.gif. Для этого положимhello_html_8a92ed9.gif. Отсюда hello_html_m673b2638.gif. Выполнив hello_html_7382c650.gifраз подстановку hello_html_m3eae4bf8.gif, получим систему уравнений, из которой находим

hello_html_m3874889e.gif

Отсюда при hello_html_m75ede278.gifhello_html_m5d781de1.gif, или hello_html_21a06035.gif, что и подтверждается проверкой.

1.3.2 Дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.

Пример 19. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения hello_html_1e7548b4.gif, hello_html_m11401c03.gif. (20)

Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части являются функциями отhello_html_46dff828.gif. Они равны, следовательно, равны их производные по hello_html_46dff828.gif. Продифференцируем и после сокращения получим hello_html_m6d26f727.gif.

Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку hello_html_m6b7a0290.gif, получим цепочку равенств hello_html_m7cc7a4cf.gif.

Ввиду непрерывности hello_html_m67a512d5.gif, приhello_html_m75ede278.gif, имеем hello_html_4603d750.gif

Итак,hello_html_m541642f1.gif, где hello_html_m5fc10c03.gif. Первообразная функция hello_html_5e3e7a43.gif. Подставив в (20)hello_html_m4c8090bf.gif, получимhello_html_33fdfb1a.gif. Кроме того, hello_html_m4dcec2b5.gif,т.е. hello_html_2ec66ea0.gif.

Легко проверить, что hello_html_7d990f90.gif удовлетворяет условию при произвольном hello_html_4c3714c5.gif.

Пример 20. Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению hello_html_m1e997618.gif (21) .

Решение. Пусть hello_html_6c0ff7fa.gifудовлетворяет данному уравнению. Тогда hello_html_75e4c499.gif, т.е. hello_html_m5be648cb.gif, и, следовательно,hello_html_m5f36d3ae.gif.

После преобразований имеем hello_html_3ad9f600.gif, (22) откуда, с учётом hello_html_5b2abb1c.gif следует, что hello_html_6f578840.gif (23) , где hello_html_14abfb39.gif. Значит, hello_html_m7160f01c.gif, hello_html_6144c7f4.gif, hello_html_43279382.gif.

Условие hello_html_m5f36d3ae.gifозначает, чтоhello_html_m660a995a.gif, т.е. hello_html_8a2f8ff.gif. Очевидно, все функции вида hello_html_34c47221.gifподходят под условие задачи.

Пример 21. Найти функциюhello_html_m1a267428.gif, удовлетворяющую уравнению hello_html_m16661f01.gifhello_html_m11401c03.gif,hello_html_b757980.gif.

Решение. hello_html_m4bd83296.gif. Введём новые функции hello_html_1d1a15d.gif, hello_html_4cba36db.gif.

Ясно, что функция hello_html_m2726d643.gif- чётная, а hello_html_46bca4fd.gif- нечётная функции, причёмhello_html_m1aa533f3.gif. Получим уравнение относительно новых функций hello_html_m2726d643.gif и hello_html_46bca4fd.gif:hello_html_300d6ac0.gif, hello_html_m2ece6f75.gif, hello_html_m4353a34b.gif, hello_html_m5d868a6c.gif. Так как hello_html_22c72ba4.gif, то hello_html_m1cd27f85.gifи hello_html_m3f38822e.gif

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при любых числахhello_html_60d2f2c2.gif, а функция hello_html_m1a267428.gif является решением исходного уравнения.

Таким образом, поиск решения функционального уравнения сильно зависит от класса функций, в котором ищется решение. Мы рассмотрели некоторые методы решения функциональных уравнений. Особое место в теории функциональных уравнений занимают разностные уравнения, которые используются при решении многих прикладных задач.

2. Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений

При решении различных математических задач чаще других используются некоторые функции. Очевидно, что эти функции, наиболее, изучены и названы элементарными. Среди элементарных функций выделяют основные элементарные функции.

Функции hello_html_9027166.gif, где hello_html_12bd598b.gif- const, hello_html_m9ea96de.gif (степенная), hello_html_903d250.gif (hello_html_m2a6f7be4.gif, показательная), hello_html_3d186385.gif(hello_html_74dc5ee0.gif, логарифмическая), hello_html_4cd9cc33.gif (тригонометрические), hello_html_m5d83853c.gif (обратные тригонометрические), называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций, называется элементарной.

Например: hello_html_1186dcb.gif, hello_html_1224b94e.gif элементарные функции.

Рассмотрев элементарные функции, определим их, как решение функционального уравнения. Эта глава будет посвящена определению основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений.


2.1 Линейная функция.

Для определения линейной функции составим функциональное уравнение, единственным решением которого является линейная функция. hello_html_165c7a86.gif.

Найдем разность и сумму двух различных значений линейной функции: hello_html_a5c0abd.gif и hello_html_78f259a7.gif.

hello_html_4031006f.gif(24)

hello_html_m5d722837.gif(25)

Запишем уравнение (24) в виде функционального hello_html_73791bd1.gif (26)

Проверим второе функциональное уравнение на основании равенства (25).

hello_html_3e51321d.gif(27)

Докажем, что из уравнения (26) можно получить уравнение (27). Убедимся в том, что любое решение уравнения (26) является нечетной функцией. Для этого в уравнение (26) вместо hello_html_172810a8.gif подставим hello_html_6b2b5914.gif. Воспользуемся тем, что из вида линейной функции следует:hello_html_m5f36d3ae.gif. Таким образом, докажем, что hello_html_3f788b56.gif. Затем вновь заменим x2 на x1 в уравнении (26), получим уравнение (27). Итак, каждое решение уравнения (26) является решением уравнения (27).

Докажем, что уравнение (27) можно преобразовать к виду уравнения (26).

Из проведенных выше рассуждений следует, что множество решений уравнений (26) и (27) совпадает, следовательно, эти уравнения эквивалентны.

Определение 1. Множество всех функциональных уравнений, имеющих одно и то же множество решений на множестве hello_html_m5c138b4a.gif, будем называть классом функциональных уравнений на этом множестве.

Так как все уравнения из класса уравнений, определяющих линейную функцию эквивалентны, то класс уравнений можно обозначить любым уравнением, например, уравнением (26).

Определение 2. Решением класса функциональных уравнений на множестве hello_html_m5c138b4a.gif будем называть функцию, являющуюся решением каждого уравнения класса на множестве hello_html_m5c138b4a.gif.

Докажем, что линейную функцию можно определить как решение класса функциональных уравнений (26).Для того чтобы выделить линейную функцию, как единственное решение будем искать решение с заранее заданными свойствами:

  1. hello_html_m1a267428.gifнепрерывная функция в интервалеhello_html_m24093ca7.gif;

  2. hello_html_ma4fd27.gif, hello_html_4c3714c5.gif- произвольное действительное число.

Предварительно докажем, что любое решение hello_html_40946e87.gif функционального уравнения (26) таково, что:

а) hello_html_m5f36d3ae.gif. Полагая в уравнении (26) hello_html_5a25bee1.gif, получаем hello_html_m79980b14.gif. Это равенство справедливо только в одном случае, когда hello_html_m5f36d3ae.gif;

б) hello_html_m7f0ebe93.gif. Так как hello_html_3b912f88.gif, то hello_html_m7f0ebe93.gif. В силу произвольности х функция hello_html_40946e87.gif нечетна.

Теорема 1. Решение класса функциональных уравнений (26) при условиях 1), 2) является линейной функцией.

Доказательство. Методом Коши докажем, что при любом действительном hello_html_46dff828.gif hello_html_m7b7a92aa.gif. Сначала докажем это равенство дляhello_html_35f96fbb.gif. Полагая в уравнении (24) последовательно y равнымhello_html_m3082f611.gif, …, будем получать:

hello_html_m4d4bdb7c.gif,

hello_html_371b37ce.gif,

hello_html_66c29af2.gif,

……………………….

Закономерности, которые видны в этих равенствах, позволяют выдвинуть гипотезу вида

hello_html_m1e124180.gif(28)

Это вспомогательное равенство. Докажем его методом математической индукции. При hello_html_bdea265.gifравенство (28) очевидно. Предположим, что равенство (28) справедливо для некоторого натурального hello_html_7382c650.gif и докажем его справедливость для следующего натурального числа hello_html_m1655a30f.gif.

Так как hello_html_m5e14bf87.gif, то утверждение доказано.

Полагая в равенстве (28)hello_html_3e839c1d.gif, получим hello_html_mc576559.gifили

hello_html_m6ae560de.gif, (29)

где hello_html_5044b4d3.gif. Следовательно, равенство hello_html_m7b7a92aa.gifсправедливо для hello_html_35f96fbb.gif.

Пусть теперь hello_html_m74df7249.gif- любое положительное рациональное число.

Тогда, полагая в равенстве (28) hello_html_m75918b4a.gif, получим hello_html_m218e948d.gifили hello_html_m3cba7777.gif; учитывая равенство (29), находим hello_html_m2f1faae4.gif. Значит, равенство hello_html_m7b7a92aa.gif справедливо для hello_html_m1b7ec921.gif.

В силу свойства б) hello_html_5da81899.gif, следовательно, hello_html_m34d3a880.gif. Значит, равенство hello_html_m7b7a92aa.gifсправедливо и дляhello_html_45cec9a9.gif, а поэтому справедливо и для всех hello_html_79cc89d3.gif. Пусть теперьhello_html_46dff828.gif-любое действительное число. Тогда найдется последовательность рациональных чисел hello_html_3ffa9a18.gifтакая, что hello_html_473f5bdb.gifприhello_html_m75ede278.gif. Так как, по доказанному, hello_html_633563e9.gif, то, переходя в этом равенстве к пределу при hello_html_m75ede278.gif ( что возможно в силу непрерывности функцииhello_html_m1a267428.gif), получим hello_html_5d89ed8d.gifили hello_html_m7b7a92aa.gif.

Из проведенных рассуждений следует однозначность решения функционального уравнения, так как это решение можно представить в заданном виде.

Определение 3.Класс уравнения (26) назовем классом уравнений, определяющих линейную функцию при выполнении условий 1) и 2).

Исследуем дальнейшие свойства линейной функции.

Исследуем монотонность линейной функции. Положим в уравнении (27) hello_html_64e9ff04.gif, hello_html_7da789a6.gif, hello_html_13b0b245.gif. Тогда получим hello_html_m2f3ad6b8.gif или hello_html_ac5f4b7.gif (30)

Если hello_html_c945c78.gif, то правая часть равенства (30) больше нуля hello_html_m3f0f4882.gifи, значит, hello_html_3f6abd88.gif, то есть функция hello_html_m1a267428.gif строго возрастает.

Если hello_html_75a1de4.gif, то правая часть равенства (30) меньше нуля hello_html_m3f0f4882.gifи, значит, hello_html_m234f8032.gif, то есть функция hello_html_m1a267428.gifстрого убывает.

Исследуем ограниченность линейной функции. Найдем пределы линейной функции при стремящемся к бесконечности аргументе, так как при каждом конечном значении аргумента линейная функция также принимает конечное значение. Переход в равенстве (28) к пределу приhello_html_m40b0dc10.gif, имеем hello_html_53369354.gif.

Аналогично: hello_html_m44c35d65.gif

При требовании непрерывности класс уравнений (26) имеет своим решением определенный вид элементарных функций hello_html_165c7a86.gif.

Определение 4. Решение класса функциональных уравнений (26) при условиях 1) и 2) называется линейной функцией и обозначается hello_html_m7b7a92aa.gif.


2.2 Показательная функция

Составим функциональное уравнение, решение которого однозначно определит показательную функцию. Используем для этого равенства:

hello_html_9acd32d.gif

(31)

hello_html_63c3c16b.gif

(32)

hello_html_m432e0b17.gif

(33)

hello_html_56915120.gif

(34)

Запишем четыре функциональных уравнения, соответствующих уравнениям (31) – (34) и пронумеруем их соответственно (35) – (38).

(35)

hello_html_m7f19c81c.gif

(36)

hello_html_42e39e2c.gif

(37)

hello_html_1e722ff0.gif

(38)

Так как уравнения (35) – (38) эквиваленты, то далее будем исследовать класс уравнений (35). Рассмотрим решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям:

  1. hello_html_m1a267428.gifнепрерывная функция в интервале hello_html_m24093ca7.gif;

  2. hello_html_m1a267428.gifне тождественно равна нулю;

  3. hello_html_3dfe0ef3.gifhello_html_m10dde844.gif.

Теорема 2. Решение класса функциональных уравнений (35) при условиях 1) – 3) имеет видhello_html_662b04a.gif.

Доказательство. По условию теоремы функция hello_html_m1a267428.gifне тождественно равна нулю, следовательно, существует такое значениеhello_html_48bafc8f.gif, чтоhello_html_7033e5b9.gif. Обозначимhello_html_m2275ceaa.gif. Подставим указанное hello_html_2633e72.gif в уравнение (35). Получим hello_html_m39ea916c.gif, в силу произвольности hello_html_46dff828.gif функция hello_html_m1a267428.gif отлична от нуля при любом hello_html_46dff828.gif. Более того, можно уточнить ещеhello_html_48723fcb.gif, так как hello_html_3bcb11e5.gif. Далее используем определение логарифма из средней школы. Прологарифмируем уравнение (35) hello_html_6790ccd1.gif. Введем новую функциюhello_html_m490b4b72.gif. Функция hello_html_m4c4066d7.gifнепрерывна как композиция непрерывных функций и по определению удовлетворяет уравнению hello_html_m2681e758.gif.

Получено уравнение, решение которого, удовлетворяющим условиям 1) – 3), является только линейная функция, поэтому hello_html_m88c9241.gif, hello_html_12bd598b.gif– произвольная константа. По определению логарифма hello_html_56d83082.gif. Так как hello_html_m10dde844.gif, то можно обозначить hello_html_m13303dfa.gif. Теорема доказана.

Методом математической индукции докажем, что для любого hello_html_7382c650.gif справедливо равенство

hello_html_6375e3bf.gif. (39)

Действительно, при hello_html_bdea265.gif это равенство очевидно. Предположим, что оно верно для некоторого натурального hello_html_7382c650.gif и докажем его справедливость для следующего натурального числаhello_html_3c600f3a.gif. Рассмотрим hello_html_m283b92c5.gif. Из уравнения (35) имеем hello_html_m2e3bcf6d.gif, что и требовалось показать.

При hello_html_3e839c1d.gif равенство (39) дает значение функции hello_html_m1a267428.gifпри натуральных значениях аргумента: hello_html_m1b56a8b3.gif или hello_html_m73d137d7.gif. Полагая в равенстве (35) hello_html_m75918b4a.gif, получим hello_html_354e3b52.gif или hello_html_m6d8a5d4d.gif, то есть мы получили значения функции hello_html_m1a267428.gifпри положительных значениях аргумента hello_html_46dff828.gif. Так как hello_html_m6d575e7f.gif, то hello_html_4d2fa222.gif.

Таким образом, для любого рационального значения аргумента hello_html_46dff828.gif имеемhello_html_2b0c5b2e.gif. Пусть теперь hello_html_46dff828.gif– любое действительное число, аhello_html_3ffa9a18.gif– последовательность рациональных чисел, сходящихся к hello_html_46dff828.gif. Но по доказанному hello_html_m5184612e.gif. Переходя в этом неравенстве к пределу при hello_html_m75ede278.gifи учитывая, что функция hello_html_m1a267428.gif непрерывна, получим hello_html_f8e1504.gif.

Теорема доказана.

Определение 5. Класс уравнений (35) назовем классом уравнений, определяющих показательную функцию при условиях 1) – 3).

Исследуем свойства показательной функции, заданной как решение класса функциональных уравнений (35). Установим вначале несколько свойств решений этого класса. Пусть hello_html_m1a267428.gif– произвольное решение класса.

а) hello_html_48723fcb.gif. По условию теоремы существует такоеhello_html_m689dca6e.gif, что hello_html_7033e5b9.gif. Тогда для любого hello_html_76d4a5ea.gifимеем на основании уравнения (35) hello_html_5b09e5a0.gif .

Отсюда hello_html_m4285a8fe.gif и, значит, hello_html_1edd1842.gif.

Сформулируем доказанное свойство, используя понятие множества значений функции.

б) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m44d6d17d.gif. Так как hello_html_5274c2c.gif и hello_html_48723fcb.gif, то hello_html_m44d6d17d.gif.

в) hello_html_m6d575e7f.gif.

Полагая в уравнении (35)hello_html_528f091.gif, получим hello_html_m6b7bb72a.gif или hello_html_m29ded786.gif. Следовательно, hello_html_m6d575e7f.gif

г) Исследуем показательную функцию на монотонность. Полагая в уравнении (35) hello_html_m23c014c3.gif, hello_html_13b0b245.gif, получим hello_html_2224e2f6.gif. Преобразуем разность

hello_html_627172bf.gif(40)

Пустьhello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_7da789a6.gif. При этом правая часть равенства (40) положительна и, следовательно, hello_html_7c3a3fcd.gif. Значит функция hello_html_m1a267428.gifстрого возрастает на интервале hello_html_m5a4f4c32.gif. Аналогично доказывается строгое убывание функции hello_html_m1a267428.gifстрого убывает на интервале hello_html_m5a4f4c32.gifпри hello_html_6e5b9a3c.gif.

е) Исследуем показательную функцию на ограниченность. Найдем предельные значения функции hello_html_m1a267428.gif при hello_html_m35f22486.gif. Учитывая непрерывность функции hello_html_m1a267428.gifи ее строгое возрастание (убывание) на интервале hello_html_m5a4f4c32.gif, будем рассматривать пределы функции по множеству целых чисел.

Так как hello_html_m73d137d7.gif, то при hello_html_m2a6f7be4.gif hello_html_m1683978b.gif, а при hello_html_6e5b9a3c.gif hello_html_m73377c81.gif. Следовательно, при hello_html_m2a6f7be4.gifhello_html_599f8db6.gif, при hello_html_6e5b9a3c.gifhello_html_431bfa74.gif. Аналогично доказывается, что при hello_html_m2a6f7be4.gifhello_html_m22a71bfd.gif, при hello_html_6e5b9a3c.gifhello_html_m252d6282.gif.

Определение 6. Решение класса функциональных уравнений (35) при условиях 1) – 3) называется показательной функцией и обозначается hello_html_fc0d81c.gif.


2.3 Определение логарифмической функции

Для составления класса уравнений, определяющих логарифмическую функцию , используем свойства логарифмов:


(41)

hello_html_m1a4ed56a.gif

(42)

Составим соответствующие функциональные уравнения


(43)

hello_html_69e0218a.gif

(44)

Докажем эквивалентность полученных уравнений (43),(44).

Рассмотрим уравнение (43) при следующих условиях:

  1. hello_html_m1a267428.gifнепрерывна и отлична от постоянной функции в интервале hello_html_113990d3.gif;

  2. hello_html_m7c01461e.gifhello_html_m10dde844.gif.

Теорема 3. Класс функциональных уравнений (43) при условиях 1), 2) имеет единственное решение.

Доказательство. Для доказательства единственности решения функционального уравнения рассмотрим произвольное решение hello_html_m1a267428.gifи введем замену переменных. Заменяя hello_html_46dff828.gif на hello_html_m362b3fad.gifпо формулеhello_html_6e85f922.gif, получим hello_html_m3154a25.gif. Аналогично hello_html_66f27352.gif, то естьhello_html_m30fd9c9f.gif. При этом hello_html_22b1d258.gif. C новой функцией уравнение (43) примет вид hello_html_1e9ee535.gif функционального уравнения, определяющего линейную функцию при известных условиях. При этом функция hello_html_m2ff8f4ce.gif непрерывна как композиция двух непрерывных функций и

hello_html_m429a8e78.gif. Таким образом, для уравнения(43) выполнены условия определения линейной функции. Как было показано в предыдущем параграфе, в этом случае уравнение (43) имеет единственное решение: hello_html_m1693df1e.gif.

Так как функциональное уравнение (43) имеет единственное решение hello_html_m2ff8f4ce.gifи каждой функции hello_html_m2ff8f4ce.gif соответствует единственная функцияhello_html_m1a267428.gif, то функциональное уравнение (43) при условиях 1), 2) имеет единственное решение. Это единственное решение уравнения (43) можно положить в основу определения логарифмической функции. Так как hello_html_m1693df1e.gif, hello_html_1887da43.gifи поэтому можно считать, что hello_html_m164fcb7d.gif, известно, чтоhello_html_m2a949fe5.gif, значит, hello_html_2b721aaf.gif.

Возможен второй способ доказательства. Для доказательства единственности решения функционального уравнения рассмотрим произвольное решение hello_html_m1a267428.gif и введем замену переменных. Заменяя hello_html_46dff828.gif на hello_html_m362b3fad.gif по формулеhello_html_3b335712.gif, получим hello_html_m59f3653a.gif. Аналогично hello_html_70e42ad6.gif, то есть hello_html_m30fd9c9f.gif. При этом hello_html_m40315ae1.gif. С новой функцией уравнение (43) примет вид hello_html_1e9ee535.gif функционального уравнения, определяющего линейную функцию при известных условиях. При этом функция hello_html_m2ff8f4ce.gifнепрерывна как композиция двух непрерывных функций и hello_html_60bfa787.gif.

Таким образом, для уравнения(43) выполнены условия определения линейной функции. Как было показано в предыдущем параграфе, в этом случае уравнение (43) имеет единственное решение: hello_html_m1693df1e.gif.

Определение 7 . Решение класса функциональных уравнений (43) называется логарифмической функцией и обозначается hello_html_m7b8b0058.gif hello_html_m10dde844.gif при выполнении условий 1) - 3).


2.4 Определение степенной функции

Напомним свойства степени с одинаковым показателем.

hello_html_m2087b68a.gif

(45)

hello_html_515a2372.gif

(46)

Составим соответствующие функциональные уравнения

(47)

hello_html_m5b93df43.gif

(48)

Докажем эквивалентность полученных уравнений.

Рассмотрим функциональное уравнение (47) при условиях:

  1. hello_html_m1a267428.gif- непрерывная функция в интервале hello_html_113990d3.gif и отличная от постоянной.

  2. hello_html_7a854b82.gif.

Теорема 4. Класс уравнений (47) при условиях 1), 2) имеет единственное решение.

Доказательство. Заменим независимые переменные hello_html_46dff828.gif и hello_html_2633e72.gif новыми переменными hello_html_m362b3fad.gif и hello_html_m16a5aa5a.gif по формулам hello_html_m8b5c776.gif, а hello_html_27a6c849.gif и введем в рассмотрение функцию hello_html_32fe0a66.gif.

Тогда из уравнения (47) следует: hello_html_m6c68c861.gif, то есть функция hello_html_m4c4066d7.gif удовлетворяет функциональному уравнению.

hello_html_1e9ee535.gifи условию hello_html_184c55c6.gif (hello_html_m544a9d15.gif)

Как было показано, единственным непрерывным решением этого уравнения при указанных условиях является показательная функцияhello_html_3c6ceec5.gif.

Следовательно, единственным непрерывным решением уравнения (47) будет функция hello_html_4ea166f2.gif .

Таким образом, hello_html_1e64a44c.gif, где hello_html_m2cf2bb6f.gif.

Определение 8. Непрерывное в интервале hello_html_113990d3.gifрешение класса функциональных уравнений (47) при условиях 1), 2) называется степенной функцией и обозначается hello_html_1e64a44c.gif.

Исследуем свойства решений класса функциональных уравнений.

а) hello_html_m30c8e002.gif. Действительно, полагая в уравнении hello_html_700e568a.gif, получим hello_html_4f1b9942.gif. Отсюда или hello_html_m30c8e002.gif, или hello_html_6e94012f.gif. Но если hello_html_6e94012f.gif, то при любом hello_html_m75233a95.gif, hello_html_6e94012f.gif. действительно, пусть hello_html_6e94012f.gif. Тогда hello_html_m3e56989.gif. Следовательно, hello_html_4fa8cbeb.gifи hello_html_m30c8e002.gif.

б) hello_html_m303083d3.gif, так как hello_html_m4910b0ce.gif, то hello_html_m303083d3.gif.

г) Если hello_html_2f2173f.gif, то hello_html_75592c0d.gif. Докажем, что если hello_html_2f2173f.gif,то hello_html_75592c0d.gif. Предположим противное. Пусть hello_html_2f2173f.gifи hello_html_3399ad41.gif. Но тогда для любого hello_html_m75233a95.gif. Имеем: hello_html_m2e85cdc1.gif,чтo невозможно, так как, по условию 1), функция отлична от постоянной.

д) Все значения функции hello_html_m1a267428.gifположительны. Так как hello_html_m59190f6d.gif, то все значения положительны.

е) Еслиhello_html_m3e7cfdd9.gif, тоhello_html_m76d6e11b.gif. Докажем, что если hello_html_m3e7cfdd9.gif, то hello_html_m76d6e11b.gif. Предположим противное. Пусть для некоторого hello_html_m3e7cfdd9.gifhello_html_m7ad27f5b.gif. Но тогда hello_html_m3ee8657c.gif. Из равенства hello_html_678abd73.gif имеем hello_html_2a7bbd8b.gif и, следовательно, hello_html_m4279306e.gif.

Далее, из равенства hello_html_43be9334.gif получаем hello_html_mb3a4325.gif и, значит, hello_html_m226a23d5.gif. Наконец,hello_html_3e209f0a.gif. Но тогда для любого действительного hello_html_2200c2ba.gifнайдется последовательность hello_html_35099757.gifрациональных чисел, сходящаяся к hello_html_461d1600.gif в силу непрерывности hello_html_5a223b27.gif, что невозможно, поэтому hello_html_7139da38.gif.


Таким образом, мы рассмотрели основные элементарные функции, сформулировали определение элементарных функций с помощью функциональных уравнений.




























Заключение

Проделав большую работу по изучению функциональных уравнений, приходим к такому выводу, что функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например, hello_html_34a002be.gif, hello_html_mba11e32.gif.

Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).

Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.

Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.

Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.

Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.

Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Мы рассмотрели основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.

В результате проведенных исследований можно сделать вывод , что термин функциональные уравнения обычно используются для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Не зная методов их решения, решить их практически невозможно.

Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, что только подчеркивает значимость выбранной темы.


























Список использованных источников

1. Просветов Г.И. Функциональные уравнения: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010. – 48с.

2. Функциональный анализ, Л.В.Канторович, Г.П.Акилов, издание второе, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977г.

3. Элементарные функции: учебно-методическое пособие/ сост. О.Н.Зубкова; Ряз.гос.ун-т им.С.А.Есенина.- Рязань, 2008.- 84с.

4. http://www.cleverstudents.ru/functions/basic_elementary_functions.html




















36



Автор
Дата добавления 18.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров51
Номер материала ДБ-272396
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх