Инфоурок / Математика / Статьи / ДИПЛОМНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

71

Содержание

















Введение


Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI-V веках до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор и его ученики, Гиппократ, Евклид, Архимед, Апполоний, Папп и многие другие. Они успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.

Только в новое время (XVII-XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с развитием новых разделов математики.

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс. В XVII-XIX веках разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX веках появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений.

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.Ни один вид задач не даёт столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Они обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу школьного курса геометрии. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии, важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений. [6]

Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения должны иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части.

Целью данной работы является изучение различных методов решения задач на построение различными инструментами.

В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи:

1. описать основы геометрических построений;

2. показать применение различных инструментов для построения при решении задач;

3. дать характеристику задач на построение;

4. рассмотреть методы решения задач на построение.

Объектом исследования является конструктивная геометрия на плоскости Евклида и Лобачевского.

Предмет исследования – геометрические задачи на построение.

Гипотеза дипломного исследования состоит в том, что геометрические построения играют серьёзную роль в математической подготовке школьников и студентов.

При написании данной работы использовались следующие методы: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.

Дипломная работа состоит из введения, основного содержания и заключения. Основное содержание работы изложено в трех главах. В список литературы вынесены источники, изученные в ходе выполнения работы.

В первой главе приводится основание конструктивной геометрии и возможности решения геометрических задач на построение различными инструментами. Рассматриваются методы решения задач на построение в Евклидовой геометрии.

Вторая глава посвящена построению одним циркулем. В ней дана характеристика задач на построение, выполняемое различными видами циркулей, условия разрешимости такого вида задач, приводится метод инверсии и применение метода инверсии в геометрии циркуля.

Третья глава посвящена рассмотрению построений выполняемых на плоскости Лобачевского.

Заключение содержит рассуждения о важности изученного вопроса, о ценности математических открытий Лобачевского для науки.


















ГлаваI.Геометрические построения с помощью циркуля и линейки


Сделать хороший геометрический чертеж от руки очень трудно. Если и можно напрактиковаться в проведении отдельных прямых линий и окружностей, то начертить комбинацию нескольких пересекающихся окружностей и прямых линий просто невозможно. Необходимы инструменты, с помощью которых можно достигнуть высокого качества чертежей. Следует различать точность выполнения чертежа и точность геометрического построения. Абсолютной точности выполнения быть не может, так как на чертеже мы имеем не геометрические линии, а их изображения в виде полосок. [1]

Чертеж считается точным лишь условно. Если самое зоркое зрение не замечает невязок в сопряжении начерченных прямых и кривых линий, мы признаем чертеж практически точным. Но дурно исполненный чертеж может быть идеально точным геометрически, если сделанное построение обосновывается геометрическими теоремами. Например, мы говорим: «Проведем две взаимно перпендикулярные прямые линии и из точки их пересечения опишем окружность произвольного радиуса; соединив соседние точки пересечения окружности и прямых, мы получим квадрат».

Мы утверждаем, что описанное построение даст нам действительно квадрат, так как получается четырехугольник с прямыми углами (они вписанные и опираются на диаметр) и с одинаковыми сторонами (гипотенузы конгруэнтных треугольников). Выполним описанное построение без инструментов, от руки. Получим неважный по внешности чертеж, но исполненный в соответствии с геометрическими теоремами и потому геометрически точный.

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник есть вспомогательный инструмент, так как, имея линейку и циркуль, можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая шкала, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей. Транспортир есть уже самостоятельный инструмент, так как точное в геометрическом смысле градуирование любой дуги на произвольное число равных частей с помощью линейки и циркуля невозможно.

С глубокой древности повелось допускать к исполнению геометрических построений только циркуль и линейку, т. е. приборы, позволяющие проводить прямые линии и окружности. Знакомую нам логическую элементарную геометрию, в которой каждая теорема обосновывается рассуждением, создали древние греки. В III в. до н. э. появился замечательный труд греческого математика Евклида (около 300 г. до н. э.), изложившего в стройной системе определения геометрических форм, теоремы и доказательства. Геометрические построения делались в строгом соответствии с доказанными теоремами и выполнялись с помощью только линейки и циркуля. Такие построения называются классическими.

Оказалось, что подавляющее большинство геометрических задач на построение может быть решено элементарным путем, т. е. на основании теорем элементарной геометрии, а выполнение построения может быть достигнуто с помощью циркуля и линейки. Но уже древние греки столкнулись, правда с немногими, такими задачами, решение которых не может быть выполнено с помощью циркуля и линейки. К числу таких задач принадлежат следующие три знаменитые задачи:

1) разделить произвольный угол на три равные части;

2) построить квадрат, равновеликий данному кругу;

3) построить ребро куба, объем которого в два раза больше данного куба.

Не понимая причины невозможности решения таких задач (невозможности вследствие ограничительного требования выполнить построение с помощью только линейки и циркуля), древние греки и математики последующих веков тщетно стремились к победе над этими неподатливыми задачами. И в настоящее время встречаются любители-математики, которые вследствие недостаточного знания теории напрасно тратят время на изобретение способа разделить с помощью линейки и циркуля любой угол на три равные части и потом испытывают глубокое разочарование от неудач.

Исчерпывающая теория геометрических построений создалась сравнительно недавно, в конце ХIХ века. Теперь мы знаем, какие задачи могут быть решены с помощью циркуля и линейки и почему, какие — нет и почему, как решить «невозможную» задачу с помощью добавочных инструментов, как решать некоторые задачи, и какие именно, с помощью какого-либо определенного инструмента, например, только циркуля.[17]



1.1.Задача на построение. Основные определения и понятия


Все построения будут проводиться в некоторой плоскости, которую будем предполагать заданной. Под фигурой в этой плоскости будем понимать любое непустое множество точек. Примерами таких фигур являются точки, отрезки, лучи, прямые, окружности и т. д.

Известно, что наиболее удобно строить геометрию на аксиоматической основе. Этот метод можно использовать и для теорий геометрических построений на плоскости.

Возможны различные способы выбора системы аксиом теории геометрических построений на плоскости. Здесь будет рассматриваться система аксиом работы. В качестве неопределяемого понятия примем понятие «построить фигуру». Всю систему аксиом разобьем на две группы: общие аксиомы геометрических построений на плоскости и аксиомы инструментов.[8]


Общие аксиомы:

11. Если фигура дана, то она построена.

12. Если построены две фигуры, то построено и объединение этих фигур.

13. Если даны две фигуры и их пересечение или разность не пусты, то они построены.

14. Если фигура дана, то можно построить точки, принадлежащие фигуре, и точки, не принадлежащие фигуре.

Приведем аксиомы, определяющие математические возможности циркуля и линейки.

Аксиомы циркуля и линейки:

21. Аксиома линейки: если даны две точки А и В, то можно построить луч АВ и луч ВА.

22. Аксиома циркуля: если даны точка О и некоторый отрезок АВ, то можно построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным длине отрезка АВ.

Из общих аксиом теории геометрических построений и аксиомы линейки следует, что математическая линейка позволяет по двум точкам строить отрезок с концами в заданных точках, строить луч с началом в одной из точек и проходящий через другую точку, строить прямую, проходящую через данные две точки. Принято такую линейку называть односторонней.

Общие аксиомы и аксиомы инструментов обосновывают возможность построений, которые называют основными построениями для выбранных инструментов.

Для циркуля и линейки основными построениями являются следующие построения:

1. построение отрезка по его концам;

2.построение луча с началом в данной точке, проходящего через другую данную точку;

3. построение прямой, проходящей через данные две точки;

4. построение окружности по центру и радиусу;

5. построение точки пересечения двух прямых;

6. построение точки пересечения двух окружностей;

7. построение точки пересечения прямой и окружности;

8. построение точки, принадлежащей построенной фигуре, и точки, не принадлежащей построенной фигуре.[7]

Основные построения играют фундаментальную роль в теории геометрических построений на плоскости. Решение любой задачи на построение с помощью циркуля и линейки сводится к поиску определенной последовательности основных построений.

Теперь можно ввести понятие задачи на построение и понятие решения этой задачи.[9]



1.2.Понятие решения задачи на построение. Число решений


Определение. Под задачей на построение понимается задача, в которой по данным фигурам с помощью заданных инструментов требуется построить фигуру, удовлетворяющую указанным условиям.

Определение. Фигура, удовлетворяющая всем условиям задачи на построение, называется решением этой задачи.

Принято задачу на построение считать решенной, если указана упорядоченная конечная последовательность основных построений для выбранных инструментов, выполнение которых приводит к фигуре, являющейся решением задачи. Процесс решения задачи на построение состоит в нахождении такой конкретной последовательности основных построений.

При решении сложных задач число основных построений достаточно велико. Поэтому решение этих задач разбивают на особые блоки, каждый из которых является решением некоторой часто используемой и достаточно простой задачи. Принято решения таких относительно простых задач называть элементарными построениями. К их числу относятся:

построение отрезка, равного данному;

построение угла, равного данному;

деление отрезка пополам;

деление угла пополам;

деление отрезка в данном отношении;

построение треугольника по трем сторонам;

построение треугольника по двум сторонам и углу между ними;

построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам;

построение прямоугольных треугольников;

построение срединного перпендикуляра для отрезка;

построение прямой, параллельной данной;

построение прямой, перпендикулярной данной;

построение множества точек, из которых отрезок виден под данным углом;

построение окружности Аполлония и т. д.

Понятие элементарного построения является относительным понятием. Фактически решение любой задачи на построение может быть отнесено к элементарным построениям.

Принято все задачи на построение делить на два класса:

а) задачи, не связанные с особым положением искомой фигуры на плоскости;

б) задачи, связанные с положением искомой фигуры на плоскости относительно данных фигур.

Все равные (конгруэнтные) решения задачи на построение, в которой не требуется особого расположения искомой фигуры на плоскости, принимаются за одно решение. Если в задаче оговаривается специальное расположение искомой фигуры на плоскости, то все решения, в том числе и равные, но имеющие различные расположения на плоскости относительно данных фигур, считаются разными решениями.

Построения допустимо производить на плоскости с точностью не только до движений, но и до подобных или аффинных преобразований. Необходимо при этом руководствоваться следующим правилом: если задача на построение не связана с положением, то:

а) конгруэнтные фигуры дают одно решение при нахождении решения с точностью до движений;

б) подобные фигуры определяют одно решение при нахождении решения с точностью подобий;

в) аффинно-эквивалентные фигуры определяют одно решение при нахождении решения с точностью до аффинных преобразований.



1.3.Этапы решения задачи на построение


Особенностью задач на построение является отсутствие единого метода решения. Процесс решения задач на построение делится на четыре этапа: анализ, построение, доказательство, исследование.

Наиболее важным и сложным этапом решения задачи на построение является этап анализа. На этом этапе необходимо найти способ решения задачи. Не существует единого алгоритма проведения анализа. Во многом успех анализа зависит от знания геометрических свойств рассматриваемых фигур.

Удобно при проведении анализа использовать примерный рисунок решения. Говорят в таких случаях: «предположим, что задача решена и что искомая фигура построена ». На рисунке выделяют данные элементы и пытаются установить между ними связь, позволяющую получить всю искомую фигуру. Обычно данные элементы стараются выделить так, чтобы часть фигуры оказалась построена, если, конечно, условия задачи позволяют. Это облегчает построение всей фигуры.

Необходимо помнить также, что, выбрав примерный рисунок искомой фигуры, мы тем самым ограничиваем возможности взаимного расположения заданных элементов. Полезно рассматривать разные варианты примерных рисунков возможных искомых фигур и разные варианты расположения заданных элементов в них.

Рассмотрим в качестве примера задачу 1: построить треугольник по основанию и медианам, проведенным к боковым сторонам.

Проведем анализ. Предположим, что задача решена и треугольник АВС (рис. 1) искомый. Пусть в нем АВ = с, ВМ = m1 , АN = m2. Искомый треугольник будет построен, если будет указан способ нахождения третьей вершины С.

Пусть точка О есть точка пересечения

медиан. Тогда АО = 2/3m2, ВО = 2/3m1. В треугольнике АОВ все стороны известны. Его можно построить. Нетрудно затем найти точки М и N. Точка С строится как точка пересечения прямых АМ и ВN. Путь решения задачи найден.

Суть второго этапа построения состоит в указании конечной последовательности основных или элементарных построений, которые необходимо выполнить, чтобы получить искомую фигуру. Запись пунктов построения желательно проводить одновременно с их выполнением циркулем и линейкой. Это помогает избежать ошибок при записи пунктов построения и облегчает проведение дальнейших этапов решения задачи.

Для рассматриваемой задачи построение будет состоять из следующих пунктов:

  1. отрезок АВ = с;

  2. отрезки 2/3m1, 2/3m2;

  3. треугольник АВО, где АВ = с, АО =2/3m2, ВО = 2/3m1;

  4. луч АО и точка N на этом луче, так чтобы АN = m2

  5. луч ВО и точка М на этом луче, так чтобы ВМ = m1

  6. лучи АМ и ВN;

  7. точка С= АМ ВN

В процессе третьего этапа доказательства необходимо установить, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, следовательно, является искомым решением. При этом предполагается, что каждый пункт построения выполним и поэтому построенная фигура существует.

hello_html_m28223e94.png

В рассматриваемой задаче АВ = с по построению, поэтому треугольник АВС будет искомым, если его медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника, равны данным отрезкам m1, m2. Для этого необходимо, чтобы точки М и N являлись серединами боковых сторон.

Рассмотрим треугольники АВО и NМО (рис.1). Они подобны, так как АО:ОN=ВО:ОМ = 2:1 по построению, а углы АОВ и NОМ равны как вертикальные. Отсюда следует, что МN || АВ и МN = 0,5 АВ. Значит, отрезок МN есть средняя линия треугольника, а точки М и N - середины боковых сторон. Что и требовалось доказать.

Целью последнего этапа исследования является получение ответов на вопросы:

а) при каких условиях на данные элементы задача имеет решение;

б) сколько решений имеет задача.

Удобно исследование проводить по пунктам построения, последовательно выясняя условия выполнимости каждого пункта и число возможных вариантов этого выполнения. Однако исследование по этой схеме позволяет ответить только на вопрос о том, при каких условиях и сколько решений имеет задача при данном способе построения. Для завершения исследования необходимо показать, что любое возможное решение совпадает с одним из найденных. Если это не удается, то, возможно, существуют решения, не являющиеся частными случаями найденного. Чтобы найти эти решения, нужно вернуться к проведению анализа и искать другие решения.

В нашей задаче пункты построения 1 и 2 всегда выполнимы. Пункт 3 выполняется, если справедливы неравенства

2/3| m2 - m1|< c <2/3(m2+ m1)

Пункты 4, 5, 6 выполняются однозначно. Лучи АМ и ВN не могут быть параллельны. Действительно, если прямые АМ и ВN параллельны, то отрезки АM и BN как параллельные отрезки между параллельными прямыми должны быть равны, что противоречит доказанному о том, что МN = 1/2AB. В тоже время, так как МN = 1/2AB , то прямые АМ и ВN пересекаются в полуплоскости, определяемой точкой О относительно прямой АВ. Итак, задача имеет единственное решение при данном способе построения при условии

2/3| m2 - m1|< c <2/3(m2+ m1).

Для завершения исследования покажем, что любой треугольник, удовлетворяющий условиям задачи, равен найденному треугольнику. Действительно, допустим, что мы имеем два треугольника с равными основаниями и равными боковыми медианами. Обозначим их соответственно через АВС и А1В1С1. Пусть точки О и О1 являются точками пересечения медиан этих треугольников. Тогда треугольники АВО и А1В1С1 равны по трем соответственным сторонам. Рассмотрим движение, переводящее треугольник АВО в треугольник А1В1С1. При этом движении в силу равенства медиан, проведенных к боковым сторонам, точки М и N перейдут в точки М1 и N1, лучи АМ и ВN в лучи А1М1 и В1N1. Точка С перейдет в точку С1. Треугольник АВС совпадет с треугольником А1В1С1. Следовательно, других решений, кроме найденных, задача не имеет.[9]




1.4.Геометрические места точек на плоскости


В теории геометрических построений часто используются множества точек, каждая точка которых обладает некоторым характеристическим геометрическим свойством. Принято называть эти множества геометрическими местами точек (г. м т.). Вообще говоря, любая точка произвольного множества обладает свойством принадлежности к самому множеству. Поэтому с теоретико-множественных позиций любое множество точек (любая фигура) является геометрическим местом точек. Термин г. м. т. является синонимом понятий: множество точек, фигура.

Многие г. м. т. удобно использовать в процессе решения задач на построение. Геометрические места точек могут иметь несколько характеристических свойств, каждое из которых можно использовать для определения и построения самого множества. Рассмотрим наиболее часто используемые геометрические места точек плоскости:

  1. Г. м. точек, удаленных от некоторой точки О на расстояние r, есть окружность с центром в точке О и радиусом r.

  2. Г. м. точек, равноудаленных от двух данных точек А и B, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.

  3. Г. м. точек, удаленных от данной прямой на расстояние а, есть совокупность точек двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на расстоянии а.

  4. Г. м. точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и отстоящая от них на одинаковом расстоянии.

  5. Г. м. точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть совокупность точек двух прямых, содержащих биссектрисы четырех углов, образованных при пересечении данных прямых.

  1. Г. м. точек, равноудаленных от сторон угла АОВ (рис. 2).



hello_html_29d238b2.png


hello_html_71a1d7b5.png


Оно состоит из точек биссектрисы ОМ и точек плоского угла LОN , где луч ОL перпендикулярен стороне ОА, а луч ОN перпендикулярен стороне OB.

Г. м. точек, из которых даны отрезок АВ виден под данным углом состоит из двух дуг с концами в точках А и В, симметричных относительно прямой АВ, причем точки А и В этому г. м. точек не принадлежат.

Г. м. точек, из которых данная окружность радиуса г видна под данным углом а, является окружностью, концентрической с данной окружностью, и с радиусом R = r/sin α (рис. 3).

Г. м. середин равных хорд данной окружности есть окружность, кон-

центрическая с данной окружностью и касающаяся этих хорд (рис.4).hello_html_m206bd813.png рис. 3 рис. 4 рис. 5

11. Г. м. середин хорд, проведенных в данной окружности из одной точки, есть окружность, построенная на соответствующем радиусе как на диаметре (рис. 5).

12. Г. м. точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная к2, является окружностью. Центром этой окружности служит середина отрезка АВ.

13. Г. м. точек, для которых разность квадратов их расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная а2, есть прямая, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через точку прямой, для которой это соотношение выполняется.

12. Г. м. точек, отношение расстояний которых до данной точки F и данной прямой l есть величина постоянная, является коническим сечением.

  1. Пусть М - произвольная точка множества, МF - расстояние от точки М до точки F и МD - расстояние до прямой l. Тогда, если е = MF/MD = const, то при е < 1 имеем эллипс, при е = 1 - параболу, при е > 1 получим гиперболу.

  1. В теории геометрических построений известны г. м. т., сыгравшие особую роль в истории развития математики. Значительное место среди них занимают конхоида Никомеда и циссоида Диоклеса.

16. Пусть а - данная прямая и S - центр пучка лучей, исходящих из этой точки. На каждом луче отметим точки, находящиеся на одинаковом расстоянии s от прямой а вдоль по лучу пучка. Множество этих точек называется конхоидой Никомеда.

17. Рассмотрим окружность, касательную к окружности в некоторой её точке Т, пучок лучей с центром в точке окружности S, диаметрально противоположной к точке Т. На каждом луче пучка SQ отложим отрезок SМ, равный отрезку PQ , где Р - точка пересечения луча с окружностью, а Q - с касательной в точке А. Множество полученных точек М называется циссоидой Диоклеса.[10]

Метод геометрических мест точек используется при решении задач на построение обычно в тех случаях, когда в процессе анализа задачи выясняется некоторая точка (иногда отрезок, прямая, окружность), играющая ключевую роль при построении искомой фигуры и удовлетворяющая двум независимым условиям f1, f2. Для нахождения этих точек рассматривают условия f1, f2 в отдельности. При этом получаются два множества F1, F2 состоящие из точек, удовлетворяющих условиям f1, f2 в отдельности соответственно. Точки, принадлежащие пересечению множеств F1 и F2, присоединяют к фигурам, данным в условии задачи, что обычно помогает упростить дальнейшее решение задачи. Рассмотрим примеры использования метода геометрических мест точек при решении задач на построение.

Задача 2. Построить треугольник по основанию, высоте и медиане, проведенным к этому основанию.

Анализ. Пусть треугольник АВС - искомый (рис. 6) и пусть АВ = с, СD = mс, СК = hс Замечаем, что точка С удовлетворяет одновременно двум условиям. Во-первых, СD = mс, следовательно, точка С принадлежит окружности ω(В,mс). Во-вторых , так как СК = hС, то точка С принадлежит г. м. точек, которые находятся на постоянном расстоянии hс от прямой АВ. Поэтому точка С принадлежит пересечению этих множеств.

Построение:hello_html_5841a82c.png

1.отрезок АВ = с;

2.г.м.точек,отстоящих от прямой
АВ на расстоянии hс;

3.точка В - середина отрезка АВ;

4.(D, mс);

5.С - точка пересечения г. м. т. пункта 2 с окружностью (Dс);

6.треугольник АВС.




Доказательство. В треугольнике АВС по построению: АВ = с, точка D - середина стороны АВ, отрезок СD = mс - медиана. Высота треугольника АВС равна СК= hс. Треугольник АВС - искомый.

Исследование. Пункты 1,2,3,4 выполняются однозначно. При проведении пункта 5 возможны случаи:

а) если тс < hс до точек пересечения нет,

б) если тс = hс, то существуют две точки пересечения,

в) если тс > hс, то существуют четыре точки пересечения.

Так как задача не связана с положением и треугольники, получающиеся во втором и третьем случаях, соответственно конгруэнтны, то при mс > hс задача имеет единственное решение при данном способе построения.

Нетрудно показать, что треугольники, имеющие равные основания, равные медианы и высоты, проведенные к этому основанию, равны. Поэтому других решений данная задача иметь не может.[10]



1.5.Применение геометрических преобразований к решению задач на построение


Суть метода геометрических преобразований решения задач на построение заключается в применении геометрических преобразований ко всем данным элементам фигуры или к их части, что позволяет увеличить число известных элементов фигуры и использовать их затем при нахождении способа решения задачи.

Известны следующие основные геометрические преобразования на плоскости: параллельный перенос, поворот или вращение, осевая симметрия, подобие, инверсия. Поэтому общий метод решения задач на построение с помощью геометрических преобразований разбивается на частные методы: метод параллельного переноса, метод поворота или метод вращения, метод осевой симметрии, метод подобия или метод гомотетии, метод инверсии. Рассмотрим каждый из этих методов в отдельности.

а) Метод параллельного переноса.

Используется обычно в тех случаях, когда среди элементов искомой фигуры есть элементы, расположенные на параллельных прямых и находящиеся друг от друга на определенном расстоянии. Это позволяет определить параллельный перенос и использовать его для построения дополнительных элементов искомой фигуры по заданным элементам.

hello_html_79c5700.png

Задача 1. Построить треугольник, если известны все три его медианы.

Анализ. Пусть АВС - искомый треугольник (рис.7) медианы треугольника АL, СМ, ВN равны соответственно данным отрезкам mа, mc, mb. Перенесем точку В параллельно на вектор АС. Получим параллелограмм АВКС.

Точки пересечения медиан О и О* треугольников АВС и ВСК, в которых медианы делятся в отношении 2:1, будут лежать на диагонали АК параллелограмма. В треугольнике ОО*В сторона ОВ=2/3 mb, сторона ВО* = 2/3 mc, сторона ОО*= 2/3 mа. Эти соотношения подсказывают способ решения задачи.

Построение:

  1. треугольник ОО*В, где ОВ=2/Зmb, ВO*=2/3mc, ОО*=2/Зma;

  2. луч ВL, где L - середина отрезка ОО*;

  3. прямая ОС через точку О параллельно прямой ВО*;

  4. точка С = ОС ВL;

  5. отрезок ОА = ОО*;

  6. треугольник АВС.

Доказательство. По построению треугольники СОL и ВО*L равны. Точка L является серединой отрезка ВС, поэтому АL - медиана треугольника АВС. Так как АО = ОО*= 2/3ma, то АL = ma. Точка О делит медиану АL в отношении 2:1, поэтому ВN также медиана. Замечаем, что ВО= 2/3mb, следовательно, ВN = mb. Аналогично показывается, что СМ = mc. Треугольник АВС - искомый.

Исследование. Решение задачи зависит от выполнения первого пункта, т. е. от возможности построения треугольника по трем отрезкам, равным 2/3mb, 2/3mc, 2/3ma. Если такой треугольник строится, то существует единственный искомый треугольник. Так как два треугольника, имеющие соответственно равные медианы, равны, то другие способы построения не дадут новых решений.

б) Метод поворота или вращения.

Используется в тех случаях, когда среди данных задачи имеется определенный угол с вершиной в некоторой точке. Поворачивая всю искомую фигуру или часть её вокруг этой точки на выделенный угол, мы получаем возможность увеличить число известных элементов фигуры. Обычно это помогает успешно продолжить решение задачи.

Задача 2. Даны три параллельные прямые, построить равносторонний треугольник с вершинами на этих прямых.

hello_html_52a601ed.png

Анализ. Предположим, что задача решена и треугольник AВС - искомый (рис. 8).Тогда каждый угол треугольника AВС равен 60°. Примем одну из вершин треугольника, например, точку А за центр и повернем плоскость на угол в 600 против часовой стрелки. Так как отрезок АВ равен отрезку АС, то точка В перейдет в точку С, при этом образ прямой L пересечет прямую с в точке С. Этот факт подсказывает способ решения задачи.

Построение.

  1. произвольная точка А прямой а;

  2. прямая b* как образ прямой b при повороте плоскости вокруг точки А на угол 60° против часовой стрелки;

  3. точка С = с b*;

  4. точка В как прообраз точки С на прямой b;

  5. треугольник АВС.

Доказательство. По построению АВ = АС и угол ВАС равен 600 . Следовательно, треугольник АВС - равносторонний. Так как его вершины по построению принадлежат данным параллельным прямым, то этот треугольник искомый.

Исследование. Пункты 3, 4, 5 выполняются однозначно. Число решений зависит от выполнения второго пункта. Прямую b можно поворачивать вокруг точки А на 60° почасовой стрелке и против часовой стрелки. Поэтому с каждой точкой А прямой а связаны два треугольника, являющиеся решения ми. Эти треугольники равны, но имеют разное положение относительно данных прямых. В этой задаче их необходимо считать различными решениями.

Так как все три данные прямые а, b, с равноправны, то выбор точек на прямых b, с в качестве новых центров поворота не даст новых решений.[9]

в) Метод осевой симметрии.

Удобен для применения в случаях, когда среди данных элементов имеется прямая линия. Обычно эту линию принимают за ось симметрии и строят фигуры, симметричные заданным. Число известных элементов, характеризующих искомую фигуру, после такого построения увеличивается, что способствует поиску решения задачи.

Задача 3. Даны прямая а и точки М и N по одну сторону от неё. Найти на прямой точку X так, чтобы длина ломаной МXN была минимальной.

hello_html_m7f944a7a.png

Анализ. Пусть точка О прямой а является искомой (рис. 9). Рассмотрим точку N*, симметричную точке N относительно прямой а. Тогда длина ломаной МОN будет равна длине ломаной МОN*. Очевидно, что длина ломаной МОN* будет наименьшей тогда, когда точка О будет точкой пересечения прямых а и МN*.

Построение:

  1. точка N* - симметричная точке N относительно прямой а;

  2. точка X = MN*a

Доказательство. Пусть точка О - произвольная точка прямой а (рис. 9). Так как точки N и N* симметричны друг другу относительно прямой а, то длина ломаной МХN равна - длине отрезка МN*, а длина ломаной МОN равна длине ломаной МОМ*. Для треугольника МОN* справедливо неравенство МО + ОN* > МN*. Отсюда МО + ОN > МХ + ХN. Поэтому точка X - искомая точка.

Исследование. Все пункты построения выполняются однозначно. Использование точки, симметричной точке М, новых результатов не дает. Задача имеет единственное решение.

г) Метод подобия или гомотетии.

Используется в тех случаях, когда данные условия задачи можно разделить на две группы; при этом первая группа данных условий определяет форму искомой фигуры, а вторая группа - размеры фигуры.

Метод построения заключается в следующем. Вначале по данным условиям первой группы строят любую фигуру, отвечающую требованиям этой группы. Затем с помощью гомотетии на основе данных условий второй группы изменяют размеры фигуры так, чтобы получилась фигура, обладающая нужной формой и размерами. Рассмотрим пример.

Задача 4.Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине а и отрезку т, равному сумме основания и высоты треугольника.

hello_html_mff93e52.png

Анализ. Условия равенства боковых сторон и угол при вершине определяют форму искомого треугольника, а сумма основания и высоты - его размеры. Это разделение данных подсказывает способ решения.

Построение:

1.равнобедренный треугольник А*В*С, где угол С = а (рис. 10);

2.высота СD* треугольника А*В*С*;

3.точки Т* и Т на луче СD* такие, что СТ* = СО* + А*В*, СТ = m;

4.треугольник АВС - образ треугольника А*В*С при гомотетии с центром в точке С и двумя соответственными точками Т* и Т.

Доказательство. Треугольник АВС - равнобедренный как образ равнобедренного треугольника при гомотетии, угол С = а по построению. Отрезки СТ и СТ* гомотетичны. В силу этого m = СТ = СD + АВ. Треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи и является искомым треугольником.

Исследование. Все пункты построения выполняются однозначно. Задача имеет единственное решение при этом способе построения. Так как все равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершинах и равными суммами оснований и высот равны, то другие способы не могут дать новых решений.[12]

д) Метод инверсии.

Инверсия - одно из преобразований плоскости, обладающее особыми специфическими свойствами. Напомним определение и важнейшие свойства инверсии.

Определение. Инверсией с центром в точке О и радиусом инверсии r называется преобразование плоскости с выколотой точкой О, при котором каждой точке М ставится в соответствие точка М* луча ОМ такая, что OM OM* = r2

Каждая точка окружности ω(О, r) при инверсии переходит сама в себя. Окружность ω(О, r) называется базовой окружностью инверсии.

hello_html_64845bca.png

При инверсии точки, внутренние по отношению к окружности инверсии, переходят в точки, внешние по отношению к этой окружности, и обратно.

Способ построения инверсных точек указан на рис. 11. Здесь прямая МТ - касательная к окружности инверсии, ТМ* - перпендикуляр к лучу ОМ, точки М и М* соответствуют друг другу в инверсии.

При инверсии:

а) всякая прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя;

б) всякая прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии;

в) всякая окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в
прямую, не проходящую через центр инверсии;

г) всякая окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Метод инверсии в решении задач на построение заключается в дополнительном использовании в процессе решения фигур, инверсных к данным фигурам. Применяется обычно в тех случаях, когда среди данных фигур имеются окружности, прямые.

Задача 5. Построить окружность, касающуюся данной окружности а и проходящую через две данные точки А и В, находящиеся вне данной окружности.

Эта задача является частным случаем классической задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных окружностей. Она относительно просто решается с помощью инверсии.

Анализ. Предположим, что задача решена и окружность - искомая (рис. 12). Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке А и примем её за окружность инверсии. Обозначим через В* точку, инверсную точке В. При этой инверсии окружность , как не проходящая через центр инверсии, перейдет в окружность'.

Окружность , проходящая через центр инверсии, перейдет в прямую b, при этом В*∩b. Свойство касания при инверсии сохраняется. Поэтому прямая b будет касаться окружности ω'. Это свойство подсказывает построение. [18]


1.6.Построение отрезков, длины которых являются функциями длин данных отрезков


Пусть на плоскости даны некоторые отрезки a, b, …, l. Обозначим через a, b, …, l – длины этих отрезков при выбранном единичном отрезке e. Пусть х есть функция от длин данных отрезков, т.е. х = f(а, b, ..., l), при этом f(а, b,..., l) >0. Построим отрезок х, длина которого равна х = f(а, b,..., l).

Выберем на плоскости другой отрезок е* и примем его в качестве нового единичного отрезка. Обозначим через а*, b*, ..., l* - длины данных отрезков в новой системе измерения, тогда получим соотношения:

a* = ta, b* = tb, …, l* = tl.

Построим далее отрезок, длина которого равна х*, где

х* = f(а*, b*, ..., l*) = f(tа, tb, ..., tl).

Нетрудно заметить что числа х и х* будут выражать длины одного отрезка х в разных системах измерения тогда и только тогда, когда будет выполняться соотношение

х* = tx.

или

f(tа, tb, ..., tl) = tf(a, b, …, l) (*)

Итак, мы доказали, что результат построения отрезка, длина которого является функцией от длин данных отрезков, не будет зависеть от выбора единичного отрезка тогда и только тогда, когда для этой функции выполняется условие (*).

Принято функцию, удовлетворяющую условию (*), называть однородной функцией первого измерения.

Если функция f(а, b, ..., l) не является однородной функцией первого измерения, то результат построения будет зависеть от выбора единичного отрезка. Выбрав некоторый отрезок е в качестве единичного отрезка, мы легко можем преобразовать функцию f(а, b, ..., l) в однородную функцию первого измерения. Для этого достаточно положить

x = ef ( a/e, b/e, …, l/e) (**)

где е - длина отрезка е при произвольном выборе единицы длины.

Перейдем к конкретному построению отрезков, длины которых заданы как функции длин данных отрезков. С помощью циркуля и линейки можно строить отрезки, заданные формулами:

  1. х = а + b;

  2. х = а - b, где а > b;

  3. х = nа, х = a/m, где nиm- натуральные числа;

  4. x = ap/q, где р и q - натуральные числа;

  5. x = ab/c (рис. 12);

  1. x = hello_html_3f538485.png(рис. 13);

x = hello_html_4e139485.png (рис. 14)

x = hello_html_679e42cf.png, где a > b.

9.Построения по этим формулам либо очевидны, либо легко прослеживаются по приведенным рисункам.

hello_html_578c747.png

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14


Заметим, что во всех выделенных восьми случаях длины искомых отрезков являются однородными функциями первого измерения. Поэтому результаты построения для этих функций не зависят от выбора единичного отрезка. К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, длины которых выражаются более сложными формулами.

Пример. Пусть а, b, с, d, l, t - данные отрезки. Требуется, построить отрезок x, длина которого задается формулой

hello_html_m130a2f59.png

Построение:

1. отрезок y по формуле у = hello_html_6a58eb62.png;

2. отрезок z по формуле z = hello_html_2ff9a485.png;

3 . отрезок х по формуле х = hello_html_6e846567.png.

Все три построения аналогичны приведенным. Искомый отрезок строится в результате последовательного выполнения пунктов построения.

Общий вывод, вытекающий из изложенного, следующий: отрезок, длина которого выражается через длины данных отрезков с помощью конечного числа арифметических операции (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции извлечения квадратного корня, всегда можно построить с помощью циркуля и линейки.

Исследования, проведенные учеными в девятнадцатом веке, показали, что с помощью циркуля и линейки невозможно построить другие отрезки. Сформулируем без доказательства теорему, которую называют критерием разрешимости задачи на построение.

Теорема. Для того чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, длина которого является данной положительной функцией длин данных отрезков, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была суперпозицией конечного числа арифметических операций и операции извлечения квадратного корня.[13]


1.7. Алгебраический метод решения задач на построение

Особенностью использования алгебраического метода решения задач на построение является следующее. Среди неизвестных элементов искомой фигуры выбирают отрезок, имеющий ключевое значение для построения искомой фигуры. Длину этого отрезка с помощью соответствующих теорем выражают через длины известных данных отрезков. Затем отрезок строят по найденной формуле. Построенный отрезок присоединяют к данным элементам фигуры и заканчивают решение задачи.

Задача. Через данные точки М и N провести окружность го, касающуюся данной прямой I.

Анализ. Пусть Y - точка пересечения прямых МN и l, а точка X – точка касания окружности и прямой l (рис.15). Тогда МУ • NУ = XY2, откуда следует, ХУ = hello_html_m736a5705.png. Откладывая отрезок ХУ на прямой l, строим точку X. Зная положение трех точек окружности М, N, X, легко построить всю окружность.

hello_html_24836a08.png









Построение:

1. точка У = МN ;

2.отрезок m = hello_html_m736a5705.png;

3.точка X на прямой l, для которой

окружность через три точки М, N, X.

Исследование. При выполнении первого пункта возможны два случая. Если прямая МN параллельна прямой l. то точки пересечения не существует. Для нахождения решения в этом случае нужно построить серединный перпендикуляр отрезка МN и затем провести окружность через точку пересечения этого перпендикуляра с прямой l и точки М и N. Задача имеет в этом случае одно решение.

Если прямая МN не параллельна прямой l, то существует одна точка У и единственным образом находятся отрезки МУ и NУ. Пункт второй в этом случае выполняется однозначно. Так как на прямой L от точки У отрезок m отложить можно двузначно, то существуют две окружности, дающие решения. Итак, если прямая МN параллельна прямой l, то задача имеет одно решение, если прямая МN не параллельна l, то имеются два решения.[16]




Глава II. Построения одним только циркулем.


2.1.О возможности решения геометрических задач на построение одним только циркулем. Основная теорема


С помощью одного только циркуля мы не сможем, разумеется, начертить непрерывной прямой линии, заданной двумя точками. Таким образом, построение прямой линии не покрывается полностью теорией Мора — Маскерони.

В геометрии циркуля прямая линия или отрезок определяется двумя точками, а не задается в виде непрерывной прямой линии (проведенной с помощью линейки), Построение прямой линии считается оконченным, как только построены две любые ее точки.

Введем обозначения:

(АВ) — прямая линия, проходящая через две точки А и В;

[AB]отрезок АВ;

[АВ] — расстояние между точками А и В;

(О, r) — окружность (пли круг) с центром О и радиусом r;

(А, [BC]) окружность (или круг) с центром A и радиусом r =[ВС]

Условимся в дальнейшем фразу «Из точки О, как из центра, радиусом r проводим окружность (или чертим дугу)» для сокращения записывать так: «Проводим (описываем, или чертим) окружность (О, r)», а иногда еще короче: «Проводим (О, r

Задача 1. Построить точку, симметричную данной точке С относительно данной прямой АВ.

Дано: (АВ) и точка С.

Построить: С1 = S(AB)(С).

Построение: Проводим окружности (А, [АС]) и (В, [ВС]), которые пересекутся в точке С1 (рис.16).

hello_html_m2bab76bb.png







Точка C1 — искомая.

Если точка С лежит на прямой АВ, то она сама себе симметрична (т. е. C = S(AB)(C)).

Примечание. Чтобы определить, лежат ли три данные точки А, В и Х на одной прямой линии, нужно вне прямой АВ взять произвольную точку С и построить симметричную ей точку С1. Очевидно, точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда [СХ] = [С1Х].

Мы можем показать справедливость основной теоремы геометрии циркуля (теоремы Мора — Маскерони).

Каждая конструктивная задача на построение циркулем и линейкой в плоскости Евклида всегда сводится к решению (выполнению) в определенном порядке следующих основных простейших задач (основных операций):

1. Через две данные точки провести прямую.

2. Из данной точки, как из центра, провести окружность данного радиуса.

3. Найти точки пересечения двух данных окружностей.

4. Найти точки пересечения данной окружности и прямой, заданной двумя точками,

5. Найти точку пересечения двух прямых, каждая из которых задана двумя точками.

Для доказательства того, что каждая задача на построение циркулем и линейкой может быть решена и одним лишь циркулем, без употребления линейки, достаточно показать, что все эти основные операции могут быть выполнены одним циркулем.

Вторая и третья операции циркулем выполняются непосредственно.

Допустим теперь, что некоторую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, требуется решить одним только циркулем. Представим себе эту задачу решенной циркулем и линейкой; в результате решение задачи сведется к выполнению некоторой конечной последовательности пяти основных операций. Выполнив каждую из этих операций одним циркулем, мы придем к решению предложенной задачи.

Приведенный метод решения геометрических задач на построение одним циркулем приводит, как правило, и весьма сложным и громоздким построениям, поэтому практически он малоэффективный. Однако с теоретической точки зрения он позволяет показать справедливость следующей основной теоремы в геометрии циркуля,

Основная теорема. Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем.[14]



2.1.Решение геометрических задач на построение одним циркулем


В этом пункте мы рассмотрим решение некоторых интересных задач из геометрии циркуля, разработанной в основном трудами Мора, Маскерони и Адлера.

Задача 2. Построить прямую, перпендикулярную к заданному отрезку АВ и проходящую через один из его концов.

Дано: [AB].

Построить: (АЕ) [АВ].

Построение (1-й способ). Сохраняя раствор циркуля неизменным и равным произвольному значению r, чертим окружности (А, r) и (В, r), в пересечении которых получим точку О. (Из двух точек пересечения этих окружностей берем любую из них.) Проводим окружность (О, r) и строим на ней точку Е, диаметрально противоположную точке В. Прямая АЕ искомая (рис. 17), т. е. (AE) [АВ].

Справедливость построения следует из того, что угол ВAЕ вписан в окружность (О, r) и опирается на ее диаметр.

hello_html_md71588d.png



Построение (2-й способ). Проводим окружность (В, [AВ]) (рис. 18), берем на ней произвольную точку С и описываем окружность (С, [АС]). Пусть D — точка пересечения этих окружностей. Если теперь провести третью окружность (A, [AD]) до пересечения ее с окружностью (С, [АС]) в точке Е, то получим (АЕ) [АВ], т. е. (АЕ) — искомая прямая.

Доказательство. Отрезок АС соединяет центры
окружностей (
a, [AD]) и (С, [AC]), DE их общая хорда. Значит, (AС) [DE] и угол CAD равен углу CAE (треугольник ADEравнобедренный).

С другой стороны, угол САD равен углу АDС равен 1\2 дуге АС. Из последних равенств следует: угол CАE равен 1\2 дуге AC, т. е. прямая АЕ является касательной к окружности (В, [AB]) в точке A, и, значит, (AE)[AB]. [15]


2.3.Инверсия и ее основные свойства


В конце XIX столетия А. Адлер применил принцип инверсии к теории геометрических построений одним циркулем. С помощью этого принципа он установил в геометрии циркуля общий способ решения задач на построение.

Пусть в плоскости чертежа дана некоторая окружность (О, r) и точка Р, отличная от точки О (рис. 19).

Возьмем на луче ОР точку Р' так, чтобы произведение длин отрезков ОР и ОР' равнялось hello_html_29ca9f68.png








квадрату радиуса данной окружности,

[OP] * [OP'] = rІ. (1)

Такую точку P' называют инверсной точке P относительно окружности (О, r), Окружность (О, r) называют окружностью инверсии или базовой окружностью, ее центр О — центром инверсии или полюсом инверсии, а величину rІ — степенью инверсии.

Если точка P' инверсна точке Р, то, очевидно, и наоборот, точка P инверсна точке P'.

Соответствие между инверсными точками, или иначе, преобразование, которое каждой точке P некоторой фигуры ставит в соответствие ей инверсную точку P', называется инверсией или преобразованием обратных радиусов.

Из определения инверсии следует, что каждой точке P на плоскости соответствует определенная и единственная точка P' той же плоскости, причем, если [ОР] > r, то [OP'] > r. Исключение составляет центр инверсии О. Точке О не может быть инверсна никакая точка плоскости, что немедленно следует из равенства (1).

Пусть (AP) и (А1Р) — касательные, проведенные к окружности инверсии (О, r) из точки Р, лежащей вне этой окружности (см. рис. 20). Тогда точка P' пересечения прямых АА1 и OP будет инверсна точке P. Действительно, в прямоугольном треугольнике OAP (AP' высота)

[OP] * [OP'] = [ОА]2 = rІ.

Пусть точка P перемещается по некоторой кривой l, тогда ее инверсная точка P' будет также описывать некоторую кривую l', Кривые l и l' называются взаимно инверсными.

Лемма. Если точки P' и Q' инверсны точкам P и Q относительно окружности (О, r), то

угол ОР'Q = углу OQP и угол OQ'Р' = углу OPQ.

Доказательство. Из равенства [OP] * [OP'] = [ОQ] = [ОQ] = r следует, что треугольники OQ'Р' и OQP подобны (рис. 21). Этим утверждение леммы доказано.

Из определения инверсии немедленно следуют две теоремы.

Теорема 1. Если две кривые пересекаются в точке Р, то инверсные им кривые пересекаются в точке Р', инверсной точке Р.

hello_html_m12be51e1.png

Рис.20 Рис.21


Теорема 2. Прямая, проходящая через центр инверсии О, сама себе инверсна.

Теорема 3. Кривая, инверсная данной прямой АВ, не проходящей через центр инверсии, есть окружность (О1, [OO1]), проходящая через центр инверсии О, причем всегда (OO1) ┴ (AB).

Доказательство. Пусть Q — основание перпендикуляра, опущенного из центра О на данную прямую. Обозначим через Q точку, инверсную точке Q. Возьмем на данной прямой произвольную точку Р и обозначим через Р' инверсную ей точку (рис.6).

На основании леммы можем записать:

угол ОР'Q' = углу OQР = 900.

Следовательно, когда точка Р будет перемещаться по прямой АВ, инверсная ей точка Р' будет описывать окружность, имеющую отрезок OQ' своим диаметром.

Так как окружность (O1, [OO1]) и данная прямая AB являются взаимно инверсными, то имеет место также обратное утверждение, а именно, что окружности, проходящей через центр инверсии, будет инверсна прямая линия.

Теорема 4. Кривая, инверсная данной окружности (O1, R), не проходящей через центр инверсии, есть также окружность. Центр инверсии является при этом центром подобия этих окружностей. [18]



2.3.Применение метода инверсии в геометрии циркуля


Приложение метода инверсии к решению геометрических задач на построение одним циркулем дает возможность указать общий метод, общий подход к решению конструктивных задач геометрии циркуля.

Задача 3. Построить точку Х, инверсную данной точке С относительно окружности инверсии (О, r).

Дано: (О, r) и точка С.

Построить: Х hello_html_792168ed.gif [ОС), [ОХ] * [ОС] = r.

hello_html_6015dfc4.png

Рис.22

Построение: в случае [ОС] > r/2 (рис. 22). Проводим окружность (С, [ОС]) и обозначаем через D и Dhello_html_4070abbe.gif точки их пересечения с окружностью инверсии (О, r). Если теперь провести окружности (D, [OD]) и (D1, [OD1]), то в пересечении их получим искомую точку Х.

Доказательство. Из подобия равнобедренных треугольников CDO и DOX находим

[ОС] : [OD] = [OD] : [ОХ],

или

[ОС] * [OX] = [OD]І = r.

Рис.23


Примечание. Построение в случае [ОС] < r/2 (рис. 23). Окружность (С, [ОС]) не будет пересекать окружность инверсии, поэтому строим отрезок [ОС1] = n[ОС], причем натуральное число n берем таким, чтобы [ОС1] > r/2. Находим точку С'1 инверсную точке С1, (1-й случай построения). Строим отрезок [OX] = n[OC'1]. Точка Х инверсна данной точке С.

Доказательство. Подставляя [ОС1] = n[ОС] и [OC'1] = [OX]/n в равенство [ОС1] * [ОС'1] = r, получим

[ОС1] * [ОС'1] = n[ОС] * [OX]/n = [ОС] * [OX] = r

Примечание. Приведенное построение возможно, если точка С не совпадает с центром инверсии.

В приведенных задачах было показано, как, пользуясь одним циркулем, построить фигуры, инверсные точке, прямой и окружности. Теперь мы можем рассмотреть общий метод решения геометрических задач на построение одним лишь циркулем.

Каждое построение, выполняемое циркулем и линейкой, дает в плоскости чертежа фигуру Ф, состоящую из окружностей, прямых и отдельных точек. Фигура Ф', инверсная фигуре Ф относительно окружности (О, r), принятой за окружность инверсии, с центром О, не лежащем ни на одной из прямых и окружностей фигуры Ф, будет состоять только из точек и окружностей. Используя при этом рассмотренные задачи, увидим, что каждая из этих точек и прямых может быть построена одним лишь циркулем.

Допустим теперь, что некоторую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, требуется решить одним только циркулем.

Представим себе, что эта задача решена циркулем и
линейкой, в результате чего получена некоторая фигура Ф, состоящая из точек, прямых и окружностей. Построение этой фигуры будет осуществляться проведением в определенном порядке конечного числа прямых и окружностей.

Возьмем по возможности более подходящую окружность инверсии (О, r) и построим фигуру Ф', инверсную фигуре Ф. Фигура Ф' будет состоять только из точек и окружностей, если, конечно, окружность инверсии выбрана так, что ее центр не лежит ни на одной из прямых или окружностей фигуры Ф.

Если теперь построить изображение, инверсное для того образа, который принимается за результат на фигуре Ф', то мы придем к искомому результату. При этом надо заметить, что построение фигуры Ф' следует производить в том порядке, в котором производится построение фигуры Ф циркулем и линейкой.

Изложенным выше способом можно решить при помощи одного циркуля каждую конструктивную задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой.[7]



2.4.Геометрические построения одним циркулем с ограничениями


Выше мы рассмотрели построения одним циркулем, которые можно теперь назвать классической геометрией циркуля.

В теории геометрических построений одним циркулем всегда подразумевается свободное пользование циркулем, когда на растворы ножек никаких ограничений не накладывается. Таким циркулем можно чертить окружности как угодно больших и как угодно малых радиусов.

Однако каждому известно, что практически данным конкретным циркулем можно описывать окружности, радиусы которых не больше некоторого отрезка Rmax и но меньше отрезка Rmin, Отрезок Rmax равен максимальному, а Rmin минимальному раствору ножек данного циркуля. Если через r обозначить радиус окружности, которую можно описать этим циркулем, то всегда имеет место равенство

Rmin < r < Rmax.

Будем говорить, что в данном случае растворы ножек циркуля ограничены снизу отрезком Rmin ограничены сверху отрезком Rmax. [18]



2.5. Построения одним циркулем с раствором ножек, ограниченным сверху


В данном пункте мы будем пользоваться циркулем, растворы ножек которого ограничены только сверху некоторым наперед заданным отрезком Rmax. Таким циркулем можно описывать окружности, радиусы которых не превышают этого отрезка. Для сокращения записи в дальнейшем будем вместо Rmax писать просто r. Если обозначить через r радиус окружности, которую можно описать данным циркулем, то всегда 0< r <R

Задача 4. Построить отрезок, в 2n раз меньший данного отрезка (разделить данный отрезок АВ на 2, 4, 8,..., 2n равных частей).

Построение: Нетрудно проверить, что в случае [АВ] < R/2 радиус наибольшей окружности равен в этом построении [AC] = 2[АВ] < R.

В случае [АВ] < 2R произвольным радиусом r описываем окружности (А, r) и (В, r) и обозначаем через С и D точки их пересечения. Изменяя величину радиуса r, всегда можно добиться того, что [CD] < R/2. Делим теперь пополам отрезок СD, получим точку Х1. Очевидно, точка Х1, делит пополам и данный отрезок АВ.

Точно так же построим точку Х2, делящую отрезок AХ1 пополам. Отрезок [AХ2] < R/2.

Увеличивая [AХn] = [AB]/2n в 2n раз, мы отрезок АВ разделим на 2n равных частей.

На основании вышеизложенного в данном пункте приходим к следующему выводу.

Все пять основных операций (простейших задач) могут быть выполнены (решены) одним только циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не превышают некоторого наперед заданного отрезка R.

Каждая геометрическая задача на построение, разрешимая циркулем и линейкой, всегда сводится к выполнению в определенном порядке конечной последовательности основных операций (пункт 1).

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не превышают некоторого наперед заданного отрезка.

Рассмотрим теперь общий метод решения конструктивных задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R.

Допустим, что некоторую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, требуется решить одним циркулем с ограниченным раствором ножек. Представим себе эту задачу решенной одним циркулем в классическом смысле, при свободном пользовании циркулем, когда на раствор ножек никаких ограничений не накладывается; в результате получим некоторую фигуру Ф, состоящую из одних только окружностей, взятых в конечном числе. Обозначим через R1 наибольший из радиусов всех окружностей, составляющих фигуру Ф. Если окажется, что R1 < R, то указанное построение может быть выполнено одним циркулем с ограниченным раствором ножек.

Пусть теперь R1 > R. Возьмем натуральное число n таким, чтобы R1/2n < R. Если теперь все отрезки, данные в условии задачи, в том числе и отрезки, определяющие радиусы заданных окружностей, уменьшить в 2n раз и затем провести решение задачи данным циркулем, то в результате получим фигуру Ф', подобную фигуре Ф с коэффициентом подобия (гомотетии), равным 1/2n. Все окружности фигуры Ф' могут быть начерчены данным циркулем, так как их радиусы не больше R1/2n (R1/2n < R). При этом следует заметить, что если среди данных в условии задачи имеется некоторая фигура Ф, на плоскости чертежа, то нужно одну из точек этой фигуры взять за центр подобия и построить ей подобную фигуру Ф'1 с коэффициентом подобия 1/2n (т. е. уменьшить фигуру Ф в 2n раз).

Обозначим через P' ту часть фигуры Ф', которая принимается за искомый результат. Строим фигуру P, подобную фигуре P' с центром подобия О и коэффициентом подобия 2n (увеличиваем фигуру P' в 2n раз), для чего строим отрезки [ОХ1], ..., [ОХk] такие, что

[ОХ1] = 2n[ОХ'1], [ОХ2] = 2n[ОХ'2], ..., [ОХk] = 2n[ОХ'k],

где через Х'1, Х'2, ..., Х'k обозначены все точки пересечения окружностей фигуры P'.

Точки Х1, Х2, ..., Хk фигуры P будут центрами и точками пересечения окружностей, составляющих эту фигуру.

Фигура P представляет искомый результат решения данной задачи. Прямые и окружности, радиусы которых больше R, на фигуре P не могут быть начерчены данным циркулем; они могут быть построены в виде точек, как угодно плотно прилегающих друг к другу.

При решении задач на построение число n обычно бывает неизвестным, так как данным циркулем мы не можем построить фигуру Ф, а значит, не будем знать радиуса R1 наибольшей из окружностей. Учитывая это обстоятельство, решение задач данным циркулем с ограниченным раствором проводим до тех пор, пока не придем к окружности с радиусом r1 > R. Определяем натуральное число n1 так, чтобы r1/2n1 < R. Уменьшаем данные отрезки в 2 n1 раз и повторно начинаем решение данной задачи; в результате мы или полностью решим задачу и построим фигуру Ф', или снова придем к окружности радиуса r2 > R. Определяем натуральное число n2 так, чтобы r2/2n2 < R, и снова уменьшаем все отрезки в 2 n2 раз (при этом отрезки, данные в условии задачи, будут уменьшены в 2n1+n2 раз); и в третий раз начинаем решение задачи. После конечного числа k шагов фигура будет построена (исходные отрезки, данные в условии задачи, будут уменьшены 2n1+n2+…+nk раз).

Используя общий метод решения, нетрудно построить одним циркулем с ограниченным раствором фигуры, инверсные данной точке, прямой и окружности. [19]



2.6. Построения одним циркулем с раствором ножек,
ограниченным снизу


В данном пункте мы будем пользоваться циркулем, растворы ножек которого ограничены только снизу наперед заданным отрезком Rmin. Таким циркулем можно описывать окружности любого радиуса, большего или равного отрезку Rmin. В дальнейшем будем вместо Rmin писать просто R.

Задача 5 (вторая основная операция). Из данной точки О, как из центра, описать окружность радиуса r = [AB].

Построение: Если [AB] > R, то окружность данным циркулем описывается непосредственно. Если же [AB] < R, то данным циркулем мы не можем начертить окружность в виде непрерывной кривой; в этом случае можно строить любое число точек, расположенных как угодно плотно на окружности, заданной центром и радиусом.

hello_html_m5416f614.png




Пусть [AB] < R. Произвольным радиусом a > R+r описываем окружности (О, а) и (А, а) и берем на второй из них две точки С и D так, чтобы [CD] > R. Берем на (О, а) точку С1 и проводим окружность (С1, [CD]) и отмечаем точку ее пересечения с (О, а) через D1. Если теперь описать окружности (С1, [CB]) и (D1, [BD]), то в пересечении получим точку Х, лежащую на заданной окружности (О, r). Меняя положение хорды С1D1 на окружности (О, а), можно построить сколько угодно точек данной окружности (рис. 24).

Справедливость построения немедленно следует из конгруэнтности треугольников ACD, OC1D1 и BCD, XC1D1.

Рассмотрим теперь общий метод решения геометрических задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены снизу отрезком R. Этим методом можно решать каждую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой.

Общий метод решения задач на построение одним циркулем, описывавшим окружности, радиусы которых не меньше R, совпадает с общим методом решения задач, проведенным в пункте 5. Различие этих методов заключается в том, что данные в условии задачи отрезки нужно не уменьшать в 2n раз, а наоборот, увеличивать в n (или 2n) раз.

Допустим, что некоторую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, требуется решить одним циркулем, растворы ножек которого ограничены снизу отрезком R. Представим себе эту задачу решенной одним циркулем, когда на растворы ножек никаких ограничений не накладывается; в результате получим некоторую фигуру Ф, состоящую из одних только окружностей. Обозначим через R1 наименьший из радиусов всех этих окружностей, составляющих фигуру Ф. Подбираем такое натуральное число n, чтобы nR1 > R, и строим фигуру Ф', подобную фигуре Ф и в n раз больше нее. Обозначим через P' ту часть фигуры Ф', которая принимается за искомый результат.

Теорема. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше длины некоторого наперед заданного отрезка.[2]



2.7.Построения одним циркулем с постоянным раствором ножек


Геометрические построения одним циркулем с постоянным раствором, которым можно описывать окружности только радиуса R, рассматривались многими учеными. Значительная часть сочинения «Книги геометрических построений» арабского ученого Абу Вафа посвящена этому вопросу. Решением задач на построение одним циркулем с постоянным раствором занимались Леонардо да Винчи, Кардано, Тарталья, Феррари и др.

Циркулем с постоянным раствором, равным R, мы можем провести прямую, перпендикулярную к отрезку АВ и проходящую через один из его концов, если только [AB] < 2R; можем отрезок R увеличить в 2, 3, 4, ... раз. Если [AB] < 2R и [AB] 2R, то можно строить точки прямой AB, меняя при этом каждый раз положение симметричных точек С и С1. Однако мы не можем этим циркулем делить отрезки и дуги на равные части, находить пропорциональные отрезки и т. д.

Таким образом, с помощью одного циркуля с постоянным раствором невозможно решить все задачи на построение, которые можно решать циркулем и линейкой.

В двух предыдущих пунктах мы рассмотрели решения геометрических задач на построения одним лишь циркулем, когда на растворы ножек были наложены некоторые ограничения, и предложили общие методы решения задач с помощью таких инструментов.

Естественно возникает вопрос о возможности решения геометрических задач на построение одним циркулем с ограниченным раствором ножек одновременно и сверху и снизу, т. е. циркулем, описывающим окружности радиуса, не меньшего Rmin и не большего Rmax.

Ответ на этот вопрос был дан в работе японского математика Китизи Янагихара (Yаnаgihаrа К. On limited Mascheroni geometrical constructionTohoku Math. J., 1931, 34). К. Янагихара доказал: «Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем и в том случае, если величина радиуса ограничена одновременно и сверху и снизу отрезками Rmax и Rmin».

Разность RmaxRmin в основной теореме Янагихара может быть взята достаточно малой. Таким образом, все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним лишь циркулем с «почти» постоянным раствором ножек, а, как уже отмечалось в начале данного пункта, циркулем с постоянным раствором все эти задачи решить нельзя. [3]



2.8.Построения одним циркулем с условием, что все окружности проходят через одну и ту же точку


В этом пункте мы рассмотрим решение геометрических задач на построение одним лишь циркулем, при условии, что все проведенные окружности будут проходить через одну и ту же точку плоскости.

Определение 1. Под углом nepeceчения двух окружностей (в общем случае — двух кривых) понимают угол, составленный касательными, проведенными к этим окружностям (кривым) в точке их пересечения.

Определение 2. Окружности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом.

Теорема 1. Если окружность (O1, R) пересекает окружность инверсии (О, r) ортогонально, то она сама себе инверсна.

hello_html_2f271350.png



Доказательство: если окружности пересекаются ортогонально, то угол ОАО1 образованный радиусами, проведенными в точку пересечения этих окружностей, равен прямому углу. Значит, прямая ОА является касательной, проведенной к окружности (O1, R) в точке А, и

[O P] * [OP'] = [ОА]2 = r2.

Последнее равенство справедливо для любой секущей OP. Точка P' инверсна точке P. Дуга APA1 окружности (О1, R) инверсна дуге AP'A1 (рис. 25).

Итак, с помощью одного циркуля можно построить точку, инверсную данной точке; построить окружность, проходящую через центр инверсии, инверсную данной прямой; и, наконец, построить прямую, инверсную окружности, проходящей через центр инверсии О, проводя в каждом из этих построений только окружности, проходящие через одну и ту же точку О — центр инверсии.

Я. Штейнер показал, что все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одной лишь линейкой, если в плоскости чертежа даны постоянная (вспомогательная) окружность (О1, R) и ее центр.

Предположим теперь, что некоторая задача на построение решена методом Штейнера; в результате в плоскости чертежа будет получена фигура Ф, состоящая, кроме вспомогательной окружности, только из прямых линий. Возьмем произвольную окружность (О, r) с единственным условием, что центр О не лежит на окружнoти (O1, R) и не лежит ни на одной из прямых фигуры Ф, и примем ее за окружность инверсии. Строим фигуру Ф', инверсную фигуре Ф. Полученная фигура Ф' будет состоять только из окружностей, из которых, за исключением двух (окружности инверсии (О, r) и окружности, которая инверсна окружности Штейнера (O1, R)), все будут проходить через одну точку О — центр инверсии.

Если окружность инверсии (О, r) пересекает вспомогательную окружность (О1, R) под прямым углом, то в силу теоремы 1 окружность Штейнера (О1, R) сама себе инверсна (т. е. одновременно принадлежит Ф и Ф'). Фигура Ф состоит из прямых линий и окружности Штейнера; ей инверсная фигура Ф' будет состоять из окружности Штейнера, окружностей, проходящих через центр инверсии и, быть может, отдельных изолированных точек (центров этих окружностей).

Таким образом, при построении фигуры Ф', инверсной фигуре Ф, в этом случае (когда окружности инверсии и Штейнера ортогональны) все окружности, в том числе и окружности, с помощью которых производится построение фигуры Ф', будут проходить через одну и ту же точку О, исключение при этом составляют только две окружности: окружность инверсии (О, r) и вспомогательная окружность Штейнера (О1R).

Подчеркнем, что построение фигуры Ф' следует производить в том порядке, в котором мы мысленно производим построение фигуры Ф методом Штейнера.

Теорема 2. Каждую геометрическую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, можно решить одним циркулем так, что все окружности построения, за исключением двух (окружности инверсии и вспомогательной окружности Штейнера), будут проходить через одну и ту же точку — центр инверсии.

Пусть теперь некоторая задача на построение решена методом Штейнера. В результате получим фигуру Ф, состоящую из окружности (О1, R) и прямых линий, часть из которых проходит через центр О, вспомогательной окружности. Если за окружность инверсии принять окружность Штейнера (О1, R) и построить фигуру Ф', инверсную фигуре Ф, то построенная фигура Ф' будет состоять из прямых линий и окружностей, причем все эти прямые и окружности, за исключением окружности (О1, R), будут проходить через одну и ту же наперед заданную точку О1. Отсюда следует:

Теорема 3. Каждую геометрическую задачу на построение не всегда можно решить циркулем и линейкой так, что все прямые и окружности, за исключением одной (окружности инверсии, которая здесь является одновременно и вспомогательной окружностью Штейнера), будут проходить через одну и ту же наперед заданную точку — центр инверсии.

Допустим теперь, что при решении геометрических задач на построение одним циркулем допускается однократное употребление линейки (или положим, что в плоскости чертежа с помощью линейки проведена прямая линия АВ), Возьмем произвольную окружность (О, r) с центром О, не лежащим на прямой АВ, за окружность инверсии и построим окружность (О1, R), инверсную данной прямой. Окружность (О1, R) проходит через центр инверсии О и R = [OО1].

Решение любой задачи на построение методом Штейнера с вспомогательной окружностью (О1, R) даст фигуру Ф, состоящую только из прямых линий и окружности (О1, R). Инверсная ей фигура Ф', кроме прямой АВ, будет состоять из одних окружностей, проходящих через центр инверсии О. При этом мы предполагаем, что ни одна из прямых при решении методом Штейнера не прошла через точку О, лежащую на вспомогательной окружности (О1, R); в противном случае за окружность инверсии (О, r) следует взять другую окружность.

Если прямая линия АВ не начерчена, а допускается однократное употребление линейки, то в плоскости чертежа берем произвольную окружность (О1, R) в качестве вспомогательной и решаем предложенную задачу методом Штейнера. Затем берем на этой окружности точку О с условием, чтобы она не лежала ни на одной из прямых фигуры Ф. Радиусом r < 2R описываем окружность (О, r) и обозначим через А и В точки ее пересечения с окружностью (О1, R). Берем линейку и проводим прямую АВ, которая будет инверсна окружности (О1, R), если считать (О, г) окружностью инверсии. Дальше строим фигуру Ф', инверсную начерченной фигуре Ф.

Теорема 4. Если в плоскости чертежа начерчена прямая линия, то все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть решены и одним циркулем так, что все окружности этого построения, за исключением одной (окружности инверсии), будут проходить через одну и ту же точку плоскости.

Эта теорема имеет некоторую аналогию с основной теоремой Штейнера для построения одной линейкой с постоянной окружностью.

Пусть теперь в плоскости чертежа начерчена с помощью линейки некоторая фигура , состоящая из прямых линий и отрезков.

Предположим теперь, что какую-нибудь задачу на построение мы решили методом Штейнера, приняв фигуру P в качестве вспомогательной. В результате получим некоторую фигуру Ф, состоящую только из прямых линий, фигура P является подмножеством фигуры Ф.

Возьмем произвольную окружность (О, r) при условии, что центр О не лежит ни на одной из прямых фигуры Ф, за окружность инверсии и построим фигуру Ф', инверсную фигуре Ф. Фигура Ф' будет состоять только из окружностей, проходящих через одну точку О — центр инверсии.

Теорема 5. Если в плоскости задана (начерчена) некоторая фигура, состоящая из прямых линий и отрезков, то все задачи на построение, которые можно решить методом Штейнера, принимая эту фигуру в качестве вспомогательной, всегда можно решить одним циркулем так, что все окружности, за исключением данной (окружности инверсии), будут проходит через одну и ту же точку, произвольно взятую в плоскости чертежа.

В теоремах 3, 4 и 5 фразу «за исключением одной (окружности инверсии)» следует заменить фразой: «за исключением окружности инверсии (О, r) и, быть может, еще нескольких концентрических окружностей (О, ri), i = 1, 2,...».

Например, теорема 3 будет формулироваться так:

Теорема 3'. Каждую геометрическую задачу на построение всегда можно решить циркулем и линейкой так, что все прямые и окружности будут проходить через одну и ту же наперед заданную точку О, за исключением окружности инверсии (О, r) и, быть может, еще нескольких концентрических окружностей (О, ri), i = 1, 2, ..., описанных из полюса инверсии О, как из центра.

Таким образом, все окружности построения можно разделить на две группы: окружности первой группы будут проходить через одну и ту же точку О, а окружности второй группы (одна или более) будут проведены из этой же точки О, как из центра. Среди этих концентрических окружностей всегда будет находиться окружность инверсии (О, r).[17]


ГлаваIII.Геометрические построения на плоскости Лобачевского


Построения, не зависящие от аксиомы параллельности, выполняются в геометрии Лобачевского так же, как и в евклидовой геометрии. К таким построениям относятся в частности: построение отрезка, равного данному отрезку, построение угла равного данному углу, построение медиатрисы отрезка и, следовательно, деление отрезка пополам, построение биссектрисы угла, построение перпендикуляра к данной прямой. Нередко для рассмотрения построения и определения его идеи применяется карта гиперболической плоскости. Поэтому можно различать следующие общие методы осуществления построений:

I.Построение осуществляется непосредственно в плоскости Лобачевского. Описание построения состоит в перечислении простейших конструктивных операций, которые должны быть выполнены в гиперболической плоскости, для того чтобы построение было осуществлено.

II.Построение предварительно осуществляется на одной из карт плоскости Лобачевского. В этом случае построение обычно выполняется на карте либо циркулем либо, либо линейкой, либо используем оба инструмента, но с известными ограничениями, - в зависимости от того, какой картой мы пользуемся и какими орудиями построения в пространстве Лобачевского располагаем.Принято далее различать 6

IIа.Построения ,осуществляемые на карте Бельтрами при условии, что строящиеся фигуры не выходят за пределы круга Бельтрами.

IIб.Построения, осуществляемые на карте Бельтрами при условии, что мы располагаем всей евклидовой плоскостью карты.[19]

3.1.Примеры построений связанных с параллельностью прямых

10 .Через точку А , не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой, а в одном из ее направлений.

Для выполнения идеи построения воспользуемся картой Бельтрами, считая, что образ точки. А совпадает с центром круга Бельтрами, а образ прямой а- с хордой XY этого круга. (Рис 26)


hello_html_5e5b7594.png

Рис.26


Пусть k’ –произвольная окружность с центром А, пересекающая XY и

АЕ XY. Прямые ZY и XY гиперболически параллельны. Так как Так как ZX ZY,AEXY,FCXY, то

(AGZY)=(ECXY);

Следовательно ,отрезки AG и EC гиперболически конгруентны.

Из сказанного выше вытекает, что задача может быть решена в гиперболической плоскости так. Описываем окружность A(R), где R –произвольный радиус, больший расстояния от точки A до прямой a (рис.26). Пусть эта окружность пересекает а в точках В и С. Описываем окружности B(R),C (R), пересекающиеся в точках A и D, и проводим прямые AD,AB,CF, где F –точка окружности A(R),диаметрально точке B. Пусть прямые a и AD пересекаются в точке Е; очевидно, что ВЕ=ЕС. Описываем окружность А(ЕС) и строим прямую АG ,G –одна из точек пересечения этой окружности и прямой СF. Противоположная[18]

3.2.Построение отрезков, определяемых некоторыми аналитическими соотношениями


1°. ch =. [a]

Пусть ch2 =. Тогда

ch z = sh2 а = сh2a — 1

ch===

Построив z, находим x по

2°. ch х = [sh <1,a<]

Это равенство можно представить в виде sh a = sh sin П (x),

так как sh λ = 1.

Строим прямоугольный треугольник но гипотенузе λ и катету а; острый угол этого треугольника, противолежащий катету а, равен П(x); следовательно, х есть отрезок, для которого этот угол является углом параллельности.

3°. Ограничения в построениях можно снять при помощи следующих построений. Принимая во внимание, что sh а = ch a th а и

th а = cos П (а)=sinII (а),

строим отрезок а' такой, что П (a/) = -II (а). Тогда


Следовательно , sh a =

Это равенство позволяет построить отрезок x и при условии ch х = sh а {а > а'), и при условии ch х = (а < а').

Отрезок, дополнительный к отрезку а, обозначается через а'. Из предыдущего вытекает, в частности,

что th а =[2]


3.3.Построение треугольника по трем углам


В геометрии Лобачевского треугольник определен, если известны его углы. Действительно, пусть — углы треугольника ABC (𝛼+𝛽+𝛾 < π); в таком случае сторона а этого треугольника, лежащая против угла а, может быть найдена по формуле

сh a=

Следовательно, в геометрии Лобачевского два треугольника равны, если три угла одного треугольника равны соответственно трем углам другого треугольника. Отсюда, в частности, вытекает, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур (точнее, две фигуры подобны лишь в том случае, если они равны).

Воспользуемся приведенной выше формулой для построения треугольника по трем углам.

Пустьβ и γ—острые углы. Тогда cos а = ± th а*, cos β = th b*,

sinβ =

cosγ = th с*, sin γ =

где Π(а*)=


1)α

2)α

𝛽


Обозначим через d* катет прямоугольного треугольника, в котором прилежащий к этому катету угол равен γ, а гипотенуза равна b*. Получим

cos βcoγ=а th b* cos γ= th d*.

Следовательно, формулу (1) можно преобразовать к виду:

ch а = (th d* ± th a*) ch b* ch с*

Пусть П (d* ± a*) =δ и П (e*) = .

Тогда

sh (d*±a*)=th (d*± a*) ch (d* ± a*)=

Итак, искомый треугольник может быть построен с помощью линейки и циркуля .[18]
























Заключение


Геометрические построения, или теория геометрических построений - раздел геометрии, где изучают вопросы и методы построения геометрических фигур, используя те или иные элементы построения. Геометрические построения изучаются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях, как на плоскости, так и в пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль и линейка (односторонняя математическая), однако, существуют построения другими инструментами: только одним циркулем, только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и её центр, только одной линейкой с параллельными краями и.т.д.

Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение. Господствовавшее до Лобачевского мнение о незыблемости геометрии Евклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философа И. Канта (1724-1804), родоначальника немецкого классического идеализма. Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как единственно возможное учение о реальном пространстве.[18]

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Н.И. Лобачевский, как известно, предпринял попытку исследования реального пространства, используя для этой цели астрономические данные. Он надеялся, что с помощью астрономических измерений можно будет обнаружит отклонение геометрии реального пространства от евклидовой. Хотя его вычисления не позволили опытным путем доказать гипотезу о неевклидовости реального пространства, сама гипотеза оказалась гениальным предвидением.

Из выше сказанного вытекает органическая связь между двумя великими достижениями человеческого разума - геометрией Лобачевского и теорией относительности Эйнштейна. При этом геометрия Лобачевского предшествовала теории относительности не только во времени, но и в идейном отношении.

Таким образом, аксиоматический метод и аксиоматические исследования Лобачевского сыграли огромную роль в развитии геометрии как науки, а также нашли свое отражение и в теории познания, т.е. переоценить их значение невозможно.[16;14]








Список использованной литературы

  1. Адлер, А. Теория геометрических построений/ А.Адлер// М: Учпедгиз, 1940.-С.124-127

  2. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение / И.И. Александров // М :Учпедгиз,1950.-С.18-22

  3. А݁л݁е݁к݁с݁а݁н݁д݁р݁о݁в, ݁П݁. С݁. Ч݁т݁о ݁т݁а݁к݁о݁е ݁н݁е݁э݁в݁к݁л݁и݁д݁о݁в݁а ݁г݁е݁о݁м݁е݁т݁р݁и݁я݁// М݁.:݁ У݁Р݁С݁С݁, 2011.-С. 147-149

  4. Аргунов, Б.И. , Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости / Б.И. Аргунов, Балк М.Б. // М: Учпедгиз,1957.-С.36-38

  5. А݁т݁а݁н݁а݁с݁я݁н, ݁Л݁݁. Г݁е݁о݁м݁е݁т݁р݁и݁я ݁Л݁о݁б݁а݁ч݁е݁в݁с݁к݁о݁г݁о݁/ К݁н݁. Д݁л݁я ݁у݁ч݁а݁щ݁и݁х݁с݁я ݁/ /Л݁݁. А݁т݁а݁н݁а݁с݁я݁н݁./ М݁.: П݁р݁о݁с݁в݁я݁щ݁е݁н݁и݁е݁, 2009.-С. 57-63

  6. Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии.// А.В. Белошистая /Математика в школе».-2002.- №9.-С.-25-27

  7. Болодурин, В.С. Избранные лекции по геометрии// В.С. Болодурин / Оренбург, Изд-во ОГПИ. 1995.С.-45-52

  8. Болодурин, В.С., Вахмянина О.А. Введение в теорию и практику геометрических построений на плоскости/ В.С. Болодурин, О.А. Вахмянина, Оренбург, Изд-во ОГПУ,1998.-С.12-15

  9. Вахмянина, О.А., Измайлова Т.С., Прояева И.В., Сафарова А.Д. Методические рекомендации к изучению курса «Геометрия».// Оренбург, Изд-во ОГПУ,2004,-С.37-47

  10. Глаголев, Н.А. Сборник геометрических задач на построение/ Н.А. Глаголев //М, 1930.-С.67-45

  11. Ефимо,в Н.В., Высшая геометрия/ Н.В. Ефимов //«Наука», М.,1971.-С.135-140

  12. Измайлова, Т.С., Сафарова А.Д. Преобразование плоскости в задачах/ Т.С. Измайлова, А.Д. Сафарова //Оренбург, Изд-во ОГПУ. 2001.-С.51-59

  13. Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем,/ А.Н. Костовский //М.:Наука,1989.-С.205-213

  14. Л݁а݁п݁т݁е݁в, Б݁݁. ݁.Н.И݁. Л݁о݁б݁а݁ч݁е݁в݁с݁к݁и݁й ݁ и е݁г݁о ݁г݁е݁о݁м݁е݁т݁р݁и݁я݁./ Б݁݁. Л݁а݁п݁т݁е݁в݁.// П݁о݁с݁о݁б݁и݁е ݁д݁л݁я ݁у݁ч݁а݁щ݁и݁х݁с݁я݁. М݁.: «П݁р݁о݁с݁в݁е݁щ݁е݁н݁и݁е݁», 1990݁.-С.89-93

  15. Л݁а݁п݁т݁е݁в, ݁Б݁݁., Н݁݁݁о݁б݁а݁ч݁е݁в݁с݁к݁и݁й ݁и ݁е݁г݁о ݁г݁е݁о݁м݁е݁т݁р݁и݁я݁/ Б݁݁. Л݁а݁п݁т݁е݁в// ݁/\//\\\\, П݁о݁с݁о݁б݁и݁е ݁д݁л݁я ݁у݁ч݁а݁щ݁и݁х݁с݁я݁. М݁.: «П݁р݁о݁с݁в݁е݁щ݁е݁н݁и݁е݁», 1970.-С.176-180

  16. Никулин, Н.А. Геометрические построения с помощью простейших инструментов / Н.А. Никулин// М.:Учпедгиз, 1947.-С.205-217

  17. Перепелкин, Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. // М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР,1947.-С.-61-78

  18. Подаева, Н.Г. , Жук Д.А. Лекции по основам геометрии./ Н.Г.Подаева , Д.А. Жук //Елец, 2012.-С.145-160

  19. Сморжевский, А.С. Геометрические построения в плоскости Лобачевского/ А.С.Сморжевский//Государственное издательство технико-технической литературы, М.:1951.-С.98-110

  20. Сморжевский, А.С.О геометрии Лобачевского/ А.С.Сморжевский//Государственное издательство технико-технической литературы, М.:1957.-С.67-78






Общая информация

Номер материала: ДБ-162666

Похожие материалы