Дипломная работа по геометрии: "Уравнение Эйлера-Лагранжа. Преобразование Лежандра. Уравнение Гамильтона."

Оглавление

Введение                                                                                                                                           2

Глава 1.                                                                                                                                              3

         §1                     Гладкие многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     3

         §2     Касательное и кокасательное расслоения. Расслоение линейных

реперов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          8 §3    Векторные поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §4 Дифференциальные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§5  Тензорные поля. Тензорные расслоения. . . . . . . . . . . . . . . 22 §6   Ковариантное дифференцирование.            . . . . . . . . . . . . . . . . 24

         §7      Римановы метрики и связности.                              . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Глава 2.                                                                                                                                            39

         §8       Уравнения Эйлера-Лагранжа.                                 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

§9 Преобразования Гамильтона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §10 Уравнение экстремалей для

Литература                                                                                                                                     50

Введение

Тема данной дипломной работы: "Уравнение Эйлера-Лагранжа. Преобразование Лежандра. Уравнение Гамильтона."

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

В первой главе вводятся основные понятия, такие как гладкое многообразие, касательное и кокасательное расслоение, расслоение линейных реперов, векторное поле, тензорное поле, тензорное расслоение, ковариантное дифференцирование, римановы метрики и связности, которые необходимы для дальнейшего исследования поставленной задачи.

Во второй главе рассматриваются уравнения Эйлера-Лагранжа, преобразования Лежандра и уравнения Гамильтона. А также приведены примеры некоторых известных лагранжианов и записаны для них уравнения Гамильтона. На конкретном примере была доказана справедливость теоремы о том, что уравнения экстремалей лагранжиана совпадают с уравнениями геодезических линий конформной метрики.

Глава 1.

                                                        §1        Гладкие многообразия.

1.   Пусть Rⁿ и R^m – числовые пространства, а U и V – открытые множества в Rⁿ и R^m соответственно, (xⁱ) ∈ U(i = 1,n), (y^α) ∈ V (α = 1,m). Отображение f : U → V называется дифференцируемым класса C^k или гладким класса C^k(k = 0,1,2,...), если вещественные функции (y^α) вещественных аргументов (xⁱ)

(y^α) = (y^α)(x¹,...,xⁿ),

задающие отображение f непрерывны и имеют все непрерывные частные производные

до порядка k включительно.

2.   Хаусдорфово (отделимое) топологическое пространство со счётной базой называется n-мерным многообразием M, если у каждой его точки существует окрестность гомеоморфная некоторой области в Rⁿ. Это означает, что на M существует атлас A, состоящий из карт (U,ϕ), где U – открытое связное множество в M – область определения карты (координатная окрестность), а ϕ – гомеоморфизм U на область ϕ(U) ⊂ Rⁿ. Если p ∈ U, то ϕ(p) = (xⁱ) – координаты точки p, поэтому ϕ называют системой координат. Говорят также, что (xⁱ) – локальные координаты на M.

3.   Пусть M – n-мерное многообразие и A – атлас, задающий структуру многообразия на M. Карты (U,ϕ) и (V,ψ) атласа A называются C^kсогласованными, если либо их области не пересекаются U ∩ V = Ø, либо если пересекаются, то взаимно обратные гомеоморфизмы

ϕ ◦ ψ⁻¹ : ψ(U ∩ V ) → ϕ(U ∩ V );ψ ◦ ϕ⁻¹ : ϕ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V )

областей из Rⁿ являются дифференцируемыми класса C^k. Если p ∈ U ∩ V и (xⁱ) = ϕ(p) координаты точки p относительно системы координат ϕ в U, а (xⁱ⁰) = ψ(p) – координаты той же точки p относительно системы координат ψ в V , то ϕ ◦ ψ⁻¹ и ψ ◦ ϕ⁻¹ задаются системами уравнений

xi = xi(x10,...,xn0),	(1.1)
xi0 = xi0(x1,...,xn),	(1.2)

которые называются формулами преобразования координат.

Атлас A, состоящий из C^k-согласованных карт, называется гладким класса C^k.

Два атласа класса C^k называются эквивалентными, если объединение карт этих атласов является так же атласом класса C^k.

Всякий гладкий атлас A задает на M гладкую (дифференцируемую) структуру. При этом считается, что эквивалентные атласы задают одну и ту же гладкую структуру.

Многообразие M называется гладким или дифференцируемым класса C^k, если на M задана некоторая гладкая структура класса C^k.

Как правило, в локальной дифференциальной геометрии не налагается каких-либо условий на класс гладкости многообразия M, считая его гладким класса C^∞.

Таким образом, для гладкого многообразия M функции преобразования координат (1.1) и (1.2) являются функциями класса C^∞ во всех точках области их определения.

Числовое пространство Rⁿ является гладким n-мерным многообразием с естественной гладкой структурой, определяемой атласом, состоящим из одной карты (Rⁿ,id). Очевидно, что всякое открытое множество G в Rⁿ также является n-мерным гладким многообразием. Заметим, что в силу обратимости систем уравнений (1.1) и (1.2) их якобиевы матрицы являются взаимно обратными и, следовательно, невырожденными.

Замечание 1. Обычно, под гладкой структурой на M понимается максимальный атлас, т.е. такой атлас, что каждая карта на M, гладко согласованная с любой картой атласа, принадлежит этому атласу (такая карта называется допустимой). Однако, если задан некоторый гладкий атлас, то добавляя в него все допустимые карты, мы получим максимальный атлас. Поэтому, для задания гладкой структуры на M достаточно задать некоторый гладкий атлас, а говоря о карте гладкой структуры, мы всегда будем считать, что она является допустимой.

Замечание 2. Пусть (xⁱ) локальные координаты на M и (xⁱ) некоторый набор n переменных, а координаты (xⁱ) являются гладкими функциями этих переменных и определитель матрицы Якоби  отличен от нуля в некоторой точке. Тогда, в силу теоремы о неявных функциях, существует окрестность этой точки, в которой уравнения (1.1) разрешимы относительно (xⁱ⁰), т.е. имеет место (1.2) и функции (1.2) гладкие. Следовательно, (xⁱ⁰) являются координатами в этой окрестности (локальными координатами на M). Точки, в которых якобиан равен нулю, называются особыми точками системы координат (xⁱ⁰).

Замечание 3. Если каждой точке p ∈ M поставить в соответствие ее i-ую координаты (xⁱ), то получим n гладких функций x¹(p),...,xⁿ(p), которые называются координатными функциями системы координат (xⁱ).

4.   Пусть M и N – гладкие многообразия, dimM = n, dimN = m. Отображение f : M → N называется гладким, если для каждой карты (U,ϕ) на M и каждой карты (V,ψ) на N таких, что f(U) ⊂ V отображение ψ◦f ◦ϕ⁻¹ является гладким отображением области ϕ(U) из Rⁿ в R^m. Если (xⁱ) (i = 1,n) − координаты в U, (y^α) (α = 1,m) координаты в V , то уравнения

                                                                                        y^α = y^α(x¹,...,xⁿ)                                                         (1.3)

являются локальной записью отображения f. Это определение корректно, так как замена одних локальных координат другими осуществляется гладкими функциями.

Гладкие в обе стороны гомеоморфизмы гладких многообразий называются диффеоморфизмами. Если существует диффеоморфизм M на N, то многообразия M и N называются диффеоморфными. Такие многообразия имеют одинаковую размерность.

5.   Гладкое отображение f : M → R называют гладкой функцией на M. Ее координатная запись имеет вид

                                                                                         y = y(x¹,...,xⁿ).                                                          (1.4)

Множество F(M) всех гладких функций на M является алгеброй над R. Операции сложения функций, умножение на число и умножение функций вводятся, как обычно, поточечно. Эта алгебра ассоциативна, коммутативна, с единицей и является бесконечномерной.

Гладкое отображение c : I → M, где I = (a,b) открытый интервал числовой прямой R называется гладкой параметризованной кривой на M.

Пусть p ∈ M и c – гладкая кривая на M, проходящая через точку p

(т.е. p ∈ c(I)) и

                                                                                                 xⁱ = fⁱ(t)                                                                (1.5)

параметрические уравнения этой кривой в координатной окрестности точки p. Так как кривая c проходит через точку p, то при некотором fⁱ(t₀) являются координатами точки p. Пусть γ : xⁱ = gⁱ(τ) любая другая гладкая кривая, проходящая через точку p, т.е. при некотором. Еслит.е. производные функций gⁱ(τ) и fⁱ(t), вычисленные в точке p, совпадают, то будем считать, что кривые γ и c имеют один и тот же касательный вектор v в точке p, а n чисел назовем координатами вектора v относительно системы координат (xⁱ). ⁰

Множество касательных векторов к всевозможным кривым, проходящим через точку p, называется касательным пространством T_pM многообразия M в точке p. Оно является n-мерным векторным пространством. Векторы, касательные к координатным линиям системы координат (xⁱ) обозначим через ∂_i = ∂/∂xⁱ. Они образуют естественный базис в T_pM; n чисел являются координатами вектора v в данном базисе

v = vi∂i. При замене координат (xi) на (xi0) имеем

(1.6)

                                                                                                                                                        (1.7)

и

                                                                                           .                                                            (1.8)

Формулы (1.7) называются формулами перехода от одного естественного базиса к другому, а (1.8) это формулы преобразования координат касательного вектора.

Векторное пространстводуальное пространству T_pM называется кокасательным пространством многообразия M в точке p. Оно состоит из линейных форм

                                                                                               u = u_idxⁱ,                                                               (1.9)

где dxⁱ – дифференциалы координатных функций xⁱ(p), образующие естественный базис в , дуальный базису ∂_j в T_pM:

                                                                                          .                                                         (1.10)

В частности, если f гладкая функция на M, то ее дифференциал

                                                                                          ,                                                         (1.11)

вычисленный в точке p, является линейной формой из . При замене координат имеем

                                                                                                                                                (1.12)

и

                                                                                           .                                                         (1.13)

Формулы (1.12) это формулы перехода от базиса dxⁱ к dxⁱ⁰, а (1.13) это формулы преобразования координат формы.

Касательное пространство T_pM часто называют пространством производных или пространством скоростей, а кокасательное пространство пространством дифференциалов или пространством импульсов точки p.

6. Пусть опять f : M → N – гладкое отображение M в N. Оно индуцирует линейное отображение f_∗ : T_pM → T_qN (q = f(p)) соответствующих касательных пространств следующим образом. Если v = vⁱ∂_i ∈ T_pM, w = ω^α∂_α ∈ T_qN и w = f_∗(v), то

                                                                                          .                                                         (1.14)

Отображение f_∗ называют продолжением отображения f на касательное пространство. Если матрица имеет максимальный ранг, то отображение f называется регулярным.

Отображение f индуцирует также отображение кокаса-

тельных пространств. Если ξ = f^∗(η), то

                                                                                           .                                                         (1.15)

Заметим, что если f – диффеоморфизм, то f_∗ и f^∗ являются изоморфизмами соответствующих векторных пространств.

§2     Касательное и кокасательное расслоения. Расслоение линейных реперов.

1. Пусть M – гладкое n-мерное многообразие. Касательным расслоением над M называется совокупность TM всех касательных векторов во всех

S

точках многообразия M : TM =                T_pM.

p∈M

В TM естественным образом вводится гладкая структура, превращающая его в гладкое 2n-мерное многообразие.Определенно отображение (каноническая проекция) π : TM → M, которое каждому касательному вектору ставит в соответствие точку касания: . Полный прообраз π⁻¹(p) называется слоем над точкой p и есть ни что иное, как касательное пространство в этой точке: π⁻¹(p) = T_pM. Для каждой карты (U,ϕ) некоторого гладкого атласа A на M определим отображение ϕ : π⁻¹(U) = U → ϕ(U) × Rⁿ ⊂ Rⁿ × Rⁿ, ставящее в соответствие точке z = (p,v) ∈ U ⊂ TM набор 2n чисел (xⁱ,vⁱ), где xⁱ – координаты точки p ∈ U : xⁱ = ϕ(p), а vⁱ – координаты вектора v ∈ T_pM в базисе ∂_i : v = vⁱ∂_i (xⁱ – базисные координаты, vⁱ – слоевые). Совокупность карт (U,ϕ) образует атлас A на TM. В пересечении двух карт из A имеют место формулы преобразования координат

,

(2.1)

правые части которых являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Далее можно ввести топологию в TM, объявив открытыми те и только те подмножества W, для которых все ϕ(W ∩ U) открытые множества в ϕ(U)×Rⁿ. Очевидно, в такой топологии TM отделимо и обладает счетной базой. Построенный так атлас A задает на TM гладкую структуру 2n-мерного многообразия.

Легко видеть, что все слои π⁻¹(P) T_pM во всех точках изоморфны Rⁿ – стандартному слою. В Rⁿ действует полная линейная группа GL(n,R) как группа всех его линейных преобразований. Это действие можно распространить на каждый слой. А именно, каждой матрице F = kf_jⁱk ∈ GL(n,R) соответствует линейное преобразование f в T_pM: если w = f(v) и v = vⁱ∂_i, w = wⁱ∂_i, то w^j = f_i^jvⁱ. Заметим, что значения функций , определяющих преобразование слоевых координат принадлежат GL(n,R).

Таким образом, касательное расслоение включает в себя совокупность следующих объектов: M, TM, π, Rⁿ, GL(n,R),где

•     M – гладкое n-мерное многообразие, называемое базой расслоения;

•     TM – расслоенное 2n-мерное гладкое многообразие, называемое касательным расслоением;

•     π – дифференцируемое отображение TM → M – каноническая проекция (расслаивающее отображение);

•     Rⁿ – векторное n-мерное числовое пространство – стандартный слой;

•     GL(n,R) – полная линейная группа (группа невырожденных матриц по умножению размера n × n) – структурная группа.

Если координаты точки z ∈ TM обозначить x^A = (xⁱ,xⁿ⁺ⁱ = vⁱ)(A = 1,2n) и формулы преобразования координат (2.1) записать в виде

                                                                                    x^A0 = x^A0(x¹,...,x²ⁿ),                                                      (2.2)

то нетрудно вычислить матрицу Якоби  для (2.1)

                                                                                                                       (2.3)

которая является невырожденной, в силу невырожденности матрицы – матрицы Якоби преобразования базисных координат.

2.   Аналогичным образом определяется кокасательное расслоение T^∗M как объединение всех кокасательных пространствво всех точках p ∈ M. Оно является 2n-мерным гладким многообразием с тем же стандартным слоем Rⁿ и той же структурной группой GL(n,R). Если (xⁱ) – локальные координаты на M, то на T^∗M возникают естественные локальные координаты (xⁱ,u_i), где u_i – координаты линейной формы  относительно натурального базиса dxⁱ : u = u_idxⁱ. Формулы преобразования локальных координат на T_M имеют вид

,

(2.4)

Действие структурной группы в каждом слое определяется формулой преобразования слоевых координат.

3.   Пусть как и прежде M – гладкое n-мерное многообразие. Линейный репер r_p в точке p ∈ M это совокупность точки p и n линейно независимых векторов e_i, образующих базис в касательном пространстве T_pM : r_p = {p,e_i}. Множество L(M) всех линейных реперов r_p во всех точках p ∈ M называют расслоением линейных реперов над M, которое является n + n²-мерным гладким многообразием. Каноническая проекция π : L(M) → M каждому реперу r_p ∈ L(M) ставит в соответствие его начало – точку p. Слой π⁻¹(p) над точкой p это множество всех реперов, имеющих общее начало. Если (xⁱ) – локальные координаты на M, то на L(M) возникают естественные локальные координаты (x^j,x^j_i), где x^j – координаты начала репера, а x^j_i – коэффициенты разложения базисных векторов репера r_p = {p,e_i} по векторам натурального базиса ∂_j : e_i = x^j_i∂_j. Если  – новые локальные координаты репера r_p, то e и формулы преобразования локальных координат на L(M) примут вид

,

(2.5)

Так же, как и в предыдущих случаях структурной группой является полная линейная группа GL(n,R), которая действует в каждом слое следующим образом, если F = kf_i^jk ∈ GL(n,R), то соответствующее преобразование в

π⁻¹(p) векторы e_i репера {p,e_j} переводит в векторы a_i репера {p,a_i} согласно формуле: a_i = f_i^je_j. Типовым слоем расслоения L(M) является сама структурная группа GL(n,R), так как задание какого-либо репера в π⁻¹(p) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между реперами из π⁻¹(p) и невырожденными матрицами размера n × n. По этой причине расслоение линейных реперов называют главным расслоением. Касательное и кокасательное расслоения являются расслоениями, присоединенными к главному расслоению линейных реперов. Характерным является то, что у всех этих расслоений одна и та же структурная группа. Имеются, конечно, и более глубокие связи между главным расслоением и присоединенными к нему расслоениями. Например, любое присоединённое расслоение является фактормножеством прямого произведения расслоения линейных реперов и стандартного слоя по действию структурной группы. Так для касательного расслоения имеем

                                                                          TM = L(M) × Rⁿ/GL(n,R).                                                (2.6)

                                                                   §3        Векторные поля.

1. Говорят, что на гладком многообразии M (или в некоторой его области) задано векторное поле X, если задано отображение, которое каждой точке из M ставит в соответствие вектор X_p из касательного пространства T_pM в этой точке.

Пусть (xⁱ) – локальные координаты на M. Векторные поля ∂_i, состоящие из касательных векторов к координатным линиям, образуют локальный базис векторных полей (базис в координатной окрестности), поэтому имеет место разложение

                                                                                      X = ξⁱ(x¹,...,xⁿ)∂_i,                                                         (3.1)

где функции ξⁱ(x¹,...,xⁿ) называются компонентами векторного поля в системе координат (xⁱ). При переходе к другим координатам компоненты поля X как и координаты касательного вектора преобразуются по закону

                                                                                           .                                                             (3.2)

Векторное поле называется гладким, если его компоненты ξⁱ являются гладкими функциями.

Пусть f ∈ F(M) – гладкая функция на M, тогда

                                                                                                Xf = ξⁱ∂_if                                                                (3.3)

также гладкая функция, которая называется производной функции f в направлении векторного поля X, поэтому векторное поле X можно также определить как линейный оператор X : F(M) → F(M), обладающий свойством дифференцирования степени 0 алгебры F(M)

                                                                               X(fg) = (Xf)g + f(Xg),                                                    (3.4)

т.е. X – линейный дифференциальный оператор.

Множество F¹(M) всех гладких векторных полей является векторным пространством относительно сложения и умножения на число:

                                                                  (X + Y )f = Xf + Y f, (λX)f = λ(Xf)                                         (3.5)

для ∀X,Y ∈ F¹(M) и ∀λ ∈ R

Более того, определена и операция умножения векторного поля на функцию:

                                                                                          g(X)f = g(Xf),                                                           (3.6)

поэтому F¹(M) является F-модулем.

Коммутатором или скобкой Ли векторных полей X и Y называется векторное поле [X,Y ]:

                                                                             [X,Y ]f = X(Y f) − Y (Xf).                                                 (3.7)

Если X = ξⁱ∂_i, Y = ηⁱ∂_i, [X,Y ] = ζⁱ∂_i, то из (3.7) следует, что

                                                                                    ζⁱ = ξ^k∂_kηⁱ − η^k∂_kξⁱ.                                                       (3.8)

Относительно операции коммутирования векторное пространство F¹(M) является алгеброй Ли, так как эта операция билинейная, имеет место антикоммутативность

                                                                                         [X,Y ] = −[Y,X]                                                          (3.9)

и справедливо тождество Якоби

                                                              [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y ]] = 0                                    (3.10)

для ∀ X,Y,Z ∈ F¹(M).

Векторное поле на M можно ещё интерпретировать как сечение касательного расслоения X : M → TM, π ◦ X = id, т.е. как n-мерную поверхность в 2n-мерном расслоенном пространстве TM, трансверсальную слоям.

2.   Векторному полю X = ξⁱ∂_i отвечает система дифференциальных уравнений

                                                                     .                                          (3.11)

Интегральной кривой поля X называется кривая c : xⁱ = xⁱ(t), являющаяся решением системы дифференциальных уравнений (3.11), т.е. функции xⁱ(t) есть решение системы (3.11). Именно поэтому поле X называют дифференциальным уравнением, или динамической системой на M, а интегральные кривые – траекториями поля X.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (3.11) позволяет отыскать все интегральные кривые в некоторой координатной окрестности U любой точки многообразия M, не содержащей особых точек векторного поля (точек, в которых значение векторного поля равно нулевому вектору). Из локальной теоремы существования и единственности решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3.11) следует, что для любой точки p₀(xⁱ₀) из U существует единственная интегральная кривая xⁱ(t) поля X, определённая для всех |t| < ε при некотором ε > 0, проходящая через точку p₀, причём

3.   Существует естественная связь между векторными полями и однопараметрическими группами преобразований.

Однопараметрической группой преобразований многообразия M называется отображение Φ : R × M → M, (t,p) → ϕ_t(p), удовлетворяющее следующим условиям:

1) для каждого t ∈ R ϕ_t : p → ϕ_t(p) есть преобразование M; 2) для всех t,s ∈ R и p ∈ M ϕ_t+s(p) = ϕ_t(ϕ_s(p)).

Каждая однопараметрическая группа преобразований ϕ_t индуцирует векторное поле X следующим образом. Для каждой точки p ∈ M X_p есть вектор, касательный к кривой x(t) = ϕ_t(p), называемой орбитой точки p = ϕ₀(p). Орбита ϕ_t(p) есть интегральная кривая поля X, исходящая из точки p.

Пусть теперь I_ε есть открытый интервал (−ε,ε) и U – открытое множество в M.

Локальной однопараметрической группой преобразований в M называется отображение Φ : I_ε×U → M, (t,p) → ϕ_t(p), удовлетворяющее следующим условиям:

1)                   для каждого t ∈ I_ε ϕ_t : p → ϕ_t(p) есть диффеоморфизм U на открытое множество ϕ_t(U) в M;

2)                   если t,s,t + s ∈ I_ε и если p,ϕ_s(p) ∈ U, то ϕ_t+s(p) = ϕ_t(ϕ_s(p)).

Как и в случае однопараметрической группы преобразований локальная однопараметрическая группа преобразований индуцирует векторное поле X, определённое на U.

Справедливо и обратное утверждение.

Пусть X – векторное поле на M. Для каждой точки p₀ ∈ M существует координатная окрестность U этой точки, положительное число ε и локальная однопараметрическая группа локальных преобразований ϕ_t : U → M, t ∈ I_ε, которая индуцирует данное X.

X порождает локальную однопараметрическую группу локальных преобразований в окрестности точки p₀. Если существует глобальная однопараметрическая группа преобразований многообразия M, которая индуцирует X, то векторное поле X называется полным.

Пусть (xⁱ) система координат в окрестности U такая, что xⁱ(p₀) = 0 и X = ξⁱ(x¹,...,xⁿ)∂_i. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                                                                                (3.12)

с неизвестными функциями f¹(t),...,fⁿ(t). В силу теоремы существования и единственности решения системы (3.12) существует единственное множество функций f¹(t,x),...,fⁿ(t,x), определенное для x = (x¹,...,xⁿ) c |xⁱ| < δ₁ и для |t| < ε₁, которое образует решение системы (3.12) для каждого фиксированного x и удовлетворяющее начальным условиям:

                                                                                             fⁱ(0,x) = xⁱ.                                                            (3.13)

Положим

                                                                            ϕ_t(x) = (f¹(t,x),...,fⁿ(t,x))                                              (3.14)

для |t| < ε₁ и x из U₁ = {x;|xⁱ| < δ₁}. Если |t|,|s| и |t + s| все меньше чем ε₁ и как x, так и ϕ_s(x) находятся в U₁, то функции gⁱ(t) = fⁱ(t + s,x) будут решениями (3.12) с начальными условиями gⁱ(0) = fⁱ(s,x) и, следовательно, ϕ_t(ϕ_s(x)) = ϕ_t+s(x). Так как ϕ₀ есть тождественное преобразование в U₁, то существует δ > 0 и ε > 0 такие, что для U = {x;|xⁱ| < δ} имеем ϕ_t(U) ⊂ U₁ для |t| < ε. Это доказывает, что ϕ_t является диффеоморфизмом на U для всех |t| < ε. Таким образом, ϕ_t есть локальная однопараметрическая группа локальных преобразований, определенная на I_ε × U. В силу построения ϕ_t ясно, что ϕ_t индуцирует данное векторное поле X на U. Пусть

                                                                                       x˜ⁱ = fⁱ(t,x¹,...,xⁿ)                                                       (3.15)

координатное представление однопараметрической группы преобразований ϕ_t. Раскладывая функции (3.15) по степеням t в окрестности точки (0,x) ∈

R × U и, учитывая, что  и отбрасывая члены, содержащие t в степени 2 и выше имеем

                                                                                  x˜ⁱ = xⁱ + tξⁱ(x¹,...,xⁿ).                                                   (3.16)

Равенства (3.16) при каждом достаточно малом t определяют сдвиг точки x вдоль интегральной кривой поля X, проходящей через эту точку. Они являются координатной записью инфинитезимальных преобразований, порождённых векторным полем X. Как правило, область определения векторного поля X и соответствующей локальной однопараметрической группы локальных преобразований ϕ_t явно не указывается. Каждая формула считается справедливой всюду, где она имеет смысл. Более того, слово "локальная"мы будем опускать, поскольку все наши утверждения относятся к некоторой координатной окрестности U, которую мы всегда сможем сузить до нужной нам окрестности. То же самое относится к числовым интервалам I ∈ R.

                                             §4          Дифференциальные формы.

1. Дифференциальной внешней формой степени r (r-формой) на M называется отображение ω : p → ω_p, которое каждой точке p ∈ M ставит в соответствие внешнюю форму. Если (xⁱ) локальные координаты на M, то

                                                          ω = ω_i1...ir(x)dxⁱ¹ ∧ ··· ∧ dx^ir(i₁ < ··· < i_r),                                   (4.1)

где ω_i1...ir = ω_i1...ir(x¹,...,xⁿ) – гладкие функции координат – компоненты r-формы, a dxⁱ¹ ∧ ··· ∧ dx^ir(i₁ < ··· < i_r) образуют локальный базис векторного пространства дифференциальных r-форм. Скалярное поле ϕ(x¹,...,xⁿ) следует рассматривать как дифференциальную 0-форму. Дифференциальная форма степени 1

                                                                                           ω = ω_i(x)dxⁱ                                                                                (4.2)

называется формой Пфаффа.

Замечание. Пусть (xⁱ) и (xⁱ+dxⁱ) бесконечно близкие точки. Тогда смещению из x в x+dx отвечает вектор dx = dxⁱ∂_i. Таким образом, с одной стороны dxⁱ – это n линейно независимых дифференциальных форм – дифференциалы координатных функций, с другой стороны, это координаты вектора dx.

Дифференциал функции f ∈ F(M) является формой Пфаффа. Всякая дифференциальная форма степени r > n равна нулю. Дифференциальная форма степени n ω = ω_1...ndx¹ ∧ ··· ∧ dxⁿ имеет только одну компоненту. Если ω_1...n 6= 0 для всех x = (x¹,...,xⁿ), то ω называется формой объема.

Дифференциальную r-форму можно рассматривать как полилинейное отображение ω : F¹(M)×···×F¹(M) → F(M) такое, что ω(X_σ(1),...,X_σ(r)) = sgn σω(X₁,...,X_r).

Если  векторные поля и ω – дифференциальная r-форма, то

                                                                ,                                         (4.3)

где ω_i1...ir = ω(∂_i1,...,∂_ir) – совокупность функций кососимметричных по любой паре индексов. В частности для линейной дифференциальной формы

                                                                                            ω(X) = ω_iξⁱ,                                                             (4.4)

где ω_i = ω(∂_i), X = ξⁱ∂_i, а

                                                                                             dxⁱ(X) = ξⁱ.                                                              (4.5)

Множество ∧^rT^∗(M) дифференциальных форм степени r на M является F-модулем (модулем над алгеброй F(M) гладких функций на M). Обозначим через ^VT^∗(M) = ^P∞ ∧^kT^∗(M) прямую сумму всех ∧^kT^∗(M). Элементы из ^VT^∗(M) называются внешними дифференциальными формами (без ука-^k=0 зания степени). Они являются формальными суммами, слагаемыми которых являются k-формы, причем число слагаемых отличных от нуля конечно, т.к. ∧^kT^∗(M) = 0 для k > n. Каждую k-форму из ∧^kT^∗(M) можно отождествить с формой

                                                                    Ω = 0 + 0 + ... + 0 + ω^k + 0 + ...                                           (4.6)

V ^∗(M). Пусть Ω₁,Ω₂ ∈ VT^∗(M). Каждая из этих форм представима в

из       T

виде

                                                                                                                        (4.7)

Определим внешнее произведение Ω₁ ∧ Ω₂ положив

                                                                                                                              (4.8)

Внешнее произведение векторное пространство ∧^kT^∗(M) превращает в линейную ассоциативную алгебру. Эта алгебра называется внешней алгеброй или алгеброй Грассмана дифференциальных форм на M.

2. Пусть на M задана дифференциальная r-форма ω. В локальных координатах (xⁱ) эта форма имеет вид (4.1). Внешним дифференциалом этой формы называется (r + 1)-форма

                                                       dω = dω_i1...ir ∧ dxⁱ¹ ∧ ··· ∧ dx^ir(i₁ < ··· < i_r),                                  (4.9)

где dω_i1...ir = ∂_iω_i1...irdxⁱ – полный дифференциал координат формы ω, поэтому dω = (∂_iω_i1...irdxⁱ) ∧ dxⁱ¹ ∧ ··· ∧ dx^ir(i₁ < ··· < i_r),       (4.10)

или

                                                                  dω = ∂_[iωi1...i_r]dxⁱ ∧ dxⁱ¹ ∧ ··· ∧ dx^ir.                                       (4.11)

Если ω = f – скаляр, то внешний дифференциал совпадает с обычным дифференциалом df = ∂_ifdxⁱ.

Если ω = ω_jdx^j – линейная дифференциальная форма, то

dω = (∂_iω_j − ∂_jω_i)dxⁱ ∧ dx^j(i < j)

или

d.

Внешний дифференциал от полного дифференциала функции равен нулю. Действительно,

d,

так как ∂_ijf = ∂_jif, а dxⁱ ∧ dx^j = −dx^j ∧ dxⁱ.

Дважды взятый внешний дифференциал равен нулю, т.е.

                                                                                             d(dω) ≡ 0                                                           (4.12)

для любой r-формы ω. Действительно,

dω = (∂iωi1...irdxi) ∧ dxi1 ∧ ··· ∧ dxir(i1 < ··· < ir), d(dω) = ((∂_ijω_i1...irdx^j) ∧ dxⁱ) ∧ dxⁱ¹ ∧ ··· ∧ dx^ir ≡ 0,

т.к. ∂_ijω_i1...ir симметрично по i и j, a dxⁱ ∧ dx^j – кососимметрично, и, следовательно, их свертка дает тождественный нуль.

Пусть ω = ωi1...irdxi1 ∧ ··· ∧ dxir – r-форма, а θ = θj1...jsdxj1 ∧ ··· ∧ dxjs – s-форма на M. Тогда, как нетрудно убедиться,

d(ω ∧ θ) = dω ∧ θ + (−1)rω ∧ dθ. В частности, для формы ω и функции f имеем	(4.13)
d(ω) = df ∧ ω + f ∧ dω. Кроме того, очевидно, что	(4.14)
d(λω + µθ) = λdω + µdθ	(4.15)

для ∀λ,µ ∈ R и ∀ω,θ ∈ ∧^rT^∗(M), т.е. d : ∧^rT^∗(M) → ∧^r+1T^∗(M) – линейный оператор внешней алгебры ^VT^∗(M), который в силу (4.13) является косым дифференцированием степени +1 этой алгебры. Внешний дифференциал можно определить как косое дифференцирование d степени +1 алгебры ^VT^∗(M), обладающее следующими свойствами: df = df,d(df) = 0,f ∈ F(M).

Для каждого векторного поля X определено косое дифференцирование ı_X степени -1 алгебры ^VT^∗(M). Если r > 0, то для r-формы ω:

(ı_Xω)(X₁,...,X_r−1) = rω(X,X₁,...,X_r−1).

В частности, для 1-формы ω: ı_X = ω(X). Косое дифференцирование ı_X называется внутренним произведением.

3. Внешняя дифференциальная форма ω называется замкнутой, если dω = 0. Форма ω называется точной, если существует такая форма θ, что ω = dθ. Очевидно, что всякая точная форма является замкнутой.

Пусть ω -— дифференциальная r-форма и X₁,...,X_r+1 – гладкие векторные поля. Тогда значение dω на X₁,...,X_r+1 может быть найдено по формуле (r + 1)dω(X₁,...,X_r+1) = (−1)^α−1X_αω(X₁,...,X˜_α ...,X_r+1)+

                                        +(−1)^α+βω([X_α,X_β],X₁,...,X˜_α,...,X˜_β,...,X_r+1)(α < β)                               (4.16)

Проверим справедливость (4.16) для r = 1. Пусть ω = ω_jdx^j, тогда по определению d имеем

                                                                        2dω = (∂_iω_j − ∂_jω_i)dxⁱ ∧ dx^j                                                         (4.17)

и, следовательно, значение dω на векторных полях X = ξⁱ∂_i и Y = η^j∂_j равно

                                                                      2dω(X,Y ) = (∂_iω_j − ∂_jω_i)ξⁱη^j.                                          (4.18)

Находим правую часть (4.16)

Xω(Y ) − Y ω(X) − ω[X,Y ] =

ξi∂i(ωjηj) − ηj∂j(ωiξi) − ωi(ξi∂kηk − ηk∂kξk) =

∂iωjξiηj + ωjξi∂iηj − ∂jωiξiηj − ωiηj∂jξi − ωiξj∂jηi + ωiηj∂jξi =

                                                                                    = (∂_iω_j − ∂_jω_i)ξⁱη^j.                                                    (4.19)

Сравнивая (4.18) и (4.19) убеждаемся в справедливости формулы (4.16) при r = 1, которая примет вид

                                           d.                      (4.20)

Если ω − 2-форма, то

d

                                                       −ω([X,Y ],Z) − ω([Y,Z],X) − ω([Z,X],Y )}.                               (4.21)

4. Вернемся к аффинному пространству A. Зададим "начальный"репер r₀ = {o,a_i}. Любой другой линейный репер r_x = {x,e_i} определяется координатами своего начала p и координатами векторов базиса {e_i}:

x ,          (4.22) a.          (4.23)

Совокупность  чисел – координаты репера r_p. Множество всех реперов r_p есть главное расслоенное пространство L(A).

Параметрам (x^j,x^j_i) репера r_x придадим бесконечно малые приращения

. Новые значения параметров  определяют новый

репер (x + dx,e_i + de_i), где

                                                                                dx = dx^ja_j, de_j = dxⁱ_ja_i,                                                 (4.24)

или, учитывая (4.23),

                                                                        dx = x˜ⁱ_jdx^je_i, de_j = x˜ⁱ_kdx^k_je_i.                                           (4.25)

Обозначим ωi = x˜ikdxk, ωji = x˜ikdxkj = −xjkdx˜ik.    (4.26)

Здесь ωⁱ и ω_jⁱ представляют собой n+n² линейных дифференциальных форм, заданных на L(A), а (4.26) их разложения по формам естественного базиса {dx^k,dx^k_j}. Так как матрица kx˜ⁱ_kk является невырожденной, то формы ωⁱ,ω_jⁱ линейно независимы и, следовательно, также образуют базис в пространстве линейных форм на L(A)

                                                                          .                                              (4.27)

Теперь выражения (4.25) можно записать в виде

                                                                             .                                                (4.28)

Соотношения (4.28) называются уравнениями движений репера r_x, а формы ωⁱ,ω_jⁱ – структурными формами. Их нельзя брать произвольно. Они должны удовлетворять так называемым структурным уравнениям. Дифференцируя внешним образом (4.26), находим

d, (4.29) d. (4.30)

Итак, мы получили уравнения

                                                                  d,                                       (4.31)

которые и называются структурными уравнениями аффинного пространства.

Если аффинное пространство A является евклидовым E и реперы r₀ и r_x ортонормированные

                                                                                              e_i · e_j = δ_ij,                                                            (4.32)

то, дифференцируя, находим

                                                                              (de_i) · e_j + e_i · (de_j) = 0                                                (4.33)

или, в силу (4.28)

ωikek · ej + ei · ωjkek = 0,

                                                                                    ωikδkj + ωjkδik = 0,                                                    (4.34)

откуда следует, что матрица ω_jⁱ должна быть кососимметрической:

                                                                                          .                                                          (4.35)

                       §5           Тензорные поля. Тензорные расслоения.

1. Пусть T_p = T_pM – касательное пространство к многообразию M в точке – пространство тензоров типа  на векторном пространстве T_p.

Говорят, что на M (или в некоторой его области) задано тензорное поле K типа , если задано отображение, которое каждой точке p ∈ M ставит в соответствие тензор.

Пусть xⁱ локальные координаты на M, ∂_i = ∂/∂xⁱ – локальный базис векторных полей, dxⁱ – дуальный ему локальный базис линейных дифференциальных форм. Тогда

                                                                 dxⁱ¹ ⊗ ··· ⊗ dx^ir ⊗ ∂_j1 ⊗ ··· ⊗ ∂_js                                                                                 (5.1)

есть локальный базис в векторном пространстве тензорных полей типа (s,r) и, следовательно,

                                              ,                           (5.2)

где функции называются компонентами тензорного поля, отнесенными к локальным координатам (xⁱ). При переходе к другим локальным координатам, компоненты поля K меняются по тензорному закону

                                                   .                               (5.3)

Тензорное поле называется гладким, если его компоненты являются гладкими функциями. Алгебраические операции над тензорами переносятся на тензорные поля и определяются поточечно. Множество всех тензорных полей одного и того же типа является векторным пространством.

Тензорное поле K можно определить как полилинейное отображение, которое r векторным полям X₁,...,X_r и s линейным дифференциальным формам θ¹,...,θ^s ставит в соответствие функцию K(X₁,...,X_r,θ¹,...,θ^s). Если , то

                                                                 ,                                          (5.4)

                                                                                          (5.5)

компоненты поля K. В частности, тензорное поле типа  есть r-линейное отображение F¹(M)×···×F¹(M) → F(M), а кососимметрическое тензорное поле типа  есть ни что иное как дифференциальная r-форма. Тензорное поле типа  часто интерпретируется как r-линейное отображение F¹(M)× ··· × F¹(M) → F¹(M), которое r векторным полям ставит в соответствие векторное поле. В частности тензорное поле F типа есть линейный дифференциальный оператор (эндоморфизм или аффинор) векторного пространства F¹(M) всех гладких векторных полей на M. Если Y = F(X), то в локальных координатах (xⁱ)

                                                                                                Y ^j = f_i^jXⁱ,                                                                (5.6)

где – матрица оператора F в базисе.

Пусть  – векторное пространство гладких тензорных полей на M. Построим прямую сумму T, считая, что F₀⁰(M) = F(M).

T(M) является градуированной алгеброй относительно операции тензорного произведения ⊗, которая для тензорных полей определяется также как и для тензоров, заданных на векторном пространстве и распространяется по линейности на все T(M). Алгебра T(M) называется тензорной алгеброй на M.

2. Пусть – пространство всех тензоров типа , заданных на касательном пространстве T_pM к многообразию M в точке p. Оно является n^r+s-мерным векторным пространством и называется тензорным пространством в точке p. Объединение всех тензорных пространств во всех точках p многообразия M называется тензорным расслоением типанад

^S

^s

M : T_r M =                                   T_r^s(p). Каждый элемент изпредставляет собой сово-

p∈M купность (p,K_p) точки p ∈ M и тензора. Каноническая проекция  каждой точке (p,K_p) ставит в соответствие точку p. Слой над  есть тензорное пространство в точке p. Все слои изоморфны

между собой и изоморфны стандартному слою R^r+s. Если (xⁱ) – локальные координаты на M, то на возникают естественные локальные координаты , где компоненты тензора K_p относительно естественного базиса dxⁱ¹ ⊗···⊗ dx^ir ⊗ ∂_j1 ⊗···⊗ ∂_js в тензорном пространстве. При замене координат (xⁱ) на (xⁱ⁰) компоненты тензора K_p меняются по закону (5.3). Поэтому тензорное расслоение является гладким (n+n^s+r)мерным многообразием. Как и в случае касательного расслоения TM = T₀¹M или кокасательного расслоения T^∗M = T₁⁰M структурной группой тензорного расслоения является полная линейная группа GL(n,Rⁿ). Действие этой группы в каждом слое определяется законом преобразования (5.3) слоевых координат. Все тензорные расслоения над M являются присоединенными расслоениями к главному расслоению L(M) линейных реперов. Тензорное поле K на M есть ни что иное, как сечение соответствующего тензорного расслоения-мерная поверхность (n+n^s+r)-мерного расслоенного многообразия, пересекающая каждый слой только в одной точке.

                               §6          Ковариантное дифференцирование.

1. Пусть M – гладкое n-мерное многообразие, F(M) – алгебра гладких функций, F¹(M) – алгебра Ли векторных полей на M.

Ковариантной производной векторного поля Y вдоль векторного поля X называется векторное поле Z = ∇_XY такое, что выполняются следующие условия:

1)            ∇X1+X2Y = ∇X1Y + ∇X2Y ;

2)            ∇_fXY = f∇_XY ;

3)            ∇_X(Y₁ + Y₂) = ∇_XY₁ + ∇_XY₂;

4)            ∇_XfY = (Xf)Y + f∇_XY для ∀X₁,X₂,X,Y₁,Y₂,Y ∈ F¹(M) и ∀f ∈ F(M).

Отображение ∇ : F¹(M) × F¹(M) → F¹(M), обладающее свойствами l)-4), называется также линейной связностью на M. Согласно 1) и 2) отображение ∇ линейно по первому аргументу, а в соответствии с 3) и 4) ∇ ведет себя как производная по второму аргументу.

Пусть (xⁱ) – локальные координаты на M, ∂_i = ∂/∂xⁱ – локальный базис векторных полей. Определим n³ функций  следующим координатным представлением связности ∇:

                                                                                        .                                                          (6.1)

Функции  называются коэффициентами связности ∇ относительно координат (xⁱ). Найдем закон преобразования коэффициентов связности при замене координат. Пусть (xⁱ⁰) – другие координаты и

                                                                                     .                                                        (6.2)

Имеем

,

Вычислим левую часть (6.2)

Сравнивая полученный результат с правой частью (6.2), получаем искомый закон преобразования коэффициентов связности

                                                       .                                 (6.3)

Предположим, что задан набор n³ функций  такой, что при замене координат имеет место закон преобразования (6.3). Тогда, определив отображение ∇ формулой (6.1) для базисных векторных полей, и распространив его на произвольные векторные поля, получим линейную связность ∇. Пусть X = ξ^j∂_j, Y = η^k∂_k. Тогда

                                                                             ∇_XY = ξⁱ(∂_iη^k + Γ^k_ijη^j)∂_k.                                                  (6.4)

В частности, i-ая ковариантная производная ∇_i (производная вдоль ∂_i) от компонента η^k векторного поля Y вычисляется по формуле

                                                                                .                                                    (6.5)

Используя закон преобразования , нетрудно убедиться, что n² функций (6.5) являются компонентами тензорного поля типа . Его называют ковариантной производной векторного поля Y . Вместо ∇_iη^k пишут также , отделяя запятой ковариантное дифференцирование по i : η_,i^k = ∂_iη^k + Γ^k_ijη^j. Нетрудно также видеть, что дифференциалы dη^k координат векторного поля Y не обязательно являются компонентами векторного поля. Однако, Dη^k = dη^k + Γ^k_ijη^jdxⁱ являются компонентами векторного поля. Оно называется ковариантным дифференциалом векторного поля Y .

2. Пусть ∇ – линейная связность. Определим отображение S : F¹(M) × F¹(M) → F¹(M)

                                                                       S(X,Y ) = ∇_XY − ∇_Y X − [X,Y ]                                             (6.6)

и отображение R : F¹(M) × F¹(M) × F¹(M) → F¹(M)

                                                              R(X,Y )Z = ∇_X∇_Y Z − ∇_Y ∇_XZ − ∇_{[X,Y ]}Z                                      (6.7)

Отображения S и R являются тензорными полями типа  соответственно. Тензорное поле S называется тензором кручения, а тензорное поле R – тензором кривизны связности ∇. Из определений (6.6) и (6.7) следует антисимметричность S и R по X и Y :

S(X,Y ) = −S(Y,X),	(6.8)
R(X,Y )Z = −R(Y,X)Z.	(6.9)

Если X = ξⁱ∂_i,Y = η^j∂_j,Z = ζ^k∂_k, то из (6.6) и (6.7) получаем координатные представления S и R

,	(6.10)
R(X,Y )Z = Rijkp ξiηjζk∂p, где	(6.11)
Sijk = Γkij − Γkji,	(6.12)
	(6.13)

компоненты тензоров кручения и кривизны.

Если S = 0, то имеем связность без кручения или симметрическую связность. Если R = 0, то связность ∇ называется плоской. Можно показать, что существует система координат, относительно которой коэффициенты плоской связности равны нулю: Γ^k_ij = 0. В этом случае i-ая ковариантная производная векторного поля η^k совпадает с частной производной: ∇_iη^k = ∂_iη^k.

3. Распространим операцию ковариантного дифференцирования на произвольные тензорные поля. Ковариантная производная от функции f по определению есть производная от f вдоль векторного поля X:

                                                                                                 ∇_Xf = Xf                                                               (6.14)

Пусть ω – линейная дифференциальная форма. Ковариантная производная от ω вдоль X – это линейная дифференциальная форма ∇_Xω, определенная формулой

                                                                  (∇_Xω)(Y ) = ∇_Xω(Y ) − ω(∇_XY ).                                       (6.15)

Если (xⁱ) локальные координаты и X = ξⁱ∂_i, Y = η^j∂_j, ω = ω_kdx^k, то в соответствии с (6.15) имеем

                                                                                                        (6.16)

и, следовательно,

                                                                               .                                                 (6.17)

Если интерпретировать векторное поле Y как линейное отображение Y : F₁(M) → F(M), то нетрудно убедиться в справедливости следующей формулы

                                                                  (∇_XY )(ω) = ∇_XY (ω) − Y (∇_Xω).                                       (6.18)

Учитывая определение (6.14), (6.15) и формулу (6.18), ковариантная производная от тензорного поля T(Y₁,...,Y_r,ω¹,...,ω^s) типа определяется так: (∇_XT)(Y₁,...,Y_r,ω₁,...,ω_s) = ∇_XT(Y₁,...,Y_r,ω¹,...,ω^s)−

                                                     (6.19)

Если

,

то

∇kT_ij11_...i...jrs = ∂kT_ij11_...i...jrs − Γl_ki1T_lij12...j_...irs − ··· − Γl_kirT_ij11_...l...js+

                                                                  +Γjkl1Tilj1...i2...jr s + ··· + ΓjklsTij11...i...lr.                                       (6.20)

Отображение ∇T, определенное формулой

∇T(X,Y₁,...,Y_r,ω¹,...,ω^s) = (∇_XT)(Y₁,...,Y_r,ω¹,...,ω^s)

является линейным по каждому своему аргументу и, следовательно, определяет тензорное поле ∇T типа  с компонентами (6.20).

Альтернирование вторых ковариантных производных приводит к следующему тождеству Риччи:

                                                            .                                   (6.21)

Пусть ω(Y₁,...,Y_r) – дифференциальная r-форма и ∇ некоторая линейная связность. Тогда, заменяя обычные производные ковариантными, получим следующую формулу для вычисления внешнего дифференциала формы ω

r

d

i=0

X

                                     +                         (−1)^i+jω([Y_i,Y_j],Y₀,...,Ye_i,...,Ye_j,...,Y_r).                           (6.22)

0≤i≤j≤r

4. Пусть ∇ – линейная связность, c : I → M – гладкая кривая, xⁱ = xⁱ(t) – параметрические уравнения этой кривой и X = ξⁱ(x)∂_i векторное поле такое, что  – координаты касательного вектора к кривой c в произвольной точке c(t). Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

                                                                                    .                                                     (6.23)

Решение этой системы определяет семейство интегральных кривых так, что через каждую точку проходит ровно одна кривая этого семейства и c одна из таких кривых. Касательные векторы к кривым этого семейства определяют векторное поле X, причем ограничение этого поля на c совпадает с полем касательных векторов кривой c.

Пусть Y – векторное поле и Y (t) = Y_c(t) – его ограничение на c, X – построенное выше векторное поле. Тогда определено векторное поле ∇_XY и его ограничение (∇_XY )_c(t) на кривую c.

Семейство векторов Y (t) называется параллельным вдоль кривой c, если

                                                                                           (∇_XY )_c(t) = 0                                                          (6.24)

для всех t ∈ I. При этом говорят, что вектор Y (t) получен из вектора Y (t₀) параллельным переносом вдоль кривой c. Если X = ξⁱ∂_i,Y = η^j∂_j, то

                                                                                                                (6.25)

и, в соответствии с (6.24)

                                                                          .                                             (6.26)

Но ξⁱ|_c(t) = x˙ⁱ, поэтому

                                                                               ,                                                 (6.27)

откуда

                                                                                  .                                                    (6.28)

Таким образом, чтобы семейство векторов Y (t) = η^k(t)∂_k было параллельным вдоль кривой c необходимо и достаточно, чтобы его координаты η^k(t) удовлетворяли системе дифференциальных уравнений (6.28).

Возьмем произвольный вектор Y₀ = η₀^k(t)∂_k ∈ T_c(t0)M. Система дифференциальных уравнений (6.28) имеет, и притом единственное решение η^k такое, что . Следовательно, существует единственное семейство векторов Y (t) параллельное вдоль кривой c и такое, что Y (t₀) = Y₀. Если Z(t) другое семейство векторов, параллельное вдоль c(t) и Z(t₀) = Z₀, то вектор W₀ = λY₀ + µZ₀(λ,µ ∈ R) определяет семейство векторов W(t), параллельное вдоль c, причем, как следует из (6.28), W(t) = λY (t) + µZ(t). Если r₀ = {x(t₀),e_i(t₀)} репер в точке x(t₀) кривой c, то перенося его параллельно из точки x(t₀) в точку x(t₁) вдоль кривой c получим репер r₁ = {x(t₁),e_i(t₁)}.

Вектор X(t₀) = λⁱe_i(t₀),λⁱ ∈ R определяет семейство параллельных векторов X(t) = λⁱe_i(t), а при t = t₁ получим X(t₁) = λⁱe_i(t₁). Поставив в соответствие каждому вектору X(t₀) вектор X(t₁), мы получим изоморфизм τ : T_c(t0)M → T_c(t1)M касательных пространств в точках c(t₀) и c(t₁).

Таким образом, параллелизм векторов вдоль кривой устанавливает изоморфизм касательных пространств в точках этой кривой. Если мы хотим перенести вектор Y₀ из точки x₀ в точку x₁, то сначала должны выбрать кривую c, соединяющую эти точки и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (6.28), получив ее решение Y (t). Тогда вектор Y₁ = Y (t₁) и будет вектором параллельным вектору Y₀ относительно кривой c.

5.   Кривая c называется геодезической связности ∇, если семейство ее касательных векторов c˙(t) параллельно вдоль c. Положив в уравнениях (6.28) η^k = x˙^k, получим дифференциальные уравнения геодезических

                                                                             .                                               (6.29)

Система дифференциальных уравнений второго порядка (6.29) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям

                                                                  .                                        (6.30)

Таким образом, если задать точку x₀ и вектор, то через точку x₀ в некоторой окрестности этой точки проходит единственная геодезическая, которая в точке x₀ имеет своим касательным вектором вектор X₀.

6.   Часто возникает необходимость рассматривать поля реперов более общего вида, чем натуральные. В области U зададим n линейно независимых в каждой точке векторных полей е_j. Если существует система координат (xⁱ) в U такая, что e_j = ∂_j, то поле реперов является натуральным. Если такой системы координат не существует, то поле реперов называется неголономным. Пусть

                                                                              e.                                                (6.31)

Разложение коммутаторов [e_i,e_j] по векторным полям e_k

                                                                                                                                                (6.32)

называется структурными уравнениями поля реперов {e_i}. Коэффициенты этого разложения

                                                                                                                    (6.33)

определяют в U так называемый объект неголономности. Пусть {ωⁱ} дуальное к {e_i} поле кореперов:  и

                                                                          .                                              (6.34)

Дифференцируя внешним образом формы ωⁱ, получим их структурные уравнения

                                                                               d.                                                 (6.35)

Пусть теперь ∇ – линейная связность. Положим
∇eiej = γijk ek. Функции	(6.36)

                                                                                                                    (6.37)

называются коэффициентами связности относительно репера {e_i}.

Для тензоров кручения и кривизны имеем

	S(ei,ej) = Sijk ek,	(6.38)
где	R(ei,ej)ek = Rijkl el,	(6.39)
	,	(6.40)

                                        Rijkl      = xsi∂sγjkl − xsj∂sγikl + γisl γjks − γjsl γiks − γskl Sijs                             (6.41)

компоненты тензоров кручения и кривизны в неголономном репере. Если, в частности, e, а (6.40) и (6.41) совпадают с (6.12) и

(6.13).

Рассмотрим n² линейных дифференциальных форм

                                                                                           .                                                           (6.42)

Они называются формами связности. Подставляя S_ij^k из (6.40) в (6.35), получим

                                                                    d.                                        (6.43)

Формы

                                                                                                    (6.44)

называются формами кручения связности.

Дифференцируя внешним образом (6.42) и учитывая (6.43), находим

                                                                 d.                                       (6.45)

Формы

                                                         .                                 (6.46)

называются формами кривизны, а уравнения (6.41) и (6.43) структурными уравнениями связности.

Ковариантное дифференцирование в неголономном репере осуществляется по тем же правилам, что и в естественном репере, только ∂_i, заменяется на e и, конечно, объекты дифференцирования также должны быть заданы неголономными координатами. Например, для векторного поля  и т.д.

                                      §7          Римановы метрики и связности.

1. Говорят, что на гладком n-мерном многообразии M задана риманова метрика (риманова структура) g = h,i, если задано тензорное поле g : F¹(M) × F¹(M) → F(M) типа  (метрический тензор), удовлетворяющее условиям:

а) g(X,Y ) = g(Y,X),

б) g(X,X) > 0

для ∀X 6= 0.

Многообразие M с заданной римановой метрикой g называется римановым многообразием или римановым пространством.

Если условие б) не выполняется, а имеет место лишь невырожденность g, то многообразие M называется псевдоримановым.

В каждом касательном пространстве T_pM риманова многообразия M метрика g определяет евклидово скалярное произведение: h,i_p = hX_p,Y_pi. Длина вектора X_p ∈ T_pM есть корень квадратный из скалярного квадрата этого

p

вектора: |X_p| =           hX_p,X_pi.

Если (xⁱ) – локальные координаты на M и X = ξⁱ∂_i,Y = η^j∂_j, то

                                                                                    g(X,Y ) = g_ij(x)ξⁱη^j                                                                         (7.1)

где x = (x¹,...,xⁿ),g_ij(x) = g(∂_i,∂_j) – компоненты тензорного поля g. Условие а) определения означает, что g – симметрическое тензорное поле и, следовательно, g_ij = g_ji, а условие б) означает, что дифференциальная квадратичная форма ϕ(ξ) = g_ijξⁱξ^j является положительно определенной, откуда следует, что detkg_ijk 6= 0. Длина кривой x = x(t),a ≤ t ≤ b определяется интегралом

                                                                                                                    (7.2)

считая, что ds = |dx|, dx = dxⁱ∂_i и

                                                                                         ds² = g_ijdxⁱdx^j.                                                           (7.3)

Если в некоторой окрестности каждой точки многообразия существует такая система координат, что g_ij = δ_ij, то риманова метрика называется локально евклидовой. Если такая система координат существует на всем многообразии M, то мы имеем евклидово пространство с евклидовой метрикой

                                                                                ds² = dx¹² + ··· + dxⁿ².                                                    (7.4)

Можно показать, что риманово многообразие является метрическим пространством, расстояние в котором между любыми двумя точками определяется как точная нижняя грань множества длин дуг кривых, соединяющих эти точки.

Также как и для тензоров, для тензорных полей определяется операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора. Так, например, если ϕ(x¹,...,xⁿ) скалярная функция, g^ij – контравариантные компоненты метрического тензора: g_ipg^pj = δ_i^j, то ее градиент по определению есть векторное поле: gradϕ = (g^ip∂_pϕ)∂_i. Этому полю соответствует система дифференциальных уравнений: , определяющая его интегральные кривые. Данная система называется градиентной, функция ϕ – потенциалом, а векторное поле потенциальным.

2. Пусть g = h,i – риманова метрика, ∇ – линейная связность на M. Естественно, что при наличии метрики представляют интерес те связности, которые в том или ином смысле согласованы с метрикой.

Линейная связность называется римановой связностью, если ковариантная производная от метрического тензора вдоль любого векторного поля обращается в нуль. В соответствие с определением инвариантной производной, это означает, что для любых векторных полей X,Y,Z на M справедливо равенство

                                                                 ZhX,Y i − h∇_ZX,Y i − hX,∇_ZY i = 0.                                         (7.5)

Соотношение (7.5) называется тождеством Риччи.

Риманова связность без кручения называется связностью Леви-Чивита. Таким образом, для связности Леви-Чивита, кроме тождества Ричи (7.5) имеем

∇XY − ∇Y X − [X,Y ] = 0. для любых векторных полей X,Y на M. Циклируя аргументы X,Y,Z в (7.5), получаем	(7.6)
XhY,Zi − h∇XY,Zi − hY,∇XZi = 0,	(7.7)
Y hZ,Xi − h∇Y Z,Xi − hZ,∇Y Xi = 0. Равенства (7.5), (7.7) и (7.8) с учетом (7.6) запишем так	(7.8)
ZhX,Y i = h∇XZ,Y i + hX,∇ZY i + h[Z,X],Y i + h[Z,Y ],Xi,	(7.9)
XhY,Zi = h∇XY,Zi + hY,∇XZi,	(7.10)
Y hZ,Xi = h∇Y Z,Xi + hZ,∇Y Xi + hZ,[Y,X]i.	(7.11)

Складывая (7.10), (7.11) и вычитая (7.9) получаем формулу Кошуля для вычисления связности Леви-Чивита

                                                                 (7.12)

В локальных координатах (7.12) имеет вид

                                                               .                                      (7.13)

Так как detkg_ijk 6= 0, то система уравнений (7.13) имеет единственное решение, состоящее из n³ функций . Умножая (7.13) на матрицу g^kp, обратную к g_ps, находим

                                                                .                                     (7.14)

Итак, связность Леви-Чивита однозначно определяется метрическим тензором, а ее коэффициенты вычисляются по формуле (7.14).

3. Пусть g – риманова метрика, ∇ – связность Леви-Чивита. Тензор кручения этой связности равен нулю, а выражение тензора кривизны через метрический тензор мы получим, подставив (7.14) в (6.13).

Введем так называемый ковариантный тензор кривизны, опустив верхний индекс у тензора кривизны с помощью метрического тензора

                                                                                         Rijkl = Rijkp glp.                                                         (7.15)

Нетрудно убедиться, что пары индексов ij и kl можно поменять местами и результат не изменится, а при перестановке индексов в каждой паре меняется лишь знак тензора

                                                                Rijkl = Rklij,Rijkl = −Rjikl,Rijkl = −Rijlk.                                     (7.16)

Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества, которое справедливо для любой связности без кручения

                                                                                                                             (7.17)

и, следовательно,

                                                                                 Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0.                                                   (7.18)

Из (7.16) и (7.17) следует, что для любых векторных полей X,Y,Z,V справедливы следующие равенства

R(X,Y )Z = −R(Y,X)Z,		(7.19)
R(X,Y )Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = 0,		(7.20)
	hR(X,Y )Z,V i = −hR(X,Y )V,Zi,		(7.21)
	hR(X,Y )Z,V i = hR(Z,V )X,Y i.		(7.22)

Заметим, что (7.19) выполняются для любой связности, а (7.20) – для связности без кручения. Равенство (7.20), а в координатной записи (7.17) называется тождеством Бианки первого рода. Для связности без кручения имеют место тождества Бианки второго рода

                                                              .                                     (7.23)

4. С помощью тензора кривизны определяются другие характеристики кривизны. Для любой связности ∇ определен так называемый тензор Риччи, компоненты которого R_jk получаются из компонентов тензора кривизны сверткой верхнего индекса с первым нижним

                                                                                           .                                                           (7.24)

Если ∇ – связность Леви-Чивита метрики g, то определена скалярная кривизна как след тензора Риччи

R = gjkRjk. Из тождеств Бианки (7.17), учитывая (7.16), получаем	(7.25)
Rjk − Rkj = 0,	(7.26)

таким образом, для связности Леви-Чивита тензор Риччи является симметричным.

В точке p ∈ M возьмем два неколлинеарных вектора u,v. Они определяют в T_pM двумерное векторное подпространство σ – "двумерное направление". Каждому двумерному направлению σ ∈ T_pM можно поставить в соответствие число K_σ, полагая

                                                                        .                                            (7.27)

Так как kuk²kvk² − hu,vi² > 0 (определитель матрицы Грамма метрики h,i) и K_σ не зависит от выбора базиса в подпространстве σ, то число K_σ однозначно определено для каждой точки p и двумерного направления σ и называется секционной кривизной в точке p по "двумерному направлению"σ. В координатах определение (7.27) имеет вид

                                                              .                                     (7.28)

Кривизна K в точке p в двумерном направлении σ не зависит от выбора этого направления, если и только если

                                                                               Rijkl = K(gilgjk − gikgjl).                                                 (7.29)

В этом случае говорят, что метрика g имеет изотропную кривизну K(p). Умножая (7.29) на g^ih и суммируя, получим

                                                                           .                                              (7.30)

Проводя свертку по индексам h и l, будем иметь

                                                                                      R_jk = K(n − 1)g_jk                                                                        (7.31)

и умножая на g^jk, получим

                                                                                        R = n(n − 1)K.                                                        (7.32)

Таким образом, для метрики изотропной кривизны секционная и скалярная кривизны связаны соотношением (7.32). Можно доказать следующее утверждение.

Теорема Шура. Если в каждой точке p ∈ M(n > 2) секционная кривизна не зависит от выбора двумерного направления σ в этой точке, то эта кривизна не зависит и от точки, т.е. является постоянной.

Римановы пространства, у которых секционная кривизна одна и та же во всех точках называются пространствами постоянной кривизны или пространственными формами.

5. Пусть e – ортонормированный локальный базис векторных полей на римановом многообразии M : g(e_k,e_l) = δ_kl. Тогда имеем

и, следовательно,

                                                                                         .                                                         (7.33)

Кроме того,

,

или

                                                                                       .                                                        (7.34)

Обозначим через K_kl кривизну метрики g в точке p в двумерном направлении σ, определяемой парой векторов e_k,e_l. Так как векторы единичные и попарно ортогональны, то определитель Грамма метрики g равен единице и, следовательно, в соответствии с формулой (7.28), имеем

                                                                                                                                   (7.35)

откуда, учитывая (7.34)

                                                                           .                                               (7.36)

Но

.

Поэтому

                                                                                                                                 (7.37)

и в силу (7.34)

                                                                                 ,                                                   (7.38)

откуда

                                                                                      .                                                       (7.39)

Так выражается скалярная кривизна через секционные кривизны ортонормированного репера.

Глава 2.

                                          §8          Уравнения Эйлера-Лагранжа.

1. Пусть g – риманова метрика на M, V – связность Леви-Чивита метрики g. Напомним, что параметризованная кривая c : I → M называется геодезической, если векторное поле ее скоростей является параллельным вдоль этой кривой. Если (xⁱ) – локальные координаты, xⁱ = xⁱ(t) параметрические уравнения кривой c, Γ^k_ij – коэффициенты связности ∇, то

                                                                             .                                                  (8.1)

дифференциальные уравнения геодезических. Геодезические линии римановой метрики g являются аналогами прямых линий – геодезических линий евклидовой метрики. Геодезическая линия является еще и кратчайшей – ее длина не больше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и геодезическая.

Пусть  две фиксированные точки. Рассмотрим всевозможные гладкие кривые c : xⁱ = xⁱ(t), t₁ ≤ t ≤ t₂, соединяющие эти точки: xⁱ(t₁) = xⁱ₁, xⁱ(t₂) = xⁱ₂. Длина любой кривой c вычисляется по известной формуле

Zt₂

                                                                                 S(c) =         L(x,x˙)dt,                                                     (8.2)

t1

где подынтегральная функция есть длина вектора скорости кривой c:

q

                                                                                  L(x,x˙) =        g_ijx˙ⁱx˙^j.                                                     (8.3)

Задача ставится следующим образом. На какой кривой c величина S(c) будет минимальна. Величина S является функционалом, заданным на множестве гладких кривых c.

Рассмотрим другой пример. Пусть метрика g евклидова: g_ij = δ_ij. Положим

                                                                                 .                                                     (8.4)

Кривая c, вдоль которой функционал S(c) принимает наименьшее значение – это траектория движения свободной частицы массы m.

2. Наиболее общая формулировка закона движения механической системы (точки) дается так называемым принципом наименьшего действия (принцип Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией L(x,x,t˙ ) – лагранжианом, причем, если в моменты времени t₁ и t₂ система занимает определенные положения

, то между этими положениями система движется так, что

функционал

Zt₂

                                                                                    S =         L(x,x,t˙ )dt                                                      (8.5)

t1

имеет наименьшее значение. Тот факт, что функция Лагранжа L содержит только x и x˙, но не более высокие производные по времени, является выражением известного принципа классической механики, в соответствии с которым задание всех координат и скоростей полностью определяет состояние системы и позволяет, в принципе, предсказать дальнейшее ее движение.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений экстремалей, решающих задачу об определении минимума интеграла (8.5). Пусть c : x = x(t) как раз та кривая, для которой S имеет минимум. Это значит, что S возрастает при замене x(t) на любую функцию вида

                                                                                            x(t) + εh(t),                                                             (8.6)

где εh(t) – функция, малая во всем интервале времени от t₁ до t₂ (ее называют вариацией функции x(t)), т.е. x(t)+εh(t) это кривая xⁱ = xⁱ(t)+εhⁱ(t) близкая к кривой x(t) при малом параметре ε и также соединяющая точки p₁ и p₂:

εh(t1) = εh(t2) = 0. Изменение S при замене x(t) на x(t) + εh(t) дается разностью	(8.7)
Zt2                                                                                                    Zt2                                              ∆S =          L(x + εh,x˙ + εh,t˙   )dt −        L(x,x,t˙ )dt	(8.8)

                                                             t1                                                                                                         t1

Раскладывая функцию L в ряд Тейлора по степеням εh и εh˙, будем иметь

   (8.9) Следовательно,

                                                                   (8.10)

или

                                                                                                                           (8.11)

где εS₁ называется первой вариацией,  – второй вариацией интеграла. Необходимым условием минимальности функционала S является обращение в нуль его первой вариации: εS₁ = 0, т.е.

                                                                        ,                                            (8.12)

или

                                                                       .                                            (8.13)

Интегрирование во втором слагаемом (8.13) проведем используя формулы интегрирования по частям

Z   Z udv = uv − vdu.

Полагая  получим и

                                                                                               (8.14)

Но в силу условия (8.7) первый член в (8.14) равен нулю. Таким образом (8.12) примет вид

                                                                      .                                           (8.15)

Этот интеграл должен быть равен нулю при произвольных значениях h, что возможно только в том случае, когда

                                                                                     .                                                     (8.16)

Уравнения (8.16) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа. В координатах эти уравнения примут вид

                                                                                    .                                                    (8.17)

Таким образом, если функционал S достигает минимума на некоторой кривой c : xⁱ = xⁱ(t), то функции xⁱ(t) являются решением уравнений ЭйлераЛагранжа. Решения уравнений Эйлера-Лагранжа называют экстремалями функционала S. Так как

                                                      ,                              (8.18)

то уравнения Эйлера-Лагранжа можно записать в развернутом виде

                                                   .                            (8.19)

Лагранжиан L называется невырожденным, если матрица является невырожденной. В этом случае, умножая (8.19) на матрицу L^ik – обратную к L_ij, получим каноническую запись уравнений Эйлера-Лагранжа

где

x¨k + 2Gk(x,x,t˙   ) = 0,

(8.20)

                                                      .                              (8.21)

3. Предварительно рассмотрим известные примеры.

1.   Пусть, где U(x) – функция точки. Силой называется ковектор , а импульсом ковектор. Тогда уравнения ЭйлераЛагранжа можно записать так

                                                                                                   p˙_i = f_i.                                                                (8.22)

В нашем примере и уравнения Эйлера-Лагранжа

                                                                                                                                                    (8.23)

есть уравнения Ньютона движения частицы массы m в потенциальном силовом поле f = −gradU.

2.   Пусть g = g_ijdxⁱdx^j – риманова метрика. Рассмотрим лагранжиан равный половине квадрата длины вектора скорости

                                                                                        .                                                        (8.24)

Для этого лагранжиана имеем

                                                   ,                             (8.25)

                                                                                                                               (8.26)

и уравнения экстремалей примут вид

                                                            ,                                   (8.27)

или умножая (8.27) на g^ik и учитывая, что

                                                              ,                                    (8.28)

получим

,           (8.29) т.е.

                                                                               .                                                  (8.30)

Сравнивая (8.1) и (8.30), мы видим, что геодезические линии есть экстремали лагранжиана (8.24).

3. Если  есть длина дуги кривой и, следовательно, не зависит от выбора параметра .

                                                                                                                                                                                 ,                (8.31)

(8.32)

                                                                             p˙_i  .                                                (8.33)

Уравнения Эйлера-Лагранжа в этом случае примут вид

                                               .                          (8.34)

p

Если отнести кривую к натуральному параметру s, для которого g_ijx˙ⁱx˙^j = 1, то получим тоже самое уравнение (8.30). Таким образом, уравнения Эйлера-Лагранжа экстремалей функционала длины кривой совпадают с уравнениями геодезических, если кривая отнесена к натуральному параметру.

                                            §9         Преобразования Гамильтона.

1. Пусть L(x,x˙) – некоторый лагранжиан, т.е. скалярная функция на TM. В каждой точке x ∈ M рассмотрим касательное пространство скоростей T_x и кокасательное пространство импульсов и соответствие между ними, положив

                                                                                        .                                                          (9.1)

Если лагранжиан L является невырожденным, то соответствие (9.1) определяет преобразование координат  числового пространства

R²ⁿ, которое называется преобразованием Лежандра. Кокасательное расслоение T^∗M с координатами (xⁱ,p_i) называют фазовым пространством. Лагранжиан L называется сильно невырожденным, если уравнения (9.1) можно гладко и взаимно однозначно разрешить относительно координат скоростей

                                                                                           x˙ⁱ = x˙ⁱ(x,p).                                                            (9.2)

Функция

                                                                                                                                            (9.3)

называется энергией.

Гамильтонианом H(x,p) на T^∗M называется энергия E(x,x˙), выраженная через x и p

H(x,p) = E(x,x˙(x,p)). В соответствии с определением (9.3) имеем тождество	(9.4)
H(x,p) + L(x,x˙(x,p)) = x˙k(x,p)pk. Продифференцируем (9.5) по pi	(9.5)

или, учитывая (9.1),

                                                                                                                      .                                                               (9.6)

Продифференцируем (9.5) по

или, учитывая опять (9.1),

                                                                                       .                                                         (9.7)

Пусть теперь L(x,x˙) – сильно невырожденный лагранжиан и H(x,p) соответствующий ему гамильтониан. Тогда уравнения Эйлера-Лагранжа

                                                                                                                                     (9.8)

эквивалентны уравнениям Гамильтона

                                                                               .                                                    (9.9)

Действительно, пусть имеют место уравнения Эйлера-Лагранжа (9.8). Тогда первое уравнение в (9.9) выполняется вследствие определения гамильтониана (уравнение (9.6)). Из уравнений (9.8) следует, что, но в силу  и поэтому выполняются вторые уравнения в (9.9). Обратно,

из вторых уравнений (9.9) опять же в силу (9.7) следуют уравнения ЭйлераЛагранжа.

2. Вернемся к рассмотренным ранее лагранжианам и запишем для них уравнения Гамильтона.

1.  , где U(x) – функция точки. Тогда

                                                                                              ,                                                            (9.10)

(9.11)

(9.12) Уравнения Гамильтона:

(9.13)

.

2.  . Для этого лагранжиана

x˙i = gippp,

(9.14)

(9.15)

                                                                                                                                                          .                                 (9.16)

Тогда уравнения Гамильтона экстремалей (и геодезических римановой метрики g) примут вид

                                                                .                                      (9.17)

p 3. Если L = |x˙| =          gijx˙ix˙j, то
p                                                                        x˙i =       gpsx˙px˙spkgik,	(9.18)

                                                       ,                                (9.19)

                                                                                H(x,p) = −1 + p_kp_lg^lk.                                                 (9.20)

Уравнения Гамильтона в этом случае:

,

(9.21)

              §10          Уравнение экстремалей для .

Пусть задан лагранжиан

                                                                                  ,                                                    (10.1)

где ϕ(x) – произвольная функция в Rⁿ, g – риманова метрика.

Для этого лагранжиана имеем

                                        ,                    (10.2)

(10.3)

(10.4)

Уравнения экстремалей примут вид

                                            ,                       (10.5)

или умножая (10.5) на обратную матрицу g^ik, получим каноническую запись уравнения Эйлера-Лагранжа

               ,             (10.6)

где

                                                               .                                    (10.7)

Рассмотрим новую риманову метрику, конформную нашей метрике g

                                                                 .                                        (10.8)

Найдем уравнение геодезических

т.е (10.9) примет вид

                                                                                   .                                                  (10.10)

Таким образом, справедлива

Теорема. Уравнения экстремалей лагранжиана совпадают с уравнениями геодезических линий конформной метрики. Теперь получим уравнение Гамильтона.

x˙^s = ϕ(x)g^sip_i,

(10.11)

                                                                                                                                                                           .                  (10.12)

(10.13)

(10.14)

Уравнения Гамильтона экстремалей примут вид

(10.15)

.

Литература

[1]    Арнольд В.И., Математические методы классической механики – М.: Наука, 1979. – 470 с.

[2]    Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика – М.: Мир, 1973. – 188 с.

[3]    Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия: Методы и приложения. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1979. – 760 с.

[4]    Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Краткий курс теоретической физики: Механика. Электродинамика. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1969. – 272 с.

[5]    Мищенко А.С., Фоменко А.Т., Курс дифференциальной геометрии и топологии – М.: Факториал Пресс, 2000. – 448 с.

[6]    Паньженский В.И., Введение в дифференциальную геометрию – Пенза: Пензенский гос. пед. ун-т им. В.Г. Белинского, 2008. – 220 с.

[7]    Тайманов Н.А., Лекции по дифференциальной геометрии – МоскваИжевск, 2002. – 176 с.