Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Физика / Научные работы / Дипломная работа «Вековые эффекты в общей теории относительности»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Физика

Дипломная работа «Вековые эффекты в общей теории относительности»

библиотека
материалов

ВВЕДЕНИЕ


В течение последних десяти лет заметно оживились исследования и интерес к общей теории относительности. Отчасти это обусловлено отсутствием существенного прогресса в других областях теоретической физики. Некоторые физики обращаются к общей теории относительности в надежде, что путем согласования ее с квантовой теорией можно будет заложить основания теории элементарных частиц. Другие рассматривают общую теорию относительности как образец физической теории и пытаются применить ее геометрические понятия и методы к другим областям физики. Имеются также попытки связать симметрию элементарных частиц с асимптотической симметрией гравитационных полей. С другой стороны, последние достижения в экспериментальной технике позволяют увеличить точность старых экспериментов, а также проверить новые предсказания общей теории относительности. Астрономические открытия последних лет свидетельствуют о том, что, возможно, в астрофизике необходимо учитывать поправки на общую теорию относительности. Развитие радиоастрономии и предстоящее использование внеземных телескопов позволят нам лучше узнать распределение материи во Вселенной. Это, в свою очередь, может помочь нам выбрать одну из конкурирующих релятивистских моделей Вселенной. Есть указания на то, что для некоторых астрономических объектов могут играть заметную роль вековые эффекты. Эффекты общей теории относительности, имея малые значения в рамках Солнечной системы, становятся очень важными при рассмотрении астрофизических процессов в окрестности гравитирующих компактных объектов, таких как нейтронные звезды и черные дыры. Актуальность исследований в области релятивистской астрофизики обусловлена рядом крупных астрофизических открытий на рубеже XX и XXI веков. Данная дипломная работа посвящена таким проблемам как гравитационное излучение, космология и экспериментальная проверка общей теории относительности.

Целью дипломной работы является, прежде всего, изложение исследований и объяснение эффектов общей теории относительности Эйнштейна, таких как красное (или голубое) смещение спектральных линий, отклонение луча света в гравитационном поле, прецессия орбит планет, гравитационные волны, смещение перигелиев планетных орбит и т. п.

Задачи дипломной работы:

  1. Проанализировать литературу по проблеме исследования;

  2. Изложить основные идеи и методы теории и довести расчеты и рассуждения до прямого сопоставления с опытом так, чтобы проработавший весь материал читатель мог узнать, как и в какой степени общая теория относительности описывает наблюдаемые явления;

  3. Обобщить полученные результаты и сформулировать выводы.

Источниками для написания работы послужили те книги и статьи, которые используются при чтении лекций и написании пособии, с небольшими дополнениями, относящимися либо к последним достижениям, либо предназначенными для расширения круга интересов. Все упоминающиеся в дипломной работе данные наблюдений содержатся в книге Уилла [13]. Классические работы, указаны явно или упоминаются в трудах Эйнштейна [1] и книгах Паули [4], Синга [6] и Мизнера, Торна и Уилера [8]. Хорошее изложение ранней истории теории тяготения имеется в книге Визгина [2]. В сборнике статей [10], изданном к 100 - летию со дня рождения Эйнштейна, содержатся переводы наиболее фундаментальных работ по общей теории относительности за 60 лет, прошедших с момента создания теории.

Общая теория относительности - удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее основе лежит по существу всего один экспериментальный факт, к тому же известный задолго до её создания (все тела падают в поле тяжести с одинаковым ускорением). Также она создана в большей степени одним человеком. Неслучайно Ландау говорил, что истинного физика - теоретика можно распознать в человеке по тому, испытал ли он восхищение при первом же знакомстве с теорией тяготения.

В настоящее время общая теория относительности - бурно развивающаяся область науки. Это результат огромного прогресса наблюдательной астрономии, развития экспериментальной техники. Исследования по квантовой гравитации - передовой фронт современной теоретической физики.
























1 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ


Работа Эйнштейна 1905 года, в которой была сформулирована частная теория относительности, с идейной стороны завершила развитие классической электродинамики. Стало ясно, что уравнения Максвелла - Лоренца описывают новый тип физической системы - классическое электромагнитное поле в пустом пространстве, взаимодействующее с заряженными частицами, причем кинематика такой системы есть кинематика частной теории относительности. Построение адекватной математической формулировки, использующей четырехмерное инвариантное действие и приводимой сейчас в учебниках, было начато независимо от Эйнштейна работами А. Пуанкаре в 1905 году и вскоре завершено в трудах Планка, Минковского и другие.

Задолго до того, как начала развиваться теория электромагнитных взаимодействий, Ньютон построил небесную механику (1687 г.), основанную на представлении о дальнодействии тяготения. Как до, так и после Ньютона (в том числе, и им самим) делались попытки построить механическую модель тяготения, в которой не использовалось бы дальнодействие. Построив систему уравнений поля для электродинамики, Максвелл попытался этим же методом исключить дальнодействие из гравитации, но не достиг успеха. Попытки такого рода производились и в последующий период. Положение существенно изменилось после появления частной теории относительности, так как ньютоновская теория тяготения вообще была с ней несовместима. Ряд попыток описать тяготение с помощью запаздывающих потенциалов был предпринят Пуанкаре, Минковским, Лоренцом и Зоммерфельдом в 1905-1910 годах. В частности, уже тогда надеялись, что модернизированная теория объяснит прецессию перигелия Меркурия.

В 1907 году Эйнштейн попытался рассмотреть поле тяготения, опираясь на кинематику частной теории относительности и принципа эквивалентности, а с появлением его статьи "О влиянии силы тяжести на распространение света" в 1911 году началось быстрое движение вперед в построении теории тяготения. В нем участвовали также Абрагам, Ми, Нордстрем и другие. Разрабатывая альтернативные варианты, они внесли важный вклад в развитие теории (в частности, Абрагам уже в 1912 году впервые попробовал построить систему уравнений для поля тяготения).

Задача, поставленная Эйнштейном в 1907 году, была разрешена им в 1915 году, когда в двух работах, доложенных на заседании Прусской Академии Наук в Берлине 18 и 25 ноября 1915 году, были сформулированы принимаемые сейчас большинством теоретиков уравнения для гравитационного поля в пустоте, и при наличии источников, [1]. В последний момент в развитии предложенной Эйнштейном тензорной теории тяготения принял также участие Гильберт. Независимо от Эйнштейна и даже раньше него он также получил правильную форму уравнений гравитационного поля при наличии источников (доложено в Геттингене 20 ноября 1915 года). Подробный, хорошо документированный рассказ об истории возникновения общей теории относительности содержится в книге В. Л. Визгина [2].

Основные наблюдаемые следствия общей теории относительности были обнаружены либо в начальный период развития теории, либо в период 1915 -1925 годов. Большинство эффектов рассчитано самим Эйнштейном (красное смещение - 1907 год, отклонение света в поле Солнца - 1915 год, прецессия перигелия Меркурия - 1915 год, гравитационные волны - 1916 год), геодезическая прецессия гироскопа указана де Ситтером (1916 г.), правильный расчет этого эффекта для круговой орбиты принадлежит Фоккеру (1921 г.). Шапиро к этому списку эффектов добавил запаздывание сигналов при прохождении их мимо Солнца (1964 г.).

Достаточно полный анализ основ теории был сделан в те же первые 10 лет ее существования. Даже сейчас мало что можно добавить по существу к изложению классической статьи Эйнштейна «Основы общей теории относительности» (1916 г.) и к обзору Паули «Теория относительности» (1921 г.) [4]. Наиболее важным шагом вперед было рассмотрение де Ситтером (1916 -1917 гг.) и Эйнштейном (1917 г.) Вселенной в целом на основе уравнений общей теории относительности. За этим последовало открытие Фридманом нестационарных решений уравнений общей теории относительности (1922 г.). После обнаружения на опыте космологического расширения, описанного Фридманом, и последующих подтверждений следствий, вытекающих из космологии расширяющейся Вселенной, работы А. Л. Фридмана легли в основу наших представлений о Вселенной.

Другим важным достижением был анализ сингулярных решений, начатый Эддингтоном (1924 г.) и Леметром (1933 г.) и приведший к предсказанию черных дыр, по-видимому, уже обнаруженных астрономами.

В основном, наблюдаемые эффекты общей теории относительности, которые обсуждаются сейчас, относятся к перечисленным выше. Если говорить о классических эффектах, рассчитанных еще Эйнштейном, то они были либо уже известны из наблюдений, либо вскоре обнаружены экспериментально (за исключением гравитационных волн, ждущих своего прямого обнаружения и сейчас; существуют, правда, убедительные косвенные свидетельства существования гравитационных волн, полученные астрономами при изучении двойных систем). Именно эти эффекты, а также немногие другие, измеряются в наши дни или будут измерены в скором времени. Основной результат семидесяти прошедших лет - увеличение точности, с которой теория согласуется с наблюдениями, с 20-30% до 1%. С такой точностью сомнений в правильности общей теории относительности в настоящее время нет [2] .

Существует мнение, что в общей теории относительности много неясного. Нам кажется, что это не так, поскольку похоже, никогда не возникало сомнений в том, какой результат предсказывает общую теорию относительности для реально осуществимых наблюдений и опытов.

Конечно, имеется класс проблем, где трудности реальны: уравнения общей теории относительности нелинейны, в сильных полях эволюция приводит к сингулярностям, где поле становится бесконечным и теория теряет применимость; по всей видимости, здесь становятся существенными квантовые эффекты. Другой «болезнью» общей теории относительности является существование решений с замкнутыми времени-подобными геодезическими, что означает нарушение причинности в ее обычном понимании. Этому вопросу посвящено много работ, последовавших за пионерской работой Геделя [20], в том числе [21], где даны ссылки на другую литературу, и недавний цикл работ К. Торна, И. Д. Новикова и других [22].

Вероятно, можно утверждать, что для слабых полей наиболее интересные результаты общей теории относительности уже получены и теория завершена. Новых интересных результатов можно ожидать в двух областях: в анализе решений, описывающих пространство - время с топологией, отличной от псевдоевклидовой, типа черных дыр и космологических решений, и в изучении квантовых эффектов. В этих областях теория граничит с неизведанным. До каких пределов применимы уравнения общей теории относительности и каковы правильные методы их квантования, сейчас неизвестно. Развиваемые в последние годы теории супергравитации и суперструн, с которыми связываются амбициозные надежды на построение единой теории всех взаимодействий в природе, пока еще не привели к осязаемым физическим результатам. Мы не будем касаться этих вопросов. Некоторое представление о них можно получить из книг [12,14,15,18].

Если избегать сингулярностей и квантовых эффектов, то общая теория относительности, в принципе, столь же простая и ясная теория, как электродинамика. Это тоже классическая теория поля, близкая по структуре электродинамике; в этом смысле их параллельное изложение в классическом учебнике очень естественно [7].

При изучении общей теории относительности возникают трудности, связанные с тем, что поле тяготения надо рассматривать не в псевдоевклидовом (плоском) пространстве-времени Минковского (как электромагнитное), а в искривленном пространстве Римана. Объективно геометрия Римана несколько сложнее геометрии Евклида, но, в принципе, вполне ясна; однако обычно она не изучается физиками в достаточном объеме и необходимость преодолеть непривычный математический аппарат, затрудняет восприятие общей теории относительности. Уничтожить эту трудность нельзя, но, излагая элементы римановой геометрии, мы будем стараться, по крайней мере, подчеркнуть ее интуитивные и наглядные стороны, с тем, чтобы понятия риманового тензора, связности и т.п. ассоциировались бы не просто с увешанными латинскими и греческими индексами буквами, а с геометрическими образами, допускающими не только формально - вычислительную, но и наглядно - геометрическую трактовку, иногда дающую возможность получить ответ кратчайшим путем.

В том, что касается обозначений и выбора метрики, нужно следовать последнему (1988 г.) изданию "Теории поля" Ландау и Лифшица [7] . Везде далее латинские индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, а греческие индексы - значения 1, 2, 3. Метрический тензор пространства Минковского (1,-1,-1,-1), причем выполнено соотношение (где - символ Кронекера). В основном будет использоваться системой единиц, где скорость света c=1. Ньютоновская гравитационная постоянная будет обозначаться G , она равна: G = (6,67259 + 0,00085) ∙ 10-8 см3/ (г∙с2).

Заметим, что точность, с которой известна гравитационная постоянная, заметно ниже, чем точность, с которой известны другие мировые константы (10-8 для с , 10-7 для и т. д.).



1.1 Метрика пространства-времени в общей теории относительности. Принцип эквивалентности


Со времен Галилея известно, что движение массивного тела в поле тяжести зависит только от начальной скорости (но не от внутренних характеристик тела) и траектории всех тел с заданной скоростью искривлены в гравитационном поле одинаково. Универсальность действия гравитационного поля и является наиболее существенным его отличием от поля электромагнитного. Нельзя также устранить действие гравитационного поля и на такой объект, как часы, - это непосредственно связано с предыдущим свойством. Универсальность гравитации приводит к тому, что в гравитационном поле нет объектов, которые можно было бы отождествить с прямыми (или окружностями), как в евклидовой геометрии. Любой эталон прямой, например луч света, теперь уже не обладает свойствами прямой линии. Так, в поле тяготения сумма углов треугольника, образованного лучами света, не будет равна 180°. Таким образом, геометрия пространства, если понимать ее как описание свойств лучей света или линеек, при наличии гравитационного поля оказывается неевклидовой. То же относится и к четырехмерному пространству - времени - его уже нельзя описать метрикой Минковского.

Эйнштейн был первым, кто понял, что геометрия в этом случае является римановой (более точно понятие римановой геометрии будет раскрыто ниже). Действительно, в малой области пространства - времени в свободно падающей системе отсчета гравитационное поле исчезает (классический пример - лифт Эйнштейна: наблюдатель находится в кабине лифта, свободно падающего в гравитационном поле Земли; все эксперименты, которые способен проделать наблюдатель, не выходя из кабины лифта, будут свидетельствовать об отсутствии гравитационного поля). Подобные системы мы будем именовать далее локально-инерциальными системами отсчета и любую из них обозначать L и называть L - системой. Если в L - системе измерять время t синхронизованными по Эйнштейну часами, а расстояния - жесткими масштабами, то метрика в L - системе будет метрикой Минковского и квадрат интервала запишется в виде

(1.1)

При этом предполагается, что можно пренебречь собственными гравитационными полями тел, включенных в систему отсчета. Если речь идет, скажем, о системе отсчета, связанной с Солнцем, то следует находиться достаточно далеко от него.

Утверждение, что в малой области пространства - времени можно избавиться от гравитации подходящим выбором системы отсчета, мы будем называть принципом эквивалентности. Эйнштейн формулировал этот принцип несколько иначе, и в последующей литературе есть разные толкования того, как надо понимать принцип эквивалентности. Точная формулировка принципа эквивалентности, принимаемая нами, такова: в ограниченной области пространства - времени в системе отсчета, связанной со свободно движущимся в гравитационном поле телом, справедливы законы частной теории относительности.

В формуле (1.1) предполагается, что dt и dxα измеряются обычными часами и линейками. В пространстве в целом при наличии гравитационного поля это сделать уже невозможно. Здесь можно лишь ввести "координаты" x1, x2, x3, x0, рассматривая их как "метки" в пространстве - времени и считая соответствие непрерывным, так что двум близким точкам Р и Р соответствуют близкие xi. Тогда считая, что локально t и xα в (1.1) являются дифференцируемыми функциями хi, из принципа эквивалентности получаем общий вид интервала:

(1.2)

По определению способ измерения ds2 в формуле (1.2) задается формулой (1.1), в которой dt и измеряются в любой L - системе обычными часами и линейками. Но для того чтобы это было возможно, часы, линейки и сам интервал ds должны быть достаточно малы (конкретные ограничения будут рассмотрены ниже). Риманово пространство определено, если симметричный тензор второго ранга gik задан для всех x (мы не обсуждаем топологию этого пространства). Поскольку необходим локальный переход данного пространства в пространство Минковского, то требуется, чтобы форма gik была формой 4-го ранга с сигнатурой -2. Это, по определению, означает, что столбцы и строки 4x4 матрицы gik линейно независимы (нет вырождения) и при приведении gik к главным осям разность между числом положительных и отрицательных квадратов в диагональной форме равна -2. Напомним, что по известной в математике теореме, называемой теоремой инерции квадратичных форм, сигнатура является инвариантом.

Если рассматривать xi просто как метки, то допустимы любые преобразования вида хi = xiik). Можно, однако, наложить ограничивающие условия потребовать, например, чтобы координаты реализовывались следующим образом: имеется "пыль", частицы которой движутся, не сталкиваясь друг с другом (но, возможно, под действием сил; скажем, частицы снабжены реактивными двигателями произвольной мощности). Каждой частице приписана пространственная метка xα и на каждой из них установлены "плохие" часы, т.е. часы, идущие неравномерно. На некоторой пространственно подобной поверхности на всех часах установлено "время" х0 = 0. Предположим, что наши частицы заполняют пространство сколь угодно плотно и когда расстояние между ними стремится к нулю, то стремится к нулю и различие в их скорости, а также различие в ходе часов. Тогда в некоторой области пространства-времени все эти частицы образуют систему отсчета: событию, совпадающему по месту с пылинкой x1, x2, x3, в момент времени х0 по ее часам приписываются эти координаты.

Метрика, связанная с такой системой отсчета, должна удовлетворять дополнительным условиям. Очевидно, что g00 > 0 (в противном случае нельзя было бы определить собственное время по часам на пылинке) и форма gαβ, описывающая метрику произвольной поверхности x0=const , должна иметь ранг 3 и сигнатуру -3, т.е. должна быть пространственно подобной.

Заметим, что в реальной Вселенной пространство - время в целом искривленное и его геометрия риманова. На бесконечности метрика реального мира не переходит в метрику Минковского. Когда в реальном мире вводят системы отсчета с метрикой Минковского на бесконечности, то это всегда локально инерциальные системы. Так, занимаясь механикой планетных систем, вводят систему отсчета, связанную с центром массы Солнца, и рассматривают ее как инерциальную, т.е. на бесконечности описываемую метрикой Минковского (в рамках ньютоновской механики такая система галилеева, т.е. метрика трехмерного пространства евклидова и время абсолютно). На самом же деле система, связанная с Солнцем, "падает" в поле Галактики и уйти на бесконечность нельзя: такая система является только локально инерциальной. Можно построить идущую вверх и вниз иерархию систем отсчета (спутник Земли, Земля, Солнечная система, Галактика и т.д.). Заметим, что здесь имеется одна тонкость: с точки зрения механики Ньютона система, связанная с Солнцем, инерциальна с учетом поля тяготения Солнца, так как тяготение есть обычная сила (его действие, скажем, часто можно не учитывать), с точки же зрения частной теории относительности и общей теории относительности тяготение Солнца нарушает инерциальность системы Солнца вблизи него. Чтобы избавиться от поля Солнца, нужно уйти от него достаточно далеко. При этом система отсчета может все еще быть малой по сравнению с характерным масштабом неоднородности поля Галактики: с точки зрения наблюдателя в Галактике это маленькая система типа L. Заметим, что такую иерархию систем отсчета нельзя продолжать дальше галактических скоплений - мы придем к Вселенной в целом, четырехмерная геометрия которой уже принципиально неевклидова. Если воспользоваться двумерной аналогией, то четырехмерная геометрия Вселенной в целом похожа на двумерную геометрию сдутого, сморщенного мяча или неровной дыни. Только локально, выбирая малые участки, можно применять евклидову геометрию. Отдельные массивные тела (звезды, планеты) порождают как бы местные вздутия. L - системы либо подгоняются под маленький кусочек пространства, либо "обходят" какие-то местные вздутия (плоские на "бесконечности" системы).


1.2 Уравнение движения материальной точки и ньютоновское приближение


Получим теперь уравнение движения материальной точки в гравитационном поле, воспользовавшись для этого принципом эквивалентности. В частной теории относительности справедливо утверждение, что для траектории свободной материальной точки между какими-то точками А, В

(1.3)

В силу принципа эквивалентности законы частной теории относительности справедливы в любой L - системе. Но так как интервал ds определен в любой системе отсчета (1.2), то (1.3) справедливо и в общей теории относительности.

Варьируемый интеграл можно записать в виде

При этом на реальной траектории

На этой траектории s можно рассматривать как параметр, считая, что xi=xi(s). Этот же параметр будет использоваться и на варьируемой траектории: x’(s) = x(s) + σx(s). Тогда


Так как


то, интегрируя по частям с учетом того что , находим:


Так как вариация σxm произвольна, то отсюда получаются уравнения движения (ui = dxi / ds):


Введем тензор gik, определяемый тем, что

(1.4)

Тогда, обозначив

(1.5)

можно записать уравнения движения в виде

(1.6)

Величины называются символами Кристоффеля. Уравнение (1.6) и есть первое из уравнений общей теории относительности - уравнение движения материальной точки в гравитационном поле.

Для лучей света из принципа эквивалентности следует, что

(1.7)

Поэтому уравнение (1.6) неприменимо. Эту трудность легко преодолеть, используя для определения траекторий лучей света само уравнение (1.7) вместе с принципом Гюйгенса, который эквивалентен вариационному принципу. Уравнение (1.6), которое можно записать в виде

(1.6’)

получено из условия (1.3) и поэтому есть не что иное, как уравнение кратчайшей линии (геодезической) в римановом пространстве с метрикой (1.2). При выводе уравнения нигде не фигурировало число измерений пространства, поэтому (1.6’) справедливо при произвольном числе измерений n (i=1,2,…,n).

Здесь и далее будут рассматриваться чисто математические вопросы в пространстве с римановой геометрией n измерений, причем для простоты будет считаться, что сигнатура формы gik равна n. Пространство с gik=const и произвольной сигнатурой s (-ns<n) называется псевдоевклидовым. Метрика общей теории относитльности локально псевдоевклидова. Не составит труда заменить в нужных местах в формулах (1,1,1,1) на тензор Минковского (1,-1,-1,-1).

Покажем теперь, что в окрестности каждой точки риманова пространства n измерений можно ввести систему координат, в которой

, , (1.8)

Действительно, приведение gik к виду σik соответствует приведению формы к главным осям (решение этой задачи хорошо известно). После того как это сделано, в данной точке Р уже имеется евклидова метрика и можно определить углы. Новые оси задают тогда п ортогональных направлений. Пусть Р’ - точка в окрестности Р. Проведем геодезическую РР’, которая образует с осями в точке Р углы, косинусы которых равны аi. Введем координаты точки Р’, которые принято называть нормальными, определив их соотношениями xi(p’)=αiS, где S - расстояние РР’. Из уравнения (1.6) следует, что в любой точке данной геодезической. Устремляя Р’ к Р и учитывая, что Р’ можно выбрать так, что αi будут любыми, получаем , что и требовалось доказать. Отсюда же следует, что все . Действительно, если все , то и . Используя явные выражения для (1.5), находим:


Таким образом, доказано, что в любом римановом пространстве существуют локальные системы координат, которые локально евклидовы в том смысле, что в данной точке P , , причем первое соотношение справедливо с точностью 0(∆хi). Очевидно, что нормальная система не единственно возможная. Любая система, где справедливо (1.8), называется геодезической. В любой геодезической системе сами геодезические имеют в точке Р вид прямых:

(1.9)

В пространстве - времени геодезическим системам отсчета соответствуют свободно падающие системы, в которых согласно принципу эквивалентности метрика является метрикой Минковского, т.е. L - системы. Уравнение (1.9) выражает тогда закон инерции Ньютона.

Итак, можно сделать следующие выводы.

  1. Гравитация делает четырехмерную геометрию нашего мира неевклидовой. В области, где имеется гравитационное поле, нельзя построить ни одной системы отсчета, где была бы справедлива метрика Минковского во всем пространстве. Необходимо использовать метрику Римана.

  2. Существуют L - системы, в которых локально справедливы законы частной теории относительности, причем в таких системах.

  3. Из предыдущего пункта следует, что для произвольной системы координат .

  4. Значит уравнение движения материальной точки имеет вид (1.6) с обозначениями, введенными в (1.5).

  5. В римановом пространстве размерности 4 и сигнатуры -2 имеются такие системы координат, где в окрестности данной точки (1,-1,-1,-1) и все 40 величин . Эти системы отсчета мы отождествляем с L - системами. В таких системах внешнее гравитационное поле исчезает в некотором малом объеме пространства - времени. Существование таких систем отсчета есть выражение принципа эквивалентности.

Для того чтобы извлечь физически интересные следствия из уравнений движения (1.6), надо знать гравитационное поле, т.е. величины gik(х). Для этого нужно иметь уравнения, аналогичные уравнениям Максвелла, определяющие поле gik(x) при заданных источниках, и знать решение этих уравнений. Пока что ограничимся тем, что найдем ньютоновское приближение для уравнений движения, которому соответствуют медленные (υ<<1) движения в слабом поле. Последнее требование означает, что в подходящем классе координатных систем можно записать gik в виде

, (1.10)

Кроме того, предположим, что поле медленно меняется во времени, т.е.

(1.11)

для всех i, k, l, m . Тогда уравнение (1.6’) можно переписать в виде


так как , , .

Учитывая, что имеем:


и в силу (1.11) окончательно:


Уравнение движения принимает вид


Сравним это с уравнением Ньютона


где - потенциал гравитационного поля. Очевидно, что


Условие на бесконечности требует обращения потенциала в нуль и в 1: , , при . Поэтому

(1.12)

Так как значение соответствует метрике Минковского, которая, конечно, реализуется вдали от тел, создающих гравитационное поле, причем все , то потенциал характеризует отклонение метрики от плоской. Того же масштаба оказываются и остальные компоненты в (1.10).





1.3 Масштаб эффектов и основы геометрии риманова пространства


Итак, в слабых полях всегда можно выбрать координаты так, что и все ~. Гравитационный потенциал будет характеризовать отклонение метрики пространства - времени от метрики Минковского.

Рассмотрим, какие значения имеет величина в астрономии. Потенциал в системе единиц, где c=1, связан с потенциалом в системе СГСЭ равенством


Напомним, что энергия гравитационного взаимодействия двух масс

(1.13)

где G - ньютоновская постоянная. Для перехода к системе с=1 нужно
поделить
на c2. Из формулы (1.13) следует, что отношение
есть безразмерная величина. Таким образом,

, (1.14)

где величина

(1.15)

носит название гравитационного радиуса тела массой М. Можно ввести систему единиц, в которой не только c=1, но и G=1. В такой системе единиц.

Величина определяет, так сказать, масштаб "вздутия", которое тело образовало в пространстве - времени. На бесконечности в силу краевых условий метрика, порождаемая массивным телом, стремится к и пространство - время становится псевдоевклидовым. Если мы находимся в области около вздутия, на расстоянии порядка r от массивного тела, то безразмерный параметр, характеризующий отклонение метрики пространства -времени от метрики Минковского, есть . Поместим r в знаменателе, исходя из того, что эффекты неевклидовости уменьшаются, когда . Ниже увидим, что параметр имеет геометрический смысл. Масштаб эффектов общей теории относительности непосредственно определяется этим параметром. Например: в ньютоновской теории гироскоп, помещенный на спутнике, вращающемся вокруг Земли, сохраняет направление своей оси. В общей теории относительности из-за искривленности пространства - времени ось гироскопа повернется после полного оборота вокруг Земли на угол . Этот же параметр определяет отклонение света от прямолинейного распространения в поле Солнца (угол отклонения равен ) и поворот перигелия планеты (в ньютоновской теории орбиты замкнуты и поворот отсутствует).

Найдем численные значения параметра для Солнца и Земли. Массы и радиусы этих тел соответственно равны

поэтому

Отсюда видно, что эффекты малы даже на краю Солнца. Если речь идет об эффектах угловых смещений, то прямо определяет масштаб характерного угла в радианах. В градусной мере соответствующий угол составляет 0,437. Видно, что эффекты в принципе измеримы, и, действительно, некоторые из них измерены (об этом речь пойдет ниже). Несмотря на то что для Земли ситуация на четыре порядка хуже, по-видимому, опыт с гироскопом на спутнике Земли возможен и он готовится, впрочем, эта подготовка ведется уже 20 лет.

Где же эффекты искривления пространства - времени велики? Для этого нужны либо очень большие массы, либо очень плотная упаковка материи. Вселенная в целом обладает достаточно большой массой и видимый размер Вселенной порядка ее гравитационного радиуса. Поэтому геометрия Вселенной в целом полностью неевклидова. Другая возможность наблюдать большие эффекты общей теории относительности - так называемые "черные дыры", т.е. звезды, размер которых меньше . Возможно, что такие объекты, обладающие очень необычными свойствами, действительно существуют в природе.

Метрика риманова пространства. Для того чтобы изучать физические явления в рамках общей теории относительности и, прежде всего, само тяготение, нужно использовать геометрию риманова пространства. В этой главе мы подробнее рассмотрим математические вопросы, связанные с римановой геометрией.

Метрика пространства в случае п измерений имеет вид

, где i, k = 1, 2, …, n (1.16)

При этом, как отмечалось ранее, пространство является римановым, если, во-первых, квадрат расстояния между двумя близкими точками задается однородной квадратичной формой дифференциалов координат с коэффициентами, зависящими от точки, и, во-вторых, метрика локально евклидова, т.е. в любой данной точке можно подходящим преобразованием привести к виду .

Предполагается, что в каждой точке риманова пространства определено отнесенное к ней пространство векторов с компонентами и что с этими векторами можно проделывать обычные операции: вычислять их длины, углы между векторами и т.д. Все это основано на том, что по определению скалярное произведение двух векторов равно

(1.17)

в частности, . Величины называются контравариантными компонентами вектора .

Рассмотрим геометрический смысл . Введем вектор, соединяющий две близкие точки и , и назовем этот вектор . По определению

, (1.18)

где - векторы, касательные к координатным линиям, проходящим через точку Р. Грубо говоря, это отрезки таких линий, соответствующие . Строгое же определение дается формулой (1.18). Тогда . Таким образом, видно, что

(1.19)

В римановом пространстве в области вблизи точки P(x1,...,xn) линии, получающиеся, когда все х1 кроме хk (ki) фиксированы, а хk меняется, образуют косоугольную систему координат. Пусть теперь вводятся новые координаты тогда в окрестности точки Р они определяют новую косоугольную систему координат с "осью" r, соответствующей меняющейся координате (x’)r и постоянным остальным координатам (x')i. Для малого вектора, соединяющего две близкие точки Р и Р’ , компоненты по новым осям равны

. (1.20)

Эта формула определяет закон преобразования дифференциалов координат. С другой стороны, формула (1.18) определяет разложение вектора по базису через дифференциалы координат. Аналогично, контравариантные компоненты вектора определены тем, что они задают разложение по базису закон преобразования контравариантных компонент вектора совпадает с (1.20), т.е.

(1.21)

Можно ввести ковариантные компоненты, определив их

(1.22)

Из определения длины вектора следует, что и, аналогично, скалярное произведение

(1.23)

Так как скалярное произведение инвариантно относительно преобразования координат, то

(1.24)

Очевидно, как надо ввести закон преобразования для тензоров произвольного ранга. Например, для смешанного тензора второго ранга


Теперь, используя инвариантность , можно доказать, что наше обозначение для соответствует его тензорной природе: есть ковариантный тензор второго ранга (метрический тензор).

Наконец, из линейной алгебры хорошо известно, что объем, построенный на векторах в пространстве любого числа измерений, выражается через определитель Грамма: . Тогда из формул (1.18) и (1.19) следует, что объем n - мерного параллелепипеда, построенного на векторах (dx1, 0, ... ,0), (0, dx2,... ,0) и т.д. равен

(1.25)

Входящий сюда радикал обозначают просто. Такое выражение годится при сигнатуре, равной n . В случае общей теории относительности, для того чтобы корень был вещественным используют.

Параллельный перенос. Как отличить риманово пространство от плоского? В евклидовом пространстве можно перенести вектор в любую точку, сохраняя его направление. Такая операция называется параллельным переносом. Результат параллельного переноса в этом случае не зависит от пути. В римановом пространстве это уже не так: операцию параллельного переноса можно определить, но она однозначна только в малом, а в большом результат зависит от пути. Мера этой неоднозначности характеризует искривление пространства, отличие его от плоского. В теории Эйнштейна соответствующее искривление пространства - времени непосредственно связано с полем тяготения.

Прежде чем рассмотреть n - мерный случай, возьмем. наглядный пример - поверхность сферы, отвечающую n=2 (рисунок 1, а). Проведем в точке Р плоскость, касательную к сфере.


hello_html_m52c212f5.png

а) б)

Рисунок 1. n - мерный случай параллельного переноса


Пусть в этой плоскости находится вектор . Такой вектор будем называть вектором, лежащим на сфере. Это есть определение, но если вектор мал по длине, то "физически" он действительно на ней лежит. Если параллельно перенести вектор в точку Р’ в евклидовом пространстве, то он уже не будет лежать в плоскости, касательной к сфере в точке Р'. Необходимо вернуть его на сферу, в касательную плоскость. Определим операцию параллельного переноса вектора на сфере следующим образом. Перенесем вектор параллельно на бесконечно малое расстояние δl, а затем спроектируем его на касательную плоскость в новой точке. Изменение длины вектора будет при этом ~ δl2, т.е. второго порядка малости. Перенос на конечное расстояние по заданной линии на сфере определим как последовательность бесконечно малых переносов вдоль элементов линии. При этом длина сохраняется с точностью до малых второго порядка.

Ясно, что при таком определении параллельный перенос по двум разным путям дает разные результаты. Например, вектор, перенесенный по линии ABC (рисунок 1, б), окажется повернутым на угол π/2 относительно того же вектора, перенесенного по линии АС. Удобной характеристикой неевклидовости поверхности является поворот вектора при обносе по замкнутому контуру. Например, при переносе по ABC, А поворот равен π/2.

Для любой поверхности угол поворота вектора при обносе любого замкнутого контура на поверхности можно представить в виде интеграла по площади, охватываемой контуром:

. (1.26)

Beличина К(Р) называется гауссовой кривизной поверхности. На сфере все точки равноправны, следовательно, К(Р) = К не зависит от Р. Для контура на рисунке 2 , , . Если обобщить это понятие на случай п измерений, то мы придем к понятию тензора Римана. Он и будет основным инструментом для исследования поля тяготения.

Рассмотрим, как меняются компоненты вектора при параллельном переносе на двумерной поверхности. Пусть на поверхности задана произвольная координатная сетка xi, i=1,2, так что каждой точке Р соответствуют координаты х1, x2. Тогда в каждой точке Р заданы два вектора , лежащие в касательной плоскости в точке Р. Здесь - радиус - вектор, проведенный в точку Р из произвольной фиксированной точки О объемлющего трехмерного евклидового пространства. Очевидно, что есть базисные векторы двумерного пространства поверхности сферы, соответствующие векторам в формуле (1.18).

Разложим вектор по базисным векторам: . Перенесем теперь в точку Р’. Тогда , где , - вектор, нормальный к поверхности в точке Р'.

Введем в касательной плоскости в точке Р векторы , определяемые условием . Тогда

, ,, , .

Если умножить на , то . Отсюда

;

.

Для изменения компонент вектора при параллельном переносе на поверхности получаем формулу

(1.27)

Преобразуем ее, учитывая, что , . Тогда

,

где введено обозначение

Таким образом, окончательно, изменение компоненты вектора при параллельном переносе дается формулой

(1.28)

Теперь удостоверимся, что таким образом определенная операция параллельного переноса зависит только от внутренних свойств поверхности (от ее метрики). Действительно, так как , и т.д., получаем следующие равенства:

,

,

,

откуда

Полученное здесь выражение уже появлялось, оно входило в уравнения для геодезической (1.6) и было названо символами Кристоффеля . Итак, и

(1.29)

где, как и раньше, введены величины , которые также называются символами Кристоффеля. Очевидно, что . Параллельный перенос есть линейное отображение векторов, данных в точке Р, в векторы в точке Р’, поэтому величины называются также коэффициентами аффинной связности.

Было показано, как изменяются векторы при параллельном переносе на двумерной поверхности. Результат зависит только от метрической формы , которая сама зависит только от внутренних свойств поверхности. Смысл этого утверждения заключается в том, что если поверхность изгибать без растяжения и сдвига, так, чтобы координаты точек и величины и менялись, то закон изменения компонент вектора при параллельном переносе не меняется. Это нетривиально: первоначальное определение существенно использовало внешнее пространство. Обнаруженный здесь факт означает, конечно, что есть чисто "внутренние" свойства операции параллельного переноса, которые однозначно ее определяют и которые нужно понять. Одновременно видим, что геодезическую можно определить не только как кратчайшее расстояние между двумя точками, но и как получаемую параллельным переносом касательной вдоль самой себя (подробнее об этом ниже).

Определим теперь параллельный перенос в n - мерном пространстве. Можно действовать способом Леви - Чивита, который предложил вложить риманово пространство в евклидово пространство с достаточно большим числом измерений (легко показать, что это число равно ). После этого можно сделать все так же, как для двумерной поверхности, т.е. перенести вектор параллельно самому себе в объемлющем евклидовом пространстве, а потом спроектировать его в исходное пространство. Результат не зависит от способа вложения.

Более поучительна конструкция Beйля, исходящая непосредственно из свойств самого риманова пространства. Предположим, что параллельный перенос удовлетворяет следующим аксиомам.

  1. ,

  2. ,

  3. Длины векторов не меняются при параллельном переносе.

Обсудим смысл этих аксиом. Аксиома 1 утверждает, что линейно по (свойство линейности (аффинности) преобразования) и по dxm что очень естественно. Нетривиальна аксиома 2 - требование симметрии коэффициентов преобразования. Действительно, на первый взгляд индексы k и m имеют совершенно разный смысл. На самом деле вполне можно рассматривать пространства и изучать геометрии, где - так называемые пространства с кручением. Но в таких пространствах параллельный перенос приводит к повороту, даже если метрика евклидова, что реально не наблюдается. Именно эту возможность и исключает аксиома. Аксиома 3 тоже естественна физически. Отказ от нее означал бы, что стандартный интервал изменяется при переносе или что мы отказываемся от наглядной физической интерпретации операции параллельного переноса. С математической точки зрения все это вполне возможно, такую геометрию рассматривал, в частности, Beйль. При этом получается, что собственные частоты одинаковых атомов, соответствующие времени подобным интервалам ds вообще говоря, не совпадают, если у них были разные "биографии" (разные пути в четырехмерном пространстве). Это, с наблюдаемой точностью, противоречит опыту.

Аксиому 3 можно записать как условие:

; .

Здесь - компоненты векторам после переноса в Р’. Подставляя условие аксиомы 1, получим:


или

(1.30)

Аналогично

; . (1.31)

Тогда из (1.30) и (1.31) следует, что в п - мерном пространстве справедливы те же формулы для , что и в двумерном случае, и что совпадают с символами Кристоффеля, входящими в уравнение для геодезической (1.6). Именно поэтому мы с самого начала при формулировке аксиом 1 - 3 ввели те же обозначения, что и раньше.

Вейль предложил заменить аксиомы 1 и 2 на аксиому, которую он считал более прозрачной - в действительности, она есть математический аналог принципа эквивалентности. Согласно этой аксиоме постулируется существование в любой точке такой системы координат, для которой компоненты вектора не меняются при параллельном переносе . Подчеркнем, что существование такой системы не вытекает из доказанного ранее существования нормальных координат, для которых , так как связь этих величин с параллельным переносом пока неизвестна. Легко увидеть, что аксиомы 1 и 2 сразу следуют из этой аксиомы. Действительно, получим формулы для в произвольной системе координат, исходя из того, что в некоторой системе, которую будем называть евклидовой (Е - системой) . Пусть величина в Е - системе имеет индекс Е. Поскольку по определению , то

,

Отсюда

. (1.32)

Это доказывает, что изменение вектора при переносе определяется тем же выражением, что и в аксиоме 1, и симметричны, Таким образом, из нового постулата получены аксиомы 1 - 3 и, следовательно, выражения для через метрическую форму.

Формула (1.32) устанавливает выражение для символов Кристоффеля через производные координат по евклидовым координатам . Определим связь между координатами хi в произвольной системе и евклидовыми координатами . Предположим, что в данной точке Р , . Считается, что метрика в окрестности точки Р приведена к евклидовому виду, т. е. . Тогда

,

Отсюда, с учетом начального условия, получаем:

(1.33)

или, наоборот,

(1.34)

Сделаем некоторые замечания, относящиеся к процессу вывода формул для параллельного переноса. При получении выражения (1.30) пришли к равенству , сделав далее заключение (не высказанное явно) о том, что если это равенство справедливо для произвольных , то выражение в скобках равно нулю. Утверждения такого рода носят название теорем о частном (Эддингтон [5]). Так, первая теорема утверждает: если для всех ,то Ti=0. Доказательство очевидно: выберем , тогда Tk=0. Аналогично, вторая теорема утверждает: если для всех и , то все . Для доказательства выберем , тогда . Возьмем, например, =(1,1,0,0). Тогда, используя условие симметрии, найдем: и, учитывая предыдущее равенство, получим, что T12=0 . Так как все индексы равноправны, то отсюда Tik=0 для всех i, k.

Найдем, как меняется при параллельном переносе ковариантный вектор. Так как длина вектора (его квадрат) не меняется при этой операции, то не меняется и скалярное произведение двух векторов, т.e. . Подставляя в эту формулу закон изменения контравариантных компонент вектора при параллельном переносе (1.29), получим: . Отсюда в силу указанной выше первой теоремы о частном

(1.35)

Теперь легко указать обобщение формул параллельного переноса на произвольный тензор. Например,

(1.36)

Наконец, определили ранее геодезическую как линию наименьшей длины в римановом пространстве и получили из этого определения уравнение (1.6). Покажем, что к этому же уравнению можно прийти, приняв другое, альтернативное определение: геодезическая линия есть линия, получающаяся параллельным переносом касательного вектора вдоль самого себя. Это означает следующее. Начнем параллельный перенос из точки A1 . Пусть касательный вектор есть . Бесконечно близкая точка A2 получается сдвигом на вдоль , При этом касательный вектор, полученный параллельным переносом, будет равен ; точка A3 достигается сдвигом из A2 на и т.д. Вектор есть касательный вектор единичной длины. Исходя из приведенного выше определения геодезической, имеем по формуле (1.29):

;

Таким образом, мы снова пришли к уравнению (1.6), откуда следует, что старое и новое определения геодезической эквивалентны.

Заметим наконец, что величины не имеют тензорной природы. В L - системе (например, падающий лифт) все =0. Так как все тензоры преобразуются линейно при переходе из одной системы в другую, то если бы были тензорами, они были бы нулями в любой системе.

Понятие ковариантной производной. Рассмотрим теперь векторное поле в пространстве Римана или . В теории поля необходимо иметь дифференциальные характеристики, описывающие изменение этого поля в пространстве - времени. При этом естественно желать, чтобы эти величины вели себя ковариантно при преобразовании координат, т.е. были тензорами. Это позволит написать уравнения поля в ковариантной форме, т.е. в форме, справедливой при любом выборе координат. В евклидовой геометрии, если ограничиться только ортогональными преобразованиями, можно просто использовать величины типа , которые преобразуются как тензоры. Нетрудно увидеть, что в римановой геометрии это уже не так. Действительно, по определению производной


где Р, Р’ - две близкие точки. Но законы преобразования компонент вектора в разных точках пространства разные, так как коэффициенты в формулах (1.21) и (1.24) являются функциями координат, поэтому величина в числителе не есть вектор.

Чтобы исправить положение, надо, очевидно, чтобы оба вектора находились в одной точке, т.е. нужно совершить параллельный перенос из Р в Р’. При этом получает дополнительное приращение . Ковариантную производную можно определить как

(1.37)

Для этой производной используются обозначения

(1.38)

Аналогично:

(1.39)

Легко проверить прямым вычислением, что для всех l

(1.40)

Введем теперь понятие ковариантного дифференциала

(1.41)

Для тензора с р верхними и q нижними индексами

(1.42)

Из (1.40) следует тогда, что

, (1.43)

Наконец, определим понятие ковариантной производной от вектора вдоль линии . Определим ее как отношение ковариантного дифференциала на отрезке РР' к расстоянию . Тогда

(1.44)

Тензор кривизны Римана. Найдем характеристику пространства, которая указывает на его отличие от евклидового. Для этого рассмотрим параллельный перенос произвольного вектора из точки А в точку С двумя путями по сторонам параллелограмма (рисунок 2). Перенося из А в В, получим: , где . Символ Кристоффеля в точке В отличается от : . Поэтому, совершая параллельный перенос вектора из В в С, получим для полного изменения вектора на пути ABC:


Если теперь перенести по пути АDС, то для изменения получим аналогичную формулу, но с переставленными индексами l и т:


Вычитая одно выражение из другого, найдем:

(1.45)


hello_html_41cc21fb.png

Рисунок 2. Параллельный перенос произвольного вектора

по сторонам параллелограмма


Введем элемент площади контура . Тогда формула (1.45) запишется в виде

(1.46)

Из (1.46) сразу видно, что величина является тензором. Она называется римановым тензором кривизны:

(1.47)

Таким образом, определяет поворот вектора при параллельном переносе вокруг площадки , т.е. представляет собой обобщение понятия гауссовой кривизны на случай, п измерений.

Выражение тензора Римана через производные от метрического тензора в общем случае весьма громоздко, но сильно упрощается в геодезической системе координат ( L - системе в случае 4-х измерений), где в данной точке xi

, и :

(1.48)

Из (1.48) следуют свойства симметрии тензора Римана:

; , (1.49)

а также формула

(1.50)

Эти соотношения линейны, а следовательно, справедливы в любой системе координат. Теперь легко показать, что число независимых компонент тензора Римана в произвольном n - мерном пространстве

(1.51)

Для n = 1, ν = 0; n = 2, ν = 1; n = 4, ν = 20.

Двумерный случай. На двумерной поверхности только одна компонента тензора Римана . Для ее вычисления выберем геодезическую систему, в которой и . Пусть координаты x, y лежат в касательной плоскости, a z - по нормали к поверхности в данной точке. Уравнение поверхности в этой системе координат имеет вид . Приводя эту квадратичную форму к главным осям, находим: , где R1, R2 - главные радиусы кривизны поверхности.

Элемент длины дуги на поверхности


Отсюда

(1.52)

При обносе вектора по некоторому замкнутому контуру в соответствии с общей формулой (1.46) получим:

;,

или

, (1.53)

Эти формулы имеют вид преобразования бесконечно малого поворота вектора на угол в касательной плоскости:

,

причем

(1.54)

Сравнивая это выражение с определением гауссовой кривизны поверхности (1.26), получаем, что эта кривизна

(1.55)

В частности, для сферы , так как . Полученный результат был ранее выведен с помощью наглядного рассуждения.

Заметим, что если (1.55) выражает К через R1 и R2 (величины, характеризующие "внешние" свойства поверхности, ее форму в объемлющем пространстве), то формула (1.52) выражает К через метрику, которая есть внутренняя характеристика, очевидным образом не изменяющаяся при изгибании поверхности. Следовательно, К не меняется при изгибании - это доказанная Гауссом теорема, названная им "прекраснейшей". Как мы видим, тензорный анализ делает доказательство тривиальным.



1.4 Уравнения поля тяготения


Тензор Римана и геометрия риманова пространства. Из самого построения тензора Римана видно, что его величина измеряет кривизну пространства, т.е. показывает, насколько оно в окрестности данной точки отличается от евклидового. Легко увидеть, что пользуясь римановым тензором, можно также установить, является ли пространство в целом евклидовым (псевдоевклидовым) или искривленным пространством Римана. Необходимым и достаточным условием евклидовости пространства является обращение в нуль всех компонент риманова тензора во всем пространстве.

Необходимость очевидна. В евклидовом пространстве в декартовых координатах и , поэтому.

Наметим доказательство достаточности. Построим в любой точке Р n ортогональных ортов. Разнося этот координатный крест по пространству и используя то, что эта операция однозначна, если получим декартову координатную сетку, в которой координатные линии ортогональны в любой точке.

Теперь можно ответить на вопрос: насколько поле тяготения искривляет пространство? Как показано в разделе 1.3 для поля тяготения сферического тела (формулы (1.12) и (1.14)), т.е. известно отклонение , от значения , соответствующего пространству Минковского. Ниже увидим, что такого же порядка и отклонения от других компонент , поэтому все отличные от нуля компоненты тензора Римана имеют порядок величины

(1.56)

Ясно, однако, что вопрос о том, насколько геометрия отклоняется от геометрии Евклида (Минковского), еще не сформулирован до конца. Правильная постановка вопроса - насколько в окрестности точки Р с линейным размером l геометрия (результаты измерений) отличается от евклидовой? Теперь на него можно ответить. Так как компоненты малы в окрестности реально достижимых тел, то можно прямо использовать формулу (1.46) для оценки того, на какой угол повернется четырехмерный вектор, перенесенный параллельно вокруг тяготеющего тела (например, Солнца) на расстоянии r от него. Получим, что угол

(1.57)

Очевидно, что таким образом введенный параметр определяет, скажем, угол поворота гироскопа при обносе вокруг тяжелого тела.

Сделаем теперь несколько формальных замечаний. В дальнейшем очень важную роль будут играть тождества Бианки для тензора Римана, имеющие вид

(1.58)

В справедливости этой формулы проще всего убедиться прямым вычислением в геодезической системе координат. Учитывая (1.8), можно прямо подставить в (1.58) обычные производные от и после тривиального приведения подобных членов получить нуль. Тождество Бианки имеет геометрический смысл, который был указан А. Картаном и подробно обсуждается в книге [8]. Введем свертку тензора Римана с метрическим тензором

(1.59)

Тензор нназывается тензором Риччи. Этот тензор симметричен, поскольку


Следовательно, имеет независимых компонент в п - мерном пространстве и соответственно 10 компонент в обычном пространстве - времени.

Свернем тождество Бианки (1.58) с . Учитывая, что свертка с помощью метрического тензора коммутирует с операцией ковариантности дифференцирования (раздел 1.5), получим: . Проведем теперь свертку по индексам i, l, введя величину, играющую важную роль в теории тяготения - инвариантную кривизну R , которая определяется как свертка тензора Риччи:

(1.60)

Тогда или, в другой форме записи, . Отсюда следует, что


Тензор, стоящий в скобках, иногда называют тензором Эйнштейна и обозначают как

(1.62)

или, в ковариантной форме, . Тогда формул (1.61) принимает вид

(1.63)

Уравнения гравитационного поля. Построенный в предыдущих параграфах математический аппарат достаточен для того, чтобы написать общие уравнения гравитационного поля. Следуя Эйнштейну, предположим, что источником гравитационного поля должен быть тензор энергии - импульса материи, который должен стоять в правой части уравнений. Это предположение есть четырехмерное обобщение того, что в теории Ньютона источником поля является плотность массы (в соответствии с уравнением Пуассона ). Роль плотности массы в релятивизме играет компонента тензора энергии - импульса. Отсюда естественное обобщение - справа в точных уравнениях должен стоять тензор . Выражение слева в искомых уравнениях должно переходить в для - компонент и, следовательно, уравнение должно быть линейно по . Наконец, предположим, что уравнения должны быть общековариантными, т.е. справедливыми в любой системе координат. Следовательно, слева должен стоять ковариантный тензор второго ранга, старшие члены которого должны содержать слагаемые типа . Такой тензор можно составить, используя тензоры , , , т.е. общий вид искомого уравнения будет

(1.64)

Вспомним теперь, что в пространстве Минковского справедлив закон сохранения . В соответствии с принципом эквивалентности, это соотношение справедливо и при наличии гравитационного поля в L - системе. Тогда в любой системе отсчета справедливо общековарианткое уравнение

(1.65)
Так как , то, полагая без ограничения общности
c1=1 и обозначая , получаем:

(1.66)

Последнее слагаемое в левой части уравнения (1.66) называется космологическим членом, а - космологической постоянной. Будем пока что считать, что . Действительно, в пустом пространстве, где , уравнения (1.66) принимают вид . Пусть , тогда нетрудно увидеть, что возможным решением будет , , и , т.е. уравнения допускают как предельный случай решение в виде метрики Минковского. Если же , то это уже не так. Можно заведомо утверждать, что величина космологической постоянной мала в настоящее время, так как из астрономии известно, что вдали от гравитирующих источников пространство - время с большой точностью евклидово. Поэтому - член должен быть крайне малым, его влияние может сказываться только на временах и расстояниях, сравнимых с возрастом и радиусом Вселенной. Во второй части работы вернемся к обсуждению роли космологической постоянной при анализе самых ранних стадий эволюции Вселенной, когда, возможно, эта роль была решающей. При обсуждении эффектов общей теории относительности в масштабах Солнечной системы можно считать . Так приходим к уравнениям, полученным в 1915 г. Гильбертом и Эйнштейном:

(1.67)

Константа выбрана так, чтобы в пределе слабого поля уравнения (1.67) приводили к правильной форме записи закона тяготения Ньютона, в чем убедимся ниже.

В пустоте . Свертывая (1.67) с получим, что и уравнения поля в пустоте имеют вид

(1.68)

Исторически это уравнение было рассмотрено Эйнштейном раньше уравнения (1.67). Сейчас в русскоязычной литературе уравнение (1.67) обычно называют уравнением Гильберта - Эйнштейна.

Соображения, приводящие к уравнению (1.67), основаны, таким образом, на трех принципах - эквивалентности, ковариантности и соответствия (требование, чтобы уравнение переходило в соответствующем пределе в уравнение Ньютона) - и на постулате о допустимости псевдоевклидового решения. Последнее не столь существенно, так как теория с - в общем, та же общая теория относительности. К сказанному можно добавить, что, как показал Вейль, условия, наложенные на правую часть уравнений, определяют левую часть однозначно с точностью до константы с3, т.е. любой линейный по тензор имеет вид

.

Больше всего дискуссий всегда вызывает вопрос о том, в какой степени словесно высказанный принцип эквивалентности приводит к геометрии Римана. Мы подозреваем, что вопрос недостаточно однозначен для того, чтобы можно было дать на него ответ.

К уравнениям (1.67) необходимо добавить уравнения движения

(1.69)

Тогда уравнения (1.67) - (1.69) представляют собой полную систему уравнений механики общей теории относительности. Для света надо либо делать предельный переход, либо пользоваться уравнением ds=0 и принципом Гюйгенса.

Можно записать (1.67) в другой форме, если провести свертку c . Тогда

, ; ,

откуда

(1.70)

Предел слабого поля. Покажем, что в пределе слабого поля уравнения Эйнштейна содержат ньютоновский закон тяготения.

Пусть

, (1.71)

Ограничиваясь членами низшего порядка по в тензоре , получим:

. (1.72)

Сворачивая c, найдем тензор Риччи:

. (1.73)

Наложим теперь дополнительные условия на компоненты , учитывая, что произвольное преобразование координат вносит четыре произвольные функции. Это позволяет удовлетворить четырем дополнительным условиям. Выберем эти условия (аналог условий Лоренца в электродинамике) в виде

(1.74)

Тогда три первые члена в (1.73) исчезнут и в силу уравнений (1.70), приходим к уравнениям слабого поля

(1.75)

Уравнение (1.75) есть уравнение Лапласа, решение которого выражается через запаздывающие потенциалы:

(1.76)

Рассмотрим случай покоящегося тела, для которого

, ; (1.77)

Тогда

(1.78)

Итак,

, , (1.79)

Для движения нерелятивистской частицы существенна только компонента , и получаем ньютоновский предел (, ), обсуждавшийся в разделе 1.2.

Метрика в поле материальной точки в избранной калибровке имеет вид

, (1.80)

Подчеркнем, что координаты t, x, у, z не отвечают тем, которые могут быть измерены часами и линейкой. Здесь это метки, неявно определенные калибровочными условиями (1.74).

Свойства уравнений гравитации. Сопоставление с электродинамикой. Сопоставим уравнения электродинамики Максвелла - Лоренца и уравнения тяготения Эйнштейна. Прежде всего, следует подчеркнуть, что и те, и другие - это уравнения классического поля. Есть много общего и в структуре этих уравнений. Но есть и принципиальные различия. Для простоты в дальнейшем будем считать взаимодействующие с полем частицы точечными.

Электромагнитное поле описывается потенциалом , представляющим собой четырехмерный вектор в пространстве Минковского. Теория электромагнетизма сводится к двум уравнениям. Первое представляет уравнение движения материальной точки массой mA и c зарядом eA в заданном электромагнитном поле:

, (1.81)

где . Заметим, что в (1.81) входят первые производные

Второе уравнение определяет поле (если задана плотность тока заряженных частиц):

, (1.82)

где

(1.83)

Уравнения (1.82) определяет потенциал неоднозначно. Очевидно, что если есть решение (1.82), то и (где - произвольная функция координат и времени) также будет решением. Как известно, преобразование к называется (по запутанным историческим причинам) калибровочным. Легко показать, что всегда можно сделать такое преобразование калибровки (или, как говорят, выбрать калибровку), что и уравнение (1.82) примет вид

(1.84)

Уравнения (1.81) и (1.82) в принципе полны (с точностью до трудностей с реакцией излучения), т.е. если заданы заряды и поля на какой-то пространственно подобной поверхности, то дальше уравнения позволяют предсказать эволюцию системы. Обычно решаются более простые задачи: дан заряд - найти поле (кулоновское), дано поле - найти движение заряда и т. д. Важной особенностью уравнений электродинамики является их линейность. Это означает, что справедлив принцип суперпозиции: поля, создаваемые разными источниками, складываются.

В случае слабого гравитационного поля в определенной калибровке (1.74) (аналогичной лоренцовской калибровке в электродинамике) уравнения поля имеют вид (раздел 1.5)

, (1.85)

где симметричный тензор есть потенциал слабого гравитационного поля, аналогичный в уравнениях электродинамики, а роль источника поля выполняет тензор энергии - импульса материи , который для потока невзаимодействующих частиц ("пыль") имеет вид

(1.86)

Сходство уравнений (1.85) и (1.82) очевидно.

Если же перейти теперь к точным уравнениям гравитации, то обнаруживается принципиальное отличие их от уравнений электродинамики, заключающееся в том, что уравнения гравитационного поля существенно нелинейны. Это связано с самой природой гравитационного поля. Несколько нестрого можно сказать, что оно несет энергию, которая сама является источником гравитационного поля. Источником же электромагнитного поля является заряд. Само электромагнитное поле заряда не несет оно нейтрально.

В связи с этим отметим, что, как уже говорилось, геометрия пространства в общей теории относительности похожа на геометрию спущенного мяча. В такой геометрии нет группы симметрии (в частной теории относительности она есть - это группа Пуанкаре [23]). Так как законы сохранения порождаются группой движений (теорема Нетер), то в общей теории относительности в общем случае интегралов движения нет и энергия не сохраняется. Связь проблемы законов сохранения и группы симметрии с ясностью прослеживается в ранних работах Ф. Клейна [24]. Затем понимание пpоблемы было, скорее, утрачено. Явный пример мира с несохранением энергии можно найти в работе [25].

Нелинейность уравнений гравитации приводит, прежде всего, к тому, что решение для слабого гравитационного поля (1.80), найденное выше, верно только в первом порядке по параметру . В этом порядке

; (1.87)

Если мы хотим вычислить или в следующем приближении, то в линеаризованном подходе необходимо найти эффективную плотность энергии, соответствующую . По аналогии с тем, как для электромагнитного поля плотность энергии квадратична по производным от потенциала , плотность энергии гравитационного поля должна быть квадратична по производным от , т.е. быть порядка . Поэтому уравнения второго приближения для имеют структуру

; . (1.88)

Таким образом, мы приходим к выводу, что в силу нелинейности уравнений гравитации метрическая форма в пространстве, окружающем массивное точечное тело, должна иметь вид

(1.89)

(далее для этого случая будет получено точное решение).

Другим важным отличием уравнений гравитации от уравнений электродинамики является то, что в системе уравнений для электромагнитного поля уравнения для мировой линии частицы не вытекают из уравнений поля - они должны задаваться независимо. Из уравнения (1.82) и антисимметрии следует сохранение тока:

(1.90)

Но это уравнение слабо ограничивает движение частицы. Оно требует только, чтобы мировая линия частицы не "рвалась".

Для системы уравнений общей теории относительности дело обстоит иначе. Уравнение (1.67) содержит в силу тождеств Бианки условие равенства нулю ковариантной производной тензора :

(1.91)

и это похоже на (1.90), но (1.91), в отличие от (1.90), приводит к жестким ограничениям на движение - из этого условия движение определяется полностью, т.е. из него следуют уравнения движения (1.69).

Вывод упрощается, если вместо одной частицы рассмотреть пыль - облако частиц малой массы, движущихся во внешнем поле (взаимодействием частиц пренебрегаем). Тензор для такой пыли имеет вид

(1.92)

где - инвариантная плотность энергии (массы), т.е. плотность в сопутствующей системе. Возьмем ковариантную производную от :

(1.93)

Вспоминая выражение (1.44) для ковариантной производной от вектора, получим:

(1.94)

Умножим это уравнение на. Учитывая, что , находим:

(1.95)

Поскольку :

(1.96)

Если массы всех пылинок равны, то (1.96) представляет собой просто закон сохранения числа частиц, записанный в ковариантном виде. В силу (1.96) из (1.94) следует при что

(1.97)

Это уравнение тождественно уравнению (1.69) для геодезической, т.е. уравнению движения частицы в гравитационном поле.

Таким образом, утверждение доказано: уравнения движения содержатся в уравнениях Эйнштейна. Пыль здесь, конечно, играет чисто вспомогательную роль. Можно провести доказательство и для одной частицы (Эддингтон, [5]).

Эйнштейн считал тот факт, что в общей теории относительности уравнения поля содержат уравнения движения, принципиально связанным с нелинейностью теории. На первый взгляд, это убедительно. В линейной электродинамике сумма полей зарядов A и В есть снова решение уравнений, поэтому A и В могут покоиться без противоречия с уравнениями поля, и для описания движения нужно еще уравнение Лоренца. В гравитации нет линейности, принцип суперпозиции не действует, поэтому массы начинают двигаться друг относительно друга. Но из сказанного выше скорее видно, что на самом деле суть вопроса в том, что четыре уравнения (1.91) более жестко (полностью) определяют движение, чем одно уравнение (1.90), а нелинейность, как кажется, несущественна. С другой стороны, без нелинейности в принципе теория просто противоречива, поэтому строго вопрос вообще нельзя поставить.

Заметим, наконец, что протяженные упругие тела по геодезическим, вообще говоря, не движутся [26]. Это легко понять из следующего примера. Рассмотрим простую задачу: шарики скользят по поверхности сферы. Тогда геодезические - большие круги, а расстояние между шариками, очевидно, меняется. Если их скрепить пружинкой, они уйдут с геодезических и будут совершать достаточно сложные осциллирующие движения. Аналогично, два шара в гравитационном поле, скрепленные пружиной, также уйдут с геодезических [27]. Поскольку переход к пределу бесконечно малого тела в гравитации невозможен из-за коллапса, то в действительности идеализация движущихся по геодезическим пылинок логически противоречива и верна только в грубом приближении (реально это приближение неплохо выполняется, скажем, для космических зондов). Ниже мы увидим, что часы конечного размера, строго говоря, не измеряют времени. Из всего этого следует, что для того чтобы иметь логически замкнутую модель общей теории относительности, нужно ввести классическое поле материи. Это впервые сделал Д. Гильберт в упоминавшейся работе 1915 г. Он справедливо считал, что тогда возникнет своего рода единая теория материи и гравитации, в которой однозначно разделить геометрию и физику нельзя. В этом смысле в споре, который вел Эйнштейн с уже умершим А. Пуанкаре в академической речи 1921 г., правильной была оспаривавшаяся Эйнштейном точка зрения Пуанкаре.

Возможность других теории тяготения. В некотором смысле, ответ на этот вопрос отрицателен. Теория Эйнштейна предсказывает некоторое число эффектов, эти предсказания с достаточной точностью совпадают с опытом - ясно, что любая другая достаточно простая теория даст другие числа. Можно пытаться усложнить теорию, вводя новые константы и поля. При этом необходимо держать все добавления в таких пределах, чтобы уложиться в ошибки эксперимента. Принцип относительности мере уменьшения ошибок суживаются и пределы на дополнительные параметры. В настоящее время, грубо говоря, согласие с опытом общей теории относительности установлено с точностью примерно 1%.

Если не проблема, то своеобразие положения общей теории относительности состоит в том, что экспериментальных фактов все же немного, если сравнивать, скажем, с квантовой электродинамикой или классической механикой. Если в последних случаях теория накрывает факты, можно сказать, всюду плотно, то в общей теории относительности теория похожа на очень красивый мост на нескольких опорах с большими пролетами - свободного пространства много, и часто появляется искушение что-то туда вставить.

Однозначность уравнений Эйнштейна диктуется требованием простоты. Очевидно, что пока мы не накрыли факты всюду плотно, всегда есть возможность как-то "изуродовать" теорию. Не бесполезно все же выдвинуть гипотезу простоты в какой-то приемлемой форме и затем посмотреть, есть ли другие возможные теории тяготения, кроме теории Эйнштейна. Будем исходить из того, что теория должна быть теорией поля и в первом приближении быть релятивистски инвариантной. Тогда в рамках гипотезы простоты нужно считать, что поле должно быть: скаляром; вектором; тензором второго ранга и т.д.

Прежде всего, гравитационное поле должно быть безмассовым, так как гравитация - дальнодействующее взаимодействие. На языке квантовых полей это означает, что масса квантов соответствующих полей равна нулю (в противном случае взаимодействие имеет вид и эффективно исчезает на расстояниях в единицах ).

Скалярные и векторные теории сразу исключаются опытом. Рассмотрим скалярный вариант. Если мы не хотим прийти к противоречию с опытом типа опыта Этвеша, то нужно, чтобы скалярное поле φ взаимодействовало с чем - то вроде T00. Действительно, инертная масса есть , и если мы хотим, чтобы ускорения были равны для тел любого состава, то сила должна быть тоже ~ T00. Такое взаимодействие противоречит лоренцинвариантности, но можно попытаться взять взаимодействие в виде

(1.98)

где . Для обычного тела и , однако для электромагнитного поля Т=0 и, таким образом, свет вообще не будет взаимодействовать со скалярным полем и отклоняться в таком гравитационном поле.

Это можно показать и несколько иным способом. Тензор истицы можно записать в виде (где s берется в плоском пространстве)

(1.99)

Тогда, учитывая вид лагранжиана взаимодействия скалярного поля с веществом, получаем:


где введен новый интервал . Видно, что в скалярной теории влияние гравитационного поля по-прежнему можно описать как изменение интервала, и траектории тел зависят не от массы, а только от начальной скорости. Однако теперь лучи света остаются прямыми: из ds=0 следует, что и ds= 0, несмотря на включение взаимодействия со скалярным гравитационным полем.

В то время как Эйнштейн работал над тензорной теорией, теорию скалярного типа в эти же годы рассматривал Нордстрем. Его теория, по-видимому, непротиворечива внутренне, но грубо противоречит факту отклонения лучей света вблизи массивных тел.

Рассмотрим векторную теорию, в которой гравитационное поле описывается некоторым 4 - вектором . В квантовой теории поля показано, что взаимодействие векторного поля с частицами и античастицами имеет противоположные знаки. Поэтому если протоны падают в гравитационном поле Земли, то антипротоны должны получать ускорение от центра Земли. Это не так - антипротоны тоже падают! И это доказано прямым экспериментом. Возникают и противоречия с опытом типа Этвеша, так как вблизи ядра есть виртуальные пары электронов и позитронов и последние будут давать отрицательный вклад в вес. Есть и многие другие трудности, так что этот вариант теории совершенно неудовлетворителен.

Перейдем к тензорной теории. Начнем с того, что разделим тензор на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная теория эквивалентна векторной (вспомните электродинамику). Симметричная же теория есть как раз линеаризованная теория Эйнштейна. Она становится нелинейной, если учесть, что гравитационное поле само несет энергию, которая снова порождает поле и так до бесконечности. Заметим сразу, что тензор hik содержит и скалярную компоненту , и положить ее равной нулю нельзя. Поэтому гравитация - это не теория поля со спином 2, а нечто более сложное. Более высокие спины, по - видимому, вообще исключаются: для них никому еще не удалось построить разумного взаимодействия с материей.

Таким образом, из возможных простых теорий (в указанном выше смысле) теории тяготения Эйнштейна - единственно приемлемая. Конечно, можно рассматривать более сложные модели, в которых к полю эйнштейновского типа примешиваются с малой константой другие поля. К такого типа теориям относится, например, теория Бранса и Дикке, где примешивается скалярное поле. Можно также рассматривать геометрии, более сложные, чем геометрия Римана, но опять нужно позаботиться о малости соответствующих поправок. Сейчас мы знаем, что все эффекты, связанные с отличием теории от теории Эйнштейна, отсутствуют на уровне процентов: через 10 лет будем, скорее всего, знать, что их нет и на уровне десятых долей процента.

Методически самой интересной альтернативой, если ее удастся осуществить, была бы теория гравитации с отличной от нуля массой гравитона, . В такой теории не было бы общей ковариантности и, по-видимому, можно было бы определить абсолютную геометрию Минковского. Эмпирически модификации, связанные с , должны быть малы. Вопрос о рассматривался рядом авторов (В. Захаров [28], А. Вайнштейн [29], Дезер [30]), столкнувшихся с определенными трудностями. Последние попытки принадлежат А. Логунову с сотрудниками [31] , в работах которых, кроме того, подчеркивается отсутствие законов сохранения в общей теории относительности.

Означает ли все сказанное, что эйнштейновская теория есть окончательная истина? Конечно, нет! Из мировых постоянных G , и с можно построить универсальную так называемую планковскую длину (Планк указал на ее существование в 1900 г., как только ввел константу ):

(1.100)

Аналогично можно ввести планковское время и планковскую массу:

(1.101)

(1.102)

В эти величины входит и, следовательно, это те расстояния, промежутки времени и значения энергии, при которых квантовые эффекты доминируют - флуктуации метрики становятся порядка самих . Таким образом, на расстояниях и при энергиях неквантованная теория гравитации заведомо неприменима.

Теория обнаруживает патологии и в большом - коллапс, сингулярности, решения с нарушенной причинностью. Таким образом, как и всюду в теоретической физике, общая теория относительности правильно описывает некоторую ограниченную область явлений, а вне нее, видимо, становится неприменимой. Как всегда бывает в подобной ситуации, неясно, каковы на самом деле пределы применимости общей теории относительности; заведомо верны лишь сильные условия - слабые поля, не слишком большие расстояния.

Наконец, в теории Эйнштейна гравитация рассматривалась изолированно от других взаимодействий. Уже в 20 - 30 - е годы Эйнштейн и другие теоретики (Вейль, Калуца и Клейн) пытались объединить гравитацию и электромагнетизм. Один из вариантов, в разработку которого Эйнштейн вложил много сил, как раз исходил из того, что использовались несимметричные, причем симметричная часть описывала гравитацию, а антисимметричная - электромагнетизм. Эти попытки не привели к успеху. Кроме того, еще в 30 - е годы были открыты два новых типа сил: слабые и сильные. В последние десятилетия удалось построить единую теорию электромагнитных и слабых взаимодействий, предсказания которой прекрасно согласуются с опытом, построить принципиально новую теорию сильных взаимодействий (квантовую хромодинамику) и серьезно продвинуться на пути к объединенному описанию всех четырех взаимодействий - сильного, электромагнитного, слабого и гравитационного. В настоящее время исследованием многочисленных вариантов единых теорий занимаются многие теоретики. Такая теория, если она будет построена, укажет соответствующим образом границы применимости общей теории относительности.

Заметим еще, что квантование гравитационного поля в общей теории относительности по каноническим рецептам приводит к трудностям (неперенормируемость).

Последнее замечание. В современной теоретической и математической физике широко принято рассматривать размерность пространства как свободный параметр. Получающиеся игрушечные теории поучительны, часто оказывается, что они находят область применимости. Среди таких игрушек очень занятна гравитация в пространстве размерности (две пространственные и временная координаты) [32]. В таких пространствах нет кривизны, что сразу видно из приводившихся формул. Действительно, число компонент и в этом случае одинаково, поэтому в пустом пространстве из уравнения следует и . Таким образом, геометрия является плоской. Легко получить, что вблизи двумерного тела возникает 2 - геометрия конуса и нечто от тяготения остается.























2 НАБЛЮДАЕМЫЕ ЭФФЕКТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРИБЛИЖЕНИИ СЛАБОГО ПОЛЯ


В предыдущей главе было закончено построение общей теории относительности: найдены уравнения поля и уравнения движения частиц и лучей света в гравитационном поле. В области механики и геометрической оптики - это полная система уравнений.

Более сложной оказывается область явлений, где гравитационное поле можно еще не квантовать, но поля материи (включая свет) надо уже рассматривать квантовым образом. Обсуждению большого круга явлений этого типа посвящена книга [15].

Воспльзуюсь только той частью общей теории относительности, которая содержится в уравнениях (1.66) - (1.69). Пока их достаточно для описания наблюдаемых эффектов. Итак список наблюдаемых (в принципе) эффектов общей теории относительности:

  1. Красное (или голубое) смещение спектральных линий, излучаемых атомами, находящимися в гравитационном поле.

  2. Отклонение луча света в гравитационном поле.

  3. Запаздывание электромагнитных сигналов при их распространении в гравитационном поле.

  4. Прецессия орбит планет.

  5. Геодезическая прецессия гироскопа, увлечение гироскопа вращающимся телом.

  6. Гравитационные волны.

Все перечисленные эффекты (за исключением третьего) были предсказаны уже в первые годы существования общей теории относительности. Эффекты 1,2,4 наблюдались в первое десятилетие существования теории, но если тогда ошибки измерения составляли десятки процентов, то сейчас они находятся на уровне нескольких процентов. Эффект 3 был описан в 60 - е годы и также наблюдался с точностью 10-2. Эффект 5 наблюдать трудно (речь идет о запуске специального спутника с гироскопом на борту), но сомнений в осуществимости опыта и получении его согласия с теорией, кажется, ни у кого нет. Что касается гравитационных волн, то трудно предсказать, когда их удастся непосредственно наблюдать на Земле - сейчас не хватает несколько порядков в точности. Современное положение в этой области освещено в обзоре К. Торна в [33]. Все же считается, что гравитационные волны обнаружены косвенно - наблюдено изменение параметров орбиты одного из компонентов в двойной звезде (пульсар PSR 1913+16), которые монотонно меняются таким образом, что это согласуется с потерей энергии за счет гравитационного излучения.

Все перечисленные эффекты можно рассчитать в рамках теории слабых полей, т.е. по теории возмущений. Для эффектов 1 - 3, 5 вообще достаточно полученного выше выражения для интервала в пределе слабого поля (1.80), для вычисления прецессии орбит нужен следующий порядок теории возмущений. Излучение гравитационных волн также может рассматриваться по теории возмущений.

Более сложна и больше обещает ситуация, где неевклидовость пространства - времени проявляется в полном объеме, - коллапс и эволюция Вселенной в целом.



2.1 Часы в гравитационном поле и красное смещение


Пусть в гравитационном поле по произвольной мировой линии движутся стандартные часы. Под этим мы подразумеваем часы, про которые известно, что они показывают "время Минковского", если они находятся вне гравитационного поля, т.е. то время, которое входит в выражение для интервала частной теории относительности

(2.1)

Очевидно, что атомные часы (синхронизованные атомными колебаниями) есть стандартные часы. Действительно, уравнение эволюции для атома есть уравнение Шредингера

(2.2)

где не зависит от времени и t по определению есть та же переменная, что и в (2.1). Тогда из (2.2) следует, что для данного уровня

(2.3)

где не зависит от t . Атомные часы, в конечном счете, управляются фазой , точнее, разностью фаз при каком-то переходе, причем , зависят только от констант , с , m , α. Выбор единицы времени делается раз и навсегда и определяет стандарт частоты. Из определения следует, что все часы, синхронизованные одним и тем же атомным переходом и покоящиеся в одной системе отсчета частной теории относительности, идут одинаково.

Пусть теперь часы находятся в гравитационном поле. Тогда справедлива очевидная теорема: показываемое часами время определяется соотношением

(2.4)

где интервал берется по мировой линии движения.

Для доказательства рассмотрим в данной точке Р на линии АВ систему координат, скорость и ускорение которой такие же, как у часов. Если даже часы не движутся по геодезической и система не является L - системой, тем не менее, можно ввести в точке Р систему координат хi, для которой

(2.5)

с точностью до членов . Пусть размер часов есть а, тогда с той точностью, с какой можно пренебречь величиной

, (2.6)

можно считать, что часы находятся в плоском пространстве. Это значит, что число периодов, отсчитываемое ими, пропорционально , где - дифференциал времени в выбранной нами системе координат. Иначе говоря, часы отсчитывают время в метрике (2.5), где . По предположению, часы в этой системе покоятся, поэтому . Время, отсчитываемое часами при движении по АВ, есть теперь. Для атомных часов величина a - порядка атомных размеров, но вообще рассуждение справедливо всегда. Если часы движутся по геодезической, то характерным параметром будет уже

(2.7)

Из полученных выше решений для слабых полей видно, что в поле, создаваемом покоящимся в данной системе отсчета телом, интервал имеет вид

(2.8)

причем g00, gαβ не зависят от времени, форма - gαβ положительно определена, компоненты g равны нулю и

(2.9)

Рассмотрим теперь произвольные поля, удовлетворяющие всем этим условиям. Такие поля называются статическими. Допустимы любые преобразования вида

(2.10)

и условие сохраняется при преобразовании (2.10). В теории возмущений . Переменную t в (2.8) назовем мировым временем.

Рассмотрим в поле (2.8) атом, излучающий цуг волн. Время, отсчитываемое в той же точке часами,

. (2.11)

Если - характерная частота колебаний, то измеряемая часами фаза есть . Таким образом, частота , измеренная в мировом времени, равна . Далеко от источников поля при и , как и следовало ожидать.

Покажем, что при распространении волн частота сохраняется. Действительно, из принципа эквивалентности следует, что в гравитационном поле справедливо основное уравнение геометрической оптики - уравнение эйконала:

(2.12)

где S - эйкональная функция, определяющая фазу волны , и для метрики (2.8) , . Так как зависит от t, то решение уравнения (2.12) имеет вид , где не зависит от t (в общем случае, по определению ). В действительности сохранение частоты справедливо и за пределами геометрической оптики - это просто очевидное следствие статичности метрики (во времени t). В силу этого волновое уравнение должно приводить к тому, что число волн, проходящих через любые две точки А и В за равные во времени t интервалы времени должно быть одинаковым - "по дороге" они пропадать не могут, это означало бы нестатичность. Отсюда следует, что волна, излученная атомом, находящимся в точке А гравитационного поля (вблизи массивного тела), будет в мировом времени всюду иметь частоту

(2.13)

в то время как на бесконечности, где частота той же линии перехода будет равна просто . Так как вблизи тел , то частота данной линии уменьшается, если атом находится рядом с массивным телом. Это и называется красным смещением. Можно получить доказательство справедливости условия для любых статических полей [34] .

В слабом поле, учитывая, что получаем:

; (2.14)

Для того чтобы наблюдать этот эффект, нужны массивные тела. Для Солнца . Наблюдения осложнены доплеровским смещением, которое дает сдвиг частоты, в три раза больший. Детальный анализ опытных данных дает:

(2.15)

Для белых карликов эффект возрастает в 10—100 раз, так как их радиус во столько же раз меньше. Например, для спутника Сириуса В:; , для Эридана В: ; .

Однако самые точные измерения проведены на Земле (Паунд и Снайпер). Идея опыта в следующем. Излучатель квантов находился на башне высотой H 20 м, приемник γ - квантов - внизу, так что смещение было фиолетовым. Легко увидеть, что величина смещения определяется формулой


Для измерении использовалось мессбауэровское резонансное поглощение на Fe57. Несмотря на чрезвычайную трудность опыта, была достигнута точность


С середины 70-х годов наступила новая эра для экспериментов по красному смещению. Это связано с развитием стандартов частоты сверхвысокой стабильности порядка 10-1510-16 при временах усреднения от 10 до 100 с и более. Благодаря этому удалось зафиксировать разницу в показаниях часов, совершающих длительный полет на самолете на высоте ~ 104 м с аналогичными часами на поверхности Земли, а также уследить за смещением частоты в зависимости от высоты при запуске водородных мазерных часов на ракете на высоту до 10 000 км. Во всех случаях согласие с предсказаниями общей теории относительности было лучше, чем 1 %.

Переменная времени в статической метрике. При рассмотрении эффекта красного смещения была введена переменную t и названа мировым временем. При этом t определена неявно тем, что интервал имеет вид (2.8), где не зависит от t . Покажем, что этим требованием t определено в данной системе отсчета (при выбранных хα) с точностью до линейного преобразования . Действительно, в случае общего преобразования имеем:


Если хотим, чтобы , то и, следовательно . Из следует, что и . Таким образом, условия, наложенные на , жестко определяют переменную t (с точностью до масштаба и начала отсчета).

Останется ли поле статическим, если перейти к другой системе отсчета? По-видимому, в общем случае это не так. Пространство Минковского однородно, в нем возможны преобразования , при которых . Но при наличии масс, по-видимому, любой переход к другой системе отсчета приводит к зависящим от времени либо (при преобразованиях типа вращений) к появлению - компонент, и метрика становится уже нестатической. Заметим, что статическая метрика - это довольно частный случай. Ее простейшая реализация - поле жестко скрепленных тел. Если тело или тела несферичны, то это поле может быть сложным. Если тела двигаются, то теряется статичность. Уже само движение планет в Солнечной системе нарушает и статичность, и стационарность гравитационного поля, если учесть поле самих планет.

Обсудим, как физически измерить мировое время t в стационарном случае. В метрике (принцип относительности) скорость света, определяемая уравнением зависит, вообще говоря, от направления, но не меняется при изменении направления на противоположное, т.е. , где - единичный вектор в xα - системе. От времени скорость не зависит. Это сразу видно из уравнения для скорости


имеющего вид

,

При таких свойствах путь распространения сигнала из А в В и из В в А одинаков и не зависит от t, а время распространения сигнала из А в В и назад одинаково во времени t. Следовательно, если посылать сигнал из А в В, а потом из В в А, то время его прибытия в В синхронно во времени t с серединой интервала между посылкой и возвращением сигнала в А. Середину интервала можно определить с помощью стандартных часов в А. Таким образом, можно построить сетку одномоментных событий во всем пространстве. Для того чтобы интервалы такой сетки t были равны временному интервалу ∆s стандартных часов ("секунда"), часы, задающие счет, нужно вынести из поля так, чтобы ошибка, вносимая красным смещением, была меньше требуемой точности.

Наглядная интерпретация эффекта красного смещения. Формулировка принципа эквивалентности, данная нами в разделе 1.1, отличается от той, которую дал Эйнштейн. Он хотел избавиться от выделенности инерциальных систем отсчета, и принцип эквивалентности у Эйнштейна - утверждение об эквивалентности всех систем отсчета, как инерциальных, так и неинерциальных, понимаемое как утверждение, что законы природы должны иметь одинаковый вид во всех системах отсчета. Уравнения общей теории относительности действительно так сформулированы, что ими можно пользоваться в любой системе отсчета (локально). Конечно, на самом деле в целом эквивалентности систем отсчета нет. Класс L - систем явно физически выделен, так же как локально выделены геодезические системы координат на поверхности. Фактически мы очень широко пользуемся именно такими системами. Например, когда мы решаем уравнения Эйнштейна для Солнечной системы, то мы вводим систему отсчета, связанную с центром масс Солнца и планет, и говорим, что на бесконечности. В действительности, Солнечная система движется в поле Галактики, вообще говоря, неоднородном, и на бесконечность уйти нельзя. Однако для расстояний r таких, что , где r - гравитационный радиус Солнца, а l - среднее расстояние между звездами в Галактике, система, связанная с центром масс Солнца и планет, становится локально инерциальной, в ней действительно и мы можем при таких i ставить условия на бесконечности.

Посмотрим, с какой точностью можно убрать поле Галактики для планетной системы звезды (конкретно Солнца). Будем считать, что все звезды имеют одинаковую массу M, тогда средняя плотность материи ~M/R3, где R - среднее расстояние между звездами в Галактике, и потенциал (где r - расстояние от центра Галактики, которую для простоты считаем сферической). После перехода в L - систему, связанную с центром масс Солнца и планет, остается член порядка , где а - размер планетной системы. Это надо сравнить с собственным потенциалом Солнца . Отношение этих величин равно . В Галактике R~106 а.е., размер Солнечной системы (орбита Плутона) ~ 102 а.е. Таким образом, точность, с какой систему Солнце - планеты можно считать L - системой, равна 10-12.

Было бы хорошо научиться решать задачи непосредственно в неинерциальных системах отсчета, но пока этого никто не умеет делать. Тем не менее, узкое утверждение о том, что сами уравнения законов природы должны иметь одинаковый во всех системах отсчета вид, в общей теории относительности выполняется.

Если в пространстве Минковского переходить к системе отсчета, движущейся ускоренно или вращающейся относительно инерциальной системы, то . Эйнштейн очень настаивал на том, что такие можно рассматривать не обязательно как проявление ускорения, а и как гравитационное поле. Полной равноправности, конечно, тоже нет. В реальном гравитационном поле тензор и, значит, нетрудно отличить "поле", созданное переходом к неинерциальной системе, от истинного гравитационного поля. Могут быть, однако, эффекты, определяемые непосредственно , в частности, величиной . Здесь, как мы увидим, неинерциальные системы отсчета и реальное поле тяготения эквивалентны. При этом можно, как это делал Эйнштейн, когда у него еще не было точных уравнений гравитационного поля, вычислять эффект в инерциальной системе, выразить через возникающие при переходе в инерциальную систему формулы, а затем перенести их на случай истинного гравитационного поля. При этом, конечно, надо соблюдать некоторую осторожность, так как поля не совсем эквивалентны и можно что-нибудь потерять.

Рассмотрим в качестве примера использования такого метода вывод формулы красного смещения из ранней работы Эйнштейна. Пусть система отсчета К движется по оси x с ускорением a . При t=0, υ=0. Предполагается, что поля гравитации нет. Свободное тело движется относительно К с ускорением -a. Согласно нерелятивистскому приближению к общей теории относительности

(2.16)

или

(2.17)

и разность потенциалов между двумя точками А и В есть , где h - расстояние между точками. Пусть наблюдатель в В регистрирует волну, излученную в А. Пока волна пробежит расстояние АВ, пройдет время h (полагаем c=1). За это время точка В приобретет скорость и за счет доплеровского эффекта наблюдаемая частота возрастет:

(2.18)

Таким образом, мы снова, независимым способом, получили (для слабых полей) формулу красного смещения, так как формула (2.18) тождественна полученной ранее формуле для частот

(2.19)

если в последней перейти к приближению слабого поля.

Из изложенного выше следует, что в системе К . Как знаем, формула (2.19) получается, если (условие стационарности метрики). Таким образом, исходя из принципа соответствия, приходим к тому, что метрика в К имеет вид

(2.20)

(мы не умеем находить с той же точностью неевклидовы добавки к ).

Рассмотрим, с помощью какого преобразования координат можно прийти к виду метрики (2.20). В покоящейся системе

(2.21)

(для простоты полагаем у=z=0). Очевидно, , тогда . Из (2.21) следует, что .

Теперь нужно каким-то преобразованием убрать , член, нарушающий условие стационарности. Очевидно, что для этого нужно ввести другое "время": . Тогда при малых ах легко получить, что условие дает и интервал принимает вид (2.20). Действительно, при малых, а можно ограничиться в преобразованиях членами, линейными по а, разлагая по параметрам ах<<7 и at<<7 и считая, что f мало отличается от единицы. Тогда имеем:

;


Определяя отсюда dt2 и подставляя в выражение для интервала, находим, что член dxdt исчезает при и .

Точность измерения часами собственного времени. Как отмечалось выше, утверждение о том, что часы измеряют собственное время, не обязательно рассматривать как отдельный постулат, его можно вывести, считая:

1) часы есть механизм, устроенный так, что с известной точностью он, находясь в пространстве Минковского, совершает циклические движения с неизменной длительностью цикла;

2) уравнения, относящиеся к механике, оптике или квантовой механике и описывающие часы, общековариантны.

Ниже, обсудим этот вопрос более подробно и покажем, что такая точка зрения позволяет пойти дальше и для любых конкретных часов указать, с какой точностью справедливо утверждение о том, что часы измеряют интервал времени , взятый по их мировой линии от точки А до точки В.

В частности, покажем, что для часов, синхронизованных атомными колебаниями и находящихся на краю Солнца, это утверждение справедливо с точностью 10-80.

Заметим, что уже предположение 1) само не следует рассматривать как постулат. Оно может быть выведено, как только описана конструкция часов и сделано предположение, что законы физики лоренцинвариантны. Действительно, рассмотрим, например, простейшие часы - линейку с зеркалами на концах. Перейдем в систему отсчета, где линейка покоится. Тогда "вещество", из которого она состоит, по основной гипотезе описывается лоренцинвариантными уравнениями (для наглядности, будем говорить - уравнением Дирака, хотя это и не совсем точно, так как кроме электронов есть ядра и задача многочастичная).

В уравнение Дирака входят переменные х, у, z, t - "координаты электронов", "координаты ядер" и время, когда электрон проходит через точку (х, у, z). Кроме того, в него входят постоянные: e - заряд, me - масса, - постоянная Планка и с - скорость света (которую мы положим равной 1). Считая линейку кристаллом, в принципе, можем "рассчитать" ее и получить (уложив линейку вдоль оси x: так, чтобы начало находилось в точке x=0, а конец - в точке х=L), что L выражается через число атомов на ребре линейки п и константы формулой типа , где A - числовая постоянная. Из уравнений Максвелла теперь получим, что "время" t между двумя отражениями импульса света от зеркала в точке х=0 есть , т.е. опять выражается через универсальные постоянные. Таким образом, показали, что наша линейка измеряет координатную длину х, часы - координатное время t .

Теперь можно построить обычную трехмерную сетку из ортогональных линеек и часов, затем, предполагая выполненными уравнения Максвелла, синхронизировать часы и, таким образом, интерпретировать те величины, которые раньше формально входили в уравнения как координаты и время событий.

Пользуясь формальной лоренцинвариантностью уравнений материи, можно теперь перейти в другую систему отсчета, движущуюся со скоростью относительно первой. Координаты x, y, z’, t в этой системе будут связаны со старыми координатами преобразованиями Лоренца.

Пусть теперь наши световые часы движутся со скоростью относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Тогда в системе покоя они измеряют время t1-t2 между нулевым и n отражениями. В силу лоренцинвариантности для любой другой системы отсчета будем иметь:

(2.22)

т.е. мы получили, что наши часы "измеряют интервал".

Пусть теперь световые часы движутся по произвольной мировой линии. Для простоты будем считать, что линейка ускоряется вдоль оси х с постоянным ускорением g. Свяжем с линейкой ускоренную систему отсчета. Тогда на конец линейки в точке L действует потенциал . В результате длина линейки изменится на величину , где - плотность линейки, В - модуль Гука. Теперь уже утверждать, что наши часы показывают то же время S = 2L , можно лишь с той точностью, с какой справедливо условие . Если это условие выполнено, то с этой точностью число отсчетов (отражений) будет пропорционально интегралу

(2.23)

взятому между точками А и В на четырехмерной траектории часов.

Подобные же рассуждения можно провести и для случая общей теории относительности. Будем сначала рассматривать конкретную модель часов. Пусть имеются какие-то часы, движущиеся по мировой линии АВ. Пока не предполагаем, что переменные xi в римановой метрике как - то интерпретированы. Допустим теперь, что вещество, из которого сделаны часы, описывается ковариантными уравнениями. Введем математическую систему координат, движущуюся вместе с часами. Тогда всегда можно выбрать координаты так, что часы размера l будут покоится в течение координатного времени T в начале координат, причем

(2.24)

но . Фактически принимаем мировую линию часов за ось времени, а остальные триортогональные направления принимаем за пространственные оси. С точностью до величин можем теперь считать, что часы находятся в пространстве с метрикой Минковского. Общековариантные, по предположению, уравнения материи переходят в уравнения в плоском пространстве и период ∆T часов (время одного циклического движения) выражается через универсальные постоянные.

В силу (2.24) имеем и, таким образом, снова убеждаемся, что часы измеряют S , а для движения в целом число отсчетов будет пропорционально .

Разумеется, точность будет наилучшей, если часы в общей теории относительности движутся по геодезической, так как в этом случае в системе, связанной с часами, не только , но и . Усмотрим в этом случае конкретную модель часов, а именно часы, синхронизованные атомными колебаниями и падающие в поле Солнца. Для простоты будем говорить о частоте данного уровня для одного электрона. Сам атом рассмотрим в нерелятивистском приближении. Тогда в системе, связанной с ядром, можно считать:

, (2.25)

где в точке, где находится ядро, и при расчете точности наших часов достаточно учесть отклонение от 1 для электрона. Вопрос о том, с какой точностью наши атомные часы измеряют ds , очевидно, эквивалентен вопросу, насколько меняется частота атомного перехода (при выборе времени t) из-за того, что для всего атома. Для вычисления перейдем к уравнению Шредингера, включив в него, кроме атомного потенциала v, потенциал тяготения в системе ядра, . Тогда частота в этой системе определяется из уравнения

(2.26)


hello_html_mb3e894a.png

Рисунок 3. Часы, синхронизованные атомными колебаниями

и падающие в поле Солнца


Выберем начало координат в ядре атома (точка А на рисунок 3). В нерелятивистском приближении . Наряду со штрихованной системой координат, связанной с ядром, понадобится также система, связанная с Солнцем, в которой


Радиус - вектор ядра в этой системе обозначим , а радиус - вектор электрона . Тогда , где rg - гравитационный радиус Солнца. В первом приближении можно пренебречь r и считать . Тогда, вводя

(2.27)

получим, что . Это значит, что , и из уравнения (2.26) фаза

(2.28)

где - атомная частота, выраженная через константы α, me, . Именно фазу, пропорциональную числу периодов, измеряют часы, так что из формулы (2.27) мы вновь получаем формулу для красного смещения.

В следующем приближении получим:


При переходе к системе ядра надо учесть, что ядро движется с ускорением, равным , поэтому переходит в


Как и ранее, убирается переопределением t , так что окончательно для имеем:

(2.29)

Оценим теперь, какова погрешность, вызванная отбрасыванием потенциала . Подставляя имеем:


где . Рассмотрим, насколько сдвинет уровни. В первом порядке по сдвиг уровня n есть , где и Cαβ преобразуется при вращениях как неприводимый тензор второго ранга. Так как для данного уровня других векторов кроме момента Jα нет, то среднее пропорционально величине . Если атом не выстроен, т.е. , то величина поправки равна нулю. Во втором порядке возникает поправка вида


Подставляя явно выражение для и учитывая, что , получаем:

(2.30)

В системе G=1, MO = 1,47 км 1,5105 см. На краю Солнца RO~ 1011 см, a10-8см. Таким образом:

(2.31)

Итак, относительные сдвиги частот (измеренные в собственном времени) составляют величину порядка 10-80, поэтому, когда рассматривая красное смещение, полагаем, что частоты, измеренные в собственном времени, не меняются, то точность этого утверждения очень высока.

Полученная оценка близка к оценке Эддингтона [5]. Его рассуждения таковы. Изменение частоты в собственном времени связано с тем, что пространство не является плоским. Мерой этого является скаляр . Вряд ли может войти еще какая-нибудь величина, кроме a, характеризующая атом. Отсюда из соображений размерности следует, что безразмерный параметр, характеризующий изменение частоты, есть

(2.32)

Неточность рассуждения в том, что на самом деле эффект - не чисто геометрический; существенно еще, насколько "жестки" часы. Это свойство характеризует в нашем случае параметр α. Заранее не известно, в какой степени он войдет, и чем он меньше, тем больше разница в оценках. Рассуждение Эддингтона, разумеется, правильно отражает основную роль величины . Заметим, что для выстроенного атома с неизотропным распределением момента формула (2.32) вообще не годится.



2.2 Искривление луча света в гравитационном поле


Полученный в разделе 1.4 вид метрики (1.80) для случая слабого поля позволяет просто вычислить другой наблюдаемый эффект общей теории относительности - отклонение луча света от прямолинейного распространения в поле массивного тела. Вычисления будем проводить, считая параметр . Тогда уравнение движения луча света приводит в силу (1.80) к выражению для координатной скорости луча:

(2.33)

Хотя t и l не являются обычным временем и расстоянием, можно формально решать задачу об изменении направления луча в среде с зависящей от координаты скоростью. Решение в оптике хорошо известно. Воспользуемся принципом Гюйгенса. Пусть A1,A2 - положение волнового фронта в момент времени t (рисунок 4). По определению, линия фронта нормальна к направлению луча света. Предположим также, что плоскость рисунка есть плоскость симметрии, тогда луч всегда остается в этой плоскости. Через интервал времени t волна из An имеет радиус и положение волнового фронта определяется касательной А1';...Аn’. Угол поворота волнового фронта ∆α , или, что то же самое, угол поворота луча

,


hello_html_m779d42ef.png

Рисунок 4. Искривление луча света в гравитационном поле


где производная берется по нормали к лучу (т.е. по фронту) и угол отсчитывается от луча к нормали. Поскольку , где S - расстояние, пройденное по лучу, то

(2.34)

Пусть луч света был направлен вначале по оси x , и мы хотим вычислить его отклонение. Считая υ~1, из (2.27) имеем:

(2.35)

Отсюда с той же точностью

(2.36)

В Солнечной системе этот эффект крайне мал. Даже на краю Солнца , что соответствует . Вдали от Солнца эта цифра еще меньше. Именно этот факт позволяет нам построить ньютоновскую механику в плоском пространстве: лучи света почти прямые, и астрономы, используя их, методом триангуляции строят, не сталкиваясь с противоречиями, евклидово пространство, в котором движутся планеты, спутники и т.д. При этом последние в основном "чувствуют" - компоненту потенциала, которая есть ньютоновская величина . Это происходит потому, что планеты связаны полем тяготения и для них имеет место теорема вириала . Таким образом, члены типа имеют порядок и пренебрежение ими есть разложение по малому параметру .



2.3 Запаздывание сигналов в поле Солнца и вращающиеся системы координат


Рассмотрим эффект запаздывания сигналов в поле Солнца, тесно связанный с эффектом отклонения луча в поле массивного тела. Пусть с Земли посылается радиоимпульс, который отражается от находящейся в противостоянии Венеры и возвращается, пройдя мимо Солнца на расстоянии , где(рисунок 5).


hello_html_55db3265.png

Рисунок 5. Эффект запаздывания сигналов в поле Солнца


В плоском пространстве время прохождения этого пути в одну сторону равно сумме расстояний Земли и Венеры от Солнца (считается, что с=1). Координатная скорость света υ, отнесенная к мировому времени, определяется формулой (2.33), поэтому время распространения равно


и увеличение этого времени по сравнению с

(2.37)

Здесь - гравитационный радиус Солнца, - прицельный параметр луча.

Заметим, что при сравнении (2.37) с опытом нужна осторожность, так как часы на орбите показывают не мировое время, а собственное. При небольшой точности этим можно пренебречь. Мировое время распространения сигнала tЗВ порядка 2r, где r~rB~rЗ. Интервал t, отсчитанный за это время часами на Земле, равен , поэтому ошибка, которую мы сделаем, считая, что часы показывают мировое время, равна . Это мало по сравнению с тем временем запаздывания , которое хотим измерить, так как .

Эффект отчетливо наблюдался. Изменение времени прохождения сигнала вперед и назад, обусловленное полем Солнца, было равно


Измерения для Венеры и спутников с активным отражением дали для величины значение, близкое к единице (с точностью порядка 1%). В последних экспериментах, проведенных с помощью космического корабля "Викинг", величина ошибки не превышает 0,2% от величины самого эффекта. На сегодняшний день эти опыты представляют собой наиболее точную проверку предсказаний общей теории относительности [13].

Легко видеть, что в действительности рассмотренный здесь тест общей теории относительности и измерения искривления луча света в поле Солнца не независимы. Это не связано с общей теорией относительности, а вытекает из геометрической оптики. Действительно, в оптике справедлива формула (2.34), в которой производная берется по нормали к лучу, α - угол, образуемый лучом с любым фиксированным направлением. Предполагается, что вектор нормали повернут относительно луча на π/2. При υ близких к 1, , , можно получить из (2.34) полный угол отклонения п

(2.38)

где производная берется по нормали к исходному направлению луча, т.е. по прицельному параметру. С другой стороны, время распространения


где S12 - расстояние. Таким образом, изменение времени, связанное с отличием координатной скорости света от единицы, равно

(2.39)

Сравнивая (2.38) и (2.39), видим, что

(2.40)

Итак, если зависимость от известна, то получается дифференцированием по прицельному параметру, и это не зависит от конкретной формы запаздывания. Разумеется, продифференцировав (2.37) по , мы сразу получаем формулу Эйнштейна (2.36).

Вращающиеся системы координат. Рассмотрим вращающуюся в плоском пространстве систему отсчета (диск). В исходном пространстве . Пусть ось z направлена по оси вращения, тогда координаты x, у’, z во вращающейся системе отсчета связаны с x, у, z преобразованием

,

,

(2.41)

где - угловая скорость вращения. Иначе можно записать

(2.42)

Переходя к цилиндрическим координатам с осью z', направленной вдоль оси вращения, и подставляя (2.42) в выражение для ds2, с учетом того, что, получим:

(2.43)

Из выражения (2.43) для интервала сразу видно, что часы в точке идут медленнее, чем в центре. Это - эффект замедления времени частной теории относительности. Можно легко убедиться в том, что если с помощью часов и импульсов света измерять длину окружности на диске, то она получится равной не 2π , а .

Это также очевидно: маленькие стержни, уложенные по кругу, сокращаются по Лоренцу - Фитдджеральду, поэтому их можно уложить больше. Именно с помощью такого мысленного опыта, предложенного, по - видимому Эренфестом, Эйнштейн пришел к выводу, что необходимо перейти к общей геометрии Римана в общей теории относительности.

Следует заметить, что вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояний , чтобы не нарушилось условие . В противном случае скорость вращения становится больше скорости света и систему отсчета нельзя осуществить с помощью реальных тел.





2.4 Прецессия гироскопа


В поле вращающегося тела. Поместим теперь на диске находящийся в кардановом подвесе гироскоп. Он, очевидно, будет вращаться относительно диска с угловой скоростью . Из (2.43) следует, что

(2.44)

где . Из принципа эквивалентности заключаем, что гироскоп, покоящийся в слабом поле с метрикой, содержащей - компоненты, вращается с угловой скоростью (2.44).

Рассмотрим теперь прецессию гироскопа, покоящегося в поле вращающегося тела. Тривиальное вычисление по общим формулам (1.76) для в слабом поле вращающегося тела приводит к следующему выражению для компонент :

, (2.45)

где М - момент импульса тела; - радиус - вектор точки, где находится гироскоп (для получения формулы (2.45) нужно сделать разложение по отношению , где l - характерный размер тела). Подставляя в (2.44), получаем для частоты прецессии

, . (2.46)

Этот эффект носит название эффекта Лензе - Тирринга. Как следует из полученной формулы (2.46), на полюсе и т.е. вращающееся тело увлекает гироскоп. Легко увидеть, что частота прецессии

(2.47)

где - угловая скорость вращающегося тела.

Если считать, что формула (2.47) применима и для случая сильных полей, то получаем, что гироскоп полностью увлекается вращающейся массой, т.е.

(2.48)

Такой же по порядку величины результат получится, если рассматривать массивную оболочку и гироскоп, помещенный внутри нее.

Полученные результаты связаны с очень долгими дискуссиями об относительности (или абсолютности) вращения. Ньютон в "Началах" считал, что вращение абсолютно: если вращаем ведерко вместе с водой, то вода должна подниматься к краям, а если ведерко воды не увлекает, то вода не поднимается, значит, дело не в относительном движении вода - ведро, а в абсолютном движении воды. Мах высказал предположение, что, может быть, если крутить вокруг ведерка всю Вселенную, то вода поднимется. Результат (2.48) в общем говорит в пользу гипотезы Маха, но точно сформулировать его идеи в рамках общей теории относительности не удается. Может быть, это и невозможно сделать. Правда, самого Эйнштейна эти идеи очень стимулировали в поисках полевой теории тяготения.

В гравитационном поле массивного тела. Прецессия гироскопа, движущегося в гравитационном поле массивного тела, называется геодезической прецессией. У такой прецессии есть две причины, и одна из них никак не связана с общей теорией относительности, а есть чисто кинематический эффект частной теории относительности. Оказывается, что в рамках частной теории относительности гироскоп, центр масс которого движется ускоренно , прецессирует даже если в системе покоя отсутствуют силы. Такой эффект называется прецессией Томаса. Он по существу, связан с тем, что преобразования Лоренца с разными направлениями сами по себе не образуют группы ; левая часть отличается от правой на преобразование вращения.

Для того чтобы вычислить угол томасовской прецессии, рассмотрим пространство скоростей в частной теории относительности , точкам которого сопоставим точку, движущуюся со скоростью относительно данной системы отсчета. Для простоты ограничимся двумерным случаем, тогда можно рассматривать плоскость с координатами , . Точка, движущаяся ускоренно, перемещается по кривой (t) в этой плоскости (так называемый годограф). Теперь введем метрику в пространстве , определив расстояние между двумя точками и как относительную скорость соответствующих точек (она, разумеется, не равна ). Вместо координат , удобно ввести в качестве радиальной переменной быстроту с так, что , а в качестве угловой переменной угол . Найдем теперь интервал в пространстве скоростей.

Напомним, что если две системы отсчета движутся со скоростями и , то их относительная скорость равна


(эта формула легко получается, если рассмотреть 4 - скорости систем отсчета и отношению к произвольной системе, а затем считать, что первая система покоится и , а 4 - скорость второй системы . Из инвариантности скалярного произведения вытекает приведенная формула. Таким образом, полагая , находим, что

(2.49)

Пусть , тогда т.е. приращение быстроты есть как раз приращение относительной скорости. Пусть теперь , тогда


В результате для нашего двумерного пространства скоростей приходим к выводу, что

(2.50)

Элементарное вычисление дает для гауссовой кривизны К двумерного пространства с метрикой (2.50) значение . Такое двумерное пространство есть не что иное, как плоскость Лобачевского. В действительности, можно просто определить плоскость Лобачевского как риманово пространство с постоянной отрицательной кривизной, хотя, конечно, сам Лобачевский пользовался другим определением. Ниже будем использовать только те свойства двумерного пространства скоростей, которые вытекают из того, что . Заметим также, что трехмерному пространству скоростей соответствует трехмерное пространство Лобачевского.

В данной точке пространства скоростей можно построить векторы, "находящееся в этой точке" (точнее, в касательном пространстве). В физической терминологии это трехмерные векторы, определенные в системе отсчета, движущейся вместе с точкой А со скоростью .

Рассмотрим теперь малую окрестность А. При малых относительных скоростях, т.е. для точек В, близких к А, справедлив ньютоновский закон сложения скоростей, соответствующий геометрии Евклида в пространстве скоростей (локально всякое риманово пространство евклидово), поэтому параллельный перенос в этом пространстве означает перенос с сохранением направления вектора в смысле механики Ньютона из системы отсчета, движущейся со скоростью у в систему, движущуюся со скоростью .

В принципе, таким образом определенный параллельный перенос относится к любому трехмерному вектору, но вектор углового момента особенно удобен, так как нам не надо думать, как сохранить параллелизм: из ньютоновской механики, которая действует в любой малой окрестности пространства скоростей, следует, что момент сохраняет направление, если на волчок не действует момент сил (на этом основан гирокомпас). Достаточно знать трехмерный момент, определенный в системе покоя волчка

, где .

Пусть центр тяжести волчка движется ускоренно, но момента сил не возникает. Тогда переносится параллельно по годографу. Так как в целом пространство скоростей неевклидово, то вектор будет, вообще говоря, поворачиваться. Здесь, правда, нужно договориться, как определять направление в разных точках годографа. Принятое определение таково: рассмотрим покоящиеся оси в О, соответствующие лабораторной системе отсчета L (0) тогда можно определить сопровождающую систему отсчета L() как систему, полученную чисто, лоренцовским преобразованием без вращения (рисунок 6). Так как бесконечно малое преобразование Лоренца есть преобразование Галилея, то L() получается параллельным переносом L (0) вдоль . Из рисунка 6 видно, что при движении из А в В вектор переносится параллельно вдоль годографа, а систему L()можно получить переносом по АОВ. Поэтому изменение угла α равно повороту вектора при параллельном переносе по контуру АОВ:


hello_html_6aa5a7ba.png

Рисунок 6. Система, полученная лоренцовским

преобразованием без вращения


В нашем случае . Если скорости малы, то можно в первом приближении вычислить площадь SADB в евклидовом пространстве, тогда и . Легко убедиться, что будет иметь правильный знак, если рассматривать это равенство как векторное:

(2.51)

Очевидно, что теперь можно рассматривать и неплоские годографы, используя (153) и суммируя повороты на последовательных участках траектории.

Угол есть, по определению, угол поворота вектора момента, измеренный в сопутствующей системе. Этот поворот возникает при отсутствии внешних пар сил за счет неевклидовых свойств пространства скоростей. Это явление было открыто Томасом в 1926 г. явным рассмотрением соответствующей последовательности лоренцовских преобразований. Частота томасовской прецессии, которую мы обозначим , равна

(2.52)

Заметим, что Томас обнаружил это явление, занимаясь проблемой тонкого расщепления уровней энергии в атомах. До него предполагалось, что тонкое расщепление должно вызываться взаимодействием спина электрона с магнитным полем, возникающим в системе покоя электрона в результате лоренцовского преобразования электрического поля ядра. Легко, однако, убедиться в том, что при этом для энергии взаимодействия получится результат в два раза больший, чем на опыте. Указанное расхождение было большой трудностью для только что родившейся тогда гипотезы о спине электрона. Томас обнаружил, что найденная им прецессия уменьшает энергию вдвое ("томасовская половинка"), так что достигается согласие с опытом. Разумеется, из уравнения Дирака все это вытекает автоматически.

Если волчок движется в гравитационном поле (Земли, например), то угловая скорость томасовской прецессии

(2.53)

Для движения в гравитационном поле к прецессии Томаса добавляется еще эффект, связанный с появлением при момента сил в системе покоя волчка. Этот момент возникает из-за того, что лоренцовские преобразования компонент и в эту систему дают - компоненты, которые, как уже было показано, приводят к возникновению прецессии. Найдем вклад этого эффекта.

Метрика в статическом слабом поле имеет вид

;, ,

где - ньютоновский потенциал. При лоренцовском преобразовании в сопутствующую систему появляются компоненты , так как полагая имеем , где

, ,

откуда


Первое слагаемое полностью определяется временной компонентой метрического тензора , а второе слагаемое содержит вклад от пространственных компонент . Опуская индексы и обобщая на случай лоренцовского преобразования вдоль произвольного направления скорости , находим:

, (2.54)

Поскольку то получаем вклады в угловую скорость прецессии от пространственной части метрики , от временной части метрики . Поэтому окончательно полная угловая скорость прецессии

(2.55)

Выражение (157) для угловой скорости геодезической прецессии содержит три слагаемых. Величина связана с кривизной пространства и имеет поэтому чисто геометрическую природу. Оба других слагаемых и обусловлены величиной . Для это очевидно, a выражается через ускорение , также определяющееся через . Сумма . Этот результат можно легко понять. Обычно эффекты, связанные с , можно свести к эффектам ускорения с помощью принципа эквивалентности. В данном случае это тоже так. Рассмотрим гироскоп на спутнике, движущемся со скоростью и ускорением вокруг Земли. Поместим другой гироскоп на Земле. В системе спутника поля тяготения нет, гироскоп на Земле движется с точки зрения наблюдателя на спутнике со скоростью - и ускорением - под действием внешней силы (давления опоры). Поэтому ось гироскопа на Земле должна с точки зрения наблюдателя на спутнике прецессировать с угловой скоростью


Соответственно наблюдатель на Земле интерпретирует это явление как прецессию гироскопа на спутнике с угловой скоростью , что совпадает с результатом, полученным ранее.

В заключение сделаем численную оценку. Для круговой орбиты радиусом R угол поворота за виток равен

(2.56)

Для спутника на орбите, близкой к Земле, это дает = . Предполагается, что опыт будет поставлен на спутнике, который должен вращаться около года. Число оборотов за год равно примерно , и так как эффект накапливается, то угол отклонения оси гироскопа за год составит ~ 9". Обеспечить стабильность гироскопа с такой точностью, очевидно, нелегко, еще труднее удержать эту точность стабилизации в течение долгого времени. Поэтому подготовка опыта ведется уже более двух десятилетий. Формула (2.55) была получена в 1921 г. Фоккером. При выводе этой формулы существенно были использованы результаты работ [35, 36].


2.5 Точное решение уравнений общей теории относительности для центрально-симметричного поля и прецессия орбит


Нам осталось рассмотреть еще один классический эффект общей теории относительности - прецессию перигелия планеты в поле центральной звезды массой m. Легко увидеть, что для этого необходимо знать метрику поля, создаваемого центром притяжения, с точностью лучшей, чем та, которая дается первым порядком теории возмущений (1.76).

Траектория пробного тела единичной массы получается из вариационного принципа

(2.57)

В ньютоновском приближении , , и из формулы (2.57) после разложения корня приходим к нерелятивистскому уравнению движения, дающему кеплеровскую орбиту. Если хотим найти следующее приближение, то нужно учесть, что для замкнутой траектории в силу теоремы вириала . Нерелятивистское приближение соответствует учету членов порядка . В следующем порядке должны учесть как члены порядка , так и члены порядка ()2. Если представить метрику в виде



Разлагая корень, нужно учесть члены порядка и ()2:

;

Несколько небрежно можно сказать, что прецессия перигелия возникает из-за трех причин: кривизны трехмерного пространства, наличия члена, пропорционального γ, в метрике и эффектов частной теории относительности, приводящих к появлению члена (он появился бы даже для свободной частицы из-за релятивистской зависимости массы от скорости).

Выше отмечалось (разделе 1.4), что член, пропорциональный γ, связан с нелинейностью гравитационного поля. Поэтому явление прецессии перигелия уникально - оно позволяет непосредственно проверить нелинейность теории Эйнштейна, существенно отличающую ее от теории Ньютона.

Решить задачу о прецессии перигелия можно двумя путями: либо по теории возмущений (как это сделал впервые Эйнштейн), либо найдя сначала точное решение для метрики сферически симметричного тела, найденной Шварцшильдом. Зная решение Шварцшильда, можно затем с его помощью вычислить прецессию перигелия, а также и все другие уже обсуждавшиеся выше эффекты общей теории относительности.

Вариационный принцип для уравнений общей теории относительности. Рассмотрим точное решение уравнений общей теории относительности в пространстве, окружающем массивное тело - так называемое решение Шварцшильда. С помощью найденного решения получим затем выражение для прецессии орбиты планеты в поле массивной звезды.

Одним из способов получения решения Шварцшильда является непосредственное использование вариационного принципа, из которого следуют уравнения общей теории относительности. Этот вопрос представляет и самостоятельный интерес.

Прежде всего, следует записать вид действия для гравитационного поля и материи. Будем искать полное действие в виде

(2.58)

Для определенности материю будем считать пылевидной, тогда

(2.59)

есть сумма действий для материальных частиц массой . Такое выражение для одной частицы уже использовалось для получения уравнений движения материальной точки в гравитационном поле (1.6). Действие уже содержит взаимодействие частицы с гравитационным полем, и введение особого члена для взаимодействия в полное действие излишне.

Рассмотрим действие для самого гравитационного поля. Оно должно быть выражено в виде инвариантного относительно любых координатных преобразований интеграла, взятого по четырехмерному пространству. Уравнения гравитационного поля должны содержать производные от потенциалов поля не выше второго порядка. Роль потенциалов при этом играют компоненты . Так как уравнения поля получаются варьированием действия, то подынтегральное выражение в должно содержать производные от не выше первого порядка. Таким образом, для построения можно использовать только тензор и величины . Однако из одних только этих величин нельзя построить скаляр (например, путем выбора системы координат можно обратить все величины в данной точке в нуль).

Но в нашем распоряжении есть римановский скаляр R , который, как известно, является инвариантом, поэтому можно рассмотреть действие в виде

(2.60)

На первый взгляд, такое выражение не годится, так как оно содержит вторые производные от . Однако эти вторые производные входят в R линейно, так что, интегрируя по частям, можно от них избавиться. Поэтому действие (2.60) фактически удовлетворяет поставленным условиям.

Найдем теперь вариацию , считая независимыми переменными компоненты . Так как

; ,

то

(2.61)

Вычислим вариацию . Так как , то , где - соответствующий минор. С другой стороны, и компоненты обратного тензора , откуда . Таким образом,


Отсюда


Поэтому первые два члена в имеют вид


Покажем теперь, что


Рассмотрим подынтегральное выражение в некоторой точке. Введем в ней геодезическую систему координат , , . Тогда


Можно внести под знак дифференцирования, в результате


Величина в скобках является настоящим вектором , так как является настоящим тензором, потому что она определяет разность вариаций для произвольного вектора в метриках и , взятую в одной точке. Поэтому вектор определен в любой системе координат (его можно подвергать обычным преобразованиям). Следовательно, в произвольной координатной системе и


где . Учитывая, что


имеем:


Теперь вернемся к нашему интегралу


Преобразуя его в интеграл по трехмерной поверхности, получаем, что он равен нулю, если на этой поверхности, т.е. если на этой поверхности. Таким образом, окончательно

(2.62)

Полное действие , по определению, обладает свойством , что и должно приводить к уравнениям Эйнштейна. Из (2.62) видно, что вариация действительно соответствует левой части этих уравнений. Рассмотрим теперь и покажем, что эта вариация выражается через тензор энергии-импульса материи. Вид зависит от того, как описываем "материю" - это может быть электромагнитное поле, "пыль" частиц, поле Дирака и т.д. Ограничимся простейшей моделью, представляя материю в виде пыли, т.е. совокупности невзаимодействующих массивных частиц, движущихся по геодезическим. Действие для одной частицы нам известно:


Тогда

,

а для совокупности частиц имеет вид (2.59) и

(2.63)

Рассмотрим пучок мировых линий частиц. Выделим в этом пучке трубку с поперечным сечением (рисунок 7), где сечение ортогонально к центральной линии. Заметим, что пространство четырехмерно, a - трехмерный (пространственный) элемент объема в системе покоя частицы, движущейся по мировой линии АВ. Действительно, сечение образовано линиями, перпендикулярными АВ, поэтому проекция четырехмерной скорости, взятой в сечении , в это трехмерное пространство равна нулю. Величину можно понимать, например, как объем в локально геодезической системе координат.


hello_html_66043900.png


Рисунок 7. Пучок мировых линий частиц


Введем плотность , тогда


Геометрически, очевидно, что величина есть инвариантный объем элемента трубки, так что в произвольных криволинейных координатах


Тогда

, .

Переходя к контравариантным компонентам , имеем:

(2.64)

где - обычный тензор энергии - импульса пылевидной материи.

Подставляя формулы (2.62) и (2.64) в полную вариацию действия, приходим к уравнениям гравитационного поля


Видим, что при вариационный принцип приводит к уравнениям Эйнштейна. Таким образом, эти уравнения и постулат, что , где S имеет вид

, (2.65)

эквивалентны.

Для других моделей материи нужно действовать таким же образом. Наиболее удобно принять формулу (2.64) за определение тензора энергии - импульса. При этом нужно показать, разумеется, что так определенный тензор удовлетворяет ковариантному закону сохранения. Удобство такого метода определения тензора в том, что оно, как сразу видно, приводит к симметричному тензору . При этом автоматически получаются уравнения Эйнштейна.

Действие гравитационного поля можно преобразовать к такому виду, чтобы под интегралом содержались бы члены только с первыми производными . Подставляя в явное выражение для скалярной кривизны, получим:


Интегрируя по частям первый член этого выражения, находим:


Воспользуемся вспомогательными формулами, которые легко выводятся из определения символов Кристоффеля:

; . (2.66)

Тогда

,

.

После подстановки этих выражений в и всех сокращений действие принимает стандартный вид (действие в форме Палатини):

, (2.67)

содержащий только первые производные от .

Сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна. Ниже будем искать явный вид для сферически симметричного поля в пустом пространстве, применив способ Вейля [3], заключающийся в том, чтобы использовать выражение для действия (2.67), записав сразу через функции, описывающие интервал, соответствующий сферически симметричному полю, и сохранив условие симметрии при варьировании. Это приводит непосредственно к дифференциальным уравнениям для поля.

Рассмотрим поле, создаваемое статическим сферически симметричным распределением материи в области вне этой материи. Сферическую симметрию можно определить, сказав, что если поместить источник в начале координат О, то можно ввести координаты х1, x2, x3 так, что ds2 будет переходить сам в себя при преобразованиях, имеющих вид евклидовых вращений. Заметим, что переменные х1, x2, x3, конечно, не имеют смысла декартовых координат в евклидовом пространстве. Можно, однако, представить себе, что отображаем физическое пространство на евклидово, получая в последнем карту первого. Тогда вращения в физическом пространстве отобразятся во вращения в евклидовом пространстве, т.е. в преобразования обычных координат х1, x2, x3 не изменяющих величины обычного расстояния. Из этого определения следует, что в сферически симметричном статическом случае интервал должен иметь вид

(2.68)

Действительно, пусть рассматриваются близкие точки Р и Р, такие, что ;. Тогда имеются только два вектора и (в изображающем евклидовом пространстве), из которых можно сконструировать два и только два квадратичных по скаляра ()2 и и один скаляр, не содержащий , , откуда и следует (2.68). Заметим, что "векторы" следует рассматривать как находящиеся в изображающем пространстве, где нет понятия ко- и контравариантных векторов, поэтому не нужно требовать ковариантной формы от выражений, подобных (2.68), и это не приведет к противоречиям, так как система координат уже зафиксирована.

Из (2.68) видно, что

, (2.69)

Можно подвергнуть координаты преобразованию вида . Проделав это преобразование с подходящей функцией , можно добиться, чтобы b=1. Тогда окончательно метрика примет вид

,

; (2.70)

и выразится через две неизвестные функции "радиуса".

Для вычисления необходимо найти компоненты , соответствующие метрическому тензору . Пространственные компоненты символов Кристоффеля равны


Далее


Собирая все члены, находим:

(2.71)

Теперь необходимо поднять индекс так как в формулу (2.67) входят . Такое поднятие осуществляется с помощью метрического тензора : . Найдем компоненты этого тензора и правило действия его на компоненты . Для этого заметим, что есть собственный вектор :

, (2.72)

где

. (2.73)

Формула (2.72) определяет правило действия на . Умножая (2.72) на получаем:


откуда

(2.74)

что определяет действие на . Кроме того, , так как .

Используя формулу (2.74), находим, что

. (2.75)

Так как рассматривается статический случай, то . Другие компоненты равны:

, , (2.76)

,

.

Полученные величины нужно теперь подставить в . Для упрощения выкладок воспользуемся сферической симметрией задачи и вычислим в точке , , . Тогда, как следует из формул (2.75) и (2.76), отличны от нуля будут только следующие компоненты :

, , ,

. (2.77)

Компоненты метрического тензора в этом случае равны:

, . (2.78)

Следовательно,


Так как ,

а также ,

то

.

Вводя и , запишем окончательно действие в виде

. (2.79)

Уравнения гравитационного поля получаются из условия . Прежде чем производить вариацию, учтем, что предполагаем заранее существование статического решения, т.е. . Поэтому сразу можно работать на классе вариаций, для которых . В этом случае условие при , при котором выше была доказана эквивалентность вариационного принципа и уравнений тяготения, на первый взгляд нарушено. Очевидно, однако, что эта эквивалентность сохраняется, так как если , то вклады от поверхностей и , возникающие при интегрировании по частям, сокращаются. Заметим, что аналогичное рассуждение применимо в классической механике. Здесь для системы с распределенным параметром условие приведет в статическом случае к условию , где - плотность потенциальной энергии.

Итак, вариационный принцип запишется для статического случая в виде

( 2.80)

Заметим, что функция d (2.73) имеет простой смысл, если перейти к сферическим координатам r, , , определив их соотношениями , , . В изображающем пространстве это обычные сферические координаты. Рассмотрим вид пространственной части интервала в этих координатах. Для радиальных смещений имеем:

.

Для смещений ортогональных к , величина и

.

В общем случае

. ( 2.81)

Таким образом, для перемещений на сфере элемент длины имеет евклидову форму, что связано просто с нашим выбором r, а d(r) определяет длину радиальных элементов dr.

При варьировании надо иметь в виду, что функции a(r) и d(r) независимы и могут варьироваться независимо. Любые две функции от а и d независимые друг от друга, также могут рассматриваться при варьировании как независимые. Удобно выбрать в качестве варьируемых функций и .

Варьируя по u, находим:


Варьируя по , находим:


Следовательно, , .

Линейно меняя шкалу времени , можно изменить a(r) на постоянную величину, следовательно, можно положить и . Таким образом,

, .

Постоянная c1 находится из сравнения с ньютоновским пределом, где в системе единиц , . Отсюда , и получаем окончательное решение в виде

. (2.82)

Это точное решение уравнений гравитационного поля Эйнштейна, справедливое в области вне сферически симметричного распределения масс, было найдено К. Шварцшильдом в 1916 г. Соответственно метрика (2.82) именуется метрикой Шварцшильда.

При получении этого результата были использованы следующие предположения:

1) сферическая симметрия распределения вещества, создающего гравитационного поля;

2) существование статического решения ;

3) отсутствие в метрике членов с .

Как показал Биркгоф, предположения 2) и 3) есть следствия уравнений Эйнштейна, если справедливо 1). Поэтому, в частности, полученное решение верно и для изменяющегося распределения масс, если только оно остается сферически симметричным (радиально пульсирующая звезда). Может показаться, что пульсирующая звезда должна излучать гравитационные волны, терять энергию и массу, и тогда т, входящее в (2.82), должно меняться. Теорема Биркгофа показывает, что это не так, и связано это с тем, что сферически симметричный источник не может излучать гравитационные волны, так же как он не может излучать и электромагнитные волны.

Сразу же отметим, что шварцшильдовская метрика имеет особенность при . Эта сингулярность несущественна, если размеры звезды достаточно велики. Например, для Солнца , а . На краю Солнца , а дальше нужно искать уже решение с учетом того, что находимся в "почти ньютоновской" ситуации внутри него. В этом случае (для однородного распределения вещества) , потенциал внутри Солнца меньше, чем на краю, и никаких сингулярностей, конечно, нет. Сингулярность может проявиться только тогда, когда радиус тела меньше, чем . В этом случае решение Шварцшильда станет неприменимым при . Отложим обсуждение вопроса о том, как продолжить решение Шварцшильда на область , до второй части книги. Там же обсудим и другие свойства метрики Шварцшильда.

Прецессия орбит в поле Шварцшильда. В заключение рассмотрим вычисление движения тел в шварцшильдовом поле и получим выражение для упоминавшегося выше эффекта прецессии орбит планет.

Уравнение движения пробного тела в поле Шварцшильда можно получить из вариационного принципа. Действие для пробной частицы единичной массы имеет вид

, (2.83)

где - определяется формулой (2.82).

Введем собственное время так, что . Тогда

(2.84)

Производя независимым образом варьирование по переменным t, , , получим:

, (2.85)

, (2.86)

. (2.87)

Варьирование по оставшейся переменной r излишне, так как справедливо уравнение связи , т.е.

. (2.88)

Из формулы (2.87) сразу вытекает, что движение пробного тела в поле Шварцшильда плоское. Действительно, выбрав в начальный момент времени , , в силу (2.87) получим, что это будет верно и при любых , так как при все производные рекуррентно выражаются через

Таким образом, полагая , находим, что уравнения (2.85) и (2.86) будут иметь решения

, . (2.89)

Подставляя (2.89) в (2.88), приходим к первому интегралу уравнений движения

. (2.90)

Введем новую переменную. Тогда

,

и уравнение (2.90) принимает вид

. (2.91)

Смысл постоянных c1 и c2 можно понять, сравнив (2.91) с аналогом этого соотношения в ньютоновском пределе. Как известно, законы сохранения энергии и момента при движении пробного тела с m=1 в гравитационном поле массивного тела записываются в ньютоновском приближении в виде

, . (2.92)

Отсюда, после замены , находим:

. (2.93)

Очевидно теперь, что при выполнении неравенства (предел слабого поля) константы c1 и c2 в (2.91) должны переходить в соответствующие константы в (2.93), т.е. , .

Если хотим теперь получить поправку к ньютоновскому закону движения, следует рассматривать слагаемое как малую добавку и заменить (2.91) на

. (2.94)

Дифференцируя (2.94) по , приходим, таким образом, к уравнению траектории в слабом шварцшильдовском поле :

. (2.95)

В нулевом (ньютоновском) приближении соответствующее уравнение имеет вид

, (2.96)

и его решение, как известно, есть

(2.97)

(эллиптическая орбита).

Ищем теперь следующее приближение к форме траектории, оставляя справа в уравнении (2.95) только "резонансный" член, , который и приводит к смещению перигелия орбиты. Тогда

. (2.98)

Решение уравнения (2.98) ищем в виде , где , - медленно меняющиеся функции . Подставляя в (2.98), получим, удерживая слева только главные члены:

,

откуда , и, следовательно,


Окончательно траектория с точностью до членов порядка имеет вид

. (2.99)

Используя то, что добавка к невозмущенной траектории мала ( если планета не сделала слишком много оборотов), можно переписать полученный результат в виде

. (2.100)

Это означает, что период по равен не (как в ньютоновской теории), а т.е. то же самое значение r повторится не при , а при , и радиус вернется к своему значению (скажем, соответсвующему перигелию) при положении радиус - вектора, повернутом относительно старого вектора перигелия на угол . Поворот (прецессия) после n - го витка будет

(2.101)

Оценим поворот за один виток для орбиты, близкой к круговой. Тогда , (в силу теоремы вириала) и

. (2.102)

Как видно, величина прецессии определяется параметром , характеризующим постньютоновские эффекты общей теории относительности, т.е. отклонения предсказаний общей теории относительности от ньютоновской механики. Напомним, что хотя этот параметр входит в в первой степени, на самом деле прецессия перигелия - эффект второго порядка по , как было пояснено выше.

Из (2.102) видно, что , поэтому эффект больше всего для внутренних планет Солнечной системы. Оценим прецессию перигелия Меркурия. Подставляя км и период обращения года, получаем для прецессии за 100 лет / столетие. Для более точного вычисления надо учесть эксцентриситет орбиты. Несложные выкладки дают:


(2.103)

Используя стандартные значения км, , лет, км (в следующем знаке уже появляется ошибка из-за неточности в определении гравитационной постоянной G), 1 рад = =, получаем:

(2.104)

Имеющиеся данные наблюдений дают по последним обработкам: ; .

Видим, что опыт совпадает с теорией с точностью в 1%. Заметим еще, что угол рад на оборот при км соответствует линейному смещению в 3 км/об. или 12 км/г. Длительные радиолокационные измерения делают вполне возможным измерение расстояния до планет с большой точностью. Радиолокация Меркурия привела к результатам, совпадающим с предсказаниями общей теории относительности с точностью порядка 10%.

Сделаем несколько замечаний по поводу прецессии Меркурия.

  1. Наблюдаемая прецессия орбиты Меркурия, на самом деле, гораздо больше - порядка . Это связано с действием планет Солнечной системы. Такое явление было хорошо известно уже в прошлом веке и может быть рассчитано в рамках ньютоновской механики. Расчеты показали, что остается неустранимый остаток (в работе Эйнштейна 1915 г. говорится о необъяснимом остатке ). Расхождение между теорией и наблюдениями считалось несомненным и вызывало большое беспокойство специалистов по небесной механике.

  2. Координаты , , в которых проводились вычисления прецессии перигелия, были определены чисто формально как координаты, возникающие при наложении определенных условий на метрику. В то же время при сравнении теории с наблюдениями эти координаты отождествляют с евклидовыми переменными. Верно ли это? Ответ очевиден: верно, но с определенной точностью. Действительно, найдя движение лучей света в этой же метрике, мы получим стандартный угол отклонения луча , где r - прицельный параметр. С такой точностью геометрия световых лучей в Солнечной системе является евклидовой (для Меркурия r - радиус орбиты). На первый взгляд, это тот же параметр, который входит в величину , так что эти два эффекта одного порядка. Однако, угол накапливается со временем, в то время, как угол α - нет. Поэтому если для одного оборота ошибка порядка 1, то за 100 лет (400 оборотов Меркурия) она будет порядка 0,2%. Разумеется, ничто не мешает, в принципе, сделать совместный расчет движения планеты и световых лучей и, вообще, сформулировать ответ на языке локальных на