Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПІ КӨМЕГІМЕН ШЕШІЛЕТІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ

ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПІ КӨМЕГІМЕН ШЕШІЛЕТІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПІ КӨМЕГІМЕН ШЕШІЛЕТІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ


Набиев Руслан Кайырбекович

ruslan_nabiyev@mail.ru

Л. Гумилев атындағы ЕҰУ-нің Механика-математика факультетінің магистранты, Астана, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – Ж. Муканов


 Дирихле принципі екі жиын арасындағы қатынасты өрнектейді. Бұл принциптің бірнеше тұжырымдамасы бар. Ең негізгісі келесі: «Егер n ұяшықта m қоян отырса, әрі m˃ n, онда кемінде бір ұяшықта аз дегенде екі қоян отырады». Дирихле принципі кері жору әдісімен жеңіл дәлелденеді. Осы принципке негізделген есептердің кейбіреулерін де кері жору әдісімен шешуге болады, бірақ барлығын емес. [1]

Бір қарағанда, осы бір айқын (қарапайым) сөйлемнің есептерді (тіпті әртүрлі есептерді) шешуде көп қолданылатын математикалық әдіс екенін түсіну қиын. Оның себебі, әрбір берілген есепте «қоянның» орнында не, ал «ұяшықтың» орнында не тұрғанын аңғару оңай емес. Және де неге «қояндар» «ұяшықтардан» көп болуы тиіс. «Қояндар» мен «ұяшықтарды» таңдау айқын болмайды. Тіпті есептің шартына қарап, Дирихле принципі қолданылатынын да анықтау әр кез мүмкін бола бермейді. Бұл әдістің басты артықшылығы бізге есептің сындарлы (конструктивті) емес шешімін береді (яғни, біз ұяшықтардың не екенін білеміз, бірақ олардың қай жерде тұрғанын жиі көрсете алмаймыз); сындарлы дәлелін көрсету үлкен қиындық туғызады.[1]

Дирихле принципінің өзге де тұжырымдамаларын қарастырайық:

«n ұяшықта m қоян отырсын, әрі n ˃m, онда кемінде бір бос ұяшық табылады»;

«Егер m қоян n ұяшықта отырса, онда [m/n] – нен кем емес қояндар отырған ұяшық табылады, сонымен қатар [m/n] – нен артық емес қояндар отырған ұяшық та табылады»;

«Егер m қоян n килограмм шөп жесе, онда қандай да бір қоян [m/n] килограммнан кем емес шөп жеді, және де қандай да бір қоян [m/n] килограммнан артық емес шөп жеді (егер біреулері орташадан көп жесе, онда біреулері орташадан аз жейді)» (үзіліссіздік принципі);

«Егер nk+1 қоян n ұяшыққа орналастырылса, онда k+1 қоян орналасқан бір ұяшық табылады (n, k – натурал сандар)» (жалпыланған принцип).[3]

Кейбір есептер Дирихле принципіне ұқсас тұжырымдармен дәлелдене береді. Сондай тұжырымдар (барлығы кері жору әдісімен дәлелденеді):

  1. Егер ұзындығы 1-ге тең кесіндіде ұзындықтарының қосындысы 1-ден үлкен бірнеше кесінді жатса, онда олардың кемінде екеуінің ортақ нүктесі бар;

  2. Егер радиусы 1-ге тең шеңберде ұзындықтарының қосындысы 2π-ден үлкен бірнеше доға жатса, онда олардың кемінде екеуінің ортақ нүктесі бар;

  3. Егер ауданы 1-ге тең фигура ішінде аудандарының қосындысы 1-ден үлкен бірнеше фигура жатса, онда олардың кемінде екеуінің ортақ нүктесі бар.[1]

 Дирихле принципі қолданылатын есептерді қарастырайық.

1-есеп. 12 бүтін сан берілген. Осы сандардың ішінен айырмасы 11-ге бөлінетін екі санды таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.

1.Шешуі: Сандарды «қоян» деп алайық. Олар 12 болғандықтан «ұяшық» одан аз болуы қажет. «Ұяшықтар» - бүтін санды 11-ге бөлгенде қалатын қалдықтар болсын. Барлық «ұяшық» 11 болады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Онда Дирихле принципі бойынша 2 «қоян» отырған «ұяшық» табылады, яғни қалдықтары тең екі сан табылады. Ал, қалдықтары бірдей екі санның айырмасы 11-ге бөлінеді. [4]

(hello_html_67cd9549.gif)


2-есеп. Жазықтық 2 түске боялған. Бір-бірінен 1 метр қашықтықта орналасқан және бірдей түске боялған екі нүкте әрқашан табыла ма?

2.Шешуі: Түс екеу болғандықтан нүктелер саны екеуден көп фигураны қарастыру қажет. Қабырғасы 1 метрге тең дұрыс үшбұрышты мысал ретінде қарастыру қолайлы болады. Оның 3 төбесі бар. Төбелерін «қоян», ал түстерді «ұяшық» десек, онда 3 ˃ 2. Демек, Дирихле принципі бойынша бірдей түспен боялған және бір-бірінен 1 метр қашықтықта орналасқан үшбұрыштың 2 төбесі табылады.[1]

3-есеп. Орманда миллион шырша бар. Олардың әрқайсысындағы инелер саны 600 000-нан аспайтыны белгілі. Орманда инелер саны бирдей болатын екі шырша табылатынын дәлелдеңдер.

Шешуі: Шыршалар – «қояндар», ал шыршадағы инелер саны: 0, 1, 2, 3, ..., 600000 – «ұяшықтар» болсын. «Ұяшықтар» саны 600001, ал «қояндар» 1000000. Мұнда «қояндар» «ұяшықтардан» әлдеқайда көп. Онда Дирихле принципі бойынша қандай да бір «ұяшықта» кем дегенде екі «қоян» болады. Яғни, бір «ұяшықта» екі «қоян» отырса, онда бұл шыршалардағы инелер саны бірдей. [1]

4-есеп. Студенттер жатақханасындағы би кешіне 36 қонақ келді. Жатақханадағы бөлмелер саны 42 болса, бірде бір қонақ келмеген бөлме барын дәлелдеңдер.

Шешуі: Бөлмелерді – «ұяшықтар», ал қонақтарды – «қояндар» деп белгілеп, келесі теңсіздікті аламыз: 36 ˂ 42. Онда Дирихле принципі бойынша кем дегенде бір бос «ұяшық» табылады, яғни қандай да бір бөлмеге ешбір қонақ келмейді. [1]

5-есеп. Мектепте 33 сынып, 1150 оқушы бар. Оқушылар саны 35-тен кем сынып бар болады ма?

Шешуі: Әр сыныпта 35-тен кем емес оқушы бар болсын делік. Онда мектептегі барлық оқушы саны 35·33 = 1155 –тен кем болмауы тиіс. Ал, бұл есептің шартына қайшы келеді. Демек, мектепте оқушы саны 35-тен кем сынып бар болады. [1]

6-есеп. Сыныпта 29 оқушы бар. Шығарма жазғанда Набиев Руслан 13 қате, ал қалғандары одан аз қате жіберді. Сыныпта қателер саны бірдей болатын кем дегенде 3 оқушы табылатынын дәлелдеңдер.

Шешуі: Қателер санын: 0, 1, 2, ..., 11, 12 «ұяшықтар», ал 28 оқушыны (Руслансыз) «қояндар» деп белгілеп, келесі теңсіздікті аламыз: 28 ˃ 13·2 + 1. Дирихле принципінің жалпыланған түрін қолданып, кем дегенде 3 оқушыда қателер саны бірдей екенін аламыз.

7-есеп. Өлшемі 8х8 шахмат тақтасына Заңғар 14 фигураны қойып шықты. Бірде бір фигура қойылмаған 2х2 өлшемді шаршы табылатынын дәлелдеңдер. (Фигуралар 1х1 өлшемді шаршылардың ішінде орналасады).

Шешуі: 8х8 шахмат тақтасы өлшемі 2х2 болатын 16 шаршыларға бөлінеді. Сонда 16 «ұяшық» және 14 «қоян» - фигура болады. 16 ˃ 14 болғандықтан, кем дегенде бір «ұяшық» бос болады. [1]

8-есеп. Жоғарғы оқу орнында оқыған 5 жыл ішінде студент 31 емтихан тапсырды. Әр жылы алдыңғы жылға қарағанда көп емтихан тапсырып отырды. Бесінші курста тапсырған емтихан саны бірінші курста тапсырған емтихан санынан 3 есе көп. Төртінші курста неше емтихан болды?

Шешуі: Студенттің бірінші курста тапсырған емтихан саны х болсын. Онда оның екінші курста тапсырған емтихандар саны (х + 1) – ден кем емес, үшінші курста емтихан саны (х + 2) – ден кем емес, төртінші курста емтихандар саны (х + 3) – тен кем емес. Екінші жағынан, бесінші курста тапсырған емтихандар саны 3х, демек, төртінші курста (3х – 1) –ден көп емес, үшіншіде (3х – 2) –ден көп емес, ал екіншіде (3х – 3) –ден көп емес емтихандар тапсырды. Онда жалғыз бүтін шешімі х = 3 болатын келесі теңсіздіктер жүйесін аламыз: hello_html_m322d5411.gif . Онда студент бесінші курста 9 емтихан тапсырды, сәйкесінше, төртінші курста тапсырған емтихандар саны 8-ден көп емес. Егер ол төртінші курста 7 емтихан тапсырған болса, онда барлық емтихан саны 3 + 5 + 6 + 7 + 9 = 30 –дан аспайды. Демек, студенттің төртінші курста тапсырған емтихандар саны 8. [1]


Келесі есептерді де жоғарыдағы есептер секілді Дирихле принципін қолданып, шешімдерін табуға болады.

9-есеп. 20-дан аспайтын әртүрлі 11 натурал сан берілген. Осы сандардың ішінен біреуі екіншісіне бөлінетін екі сан таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер. [4]

10-есеп. 1-ден 50-ге дейінгі натурал сандардың ішінен біреуі екіншісінен екі есе көп болмайтындай етіп ең көп дегенде неше санды таңдап алуға болады? [2]

11-есеп. Салмақтары 370 кг, 372 кг, 374 кг, 376 кг, 378 кг, ..., 464 кг, 466 кг, 468 кг болатын 50 тасты үш тонналық 7 жүк көлігімен алып кетуге болады ма? [1]

12-есеп. Бағдат тақтаға кез келген екеуінің қосындысы 100-ге тең болмайтындай етіп әртүрлі 55 екі таңбалы санды жазғысы келді. Ол ойын іске асыра ала ма?

13-есеп Хоккей сайысына 5 команда қатысады. Әрқайсысы бір-бірімен ойнап шығуы қажет. Сайыстың кез келген кезеңінде ойнаған ойын саны бірдей болатын екі команда табылатынын дәлелдеңдер. [2]

Дирихле принципі ұғымының ауқымы кең екенін келесі мақалаларда жазылады. Дирихле принципі сандар теориясындағы бірнеше теоремаларды дәлелдеулерде қолданылады. Сонымен бірге, ұзындықтар мен аудандарға, графтар теориясы және комбинаторика элементтерімен байланысты есептерді шешу мен дәлелдеулерде Дирихле принципінің тұжырымдамаларын қолдануға болады болады.


Пайдаланылған әдебиеттер

  1. А. В. Фарков «Олимпиадные задачи по математике и методы их решения»

Москва, «Народное образование» 2003. 5-11, 49-55 беттер

  1. А.В.Летчиков «Принцип Дирихле: задачи», учебное пособие

Ижевск, 1992. 8-бет

  1. Википедия

  2. Ырысбек Мәуітұлы, Математика олимпиадаларына дайындық бастамалары, 5-7 сынып, әдістемелік құрал, Астана 2013


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 11.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров409
Номер материала ДБ-118627
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх