Дисциплина ЕН.01 Математика. Дифференциальные уравнения. Тематический обзор.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  «НИЖЕГОРОДСКИЙ ТЕХНИКУМ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА»

Дисциплина ЕН.01 Математика

Преподаватель Малова А.Н.

Дифференциальные уравнения 

I.  Дифференциальные уравнения первого порядка....................................................................................... 2

1.1 Основные понятия и определения.......................................................................................................... 2

1.2 Задача Коши............................................................................................................................................. 3

1.3 Задачи для самостоятельной работы..................................................................................................... 3

II. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка................................................................. 4

2.1 Повторение............................................................................................................................................... 4

2.2 Проверка домашнего задания................................................................................................................. 4

2.3 Решение дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производной y  f (x)..... 4

2.4 Задачи для самостоятельного решения................................................................................................. 5

III.  Интегрирование дифференциальных уравнений с разделёнными переменными............................... 5

IV.  Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.......................... 6

V. Упражнения для самостоятельной работы................................................................................................. 6

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

I. Дифференциальные уравнения первого порядка. 

1.1 Основные понятия и определения

При изучении интегрального исчисления функций одной переменной мы сталкивались с необходимостью отыскать неизвестную функцию по её производной или дифференциалу.

Уравнение y  f (x) или dy  f (x)dx(*), где у – неизвестная функция от х,  а f (x) - заданная функция, является простейшим дифференциальным уравнением. Для его решения, т.е. для отыскания неизвестной функции у, нужно проинтегрировать данную функцию f (x). При этом, как известно, мы получим бесчисленное множество функций, каждая из которых будет удовлетворять условию (*). Обозначим через   f (x)dx какую-либо одну первообразную функции f (x). Тогда любое решение уравнения (*) запишется в виде  у  f (x)dxС .

Гораздо чаще приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида. Именно эти уравнения, помимо производной y и переменной х, может входить и сама неизвестная функция у. Например,

y  х²у  0 , y _ ^у , хy  у  х .   х d^у

Заменяя y через     , можно эти самые уравнения переписать в д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й dх

форме: dy  x²ydx  0, xdy ydx 0, xdy(x  y)dx  0.

О п р е д е л е н и е 1 . Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её первую производную. 

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной. 

Мы будем рассматривать только такие уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одного аргумента. Такие уравнения называются обыкновенными.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается так: F(x, y, y)  0. В частных случаях в левую часть могут не входить х или у, но всегда обязательно входит y. Нам придётся в основном иметь дело с уравнениями, разрешёнными относительно производной, т.е. вида y  f (x, у) . О п р е д е л е н и е 2 . Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е.

обращающая уравнение в тождество, называется решением (или интегралом) этого уравнения, а сам процесс нахождения решения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Простой проверкой легко убедиться, что уравнение y  ^у имеет решениями функции у  Сх , а х

уравнение y   ^у - функции  y  ^С , где С – любое число. (Убедитесь в этом самостоятельно).  х    х

Уравнение y  ^{у  х} имеет решениями функции у  xlnx Cx . В самом деле, найдя х

производную                   у  (xlnx Cx)  lnx 1C и подставив её в уравнение, получим тождество

lnx 1 C  xlnx  Cx  x .

x

Как мы видим, в решения приведённых дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная С; придавая ей различные значения, мы будем получать разные решения. Сделаем следующий вывод, не приводя доказательства:

Любое дифференциальное уравнение y  f (x, у) бесчисленное множество решений, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную. Эту совокупность решений будем записывать так: у (х,С).

1.2 Задача Коши.

Различают общие и частные интегралы или решения дифференциального уравнения.

О п р е д е л е н и е 3 . Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется совокупность его решений, определяемая формулой у (х,С), где С – произвольная

постоянная.

Придавая произвольной постоянной С определённые числовые значения, мы будем получать частные решения (интегралы).  

Нахождение решения у  у(х) дифференциального уравнения первого порядка y  f (x, у) , удовлетворяющее дополнительному условию у(х₀)  у₀ (**), где х₀ и у₀  - заданные числа, называется задачей Коши. Условия (**) называются начальными данными или начальными условиями.

Геометрически каждому частному интегралу дифференциального уравнения соответствует плоская линия, его график, которая называется интегральной кривой этого уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых. dy

Пример. Решите задачу Коши для дифференциального уравнения   2x  3при начальных условиях dx х₀  1 и у₀  1 ( у(1)  1).

Р е ш е н и е . Представим данное дифференциальное уравнение в виде dy  (2x 3)dx, откуда после интегрирования получаем общее решение у  х²  3х  С . Подставляем начальные условия в общее решение: 1131С , С  5. Решение поставленной задачи Коши имеет вид у  х²  3х 5.

О т в е т . у  х²  3х 5.

1.3 Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Решите задачи – «синонимы» задачи Коши, которые решали при изучении темы «Первообразная и интеграл»:

1) Для функции f (x)3x2 найдите первообразную, график которой проходит через точку М (-2; 3); 2) Найти функцию f (x), если f (x)  3х² 1  и f (1)2.

Задача 2. Проверьте, что данная функция является интегралом (решением) данного дифференциального уравнения: 1) у х , 2уу 1; 2) у  Сe^2x , y 2y  0.

Задача 3. Найдите общее решение простейших дифференциальных уравнений: 

1) y  2x  2; 2) y  3x²  2x 3; 3) y  2x²  3e^2x.

II.      Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. 

2.1 Повторение

1.      Правила интегрирования и дифференцирования

2.      Формулы интегралов и производных        Материал должен быть перед глазами!

3.      Методы интегрирования

2.2 Проверка домашнего задания

Задача 1. Решите задачи – «синонимы» задачи Коши, которые решали при изучении темы «Первообразная и интеграл»:

2) Найти функцию f (x), если f (x)  3х² 1  и f (1)  2.

3

Р е ш е н и е .  1) f (x)  3х² 1, f (x)3 ^х хС , f (x)  _х³  х  С ;

3

2)     f (1)  2, 11С  2, С  4

3)     f (x)  х³  х  4. О т в е т . f (x)  х³  х  4.

Задача 2. Проверьте, что данная функция является интегралом (решением) данного дифференциального уравнения:  2) у  Сe^2x , y 2y  0.

Р е ш е н и е .  1) у  Сe^2x , у  (Сe^2x)  С(e^2x)  C (2e^2x)  2Ce^2x ; 2) y 2y  0, 2Ce^2x  2Ce^2x  0- верно.

О т в е т . Функция у  Сe^2x является интегралом уравнения y 2y  0.

Задача 3. Найдите общее решение простейших дифференциальных уравнений: 3) y  2x² 3e^2x. ² 3e^2x, dy  2x² 3e^2x, dy  (2x² 3e^2x)dx , 

Р е ш е н и е .  1) y  2x 

dx

2) y  (2x² 3e^2x)dx  2x²dx3e^2xdx  2 x33 3 12e2x C  23 x3  32e2x C .

                    П р о в е р к а . y  (2 x³  3e^2x  C)  3х²  3 2e^2x  0  2x² 3e^2x - верно.

                                                                        3                    22

О т в е т . y  2 x³  3e^2x C .

                                                        3       2

2.3 Решение дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производной y  f (x)

d^у

Шаги решения: 1) dх  f (x), 2) dy  f (x)dx, 3)  dy   f (x)dx, 4) у  f (x)dxС , 5) y  F(x)C .

Задача Коши (нахождение частного решения, удовлетворяющего начальным условиям) у(х₀)  у₀.

dy

Задача1. Решите задачу Коши для дифференциального уравнения      2x  3при начальных условиях dx

х₀  1 и у₀  1 ( у(1)  1). (см. занятие от 13.04.2020)

2^х

Задача 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение у ^ 1 х₂ . Найти частное решение уравнения при условиях у(0)  2

Р е ш е н и е 1. Найдём общее решение уравнения у  1 2^х 2 . 1) dydx  1_2^х_х2 ; 2) dy  12_^хdx_х2 ; 

_{ х}

3)  dy  12^хdx2 ; 4) y  ^₁²_^xdx_x2  C ; 5) y  ln1 x² C .

_{ х}

^12_xdxx2  ^ dtt  lnt . При интегрировании применили метод замены переменной: 1 x2  t , d(1 x²)  dt , 2xdx dt.

2. Найдём частное решение уравнения: у(0)  2, ln1 0 C 2, 0C2, C2, следовательно, частное решение имеет вид y  ln1 x²  2.

О т в е т . y  ln1 x²  2.

2.4 Задачи для самостоятельного решения 

Решите задачу Коши для дифференциального уравнения и сделайте проверку:

1. 1)  y  6x² 8x 1, y(1) 3; 2) y  3e^2x  2x , y(0)3; 

                               1                                                            ^{         }          

3) y    x , y(1)1; 4) y  3cos_3х _{        } , _{y }1,5. x                     3         6 

                                        4х                                          e2x

2.  1) у  2  х₂ , у(0)  2; 2)  у  e_2x  ₃ , у(0) 1. (метод замены переменной)

3.  y(x1)cosx , у()  2. (метод интегрирования по частям)

III.     Интегрирование дифференциальных уравнений с разделёнными переменными

Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными имеет вид  f (x)dx g(y)dy  0,

где f (x) и g(x) - коэффициенты при dx и dy - являются непрерывными функциями соответственно только х или только у. В этом случае дифференциальное уравнение можно интегрировать почленно. 

Общий интеграл дифференциального уравнения 

 f (x)dx g(y)dy  C .

Пример.         Проинтегрировать    дифференциальное   уравнение      x²dx  (y 1)dy  0    и найти интегральную кривую, проходящую через точку (0; 1).

Р е ш е н и е . 1). Интегрируя почленно данное уравнение, получаем  x²dx(y 1)dy  C. Общий

                                                                                                                                   х3           у2

интеграл дифференциального уравнения принимает вид              у  С .

                                                                                                                                    3      2

2)  Полагая х = 0, у = 1, находим 0   1 С, С   .

2х 

3)  Искомая интегральная кривая определяется уравнением х3  у2  у  3 , или           3                      3у2  6у  9.

                                                                                                                                          3       2            2

О т в е т . 2х³  3у²  6у  9.

IV.     Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Уравнение P(x, y)dxQ(x, y)dy  0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P  и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:  f₁(x) f₂(y)dx g₁(x)g₂(y)dy  0.

В таком уравнении путём деления его членов на f₂(y) g₁(x) переменные разделяются: 

f₁(x) dx_ g₂(y) dy _ 0_. g₁(x) f₂(y)

После разделения переменных, когда каждый член уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

                                                                                                       f (x)            g (y)

_ g₁₁(x)dx _{ f}2_2(y)dy  C .

Пример. Найти общий интеграл уравнения (1 x²)dy  (xy  2x)dx  0 .

Р е ш е н и е . 1) Преобразуем данное уравнение следующим образом: (1 x²)dy  x(y  2)dx  0,

разделим переменные данного уравнения, деля его обе части на (1 x²)(y  2): y^dy 2 _ 1^xdx x₂  0.

                                                                                  dy           xdx

V.      Упражнения для самостоятельной работы 

Проинтегрируйте дифференциальные уравнения и сделайте проверку

1)         2xdx2ydy  0;        4) y²dy  (1 2x)dx  0;

2)         (x  2x³)dx  (y  2y³)dy  0;          5) xdy ydx;

3)         0;      xy)dx(x  xy)dy  0; dx dy          6) (y

                                                                                             7) (xy²  x)dx  (y  x²y)dy  0.

Краткое описание документа:

Тематический обзор темы "Дифференциальные уравнения" предназначен для обучающихся СПО по дисциплинам ЕН.01 Математика, Элементы высшей математики. Рассматриваются решения дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной, с разделёнными и разделяющимися переменными. Материал может быть использован для самостоятельного изучения.