Дискриминант. Что это такое?

Дискриминант. Что это такое?

Учитель математики

ОБОУ ЦДО «Новые технологии»

Носикова О.В.

Великая книга природы написана

математическими символами

Галилей

            Сегодня хочется поговорить о дискрименанте. Казалось бы — что о нем можно сказать? Все знают эту формулу наизусть и умеют применять. Но...Очень важно не натаскивать детей, а давать базовые знания. Необходимо не просто давать формулы, а объяснять детям, откуда эти формулы берутся. Возьмем формулу дискриминанта. Она дается детям в готовом виде и почти никто не объясняет, как ее можно вывести. Данное объяснение  поможет решить квадратное уравнение в случае, если ребенок забыл формулу дискриминанта.Рассмотрим квадратное уравнение . Выносим первый коэффициент а за скобки. . Нам необходимо выделить в скобках полный квадрат. Для этого умножим второй коэффициент на 1, представленную в виде 2/2. Мы можем это сделать, так как умножение на единицу не поменяет наше выражение. Получим: . Прибавляем 0, записанный в виде -. . Аналогично прибавление нуля не изменит выражение. Имеем:. Свернем полный квадрат по формуле квадрата суммы.  У нас получится выражение . Числитель второй дроби обозначим буквой Д — это и есть дискриминант. Наше произведение   равно нулю, если выражение в скобках будет равно 0. Становится понятно, что все зависит от знака дискриминанта — уменьшаемое положительно, так как квадрат всегда больше, либо равен 0, знаменатель вычитаемого положителен по той же причине.

Рассмотрим три случая.

            Дискриминант меньше нуля. Из неотрицательного выражения вычитаем отрицательное - результат положительный.Если Д отрицательно, то рассматриваемая нами скобка строго положительна и никогда нулю равняться не может. Поэтому решений нет.

            Дискриминант равен нулю. Тогда вычитаемое , следовательно должно равняться нулю. Получаем, что есть решение .

            Дискриминант больше нуля. Тогда выражение положительное число и его можно представить как (воспользовались тем, что корень квадратный из Д - это такое число, квадрат которого равен Д). Тогда уравнение будет иметь вид

. Получилась разность квадратов *=0. Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0. Откуда  х₁== и  х₂==. В итоге мы пришли к уравнению вида а(х-х₁)(х-х₂)=0, где  х₁  и х₂ корни, которые мы нашли. Таким образом, формула нахождения корней через дискриминант доказана.

Теперь поговорим о нахождении корней по теореме Виета.

Если раскрыть скобки в уравнении  а(х-х₁)(х-х₂)=0, получим: =0. Но это тоже самое, что и уравнение . Отсюда получаем, что =b, =c. Пришли к формулам:; .

Источники:

Сборник задач по высшей математике. Д.Т.Письменный -М.:Айрис-пресс,2008. - 576 с.

Борис Трушин https://www.youtube.com/watch?v=6wUcOhBCFlw