Доклад на тему: "Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически"

Полякова О.Л.

Доклад

ОСОБЕННОСТИ Построения графиков функций

заданных неявно и параметрически

Из курса математического анализа известен стандартный алгоритм исследования явно заданных функций (область определения; множество значений; четность – нечетность; асимптоты; периодичность; нули; экстремумы; интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости; точки перегиба). При параметрическом или  неявном  задании функции существует ряд специфических особенностей, отличающих построение графиков этих функций. Рассмотрим эти особенности на примерах.

Пример 1. Построить график функции  [2, с. 126].

Сначала строим графики функций  и  соответственно в системах координат  и .

Рис. 1 а)	Рис. 1 б)

Учитывая графическое изображение функций  и , исследуем функцию  по схеме [3].

1)   Область определения функции: .

2)    Множество значений функции: .

3)     Таккак - функция общего вида, а - нечетная функция, то симметрииграфик не имеет.

4)     При исследовании функции заданной параметрически, необходимо найти

особые точки (точка  особая точка кривой, если ) и определить их вид.

Пусть, - первая отличная от нуля производная и - первая из производных, не коллинеарных вектору . Тогда если:

§   - нечетное,  - четное – образ кривой в окрестности точки  имеет такой же вид, как и в окрестности регулярной точки;

§   - нечетное,  - нечетное – точка является точкой перегиба;

§   - четное,  - нечетное – точка  называется точкой возврата первого рода (рис. 1а);

§   - четное,  - четное – точка  называется точкой возврата второго рода (рис. 1б) [2, с. 114].

Рис. 2 а)

Рис. 2 б)

Точка  является особой точкой кривой, так как производные первого порядка:  равны нулю при . Определяем тип особой точки, для этого вычисляем вторую и третью производные:

Таким образом, точка  – точка возврата первого рода.

5)   Точки самопересечения находим из условия , решая систему:

.

Так как , значит, кривая не имеет точек самопересечения.

7)   Угловой коэффициент касательной:

.

При  и при , т.е. в точках с координатами , и  касательные параллельны оси абсцисс; при , т.е. в точке с координатами  касательная параллельна оси ординат.

8)   Экстремумы функции и интервалы монотонности.

Точка  – точка минимума; точки ,  – точки максимума; при  и при  функция убывает; при , и при  функция возрастает.

9)   Интервалы выпуклости и точки перегиба. Так как вторая производная

отлична от нуля, следовательно кривая не имеет точек перегиба; при  и при  кривая выпукла вверх; при  и при  кривая выпукла вниз.

10)Асимптоты.

Прямая  является наклонной асимптотой, т.к.

; .

Прямая  наклонная асимптота, так как при , ,  и .

Прямая  - вертикальная асимптота, т.к. при .

Горизонтальных асимптот кривая не имеет.

11)       График функции (рис. 3):

Рисунок 3 - График функции

При исследовании и построении графика функции заданной неявно также определяют особые точки кривой.

Точка  кривой  называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям:

Если в особой точке  производные второго порядка  не равны одновременно нулю, тогда точка  является двойной точкой кривой, причем форма кривой у ее двойной точки зависит от знака определителя

.

Возможные случаи изображены на рисунке [1, с. 271]:

Рис. 4 а)  узловая точка	Рис. 4 б)  изолированная точка	Рис. 4 в)  точка возврата первого рода

Рис. 4 г)  точка возврата второго рода	Рис. 4 д)  точка самокасания

Пример 2. Построить график функции  [1, с.182].

1)   Область определения находим, решая уравнение:

Откуда, область определения первой ветви , второй ветви -

2)   Кривая симметрична относительно координатных осей.

3)   Точки пересечения кривой с осями координат:

4)     Асимптоты. Горизонтальных и вертикальных асимптот кривая не имеет, так как коэффициенты при высших степенях  и постоянные величины. Наклонные асимптоты находим из условия:

,

приравнивая к нулю коэффициенты при , . Получаем  и  - наклонные асимптоты искомой кривой.

5)   Особые точки:

Точка  является особой двойной точкой, так как  и производные второго порядка в этой точке одновременно не равны нулю. Т.к.  точка с координатами  узловая точка.

Найдем касательные к кривой в особой точке, для этого приравняем к нулю коэффициенты при низших степенях:

,

Таким образом, прямые  и  – две касательные к кривой в особой точке.

6)   Координаты точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс, найдем, решив систему:

.

В точках ,   касательные параллельны оси абсцисс. Исследуем их на экстремум. Так как  в точке , то в ней функция  не имеет экстремума. Так как произведение

в точке с координатами  принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точках с координатами  произведение , следовательно это точки минимума.

Координаты точек, в которых касательные параллельны оси ординат, найдем, решив систему:

.

В точках с координатами , касательные параллельны оси ординат. Исследуем их на экстремум. Так как  в точке , то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

в точке с координатами , принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точке с координатами  – минимум, так как произведение .

7)   Точкиперегиба находим, приравняв к нулю вторую производную:

,

очевидно, точка перегиба.

8)   График функции (рис. 5):

Рис. 5 - График функции

Исследовать кривую – значит выявить совокупность важнейших свойств, дающих исчерпывающую информацию для изображения графика этой кривой. В целом, алгоритм исследования параметрических и неявно заданных функций совпадает с алгоритмом исследования функций заданных явно. Однако, существуют следующая специфическая особенность отличающая исследование этих функций от функций заданных явно, заключающаяся в нахождении особых точек и точек самопересечения.

При исследовании параметрических функций часто возникают сложности при определении точек перегиба и промежутков вогнутости, так как это исследование требует нахождения второй производной функции, которая представляет собой громоздкое выражение и решить уравнение  точными методами не удается, необходимо прибегать к численным методам. Аналогичные сложности возникают и при исследовании неявно заданных функций: из-за сложных выражений второй производной определять точки перегиба приходится методом подбора (интуитивно) или же не определять вовсе.

Библиографический список:

1.      Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. – Киев: Наук. думка, 1979. – 320 с.

2.      Райхмист Р. Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М., «Высшая школа», 1991. – 160 с.