Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Доклад на тему: "Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически"

Доклад на тему: "Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Полякова О.Л.

Доклад

ОСОБЕННОСТИ Построения графиков функций

заданных неявно и параметрически


Из курса математического анализа известен стандартный алгоритм исследования явно заданных функций (область определения; множество значений; четность – нечетность; асимптоты; периодичность; нули; экстремумы; интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости; точки перегиба). При параметрическом или неявном задании функции существует ряд специфических особенностей, отличающих построение графиков этих функций. Рассмотрим эти особенности на примерах.

Пример 1. Построить график функции hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m24803b97.gif [2, с. 126].

Сначала строим графики функций hello_html_51a2da41.gif и hello_html_m25766ba8.gif соответственно в системах координат hello_html_59719c5c.gif и hello_html_m3f0ddb4e.gif.

1 а) hello_html_526f9400.gif

Рис. 1 б) hello_html_68114b38.gif

Учитывая графическое изображение функций hello_html_51a2da41.gif и hello_html_m25766ba8.gif, исследуем функцию hello_html_157a3af2.gif по схеме [3].

  1. Область определения функции: hello_html_4d7cc894.gif.

  2. Множество значений функции: hello_html_m2065e396.gif.

  3. Такhello_html_m53d4ecad.gifкак hello_html_m2c0f1640.gif- функция общего вида, а hello_html_1ac28709.gif- нечетная функция, то симметрииhello_html_m53d4ecad.gifграфик не имеет.

  4. При исследовании функции заданной параметрически, необходимо найти

особые точки (точка hello_html_m67756d73.gif особая точка кривой, если hello_html_6e30f098.gif) и определить их вид.

Пусть, hello_html_96807f9.gif- первая отличная от нуля производная и hello_html_m4412e6d5.gif- первая из производных, не коллинеарных вектору hello_html_7dbce19e.gif. Тогда если:

  • hello_html_m6157f7a5.gif- нечетное, hello_html_m65e0fa69.gif - четное – образ кривой в окрестности точки hello_html_4d4f8984.gif имеет такой же вид, как и в окрестности регулярной точки;

  • hello_html_m6157f7a5.gif- нечетное, hello_html_m65e0fa69.gif - нечетное – точка hello_html_4d4f8984.gifявляется точкой перегиба;

  • hello_html_m6157f7a5.gif- четное, hello_html_m65e0fa69.gif - нечетное – точка hello_html_4d4f8984.gif называется точкой возврата первого рода (рис. 1а);

  • hello_html_m6157f7a5.gif- четное, hello_html_m65e0fa69.gif - четное – точка hello_html_4d4f8984.gif называется точкой возврата второго рода (рис. 1б) [2, с. 114].

Рис. 2 а)

hello_html_5bf1cf14.png

Рис. 2 б)

hello_html_3a5801a7.png


Точка hello_html_68401c95.gif является особой точкой кривой, так как производные первого порядка: hello_html_5d0de97.gif равны нулю при hello_html_m8f81e58.gif. Определяем тип особой точки, для этого вычисляем вторую и третью производные:

hello_html_330c4e3f.gif

Таким образом, точка hello_html_68401c95.gif – точка возврата первого рода.

  1. Точки самопересечения находим из условия hello_html_m5e59f041.gif, решая систему:

hello_html_m44eddaf3.gif.

Так как hello_html_3422bf3d.gif, значит, кривая не имеет точек самопересечения.

  1. Угловой коэффициент касательной:

hello_html_1f9dabe3.gif.

При hello_html_b3de66d.gif и при hello_html_65e343e7.gif, т.е. в точках с координатами hello_html_68401c95.gif, hello_html_119fe9b5.gifи hello_html_7bba5cbb.gif касательные параллельны оси абсцисс; при hello_html_1bdf22e4.gif, т.е. в точке с координатами hello_html_m10718494.gif касательная параллельна оси ординат.

  1. Экстремумы функции и интервалы монотонности.

Точка hello_html_4573c0ed.gif – точка минимума; точки hello_html_119fe9b5.gif, hello_html_7bba5cbb.gif – точки максимума; при hello_html_26c918a9.gif и при hello_html_206453f2.gif функция убывает; при hello_html_m50397384.gif, hello_html_m3d1add08.gifи при hello_html_459a2e8d.gif функция возрастает.

  1. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Так как вторая производная

hello_html_78beaf8f.gif

отлична от нуля, следовательно кривая не имеет точек перегиба; при hello_html_m33148dd6.gif и при hello_html_612b3eed.gif кривая выпукла вверх; при hello_html_m712152ec.gif и при hello_html_459a2e8d.gif кривая выпукла вниз.

  1. Асимптоты.

Прямая hello_html_78b4b8f2.gif является наклонной асимптотой, т.к.

hello_html_m24b7fdba.gif; hello_html_m764f0ef8.gif.

Прямая hello_html_m783a530e.gif наклонная асимптота, так как при hello_html_mca11bf7.gif, hello_html_32b6fa50.gif, hello_html_16638c80.gif и hello_html_5371ae45.gif.

Прямая hello_html_4ebda731.gif вертикальная асимптота, т.к. при hello_html_67e33c97.gif.

Горизонтальных асимптот кривая не имеет.

  1. График функции (рис. 3):

hello_html_m59c81f9b.png

Рисунок 3 - График функции hello_html_32d676a1.gif

При исследовании и построении графика функции заданной неявно также определяют особые точки кривой.

Точка hello_html_m5ce3f75a.gif кривой hello_html_m52dcb487.gif называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям:

hello_html_5babe0ed.gif

Если в особой точке hello_html_m5ce3f75a.gif производные второго порядка hello_html_m418bf7d5.gif не равны одновременно нулю, тогда точка hello_html_m5ce3f75a.gif является двойной точкой кривой, причем форма кривой у ее двойной точки зависит от знака определителя

hello_html_27b03f9c.gif.

Возможные случаи изображены на рисунке [1, с. 271]:

а) hello_html_3bf11be5.gif узловая точка

Рис. 4 б) hello_html_m138bcb7e.gif изолированная точка

Рис. 4 в) hello_html_581dc89.gif точка возврата первого рода


4 г) hello_html_581dc89.gif точка возврата второго рода

Рис. 4 д) hello_html_581dc89.gif точка самокасания


Пример 2. Построить график функции hello_html_m6881509f.gif[1, с.182].

  1. Область определения находим, решая уравнение:

hello_html_7dc0ba08.gif

Откуда, область определения первой ветви hello_html_289756c7.gif, второй ветви - hello_html_216c4a57.gif

  1. Кривая симметрична относительно координатных осей.

  2. Точки пересечения кривой с осями координат:

hello_html_51595e47.gif

  1. Асимптоты. Горизонтальных и вертикальных асимптот кривая не имеет, так как коэффициенты при высших степенях hello_html_m18d94308.gif и hello_html_3a09f22e.gifпостоянные величины. Наклонные асимптоты находим из условия:

hello_html_m4cf688e3.gif,

приравнивая к нулю коэффициенты при hello_html_m402f8911.gif, hello_html_m5884f23d.gif. Получаем hello_html_m355eddec.gif и hello_html_m3dae7647.gif - наклонные асимптоты искомой кривой.

  1. Особые точки: hello_html_m3b183fea.gif

Точка hello_html_m5c176014.gif является особой двойной точкой, так как hello_html_m355769c0.gif и производные второго порядка в этой точке одновременно не равны нулю. Т.к. hello_html_m1c63a2ff.gif точка с координатами hello_html_m5c176014.gif узловая точка.

Найдем касательные к кривой в особой точке, для этого приравняем к нулю коэффициенты при низших степенях:

hello_html_5d68e4b0.gif,

Таким образом, прямые hello_html_12c60c79.gif и hello_html_633b62d8.gif – две касательные к кривой в особой точке.

  1. Координаты точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс, найдем, решив систему:

hello_html_m6493eb27.gifhello_html_4917f1d9.gif.

В точках hello_html_m5c176014.gif, hello_html_4aa1a815.gif hello_html_54e72464.gif касательные параллельны оси абсцисс. Исследуем их на экстремум. Так как hello_html_m1e2d187c.gif в точке hello_html_m5c176014.gif, то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

hello_html_m59a3e594.gif

в точке с координатами hello_html_m5a4510ea.gif принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точках с координатами hello_html_5223f89a.gif произведение hello_html_6c0dd310.gif, следовательно это точки минимума.

Координаты точек, в которых касательные параллельны оси ординат, найдем, решив систему:

hello_html_4c7a4b81.gifhello_html_13174e22.gif.

В точках с координатами hello_html_m5c176014.gif, hello_html_29082b4b.gifкасательные параллельны оси ординат. Исследуем их на экстремум. Так как hello_html_69f9d4fe.gif в точке hello_html_m5c176014.gif, то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение

hello_html_7d0394c8.gif

в точке с координатами hello_html_3c5d78ce.gif, принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точке с координатами hello_html_1740cd30.gif – минимум, так как произведение hello_html_62b1d7cf.gif.

  1. Точкиhello_html_m53d4ecad.gifперегиба находим, приравняв к нулю вторую производную:

hello_html_m64edd2d1.gif,

очевидно, hello_html_58c08fcf.gifточка перегиба.

  1. График функции (рис. 5):

hello_html_m2588cf90.png

Рис. 5 - График функции hello_html_498b61f1.gif


Исследовать кривую – значит выявить совокупность важнейших свойств, дающих исчерпывающую информацию для изображения графика этой кривой. В целом, алгоритм исследования параметрических и неявно заданных функций совпадает с алгоритмом исследования функций заданных явно. Однако, существуют следующая специфическая особенность отличающая исследование этих функций от функций заданных явно, заключающаяся в нахождении особых точек и точек самопересечения.

При исследовании параметрических функций часто возникают сложности при определении точек перегиба и промежутков вогнутости, так как это исследование требует нахождения второй производной функции, которая представляет собой громоздкое выражение и решить уравнение hello_html_m7f8c36c8.gif точными методами не удается, необходимо прибегать к численным методам. Аналогичные сложности возникают и при исследовании неявно заданных функций: из-за сложных выражений второй производной определять точки перегиба приходится методом подбора (интуитивно) или же не определять вовсе.

Библиографический список:

  1. Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. – Киев: Наук. думка, 1979. – 320 с.

  2. Райхмист Р. Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М., «Высшая школа», 1991. – 160 с.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 31.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров131
Номер материала ДБ-302779
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх