Доклад на тему:
СПОСОБЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ И
БЫСТРЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Учитель математики
Фазылова Эмине Серверовна
2019
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 2
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПРИЕМЫ. 2
1.1 Прием, основанный на
знании законов и свойств арифметических действий. 2
ГЛАВА 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ПРИЁМЫ... 2
2.1 Приём округления. 2
2.2 Прием перестановки
слагаемых или перестановка сомножителей. 2
2.3 Прием замены одного
действия другим. 2
2.4 Приём умножения на
5, 50, 500. 2
ГЛАВА 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ
СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.. 2
3.1 Умножение на 11
числа, сумма цифр которого не превышает 10. 2
3.2 Умножение чисел на
111 ,1111 , 11111 и т. д. 2
3.3 Умножение чисел на
22, 33,… ,99. 2
3.4 Умножение на
двенадцать по Трахтенбергу. 2
3.5 Умножения чисел 37 и
77. 2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 2
Формирование вычислительных умений и
навыков традиционно считается одной из самых «трудоемких» тем. Вопрос о значимости
формирования устных вычислительных навыков не является весьма дискуссионным в
методическом плане. Широкое распространение калькуляторов ставит необходимость
тщательной отработки навыков вычисления под сомнение, поэтому многие не
связывают хорошее овладение арифметическими вычислениями с математическими
способностями и математической одаренностью. Однако внимание к устным
арифметическим вычислениям является традиционным для образовательной школы. В
связи с этим значительная часть заданий всех существующих сегодня учебников
математики направлена на формирование устных вычислительных умений и навыков.
Вычислительный навык – это высокая
степень овладения вычислительными приемами.
Приобрести вычислительные навыки –
значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует
выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти
операции достаточно быстро. Формирование вычислительных навыков, обладающих
названными качествами, обеспечивается построением курса математики и
использованием соответствующих методических приемов. Способы и приёмы устного
счёта очень разнообразны. При выполнении вычислений устно, порой надо проявлять
творческую инициативу, смекалку и выполнять действие тем или иным способом.
Приёмов устного счёта существует огромное множество. Все эти приемы можно
объединить в две группы:
- общие (приемы, в которых
используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)
- специальные ( для конкретных чисел,
частные случаи)
Цель проекта:
изучить
способы, методы и приемы быстрого счета
и
показать необходимость их эффективного использования.
Объект исследования:
различные алгоритмы счета.
Предмет исследования:
процесс вычислений.
Задачи:
изучить литературные источники, в которых встречаются
различные приемы быстрого счета; сделать подборку наиболее распространенных и
доступных приемов, которые можно использовать на уроках математики.
Актуальность
выбранной темы состоит в том, что в наше
время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие из них просто
не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету,
снижает интерес к изучению математики. Допустить этого
нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память,
гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное.
Поэтому мы хотим помочь учащимся
научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения
действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием.
Методы исследования:
1.
теоретический
(поиск и анализ информации в литературе и Интернет-ресурсах);
2.
эмпирический (из опыта работы учителя);
3.
математический (систематизация
и обобщение).
Общие приемы устного счета могут быть
применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичной формы записи
числа и применения законов и свойств арифметических действий.
При сложении двух и более чисел часто
используется такой прием, включающий три этапа:
1.
Разложение каждого слагаемого на разряды –
единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.
2.
Использование сочетательного и
переместительного свойств.
3.
Выполнить сложение каждой из полученных
групп.
Пример: Требуется
сложить 28, 47, 32, и 13.
1.
Пользуясь десятичным составом числа,
разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.
|
28=20+8
47=40+7
|
32=30+2
13=10+3
|
2.
Воспользоваться сочетательным и переместительным
свойствами:
20+30+8+2+40+10+7+3 –
(переместительный закон)
(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) –
(сочетательный закон)
3.
Выполняем сложение каждой группы 50+10+50+10
4.
50+50+10+10 (переместительный закон)
5.
100+10+10=120 (выполняем сложение)
Очень эффективный и часто
употребляемый прием устного счета. Этот прием можно использовать во всех
четырех арифметических действиях. Прием заключается в следующем:
1)
К одному из слагаемых ( уменьшаемому,
вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько
не хватает до нужного нам «круглого числа».
2)
Затем из результата вычитаем столько же
единиц, сколько прибавляли.
Примеры:
1)
399+473=400+473=873 – 1=872 (399 округляем
до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)
399+473=(399+1)+(473-1)=400+472=872
2)
56-38=(56+4-38)-4=(60-38)-4=22-4=18 (если
уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо
увеличить на соответствующее количество единиц)
3)
72-15=((72-2)-15)+2=(70-15)+2=57 (если
уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается
на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество надо
прибавить)
4)
752-298=(752-(298+2))+2=(752-300)+2=452+2=454
(если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность
уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к
полученному результату необходимо прибавить вычтенное число)
5)
93-22=(93-(22-2))-2=(93-20)-2=73-2=71
2.2 Прием перестановки слагаемых
или перестановка сомножителей
Суть приема заключается в перемене
мест слагаемых для того, чтобы сначала сложить те числа, которые в сумме дают
«круглое» число или просто более легко складываются.
Примеры:
1)
389+567+111=389+111+567=500+567=1067
(переместительные свойства суммы)
2)
2357+1998+3055=2357+1998+(3010+45)=2357+1998+3010+43+2=2357+43+1998+2+3010=2400+2000+3010=7410
(первое и второе слагаемые дополняются за счёт третьего)
Замена вычитания сложением:
вычитаемое сначала дополняется единицами до «круглого» числа, а затем
полученное «круглое» число дополняют уже до уменьшаемого, т.е. основное
действие вычитания заменялось на «двойное» сложение. Примеры:
1)
600 – 289 дополняем до 300: это 11 и еще 300
до 600. Итого: 311
Вместо того чтобы вычислять 600 –
289=311, мы вычисляем 289+11+300=600, при этом без записи, произнося про себя
11, 300, итого 311.
2)
730 – 644 вычитаемое 644 дополняем до
650(6), затем до 700(50) и до 730(30): 6+50+30=86.
Множитель, который умножаем на 5, 50,
500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство
умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте. Пример:
24 · 5=(20+4)·5=20·5+4·5=120
Но есть более простой способ! Если
один из множителей увеличить в два раза, то произведение увеличится в 2 раза,
следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение
уменьшить в два раза.
Пример:
1) 24·10=240,
240:2=120
2) 56·5=56:2·(5·2)=28·10=280
(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в
2 раза)
Умножение
чисел 50 и 500 начинается также, как и умножение на 5, с деления, множимого на
2 и заканчивается умножением полученного результата на 100 или 1000, что
равносильно приписыванию двух или трех нулей справа.
Пример:
826·50=(826:2)·(50·2)=413·100=41300
53 •
11 = 583
Шаг 1
— Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2
— Помещаем результат между двумя числами данного двузначного числа: 583.
Умножение на 11 числа,
сумма цифр которого больше или равна 10.
86 • 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 =
946.
Кто
знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры.
Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.
Примеры: 32 • 111
= 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552;
52 • 1111 = 5 (5+2) (5+2)
(5+2) 2 = 57 772.
Чтобы двузначное число
умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на
два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз
их сумму между раздвинутыми числами.
42 • 111 111 = 4 (4+2)
(4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.
Раздвинуть 4 и 2 на 5
шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то
шагов будет 6 и т.д.
Немного сложнее, если
сумма цифр равна 10 или более 10.
Пример:
86 • 111 = 8 (8+6) (8+6)
6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к
первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6
оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.
76 • 1 111 111 =
7(13)(13)(13)(13)(13)(13)6 = (7+1)(3+1)(3+1)(3+1) (3+1) (3+1)36 = 84444436
Чтобы
двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить
в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 • 11; 44 = 4 • 11 и т.д.
Затем произведение первых чисел умножить на 11.
18 • 44 = 18 • 4 • 11 =
72 • 11 = 792;
13 • 55 = 13 • 5 • 11 =
65 • 11 = 715.
Кроме того, можно
применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного
сомножителя и уменьшении другого:
28 • 33 = (28 • 3) • (33:3) = 84 • 11 = 924,
48• 22 = (48 • 2) •
(22:2) = 96 • 11 = 1056.
Правило
умножения на 12 заключается в следующем: нужно удваивать поочередно каждую
цифру и прибавлять к ней ее “соседа”.
Рассмотрим
это на примере. Умножим 413 на 12.
1)
413 × 12 Удваиваем самую правую цифру и под ней пишем ответ
(“соседа” нет). 6
2)
413 × 12 Удваиваем 1 и прибавляем 3. 56
3)
413 × 12 Удваиваем 4 и прибавляем1. 956
4)
413 × 12 Удвоенный нуль есть нуль, прибавляем 4. 4956
Ответ: 4956.
Умножим 63
247 на 12 (см. Приложение № 2). Напишите цифры множимого через интервал и каждую
цифру результата пишите точно под той цифрой числа 63 247, из которой она
образовалась. Такой порядок нужен не только ради красоты, он ценен тем, что
гарантирует от ошибок. При данном методе умножения это особенно важно и потому,
что так удобнее распознавать цифру и “соседа”.
Свободное
место для следующей цифры ответа находится прямо под цифрой (в этом примере -
под цифрой, которая должна быть удвоена). Цифра рядом справа - “сосед”, который
должен быть прибавлен.
ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ: 37 • 3
= 111
Запомнив это, легко
выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9,12 и т.д.
37
• 6 = 37 • 3 • 2 = 222
37
• 9 = 37 • 3 • 3 = 333
37
• 12 = 37 • 3 • 4 = 444 и т.д.
Если взять числа, кратные
трём, от 3 до 27, и умножить их на 37, то произведения будут трёхзначные числа,
в каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое
разделить на 3.
Запомнив это, 7 • 11 • 13
= 1001 легко выполнять устно умножение следующего рода:
77 • 13 = 1001 91
• 11 = 1001 143 • 7 = 1001
77 • 26 = 2002 91
• 22 = 2002 143 • 14 = 2002
77 • 39 = 3003 91
• 33 = 3003 143 • 21 = 3003
В своей работе мы рассказали лишь о
немногих упрощённых красивых приёмах устных вычислений быстрого счёта при
работе с натуральными числами из тех, которые существуют. Эти приёмы
способствуют развитию памяти и повышению математической культуры мышления.
Устные
вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и
контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах
вычислений, выполненных с помощью калькулятора.
Все рассмотренные нами методы устного
вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с
цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить
скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Работа, проведенная нами, доказывает,
что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда
вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора.
1.
Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга
для учащихся. - М.: Просвещение, 1986.
2.
Бикташева Л.В. Алгоритмы ускоренных
вычислений. // Библиотечка «Первое сентября» - 2013.
3.
Катлер Э., Мак-шейн Р. Система
быстрого счета по Трахтенбергу. - М.: Книга по требованию, 2012. - С.
13-14.
4.
Козлова Е.Г. Сказки и подсказки
(задачи для математического кружка). Математика для школьников
// МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования). Издание
2-е, исправленное и дополненное – 2009.
5.
Мельникова Н. Развитие вычислительной
культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18 - С. 9-14.
6.
Перельман Я. И. Занимательная арифметика.
– М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – С.
84-85, 132-33.
7.
Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б.
Примени математику. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит.,1989. – С. 6-17.
8.
Федотова Л. Повышение вычислительной
культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №43. - С. 2-5.
9.
Филиппов Г. А. Устный счет – гимнастика
ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27.
10.
Интернет – ресурсы: http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm;
http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.