Доклад на тему "Векторный метод в школьном курсе геометрии "

Доклад на тему «Векторный метод в школьном курсе геометрии».

Составил учитель математики Гаджимирзаев Марис Махмудович.

      Здравствуйте, многоуважаемые коллеги. Сегодня мне представилась возможность выступить перед вами с докладом на тему самообразования, а именно на тему «Векторы и векторный метод в школьном курсе геометрии».

      Изучая векторы в школьном курсе геометрии, ученики знакомятся с рядом важных формул, которые позволяют:

1.       Находить координаты вектора:

2.       Находить длину вектора (альтернативно: расстояние между двумя точками).

3.       Складывать, вычитать векторы (правило треугольника и правило параллелограмма.). Умножать их на вещественное число.

4.       Находить середину отрезка:

5.       Вычислять скалярное произведение векторов:

6.       Находить угол между векторами:

      Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Конечно, в эти 6 пунктов не укладывается весь векторный метод.

      В курсе планиметрии векторный метод можно использовать при доказательстве различных теорем. Например, средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Доказательство: Параллельность отрезков АС и MN следует из теоремы    

         Фалеса. По правилу сложения векторов

                                       / : 2

                                 Или, что то же самое 

           Но , то есть

      Но мы хотим построить фундамент, который позволит решать задачи из ЕГЭ, а именно задач С2, в которых будет разумно перейти к векторному методу. Эта разумность определяется тем, что в задаче требуется найти, и какая фигура дана. Итак, векторный метод следует применять, если ставятся вопросы:

1.       Найти угол между двумя плоскостями.

2.       Найти угол между прямой и плоскостью.

3.       Найти угол между двумя прямыми.

4.       Найти расстояние от точки до плоскости.

5.       Найти расстояние от точки до прямой.

6.       Найти расстояние от прямой до плоскости.

7.       Найти расстояние между двумя прямыми.

Этот метод не приемлем, если данная в условии задачи фигура является телом вращения (шар, цилиндр, конус …)

Подходящими фигурами для векторного метода являются:

1.       Куб

2.       Прямоугольный параллелепипед

3.       Прямая призма (треугольная, шестиугольная…)

4.       Пирамида (треугольная, четырехугольная, шестиугольная)

5.       Тетраэдр (одно и то же, что и треугольная пирамида)

Также нецелесообразно использовать векторный метод для:

1.       Нахождения площадей сечений.

2.       Вычисления объемов тел.

Однако следует сразу отметить, что три «невыгодные» для метода координат ситуации на практике достаточно редки. В большинстве же задач он может стать нашим спасителем, особенно если мы не очень сильны в трехмерных построениях (которые порою бывают довольно замысловатыми).

      Существует два способа решения задач по стереометрии.

Первый - классический - требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

     Другой метод - применение векторов и координат.

Сегодня я постараюсь показать преимущество применения векторного метода перед классическим при решении задач стереометрии, в частности задач С2. Рассмотрим несколько задач С2 из ЕГЭ.

1.    В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K - середины ребер соответственно

A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

  Решение. Если в задаче C2 вам достался куб - значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Длина ребра куба не дана.

Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK – скрещиваются. Чтобы решить эту задачу классическим способом нужно перенести ВК в точку А и тд.

Но мы решим задачу векторным методом, для этого достаточно найти угол между векторами . Для этого нужны их координаты.

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), E(½,  0, 1), K(1, ½, 1).

Тогда      

Теперь найдем косинус угла между векторами .

Ответ:

2.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Решение. Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

                                   S

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E – середина SB, а К – середина SC. Воспользуемся формулой для нахождения координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

и угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

    Плоскость в пространстве задается уравнением:

где А, В и С – координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости и обозначают  

   Таким образом, угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

3.    Основание прямой четырехугольной  призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольник ABCD, в которой AB=5, AD=. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми   A₁C₁ и BD равно .  

Решение. Это задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. ОО₁= как расстояние между прямыми A₁C₁ и BD,           

тогда AА₁=. Плоскость AA₁D₁D – это задняя грань призмы на чертеже. Нормаль к ней – это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например,.

Нормалью плоскости, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, является  вектор

Находим угол между плоскостями, равный углу

между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

В заключении хочу сказать, что все те соотношения, которые при решении классическим методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), векторным методом получаются в ходе несложных алгебраических вычислений. Нам не нужно задумываться, к примеру, как проходит та или иная плоскость, как упадет перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, каким образом скрещивающие прямые перенести, чтобы они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек, векторов или плоскостей и воспользоваться формулой.