Доклад «О содержательной специфике олимпиадных задач по математике»

Семинар                                                                                             Гуманитарная ценность олимпиадных математических задач

«О содержательной специфике олимпиадных задач по математике»

Математические олимпиады неизменно вызывают интерес у российских школьников. Они дают возможность детям помериться силами в интеллектуальной борьбе со сверстниками, способствуют развитию их интереса к математике, формированию творческой направленности личности.                                                                                                                 Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика. Недаром многие вузы для победителей и призеров различного уровня олимпиад устанавливают льготы. Также, не редкость, когда многие ведущие вузы страны такие, как МФТИ, МГУ, ФИЗТЕХ, СПБГУ и другие проводят математические олимпиады для своих будущих абитуриентов и отличившимся ребятам  выдают 100-бальные сертификаты.                                                                                                                 А что же понимать под олимпиадными задачами? Олимпиадные задачи по математике – это задачи повышенной трудности, нестандартные как по формулировке, так и по методам решения. Это такие задачи, способ решения которых решающим заранее неизвестен, и нужно проявить большую волю, настойчивость и изобретательность, прежде чем найти ключ к их решению. Конечно же, нужны и хорошие математические знания, чтобы умело воспользоваться этим ключом, чтобы грамотно оформить решение и записать ответ. Среди олимпиадных задач встречаются как нетривиальные задачи, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, как правило, не рассматриваемые на уроке в школе,  так и задачи более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом.                                                                        Несложные олимпиадные задачи в последнее время стали появляться в контрольных работах по математике в виде заданий на сообразительность, а также в учебниках, как развивающие задачи или задачи на смекалку. Олимпиадные задачи предлагают на разнообразных математических соревнованиях, конкурсах и, конечно же, на олимпиадах различного уровня. Технологии  решения нестандартных задач нет и не может быть в принципе. Но есть общие подходы к работе над математической задачей, существенно облегчающие поиск решения, позволяющие активизировать умственную деятельность, воспользоваться накопленным ранее опытом и быстрее прийти к желаемому результату.                                                                                

Несколько лет назад большинство участников олимпиад успешно справлялись с предложенными им задачами и, поэтому чтобы выделить наиболее одаренных ребят, уровень сложности задач стал повышаться. Составители комплектов заданий добавили так называемые «искусственные» задачи. Это трудные логические задачи, у которых нет глубокого математического содержания, и решение которых требует от учащихся знание особых методов и приемов, таких как использование принципа Дирихле, поиск инварианта, идея непрерывности и другие. Вот, например, на муниципальном этапе всероссийской олимпиады по математике для школьников была предложена задача про лису Алису и кота Базилио:                                                  Алиса и Базилио украли у Буратино чемодан. Замок на чемодане должен открыться, если три колесика на нём (каждое из которых может занимать одну из восьми допустимых позиций) установлены в определенной комбинации. Однако, в силу ветхости механизма, чемодан откроется, если любые два колесика из трёх поставлены в правильное положение. Базилио утверждает, что он сможет открыть чемодан не более чем за 32 попытки. Прав ли он? (Попыткой называется установка какой-либо комбинации колесиков.)                                                                      При решении этой задачи используется принцип Дирихле.

А в ходе решения следующей задачи:                                                                               На доске написаны числа 2, 6, -5, 3. Разрешается: 1) за раз увеличить любое из этих чисел на 2 и уменьшить любое другое на 6; 2) за раз увеличить любое из этих чисел на 3, увеличить любое другое на 1 и увеличить любое третье на 4. Проделывая в любом порядке эти 2 операции, если нужно, многократно, уравняйте написанные на доске числа или докажите, что сделать это невозможно.                                             необходимо найти «инвариант». Инвариантом здесь будет остаток от деления на 4 суммы записанных на доске чисел.

К «искусственным» задачам можно также отнести следующие задачи:                                                                                                    

Назовём натуральное число  «сотовым», если среди любых  натуральных чисел найдутся два числа, разность квадратов которых делится на 100 без остатка. а) Указать хотя бы одно «сотовое» число. б) Указать наименьшее «сотовое» число. Ответ обосновать.

Назовем натуральное число симпатичным, если оно обладает следующим свойством: вычеркнув из его записи несколько цифр, можно получить запись любого четного числа от 2 до 98. Найдите наименьшее симпатичное число.

После того, как много «искусственных» задач было включено в комплекты олимпиадных заданий, учащиеся стали хуже справляться с ними и, поэтому возникла необходимость менять ситуацию, например, заменить эти трудные задачи содержательными задачами повышенной трудности. В связи с этим в Москве Центральной предметно-методической комиссией по математике были подготовлены методические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике, где говорится о том, что в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике; в 5-6 классах - по арифметике, логические задачи, задачи по наглядной геометрии, задачи, использующие понятие четности;  в 7-8 классах добавляются задачи, использующие преобразования алгебраических выражений, задачи на делимость, геометрические задачи на доказательство;                                                                                                                  в 9-11 классах последовательно добавляются задачи на свойства линейных и квадратичных функций, задачи по теории чисел, неравенства, задачи по тригонометрии, стереометрии, математическому анализу.                                 При этом допустимо и даже рекомендуется включение задач, объединяющих различные разделы математики.                                                                Разработчики данных методических рекомендаций  обращают внимание на недопустимость включения задач по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.

При этом трудность должна быть такой, чтобы с первым заданием могли успешно справиться примерно 70℅ участников, со вторым - более 50℅, с третьим - около 20℅, а с последними - лучшие из участников олимпиады.

В 2015 году на муниципальном этапе всероссийской олимпиады по математике для школьников восьмиклассникам был предложен следующий комплект заданий:                                                                                                                1-я задача-арифметическая                                                                                         2-я – алгебраическая                                                                                                         4-я-геометрическая                                                                                                         5-я-сюжетная                                                                                                                 3-я – логическая задача, которую можно назвать «полуискусственной», так как она лишенная всякого математического содержания;  она является «искусственной» в плане конструкции, но при ее решении выполняются числовые операции, то есть работает логика на числовом материале.

Перед составителями комплектов олимпиадных заданий встал вопрос: « А куда же деть очень трудные  логические задачи?» (о которых мы говорили в начале). Они теперь включаются в комплекты заданий на олимпиадах регионального и всероссийского уровня.                                                                         Проанализировав тексты олимпиадных задач, можно сделать вывод о том, что в настоящее время ситуация меняется в лучшую сторону и составители комплектов олимпиадных заданий стремятся к тому, чтобы туда входили следующие задачи:                                                                                              сюжетная                                                                                                  алгебраическая                                                                                                               геометрическая                                                                                              логическая                                                                                                  комбинаторная                                                                                                    Итак, приходим к выводу, что нужно уходить от сложных логических задач, а переходить к арифметическим, алгебраическим и геометрическим задачам.                                                                                            Очень хочется надеяться, что эти изменения будут способствовать улучшению ситуации с решением олимпиадных задач и более успешному участию учащихся в олимпиадах различного уровня.

Краткое описание документа:

Всегда остро стоял вопрос о содержании олимпиадных заданий разного уровня. Хотелось бы ,чтобы участник олимпиады на самом первом этапе был мотивирован на выполнение предложенных ему заданий, а не опускал руки. Поэтому важно, какие задания будут в олимпиаде. Конечно, на заключительных этапах останутся самые достойные, но участникам олимпиады нужно создать ситуацию успеха.

Проанализировав тексты олимпиадных задач за последние годы, у меня появились соображения по этому поводу, о которых я говорю в своём выступлении