Инфоурок / Математика / Конспекты / Доклад по алгебре "Решение квадратных уравнений различными способами" (8 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Доклад по алгебре "Решение квадратных уравнений различными способами" (8 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


ГБОУ Гимназия №1797 «Богородская»

г. Москва



Доклад

«Решение

квадратных уравнений

различными способами».

(8 класс, алгебра)

















Выполнила:

Назарова Г.А.

Учитель математики







Содержание:


1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________стр. 3


2. Из истории квадратных уравнений __________________________стр. 4


3. Различные способы решения квадратных уравнений:

1) Разложение левой части уравнения на множители ________________стр. 6

2) Метод выделения полного квадрата ____________________________стр. 6

3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________стр. 7

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________ стр. 8

5) Решение уравнений способом переброски _______________________стр. 9

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________стр. 10

7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ стр. 13

8) Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки _________________________________________стр. 14

9) Решение квадратных уравнений с помощью

номограммы _____________________________________________стр. 18

10) Геометрический способ решения квадратных уравнений _________стр. 20


4. Дидактический материал __________________________________стр. 22


5. Литература _______________________________________________стр. 24










1. Определение квадратного уравнения, его виды.


Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.



Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.


Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.
















2. Из истории квадратных уравнений.


а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х2 + х = hello_html_m7a6ff640.gif, х2 – х = 14 hello_html_m4bf21f14.gif

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.


б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:


ах2 + bх = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.


Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х2 + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.








3. Различные способы решения квадратных уравнений.


1) Разложение левой части уравнения на множители.


Примеры.


1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.


Разложим левую часть уравнения на множители:

х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:


(х + 12)(х – 2) = 0.


Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.


2) Метод выделения полного квадрата


Поясним этот метод на примере.

Пример


Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0


Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х – 7 = 0,


прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.


Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.


Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.


3) Решение квадратных уравнений по формуле


Вывод формулы:


Умножим обе части уравнения


ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,


на 4а и следовательно имеем:


2х2 + 4аbс + 4ас = 0.

((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,

(2ах + b)2 = b2 – 4ас,

2ах + b = ± hello_html_md0c83af.gif

2ах = – b ± hello_html_md0c83af.gif


Х1,2 = hello_html_1e24255c.gif


Примеры

Решим уравнения:


а) 4х2+ 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;

х = hello_html_m3cf56db8.gif, х = hello_html_54bad100.gif; х = hello_html_m6be4b780.gif, х1 = hello_html_m645ad4df.gif , х = hello_html_35ff0532.gif, х2 = –1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 – 4х + 1 = 0,


а =4, b= - 4, с = 1. D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень;

х=hello_html_ma033c54.gif

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b2 – 4ас= 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =hello_html_m17b4d31e.gif

в) 2х2 +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13,

D < 0. Уравнение не имеет корней.

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b2 – 4ас< 0, то уравнение

ах2+ bх + с = 0 не имеет корней.


4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета

(прямой и обратной)


а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5ef473e7.gif

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qhello_html_m53d4ecad.gifможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член qhello_html_m53d4ecad.gifприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.


Например,

х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;


х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.


б) Если свободный член qhello_html_m53d4ecad.gifприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;

х2 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения


ах2 +вх +с = 0

имеет вид

hello_html_m6b50cea.gif


Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х1 и х2 таковы, что х12 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения

х2 +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Примеры

1. Решить уравнение

х2 – 9х + 14 =0


Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х12 = 9

х1х2 = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.


2. Решить уравнение

х2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х12 = - 3

х1х2 = - 28


Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.




5)Решение уравнений способом «переброски»


Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2 х2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = hello_html_4b5f5b2c.gif; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = hello_html_m31ddebbf.gif и х1 = hello_html_m5851edc8.gif. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.


Примеры

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.


Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

hello_html_m3a37fdd.gifОтвет: 2,5;3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.


А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.


1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = hello_html_3ad47a1e.gif.



Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение


х2 + hello_html_m5c3f262f.gif х + hello_html_3ad47a1e.gif = 0.


Согласно теореме Виета


hello_html_m51ac7984.gif


По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

hello_html_m71764753.gif

Получаем х1 = 1, х2 = hello_html_3ad47a1e.gif, что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – hello_html_3ad47a1e.gif.

Доказательство. По теореме Виета


hello_html_m51ac7984.gif


По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,


hello_html_m6aee7683.gif

т.е. х1 = 1 и х2 = hello_html_3ad47a1e.gif, что и требовалось доказать.


Примеры


1. Решим уравнение 345х2 137х – 208 = 0.


Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = hello_html_3ad47a1e.gif = hello_html_2304996.gif.

Ответ: 1; hello_html_7f9cbbe1.gif.

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то


х1= - 1, х2= - hello_html_722ad598.gif

Ответ: - 1; - hello_html_722ad598.gif



Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней


х1,2 = hello_html_1e24255c.gif


можно записать в виде


х1,2 = hello_html_42486b82.gif


Пример


Решим уравнение 3х2 14х + 16 = 0.


Решение. Имеем: а = 3, b = 14, c = 16, k = 7;


D = k2ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;


х = hello_html_6a47c92.gif


Ответ: 2; hello_html_m245b6396.gif.


В. Приведенное уравнение


x2 + px + q = 0


совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней


х1,2 = hello_html_1e24255c.gif

принимает вид:


х1,2 = hello_html_7fff6903.gif или х1,2 = - hello_html_m6df86d1a.gif (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

Примеры

1. Решим уравнение х2 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 = 7±hello_html_6ea59ea4.gif= 7±hello_html_1b95b13d.gif= 7±8.


Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .


7. Графическое решение квадратного уравнения


Если в уравнении

x2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

x2 = – px q .

Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.





hello_html_3f78e685.gifу

у=х2



у = - рх - q






х1 х2 х






Пример

1.Решим графически уравнение

х2 3х – 4 = 0.


Решение. Запишем уравнение в виде

х2 = 3х + 4

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и

N (3;13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и

х2 = 4.

hello_html_e240e64.gifу

у=х2 у = - 3х + 4













- 1 4 х


Ответ: х1 = – 1 , х2 = 4 .



8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.


Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного

уравнения

ах2 + bх + с = 0

с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в

точках B (х1;0) и D (х2;0), где х1 и х2 – корни уравнения

ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;hello_html_3ad47a1e.gif) на

оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда


ОС = hello_html_373ab8d6.gif.






hello_html_621670e2.gifу




С(0; hello_html_424d2b19.gif)

S (hello_html_16b8b26c.gif)

А(0; 1)

К

В(х1, 0) D2, 0) х



Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров

SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому


SK = hello_html_m67981ea3.gif,



SF = hello_html_m4b15dce2.gif .

Итак:

  1. построим точки S(hello_html_330fa611.gif;hello_html_3535e1ca.gif ) (центр окружности) и А (0;1);

  2. проведем окружность с радиусом SA;

  3. абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>hello_html_3535e1ca.gif), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где

х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = hello_html_3535e1ca.gif), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где

х1 – корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < hello_html_3535e1ca.gif), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.




hello_html_m1f3c5d55.gifУ у у






S

S S

А

1. А 1. х. А 1 х

В

х1 В х2 х1 В


а) б) в)




а) AS > SВ, или R > hello_html_3535e1ca.gif. б) AS = SВ, или R = hello_html_3535e1ca.gif.

Два решения х1 и х2. Одно решение х1.


в) AS < SВ, или R < hello_html_3535e1ca.gif.

Нет решения.


Примеры


1.Решим графически уравнение

х2 2х – 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:


х = – hello_html_685a5b60.gif


у = hello_html_3535e1ca.gif = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_595ec163.gif

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).

hello_html_m7da5ce9b.gif

у

1 А

- 1 3 х


S(1; - 1)


Ответ: х1 = – 1 , х2 = 3 .



2. Решим уравнение

х2 5х + 4 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:


х = – hello_html_1571d46e.gif


уhello_html_m40c84d3e.gif = hello_html_3535e1ca.gif = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7363d992.gif

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).

у



Ответ: х1 = 1 , х2 = 4 .


S(2,5; 2,5)

1 А

1 4 х

3. Решим уравнение

х2 +4х + 4 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:


х = – hello_html_m46514be0.gif


у = hello_html_3535e1ca.gif = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7363d992.gif

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).



hello_html_m2de0a02d.gifу





S ( - 2; 2,5)


А


- 2 х

Ответ: х= – 2 .


4. Решим уравнение

х2 2х + 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:


х = – hello_html_685a5b60.gif


у = hello_html_3535e1ca.gif = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_354a3632.gif

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).



hello_html_452bdffa.gifу



S(1; 2)


А


х


Ответ: уравнение не имеет решения.




9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.


Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = hello_html_21a19e98.gif, АВ = hello_html_564ebcf6.gif


Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

hello_html_2a4e5f1e.gif,



откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.


hello_html_m28442f22.gifp q




О В Е



F D


H A

C


hello_html_28a6727e.png

Примеры


1. Для уравнения

z2 9z + 8 = 0.

Номограмма дает корни

z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).

2. Решим с помощью номограммы

номограммы уравнение

2z2 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого

уравнения на 2,получим уравнение

z2 4, 5 + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.


3. Для уравнения

hello_html_145d28a9.png

z2 + 5 z – 6 = 0


номограмма дает положительный

корень z1 = 1,0, а отрицательный

корень находим, вычитая

положительный корень

из р, т.е. z2 = р –1 =

= 5 1 = 6,0 (рис.13.)

4. Для уравнения


z2z – 8 = 0


номограмма дает положительный

корень z1 = 4,0, отрицательный

рhello_html_78237417.pngавен z2 = р – z1 =

= 2 4 = 2,0.


5. Для уравнения


z2 + 4 z + 3 = 0, оба корня которого

отрицательные числа, берем

z1 = t и находим по номограмме два ,64

положительных корня t1 и t2

уравнения t2 4t+ 3 = 0, это

t1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = t1 = 1

и z2 = t2 = – 3. если коэффициенты

p и q выходят за пределы шкалы, то

выполняют подстановку z = kt

и решают с помощью номограммы

уравнение


t2 + hello_html_m3cdcbb3.gif


где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства


12,6≤hello_html_m1e5955c5.gif.

6. Для уравнения

z2 – 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку

z = 5t, получим уравнение

t 2 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим

t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5 t1 = 5 • 0,6 = 3,0

и z2 = 5 t2 = 5 • 4,4 = 22,0.



10.Геометрический способ решения квадратных уравнений.


В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.


Примеры

Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2hello_html_242752c.gif,

следовательно, площадь каждого равна 2hello_html_6dd51e45.gif . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре


равных квадрата, сторона каждого из них 2hello_html_242752c.gif, а площадь 6hello_html_m68754015.gif



D x C

6hello_html_m68754015.gif

2hello_html_6dd51e45.gif

6hello_html_m68754015.gif

2hello_html_6dd51e45.gif


x2

2hello_html_6dd51e45.gif

6hello_html_m68754015.gif

2hello_html_6dd51e45.gif

6hello_html_m68754015.gif

A х B


Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников

(4 ∙ 2hello_html_6dd51e45.gif = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6hello_html_m6dd9e28c.gif), т.е.

S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 – 2hello_html_242752c.gif – 2hello_html_242752c.gif = 3

2. А вот, например, как древние греки решали уравнение


у2 + 6у – 16 = 0.

Решение представлено на рис., где

у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение .Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.


у у 3

hello_html_328e29a9.gif

у2



3hello_html_m55cb8ace.gifу

9

3

3. Решить геометрически уравнения у2 – 6у – 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у2 – 6у = 16.


На рис. находим «изображения» выражения у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ±hello_html_m29fe8501.gif или у – 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = – 2.


у у 3

hello_html_328e29a9.gif

у – 3

у – 3



3

3

9


4. Дидактический материал к работе.



1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:


а) х2 – х = 0; е) х2 – 4х + 4 = 0;

б) х2 + 2х = 0; ж) х2 + 6х + 9 = 0;

в) 3 х2 – 3х = 0; з) х2 + 4х +3 = 0;

г) х2 – 81 = 0; и) х2 + 2х – 3 = 0.

д) 4 х2hello_html_46de04e0.gif = 0;




2. Решите уравнения по формуле:


а) 2х2 – 5х + 2= 0 г) 4х2 – 12х +9 = 0

б) 6х2 + 5х + 1=0 д) 10х2 – 6х + 0,9 = 0

в) 3х2 – 7х – 1 = 0 е) 2х2 – 3х + 2 = 0



3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:


1) х2 – 2х – 15 = 0 7) х2 – 2х + 1 = 0

2) х2 + 2х – 8 = 0 8) х2 + 4х + 4 = 0

3) х2 + 10х + 9 = 0 9) х2 – 6х + 9 = 0

4) х2 – 12х + 35 = 0 10) 4х2 + 7х – 2 = 0

5)3 х2 +1 4х + 16 = 0 11) 5х2 – 9х – 2 = 0

6) х2 – 5х + 6 = 0 12) х2 – 11х + 15 = 0




4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:


  1. 2 – 9х +9 = 0 5) 3х2 + х – 4 = 0

  2. 10х2 – 11х + 3 = 0 6) 5х2 – 11х + 6 = 0

  3. 2 +11х +6 = 0 7) 2х2 + х – 10 = 0

  4. 2 +12х + 5 = 0 8) 6х2 +5х – 6 = 0






5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:


  1. 2 – 7х + 2 = 0 5) 839х2 – 448х – 391 = 0

  2. 2 + 5х – 8 = 0 6) 939х2 + 978х +39 = 0

  3. 11х2 + 25х – 36 = 0 7) 313х2 + 326х + 13 = 0

  4. 11х2 + 27х +16 = 0 8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0



6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:


  1. 2 – 36х + 77 = 0 3) 4х2 + 20х + 25 = 0

  2. 15х2 – 22х – 37 = 0 4) 9х2 – 12х + 4 = 0




7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:


  1. х2 – 8х – 9 = 0 3) х2 + 18х + 81 = 0

  2. х2 + 6х – 40 = 0 4) х2 - 56х + 64 = 0





8. Решите графически уравнения:


1) х2 х – 6 = 0; 4) х2 2х – 3 = 0;


2) х2 4х + 4 = 0; 5) х2 + 2х – 3 = 0;

3) х2 + 4х +6 = 0; 6) 4х2 4х – 1 = 0.


9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:


1) х2 3х + 2 = 0; 4) 2х2 7х + 5 = 0;

2) х2 3х – 10 = 0; 5) х2 6х + 9 = 0;

3) х2 +4х + 3 = 0; 6) х2 +4х + 5 = 0.



10. Решите с помощью номограммы уравнения:


1) z2 – 7z + 6 = 0; 4) z2z – 6 = 0 ;

2)z2 + 5z + 4 = 0; 5) z2 – 11z + 18 = 0;

3)z2 – 4z + 4 = 0; 6)z2 – 2z + 3 = 0.




Литература:


    1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

    2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

    3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

    4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990

    5. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

    6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

    7. Дидактические материалы по алгебре.

    8. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.


Общая информация

Номер материала: ДВ-289758

Похожие материалы