Доклад по началам стереометрии

                     Начальные понятия стереометрии                                            

                                                  «Математика- это алфавит, которым 

                                                    Господь начертал Вселенную»                         

                                                                                                                     Галилео Галилей

Стереометрия, или геометрия в пространстве – раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства различных прострвнственных фигур.

  Возникновение и развитие стереометрии, как и планиметрии, обусловлено потребностью практической деятельности человека.О зарождении геометрии в древнем Египте около двух тысяч лет до н.э. писал древнегреческий учёный Геродот (5 в. До н.э.) (на слайде портрет Геродота).При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо было рассчитать сколько материала пойдёт на постройку, уметь вычислять расстояние между точками в пространстве и углы между прямыми и плоскостями, знать свойства простейших геометрических фигур. Так,египетские пирамиды, сооружённые за 2-4 тысячелетия до н.э., поражают точностью своих метрических соотношений, свидетельствующих, что строители уже знали многие стереометрические положения и расчёты.(на слайде строительство пирамид)

  Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве.начиная с 7 в. до н.э. в древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии.Одной из самых первых и известных школ была пифагорейская (4-5 вв. до н.э.), названная в честь своего основателя.Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники.Их форму придавали элементам первооснов бытия, а именно огонь – тетраэдр, земля – гексаэдр (куб), воздух – октаэдр, вода – икосаэдр( показать модели фигур, стр 74,Л.Н. Атанасян).Название многогранников также древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней.По мнению древних Вселенная имела форму правильного додекаэдра и мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра( слайды-1 )портрет Пифагора, 2)репродукция картины Сальвадора Дали «Тайная вечеря»).Более поздняя философская школа- Александрийская – дала миру знаменитого учёного Евклида, который жил около 3000 лет до н.э.Им была написана знаменитая книга «Начала», по которой учились 2000 лет.В «Началах» Евклида было представлено стройное аксиометрическое строение геометрии (слайд- портрет Евклида).

  Знания по стереометрии применяются в различных науках: в астрономии при изучении планет и их свойств, в физике, исследуя структуру молекул и атомов ,имеющих форму шара и др.очень многие «беды» начинающих изучать стереометрию происходят от неумения сделать правильный и удобный для решения задачи рисунок, или чертёж. Причём говорим сейчас не об аккуратности, а о смысловой нагрузке чертежа. Чертёж в стереометрии резко отличается от чертежа в планиметрии .В планиметрии чертёж точно точно соответствует условию теоремы или данным задачи,в стереометрии, при изображении пространственных фигур на плоскости, наблюдается другая картина,чем в планиметрии,например,как изобразить куб.(изображение на слайде)                                             

1)

С1                                    В1

                                                        Это изображение верно с точки зрения стереометрии,

                                                     но ненаглядно и неудобно.

D1                                    А1

2)      С1                       D1

 

В1                                                                        Это изображение верно и наглядно

                                         

                                          D

В                              А

Рассмотрим такую ситуацию : прямая АВ пересекает плоскость α в точке А.На этих рисунках совершенно правильно изображено взаимное положение прямой АВ и плоскости α ,но полезен и удобен только рисунок Б) (изображение на слайде)

α     А

                                                               Б)                                             В)

               А)                                                   b                                          b             

                                 b                    А α                                   А

                                                   α

Наглядные и правильно выполненные рисунки и чертежи обладают определённой спецификой изображения на них пространственных фигур, и очень важно овладеть этой спецификой изображать верно и наглядно пространственные фигуры как на доске, так и в тетради.Изображение пространственной фигуры является более эффективным, если использовать два или три цвета, при изучении отдельных тем курса стереометрии можно предложить три графические работы, которые следует выполнить.разобравшись в решении этих задач, правильно и наглядно выполнив для каждой из них чертёж, в дальнейшем можно спокойно справиться со стереометрическими задачами более высокой трудности.важно и необходимо то, чтобы каждый изучающий «стереометрию» видел последовательность построения изображения геометрической фигуры на чертеже( можно показать на компьютере сечение куба).( газ.Mатематика № 16 2003 г.)

 Например, графическая работа № 1

Тема : «Следствия из аксиом».

Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения.

1.Прямая МР лежит в плоскости α

2.Прямая МР пересекает плоскость α в точке М

3.Плоскость α проходит через прямую а и точку М. не принадлежащую прямой а. и пересекает прямую в точке М

4.Прямые МС и МВ пеесекают плоскость β в одной и той же точке.

5.Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.

6.Прямые а и в, изображённые на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.

7.Прямые а и в . изображённые на рисунке пересекающимися, на самом деле не имеют общих точек.

8.Плоскости α и β имеют общую прямую а и пересекают прямую КМ соответственно в точках К и М.

9.Плоскости α и β пересекаются по прямой С, а плоскости α и γ пересекаются по той же прямой С

10.Плоскости α и β пересекаются по другой прямой – прямой МТ

11.Прямые а,в, и с имеют общую точку О лежат в одной плоскости

12.Прямые а,в, и с имеют общую точку О, но не существует плоскости в которой лежат все эти три прямые.

13.Плоскости  α, β и γ имеют единственную принадлежность всем трём плоскостям точку О

14.Прямые АВ и МТ таковы, что точка А не принадлежит плоскости ВМТ, а точка В не принадлежит прямой МТ.

15.На прямой а . пересекающей плоскость α в точке А, выбраны по разные стороны от А точки М и Т.Прямые ММ1 и ТТ1 параллельные между собой и пересекают плоскость α соответственно в точках М1 и Т1.

16.Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости α, а вершина С не лежит в плоскости α.прямая α пересекает стороны СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость α в точке К

  В 7-9-х классах на уроках алгебры и в учебниках проблема пространственного воображения считается чужой, а в курсе геометрии всё внимание сосредотачивается на двухмерных объектах и учащимся не предоставляется возможность работать с пространственными объектами, развивая своё воображение, на первых же уроках стереометрии мы сталкиваемся с проблемами: пространственное мышление учеников не развито; они не умеют читать изображения пространственных тел, не умеют их изображать. Благоприятное время для начала развития пространственного мышления это 5-6 классы средней школы. Поэтому, хоть и медленно, на уроки математики в этих классах проникают специальные упражнения , направленные на его развитие. Затем в 7-9-х классах эта проблема забывается и всплывает (по необходимости) в 10-м классе, поскольку явно даёт о себе знать.В 7-9 –х классах можно выполнять упражнения, которые направлены на формирование у учащихся умений читать изображение пространственных фигур, приучают их вносить мысленные изменения в восприятие, подготавливают к обучению в 10-м классе. Например: (рисунки на слайдах).

1.На приведённых рисунках помещён прямоугольный треугольник.Так как прямоугольник включен в изображение пространственной фигуры (прямоугольного параллелепипеда), то прямой угол воспринимается самым разным образом, проверьте свои впечатления от восприятия.какой угол треугольника воспринимается прямым и в каком случае.(Математика № 14, 2002 г. стр.9)рис.1

2.На рисунках прямоугольного параллелепипеда помещён прямоугольный треугольник.Проверьте свои впечатления от его восприятия(рис.2)

3.Поверхность столешницы разбита на разные квадраты.На ней изображены треугольники и четырёхугольники с вершинами в вершинах квадратов (рис.4)найдите равнобедренные треугольники,прямоугольные треугольники.Найдите четырёхугольники, имеющие две равные стороны; имеющие две параллельные противоположные стороны; имеющие прямые углы.

4.Покажите, что изображённые четырёхугольники являются параллелограммами (рис.6.4).Найдите площадь каждого параллелограмма.

5.Покажите,что изображённые четырёхугольники являются трапециями.Есть ли среди них равнобокие?Сможете ли вы найти их площади? рис.6.5.)

6.Рассмотрите изображения окружностей и взаимно перпендикулярных диаметров на изображении окружности (эллипсе) постройте изображение двух произвольных перпендикулярных диаметров(рис.6.6)

7.На каждом из следующих рисунков(рис.7) дано изображение окружности,вписанной в квадрат, разбитый на равные квадраты.В окружность вписан треугольник, вершинами которого являются точки пересечения окружности с линиями разбиения, которые легко усматриваются из рисунка (рис.7).Вычислите стороны треугольников любым способом.

При переходе к изучению стереометрии у учащися нередко возникают большие затруднения и особенно при решении задач по первым разделам стереометрии.чтобы помочь ученикам преодолеть эти затруднения, целесообразно показать им некоторые общие подходы при решении определённого класса задач.одним из приёмов при доказательстве ряда теорем, решении многих задач, например следующих: (на слайде)

1.Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.

2.Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.

3.Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна и второй,применяют приём проведения вспомогательной плоскости, пересекающей данную плоскость и использование линии пересечения этих плоскостей.

После решения нескольких подобных задач учащиеся могут обобщать план решения задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей и решаемых с использованием приёма проведения вспомогательных плоскостей в сочетании с методом от противного (на слайде)

1)Предположить противное тому, что требуется доказать.

2)Провести вспомогательные плоскости(одну или несколько) так, чтобы они пересекали данные плоскости.

3)Доказать, что вспомогательная плоскость пересекает данные, рассмотреть их линии пересечения.

4)Составить и решить цепочку простых задач, в условия которых входят линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей и последовательное решение которых может привести к противоречию или с условием, или с известной теоремой, или аксиомой.

5)Сделать вывод о неверности предположения и верности утверждения, сформулированного в требовании задачи

Очевидно, что одна и та же задача на доказательство взаимного положения прямых и плоскостей может быть решение разными способами.Поэтому можно дать указание, помогающие выбрать тот или иной из них.

1)Попробуйте свести исходящую задачу к цепочке простых подзадач, начиная от условия.В случаях затруднения можно начать от требования задачи.

2)Если не удалось решить задачу, попробуйте применить метод от противного.

3)При очередной неудаче попробуйте провести вспомогательные плоскости (одну или несколько) пересекающие данные плоскости.Сформулируйте подзадачу к которой сводится решение исходной задачи,так, чтобы в её условие вошли линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей.решать её можно в сочетании с методом от противного или без его применения.

4)Решив задачу, попытайтесь найти другие способы её решения.

Например: задача №32 (Л. Н. Атанасян)

Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ.Прямая а параллельна как плоскости α так и плоскости β.Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Решение:

(на экране)                                       Один из способов решения этой задачи:

                                    Использование сочетания рассматриваемого

В         β                                    приёма и приёма проведения

                                                     Вспомогательной плоскости.

 

А                  α

Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ.Прямая а параллельна как       

плоскости α так и плоскости β.Проведём вспомогательную плоскостьγ через прямую а и точку М взятую на АВ.Плоскость γ пересечёт каждую из плоскостей α и β то прямым А1В1 и А2В2 соответственно.Нетрудно доказать, что каждая из прямых А1В1 и А2В2 параллельна прямой а, в то же время обе проходят через точку М, следовательно А1В1 и А2В2 совпадают.Таким образом, имеется прямая параллельная прямой а.указанная прямая совпадает с прямой АВ (т.к. является линией пересечения плоскостей).Следовательно АВ параллельна а.

Очень часто мы используем рёберную модель куба. Эта модель очень удачная, в ней заключены все начала стереометрии.

Литература:

1. Атанасян Л.Н .Геометрия 7-9 –М:Просвещение,2006 год

2.Математика, приложение к газете 1 сентября №14,2002 год.

3.Математика, приложение к газете 1 сентября №16,2003 год.

3.Шлыков В.В. ,.Зезетко Л.Е.. Практические занятия по геометрии.10 класс-Минск:ТетраСистемс,2004год.