Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Доклад-статья "Множество задач на одном рисунке"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Доклад-статья "Множество задач на одном рисунке"

библиотека
материалов

Множество задач на одном рисунке

Решение стереометрической задачи требует большого количества времени из-за необходимости выполнять непростой чертеж. Поэтому удобно решать несколько задач на одном рисунке. Задачи разного уровня сложности, выполняемые на основе данного рисунка, позволят повторить объемный материал, что актуально при подготовке к сдаче ЕГЭ. Кроме этого при решении таких задач на самостоятельной или контрольной работе легко оценить и диагностировать уровень знаний учащихся.

Приведем пример.

Задача. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен . В пирамиду вписан шар.

  1. Построить сечение пирамиды, проходящее через центр основания пирамиды и перпендикулярное боковому ребру.

  2. Найти площадь этого сечения.

  3. Найти расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до плоскости основания пирамиды.

  4. Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

  5. Найти угол между высотой пирамиды и сечением.

  6. Найти объем пирамиды, отсекаемой сечением.

  7. Найти радиус вписанного шара.

  8. Найти радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру (построенное сечение пирамиды).

  9. Найти площадь сечения шара.

10)Найти расстояние от вершины до плоскости сечения.

Решение.

  1. Сделаем чертеж (рис. 1).

Построим сечение пирамиды плоскостью MNH. АВCD - правильная пирамида: основание пирамиды - ABC – равносторонний, О – центр ABC (точка пересечения медиан, высот, биссектрис).

ЧертежРис. 1

DО – высота пирамиды, DO ⊥ (ABC). Выберем боковое ребро ВD. ВО – проекция ВD на плоскость АВС. В АВС опустим высоту ВК на сторону АС, тогда О ϵ ВК, так как О –центр АВС, ВО ϵ ВК, ВК АС, следовательно ВО ⊥ АС, ОН ⊥ ВD.

По теореме о трех перпендикулярах, ВD будет перпендикулярна прямой, параллельной АС и проходящей через точку В, следовательно, ВD ⊥ АС и ВD перпендикулярна любой прямой, параллельной АС.

В плоскости АВС проведем прямую l параллельную АС через точку О, тогда l перпендикулярна ВD. Пусть l ⋂ АВ = М, l ⋂ ВС = N. Чтобы провести l ∥ АС, нужно отметить точку М на АВ: АМ = hello_html_7f8f9891.gif АВ, и точку N на ВС: СN = hello_html_7f8f9891.gif ВС. Тогда MNH – искомое сечение.

  1. Найдем площадь этого сечения. SMNH = hello_html_6eec8aff.gif MN·OH.

Найдем MN. Рассмотрим ∆АВС – равносторонний и точка О – точка пересечения медиан, следовательно, ОВ : ОК = 2 : 1, ОВ = hello_html_6a1c94eb.gif ВК = hello_html_6a1c94eb.gif АВsinhello_html_m3b8c471b.gifА; ОВ = hello_html_6a1c94eb.gif a sin60hello_html_m228c0d80.gif = hello_html_6a1c94eb.gif a hello_html_1fc87bde.gif = hello_html_2108ff99.gif.

АВС hello_html_45c91c28.gifMBN (по двум углам), так как MN АС, hello_html_2d14db43.gif = hello_html_72145c0a.gif = hello_html_6a1c94eb.gif, следовательно, MN = hello_html_6a1c94eb.gif АС = hello_html_6a1c94eb.gif а.

Найдем ОН. Рассмотрим ∆ОВD. Так как DО ВО, то ∆ОВD – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора ОD2 + OB2 = BD2;

OD2 = BD2 – OB2. OD2 = hello_html_3ba18302.gif - hello_html_m7f53529c.gif = hello_html_m27a481f5.gif = hello_html_m46c9313f.gif.

Найдем BD. Рассмотрим ∆BCD. Проведем высоту DH1. Так как пирамида правильная, то ∆BCD – равнобедренный. Следовательно, DH1 - медиана и биссектриса.

hello_html_353402f0.pngРис. 2

СН1 = ВН1 = hello_html_m73645396.gif = hello_html_m6fb69a5b.gif; hello_html_m3b8c471b.gifCDH1 = hello_html_m3b8c471b.gifBDH1 = hello_html_m6fb69a5b.gif; hello_html_6d0b96a5.gif = sinhello_html_m3b8c471b.gifBDH1; BD = hello_html_295a61af.gif;

BD = hello_html_22ce2dd4.gif = hello_html_m180608d.gif. Тогда ОD = hello_html_2cfed41f.gif.

ОН – высота прямоугольного треугольника ОВD. ОН = hello_html_m4f32f803.gif,

ОН = hello_html_m2542c96e.gif = hello_html_672d8728.gif.

SMNH = hello_html_6eec8aff.gifMN·OH = hello_html_6eec8aff.gif·hello_html_6a1c94eb.gifhello_html_672d8728.gif = hello_html_2a78e7a2.gif.

  1. Найдем расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до

плоскости основания пирамиды. Рассмотрим плоскость ОНВ (см. рис. 3).

hello_html_m8457ce4.gif= coshello_html_m3b8c471b.gifO; hello_html_17725b49.gif = sinhello_html_m3b8c471b.gifО; hello_html_2108a2ad.gif + hello_html_6982d8b1.gif = cos2hello_html_m3b8c471b.gifO + sin2hello_html_m3b8c471b.gifO = 1;

PH2 = OH2 (1 - hello_html_m4d661fa9.gif). PH = OHhello_html_m6114a69b.gif.

hello_html_m2cbed8c8.pngРис. 3

PH = hello_html_672d8728.gif ·hello_html_m309f38d3.gif; РН = hello_html_74423c36.gif; РН = hello_html_m4d38dec.gif = hello_html_m2c62a06a.gif = hello_html_m7d09f556.gif·sinhello_html_m6fb69a5b.gif.

  1. Найдем угол между плоскостью сечения и плоскостью основания

пирамиды. (см. рис.1)

hello_html_m3b8c471b.gif(MHN, ABC) = hello_html_m3b8c471b.gif(HO, OB) = hello_html_71d5f048.gif – линейный угол двугранного угла с ребром MN – искомый.

coshello_html_m3b8c471b.gifHOB = hello_html_m5297372f.gif = hello_html_672d8728.gif ·hello_html_m7409d5e5.gif = hello_html_m5e7f7048.gif; hello_html_m3b8c471b.gifHOB = arcos(hello_html_3843a2f.gif

  1. Найдем угол между высотой пирамиды и сечением. (см. рис.1).

hello_html_m3b8c471b.gif(OD, MHN) = hello_html_m3b8c471b.gifDOH = hello_html_m3b8c471b.gifDOB - hello_html_m3b8c471b.gifHOB;hello_html_7ee9ed19.gif = hello_html_4a7c6de3.gif – arcos(hello_html_m5e7f7048.gif);

hello_html_m6c2ebd8e.gifarcsin(hello_html_m5e7f7048.gif).

  1. Найдем объем пирамиды отсекаемой сечением.

VMHNB = hello_html_7f8f9891.gif SMHN hello_html_m7034b82f.gifBH, так как BH hello_html_7ab5af4d.gif (MHN).

Найдем ВН из прямоугольного треугольника ВОD. (см. рис. 4).

hello_html_57085896.pngрис. 4

В hello_html_38251e48.gif: ОН hello_html_7ab5af4d.gif DB, coshello_html_m48d3350a.gif = hello_html_3de78994.gif. В hello_html_m6f0d1cd8.gifDOB: OD hello_html_7ab5af4d.gif OB. Следовательно,

hello_html_3de78994.gif= hello_html_43a9032a.gif, тогда ВН = hello_html_m2521b0b4.gif = hello_html_m7f53529c.gif hello_html_m3f6e8475.gif; ВН = hello_html_m7ce160ac.gif.

VMHNB = hello_html_7f8f9891.gif ⋅ a2 hello_html_de78c54.gif hello_html_4e69104.gif = hello_html_14294450.gif.

  1. Найдем радиус вписанного шара. (см. рис. 5).


hello_html_m3f884492.pngрис. 5

В hello_html_m2c42e90f.gifО1DQ: sinhello_html_m3b8c471b.gifD = hello_html_m72857499.gif; в hello_html_m6f0d1cd8.gifODH1: sinhello_html_m3b8c471b.gifD = hello_html_m4184299b.gif, следовательно

hello_html_m72857499.gif= hello_html_m4184299b.gif, hello_html_m5a6cdf17.gif = hello_html_m4184299b.gif, где OH1 = r (радиус вписанной окружности в треугольнике АВС).

hello_html_m658e1240.pngрис. 6

hello_html_m5b4c17d8.gif1 = hello_html_m401ae9c2.gif; hello_html_m5b4c17d8.gif = hello_html_m401ae9c2.gif + 1; hello_html_m518a288c.gif; R = hello_html_m5750ecc.gif;

r = OH1 = OK = hello_html_6eec8aff.gif BO = hello_html_753d946d.gif; DH1 = H1B ctghello_html_m6fb69a5b.gif = hello_html_m5eae66ed.gifctghello_html_m6fb69a5b.gif = hello_html_m5eae66ed.gif hello_html_189f1660.gif.


R = hello_html_18fa15a.gif = hello_html_57b2eadf.gif = hello_html_47baaecc.gif = 2a hello_html_mbecf474.gif.

  1. Найдем радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через

центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру.

Опустим перпендикуляр О1Н2 из О1 на плоскость сечения MHN.

Тогда Н2 – центр круга сечения шара плоскостью и ОН2 – его радиус.

Рассмотрим hello_html_m2c42e90f.gifDOH.

hello_html_m6e561e85.pngрис. 7

hello_html_m79135eb3.gif= coshello_html_m3b8c471b.gifDOH = hello_html_6f85a457.gif; hello_html_m79135eb3.gif = hello_html_6f85a457.gif; ОН2 = ОО1 hello_html_m686c0d11.gif ;

OH2 = R hello_html_m7034b82f.gif hello_html_2f4151f4.gif hello_html_eb930f4.gif = hello_html_57b2eadf.gif hello_html_71ef0edc.gif = hello_html_5595dc9f.gif.

  1. Найдем площадь сечения шара.

Sкр = hello_html_4bbc8ba.gif Ohello_html_fd5c634.gif; Sкр = hello_html_m71246373.gif.

10) Найдем расстояние от вершины до плоскости сечения.

DH = BD – BH = hello_html_m180608d.gif - hello_html_4e69104.gif = a hello_html_62222ffd.gif = a hello_html_m2e4989e7.gif.

hello_html_6a4d162b.gif.

Серию задач на одном рисунке, как правило, можно предложить в тех случаях, когда рассматривается сечение многогранника или комбинация стереометрических фигур. Материал рассчитан на работу в течение двух уроков.

Приведем примеры подобных задач.



Задача № 1

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС = ВС. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания и SA=AB. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М — середину ребра АС, перпендикулярно прямой SB.

1) Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды SABC

Считая АС = а, найти расстояния до секущей плоскости от следующих точек:

2) В;

3) С;

4) А.

5) Найти площадь этого сечения.

Задача № 2

В конус, вершина которого проецируется в центр окружности, которая является его основанием, вписан шар, в этот шар вписан другой конус, основание которого является диаметральным сечением шара и параллельно основанию первого конуса. Вершина меньшего конуса также проецируется в центр основания. Если образующая большего конуса равна – а, и угол между образующей и основанием равен α, найти :

1) отношение объемов конусов;

2) площади боковых поверхностей;

3) расстояние между вершинами;

4) объем шара, описанного вокруг большего конуса;

5) отношение объемов шаров.

Задача № 3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH на стороне DH взята точка М, так что DM=MH

AB= a, BC =2a, HD =a. Через точки А, М, G проведена плоскость.

Найти:

1) S сечения;

2) V пирамиды GMAE;

3) расстояние от точки H до секущей плоскости;

4) расстояние от E точки до секущей плоскости;

5) расстояние от точки D до секущей плоскости.

Задача № 4

В пирамиде ABCS грани BCS и CAS перпендикулярны основанию, которое является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине С.

BC =SC=2a, CA = a. На ребре BS взята точка D, делящая это ребро пополам.

1) Найти площадь круга вписанного в треугольник CAD.

2) Найти расстояние от точки В до треугольника CAD.

3) Найти расстояние от точки S до треугольника CAD.

4) Найти расстояние от вершины S до центра вписанной окружности в треугольник CAD.

5) Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача № 5

В правильной треугольной призме со стороной основания - а, высота равна стороне основания. Точка О является центром описанной окружности вокруг основания. Из точки О проведены три прямые, пересекающее три верхние вершины призмы в точках D, E, F, так что точка D находится над точкой А точка Е находится над точкой В. Пирамиду EFDO вписан шар.

Найти:

1) радиус вписанного шара;

2) расстояние от центра шара до точки В и Е;

3) площадь боковой поверхности получившейся пирамиды и ее объем;

4) угол EOD;

5) площадь сечения, проходящего через точки А, С и цент вписанного в пирамиду шара.

Таким образом можно создать сколько угодно задач к одному рисунку. Это очень удобно при разработке вариантов различных работ: контрольных, проверочных, диагностических. Поэтому затронутая нами тема весьма перспективна.

Литература

  1. Безверхняя И.С. Множество задач на рисунке. – «Математика в школе», № 2, 2010. – С. 27-32.

  2. Гильманов Р.А., Гагуцкий С.Ф. Как решать конкурсные задачи по геометрии. – Казань: Из-во Казанского университета, 1976. – 222 с.

  3. Гусеев В.А., Мордкович А.Г. Математика. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Решение стереометрической задачи требует большого количества времени из-за необходимости выполнять непростой чертеж. Поэтому удобно решать несколько задач на одном рисунке. Задачи разного уровня сложности, выполняемые на основе данного рисунка, позволят повторить объемный материал, что актуально при подготовке к сдаче ЕГЭ. Кроме этого при решении таких задач на самостоятельной или контрольной работе легко оценить и диагностировать уровень знаний учащихся.       Серию задач на одном рисунке, как правило, можно предложить в тех случаях, когда рассматривается сечение многогранника или комбинация стереометрических фигур. Материал рассчитан на работу в течение двух уроков.

 

Автор
Дата добавления 31.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров238
Номер материала 551968
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх