Домашняя контрольная работа по теме Решение дифференциальных уравнений. Ряды.

Домашняя контрольная работа.

«Решение дифференциальных уравнений. Ряды»

Образец выполнения.

Работа содержит 10 вариантов. Номер примера соответствует варианту.

Учащийся решает задачи согласно своему порядковому номеру в журнале, например 1, 11, 21 и 31 решают 1 вариант, 2, 12, и 22 – 2 вариант и т.д.

Работа оформляется, так же как и практические работы.

Критерий оценки.

3 задачи – «3»

4 задачи  - «4»

5 задач – «5».

Задание 1. Решите дифференциальное уравнение.

Решение уравнений с постоянными коэффициентами: , сводится к решению характеристического уравнения, , которое получается из этого уравнения, если, сохраняя в нем коэффициенты, заменить функцию у единицей, а все производные заменить соответствующими степенями k. При этом:

1.                        Если  квадратное уравнение имеет два  действительных различных корня k₁ и k₂, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

2.                        Если  квадратное уравнение имеет один действительный корень, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

3.                        Если корни мнимые, т.е , то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .

4.                        Если корни комплексные , то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:.

Уравнение , сведем к квадратному:

. Дискриминант отрицательный, следовательно данное квадратное уравнение имеет комплексные корни , ,

. Тогда решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Задание 2. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение: Введем новую переменную, тогда . Подставим полученные значения в уравнение: . Сгруппируем в левой части второе и третье слагаемое и вынесем u за скобки: . Найдем v из условия, что выражение в скобках равно 0. , решим это простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

,  , разделим переменные . Проинтегрируем обе части последнего равенства ,  , воспользуемся свойством логарифма: . Тогда =. Отсюда  и .

 Подставим в уравнение  вместо , и  их значения.

. , ,  , , , . Проведем обратную замену: =.

Ответ: .

Задание 3. Выясните, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:

Решение. Необходимое условие сходимости ряда: .

Составим формулу общего члена ряда. .

 

Ответ: Необходимое условие сходимости ряда выполняется.

Задание 4. Найдите сумму ряда, как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: .

Проверим, является ли данный ряд геометрической прогрессией.

 Полученная последовательность геометрическая прогрессия, т к геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое число – знаменатель прогрессии.

Знаменатель данной прогрессии , следовательно, это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Ответ: сумма рада .

Задание 5. . Разложите функцию в ряд Тейлора. , если .

Решение: Чтобы разложить функцию в ряд Тейлора нужно:

1. Найти все производные данной функции.
2. Вычислить значение функции и ее производных в указанной точке.
3. Подставить найденные значения в формулу Тейлора:
4. Вычислить факториалы, сократить дроби.

1) Найдем все производные данной функции:

,

,

,

,

Все производные, начиная с пятой равны нулю.

2) Вычислим значение функции и ее производных в точке :

,

,

,

,

,

.

3) Подставим полученные значения в формулу Тейлора:

  ,

,

Ответ: =.

Задачи для самостоятельного решения.

Задание 1.Решите дифференциальное уравнение.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

Задание 2. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

Задание 3. Выясните, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда.

1. 
2. 
3. 

4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

Задание 4. Найдите сумму ряда, как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

Задание 5. Разложите функцию в ряд Тейлора, в точке а =1.

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10.