Дополение к учебнику Математика 6 для учителей Крыма

Урок№1.

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.

1. Делители и кратные

Делителем натурального числа а называют натуральное число,  на которое  а делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Например, первые пять чисел, кратных 8,                                 такие:     8, 16, 24, 32, 40.                                                                 Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.                                                                                                                Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без ос­татка на 10.                                                                                                                                                      Остаток в этом случае равен последней цифре.

Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.                                                                        Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечетными.

Поэтому и цифры 0, 2, 4, в, 8 называют четными,                                                                           а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными.

Если запись натурального числа оканчивается четной циф­рой, то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно.

Дома:

1.Найдите все делители числа 30 и запишите их в порядке возрастания.

     2. Выберите из чисел 14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75 те, ко­торые:

                 а) кратны 7; б) кратны 17; в) не кратны 8; г) не кратны 2.

2.Задача.

Площадь первого поля 27,3 га. Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого, а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго. Чему равна площадь всех трех полей вместе?

3.Выполните действия:

а)   18,36 + 0,64:0,8;б)          80·11 — 42 558:519;

4.Запишите натуральные числа от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число, а синим — каждое пятое. Какие числа окажутся подчеркнуты красным карандашом, какие — синим? Какие числа подчеркнуты обоими цветами? Назовите числа, не деля­щиеся ни на 2, ни на 5.

5. Назовите три числа, которые:

а)   делятся на 2; б) делятся на 2 и на 5;в)делятся на 5;  г) не делятся ни на 2 и ни на 5

6..Выполните действия:  а)3,44:0,4 + 24,56;       б)684-245 —675·246

Урок№2.

3. Признаки делимости на 9 и на 3.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9;                                     если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3;                                     если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Дома:

          1.Какие из чисел 75 432, 2 772 825, 5 402 070 делятся на 3?                                                         Какие из них делятся на 9?

2.Какие из чисел 240, 242, 244, 246, 248, 250, 252 кратны 3? Какие из них делятся на 9?

3.В записи *723, 5*36, 111* вместо звездочки поставьте такие цифры, чтобы получившиеся числа делились на 9.

4. Мама принесла детям три одинаковых подарка. Может ли быть, что во всех этих подарках было 25 конфет? 75 конфет? 63 конфеты?                                                                      5.Решите уравнение:   а) (4,9 —х):1,2 = 3;    б) 3,8•(х— 0,2) = 2,28. 

6. Выполните действия:  а)(93 - 7+ 141):72;            б)(357 —348:6)· 4

Урок№3.

4. Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если оно имеет толь­ко два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: само это число.                                                                                                 По­этому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из кото­рых больше 1. 

  78 = 2*39 Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39.                                                                                                                                                  Простое число так разложить на множители нельзя.

Всякое составное число можно разложить на простые мно­жители. При любом способе получается одно и то же разложе­ние, если не учитывать порядка записи множителей.

756 = 2·2·3·3·3·7 = 2² ·3³ ·7

                                                       Дома:

1.Какие из чисел 240, 242, 244, 246, 248, 250, 252 кратны 3? Какие из них делятся на 9?

2.В записи *723, 5*36, 111* вместо звездочки поставьте такие цифры, чтобы получившиеся числа делились на 9.

3.Разложите на простые множители числа:   216; 162; 144; 512; 675; 1024;

4.Найдите значение выражения  (5,98 + 5,36): 2,8: (5 - 0,003 +15- 0,029).

Урок№4.

6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без ос­татка числа а и б, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример                                                                                                                                                 Найти наибольший общий делитель  чисел 48 и 36.                     

делители  чисела 48:  Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.                                     Затем выпишем все делители числа 36.  Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.                        Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.                                                            Видим, что наибольшим из этих чисел является 12.                                                                            Его назы­вают наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множи­тели;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

 3) найти произведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.                                                                                                                          

Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

                                                              Дома:                                                                                                               1.Найдите все общие делители чисел: а) 18 и 60; б) 72, 96 и 120; в) 35 и 88.

  2.Найдите среди чисел 9, 14, 15 и 27 три пары взаимно простых чисел.

3.Ребята получили на новогодней елке одинаковые по­дарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 ябло­ка. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

Урок№5.

7. Наименьшее общее кратное

Выпишем числа, кратные 75.                                                                                                    Получим:    75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, 750, ....                                        Затем выпишем числа, кратные 60. Получим:60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, ....                                                                                   Общими кратными чисел 75 и 60 будут числа 300, 600,... .                                                     Наименьшим из них является 300. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и Ь на­зывают наименьшее натуральное число, которое кратно u a, u b.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких нату­ральных чисел, надо:                   1) разложить их на простые множи­тели;                                                                                                                       2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;                                                                3) добавить к ним недостающие множители из раз­ложений остальных чисел;                              4) найти произведение получивших­ся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

   Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Дома:

1.Найдите наименьшее общее кратное чисел:

            а) 6 и 8;                    в) 72 и 99;                       д) 34, 51 и 68;

           б)  12 и 16;             г) 396 и 180;                 е) 168, 231 и 60.

2.Найдите значение выражения:

а)(13-9,5:3,8)· 0,3;                                             б)(16,1:4,6-3,07)·0,2;      

3. Решите задачу:

Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4 ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52 ц больше второй. Сколько центнеров хлопка собрала каждая бригад

Урок№6.

 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

8. Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умно­жить или разделить на одно и то же на­туральное число, то получится равная ей дробь.

Это свойство называют основным свойством дроби.

9. Сокращение дробей.                                                                                  

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, от­личный от единицы, называют сокращением дроби.

Дробь — сократить нельзя, если числитель и знаменатель — взаимно простые числа.                                                                                                                                               Такую дробь называют несократимой.

Наибольшее число, на которое можно сократить дробь,— это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя.

                                                                    Дома:

1.Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби! 0,2; 0,8; 0,5; 0,15; 0,24; 0,35; 0,75; 0,05; 0,125; 0,025; 0,008; 0,375.

2.Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

               а) 18 и 36; б) 33 и 44;

3.Выполните действия:                                                                                                                           а) (26,16:6 + 2,6 1,4):0,4—0,4.

4.Решите задачу:

Два комбайнера убрали пшеницу с 64,2 га. Сколько гекта­ров убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8 га меньше, чем второй?

                                                                Урок№7.

10. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:                                     1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;                                             3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Дома:

 и  б) в)  г)  д)

2.Приведите дроби :  а) к знаменателю 24;        в)  к знаменателю 57;

б) к знаменателю 65;             г)  к знаменателю 78.

3.Задача. Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста в  4 раза больше скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что они встретились через 2,5 ч после своего выхода.                                                                                                                                           4. Вычислите:      62,3+(50,1 -3,3• (96,96:9,6)) -1,8;

Урок№8.

11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателям

Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями,надо:                                                                                                                                      1) привести данные дроби к наимень­шему общему знаменателю;                                         2) сравнить (сложить или вычесть) полученные дроби.

И сравнивать, складывать и вычитать как  дроби с оди­наковыми знаменателями.

Пример 1. Сравним дроби  и .                                                                       Решение. Приведем дроби к общему знаменателю 15.

Получим: =  =   и   =  =  т.к. , то

Пример 2. Найдем  значение  суммы   

Решение =  = 1

Пример 3. Найдем значение разности  

Решение  =

Из двух дробей с одинаковыми  числителями больше та дробь у которой знаменатель меньше.

Дома:

1. Сравним дроби: а)  б) в) 

2. Найдите  значение  суммы:

а)        б)  в)   г)  д)  е)

3. Найдите  значение разности:

а)      б) в)  г) д)

Урок№9.

12. Сложение и вычитание смешанных чисел.

Переместительный и сочетательный законы сложения позволяет свести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробной частей.

Чтобы сложить смешанные числа, надо:                                                                          1. привести дроб­ные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;                                                                                                     2. отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дроб­ных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и при­бавить ее к полученной целой части.

Пример.  Найдите сумму 15

Решение. Приведем дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8, затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части:

15= (15+19) + () = 34 +  = 34

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:                                                                    1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дроб­ной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого.

2) отдельно выпол­нить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Пример.Найдите  значение разности 3 - 1

Решение. Приведем дробные части данных чисел к наи­меньшему общему знаменателю 18: .

3 - 13

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так:

3 =3 = 2 + 1 += 2 + +  = 2 +  = 2

3 - 13 = 2 -  = 1