Дополнительные построения в трапеции при решении задач

• 1 слайд

  
  Дополнительные построения в трапеции при решении задач
  
  
  Учитель математики высшей категории: Ковалева Н.Ф.
  Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №5»
  города Железногорска
  

• 2 слайд

  Основные подходы к решению задач о трапециях:
  Подобие и пропорциональность
  Дополнительные построения
  Трапеция и площадь
  Трапеция и окружность
  
  

• 3 слайд

  1. Опускание высот из концов одного основания на другое основание
  2. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину
  3. Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам
  4. Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей эту вершину
  5. Продолжение боковых сторон до пересечения
  

• 4 слайд

  Опускание высот из концов одного основания на другое основание
  
  A
  D
  B
  C
  a
  c
  d
  b
  𝑏−𝑎 2
  𝑏−𝑎 2
  

• 5 слайд

  A
  D
  B
  C
  c
  d
  5
  7
  x
  2-x
  

• 6 слайд

  Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину
  
  c
  A
  D
  B
  C
  M
  a
  d
  a
  c
  ?
  b-a
  b-a
  с
  d
  

• 7 слайд

  Задача. Стороны трапеции равны 4,7,12 и 5 см. Найти площадь.
  Решение:
  Перенесем параллельно
  сторону трапеции
  2. S получившегося
  треугольника=
  = 10∙2∙3∙5 =5 3
  3.Найдем высоту
  трапеции и треугольника
  h= 2𝑆 𝑎 = 5 3 4
  4.Sтрапеции= 4+12 2 ∙ 5 3 4 =10 3
  

• 8 слайд

  Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам сводится к решению треугольника
  

• 9 слайд

  Задача. В трапеции средняя линия равна 4 см, углы при одном из основании равны 40º и 50º. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1 см.
  
  

• 10 слайд

  Решение:
  XO ‖AB, XP‖CD
  ∆OXP-прямоугольный
  XK-медиана в ∆OXP
  OP=2XK=2
  4) BC+AD=9, MN=4
  5) HL-средняя линия ∆OXP=>
  HL=1
  6) NH=ML=1,5 AO=PD=1,5
  AD=2AO+OP=1,5·2+2=5
  BC=2MN-AD=3
  

• 11 слайд

  Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам
  

• 12 слайд

  Задача. В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, причем AC=16, BD=12. Найти среднюю линию.
  

• 13 слайд

  Решение:
  1) СР‖BD
  2)∆АСР, ∠АСР = 90 , а
  АР=AD+DP=AD+BC
  3)Из ∆АСР по т. Пифагора
  имеем 𝐴𝑃 2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐶𝑃 2 ,
  𝐴𝑃 2 = 16 2 + 12 2 =400, АР=20
  Средняя линия трапеции
  равна 10
  Ответ: MN=10
  
  M
  A
  D
  P
  

• 14 слайд

  Продолжение боковых сторон до пересечения
  

• 15 слайд

  
  
  
  
  
  A
  B
  C
  Задача. В трапеции ABCD диагонали равны 7 и 8, а
  основания – 3 и 6. Найти площадь трапеции
  D
  7
  8
  3
  6
  

• 16 слайд

  Задача. В трапеции диагональ равна сумме оснований. Угол между
  диагоналями равен 60º. Докажите: трапеция равнобокая
  60º
  A
  B
  C
  D
  P
  Решение:
  CPllBD
  ∆ACP-равносторонний, т.к
  ∠ACP=60º
  AC=AP
  AC=CP=BD
  
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Дано: ABCD-трапеция
  BD ┴ AC, BD=6 , MN=4,5
  Найти: S трапеции
  Решение:
  СP ║BD
  2. Угол ACP =90˚
  3. Δ ACP – прямоугольный
  СP=6
  4.S трапеция=S ΔACP
  5. CK║ML
  6. ΔACP CK- медиана
  CK=4,5 AP=9
  7. ΔACP по т.Пифагора
  AC= 81−36 =3 5
  S Δ ACD =1/2 ·3 5 ·6=9 5
  Ответ: 9√5
  A
  B
  C
  D
  

• 19 слайд

  Вывод: Решение задач с помощью дополнительных построений не только быстрое и проще, но и намного интересней, чем решение привычными способами
  

• 20 слайд