ЕГЭ Математика. Часть 2. Экономические задачи

Задача 1.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каж­дом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно де­лить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет , а на втором – . Урожайность свеклы на первом поле составляет , а на втором – .

Фермер может продавать картофель по цене  руб. за центнер, а свеклу – по цене руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

На первом поле пусть (га) занимает картофель. Доход от него определяем:

 руб.

Доход от свеклы на первом поле

 (руб.)

На втором поле на картофель выделяем  (га). Тогда доход от него:

 (руб.)

Доход от свеклы на втором поле:

 (руб.)

Общий доход:

;

.

если , а .

Окончательно  руб.

Задачу можно решить из соображений здравого смысла.

Так как урожайность на первом поле выше у картофеля, то все первое поле засевается им. А на втором поле выше урожайность у свеклы. Тогда:

 руб.

Ответ:  руб.

Задача 2.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными плате­жами (то есть за два года)?

Решение:

Если – сумма кредита, то через год останется

 руб.

А через два года:

,

.

Ответ: 6330000 руб.

Задача 3.

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется  рабочих, каждый из которых готов трудиться часов в день. При этом один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй шахте имеется  рабочих, каждый из которых готов трудиться  часов в день. При этом один рабо­чий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в кото­ром на кг алюминия приходится кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько ки­лограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произве­сти завод?

Решение:

Пусть рабочих добывают в первой шахте алюминий. Его масса

(кг).

Тогда никеля (кг).

Во второй шахте алюминия добывается в день рабочими: (кг).

Никеля добывается: (кг).

По условию на кг алюминия приходится  кг никеля.

Тогда:

Получаем

.

Масса сплава равна:

,

,

,

.

Выражение максимально, если

 (кг).

Ответ:  (кг).

Задача 4.

15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Ус­ловия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

-  со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма де­нег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение:

Предположим, что  – сумма кредита,  – разница в долге на 15-е число месяца.

Представим выплаты в виде таблицы:

№ п/п	На 1-е число месяца	На 15-е число месяца
1	–
2	1,02
3	1,02
4	1,02
5	1,02
–	–	–
18	1,02
19	1,02

.

Чтобы найти сумму денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования , необходимо сложить разность строк, начиная со второй.

,

.

Ответ: 119%

Задача 5.

В двух областях есть по  рабочих, каждый из которых готов тру­диться по  часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или  кг никеля. Во второй области для добычи  кг алюминия в день требуется  человеко-часов труда, а для добычи  кг никеля в день требуется  человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в кото­ром на  кг алюминия приходится  кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько ки­лограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произве­сти завод?

Решение:

Предположим, что  человек в первой области добывают алюминий, тогда его масса равна (кг), а никеля (кг)

Во второй области:

Общая масса алюминия  (кг), никеля (кг)

Массу обоих металлов выражаем по формуле:

По условию задачи в сплаве на  кг алюминия приходится  кг никеля:

,

,

,

,

,

,

, где ,

.

Найдем производную :

,

.

Найдем критическое значение из условия .

,

,

(кг).

кг

Максимальное значение массы металлов

 кг

Ответ: кг

Задача 6.

Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, послед­ней) после начисления процентов. Ставка процента годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей?

Решение:

Расчеты ведем по формуле для нахождения остатка

, где – сумма  долга.

Распишем выплаты в виде таблице

№ п/п	Перед выплатой (млн руб.)	После выплаты (млн руб.)
1	1,21	0,94
2	0,94	0,764
3	0,764	0,5704
4	0,5704	0,35744
5	0,35744	0,123184
6	0,123184	–

Таким образом, на погашение долга потребуется 6 лет

Ответ: 6 лет.

Задача 7.

31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на %), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите .

Решение:

Пусть  – сумма, взятая в кредит

 – выплачиваемый  транш, если долг выплачивается 4 года

– выплачиваемый  транш, если долг выплачивается 2 года

Выплата долга в течение 4 лет:

1.     Через 1 год: .

2.     Через 2 года: .

3.     Через 3 года:

,

.

4.     Через 4 года: .

Обозначаем

.

При выплате по второй схеме:

С учетом замены:

,

,

,

,

,

Ответ:

Задача 8.

В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или  кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг ни­келя в день требуется у² человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём  кг алюминия можно заменить  кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение:

В соответствии с условием задачи, наиболее выгодно в первой области добывать алюминий. Тогда общий объем часов

человеко-часов.

Соответственно, добытый алюминий в первой области

 кг.

Рассмотрим вторую область. По условию:

Следовательно,

Общая масса металла добытого во второй области

,

где ; .

Находим производную

Находим критические значения  из условия

Итак, алюминия добывают

 кг, а никеля  кг.

Во второй области наибольшая масса добытых металлов:

 кг.

А в обеих областях:

 кг.

Ответ: наибольшая масса добытых металлов  кг.

Задача 9.

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере  в ме­сяц, затем , потом  и, наконец, в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение:

Предположим, что под в месяц вклад хранился  месяцев, под  – месяцев, под – месяцев,  под  – месяцев.

  – натуральные числа.

S – первоначальная сумма вклада.

1.     Через  месяцев будет сумма:

;

2.     Далее через  месяцев:

;

3.     Через месяцев:

4.     Через  месяцев:

.

По условию задачи

.

Итак:

.

.

.

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

Удвоим уравнение (4) и сложим с уравнением (1) и сложим уравнения (2) и (3).

Получим:

Сложив эти два уравнения имеем:

        

Из (4):

      

Из (2):

          

         .

Подставим все в уравнение (1):

,

,

,

(месяца),

(месяца),

(месяца),

(месяца),

 (месяцев).

Ответ:12 месяцев или 1 год

Задача 10.

Папа Карло выстрогал Буратино и отправил его в школу, дав ему на букварь несколько деревянных рублей, не более 30 штук. Буратино продал все рубли коллекционерам по 150 сольдо за каждый. Пять сольдо он сунул себе за щеку, не более трех закопал на поле Чудес, а на оставшиеся купил хлеба по цене 51 сольдо за корочку. Сколько корочек хлеба купил Буратино?

Решение:

Обозначим – количество рублей, – количество корочек хлеба, – количество закопанных сольдо.

Для  выполняется условие ; учтем, что  натуральные числа и . Составим уравнение по условию:

1.     Если , то

,

,

,

,

.

a)     если , а – условию задачи удовлетворяет;

b)     

 – не подходит

2.     ,

,

.

a)       .

.

 – нецелое.

b)      .

.

 – нецелое и больше 30.

3.     ,

,

.

a)       .

 – нецелое

b)      .

– нецелое и больше 30.

Условию задачи удовлетворяет только . Тогда количество корочек .

Ответ: 44 корочки хлеба.

Задача 11.

В Шестьляндии в обращении находятся денежные купюры номиналом 1 рубль, 6 рублей и 36 рублей. Банком, в котором содер­жится неограниченный запас купюр каждого вида, 14 купюрами выдана некоторая сумма, меньшая 200 рублей. Найти эту сумму, если известно, что меньшим числом купюр выдать ее невозможно.

Решение:

 – количество купюр достоинством 1 рубль,

 – количество купюр достоинством 6 рублей,

 – количество купюр достоинством 36 рублей.

Из условия задачи следует:

Из условия, что меньше чем 14 купюр быть не может, следует, что:

 так как

, то .

При , имеем .

При , будет .

При , получаем , что не соответствует условию задачи.

Рассмотрим варианты:

1.   ,

,

,

2.   ,

,

,

3.   ,

,

,

 – подходит.

Ответ: 174 рубля.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1.

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или  кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется  человеко-часов труда, а для добычи  кг ни­келя в день требуется  человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в кото­ром на  кг алюминия приходится  кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько ки­лограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произве­сти завод?

Задача 2.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на  по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Задача 3.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каж­дом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно де­лить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет  ц/га, а на втором –  ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет  ц/га, а на втором –  ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Задача 4.

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает  кг алюминия или  кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется   человеко-часов труда, а для добычи  кг ни­келя в день требуется  человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём  кг алюминия можно заменить  кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Задача 5.

Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжал­ся целое число месяцев и сопровождался падением производст­ва. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе , на втором – , на третьем – и на четвертом – в месяц. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на . Определите продолжительность периода реконструкции.

Задача 6.

Купил Роман раков, вчера – мелких, по цене 510 рублей з штуку, а сегодня – по 990, но очень крупных. Всего на раков он истратил 25200 рублей, из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 160 до 200 рублей. Сколько Роман купил раков вчера и сколько сегодня?

Задача 7.

В Семиземье в обращении находятся монеты трех видов: брон­зовые рубли, серебряные монеты достоинством 7 рублей и золотые монеты достоинством 49 рублей. Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 17 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 300 рублей. Найти эту сумму, если из­вестно, что меньшим числом монет выдать ее невозможно.