Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / ЕГЭ Математика. Часть 2. Экономические задачи
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

ЕГЭ Математика. Часть 2. Экономические задачи

библиотека
материалов

Задача 1.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет hello_html_1e7ed152.gif, а на втором – hello_html_m63218dd9.gif. Урожайность свеклы на первом поле составляет hello_html_m63218dd9.gif, а на втором – hello_html_1e7ed152.gif.

Фермер может продавать картофель по цене hello_html_m75bf41ac.gif руб. за центнер, а свеклу – по цене hello_html_551de147.gifруб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

На первом поле пусть hello_html_2565ec41.gif(га) занимает картофель. Доход от него определяем:

hello_html_2ac4e09e.gifруб.

Доход от свеклы на первом поле

hello_html_112ca776.gif(руб.)

На втором поле на картофель выделяем hello_html_m6d22db6f.gif (га). Тогда доход от него:

hello_html_m567990a3.gif(руб.)

Доход от свеклы на втором поле:

hello_html_4d9ac083.gif(руб.)

Общий доход:

hello_html_2ac389b7.gif;

hello_html_m3373ce15.gif.

hello_html_2aaffb7c.gifесли hello_html_41b0924d.gif, а hello_html_m3fb8385.gif.

Окончательно hello_html_470ec2df.gif руб.

Задачу можно решить из соображений здравого смысла.

Так как урожайность на первом поле выше у картофеля, то все первое поле засевается им. А на втором поле выше урожайность у свеклы. Тогда:

hello_html_e5244d4.gifруб.

Ответ: hello_html_5a21833.gif руб.






Задача 2.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под hello_html_m2954c60c.gifгодовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на hello_html_m2954c60c.gif), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

Если hello_html_80c05d9.gif– сумма кредита, то через год останется

hello_html_m1994a1ae.gifруб.

А через два года:

hello_html_m488268dd.gif,

hello_html_m3d2a7a72.gif.

Ответ: 6330000 руб.



















Задача 3.

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется hello_html_41c73555.gif рабочих, каждый из которых готов трудиться hello_html_m183e16a1.gifчасов в день. При этом один рабочий за час добывает hello_html_59af54ba.gifкг алюминия или hello_html_m6717cf3a.gifкг никеля. Во второй шахте имеется hello_html_m206ee430.gif рабочих, каждый из которых готов трудиться hello_html_m183e16a1.gif часов в день. При этом один рабочий за час добывает hello_html_m6717cf3a.gifкг алюминия или hello_html_59af54ba.gifкг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на hello_html_m604ea52a.gifкг алюминия приходится hello_html_59af54ba.gifкг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение:

Пусть hello_html_2565ec41.gifрабочих добывают в первой шахте алюминий. Его масса

hello_html_63a5ec04.gif(кг).

Тогда никеля hello_html_542b7a14.gif(кг).

Во второй шахте алюминия добывается в день hello_html_m6d22db6f.gifрабочими: hello_html_m528295a9.gif(кг).

Никеля добывается: hello_html_m603c1229.gif(кг).

По условию на hello_html_m604ea52a.gifкг алюминия приходится hello_html_59af54ba.gifкг никеля.

Тогда:

hello_html_m63f06fa7.gif

Получаем

hello_html_c703453.gif.

Масса сплава равна:

hello_html_2c6c2c1e.gif,

hello_html_796d7d07.gif,

hello_html_3ac39e5e.gif,

hello_html_m750e5ee4.gif.

Выражение максимально, если

hello_html_4cbc45b9.gif(кг).

Ответ: hello_html_m32496985.gif (кг).


Задача 4.

15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на hello_html_m6cbedca.gifпо сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение:

Предположим, что hello_html_3184add3.gif – сумма кредита, hello_html_m64634dbe.gif – разница в долге на 15-е число месяца.

Представим выплаты в виде таблицы:

п/п

На 1-е число месяца

На 15-е число месяца

1

hello_html_3184add3.gif

2

1,02hello_html_74f3be92.gif

hello_html_m39d4eda5.gif

3

1,02 hello_html_m1d7c6f8e.gif

hello_html_246399d3.gif

4

1,02 hello_html_m2ad3962c.gif

hello_html_273f6f5e.gif

5

1,02 hello_html_27803213.gif

hello_html_3718fd44.gif

18

1,02 hello_html_43d12d36.gif

hello_html_m1b7bee0a.gif

19

1,02 hello_html_m67bf9ab3.gif

hello_html_m26cfa13e.gif


hello_html_md6b44f3.gif.

Чтобы найти сумму денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования hello_html_7cd8c77c.gif, необходимо сложить разность строк, начиная со второй.

hello_html_m5a6f7348.gif

hello_html_4300625.gif,

hello_html_21f35ca3.gif.

Ответ: 119%

Задача 5.

В двух областях есть по hello_html_m491df8c0.gif рабочих, каждый из которых готов трудиться по hello_html_m1a09e7b5.gif часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает hello_html_m12955e93.gifкг алюминия или hello_html_125574f4.gif кг никеля. Во второй области для добычи hello_html_4003c7a.gif кг алюминия в день требуется hello_html_m655fd480.gif человеко-часов труда, а для добычи hello_html_m55678ab3.gif кг никеля в день требуется hello_html_42a6c6b9.gif человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на hello_html_59af54ba.gif кг алюминия приходится hello_html_m604ea52a.gif кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение:

Предположим, что hello_html_m69794159.gif человек в первой области добывают алюминий, тогда его масса равна hello_html_m11920abb.gif(кг), а никеля hello_html_m4bca833f.gif(кг)

Во второй области: hello_html_79265cb7.gif

Общая масса алюминия hello_html_2f485ee2.gif (кг), никеля hello_html_m486a6ef7.gif(кг)

Массу обоих металлов выражаем по формуле:

hello_html_72f54461.gif

hello_html_5412e266.gif

По условию задачи в сплаве на hello_html_59af54ba.gif кг алюминия приходится hello_html_m604ea52a.gif кг никеля:

hello_html_m7c4ee0d2.gif,

hello_html_6ee949b5.gif,

hello_html_m6549188e.gif,

hello_html_d72ace8.gif,

hello_html_1029587c.gif,

hello_html_7f2dc91c.gif,

hello_html_m21348b0f.gif, где hello_html_m27f2873a.gif,

hello_html_m27cce35f.gif.


Найдем производную hello_html_m7abf0108.gif:

hello_html_62a60e4f.gif,

hello_html_me39b8c2.gif.

Найдем критическое значение hello_html_4003c7a.gifиз условия hello_html_mdb3a99f.gif.

hello_html_m5775566.gif,

hello_html_28abfac4.gif,

hello_html_629154cb.gif(кг).



hello_html_m2766be34.gifкг

Максимальное значение массы металлов

hello_html_m5e273c55.gifкг

Ответ: hello_html_m1906f1a3.gifкг
















Задача 6.

Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента hello_html_2d5c2ddb.gifгодовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей?

Решение:

Расчеты ведем по формуле для нахождения остатка

hello_html_m6701b774.gif, где hello_html_449d96a0.gif– сумма долга.

Распишем выплаты в виде таблице

п/п

Перед выплатой (млн руб.)

После выплаты (млн руб.)

1

1,21

0,94

2

0,94

0,764

3

0,764

0,5704

4

0,5704

0,35744

5

0,35744

0,123184

6

0,123184


Таким образом, на погашение долга потребуется 6 лет

Ответ: 6 лет.
















Задача 7.

31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на hello_html_m3e73b0ab.gif%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите hello_html_m3e73b0ab.gif.

Решение:

Пусть hello_html_m418a470c.gif – сумма, взятая в кредит

hello_html_m247b306.gifвыплачиваемый транш, если долг выплачивается 4 года

hello_html_f793c97.gifвыплачиваемый транш, если долг выплачивается 2 года

Выплата долга в течение 4 лет:

  1. Через 1 год: hello_html_m29068eed.gif.

  2. Через 2 года: hello_html_m34e800da.gif.

  3. Через 3 года:

hello_html_16baedf7.gif,

hello_html_m4db1e305.gif.

  1. Через 4 года: hello_html_75f07f7b.gif.

Обозначаем hello_html_215d36d2.gif

hello_html_25ef1296.gif.

При выплате по второй схеме:

hello_html_645b273b.gif

С учетом замены: hello_html_m2b8227c8.gif

hello_html_6a28d479.gif,

hello_html_7ed112bc.gif


hello_html_2e1bdd0f.gif

hello_html_m47f30d99.gif,

hello_html_2f255775.gif,

hello_html_333d0b52.gif,

hello_html_m629d65a8.gif,

hello_html_537b918b.gif

hello_html_28074ae8.gif

hello_html_m3659e977.gif

hello_html_50ee91b6.gif

hello_html_4c7df689.gif

Ответ: hello_html_30990543.gifhello_html_4c7df689.gif

hello_html_30990543.gif

















Задача 8.

В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает hello_html_m302c06.gifкг алюминия или hello_html_125574f4.gif кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём hello_html_59af54ba.gif кг алюминия можно заменить hello_html_59af54ba.gif кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение:

В соответствии с условием задачи, наиболее выгодно в первой области добывать алюминий. Тогда общий объем часов

hello_html_m455e28fc.gifчеловеко-часов.

Соответственно, добытый алюминий в первой области

hello_html_m7fdc46db.gifкг.

Рассмотрим вторую область. По условию:

hello_html_2bb29dd2.gifhello_html_2bb29dd2.gifhello_html_2a5c7a59.gif

Следовательно, hello_html_2bb29dd2.gif

hello_html_5354835b.gifhello_html_2bb29dd2.gif

Общая масса металла добытого во второй области

hello_html_m58ee2283.gif,

где hello_html_m67b816ac.gif; hello_html_456375b5.gif.

hello_html_m416847b5.gif

Находим производную

hello_html_4667f345.gif

Находим критические значения hello_html_m13fb10a1.gif из условия hello_html_m3b928b7a.gif

hello_html_79b39bee.gif

hello_html_246b8474.gif

hello_html_3e979922.gif



Итак, алюминия добывают

hello_html_m30adbf8f.gifкг, а никеля hello_html_m46fdfdfc.gif кг.

Во второй области наибольшая масса добытых металлов:

hello_html_3bc9fa60.gifкг.

А в обеих областях:

hello_html_43bee391.gifкг.

Ответ: наибольшая масса добытых металлов hello_html_m41c6896f.gif кг.
























Задача 9.

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере hello_html_m4425727b.gif в месяц, затем hello_html_6cba2f2d.gif, потом hello_html_m3f281269.gif и, наконец, hello_html_1c303c4.gifв месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на hello_html_1c7ea0b1.gif. Определите срок хранения вклада.

Решение:

Предположим, что под hello_html_m4425727b.gifв месяц вклад хранился hello_html_2565ec41.gif месяцев, под hello_html_6cba2f2d.gif hello_html_m6d22db6f.gifмесяцев, под hello_html_m3f281269.gif hello_html_77e19d46.gifмесяцев, под hello_html_1c303c4.gif hello_html_m6be3d726.gifмесяцев.

hello_html_3c65fc7a.gifнатуральные числа.

S – первоначальная сумма вклада.

  1. Через hello_html_2565ec41.gif месяцев будет сумма:

hello_html_7e673e5.gif;

  1. Далее через hello_html_m6d22db6f.gif месяцев:

hello_html_5b703f45.gif;

  1. Через hello_html_77e19d46.gifмесяцев:

hello_html_282afe0c.gif

  1. Через hello_html_m6be3d726.gif месяцев:

hello_html_mf089aef.gif.

По условию задачи

hello_html_m1c8c2674.gif.

Итак:

hello_html_m56f35728.gif.

hello_html_m3ad0aff5.gif.

hello_html_31530b7e.gif.


hello_html_46d34049.gif

(1)

(2)

(3)

(4)

Удвоим уравнение (4) и сложим с уравнением (1) и сложим уравнения (2) и (3).

Получим:

hello_html_m9e3bf54.gif

Сложив эти два уравнения имеем:

hello_html_10fcc917.gif

Из (4): hello_html_m4a96cd2a.gif

hello_html_m77fea65b.gif

Из (2): hello_html_m5e081603.gif

hello_html_2fe5d781.gif

hello_html_m424bbded.gif.

Подставим все в уравнение (1):

hello_html_5230fa2f.gif,

hello_html_6da58f6f.gif,

hello_html_45d00e96.gif,

hello_html_m6e268321.gif(месяца),

hello_html_10ad3a22.gif(месяца),

hello_html_611fe54f.gif(месяца),

hello_html_7fd06ff0.gif(месяца),

hello_html_130450f3.gif(месяцев).

Ответ:12 месяцев или 1 год







Задача 10.

Папа Карло выстрогал Буратино и отправил его в школу, дав ему на букварь несколько деревянных рублей, не более 30 штук. Буратино продал все рубли коллекционерам по 150 сольдо за каждый. Пять сольдо он сунул себе за щеку, не более трех закопал на поле Чудес, а на оставшиеся купил хлеба по цене 51 сольдо за корочку. Сколько корочек хлеба купил Буратино?

Решение:

Обозначим hello_html_m481c9164.gif– количество рублей, hello_html_2565ec41.gif– количество корочек хлеба, hello_html_m6d22db6f.gif– количество закопанных сольдо.

Для hello_html_m481c9164.gif выполняется условие hello_html_m1c63bd8f.gif; учтем, что hello_html_5d600ea5.gif натуральные числа и hello_html_3036c836.gif. Составим уравнение по условию:

hello_html_16ebd297.gif

  1. Если hello_html_m61da6e7b.gif, то

hello_html_28e99c18.gif,

hello_html_m4f6e018.gif,

hello_html_m38e0f25e.gif,

hello_html_m48061456.gif,

hello_html_m6c924716.gif.

  1. если hello_html_3eefc2fc.gif, а hello_html_6f30f549.gif– условию задачи удовлетворяет;

  2. hello_html_841f1c6.gif

hello_html_m10e2d02e.gifне подходит

  1. hello_html_m10e4a941.gif,

hello_html_m7e75235d.gif,

hello_html_28281cd5.gif.

  1. hello_html_26ba25f7.gif.

hello_html_m2954dc3.gif.

hello_html_m481c9164.gifнецелое.

  1. hello_html_2ea14cf9.gif.

hello_html_1df485cb.gif.

hello_html_m481c9164.gifнецелое и больше 30.

  1. hello_html_a3717d.gif,

hello_html_m11fd0fc.gif,

hello_html_3a011d29.gif.

  1. hello_html_7ac9e4d5.gif.

hello_html_m5aaf468d.gifнецелое

  1. hello_html_1d1e9699.gif.

hello_html_3b85df4d.gifнецелое и больше 30.

Условию задачи удовлетворяет только hello_html_m61da6e7b.gif. Тогда количество корочек hello_html_2bc5b2d8.gif.

Ответ: 44 корочки хлеба.
























Задача 11.

В Шестьляндии в обращении находятся денежные купюры номиналом 1 рубль, 6 рублей и 36 рублей. Банком, в котором содержится неограниченный запас купюр каждого вида, 14 купюрами выдана некоторая сумма, меньшая 200 рублей. Найти эту сумму, если известно, что меньшим числом купюр выдать ее невозможно.

Решение:

hello_html_2565ec41.gifколичество купюр достоинством 1 рубль,

hello_html_m6d22db6f.gifколичество купюр достоинством 6 рублей,

hello_html_77e19d46.gifколичество купюр достоинством 36 рублей.

Из условия задачи следует:

hello_html_m703a5a97.gif

Из условия, что меньше чем 14 купюр быть не может, следует, что:

hello_html_59a5d163.gifтак как

hello_html_39970090.gif, то hello_html_323c8729.gif.

При hello_html_1bb356bf.gif, имеем hello_html_350eb238.gif.

При hello_html_m206ecbc3.gif, будет hello_html_1ae78334.gif.

При hello_html_7d31618.gif, получаем hello_html_775b3207.gif, что не соответствует условию задачи.

Рассмотрим варианты:

              1. hello_html_m12e66932.gif,

hello_html_3a501e9.gif,

hello_html_1e026ae5.gif,

hello_html_m3e925032.gif

              1. hello_html_me14ecb5.gif,

hello_html_13d815ea.gif,

hello_html_3fe4bd20.gif,

hello_html_m1fc1394c.gif

              1. hello_html_62f4cc18.gif,

hello_html_13d815ea.gif,

hello_html_1e026ae5.gif,

hello_html_m1e4eeb44.gifподходит.

Ответ: 174 рубля.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1.

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает hello_html_m302c06.gifкг алюминия или hello_html_125574f4.gif кг никеля. Во второй области для добычи hello_html_2565ec41.gifкг алюминия в день требуется hello_html_m852763b.gif человеко-часов труда, а для добычи hello_html_m6d22db6f.gif кг никеля в день требуется hello_html_m5931b47f.gif человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на hello_html_m604ea52a.gif кг алюминия приходится hello_html_59af54ba.gif кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Задача 2.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на hello_html_m3b0cabe4.gif по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Задача 3.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет hello_html_m206ee430.gif ц/га, а на втором – hello_html_1420cbd2.gif ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет hello_html_1420cbd2.gif ц/га, а на втором – hello_html_m206ee430.gif ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?



Задача 4.

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает hello_html_m12955e93.gif кг алюминия или hello_html_125574f4.gif кг никеля. Во второй области для добычи hello_html_2565ec41.gifкг алюминия в день требуется hello_html_m852763b.gif человеко-часов труда, а для добычи hello_html_m6d22db6f.gif кг никеля в день требуется hello_html_m5931b47f.gif человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём hello_html_59af54ba.gif кг алюминия можно заменить hello_html_59af54ba.gif кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Задача 5.

Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе hello_html_m79e23451.gif, на втором – hello_html_3aa970e3.gif, на третьем – hello_html_m4b500633.gifи на четвертом – hello_html_m3b8efcd5.gifв месяц. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на hello_html_78df7790.gif. Определите продолжительность периода реконструкции.

Задача 6.

Купил Роман раков, вчера – мелких, по цене 510 рублей з штуку, а сегодня – по 990, но очень крупных. Всего на раков он истратил 25200 рублей, из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 160 до 200 рублей. Сколько Роман купил раков вчера и сколько сегодня?

Задача 7.

В Семиземье в обращении находятся монеты трех видов: бронзовые рубли, серебряные монеты достоинством 7 рублей и золотые монеты достоинством 49 рублей. Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 17 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 300 рублей. Найти эту сумму, если известно, что меньшим числом монет выдать ее невозможно.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров836
Номер материала ДВ-554378
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх