ЕГЭ 2017 профильный уровень

ЕГЭ 2017. Профильный уровень.

В7. Геометрический смысл производной.

Функция y=x²-6|x|+6 на интервале (-6;6)

y=x2-6|x|+6

Производная функции  y=x²-6|x|+6 на интервале (-6;6)

“+”

“+”

“‒”

“‒”

y′ =

y′ =

 

y =   =>   y′ =

Примеры решения задач.

№1. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции

             y=f′(x) параллельна прямой y=x-40.

Решение.

k=tgα=f′(x)

– уравнения прямой.

y₁=k₁x+b₁

y₂=k₂x+b₂

Прямые параллельны, если угловые коэффициенты равны. Иными словами:

y₁||y₂, если k₁=k₂

y=x-40 => k₁=1 => k₂=1 =>f′(x₀) =1

x₁≈-2,5; x₂≈3,5 (по графику производной).

Ответ: x₁≈-2,5; x₂≈3,5.

№2. Функция: f(x)=9x²+bx+1.

              y=-4x-8–касательная к графику функции.

             Найти b, учитывая что абсцисса точки касания меньше 0.

Решение.

k=tgα=f′(x₀) = -4

f′(x)=18x+b => 18x+b = -4.

Прямая и «кривая» имеют общую точку – точку касания. Значит:

y(x₀)=f(x₀) => -4x-8 = 9x²+bx+1

Составим систему уравнений с двумя неизвестными:

Решив систему, получаем:

x=±1

Так как абсцисса точки касания меньше 0 по условию задачи, выбираем корень x=-1

Поэтому b = -4 - 18×(-1) =  14.

Ответ: b=14.