ЕГЭ угл, математика, описание проекта экзаменационной модели

Описание проекта экзаменационной модели для проведения

Единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ углубленного уровня

в соответствии с требованиями ФГОС среднего (полного) общего образования

ПРОЕКТ

I.             Кодификаторы для создания экзаменационной модели по математике базового уровня для государственной итоговой аттестации обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы среднего (полного) общего образования

Кодификатор подготовлен в соответствии с предметными требованиями по математике Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования (Приказ Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. №413) и с учетом содержания наиболее востребованных предметных программ для ступени среднего (полного) общего образования, которые рекомендованы к использованию в образовательных организациях в условиях введения ФГОС и содержания учебно-методических комплектов, рекомендованных к использованию в образовательных организациях в условиях введения ФГОС.

Кодификатор 1 содержат планируемые результаты обучения (ПРО), которые детализируют предметные требования ФГОС СОО и операционализованные умения (ОУ), которые являются объектом контроля в рамках государственной итоговой аттестации за курс средней школы.

Кодификатор 2 включает перечень элементов содержания (ЭС), на базе которых разрабатываются задания для оценки достижения планируемых результатов обучения.

Раздел 1. Планируемые результаты обучения и операционализированные умения

В первом столбце указан код планируемого результата обучения, во втором столбце – код операционализированного умения.

Код раздела	Код ОУ	Планируемые результаты обучения (ПРО), операционализированные умения (ОУ)
1		Элементы теории множеств и логики
	1.1	Оперировать на базовом уровне[1] понятиями: конечное множество, элемент множества, подмножество, пересечение и объединение множеств, числовые множества на координатной прямой, отрезок, интервал; находить пересечение и объединение двух множеств на числовой прямой; строить на числовой прямой подмножество числового множества, заданное простейшими условиями
	1.2	Оперировать на базовом уровне понятиями: утверждение, отрицание, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения; распознавать ложные утверждения, ошибки в рассуждениях; уметь строить контрпримеры в несложных случаях
	1.3	Использовать числовые множества на координатной прямой для описания реальных процессов и явлений; проводить логические рассуждения в ситуациях повседневной жизни
2		Числа и выражения
	2.1	Оперировать на базовом уровне понятиями: целое число, делимость чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, рациональное число, иррациональное число, действительное число, приближённое значение, часть, доля, отношение, процент, повышение и понижение на заданное число процентов, масштаб; выполнять арифметические действия; сравнивать числа между собой; изображать числа точками на числовой прямой; вычислять значения выражений с помощью преобразований и подстановок
	2.2	Выполнять несложные преобразования целых и дробно-рациональных выражений; выражать в простейших случаях из равенства одну переменную через другие
	2.3	Выполнять несложные преобразования выражений, содержащих степени, корни, логарифмы; оценивать и сравнивать целые степени чисел, корни, логарифмы в простых случаях; изображать на числовой прямой целые степени, корни, логарифмы чисел в простых случаях
	2.4	Оперировать на базовом уровне понятиями: тригонометрическая окружность, величина угла, градусная мера угла, заданного точкой на окружности, синус, косинус, тангенс и котангенс; изображать схематически углы данной величины; определять знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса
	2.5	При решении практических задач выполнять расчёты (при необходимости – с использованием справочных материалов и вычислительных устройств); соотносить реальные величины с их числовыми значениями; использовать округление, приближения и прикидки при решении повседневных задач
3		Уравнения и неравенства
	3.1	Решать линейные уравнения и неравенства, квадратные уравнения и неравенства
	3.2	Решать простейшие показательные уравнения и неравенства
	3.3	Решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства
	3.4	Уметь приводить примеры аргументов тригонометрических функций, имеющих табличные значения
	3.5	Пользоваться алгебраическими методами при решении несложных практических задач
4		Функции
	4.1	Оперировать на базовом уровне понятиями: зависимость, функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке, периодическая функция, период
	4.2	Определять по графику функции: приближённые значения, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности, наибольшие и наименьшие значения, точки экстремума, период, элементы симметрии графика
	4.3	Оперировать на базовом уровне понятиями: прямая и обратная пропорциональность, линейная, квадратичная, логарифмическая и показательная функции, тригонометрические функции; распознавать графики этих функций и соотносить их с формулами
	4.4	Строить эскиз графика функции по известным свойствам (промежутки возрастания/убывания, значение функции в заданной точке, точки экстремумов, и т.д.)
	4.5	Определять по графикам свойства реальных процессов и зависимостей; интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации
5		Элементы математического анализа
	5.1	Оперировать на базовом уровне понятиями: производная функция, значение производной в точке, касательная к графику функции; иметь представление о геометрическом и физическом смысле производной; определять значение производной функции в точке по изображению касательной к графику
	5.2	Вычислять табличные производные элементарных функций; использовать производную при решении несложных задач на исследование функций
	5.3	Оценивать скорость изменения величины или процесса в разные моменты времени, пользуясь графиками реальных зависимостей; сравнивать скорости процессов по графикам
6		Статистика и теория вероятностей
	6.1	Владеть на базовом уровне методами табличного и графического представления данных
	6.2	Оперировать на базовом уровне понятиями: числовой набор, среднее значение; уметь находить описательные характеристики (среднее арифметическое, медиану, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсию и стандартное отклонение) наборов числовых данных
	6.3	Оперировать на базовом уровне понятиями: случайный эксперимент, элементарное событие, случайное событие, вероятность случайного события, невозможное и маловероятное событие, достоверное событие; вычислять вероятности событий в опытах с равновозможными исходами в простейших случаях
	6.4	Оценивать и сравнивать в простых случаях вероятности событий повседневной жизни; читать, сопоставлять, сравнивать, интерпретировать в простых случаях реальные данные, представленные в виде таблиц, диаграмм, графиков; понимать смысл закона больших чисел и его роль в социологии, страховании, здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях
7		Текстовые задачи
	7.1	Решать несложные текстовые задачи; анализировать условие, при необходимости составлять по условию уравнения или системы уравнений; действовать по алгоритму, описанному в условии; использовать рассуждения; выбирать данные, необходимые для решения задачи; осуществлять несложный перебор вариантов, выбирая наилучший; анализировать и интерпретировать решения в контексте условия задачи
	7.2	Решать задачи на расчёт стоимости покупок, услуг и т.п.; на проценты (скидки, наценки) и на вычисление сложных процентов в несложных случаях (вклады, кредиты и т .п.); решать повседневные задачи, связанные с переводом одних единиц в другие (в частности, единиц температуры, длины, массы, времени; уметь пользоваться масштабом на картах, планах помещений, выкройках, при работе на компьютере и т.п.
8		Геометрия
	8.1	Владеть на базовом уровне понятиями о плоских фигурах, их свойствах, решать несложные планиметрические задачи с использованием изученных фактов и теорем планиметрии
	8.2	Оперировать на базовом уровне понятиями: точка, прямая, плоскость в пространстве, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей; изображать изучаемые фигуры; делать (выносные) плоские чертежи из рисунков фигур; извлекать из чертежей и рисунков информацию о пространственных фигурах
	8.3	Решать несложные задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве с использованием фактов стереометрии
	8.4	Распознавать простые многогранники (призма, пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб) и пользоваться их свойствами для решения простых задач; уметь находить их элементы, пользуясь стереометрическими фактами и свойствами фигур
	8.5	Распознавать тела вращения (конус, цилиндр, сфера и шар) и пользоваться их свойствами для решения простых задач; уметь находить их элементы, пользуясь стереометрическими фактами и свойствами фигур
	8.6	Пользоваться на базовом уровне прямоугольной системой координат в пространстве
	8.7	Соотносить абстрактные геометрические фигуры с физическими объектами; использовать свойства фигур для решения задач практического содержания; соотносить площади поверхностей тел одинаковой формы различного размера; соотносить объемы сосудов одинаковой формы различного размера
9		История математики
	9.1	Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки; знать примеры математических открытий и их авторов в связи с отечественной и всемирной историей; понимать роль математики в развитии цивилизации
10		Методы математики
	10.1	Применять известные методы при решении стандартных математических задач; замечать и характеризовать математические закономерности в окружающей действительности

2. Элементы содержания, проверяемые заданиями КИМ

В первом и втором столбцах таблицы указываются коды содержательных блоков, на которые разбит учебный курс. В первом столбце жирным шрифтом обозначены коды разделов (крупных содержательных блоков), во втором столбце – коды тем. В третьем столбце указывается код элемента содержания (ЭС), на базе которых разрабатываются задания для оценки достижения планируемых результатов обучения.

Код раздела	Код ЭС	Элементы содержания, проверяемые заданиями КИМ
1		Элементы теории множеств и логики
	1.1	Множество, элемент множества, подмножество, пересечение, объединение, разность множеств, числовые множества, числовые промежутки
	1.2	Утверждение, отрицание, истинные и ложные утверждения, утверждение-следствие, контрпримеры, дизъюнкция, конъюнкция
2		Числа и выражения
	2.1	Натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби, рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа, арифметические действия с числами
	2.2	Позиционная система счисления. Десятичная система счисления, двоичная система счисления, римские цифры
	2.3	Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 6, 9, 10, 11. Делимость суммы и произведения целых, деление с остатком, НОД и НОК
	2.4	Степень с целым, рациональным и действительным показателем; корни; логарифм числа; синус, косинус, тангенс и котангенс числа
3		Уравнения и неравенства
	3.1	Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Система уравнений с двумя переменными. Решение системы. Линейные уравнения; квадратные уравнения. Целые уравнения более высоких степеней; дробно-рациональные уравнения. Равносильность уравнений, неравенств и их систем
	3.2	Теорема Виета для квадратного уравнения. Теорема Виета для уравнения степени 3 и выше. Теорема Безу
	3.3	Иррациональные уравнения
	3.4	Показательные и логарифмические уравнения
	3.5	Арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Тригонометрические уравнения
	3.6	Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные и квадратные неравенства. Дробно-рациональные неравенства
	3.7	Показательные и логарифмические неравенства
	3.8	Графическая интерпретация уравнений, неравенств и их систем двух переменных на плоскости
	3.9	Решение уравнений в целых числах
4		Функции
	4.1	Функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значение, точки экстремума, непрерывность, точка разрыва, периодичность, четность и нечетность функций
	4.2	Обратная функция и ее график
	4.3	Линейная функция, ее свойства и график. Угловой коэффициент прямой. Квадратичная функция, ее свойства и график. Обратная пропорциональность, ее свойства и график
	4.4	Степенная функция, ее свойства и график. Функция
	4.5	Показательная функция, ее свойства и график
	4.6	Логарифмическая функция, ее свойства и график
	4.7	Тригонометрические функции, их свойства и график. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
	4.8	Преобразования графиков функций. Графики функций , , , , , . График кусочно заданной функции
	4.9	Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия, ее свойства. Формула общего члена, формула суммы. Геометрическая прогрессия, ее свойства. Формула общего члена, формула суммы первых членов. Сходящаяся геометрическая прогрессия, формула суммы сходящейся геометрической прогрессии
5		Элементы математического анализа
	5.1	Производная, геометрический смысл производной, физический смысл производной. Дифференцируемые функции. Угловой коэффициент касательной к графику функции. Скорость материальной точки
	5.2	Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
	5.3	Применение производной при исследовании элементарных функций, нахождение точек экстремума, наибольших и наименьших значений функций, при построении графиков
	5.4	Первообразная функции, площадь криволинейной трапеции, определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница
6		Статистика и теория вероятностей
	6.1	Табличное и графическое представление данных. Числовые наборы; среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение, генеральная совокупность, выборка
	6.2	Случайный эксперимент, элементарное событие, случайное событие, вероятность случайного события; формула сложения вероятностей. Случайный выбор. Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями
	6.3	Независимые события. Вероятность пересечения независимых событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности
	6.4	Испытание Бернулли. Вероятность числа успехов в серии испытаний Бернулли
	6.5	Дискретная случайная величина. Распределение вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины. Математическое ожидание и  дисперсия случайной величины «Число успехов». Математическое ожидание и дисперсия частоты события. Закон больших чисел
	6.6	Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности. Важные непрерывные распределения: равномерные показательное, нормальное
7		Текстовые задачи
	7.1	Решение текстовых задач на движение, совместную работу, проценты, доли и части
	7.2	Решение задач с помощью организованного перебора вариантов
8		Геометрия
	8.1	Фигуры на плоскости, их свойства; теоремы планиметрии
	8.2	Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей. Проекция фигуры на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах
	8.3	Углы в пространстве между прямыми и плоскостями. Трехгранный и многогранный угол
	8.4	Многогранники: призма, параллелепипед, тетраэдр, пирамида. Их элементы. Построение сечений Прямоугольный параллелепипед. Теорема Пифагора в пространстве
	8.5	Тела вращения: цилиндр, конус, шар и сфера, их элементы. Сечения тел вращения
	8.6	Теорема Эйлера. Пять видов правильных многогранников
	8.7	Вычисление элементов пространственных тел (длины ребер, углы). Вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения
	8.8	Касательная прямая и плоскость. Теоремы о касательных в пространстве. Вписанные и описанные сферы
	8.9	Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных фигур
	8.10	Система координат в пространстве. Координаты точки. Вектор. Координаты вектора
	8.11	Коллинеарные и компланарные векторы. Сложение векторов. Умножение вектора на число, скалярное произведение векторов. Вычисление длин и углов с помощью векторов
	8.12	Уравнение плоскости, уравнения прямой в пространстве, уравнение сферы, формула расстояния между точками

ПРОЕКТ

Спецификация

контрольных измерительных материалов

для проведения единого государственного экзамена

по МАТЕМАТИКЕ углубленного уровня

1. Назначение КИМ ЕГЭ

Единый государственный экзамен (далее – ЕГЭ) представляет собой форму объективной оценки качества подготовки лиц, освоивших образовательные программы среднего (полного) общего образования, с использованием заданий стандартизированной формы (контрольных измерительных материалов).

ЕГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

Контрольные измерительные материалы позволяют установить уровень освоения выпускниками требований Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике углубленного уровня.

Результаты единого государственного экзамена по математике (углубленный уровень) признаются образовательными организациями среднего общего образования и образовательными организациями среднего и высшего профессионального образования как результаты государственной итоговой аттестации.

2. Документы, определяющие содержание КИМ ЕГЭ

Содержание экзаменационной работы определяется на основе следующих документов:

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (приказ Министерства образования и науки российской Федерации от 17 мая 2012 г. № 413).

3. Подходы к отбору содержания и разработке структуры КИМ.

Представленная работа состоит из двух частей и содержит 16 заданий.

Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) с кратким числовым ответом, проверяющих наличие практических математических знаний и умений базового уровня.

Часть 2 содержит 7 заданий (задания 10–16) с развёрнутым ответом по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень углублённой математической подготовки.

В соответствии с действующими нормативными документами результат выполнения экзаменационной работы не влияет на аттестационную отметку выпускника. По результатам ЕГЭ устанавливается минимальный балл, достижение которого необходимо для получения аттестата о среднем (полном) общем образовании. В этих условиях выполнение заданий части 1 экзаменационной работы (задания 1–9) свидетельствует о наличии общематематических умений, необходимых человеку в современном обществе. Задания этой части проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам предметных требований ФГОС: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика.

В целях более эффективного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки выпускников задания части 2 работы предназначены для проверки знаний на том уровне требований, которые традиционно предъявляются вузами с профильным экзаменом по математике. Последние три задания части 2 предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.

4. Структура контрольных измерительных материалов

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. Определяющим признаком каждой части работы является форма ответа заданий:

– часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) с кратким ответом;

– часть 2 содержит 7 заданий (задания 10–16) с развёрнутым ответом.

По уровню сложности задания распределяются следующим образом: задания 1–9 имеют базовый уровень, задания 10–14 – повышенный уровень, задания 15 и 16 относятся к высокому уровню сложности.

Задания первой части предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне.

Задание с кратким ответом (1–9) считается выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Задания 10–16 с развёрнутым ответом, в числе которых пять заданий повышенного и два задания высокого уровней сложности, предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов.

При выполнении заданий с развёрнутым ответом части 2 экзаменационной работы в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи.

Распределение заданий варианта контрольных измерительных материалов по планируемым результатам обучения.

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность достаточно полно проверить комплекс планируемых результатов обучения по предмету:

·                числа и выражения;

·                уравнения и неравенства;

·                функции;

·                элементы математического анализа;

·                статистика и теория вероятностей;

·                текстовые задачи;

·                геометрия.

В таблице 1 представлено распределение заданий в варианте контрольных измерительных материалов по разделам содержания.

Таблица 1. Распределение заданий по содержательным  разделам курса математики

Раздел курса математики, включенный в экзаменационную работу	Число заданий	Максимальный первичный балл	Процент максимального первичного балла за задания данного вида учебной деятельности от максимального первичного балла за всю работу, равного 29
Числа и выражения	3	6	20,7
Уравнения и неравенства	3	8	27,6
Функции	1	1	3,4
Элементы математического анализа	1	1	3,4
Статистика и теория вероятностей	2	2	6,9
Текстовые задачи	2	4	13,8
Геометрия	4	7	24,1
Итого	16	29	100%

Часть 1 содержит 9 заданий базового уровня (задания 1–9). Часть 2 содержит пять заданий повышенного уровня (задания 10–14) и два задания высокого уровня сложности (задания 15, 16).

В таблице 2 представлено распределение заданий варианта контрольных измерительных материалов по уровням сложности.

Таблица 2. Распределение заданий по уровню сложности

Уровень сложности заданий	Число заданий	Максимальный первичный балл	Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального первичного балла за всю работу, равного 29
Базовый	9	9	31,0%
Повышенный	5	12	41,4%
Высокий	2	8	27,6%
Итого	16	29	100%

В экзаменационной работе используются различные типы заданий В таблице 3 приведено распределение заданий в работе с учетом их типов.

Таблица 3. Типы заданий, использующиеся в экзаменационной работе

Типы заданий	Коли-чество заданий	Макси­мальный первичный балл	Процент максимального первичного балла за задания данного типа  от максимального первичного балла за всю работу, равного 29
С кратким ответом	9	9	31,1
С развернутым ответом	7	20	68,9
Итого	16	29	100

5. Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом

Правильное решение каждого из заданий 1–9 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Решения заданий с развёрнутым ответом оцениваются от 0 до 4 баллов. Полное правильное решение каждого из заданий 10–12 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 13 и 14 – 3 баллами, каждого из заданий 15 и 16 – 4 баллами.

Проверка выполнения заданий 10–16 проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев.

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 26.12.2013 г. №1400 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 г. № 31205),

«61. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом...»;

«62. В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

1) Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 и более баллов.

В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

2) Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, при наличии расхождений хотя бы в двух заданиях.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

Максимальный первичный балл за всю работу – 29. Первичные баллы переводятся в итоговые по 100-балльной шкале.

6. Продолжительность ЕГЭ по математике углубленного уровня

На выполнение экзаменационной работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

7. Дополнительные материалы и оборудование

Перечень дополнительных устройств и материалов, пользование которыми разрешено на ЕГЭ, утверждается приказом Минобрнауки России. Необходимые справочные материалы выдаются вместе с текстом экзаменационной работы. При выполнении заданий разрешается пользоваться линейкой.

8. Условия проведения экзамена (требования к специалистам)

На экзамене не имеют права присутствовать организаторы, являющиеся специалистами по математике.

9. Рекомендации по подготовке к экзамену

Для подготовки к экзамену рекомендуется использовать учебные методические комплексы, рекомендованные Министерством образования и науки РФ для обучения в соответствии с ФГОС СОО, а также открытый банк заданий, размещенный на сайте ФИПИ www.fipi.ru.

Приложение

Обобщенный план варианта КИМ ЕГЭ

по МАТЕМАТИКЕ (углубленный уровень)

Используются следующие условные обозначения:

1) ПРО – планируемые результаты обучения, ЭС - элементы содержания, проверяемые в КИМ. Коды ПРО и ЭС представлены в соответствии с кодификатором планируемых результатов обучения и элементов содержания.

2) Уровни сложности заданий: Б – базовый; П – повышенный; В – высокий.

№ п/п	Проверяемые требования (умения)	Код ПРО	Код ЭС	Уровень сложности	Максимальный балл за задание
1	Числа и выражения	2	2	Б	1
2	Числа и выражения	2	2	Б	1
3	Геометрия	8	8	Б	1
4	Геометрия	8	8	Б	1
5	Статистика и теория вероятностей	6	6	Б	1
6	Статистика и теория вероятностей	6	6	Б	1
7	Функции	4	4	Б	1
8	Текстовые задачи	7	7	Б	1
9	Элементы математического анализа	5	5	Б	1
10	Уравнения и неравенства	3	3	П	2
11	Геометрия	8	8	П	2
12	Уравнения и неравенства	3	3	П	2
13	Геометрия	8	8	П	3
14	Текстовые задачи	7	7	П	3
15	Уравнения и неравенства	3	3	В	4
16	Числа и выражения	2	2	В	4

Проект экзаменационной модели для проведения

единого государственного экзамена
по МАТЕМАТИКЕ

Углубленный уровень

Демонстрационный вариант

Углубленный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 16 заданий. Часть 1 содержит 9 заданий базового уровня сложности
с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–9 записываются по приведённому ниже образцу
в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1.

КИМ

Ответ:    –0,8    _ .

При выполнении заданий 10–16 требуется записать полное решение
и ответ в бланке ответов № 2.

Бланк

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Ответом к заданиям 1–9 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру,    знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии
с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

1

Найдите значение выражения .

Ответ: ___________________________.

2

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой  МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

где  м/с — скорость звука в воде; — частота испускаемого сигнала (в МГц);  — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается
со скоростью 2 м/с.

Ответ: ___________________________.

3

Четырёхугольник  вписан в окружность.
Угол  равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________.

4

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

Ответ: ___________________________.

5

В торговом центре установлены два кофейных автомата. Для каждого автомата вероятность того, что вечером в нём закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что вечером кофе закончится в обоих автоматах равна 0,2. Найдите вероятность того, что вечером кофе не закончится в обоих автоматах.

Ответ: ___________________________.

6

Важными экономическими показателями являются фондовые индексы. Фондовый индекс — это средняя стоимость акций группы компаний и предприятий. В таблице приведены 9 наблюдений над некоторым фондовым индексом на протяжении 9 рабочих дней (дневное значение индекса фиксируется на момент окончания торгов).

№	Дата	Значение (руб.)	№	Дата	Значение (руб.)	№	Дата	Значение (руб.)
1	7 сент.	1701	4	10 сент.	1742	7	15 сент.	1702
2	8 сент.	1714	5	11 сент.	1731	8	16 сент.	1703
3	9 сент.	1724	6	14 сент.	1729	9	17 сент.	1729

Пользуясь этими данными, найдите медиану и размах значений. В ответ выпишите номера дней, в которые значение индекса отличалось от медианы больше чем на половину размаха.

Ответ: ___________________________.

7

На рисунке изображён график дифференцируемой функции  
На оси абсцисс отмечены девять точек: , , ..., . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции  отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Ответ: ___________________________.

8

Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Ответ: ___________________________.

9

Найдите точку максимума функции .

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1

Для записи решений и ответов на задания 10–16 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (10, 11
и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

Часть 2

10

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

11

Все рёбра правильной треугольной призмы  имеют длину . Точки  и — середины рёбер  и  соответственно.

а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями  и .

12

Решите неравенство .

13

Две окружности касаются внешним образом в точке  Прямая  касается первой окружности в точке , а второй — в точке  Прямая  пересекает первую окружность в точке  прямая  пересекает вторую окружность
в точке

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника  если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

14

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке  рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

15

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

16

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Система оценивания

Ответы к заданиям 1–9

Каждое из заданий 1–9 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается
1 баллом.

№ задания	Ответ
1	3,3
2	751
3	35
4	28
5	0,6
6	178; 187; 718; 781; 817; 871
7	4
8	5
9	–5

Решения и критерии оценивания заданий 10–16

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 10–16, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания  можно  использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

10

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. а) Преобразуем обе части уравнения:

; ; ,

откуда  или .

Из уравнения  находим: , где .

Из уравнения  находим: , где .

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Получаем числа: ; ; .

Ответ: а) , ;   , .

б) ; ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

11

Все рёбра правильной треугольной призмы  имеют длину . Точки  и — середины рёбер  и  соответственно.

а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями  и .

Решение. а) Пусть точка  — середина . Тогда

.

С другой стороны,

,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник  является прямоугольным с прямым углом .

б) Проведём перпендикуляр  к прямой . Тогда  и . Следовательно, . Поэтому  — проекция  на плоскость .

Прямая  перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол  — линейный угол искомого угла.

Длина  равна половине высоты треугольника , то есть . Поэтому .

         Следовательно, .

Ответ: б) .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б	2
Выполнен только один из пунктов а и б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

12

Решите неравенство .

Решение. Левая часть неравенства определена при

При  получаем , , поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит .

При  получаем , , поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит .

Таким образом, решение исходного неравенства  и .

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

13

Две окружности касаются внешним образом в точке  Прямая  касается первой окружности в точке , а второй — в точке  Прямая  пересекает первую окружность в точке  прямая  пересекает вторую окружность в точке

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение. а) Обозначим центры окружностей  и  соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке  пересекает  в точке  По свойству касательных, проведённых из одной точки,  и  Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол  прямой, поэтому он опирается на диаметр  Значит,  Аналогично, получаем, что  Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4,
а вторая — радиус 1.

Треугольники  и  подобны, . Пусть  тогда  

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,  то есть  Аналогично,  Площадь трапеции  равна .

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к  перпендикуляр  равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника :

.

Тогда

.

Следовательно, , откуда  и

Ответ: 3,2.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

14

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке  рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Пусть сумма кредита равна , ежегодный платеж равен   рублей, а годовые составляют %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент  После первой выплаты сумма долга составит:  После второй выплаты сумма долга составит:

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому , откуда  .

При  и  получаем:  и

 (рублей).

Ответ:  рублей.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	3
Получено верное выражение для ежегодного платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу	2
С помощью верных рассуждений получено уравнение, из которого может быть найдено значение ежегодного платежа, но коэффициенты уравнение неверные из-за ошибки в вычислениях	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

15

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение. Если , то уравнение  задаёт окружность  с центром в точке  радиуса , а если , то оно задаёт окружность  с центром в точке  того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях  уравнение  задаёт окружность  с центром в точке  радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность  имеет единственную общую точку с объединением окружностей  и .

Из точки  проведём луч  и обозначим через  и  точки его пересечения с окружностью , где  лежит между  и . Так как , то .

При  или  окружности  и  не пересекаются.

При  окружности  и  имеют две общие точки.

При  или  окружности  и  касаются.

Из точки  проведём луч  и обозначим через  и  точки его пересечения с окружностью , где  лежит между  и . Так как , то .

При  или  окружности  и  не пересекаются.

При  окружности  и  имеют две общие точки.

При  или  окружности  и  касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность  касается ровно одной из двух окружностей  и  и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа  и .

Ответ: .

-                         

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра	2
Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

16

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение. Пусть среди написанных чисел  положительных,  отрицательных и  нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому  — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому  Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство  к виду . Так как , получаем, что , откуда  Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим  в правую часть равенства : , откуда . Так как , получаем:     то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число  и два раза написан 0. Тогда ; указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — искомая оценка в пункте в; — в пункте в приведён пример, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 26.12.2013 г. №1400 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 г. № 31205),

«61. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развёрнутым ответом...»;

«62. В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

1.                 1) Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, если расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 и более баллов.

В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, которое было оценено двумя экспертами со столь существенным расхождением.

2.                 2) Работа участника ЕГЭ направляется на третью проверку, при наличии расхождений хотя бы в двух заданиях.

В этом случае третий эксперт перепроверяет ответы на все задания работы.

---

[1] Здесь и далее – распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими свойствами понятий, конкретизировать примерами общие понятия.