Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасы 7 сынып

Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырымы

Дәреже, дәрежеге шығару, бірмүше, көпмүше, ұқсас мүшелер, ұқсас мүшелерді біріктіру, бірмүшелер мен көпмүшелерді көбейту, екі өрнектің қосындысы мен айырымының квадраты.

Тақырыпты оқу барысында нені үйренесіңдер?

Тақырыпты игере отырып, сендер екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырымының формулаларымен, екі өрнектің қосындысы мен айырымының толық емес квадратымен танысады; аталған формулаларды өрнектерді түрлендіру кезінде қолдануды үйренеді.

Өрнектерді түрлендіру кезінде алдыңғы параграфтарда қорытылып шығарылған екі өрнектің квадраттарының айырымы

екі өрнектің қосындысы мен айырымының квадраты

екі өрнектің қосындысы мен айырымының кубы

формулаларымен қатар екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырымы, яғни

 формуласы кеңінен қолданылады.

                                                                  (1)

формуласын дәлелдейік.

Ол үшін теңдіктің оң жағына көпмүшені көпмүшеге көбейту ережесін қолданамыз. Сонда

(1) формуладағы   өрнегін екі өрнектің айырымының толымсыз квадраты  деп атайды.

(1) формуланың тұжырымдамасы мына түрде оқылады:

екі өрнектің кубтарының қосындысы осы екі өрнектің қосындысын олардың айырымының толымсыз квадратына көбейткенге тең болады.

Екі өрнектің кубтарының айырымының формуласы:

                                                                     (2)

 өрнегін көбейткіштерге жіктейік.

Шешуі. Берілген өрнекті көбейткіштерге жіктеу үшін (1) формуланы қолданамыз. Сонда

                  

 өрнегін ықшамдайық.

Шешуі. (2) формуланы және ұқсас мүшелерді біріктіріп, мынаны аламыз:

Жауабы: -8.

§8-§11 параграфтарда қарастырылған мына формулаларды:

қысқаша көбейту формулалары деп атайды.

Жаттығулар

А

213. Көбейткіштерге жіктеңдер:

                                                      

Жауабы:

      

214. Көбейтіндіні көпмүше түрінде жазыңдар:

                        

Жауабы:

215. Өрнекті ықшамдаңдар:

                    

Жауабы:

216. Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар:

 мұндағы 

 мұндағы 

 мұндағы 

 мұндағы 

Жауабы:

217.  өрнегі                          өрнегі 

         өрнегі                          өрнегі  санына бөлінетінін дәлелдеңдер.

Жауабы:

В

218. Амалдарды орындаңдар:

        

Жауабы:

219. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер:

                                       

Жауабы:

220. Көпмүшені көбейтінді түрінде жазыңдар:

             

Жауабы:

221. Теңдеуді шешіңдер:

  

Жауабы:

    

   

222. Өрнекті ықшамдаңдар:

            

Жауабы:

223. Есептеңдер:

         

Жауабы:

С

224. Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар:

 мұндағы 

 мұндағы 

 мұндағы 

 мұндағы 

Жауабы:

225. Теңдеуді шешіңдер:

Жауабы:

226. Өрнекті ықшамдаңдар:

       

227. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер:

228. Есептеңдер:

         

229.  өрнегі 73 санына;   өрнегі 2000 санына бөлінетінін дәлелдеңдер.

Жауабы:

230. Екі натурал санды 4-ке бөлгенде, сәйкесінше 1 және 3 қалдық қалады. Осы сандардың кубтарының қосындысы 4-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.

Жауабы:  4-ке бөлінеді.

231. Тізбектей алынған үш натурал санның кубтарының қосындысы 3-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.

Жауабы:

   3-ке бөлінеді.

232. Тізбектей алынған екі натурал санның кубтарының айырымы 3-ке бөлінбейтінін дәлелдеңдер.

Жауабы:

   3-ке бөлінбейді.

233. Бір уақытта бірге тең болмайтын екі натурал сандардың кубтарының қосындысы құрама сан болатынын дәлелдеңдер.

Жауабы:

   құрама сан.

 234. Бірі екіншісінен үлкен болатын екі натурал санның кубтарының айырымы құрама сан екенін дәлелдеңдер.

Жауабы:

   құрама сан болмайды.

ТЕСТ ТАПСЫРМАЛАРЫ

1. Дұрыс емес теңдікті анықтаңдар.

2. x-ті қандай бірмүшеден алмастырғанда өрнегі екімүшенің квадраты болады?

А. 0,2 n және -2n;     С. 2n және -2n;

В. 4n және -4n;          D. 0,4n және -0,4n.

3. Дұрыс теңдікті анықтаңдар.

4.  өрнегін көбейтіштерге жіктеңдер.

       

5.  теңдеуін шешіңдер.

A. 2,5;          B. -2,5;         C. -2,5; 2,5;        D. -10; 10.

6.  өрнегін көбейтіштерге жіктеңдер.

                 

7. Дұрыс теңдікті анықтаңдар:

8.  өрнегін қандай санға бөлінеді?

A. 2;          B. 7;         C. 14;        D. 55.

9. Айырымның квадраты шығатын етіп  өрнегіндегі жұлдызшаның орнына сан қойыңдар.

A. 1,5;          B. -1,5;         C. 3;        D. -3.

10.  өрнегін есептеңдер.

A. 4;          B. 40;         C. -40;        D. -4.

11.  теңдеуін шешіңдер.

A. 0,5;          B. -5;         C. 0;        D. -5;0;5.

12.  өрнегін ықшамдаңдар.

A. 68-х;          B. 68+4х;         C. 60-4х;        D. 60+4х.

13.  өрнегін ықшамдап,  болғандағы мәнін табыңдар.

A. 52;          B. 53;         C. 56;        D. 108.

14. Екі мүшенің айырымның квадраты шығу үшін  өрнегіндегі жұлдызшаның орнына бірмүше қойыңдар.

A. 0,1 m немесе -0,1 m;       B. 0,2 m;     C. -0,2 m;      D. 0,2 m немесе -0,2 m.

15.  өрнегін стандарт көпмүшеге түрлендіріңдер.

                  

16.  өрнегін көбейткіштерге жіктеңдер.

            

17.  өрнегін ықшамдап,  болғандағы мәнін табыңдар.

A. -3;          B. 37;         C. -37;        D. -19.

18.  өрнегін есептеңдер.

A. 3218;          B. 1321;         C. 11;        D. 3125.

19.  өрнегін көбейтіштерге жіктеңдер.

                 

20.  өрнегін көбейтіштерге жіктеңдер.

                       

Тест тапсырмаларының жауаптары:

                 1. С         6. А         11. Д         16. В

                 2.             7. С         12. В         17.

                 3. С         8. Д         13. А         18. С

                 4. С         9.             14.             19. В

                 5. С        10.            15. А         20. Д

ТАРИХИ МАҒЛҰМАТТАР

Кейбір қысқаша көбейту формулалары шамамен бұдан 4 мың жыл бұрын белгілі болған. Вавилондықтар және басқа да халықтар бұл формулаларды ауызша және геометриялық түрде тұжырымдаған.

Ежелгі Грекияда алгебралық сұрақтар геометрия тіліне көшіріліп отырған. Евклидтің “Бастамалар” атты екінші кітабында гректердің геометриялық алгебрасы берілген. Онда екі кесіндінің көбейтіндісі “кесінділер арасында орналасқан” тіктөртбұрыштың ауданы деп түсіндірілген және

т.б. тепе-теңдіктер қарастырылған. Тырнақшаға алынған сөз тіркесі көбейтіндінің көбейткіштері тіктөртбұрыштың көршілес қабырғаларының көбейтіндісі екенін білдірген.

Евклидтің аталған кітабында басқа да қысқаша көбейту формулалар геометриялық түрде берілген.

Оның ішінде

теңдігімен берілген екі санның қосындысының квадраты 19-суретте көрсетілген. Қосындының квадраты  кесіндісіне тұрғызылған шаршы ауданының жіктелуімен өрнектелген.

                 19-сурет