Экспоненциалдық өсім мен ыдырау. Дифференциалдық теңдеулерді шеше алу және сол есептердің өмірмен байланысын табу.

• 1 слайд

  Математика пәнінің мұғалімі: Токмурзин Ж.С.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  Ақтөбе қаласындағы физика-математика бағытындағы Назарбаев Зияткерлік мектебі
  

• 2 слайд

  Cабақтың мақсаты
  
  Дифференциалдық теңдеулерді шеше алу және сол есептердің өмірмен байланысын табу.
  

• 3 слайд

  Күтілетін нәтиже
  
  
  
  
  Экспоненциалды өсу мен бұзылу моделін қолдану жағдайларын түсіндіреді
  Берілген мәнмәтінде есепті қалай шығару керек екеніне мысалдар келтіреді;
  
  

• 4 слайд

  Теңдеу құрастыру.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  Физикалық есептер шығару схемасы.
  Физикалық есептерді дифференциалдық теңдеу құрып шығару үш этаптан тұрады:
  
  Теңдеудің шешімін табу.
  Қойылған сұраққа жауап іздеу(шешімді зерттеу).
  

• 5 слайд

  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  Теңдеудің шешімін табуды төмендегідей тізбекпен орындау ұсынылады:
  1. Берілген құбылыстың өзгермелі шамасын орнату.
  2. Ізделінді функцияны және тәуелсіз айнымалыны таңдау.
  3. Осы айнымалыларды байланыстыратын заңдылықты орнату.
  4. Есептің шарты бойынша бастапқы шартты анықтау және қосымша берілгендерді көрсету.
  5. Есептегі барлық негізгі шамаларды тәуелсіз айнымалы, тәуелсіз айнымалыдан тәуелді функция және оның туындылары арқылы бейнелеп алу.
  6. Физикалық заңдылықпен есептің берілгені бойынша теңдеу құру.
  7. Теңдеудің жалпы шешімін табу.
  8. Есептің бастапқы шартын пайдаланып, теңдеудің дербес шешімін және қойылған есептің жауабын табу.
  

• 6 слайд

  Дененің сууы туралы есеп.
  1 – тапсырма. Ауаның температурасы 200С тең, 20 минут ішінде дене 1000С –тан 600С – қа дейін температураға суитыны белгілі. t уақытына байланысты Т дененің температураның өзгеру заңын және қанша t уақытта 250C болады?
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 7 слайд

  Шешуі: Есептің шарты бойынша айнымалы уақыт пен дене температурасы болып табылады.
  Оның ішінде, уақыт t – тәуелсіз айнымалы (сағат), ал температура T(t)0C – функция (Цельсия градус) берілген.
  Физикалық заңдылықты пайдаланамыз: Дененің ауадағы суу жылдамдығы, дененің температурасы мен ауаның температурасының айырмасына пропорционал.Бастапқы шартты көрсетеміз: t0=0 минутта дене температурасы T0=1000C тең.
  Пропорционалдық коэффициентті табу үшін қосымша шарттар берілген: t1=20, T1=600C.
  Есептің сұрағы: егер T2=250C болғанда, t2 уақытты анықтау керек.
  Туындының физикалық мағынасынан температураның өзгеру жылдамдығы дене температурасының уақыт бойынша − 𝑑𝑇 𝑑𝑡 туындысы болатынын аламыз.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 8 слайд

  Физикалық заңдылық бойынша теңдеуді жазамыз: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 =𝑘(𝑇−20).
  Жалпы шешімін табамыз: 𝑑𝑇 𝑇−20 = 𝑘𝑑𝑡 , 𝑙𝑛 𝑇−20 =𝑘𝑡+𝐶,
  𝑇−20=𝐶 𝑒 𝑘𝑡 – жалпы шешім. 𝑇=20+𝐶 𝑒 𝑘𝑡
  Бастапқы шартты қоямыз: 100=20+𝐶 𝑒 𝑘∙0 , бұдан 𝐶=80.
  𝑇=20+80 𝑒 𝑘𝑡 – дербес шешімді жазамыз.
  𝑘 коэффициентті табу үшін қосымша шартты пайдаланамыз:
  60=20+80 𝑒 20𝑘 , 𝑒 20𝑘 = 1 2 , 20𝑘=−𝑙𝑛2, 𝑘=− 𝑙𝑛2 20 .
  Енді ізделінді теңдеудің шешімін төмендегдей жазамыз:
  𝑇=20+80 𝑒 − 𝑙𝑛2 20 𝑡 .
  T2=250C болғанда, t2 уақытты іздейміз: 25=20+80 𝑒 − 𝑙𝑛2 20 𝑡 , 𝑒 − 𝑙𝑛2 20 𝑡 = 1 16 ,
  − 𝑡∙𝑙𝑛2 20 =−4∙𝑙𝑛2, 𝑡=80 мин.
  Жауабы: 𝑻=𝟐𝟎+𝟖𝟎 𝒆 − 𝒍𝒏𝟐 𝟐𝟎 𝒕 , 𝒕=𝟖𝟎 минут.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 9 слайд

  Қоспа туралы есеп.
  2 – тапсырма. 30л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,2л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 90% азот болады?
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 10 слайд

  Шешуі: t – уақыт (секунд), белгісіз айнымалы болсын.
  𝑥(𝑡) – t уақыттағы ыдыстағы азот мөлшері.
  Қолданылатын заңдылық: қандайда бір уақыттағы азоттың санының өзгеруі, осы уақыттағы қосылатын және ағып кететін азоттардың айырмасына тең.
  
  
  
  
  𝑑𝑡 уақытта 0,2𝑑𝑡 л азот қосылады, ал сондай мөлшерде қоспа ағызып алынды, бірақ қоспадағы азот 𝑥 30 ∙0,2𝑑𝑡,
  яғни 𝑥 30 - 𝑡 уақыттағы бір литр азоттың мөлшері.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 11 слайд

  Сонда:
  𝑑𝑥=0,2𝑑𝑡− 𝑥 30 ∙0,2𝑑𝑡
  𝑑𝑥= 0,2 30 (30−𝑥)𝑑𝑡, 𝑑𝑥 (30−𝑥) = 0,2 30 𝑑𝑡, −𝑙𝑛 30−𝑥 = 1 150 𝑡+𝑙𝑛𝐶,
  𝑙𝑛 30−𝑥 = 𝑒 − 1 150 𝑡 +𝑙𝑛𝐶.
  30−𝑥=𝐶 𝑒 − 1 150 𝑡 теңдеудің жалпы шешімі.
  𝑡=0, 𝑥=24 болғанда 𝐶=6. Демек, 30−𝑥=6 𝑒 − 1 150 𝑡 дербес шешім. Есептің негізгі сұрағына көшсек: 𝑥=27 болғанда,
  3=6 𝑒 − 1 150 𝑡 , −𝑙𝑛2=− 1 150 𝑡,
  𝑡=150∙𝑙𝑛2≈150∙0,69≈103,5 𝑐 ≈1,7 мин .
  Жауабы: 𝒕≈𝟏,𝟕 мин .
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 12 слайд

  Радиоактивті заттың ыдырау туралы есеп.
  3 – тапсырма. Егер радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 1600 жылға тең болса, онда 100 жылдан соң радиоактивті заттың мөлшері қанша болады?
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  Шешуі: t – уақыт (жыл), белгісіз айнымалы болсын.
  𝑥(𝑡) – t уақыттағы радиоактивтік заттың мөлшері.
  Қолданылатын заңдылық: радиоактивтік заттың ыдырау жылдамдығы, радиоактивтік заттың бастапқы мөлшеріне пропорционал.
  Теңдеуді құрастырамыз: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑘𝑥.
  

• 13 слайд

  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  Теңдеудің шешімін табамыз: 𝑑𝑥 𝑥 =𝑘𝑑𝑡, 𝑑𝑥 𝑥 =𝑘 𝑑𝑡 , 𝑙𝑛 𝑥 =𝑘𝑡+𝑙𝑛𝐶,
  𝑥=𝐶 𝑒 𝑘𝑡 – теңдеудің жалпы шешімі болады. t0=0, 𝑥 0 =𝑚 болғанда, 𝑚=𝐶 𝑒 0 𝑚=𝐶, 𝑥=𝑚 𝑒 𝑘𝑡 –теңдеудің дербес шешімін аламыз.
  t1=1600, 𝑥 1 = 𝑚 2 болғанда, 𝑚 2 =𝑚 𝑒 1600𝑘 1 2 = 𝑒 1600𝑘 1600𝑘=−𝑙𝑛2, 𝑘=− 𝑙𝑛2 1600 . Сонда 𝑥=𝑚 𝑒 − 𝑡∙𝑙𝑛2 1600 .
  t2=100 болғанда 𝑥=𝑚 𝑒 − 100∙𝑙𝑛2 1600 =𝑚 𝑒 − 𝑙𝑛2 16 , 𝑥 𝑚 = 𝑒 − 𝑙𝑛2 16 = 𝑒 −0,04 = 1 1,04 =0,96
  Жауабы: 0,96.
  

• 14 слайд

  Қозғалыс заңы туралы есеп.
  4 – тапсырма. Егер бастапқы тежелуден кейін қозғалыс кедергісі поездің салмағының 0,2 – не тең болса, онда поезд қандай уақытта және қандай қашықтықта тоқтайды.
  
  Шешуі. Тәуелсіз айнымалы – 𝑡 уақыт (секунд), тәуелді айнымалылар – 𝑠 қашықтық (метр) және 𝜗 жылдамдық (м/с).
  
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 15 слайд

  Ньютон заңын қолданып, теңдеуді құрастырамыз: 𝑚𝑎=− 𝐹 кедергі 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =−0,2∙𝑚𝑔, 𝑑𝑣=−0,2∙𝑔𝑑𝑡 , 𝑣=−0,2∙𝑔𝑡+𝐶 - жалпы шешім.
  Бастапқы шартты қоямыз t0=0, 𝑣 0 =22,5 м/с: 𝐶=22,5.
  𝑣=−0,2∙𝑔𝑡+22,5 дербес шешім. 𝑣 1 =0 болғанда 𝑡≈11c.
  Шарт бойынша 𝑠 1 іздейміз: 𝑑𝑠 𝑑𝑡 =𝑣, 𝑑𝑠 𝑑𝑡 =−0,2∙𝑔𝑡+22,5
  𝑠=−0,1∙𝑔 𝑡 2 +22,5𝑡+𝐶
  Бастапқы шарт бойынша 𝐶=0. 𝑠=−0,1∙𝑔 𝑡 2 +22,5𝑡
  𝑡=11 болғанда 𝑠≈126,5 м.
  Жауабы: 𝒕≈𝟏𝟏c, 𝒔≈𝟏𝟐𝟔,𝟓 м.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 16 слайд

  5 – тапсырма. 𝜗 – жылдамдық, s – жол, t – уақыт болғанда түзу сызықты қозғалыс 𝜗∙𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑠∙𝑠𝑖𝑛𝑡=1 теңдеуімен берілген. Егер t=0, s=2 болғандағы қозғалыс заңын анықта.
  Шешуі. 𝜗= 𝑑𝑠 𝑑𝑡 екені белгілі, осыны теңдеуге қойып, қозғалыстың дифференциалдық теңдеуін аламыз.
  𝑑𝑠 𝑑𝑡 ∙𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑠∙𝑠𝑖𝑛𝑡=1
  𝑐𝑜𝑠𝑡 – ға бөліп 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуге келтіреміз:
    𝑑𝑠 𝑑𝑡 +𝑠∙ 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1 𝑐𝑜𝑠𝑡
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 17 слайд

  Бұл теңдеудің жалпы шешімін табайық:
  𝑠= 𝑒 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝐶+ 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐶+ 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒 − 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
  =𝑒 ln⁡(𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝐶+ 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒 −ln⁡(𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑡 =𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐶+ 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 =𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐶+𝑡𝑔𝑡 =𝐶∙𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑠𝑖𝑛𝑡,
  𝑠=𝐶∙𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑠𝑖𝑛𝑡 жалпы шешімге t=0, s=2 бастапқы шартын қойып С – ның мәнін табамыз. Яғни 2=𝐶∙𝑐𝑜𝑠0+𝑠𝑖𝑛0, С=2.
  Бастапқы шартты қанағаттандыратын теңдеудің дербес шешімі және ізделінді қозғалыс заңы 𝑠=2∙𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑠𝑖𝑛𝑡.
  Жауабы: 𝒔=𝟐∙𝒄𝒐𝒔𝒕+𝒔𝒊𝒏𝒕
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 18 слайд

  Дененің сууы туралы есептер.
  1. Бөлме ауасының температурасы 100С тең, 20 минут ішінде дене 250С –тан 200С – қа дейін температураға суитыны белгілі. Қанша t уақытта Т дененің температурасы 150C болады?
  2. Бөлме ауасының температурасы 00С тең, 20 минут ішінде дене 250С –тан 200С – қа дейін температураға суитыны белгілі. Қанша t уақытта Т дененің температурасы 100C болады?
  3. Бөлме ауасының температурасы 150С тең, 40 минут ішінде дене 1200С –тан 800С – қа дейін температураға суитыны белгілі. 60 минуттан кейін Т дененің температурасы қандай болады?
  
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 19 слайд

  Қоспа туралы есептер.
  4. 20л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,1л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 90% азот болады?
  
  5. 30л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,4л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 95% азот болады?
  
  6. 60л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,3л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 92% азот болады?
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 20 слайд

  Радиоактивті заттың ыдырауы туралы есептер.
  7. Егер радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 600 жылға тең болса, онда 200 жылдан соң радиоактивті заттың мөлшері қанша болады?
  8. Егер радиоактивті заттың 0,2 бөлігі 3 сағатта ыдырайтын болса, онда радиоактивті заттың жартылай ыдырау мөлшері қанша уақытта болады?
  9. Радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 1 сағатқа тең болса, онда қанша уақыттан кейін радиоактивті заттың мөлшері 10 есе азаяды?
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 21 слайд

  Қозғалыс заңы туралы есептер.
  10. Моторлы қайық тұнық суда 18 км/сағ жылдамдықпен қозғалып келеді. Моторды сөндіргенен кейін 5 минуттан соң қайықтың жылдамдығы 6 м/с-қа дейін азаяды. Судың кедергісі қайық жылдамдығына пропорционал деп алып, моторды сөндіргеннен кейінгі 15 минутта қайықтың жолының ұзындығы қандай болады?
  
  11. Қалыңдығы 20 см болатын жарға 400 м/с жылдамдықпен оқ кіреді, ал жардан 100 м/с жылдамдықпен шығады. Кедергі қозғалыс жылдамдығының квадратына пропорционал болады деп алып, жардың болуындағы қозғалыс уақытын табу керек.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 22 слайд

  Үй жұмысы.
  1. Бөлме ауасының температурасы 00С тең, 30 минут ішінде дене 300С –тан 25,50С – қа дейін температураға суитыны белгілі. 3 сағаттан кейін Т дененің температурасы қандай болады?
  2. 90л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,4л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 85% азот болады?
  3. Радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 10 жылға тең болса, онда қанша уақыттан кейін радиоактивті заттың мөлшері бастапқы 120 грамнан 20 грамға дейін азаяды?
  4. Моторлы қайық тұнық суда 5 м/с жылдамдықпен қозғалып келеді. Моторды сөндіргенен кейін 40с-та қайықтың жылдамдығы 2 м/с-қа дейін азаяды. Судың кедергісі қайық жылдамдығына пропорционал деп алып, моторды сөндіргеннен кейінгі 2 минутта қайықтың жылдамдығы қандай болады?
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 23 слайд

  Қолданылған әдебиеттер:
  1. Е.М.Аксененко, Г.М.Чуванова. Применение дифференциальных уравнений к решению задач. Практикум. 2013г.
  2. Н.Я.Виленкин. Алгебра және математикалық анализ математиканы тереңдетіп оқытылатын сыныптар үшін 11 сыныпқа арналған.
  Экспоненциалдық өсім мен ыдырау
  

• 24 слайд

  Назарларыңызға рахмет!