Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Экспресс-репетитор по математике для подготовки к Внешней оценке учебных достижений
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Экспресс-репетитор по математике для подготовки к Внешней оценке учебных достижений

библиотека
материалов

ГУ «Приреченская средняя школа»













Экспресс-репетитор по математике для подготовки к Внешней оценке учебных достижений.

























2016





Полякова Н.Б., учитель математики ГУ «Приреченская средняя школа», Денисовский район, Костанайская область, Казахстан





















Пособие рассчитано на самостоятельную или с помощью учителя подготовку учащихся к внешней оценке учебных достижений. В него входят задания, включающие темы « Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля», «Уравнения, неравенства, системы с параметром», «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятностей и статистики». Каждый раздел предваряется кратким теоретическим материалом и примерами решения задач. Количество заданий в теме варьируется в зависимости от ее сложности.

Каждая тема включает в себя упражнения, которые позволяют учащимся самостоятельно повторить и закрепить изученное.

Чтобы проверить, усвоен ли материал, приведено решение упражнений.








Аннотация

Данное методическое пособие содержит материал для систематизации

знаний и умений учащихся по математике. Перечисленные задания помогают отрабатывать практические умения и навыки учащихся.


Цели разработки:

1. Повторение учебного материала по математике за курс основной школы и подготовка учащихся к внешней оценке учебных достижений.

2. Составление сборника в помощь учителю в организации индивидуальной работы с учащимися. 3. Составление сборника в помощь учащимся для самостоятельного овладения знаниями и в организации контроля имеющихся знаний .


Задачи:

  1. Систематизация содержания учебного материала по математике за курс основной школы.

  2. Определение уровня знаний, умений учащихся в усвоении учебного материала.


Спецификация материала

Методическое пособие содержит краткий справочный материал, методы решения, задания для самостоятельного решения и решение заданий для самостоятельного решения, составленные по разделам за курс основной школы. В пособие включен учебный материал по математике на основе Госстандарта по следующим разделам:

I раздел – 1.Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля.(стр.5) 2. Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля.(стр.5)

3. Методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.(стр.10)

II раздел –

1. Графики функций, содержащих знак модуля (стр.15)

2. Задания для самостоятельного решения (стр.16)

3.Решение заданий для самостоятельного решения (стр.17) III раздел – Уравнение, неравенства, системы с параметрами (стр.22)

1.Уравнения с параметрами (стр.23)

2.Системы уравнений с параметрами (стр.29)

3.Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена (стр.29)

4.Неравенства, содержащие параметр (стр.33)

5.Системы неравенств с параметрами (стр.36)

6.Задания для самостоятельного решения (стр.37) 7.Решение заданий для самостоятельного решения (стр.38) IV раздел – Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

1.Основные понятия и формулы комбинаторики. Методы решения задач.(стр.45)

2. Задания для самостоятельного решения (стр.50) 3. Решение заданий для самостоятельного решения (стр.50) V раздел – Элементы теории вероятностей (стр.52)

1. Классическое определение вероятности (стр.53)

2. Свойства вероятности ( стр.54)

3. Геометрическое определение вероятности (стр.60)

4. Элементы статистики (стр.61)

5. Задания для самостоятельного решения (стр.63) 3. Решение заданий для самостоятельного решения (стр.63)




















УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ


Определение. Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, и ему противоположное, если число отрицательное, т.е.

hello_html_3e21ccc2.gif=hello_html_m489f000b.gif

Модулем выражения f(x) называется само это выражение f(x), если оно неотрицательно, и ему противоположное, если f(x) отрицательно:

hello_html_m6e1155e.gif=hello_html_m4c3172ea.gifhello_html_m2566ecc5.jpg

Геометрический смысл модуля: модуль действительного числа a есть расстояние от начала координат до соответствующей числу a точки на числовой оси (рис. 1).

Модуль разности двух чисел hello_html_9356c24.gif есть расстояние между точками координатной прямой с координатами a и b (рис. 2).hello_html_5e595f6b.jpg


Свойства модуля

  1. Модуль любого числа есть число неотрицательное, т.е. hello_html_a3eef62.gif.

  2. Модуль числа не меньше самого числа, т.е. hello_html_m8e21892.gif.

Модуль числа равен самому числу тогда и только тогда, когда число неотрицательно, т.е.hello_html_m1fdf2dd9.gif.

Модуль числа больше самого числа тогда и только тогда, когда это число отрицательное, т.е. hello_html_38959c41.gif.

Модуль числа равен числу, ему противоположному, тогда и только тогда, когда число неположительное, т.е. hello_html_1ecc8b6a.gif.

  1. Модули противоположных чисел равны, т.е. hello_html_217fcbfb.gif.

  2. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е. hello_html_f226bf.gif.

  3. Модуль произведения (частного) двух чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, т.е. hello_html_104ad2e3.gif

  4. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей, т.е. hello_html_m16e95629.gif.

Модуль суммы двух чисел равен сумме их модулей тогда и только тогда, когда эти числа одного знака, т.е. hello_html_m1c9ddba8.gif.

Модуль суммы двух чисел меньше суммы их модулей тогда и только тогда, когда эти числа разных знаков, т.е. hello_html_73536a53.gif

  1. Модуль суммы двух чисел равен сумме этих чисел тогда и только тогда, когда оба числа неотрицательны, т.е. hello_html_11975fd1.gif



МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ


  1. Уравнения вида hello_html_m6fc5d4e6.gifгде hello_html_m8f522f9.gif – некоторое число.

Если a<0, то уравнение hello_html_m6e1155e.gif=hello_html_m8f522f9.gif не имеет корней.

Если a=0, то уравнение hello_html_m6e1155e.gif=hello_html_m8f522f9.gif равносильно уравнению f(x)=0.

Если a>0, то уравнение hello_html_m6e1155e.gif=hello_html_m8f522f9.gif равносильно совокупности уравнений

hello_html_m542ebbd3.gif

Пример 1. Решите уравнение:

а) hello_html_300c28b9.gif=5

б) hello_html_17b0e825.gif= - 3

Решение. а) Уравнение hello_html_300c28b9.gif=5 равносильно совокупности уравнений hello_html_m5b106abf.gif

Решая эти уравнения, находим, что hello_html_m4f7c32e2.gif

Ответ: hello_html_m72ebc47f.gif


б) Уравнение hello_html_17b0e825.gif= - 3 не имеет корней, так как модуль принимает только неотрицательные значения, правая часть отрицательна (-3<0).

Ответ: нет решений.


  1. Уравнения вида hello_html_5e519ead.gif

Способ 1. Уравнение можно решать, используя определение модуля выражения.

Уравнение равносильно совокупности двух систем

hello_html_20843a45.gif


Пример 2. Решите уравнение 4hello_html_m58e48459.gif

Решение. Пользуясь определением модуля, получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

hello_html_m3164868e.gifhello_html_m84989c7.gifhello_html_m5d62c307.gifhello_html_m3d476a41.gif

Ответ:hello_html_41740d1f.gif; 5.


Способ 2. Заметим, что корни уравнения hello_html_46d6318a.gifg(x) должны удовлетворять условию g(x)hello_html_m57af8f8c.gif. Уравнение равносильно системе hello_html_m1b2230ac.gif


Пример 3. Решите уравнение hello_html_2739fe4b.gif

Решение. Данное уравнение hello_html_m4da2901d.gif равносильно системе

hello_html_841a1fd.gifhello_html_m65b0ad7b.gif

Ответ: 1.

Выбор способа решения уравненияhello_html_46d6318a.gifg(x) определяется тем, какое из условий проще g(x)hello_html_m57af8f8c.gif или f(x)hello_html_m57af8f8c.gif (f(x)<0).


Пример 4. Решите уравнение:

а) hello_html_3e79de20.gif

б) hello_html_2f3a742b.gif

Решение. а) hello_html_3e79de20.gif. Перепишем уравнение в виде hello_html_7b80d032.gif

Выражение, стоящее в правой части, проще, чем под модульное, поэтому перейдем к равносильной системе

hello_html_m5faa270d.gifhello_html_m4ab062a8.gifhello_html_m242a197d.gifhello_html_m661fa44f.gif

Ответ: -1hello_html_m55a2b0f6.gif2.


б) Уравнение hello_html_2f3a742b.gif равносильно системе

hello_html_479015bc.gifhello_html_m67fe6d48.gifhello_html_22990490.gif

Непосредственной подстановкой в неравенство x2-10hello_html_m57af8f8c.gifубеждаемся, что условию удовлетворяет только x=-4.

Ответ: - 4.


  1. Уравнения вида hello_html_m471dc030.gif

Модули двух выражений равны тогда и только тогда, когда эти выражения равны или противоположны. Уравнение равносильно совокупности уравнений.

hello_html_250dba54.gif


Пример 5. Решите уравнение hello_html_7952e462.gif

Решение. Уравнение hello_html_m40b95422.gifРавносильно совокупности уравнений

hello_html_226db643.gifhello_html_7c475303.gifhello_html_m1d0a44d6.gif

Ответ: hello_html_117c6d8d.gif


  1. Метод замены переменной.

Если уравнение содержит hello_html_m35c61fb5.gif то его удобно решать, используя замену hello_html_40ad8f1a.gif hello_html_m25a438b3.gif


Пример 6. Решите уравнение:

а) hello_html_mb210cad.gif

б) hello_html_281d744f.gif

Решение. а) hello_html_m1e6db398.gif. Пусть t=hello_html_24eac141.gif, тогда hello_html_2bf4419f.gif и уравнение примет вид hello_html_5a786d3d.gif t=1 или t=-8.

Вернемся к прежней переменной: hello_html_m5e36fb07.gif x=hello_html_706845c2.gif или hello_html_m3c8f4057.gif – нет корней.

Ответ: hello_html_706845c2.gif.

Замечание. При введении подстановки t=hello_html_24eac141.gif можно отметить, что t≥0, и значение t=-8 не рассматривать.


б) hello_html_459a4552.gif. Пусть hello_html_m50ebf756.gif тогда уравнение примет вид hello_html_m7a1dbcc3.gif hello_html_m46883058.gif или t=5. Вернемся к прежней переменной: hello_html_23147951.gif – нет корней; hello_html_5521262b.gif тогда hello_html_4449d830.gif hello_html_m30ee0c09.gif

Ответ: hello_html_1cab25ab.gif



  1. «Раскрытие» знака модуля по определению (метод разбиения на промежутки).

Если уравнение содержит несколько разных выражений под знаком модуля, то можно область допустимых значений переменной разбить на промежутки, внутри каждого из которых все подмодульные выражения сохраняют знак (для этого достаточно нули подмодульных выражений), далее исходное уравнение рассмотреть на каждом из полученных промежутков, т.е. заменить равносильной ему совокупностью систем.


Пример 7. Решите уравнение:

а) hello_html_maddc602.gif б) hello_html_m58c876b0.gifhello_html_16cb1d7f.jpg

Решение. а)hello_html_392978df.gif . ОДЗ уравнения (множество R) разбивается числами 1 и 5 (нулями подмодульных выражений) на три промежутка: ( - ∞;1), hello_html_m598efcc4.gif, (5; + ∞) (рис.3).

Исходное уравнение равносильно совокупности трех систем:

  1. hello_html_m260f221e.gifhello_html_m4a5e183a.gifнет решений;


  1. hello_html_m5f348da7.gifhello_html_m5af0fdeb.gifhello_html_m3c7b5294.gif



  1. hello_html_m35db85a1.gifhello_html_m1fd7b965.gifнет решений.

Ответ: hello_html_m64fe93e9.gif

hello_html_9615df5.jpg

б) hello_html_m6e0d31b8.gif. ОДЗ уравнения разбивается числами 3 и 5 на три промежутка : ( - ∞;3), hello_html_m3370ff75.gif, (5; + ∞) (рис.4).

Исходное уравнение равносильно совокупности трех систем:

  1. hello_html_8b4dff4.gifhello_html_m5538d435.gifнет решений;


  1. hello_html_4a98e1e4.gifhello_html_ac452f3.gifhello_html_1011f7c8.gif



  1. hello_html_m809ed7d.gifhello_html_m7560941a.gifнет решений.

Ответ: 3.


  1. Уравнение вида hello_html_1e8228a7.gif

Уравнения решаются с использованием свойств модуля (6 и 7):

hello_html_m1dc2e578.gif

Пример 8. Решите уравнение:

а) hello_html_7bbe6188.gif б) hello_html_295d26fa.gif

Решение. а) hello_html_692c6a0c.gif. Перепишем уравнение в виде hello_html_m177ef67e.gif или hello_html_m28b8480a.gif т.е. модуль суммы двух выражений равен сумме модулей этих выражений. Значит, уравнение равносильно неравенству

hello_html_m1c5488a8.gif

Ответ: hello_html_m1daeec17.gif



б) hello_html_295d26fa.gif Перепишем уравнение в виде hello_html_29959a3c.gif или hello_html_m25e902db.gif т.е. сумма модулей равна сумме под модульных выражений. Значит, уравнение равносильно системе

hello_html_399c75fe.gifhello_html_m709bb340.gifhello_html_m12a8f4cc.gif

Ответ: hello_html_m20b2a325.gif



Приведем еще несколько примеров уравнений.



Пример 9. Решите уравнение.

а) hello_html_m533a908f.gif б) hello_html_m23672e15.gif

Решение. а) hello_html_m4dad1ebe.gif. Перепишем уравнение в виде hello_html_m7e65ea59.gif Пусть hello_html_m59ec1864.gif, тогда hello_html_44a3ade9.gif и уравнение примет вид hello_html_1184493b.gif t=3 или t=5. Вернемся к прежней переменной:

hello_html_3bccbf5f.gifhello_html_665dc3d1.gifhello_html_m617aba40.gif

Ответ: -3; -1; 5; 7.


б) hello_html_m23672e15.gif Заметим, что в левой части уравнения сумма неотрицательных слагаемых, а в правой части 0. Значит, уравнение равносильно системе

hello_html_2dd1a841.gifhello_html_m36b1cc2e.gif


Подстановкой убеждаемся, что числа 2 и 3 удовлетворяют первому уравнению системы, а значит, являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; 3.











МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

  1. Неравенства вида hello_html_m18ebf4fa.gifгде hello_html_m8f522f9.gif – некоторое число.

Если ahello_html_m160e7a5a.gifто неравенство hello_html_594633fd.gif не имеет решений.

Если a>0, то неравенство hello_html_7b9be618.gif равносильно двойному неравенству hello_html_310ef969.gif т.е. системе неравенств

hello_html_14c8e12d.gif


Пример 10. Решите неравенство.

а) hello_html_445507b.gif б) hello_html_m3d2df37f.gif

Решение. а) hello_html_m38673708.gif. Неравенство равносильно двойному неравенству hello_html_61b58a.gif

Ответ: hello_html_m1d9014d2.gif


б) hello_html_m3d2df37f.gif Неравенство решений не имеет, так как левая часть принимает только неотрицательные значения, а правая – отрицательна. Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного.

Ответ: нет решений.


  1. Неравенства вида hello_html_m16f87d0a.gif где hello_html_m8f522f9.gif – некоторое число.

Если a<0, то неравенство hello_html_5a4ec559.gif верно при любом допустимом значении x.

Если a=0, то неравенствоhello_html_5a4ec559.gif верно при всех допустимых значениях x, при котором hello_html_512db62d.gif

Если a>0, то неравенство hello_html_5a4ec559.gif равносильно совокупности неравенств hello_html_22370a40.gif

Пример 11. Решите неравенство.

а) hello_html_f7d821d.gif б) hello_html_14b8ac1d.gif

Решение. а) Неравенство hello_html_6a89a5ec.gifравносильно совокупности hello_html_3dff1eaf.gif hello_html_2eecb8f5.gif hello_html_5d14e06b.gif

Ответ: hello_html_m4e5b2049.gif

б) Неравенство hello_html_m1a18b9c0.gif выполняется при всех допустимых значения x т.е. hello_html_20ef100.gif hello_html_63937f35.gif

Ответ: hello_html_48e9ec0.gif

  1. Неравенства вида hello_html_7a091e59.gif

Неравенства вида hello_html_m4e8f80e5.gif являются обобщением неравенств вида hello_html_594633fd.gif, где hello_html_m8f522f9.gif – некоторое число. Неравенство hello_html_m4e8f80e5.gifравносильно системе hello_html_m1af57a60.gif


Пример 12. Решите неравенство:

а) hello_html_10ea897c.gif б) hello_html_1ec98ec5.gif

Решение. а) Неравенство hello_html_7510b02d.gif равносильно системе hello_html_m6304edac.gif hello_html_m29c37490.gif hello_html_3570d205.gif

Ответ: (1; 3)


б) Неравенство hello_html_47597d53.gif равносильно системе hello_html_m5959c725.gif hello_html_6a2a1178.gif hello_html_8a82c91.gifhello_html_m3ce86e00.jpg


Решением системы неравенств, а значит и решением исходного неравенства, является пересечение полученных множеств значений x (рис. 5).

hello_html_m4bc09c9e.gif

Ответ: hello_html_1b6db7a8.gif


  1. Неравенства вида hello_html_m558e6477.gif

Неравенства вида hello_html_69c5d4f1.gif являются обобщением неравенств вида hello_html_5a4ec559.gif, где hello_html_m8f522f9.gif – некоторое число.

Неравенство hello_html_69c5d4f1.gif равносильно совокупности hello_html_m41cff42e.gif


Пример 13. Решите неравенство:

а) hello_html_m4d829f84.gif

Решение. а) Неравенство hello_html_m4d829f84.gif равносильно совокупности hello_html_156a48be.gif hello_html_m4e423b2a.gif Решая первое неравенство, получим hello_html_m632c01f8.gif, а решением второго неравенства является объединение промежутков hello_html_32b80c4d.gif

Тогда решением совокупности является hello_html_79e0b2f8.gif

Ответ: hello_html_79e0b2f8.gif


  1. Неравенство вида hello_html_m47315b24.gif

Так как обе части неравенства hello_html_6d67de84.gif неотрицательны при всех допустимых значениях x, то можно возвести обе части неравенства в квадрат и получить равносильное неравенство hello_html_m58ac0c1f.gif т.е. hello_html_144e12e5.gif hello_html_524e65ea.gif Полученное неравенство, не содержащее модуля, чаще всего удобно решать методом интервалов.


Пример 14. Решите неравенство:

а) hello_html_53ce0b93.gif; б) hello_html_m5f0ae83.gif


Решение. а) hello_html_53ce0b93.gif. Возведем обе части неравенства в квадрат: hello_html_8cca10a.gif hello_html_6e51802f.gif

Решением неравенства является объединение промежутков hello_html_2f7a7b3.gif

Ответ: hello_html_2f7a7b3.gif


б) hello_html_406aaeec.gif. Возведем обе части неравенства в квадрат: hello_html_m704d70f0.gif

hello_html_7e3db49c.gif

Ответ: hello_html_m6760bd54.gif


Пример 15. Решите неравенство:

а) hello_html_m15aa54a8.gif б) hello_html_26fdcd80.gif


Решение. а) hello_html_8238520.gif. Пусть hello_html_57831cfb.gif тогда неравенство примет вид hello_html_m7428d322.gif Вернемся к прежней переменной: hello_html_m525ffe17.gif Решением первого неравенства является объединение промежутков hello_html_m7d3c7665.gif а второе не имеет решений. Значит, решением исходного неравенства является объединение числовых промежутков hello_html_54b4ef8d.gif

Ответ: hello_html_54b4ef8d.gif


б) hello_html_m53fee0df.gif. Перепишем неравенство в виде hello_html_m499d92f1.gif Пусть hello_html_311e69a5.gif тогда неравенство примет вид hello_html_m41786f56.gif Вернемся к прежней переменной: hello_html_4cac4335.gif Полученное неравенство равносильно совокупности

hello_html_m4f577ea9.gifhello_html_m9cad131.gif

Ответ: hello_html_3b30a492.gif


  1. «Раскрытие» знака модуля по определению (метод разбиения на промежутки).


Пример 16. Решите неравенство:

а) hello_html_m3a598c4a.gif б) hello_html_74a73680.gif

Решение. а) Неравенство hello_html_m42fc681.gif равносильно совокупности двух систем:

  1. hello_html_457419db.gifhello_html_19a39385.gifhello_html_90da7b6.gif


  1. hello_html_7e6a7b4f.gifhello_html_m92b5e5e.gifhello_html_m4a9691d2.gif

Ответ: hello_html_m143d59d3.gif.

hello_html_2c959a17.jpg

б) hello_html_m30f5bcd2.gif. ОДЗ неравенства (множество R) разбивается числами -1 и 3 (нулями подмодульных выражений) на три промежутка: hello_html_m4156290f.gif (рис. 6).

Исходное неравенство равносильно совокупности трех систем:

  1. hello_html_7da69d5a.gifhello_html_m4a94a58c.gifhello_html_c3acc57.gif


  1. hello_html_m77d4dd9d.gifhello_html_m41a09b2.gifhello_html_a84641f.gif



  1. hello_html_m5954a8fd.gifhello_html_79411c03.gifhello_html_m296ce92b.gif

Решением исходного неравенства является объединение множеств решений трех систем: hello_html_474e9f94.gif

Ответ: hello_html_m21761b3f.gif


  1. Неравенства вида hello_html_mc628958.gif

Неравенство вида hello_html_67442a6f.gif не имеет решений, так как модуль суммы двух выражений не больше суммы модулей этих выражений.

Неравенство вида hello_html_8649885.gif равносильно уравнению hello_html_155dcd4d.gif.

Неравенство вида hello_html_1d4f778d.gif выполняется при всех допустимых значениях x.

Неравенство вида hello_html_m5a18fcad.gif равносильно неравенству hello_html_7b061157.gif (свойство 6).


Пример 17. Решите неравенство:

а) hello_html_1a842e76.gif

б) hello_html_m1ccac66c.gif

Решение. а) hello_html_362c3655.gif. Неравенство hello_html_2301c6e8.gif равносильно уравнению hello_html_m13f57c3e.gif. Сумма модулей двух выражений равна модулю их суммы в том и только том случае, если выражения имеют одинаковый знак, т.е. hello_html_2a5bd36.gif

Ответ: hello_html_367bf0.gif


б) hello_html_m600b9622.gif Сумма модулей двух выражений больше модуля их суммы тогда и только тогда, когда эти выражения разных знаков, т.е. hello_html_623af244.gifРешением этого неравенства является объединение промежутков hello_html_27c935ac.gif

Ответ: hello_html_me6991be.gif


Рассмотрим еще несколько неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Пример 18. Решите неравенство:

а) hello_html_7312837d.gif

б) hello_html_2e5b2fb3.gif

Решение. а) hello_html_311b71ff.gif. Так как при всех допустимых значениях x левая часть неотрицательна, то неравенство равносильно уравнению hello_html_m70237e14.gif т.е. равносильно системе hello_html_m17a9cf0c.gif hello_html_m5eda0789.gif

Ответ: 5.


б) hello_html_4e6dd4c5.gif hello_html_403d0093.gif Так как левая часть неравенства принимает только неотрицательные значения, а правая – неположительные, то неравенство равносильно системе hello_html_m7ceb456.gif hello_html_m2dd03a5e.gif

Ответ: 0,5.



































ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ


  1. График функции hello_html_38f58f0b.gif

Чтобы построить график функции hello_html_673c6bb3.gif имея график функции hello_html_673c6bb3.gif нужно:

  1. Сохранить ту часть графика функции hello_html_673c6bb3.gif где hello_html_m66dae8fe.gif (т.е. расположенную не ниже оси Ox);hello_html_m370504d7.jpg

  2. Отобразить симметрично относительно оси Ox ту часть графика функции hello_html_20b1c9b2.gif где hello_html_m7d8d08c2.gif (т.е. расположенную ниже оси Ox (рис. 7)).

Пример 19. Постройте график функции hello_html_6cd9b6d0.gif и укажите промежутки возрастания функции.hello_html_m570d0951.jpg

Решение. Графиком функции hello_html_m493bc052.gif служит парабола с вершиной в точке (3; -1), ветви параболы направлены вверх; (2;0), (4;0) – точки пересечения параболы с осью Ox. hello_html_m3b11d4e9.gif если hello_html_m4e6657fc.gif (рис. 8, а).

Часть параболы, соответствующую hello_html_m4e6657fc.gif, отображаем симметрично относительно оси Ox (рис. 8, б).hello_html_43dc3d5d.jpg

Функция hello_html_6cd9b6d0.gif является возрастающей на промежутках hello_html_68195bfb.gif

Ответ: hello_html_68195bfb.gif


  1. График функции hello_html_3d5544a4.gifhello_html_388a111a.jpg

Чтобы построить график функции hello_html_34ab5707.gif, имея график функции hello_html_20b1c9b2.gif нужно:

  1. Сохранить ту часть графика функции hello_html_5a44a6b1.gif, где hello_html_m2e500778.gif (т.е. расположенную не левее оси Oy). Ликвидировать часть графика, соответствующую x<0 (т.е. расположенную левее оси Oy);

  2. Отобразить сохраненную часть графика симметрично относительно оси Oy (рис. 9).


Пример 20. Постройте график функции hello_html_78680bf4.gifи укажите промежутки, на которых функция положительна.hello_html_345c2f87.jpg

Решение. Графиком функции hello_html_m57fd18a4.gif является парабола, ветви которой направлены вверх; (2;-1) – координаты вершины параболы; А (0;3) – точка пересечения параболы с осью Oy (рис. 10, а)

Стираем часть параболы, расположенную левее оси Oy, а оставшуюся часть отображаем симметрично относительно оси Oy (рис. 10, б). Функция hello_html_78680bf4.gif положительная на промежутках hello_html_634b5ab4.gifhello_html_m3071931.jpg


Ответ: hello_html_634b5ab4.gif




  1. График функции hello_html_m46572c90.gif имея график функции hello_html_m6ebf54ee.gif (рис. 11, а), нужно применить последовательно преобразования, необходимые для построения графиков функций hello_html_21f821e7.gif и hello_html_m5497caa4.gif:hello_html_m2f8d0e4f.jpghello_html_m471953d2.jpg

  1. Сохранить ту часть графика функции hello_html_m20301d5b.gif где hello_html_m15c0f9ec.gif (рис. 11, б);

  2. Отобразить симметрично относительно оси Ox ту часть графика функции hello_html_m6ebf54ee.gif, где hello_html_mc683ad5.gif (рис.. 11, в);

  3. Выполнить симметрию относительно оси Oy получившейся при hello_html_m2e500778.gif части графика (рис. 11, г).hello_html_31d32c5.jpg

Пример 21. Постройте график функции hello_html_160a6619.gif. Укажите промежутки, на которых функция убывает.

Решение. hello_html_1c918406.jpg

  1. Строим график функции hello_html_m79519129.gif (рис. 12, а);

  2. Отображаем симметрично относительно оси Ox часть графика, расположенную ниже оси Ox (рис. 12, б);

  3. Отображаем получившийся график симметрично оси Oy (рис. 12, в).

hello_html_m5d913d38.jpghello_html_7df354f0.jpghello_html_370e70db.jpg









Функция hello_html_m4890fad1.gif убывает на промежутках hello_html_m263d94d0.gif

Ответ: hello_html_m263d94d0.gif



ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнение (1-6).

  1. hello_html_65813b99.gif

  2. hello_html_3a98dac7.gif

  3. hello_html_m13c4102.gif

  4. hello_html_m317f842a.gif

  5. hello_html_24ab7cd2.gif

  6. hello_html_m6a9ddd2e.gif

Решите неравенство (7-13).

  1. hello_html_4e0b834a.gif

  2. hello_html_19bea913.gif

  3. hello_html_m234a6905.gif

  4. hello_html_525e1650.gif

  5. hello_html_60e28705.gif

  6. hello_html_4297ac38.gif

  7. Найдите все х, удовлетворяющие условиям:

hello_html_43804272.gif



Найдите область определения функции (14-18).

  1. hello_html_139e6c1d.gif

  2. hello_html_5c35852.gif

  3. hello_html_11852162.gifПостройте график функции hello_html_m2b2752c7.gif. Укажите промежутки возрастания функции.

  4. Постройте график функции hello_html_34e58089.gif Какие значения принимает функция, если hello_html_m99691f6.gif

  5. Постройте график функции hello_html_m1f38bd1d.gif. Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения (1-6).

  1. hello_html_65813b99.gif

Решение. hello_html_65813b99.gif; hello_html_m4187a114.gif hello_html_m5c763238.gif второе уравнение совокупности не имеет решения, первое уравнение имеет корни 1 и 3.

Ответ: 1; 3

  1. hello_html_3a98dac7.gif

Решение. Уравнение hello_html_3a98dac7.gif равносильно совокупности двух систем:

  1. hello_html_6052df25.gif

  1. hello_html_290a56bc.gif

Ответ: hello_html_2818c17f.gif

  1. hello_html_m13c4102.gif

Решение. Уравнение hello_html_m13c4102.gifравносильно системе hello_html_m4a7809ca.gif hello_html_1cd18834.gif hello_html_m71ed8d23.gif нет решений.

Ответ: нет решений.



  1. hello_html_m317f842a.gif

Решение. Уравнение hello_html_m317f842a.gif равносильно совокупности трех систем:

  1. hello_html_m38b5b7f5.gif

  2. hello_html_257184a.gif

  3. hello_html_m2d411fe0.gif

Ответ: hello_html_463fdb63.gif

  1. hello_html_24ab7cd2.gif

Решение. Уравнение hello_html_24ab7cd2.gif равносильно совокупности двух систем:

  1. hello_html_659626d.gif

  2. hello_html_m3cf1eaf2.gif

Ответ: hello_html_6585f040.gif

  1. hello_html_m6a9ddd2e.gif

Решение. Перепишем уравнение в виде hello_html_73736a77.gif Так как сумма подмодульных выражений равна правой части, то уравнение равносильно системе неравенств hello_html_m7afa75b5.gif Решением первого неравенства является промежуток hello_html_m4a321b53.gif, а второго – объединение промежутков hello_html_6ec447e5.gif Значит, решением системы является hello_html_6a0ce32c.gif

Ответ: hello_html_6a0ce32c.gif

Решите неравенство (7-13).

  1. hello_html_4e0b834a.gif

Решение. Неравенство hello_html_4e0b834a.gif равносильно системе hello_html_m25b83589.gif

Ответ: hello_html_m4e063933.gif

  1. hello_html_19bea913.gif

Решение. Перепишем неравенство виде hello_html_m9d72af8.gif Неравенство равносильно системе hello_html_m69c93b28.gif

Решением первого неравенства системы является объединение промежутков hello_html_6714a8a7.gif Решением второго неравенства является объединение промежутков hello_html_m38f30e65.gif Пересечением множеств решений неравенств является hello_html_md7d67a1.gif

Ответ:hello_html_413f5c10.gif

  1. hello_html_m234a6905.gif

Решение. Неравенство hello_html_m234a6905.gif равносильно совокупности hello_html_3b0ea4af.gif hello_html_m341a950d.gif Множеством решений первого неравенства является объединение промежутков hello_html_60eadd3a.gif Множеством решений второго неравенства является промежуток hello_html_63863055.gif Объединяя решения неравенств, получим hello_html_m612a400a.gif

Ответ: hello_html_m612a400a.gif

  1. hello_html_525e1650.gif

Решение. Неравенство hello_html_525e1650.gif равносильно совокупности трех систем:

  1. hello_html_m673073b8.gif

  2. hello_html_m31d827fa.gif

  3. hello_html_m11c816bc.gif

Ответ: hello_html_m3f9f734c.gif

  1. hello_html_60e28705.gif

Решение. hello_html_m7e653c6c.gif Заменим переменную, пусть hello_html_57831cfb.gif тогда hello_html_5a8d13bd.gif Вернемся к прежней переменной hello_html_m12099dc5.gif

Ответ: hello_html_3c02ee3d.gif

  1. hello_html_4297ac38.gif

Решение. Неравенство hello_html_m6d7d9fba.gif равносильно неравенству hello_html_m10869cd8.gif hello_html_m5115d5f1.gif

Ответ: hello_html_43f68ecd.gif

  1. Найдите все х, удовлетворяющие условиям:

hello_html_43804272.gif

Решение. Первое неравенство равносильно совокупности hello_html_85e7077.gif Решая совокупность, получим hello_html_m2559924f.gif

Множеством решений неравенства hello_html_32582d56.gif является промежуток [-4;2]. Тогда множеством решений системы является (-3;2)(1;2].

Ответ: (-3;2)(1;2].



Найдите область определения функции (14-18).

  1. hello_html_139e6c1d.gif

Решение. Область определения функции hello_html_139e6c1d.gif задается системой неравенств hello_html_6b074292.gif Множеством решений первого неравенства является промежуток hello_html_4a6d441e.gif Множеством решений второго неравенства является (-∞;-4)ᴗ(4;+∞). Значит, область определения функции: hello_html_50735bf0.gif

Ответ: hello_html_f5428b1.gif

  1. hello_html_5c35852.gif

Решение. Область определения функции hello_html_5c35852.gif задается системой hello_html_32795387.gif Множеством решений неравенства hello_html_m2a5cbb67.gif является hello_html_m408b9881.gif Значит, hello_html_39447291.gif

Ответ: hello_html_4eb706cf.gif

  1. hello_html_11852162.gifПостройте график функции hello_html_m2b2752c7.gif. Укажите промежутки возрастания функции.

Решение. Зададим функция hello_html_m2b2752c7.gif кусочно: hello_html_m40c7509a.gifhello_html_m28a0c129.jpg

Построим график функции (рис. 1).

Функция hello_html_m2b2752c7.gif возрастает на промежутках [-2;-1.5], [0; +∞).

Ответ: [-2;-1.5], [0; +∞).

  1. Постройте график функции hello_html_34e58089.gif Какие значения принимает функция, если hello_html_m99691f6.gif

Решение. Зададим функцию hello_html_m74ba8c7b.gifкусочно: hello_html_m68c37edf.gifhello_html_65f4bf46.jpg

Построим график функции (рис. 2).

Если hello_html_m392fca20.gif

Ответ: hello_html_47300762.gif

  1. Постройте график функции hello_html_m1f38bd1d.gif. Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

Решение. Чтобы построить график функции hello_html_m1f38bd1d.gif, надо:

  1. Построить график функции hello_html_m6c665534.gif

  2. Сместить график вдоль оси Ох на 2 единицы влево, получим график функции hello_html_1b1b405.gif

  3. Сместить полученный график вдоль оси Оу на 1 единицу вниз, получим график функции hello_html_m2cd5924d.gifhello_html_6b827d56.jpg

  4. Отобразить часть графика, расположенную ниже оси Ох, симметрично относительно оси Ох, получим график функции hello_html_m5c452e01.gif

  5. Сместить график функции вдоль оси Оу на 3 единицы вниз (рис. 3).

Функция hello_html_2f3cded7.gif принимает положительные значения при hello_html_mbfdda4.gif

Ответ: hello_html_m45696aa8.gif























УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРОМ


Если в уравнение, неравенство или систему входят коэффициенты, обозначенные буквами, то эти коэффициенты называются параметрами. Давая параметрам различные числовые значения, получаем разные уравнения (неравенства, системы).

Рассматривая уравнение hello_html_3b121dda.gif мы придаем буквам hello_html_m8f522f9.gif и x разный смысл, считая, что буквой x обозначена переменная, а буквой hello_html_m8f522f9.gif – некоторое фиксированное число, значение которого в разных случаях различно. Коэффициент называют параметром, а уравнение называют уравнением с параметром.

Решить уравнение (систему, неравенство) с параметром – это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства, системы) или доказать, что их нет.

Два уравнения (неравенства, системы), содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если:

  1. Имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

  2. Каждое решение первого является решением второго и наоборот;

Если данные уравнения (неравенства, системы) вовсе не имеют решений. То они так же считаются равносильными.

Приведем некоторый (не претендующий на полноту) перечень типов заданий с параметром.

  1. Решите уравнение, неравенство или систему с параметром.

  2. Определите количество корней уравнения при различных значениях параметра.

В большинстве задач такого типа оказывается возможным записать данное уравнение в виде hello_html_7fce628a.gif или hello_html_4a9d382b.gif и решить задачу графически.

В первом случае строим график функции hello_html_m6ebf54ee.gif и прямой hello_html_5873fbc2.gif при разных значениях hello_html_m8f522f9.gif и записываем ответ.

Во втором случае строим график функции hello_html_m6ebf54ee.gif и семейство графиков функций hello_html_5c8991bf.gif при различных значениях hello_html_m8f522f9.gif. Далее поступаем, как в первом случае. Сами корни при этом, как правило, не находятся.

  1. Найдите все значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение, ровно два решения, не имеет решений, выполняется при всех x и .т.д.

  2. Найдите все значения параметра, при которых данные уравнения или неравенства равносильны, одно является следствием другого, имеют хотя бы один общий корень и т.д.

  3. Найдите все значения параметра, при которых корни квадратного уравнения удовлетворяют поставленным условиям (один корень меньше данного числа m, а другой больше m; оба корня меньше m; оба корня больше m; один корень является квадратом другого; сумма кубов корней меньше числа q и т.д.).

Для решения поставленной задачи в простейших случаях бывает достаточным воспользоваться теоремой Виета. В других случаях полезно обратиться к графику квадратичной функции, выяснить направление ветвей и положение вершины параболы при разных значениях параметра.

Рассмотрим примеры решений уравнений, неравенств и систем с параметром.







УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ


Пример 1. Решите уравнение hello_html_m6822aab7.gif

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду hello_html_m26ecefab.gif

Мы имеет линейное уравнение, число корней которого зависит от того, равен ли нулю коэффициент при x. Поэтому рассмотрим два случая:

  1. Если hello_html_m60a4a691.gifт.е. hello_html_m9f169e4.gif, то уравнение примет вид hello_html_m3fe25d3d.gif, его корнем является любое число;

  2. Если hello_html_m579a7de7.gif то можно разделить обе части уравнения на hello_html_m4fe4ac2a.gif получим, что hello_html_3946e275.gif, hello_html_m7a5babc1.gif

Ответ: если a=-3, то xhello_html_m7386bc3d.gif


Пример 2. Решите уравнение hello_html_14005152.gif

Решение. Преобразуем уравнение к виду hello_html_62465a86.gif

Коэффициент при x зависит от параметра, поэтому рассмотрим два случая:

  1. Если a-1=0, т.е. a=1, то уравнение имеет вид 0*x=-5 – корней нет;

  2. Если а-1≠0 т.е. а≠1, то можно разделить обе части уравнения на (а-1), получим, что hello_html_m74d81401.gif.

Ответ. Если a=1, то корней нет; если а≠1, то hello_html_m74d81401.gif.


Пример 3. Решите уравнение hello_html_m595f3eff.gif.

Решение. Коэффициент x зависит от параметра поэтому рассмотрим два случая.

hello_html_27d32db6.gif

а) Если b=0, то уравнение примет вид 0*x=9 – корней нет;

б) Если b=3, то уравнение примет вид 0*x=9 – корнем является любое число;

2. Если hello_html_39833588.gifто можно разделить обе части уравнения на b(b-3); получим hello_html_m54fd4405.gif

Ответ: если b=0, то корней нет; если b=3, то xhello_html_58433c9b.gif; если hello_html_m71517bd2.gif, hello_html_m71517bd2.gif, то hello_html_347b3a00.gif


Пример 4. Решите уравнение hello_html_388b5523.gif

Решение. Уравнение hello_html_m46258b10.gifявляется квадратным при всех hello_html_m8f522f9.gif, так как коэффициент hello_html_7a2a5240.gif не зависит от параметра. Найдем дискриминант этого уравнения D=25+8a. Количество корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта. Рассмотрим три случая:D<0, D=0, D>0.

  1. D<0, т.е. 25+8a<0, a<hello_html_m858396e.gif. При a<hello_html_m858396e.gif уравнение не имеет действительных корней.

  2. D=0, т.е. a= -hello_html_m619ae467.gif, тогда x= 1hello_html_685d8d49.gif.

  3. D>0, 25+8a>0, т.е. a>hello_html_m858396e.gif, тогда уравнение имеет два корня hello_html_76994f7.gif

Ответ: если a<hello_html_m858396e.gif, то корней нет; если a= -hello_html_m619ae467.gif, то x=1.25; если a>hello_html_m858396e.gif, то hello_html_76994f7.gif


Пример 5. Решите уравнение hello_html_edb152d.gif.

Решение. Коэффициент при hello_html_7a2a5240.gif зависит от параметра. Поэтому рассмотрим два случая:

  1. Если а+1=0, т.е. а=-1, то уравнение примет вид -2х+2=0, х=1;

  2. Если а+1≠0, т.е. а≠-1, то уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: D1=1-(1-a)(a+1)=a2. Дискриминант неотрицателен при всех а≠-1.

Если D1=0, т.е. а=0, то уравнение имеет один (два совпадающих) корень х=1.

Если D1≠0, т.е. а≠0 и а≠-1, то уравнение имеет два различных корня hello_html_2bd76b85.gif hello_html_m68f42763.gif.

Ответ: если а=-1, то х=1; если ф=0, то х=1; если а≠0, а≠-1, то х=1 или hello_html_m4454b92f.gif.


Пример 6. Решите уравнение hello_html_56e84aae.gif

Решение. Коэффициент при x2 зависит от параметра, поэтому рассмотрим два случая.

  1. Если b-2=0, т.е. b=2, то уравнение примет вид -4x+1=0, x=0.25.

  2. Если b-2≠0, т.е. b≠2, то уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: D1=4-1(b-2)=6-b. Рассмотрим случаи: D1<0, D1=0, D1>0.

а) D1<0, т.е. 6-b<0, b>6, уравнение не имеет корней.

б) D1=0, т.е. b=6, уравнение имеет один (два совпадающих) корень x=0.5.

в) D1>0, т.е. b(-∞;2)(2;6), уравнение имеет два различных корня hello_html_m3c23120c.gif.

Ответ: Если b=2, то x=0.25; если b=6, то x=0.5; если b>6, то корней нет; если b(-∞;2)(2;6), то hello_html_m3c23120c.gif.


Сформулируем алгоритм решения целого уравнения с параметром.

  1. Привести уравнение к стандартному виду и проверить, зависит ли коэффициент при старшем члене от параметра. Если зависит, то рассмотреть случай, когда он равен нулю.

  2. Решить уравнение при условии, что коэффициент при старшем члене не равен нулю.

  3. Объединить все полученные результаты. В ответе для каждого возможного значения параметра должны быть записаны формулы корней уравнения.


Пример 7. Решите уравнение:

а) hello_html_m777182b8.gif б) hello_html_m2099970e.gif

Решение. а) hello_html_m29fc712d.gif. Запишем условие равенства дроби нулю: hello_html_608c4c76.gif hello_html_68fea39e.gif Заметим, что если hello_html_130b07ee.gif то система примет видhello_html_642018a1.gif решений нет; если hello_html_m76aaf914.gif то система hello_html_m4fe8e489.gif имеет решение hello_html_m38b2ea1c.gif

Ответ: если hello_html_m50881fd9.gif, то корней нет, если hello_html_m76aaf914.gif то hello_html_m2f2eca39.gif


б) hello_html_102163be.gif. Уравнение равносильно системе hello_html_1ff7bc85.gif hello_html_7c236ee6.gif

Найдем, при каком значении hello_html_m8f522f9.gif число 4 не является решением системы: hello_html_m7173151b.gif Если hello_html_2ac4ed7c.gif, то система hello_html_m35abe3ea.gif не имеет решений: если hello_html_m11c490d8.gif, то система hello_html_7c236ee6.gif имеет решение hello_html_dc854c4.gif.

Ответ: если hello_html_2ac4ed7c.gif, то корней нет; если hello_html_m11c490d8.gif, то hello_html_dc854c4.gif.


Пример 8. Решите уравнение hello_html_15b59d22.gif

Решение. Уравнение hello_html_m57958524.gif равносильно системе hello_html_44d7ac20.gif По теореме, обратной теореме Виета, числа hello_html_m1460c775.gif и hello_html_m6f74f0dc.gif являются корнями уравнения hello_html_m13c00c1e.gif, а числа 1 и 3 – корнями уравнения hello_html_2c00b37f.gif. Тогда имеем

hello_html_2e5929cb.gif

Рассмотрим все случаи, когда хотя бы одно из чисел hello_html_m1460c775.gif или hello_html_m6f74f0dc.gif совпадает с числом 1 или 3, и когда ни одно из чисел hello_html_m1460c775.gif и hello_html_m6f74f0dc.gif не совпадает с числами 1 или 3.

  1. Если hello_html_2021073c.gif, т.е. hello_html_mcb56930.gif то система примет вид

hello_html_m3c6b36b8.gif

  1. Если hello_html_56279e3a.gif, т.е. hello_html_m3bd30f22.gif то система примет вид

hello_html_m1e6bd2ba.gif

  1. Если hello_html_342aee63.gif, т.е. hello_html_35fe009d.gif то система примет вид

hello_html_35a87053.gif

  1. Если hello_html_m6832af3e.gif, т.е. hello_html_56a96bde.gif то система примет вид

hello_html_m4e85e7bd.gif

  1. Если hello_html_m1bb8b32b.gif, hello_html_m1ecf5e75.gif hello_html_m4b75086c.gifто система

hello_html_m74a663ae.gif

hello_html_11852162.gifОтвет: если hello_html_56fd60c3.gif, то hello_html_m2523ebce.gif; если hello_html_7f1f13f0.gif, то hello_html_m2dd03a5e.gif; если hello_html_24f51e42.gif, то hello_html_7ad9aa5b.gif если hello_html_m27d546.gif, то hello_html_502fbdbc.gif если hello_html_m50fde53e.gif hello_html_m21ac3dae.gifто hello_html_m3a1a41e9.gif.


Алгоритм решения дробно-рационального уравнения с параметром

  1. Привести уравнение к виду hello_html_4835352.gif

  2. Записать условие равенства дроби нулю: hello_html_m548d28c6.gif.

  3. Рассмотреть все случаи, когда хотя бы один из нулей числителя является и нулем знаменателя, и когда ни один из нулей не является нулем знаменателя.

  4. Записать ответ, объединив все полученные результаты.


Пример 9. Решите уравнение:

а) hello_html_m21d03ca7.gif б) hello_html_5b14c658.gif

Решение. а) hello_html_m38fd21c7.gif. Рассмотрим три случая: hello_html_m347a451b.gif

  1. Если hello_html_m23159ae5.gif, то уравнение не имеет корней.

  2. Если hello_html_m36ef3421.gif, то уравнение примет вид hello_html_3826c3b3.gif.

  3. Если hello_html_m5b986344.gif, то уравнение hello_html_m38fd21c7.gif равносильно совокупности

hello_html_6977fda7.gif hello_html_1ac62682.gif


Решим уравнение hello_html_m15d34734.gif. hello_html_28171bd7.gif так как a>1, то D1>0. Значит уравнение имеет два корня hello_html_m1b66340e.gif.

Решим уравнение hello_html_m5f0579c6.gif. hello_html_2a7745ba.gif

Если a>4, то D1<0, значит при hello_html_m8f522f9.gif >4, корней нет.

Если a=4, то D1=0, значит, уравнение имеет один (два совпадающих) корень x=1.

Если 1<a<4, то уравнение имеет два различных корня hello_html_76d7caf3.gif.

Ответ: hello_html_7ebc1092.gif, то корней нет; если hello_html_m8f522f9.gif =1, то hello_html_73317d32.gif; если 1<hello_html_m8f522f9.gif <4, то hello_html_m1b66340e.gif или hello_html_76d7caf3.gif; если hello_html_m8f522f9.gif =4, то x=1 или hello_html_m1b66340e.gif, если hello_html_m8f522f9.gif >4, то hello_html_m1b66340e.gif.


б) hello_html_5b14c658.gif. Корни двучленов hello_html_a85e7d8.gifразбивают координатную прямую на три промежутка hello_html_m2d18e5ab.gif. Данное уравнение равносильно совокупности трех систем:

(1) hello_html_m1040cfdb.gif hello_html_m14c282f6.gif Найдем, при каких значениях параметра эта система имеет решение. Очевидно, что при hello_html_m23697726.gif т.е. при hello_html_m37a81ad7.gif система решений не имеет, а при условии hello_html_6c776375.gif т.е. hello_html_2436fd22.gif решением системы является hello_html_39fe93cb.gif

(2) hello_html_m5eb37fbf.gif hello_html_m41f119c3.gif Если hello_html_m7b5d9c57.gif то система решений не имеет, а если hello_html_m1946d7eb.gif, то ее решением является промежуток hello_html_md7d51bf.gif

(4) hello_html_m4e4b3ad4.gif hello_html_505dd75a.gif Если hello_html_4ed98769.gif т.е. hello_html_43dd7a11.gif, то система не имеет решение, а если hello_html_m18c0937d.gif, т.е. hello_html_2436fd22.gif то решением системы является hello_html_3ba7d0b4.gif

Ответ: при hello_html_137e84b9.gif корней нет; при hello_html_m1946d7eb.gif hello_html_m3b0432dd.gif; при hello_html_7a8ba255.gif

Определите количество корней уравнения в зависимости от параметра (10-11).

Пример 10. hello_html_m4c5ee59b.gif.

Решение. Применим графический способ решения. hello_html_m6492ae7e.jpg

Построим графики функций hello_html_m63eb7c6b.gif (рис. 13)

При hello_html_m8f522f9.gif <0 нет корней.

При hello_html_m8f522f9.gif =0 два корня.

При 0<hello_html_m8f522f9.gif <2 четыре корня.

При hello_html_m8f522f9.gif =2 три корня.

При hello_html_m8f522f9.gif >2 два корня.

Ответ: нет корней при hello_html_m8f522f9.gif <0; два корня при hello_html_m8f522f9.gif(2;+∞)ᴗhello_html_438081cd.gif; три корня при hello_html_m8f522f9.gif =2; четыре корня при hello_html_m8f522f9.gif(0;2).


Пример 11. hello_html_m29c91670.gif

Решение. Применим графический способ решения. Построим графики функций hello_html_m78c423b3.gif (рис. 14)hello_html_656b4f27.jpg

Если hello_html_m8f522f9.gif <-2, то два корня.

Если hello_html_m8f522f9.gif =-2, то три корня.

Если -2<hello_html_m8f522f9.gif <2, то четыре корня.

Если hello_html_m8f522f9.gif =2, то два корня.

Если hello_html_m8f522f9.gif >2, то нет корней.

Ответ: нет корней при hello_html_m8f522f9.gif(2;+∞); два корня при hello_html_m8f522f9.gif(-∞;-2)ᴗhello_html_3f1e429a.gif; три корня при hello_html_m8f522f9.gif =-2; четыре корня при hello_html_m8f522f9.gif(-2;2).


Пример 12. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_47b3d051.gif имеет хотя бы один корень?

Решение. Перепишем уравнение в виде hello_html_38806847.gif. Применим графический способ решения. Построим графики функций hello_html_m57fcca81.gif. Зададим первую функцию кусочно hello_html_5869aee0.gif

График функции hello_html_m5b08e7d1.gif получается из графика hello_html_m75db2941.gif с сдвигом вдоль оси Ox на hello_html_m8f522f9.gif единиц (рис. 15).hello_html_22bc73b.jpg


Найдем, при каких значениях а график функции hello_html_m5b08e7d1.gif пройдет через точку hello_html_39fddf69.gif Значит, при hello_html_m7509e782.gif уравнение будет иметь хотя бы один корень, а при hello_html_m273dac1c.gif корней нет.

Ответ: hello_html_m7509e782.gif


Пример 13. При каких значения параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_52cb4cf9.gif не имеет корней?hello_html_7680742.jpg

Решение. перепишем уравнение в виде hello_html_m2537520f.gif Применим графический метод решения. Построим графики функций hello_html_m31734486.gif

График первой функции получается из графика функции hello_html_m75db2941.gif сдвигом вдоль оси Ох на –hello_html_m8f522f9.gif единиц.

Вторую функцию зададим кусочно hello_html_m4438e542.gif (рис. 16).

Найдем, при каких значениях hello_html_m8f522f9.gif график функции hello_html_588916b2.gif, пройдет через точку hello_html_177a7efb.gif hello_html_744ebeb6.gif При hello_html_m1b412120.gif графики функций имеют общие точки, т.е. уравнение имеет хотя бы один корень; при hello_html_6b0ab97d.gif общих точек у графиков нет. Т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: hello_html_6b0ab97d.gif


Пример 14. Найдите все значения параметра hello_html_m8f522f9.gif, при которых уравнения hello_html_m176c091d.gif имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Пусть х0 – общий корень данных уравнений. Тогда hello_html_m3ab06871.gif (1)

Вычтем из первого уравнения второе, получим hello_html_m4b171bc8.gif Если hello_html_m6e3644ff.gif любое значение x удовлетворяет уравнению. При hello_html_2c3bde27.gifданные уравнения имеют один и тот же вид hello_html_m175aacb4.gif, но дискриминант этого уравнения отрицателен, т.е. при hello_html_2c3bde27.gif данные уравнения корней не имеют.

Если hello_html_257d5b45.gif, то система hello_html_m66431e5f.gif равносильная системе (1), имеет решение hello_html_58c5ee12.gif Итак, данные уравнения имеют общий корень (x=1), если =-2.

Ответ: hello_html_m8f522f9.gif =-2


Пример 15. Найдите все значения hello_html_m8f522f9.gif, при которых равносильны уравнения.

hello_html_mb68bac1.gif

Решение. Заметим, х=0 является корнем второго уравнения. Так как уравнения равносильны, то х=0 должно быть корнем и первого уравнения. Это возможно лишь при условии hello_html_m4bdb4bba.gif, т.е. при hello_html_m8f522f9.gif =4 или hello_html_m8f522f9.gif =3.

Итак, уравнения могут быть равносильными только при hello_html_m8f522f9.gif =3 или hello_html_m8f522f9.gif =4.

Если а=3, то первое уравнение имеет вид hello_html_m7f834d81.gif и имеет корни х=0 или х=-4; второе уравнение имеет вид hello_html_7903d27a.gif и имеет единственный корень (второй кратности) х=0. Уравнения имеют разное множество корней и поэтому не являются равносильными. Если hello_html_m8f522f9.gif =4, то уравнения имеют вид

  1. hello_html_1f547085.gif

  2. hello_html_1473faaa.gif

Уравнения вновь оказались неравносильными.

Ответ: ни при каких значениях hello_html_m8f522f9.gif уравнения не являются равносильными.
































СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ


Пример 16. Решите систему уравнений:

а) hello_html_652ec905.gif

Решение. а) hello_html_652ec905.gif hello_html_m1740f592.gif + hello_html_5e0890c6.gif


Если hello_html_150a8773.gif, то система примет вид hello_html_7c23471.gif Решение нет.

Если hello_html_a717379.gif то система hello_html_5e0890c6.gif имеет решение hello_html_m744e99b9.gif

Ответ: при hello_html_93a7270.gif нет решений; при hello_html_1bc2ce14.gif hello_html_m3c460702.gif.


Пример 17. Найдите значение параметра а, при которых система hello_html_776a2891.gif имеет единственное решение. Найдите это решение.

Решение. Рассмотрим систему hello_html_mfba15f5.gif равносильную данной. Квадратное уравнение hello_html_24059605.gif имеет единственный корень в том и только в том случае, если его дискриминант равен 0; hello_html_m2a547b73.gif

hello_html_55423132.gif

Если hello_html_6d4f418b.gif, то имеет систему, т.е.hello_html_m5bfa7240.gif т.е. hello_html_m6ec3451d.gif hello_html_m3b9c6d76.gif hello_html_m41936d36.gif - единственное решение системы.

Если hello_html_2ac4ed7c.gif, то система имеет вид hello_html_m6c3f97f0.gif hello_html_4bb8cf65.gif hello_html_6557b669.gif hello_html_5b4a049f.gif - единственное решение системы.

Ответ: если hello_html_6d4f418b.gif, то hello_html_m41936d36.gif; если hello_html_2ac4ed7c.gif, то hello_html_m20d9e889.gif


ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПОЛОЖЕНИЕМ КОРНЕЙ

КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА


Используем следующие обозначения: квадратичная функция hello_html_174724b2.gif

hello_html_m34b7762b.jpg


Пример 18. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_m480c4510.gif имеет два различных отрицательных корня?hello_html_m6a909e86.jpg

Решение. Заметим, что при всех значениях hello_html_m8f522f9.gif графиком функции hello_html_253ac8f4.gif является парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим схематично график функции, удовлетворяющий условию задачи (рис.17)

Для того, чтобы корни были различны и отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы hello_html_m272426ee.gif hello_html_1686b865.gif hello_html_m7bcc5055.gif Решением системы, а следовательно, и самой задачи являются числа а из промежутка (-0,5;0). заметим, что такую же систему мы получили бы, используя теорему Виета hello_html_m6d676cbe.gif hello_html_366207e0.gif

Ответ: (-0,5;0).


Пример 19. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif один из корней уравнения hello_html_m1beae214.gif меньше – 2, а другой – больше 1?

Решение. При всех значениях hello_html_m8f522f9.gif графиком функции hello_html_m5d31112b.gif является парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим схематично график функции, удовлетворяющий условию задачи (рис. 18).hello_html_7fe8dff3.jpg

Числа -2 и 1 расположены между корнями уравнения тогда и только тогда, когда hello_html_7da2ce39.gif hello_html_m1789df00.gif hello_html_e847df3.gif hello_html_7d3824bf.gif

Ответ: hello_html_32374b81.gif


Замечание. Требование D>0 в данном случае было бы излишним, так как наличие корней уравнения обеспечивается тем, что на параболе есть точки, расположенные ниже оси Ох hello_html_me2e28d3.gif в то время как ветви параболы направлены вверх.


Пример 20. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_64c0a984.gif имеет корни, заключенные между числами -1 и 2?hello_html_631426e.jpg

Решение. Графиком функции hello_html_m55b99fb9.gif является парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим схематично график функции, удовлетворяющий условию задачи (рис. 19).

Для того, чтобы корни (не обязательно различные) были заключены между числами -1 и 2 необходимо и достаточно, чтобы hello_html_m706de56f.gif hello_html_1da8e3a7.gif


hello_html_47529fe8.gif

Система решений не имеет. Значит, нет таких значений hello_html_m8f522f9.gif, при которых корни заключены между числами -1 и 2.

Ответ: таких значений нет.


Пример 21. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_m14577afb.gif имеет два различных корня одного знака.

Решение. Так как уравнение должно иметь два различных корня, то оно является квадратным и hello_html_m11b35da2.gif. Воспользуемся теоремой Виета. Чтобы квадратное уравнение имело различные корни одного знака, необходимо и достаточно, чтобы hello_html_30ba5a1.gif hello_html_m2d711ec5.gif


hello_html_60ab1e8b.gifПервое неравенство выполняется при любом значении hello_html_m8f522f9.gif, решением второго является объединение промежутков hello_html_20b21ddf.gif Тогда решением системы, а, следовательно, и самой задачи является hello_html_43c1d910.gif

Ответ: hello_html_1c0f52c1.gif


Пример 22. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif корни уравнения hello_html_m14577afb.gif больше 1?

Решение. Рассмотрим два случая:

  1. hello_html_mf0ed5ed.gif

  2. hello_html_m287b438e.gif

  1. Если hello_html_5a4d1bb5.gif

При hello_html_m50881fd9.gif исходное уравнение имеет вид hello_html_m782a4ac2.gif Условие задачи не выполняется.

При hello_html_2c3bde27.gif уравнение примет вид hello_html_4816912b.gif Условие задачи не выполняется.

  1. Если hello_html_m11b35da2.gif, т.е. hello_html_41fd0c57.gif то уравнение является квадратным. Изобразим схематично график функции hello_html_m3c680346.gif, удовлетворяющий условию задачи (рис. 20, а, б).

hello_html_m4b92b508.jpg

Для того, чтобы оба корня были больше 1, необходимо и остаточно, чтобы hello_html_m53fc29fe.gif или hello_html_4080ba49.gif

Заметим, что совокупность этих систем равносильна системе hello_html_2b4f5abb.gif hello_html_m49e23d5a.gif hello_html_649768cb.gif

Решением неравенства hello_html_65bfea79.gif является объединение промежутков (-4;-3), (1;1;5). Решением неравенства hello_html_m8a3ecf3.gif является объединение промежутков (-∞;-4), (-2;1) и (2;+∞). Тогда система решений не имеет.

Ответ: решений нет.


Пример 23. При каких значениях а неравенство hello_html_m26c7db7c.gif выполняется при всех hello_html_m21b81b34.gif

Решение. По условию задачи множество решений неравенства hello_html_266d60a1.gif должно содержаться в множестве решений первого неравенства. Рассмотрим три случая: hello_html_m4e1610c7.gif

Если hello_html_2c54cabd.gif, то неравенство примет вид hello_html_m79d87745.gif и условие задачи выполняется.

Если hello_html_m266c99ef.gif, то графиком функции hello_html_m5541947a.gif является парабола, ветви которой направлены вниз (рис. 21). Ни при каких hello_html_m266c99ef.gif данное неравенство не будет выполняться для всех hello_html_c4e7313.gifhello_html_m4eba0502.jpg


Если hello_html_m25646f4b.gif, то графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (рис.22).hello_html_3e067912.jpg







Так как hello_html_m462c4aec.gif то неравенство hello_html_m26c7db7c.gif выполняется при всех hello_html_37e66b9a.gif hello_html_1e11fde8.gif hello_html_m2b7337ab.gif hello_html_5c958c27.gif


Значит, условие выполняется при всех hello_html_4f21b49c.gif

Ответ: hello_html_82aaa2e.gif.


НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР

Пример 24. Для каждого значения m решите неравенство hello_html_m1afaa990.gif

Решение. Если hello_html_m4647171e.gif, т.е. hello_html_23f6d120.gif, то неравенство принимает вид 0*x>19 и решений не имеет.

Если hello_html_m53d5b092.gif.

Если hello_html_482e2a3e.gif

Ответ: если hello_html_2049a24c.gif, то hello_html_m30232ee5.gif; если hello_html_23f6d120.gif, то решений нет; hello_html_21a07a59.gif


Пример 25. Для каждого значения b решите неравенство hello_html_5b8599f5.gif

Решение. Применим метод интервалов. Рассмотрим функцию hello_html_mabbbc84.gif Требуется решить неравенствоhello_html_m6c59fb23.gif Область определения функции содержит все действительные числа, кроме hello_html_m2ae9920a.gif Итак, hello_html_m64ae429.gifhello_html_m54ef76c4.jpg

Возможны три случая взаимного расположения чисел b и -3 на оси Ох.

  1. B<-3 (рис. 23). x=b – нуль функции.



Находим знак функции на каждом промежутке оси Ох.

Если hello_html_5b26e9e4.gifhello_html_m716dead9.jpg

Если hello_html_370e1c66.gif

Если hello_html_4c38b092.gif

Итак, если hello_html_m602152a2.gif

  1. Если hello_html_m62f42329.gif, то неравенство принимает вид hello_html_c4a4317.gif и выполняется при любом значении х, не равном -3.

Если hello_html_7520bc43.gif

  1. hello_html_16a4edce.gifнуль функции. Неравенство hello_html_3a776426.gif выполняется, если hello_html_m33ec0309.gif

Ответ: если hello_html_mb5daaad.gif, то hello_html_m341e4809.gif если hello_html_d044b11.gif то hello_html_260e76cd.gif если hello_html_m514a09a5.gifто hello_html_m17a45b9a.gifhello_html_m306fa3f7.jpg


Пример 26. Для каждого значения а решите неравенство hello_html_m48241de3.gif

Решение. Применим для решения неравенства метод интервалов.

  1. Рассмотрим функцию hello_html_7fdd1bf5.gif, требуется решить неравенство hello_html_m1f403903.gif Область определения функции: hello_html_50e8285f.gif.

  2. Находим нули функции: hello_html_9796797.gif Полученные нули функции следует отметить на оси Ох. Отличительная особенность решения уравнения с параметром состоит в том, что приходится рассматривать разные возможные случаи расположения числа а относительно чисел hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif на оси Ох.

  1. hello_html_m9b3b741.gif

Если hello_html_ddab4ea.gif; при переходе через каждый нуль знак функции изменяется, так как все нули функции не являются кратными.

Итак, если hello_html_m3dc747b5.gif

  1. hello_html_5ed8a04e.gif. Функция имеет нуль hello_html_7a00d331.gif второй кратности, при переходе через него знак функции не меняется.

Если hello_html_m9f169e4.gif то hello_html_5a6e0df4.gif.

  1. hello_html_m6e9efe58.gif

Если hello_html_3023d220.gif, то hello_html_m7017f64d.gif

  1. hello_html_m61ada03e.gif

Если hello_html_m6d4ce24d.gif

  1. >3 (рис.29).

Если >3, то hello_html_69bb2d4a.gif

Ответ: если hello_html_m6058e068.gif, то hello_html_1a5feb0c.gifЕсли hello_html_m9f169e4.gif то hello_html_4a7ebdbf.gif Если hello_html_3023d220.gif, то hello_html_460e2d69.gif Если hello_html_mf2b2252.gif Если >3, то hello_html_69bb2d4a.gif


Пример 27. При каких значениях hello_html_m8f522f9.gif неравенство hello_html_m2116a52f.gif выполняется при всех значениях х?

Решение. Рассмотрим функцию hello_html_cd7d968.gif. Требуется найти значения hello_html_m8f522f9.gif, при которых hello_html_57ee814d.gif при любом х.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Возможны три случая расположения параболы относительно оси Ох (рис. 43).hello_html_29a8a140.jpg

В первом случае функция имеет два нуля и принимает как положительные, так и отрицательные значения и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

Во втором случае функция при одном значении х обращается в нуль и поэтому не удовлетворяет условию задачи.

В третьем случае функция не имеет нулей и принимает только положительные значения, что и требуется в задаче.

Квадратичная функция не имеет нулей тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение имеет отрицательный дискриминант.

hello_html_m27c64f6c.gif

hello_html_19b0d5ea.gif


hello_html_m333c2048.jpg

Ответ: hello_html_m51e8a0ce.gif


Пример 28. При каких значениях p неравенство hello_html_52ce2491.gif не выполняется ни при каких значениях х?

Решение.

  1. Если p=0, то неравенство принимает вид , то неравенство принимает вид -3>0 и не выполняется ни при каких значениях х. Значит, p=0 удовлетворяет условию задачи.

  2. Если p≠0, то неравенство является квадратичным.

Введем функцию hello_html_m334eca98.gif. Графиком функции является парабола. Возможны шесть случае расположения параболы относительно оси Ох (рис. 32).

hello_html_78064e7c.jpg












По условию неравенство hello_html_57ee814d.gif не должно выполнятся ни при каких значениях х.

Значит, необходимо и достаточно рассмотреть пятый и шестой случаи расположения графика функции относительно оси Ох. Ветви параболы должны быть направлены вниз hello_html_m5f3e3c5e.gif общих точек с осью Ох либо не должно быть (D<0), либо может быть одна точка касания (D=0).

hello_html_m37c5ea25.gif.

Решаем систему hello_html_478a10ee.gif hello_html_6f580b6e.gif hello_html_m5b333c1d.gif

Вспомним, что hello_html_4b8533aa.gif удовлетворяет условию задачи.

Ответ: hello_html_m64fd99e8.gif



СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ


Приведем примеры решений систем неравенств, содержащих параметр.


Пример 29. Найдите все значения параметра m, при которых множество решений системы hello_html_58a7629b.gif содержит четыре целых числа.

Решение. Решим систему неравенств hello_html_2b3e649d.gif hello_html_m321cde80.gif

Рассмотрим различные случаи расположения чисел 3 и hello_html_2f2d6158.gif на координатной прямой (рис. 33).

hello_html_68dfa852.jpg


  1. Если hello_html_5ab09e9b.gif

  2. Если hello_html_m42fa9069.gif

  3. Если hello_html_m52d613f5.gifто решением системы служит промежуток hello_html_5d8a6d0e.gif На промежутке hello_html_30055763.gif должны содержаться целые числа 4; 5; 6; 7. Значит, hello_html_7b5b8e0c.gif

Ответ: hello_html_44f632a2.gif


Пример 30. Найдите все значения параметра b, при которых система неравенств hello_html_m2573ceaf.gif

Решение. Решаем данную систему: hello_html_m7a05ff9c.gif hello_html_m2c22d8fe.gif

Если hello_html_22d4c6e4.gif то решением системы служит числовой промежуток hello_html_m88b4249.gif

Если hello_html_m73f215ea.gif

Если hello_html_41169077.gif

Чтобы система имела решения, необходимо и достаточно выполнения условия hello_html_3a4177a0.gif

Ответ: hello_html_6f6a8a6.gif


Пример 31. При каких значениях параметра p система неравенств hello_html_585c6ca9.gifhello_html_2b8a3330.jpg

Решение. Выражаем множество решений системы через параметр p: hello_html_5e357b48.gif Если hello_html_1b888030.gif.


Система не будет иметь решений, если hello_html_8016eee.gif

Ответ: hello_html_390c1196.gif.

Пример 32. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif система hello_html_5bd8f6d7.gif

Решение. hello_html_m2ae829e4.gif Если hello_html_17eb9e30.gif
Если
hello_html_m6902e5a5.gif Если hello_html_46b9e48e.gifто система hello_html_m492d15db.gif имеет решение hello_html_7bd7a350.gif

Если hello_html_6e5ce19f.gifто система hello_html_m492d15db.gif не имеет решений (рис. 35, б).hello_html_m1a86f6d7.jpg






Ответ: hello_html_748f3760.gif


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения (1-7).

  1. hello_html_m339c7593.gif

  2. hello_html_594976b3.gif

  3. hello_html_6f893e7d.gif

  4. hello_html_m7ca1dfb4.gif

  5. hello_html_70ea5e31.gif

  6. hello_html_m37c2db6e.gif

  7. hello_html_m17c8ee0c.gif

  8. Найдите все значения параметра hello_html_m8f522f9.gif, при которых уравнение hello_html_7f85aa11.gif имеет решение.

  9. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_m46529edb.gif имеет единственный корень?

  10. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_4169b82f.gif имеет два различных корня?

  11. Определите количество корней уравнения hello_html_m47f34489.gif в зависимости от параметра hello_html_m8f522f9.gif?

  12. Прямая hello_html_m19ed5a46.gifнекоторое число, касается гиперболы hello_html_m6b1fb033.gif в точке с положительной абсциссой. Найдите hello_html_m8f522f9.gif.


Решите систему уравнений

  1. hello_html_m4122db04.gif


При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif система уравнений имеет единственное решение? Найдите его.

  1. hello_html_358e474c.gif

Определите количество решений системы в зависимости от параметра (15-16).

  1. hello_html_16cdb273.gif

  2. hello_html_m8331171.gif

Решите неравенство при всех значениях (17-19).

  1. hello_html_7165570b.gif

  2. hello_html_m2003564c.gif

  3. hello_html_68e2e1b.gif

  4. При каких значениях параметра b система неравенств hello_html_145b6dec.gif

  5. При каких значениях параметра m система неравенств hello_html_m6adfb2d1.gif не имеет решений?

При каких значениях k система неравенств имеет ровно два целых решения?

  1. hello_html_75540307.gif

Решите систему неравенств при всех значениях параметра а.

  1. hello_html_m7b574bba.gif



РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения (1-7).

  1. hello_html_492b4bdc.gif

Решение. Перепишем уравнение в виде hello_html_286d273c.gif

Рассмотрим два случая:

  1. Если hello_html_m7eccc64f.gif

  2. Если hello_html_m4c15b29f.gif

Ответ: при hello_html_5bd25e19.gif решений нет; при hello_html_m5d29f75b.gif


  1. hello_html_594976b3.gif

Решение. Перепишем уравнение в виде hello_html_1c2ea2ba.gif

Рассмотрим два случая:

  1. Если hello_html_m428a32fa.gif, то получим hello_html_7fd6e6f6.gif

  2. Если hello_html_m12568a4e.gif

Ответ: если hello_html_582bd3a7.gif то hello_html_m34489d05.gif если hello_html_4d56740a.gif то hello_html_m10efdc97.gif


  1. hello_html_m6b40c685.gif

Решение. Приведем уравнение к виду hello_html_m6653f9c3.gif При всех значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: hello_html_687c835e.gif Значит, при любом hello_html_m8f522f9.gif уравнение имеет два различных корня hello_html_6544d509.gif

Ответ: hello_html_6544d509.gif


  1. hello_html_38352cd9.gif

Решение. Уравнение hello_html_38352cd9.gif равносильно системе hello_html_m17140749.gif hello_html_m6c34b910.gif

  1. Если hello_html_m2fd9ab41.gif то система примет вид hello_html_mae67bc8.gif

  2. Если hello_html_m76aaf914.gif то система hello_html_m6c34b910.gif Имеет два решения hello_html_m664bcfe0.gif

Ответ: hello_html_m50881fd9.gif, то hello_html_1011f7c8.gif если hello_html_70b32a4a.gif, то hello_html_528172f2.gif


  1. hello_html_m1137156b.gif

Решение. hello_html_m1137156b.gif. Если hello_html_m4471e2af.gif

Если hello_html_m46eac6bd.gif равносильно совокупности hello_html_13e28c5e.gif

Ответ: если hello_html_m2fb09f2b.gif если hello_html_c9b5cd5.gif если hello_html_62c57e3e.gif


  1. hello_html_m37c2db6e.gif

Решение. hello_html_m37c2db6e.gif. Корни двучленов hello_html_m597c640b.gif и hello_html_m51b2a470.gif разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞;-2], (-2;-1), [-1;+∞). Данное уравнение равносильно совокупности трех систем.

  1. hello_html_2b72a416.gifЕсли hello_html_5eef0d0b.gifто решений нет. Если hello_html_2c3bde27.gif, то решением системы является промежуток (-∞;-2].

  2. hello_html_432a36c0.gifЕсли hello_html_29d1533e.gif

  3. hello_html_m38b733f7.gifЕсли hello_html_2ecad1db.gifто решений нет.

Если hello_html_m3802f83c.gif то решением системы является промежуток [-1;+∞).

Ответ: если hello_html_m21bdbf1d.gifто корней нет; если hello_html_m3802f83c.gif то х[-1;+∞); если hello_html_m5095a9ea.gif если hello_html_m6c76bc49.gifто х(-∞;-2]; если hello_html_4ab74a85.gif то корней нет.


  1. hello_html_m7274b2d9.gif

Решение. hello_html_m7274b2d9.gif. Если hello_html_16900cad.gifт.е. hello_html_m2f312f89.gif то корней нет.

Если hello_html_m18e461e2.gif то уравнение примет вид hello_html_284770e6.gif

Если hello_html_m4cce8c89.gif то уравнение hello_html_m7274b2d9.gif равносильно совокупности hello_html_m7d366dda.gif.

Решим первое уравнение hello_html_m4cf052ee.gif

hello_html_mcbe8ecf.gifтак как hello_html_56ba328c.gif

Решим второе уравнение hello_html_af6bdfe.gif

Если hello_html_399405b2.gifЕсли hello_html_m7c6c07e3.gif

Если hello_html_m6c464c75.gif то уравнение hello_html_51e4acb3.gif имеет два корня hello_html_690173b9.gif

Ответ: если hello_html_m2f312f89.gif то корней нет; если hello_html_35fe009d.gif то hello_html_m7f115f30.gif hello_html_m45baec4b.gif если hello_html_m6c464c75.gif то hello_html_272ee038.gif если hello_html_m493a2e4c.gif то hello_html_5e4304bc.gif если hello_html_1f7da9e.gifто hello_html_4d49be00.gif


  1. Найдите все значения параметра hello_html_m8f522f9.gif, при которых уравнение hello_html_7f85aa11.gif имеет хотя бы один корень.

Решение. Пусть hello_html_1e7de450.gif, thello_html_m4b5fcb01.gif Найдем, при каких значениях параметра а уравнение hello_html_m35b1b90b.gif имеет хотя бы один неотрицательный корень. Решим задачу: при каких значениях а уравнение hello_html_m35b1b90b.gif не имеет корней или оба его корня неотрицательны?

Уравнение hello_html_m35b1b90b.gif не имеет корней тогда и только тогда, когда hello_html_52f8e575.gif

Уравнение hello_html_m35b1b90b.gif имеет только отрицательные корни тогда и только тогда, когда hello_html_m1a3dd087.gif hello_html_28055ae7.gif hello_html_1b59ec12.gif

Итак, уравнение hello_html_m35b1b90b.gif не имеет корней или имеет только отрицательные корни при hello_html_m3668cc16.gif; а тогда при hello_html_m35f914c5.gif имеет хотя бы один неотрицательный корень, т.е. данное уравнение имеет хотя бы один корень.

Ответ: hello_html_m35f914c5.gif


  1. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_m46529edb.gif имеет единственный корень?

Решение. Коэффициент при hello_html_7a2a5240.gif зависит от параметра, рассмотрим два случая:
hello_html_m6d86d25.gif

Если hello_html_2c54cabd.gif, то уравнение примет вид hello_html_m6484a7a6.gif – единственный корень.

Если hello_html_257d5b45.gif, то уравнение является квадратным и для того, чтобы оно имело единственный корень, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю. hello_html_66ba2f51.gif

Ответ: hello_html_6f24cf15.gif


  1. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_4169b82f.gif имеет два различных корня?

Решение. Область допустимых значений параметра задается условием hello_html_6e036269.gif Уравнение должно иметь два корня, значит, hello_html_m6551684d.gif и его дискриминант hello_html_m4155fe10.gif положителен. Уравнение hello_html_4169b82f.gif имеет два различных корня тогда и только тогда, когда hello_html_3c49ca7d.gif hello_html_245b25a8.gif hello_html_m1620e330.gif

Ответ: hello_html_808fdf7.gif


  1. Определите количество корней уравнения hello_html_m47f34489.gif в зависимости от параметра а?

Решение. Построим графики функций hello_html_m21211acd.gif(рис. 1). Графиком функции hello_html_640342e6.gif (при каждом фиксированном значении а) является прямая, проходящая через точку с координатами (0;4), не совпадающая с осью Оу.

hello_html_5b7bf92b.jpg















Найдем, при каком значении hello_html_m8f522f9.gif прямая hello_html_640342e6.gif проходит через точку с координатами (3;0):hello_html_6f9574b4.gif

Если hello_html_35fe009d.gif то прямая hello_html_640342e6.gif проходит через точку (-2;0).

Если hello_html_5ee56396.gif, то одна общая точка; если hello_html_24f51e42.gif, то общих точек бесконечно много; если hello_html_a069a53.gif то четыре общие точки; если hello_html_9348bc3.gif, то три общие точки; если hello_html_m6d91fa89.gif то две общие точки; если hello_html_29f2f15b.gif то одна общая точка.

Ответ: один корень при hello_html_m7df61f8e.gif hello_html_3822b0ff.gif


  1. Прямая hello_html_m19ed5a46.gifнекоторое число, касается гиперболы hello_html_m6b1fb033.gif в точке с положительной абсциссой. Найдите а.

Решение. Прямая hello_html_m13ac889c.gif касается гиперболы hello_html_300477b2.gif, значит, система hello_html_m74202293.gif имеет два одинаковых решения. Система hello_html_27692881.gif имеет два одинаковых решения, если уравнение hello_html_4c9483ad.gif имеет два одинаковых решения.

hello_html_6b1d945f.gifТак как запрещенное значение hello_html_6f34565d.gif не является решением уравнения hello_html_m4d494c6d.gif ни при каком значении а, то дискриминант уравнения должен быть равен нулю. hello_html_2fb6d32d.gif Если hello_html_m57be9142.gifто уравнение примет вид hello_html_m42469ccf.gif2 – абсцисса точки касания, 2>0.

Если hello_html_m57be9142.gif то уравнение имеет вид hello_html_c27cef.gif – условию задачи не удовлетворяет.

Ответ: hello_html_2652410a.gif


Решите систему уравнений

  1. hello_html_m4122db04.gif

Решение. hello_html_m4122db04.gif hello_html_283f5fa4.gif hello_html_514e8a3b.gif

Если hello_html_m26d0b23c.gif то корнем уравнения hello_html_m3fe25d3d.gif является любое действительное число: hello_html_m543c699e.gif

Если hello_html_4e0a8aad.gif то корнем уравнения hello_html_3516de04.gif является hello_html_m7581d63.gif Вернемся к системе: если hello_html_m502bd081.gifесли hello_html_27eafd7f.gif

Ответ: hello_html_13c8ebee.gif


При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif система уравнений имеет единственное решение? Найдите его.

  1. hello_html_358e474c.gif

Решение. Система hello_html_358e474c.gif Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые hello_html_m51203d9.gif пересекаются, т.е. hello_html_6a2bcc89.gif Найдем решение при hello_html_m1d110eaf.gif

hello_html_m3de9b9f1.gif


Ответ: hello_html_m56db640c.gif


Определите количество решений системы в зависимости от параметра (15-16).

  1. hello_html_16cdb273.gif

Решение. Система hello_html_m123a472c.gif не имеет решений, если прямые, заданные уравнениями hello_html_5f128ead.gif параллельны.

Система имеет одно решение, если эти прямые пересекаются, и имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Прямые параллельны, если hello_html_65ec44ea.gif

Прямые совпадают, если hello_html_m20a6431d.gif

Решим уравнение hello_html_e343610.gif

Если hello_html_m42b6dc50.gif Значит, при hello_html_2c3bde27.gif прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений .

Если hello_html_78a440ec.gif значит, при hello_html_m1946d7eb.gif прямые параллельны, и система решений не имеет.

При hello_html_6f8cdcdc.gif прямые пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: при hello_html_2c3bde27.gif решений бесконечно много; при hello_html_m1946d7eb.gif решений нет; при hello_html_6f8cdcdc.gif одно решение.


  1. hello_html_m8331171.gifhello_html_m4ff7d774.jpg

Решение. Применим графический метод. Графиком уравненияhello_html_9ecc674.gif является окружность с центром в начале координат и радиусом 2. График функцииhello_html_m6c59df1b.gif получается из графика функции hello_html_m75db2941.gif сдвигом вдоль оси Оу на единиц (рис.2).

Наименьшее значение функция hello_html_9a8c5f2.gif принимает при hello_html_m2a2c197d.gif Если hello_html_4282ebc1.gif то решений нет.

Если hello_html_35fe009d.gif то система имеет одно решение.

Если hello_html_336fb9a.gif то система имеет два решения.

Если hello_html_493505f0.gif то система имеет три решения.

Найдем, при каком значении а график функции hello_html_9a8c5f2.gif касается окружности.

Рассмотрим hello_html_m60d4da5.gif

hello_html_m284d40e4.gifЗначит, hello_html_mff855fa.gif точка А имеет координаты hello_html_32b0033c.gif Если hello_html_m3bc97bde.gif то система имеет четыре решения, если hello_html_m4e209c07.gif то система имеет два решения. Если hello_html_1e2c7a69.gif то решений нет.

Ответ: нет решений при hello_html_m58e70d9c.gif одно решение при hello_html_m72c1ace6.gif два решения при hello_html_45e3c431.gif три решения при hello_html_2ac4ed7c.gif; четыре решения при hello_html_m610e8834.gif


Решите неравенство при всех значениях (17-19).

  1. hello_html_7165570b.gif

Решение. hello_html_m7d1d9006.gif

Если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_4455775f.gif

Если hello_html_2c54cabd.gif, то hello_html_m31504f8a.gif если hello_html_10f45ec0.gif

Ответ: если hello_html_44a4c45b.gif, то нет решений; если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_1fc638de.gif


  1. hello_html_m2003564c.gif

Решение. hello_html_24053c5d.gif hello_html_6c4965b4.gif

а) если hello_html_18413422.gif hello_html_m1bacdae2.gif Если hello_html_5686c94a.gif

б) если hello_html_m756f6f50.gif

hello_html_m2f15cd96.jpg





Ответ: если hello_html_m27048ecd.gif hello_html_50a650c5.gif если hello_html_3ebe16e0.gif то нет решений, если hello_html_2960c4c0.gif


  1. hello_html_e193749.gif

Решение. hello_html_m327a5de7.gif

hello_html_m75a491aa.gif

Если hello_html_m610e7e5a.gif

Если hello_html_m5a4c7c70.gif

Ответ: если hello_html_16c7704f.gif Если hello_html_52eb4113.gif


  1. При каких значениях параметра b система неравенств hello_html_145b6dec.gif

Решение. Решаем каждое неравенство системы hello_html_5c34bffe.gif

Система имеет решения в том и только в том случае. Если hello_html_m71b8e28a.gif

Ответ: (-∞;3).


  1. При каких значениях параметра m система неравенств hello_html_m6adfb2d1.gif не имеет решений?

Решение. Решаем каждое неравенство системы hello_html_m4be5e294.gif

Случай 1. hello_html_mca0e92.gif

Случай 2. hello_html_mf5626c0.gif

Случай 3. hello_html_m3a34096e.gif

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда hello_html_3eb96f4e.gif

Ответ: hello_html_m74e8c05b.gif

При каких значениях k система неравенств имеет ровно два целых решения?

  1. hello_html_75540307.gif

Решение. hello_html_7bf057cf.gif

  1. Если hello_html_m34c47fb9.gif

  2. Если hello_html_50f66874.gif

  3. Если hello_html_m2ad569c8.gif

Двумя целыми решениями системы должны быть числа -1 и 0, поэтому, чтобы системы неравенств имела ровно два целых решения, необходимо и достаточно, чтобы hello_html_m7185552c.gif

Ответ: при hello_html_m135f4e6b.gif система неравенств имеет ровно два целых решения.


Решите систему неравенств при всех значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif.

  1. hello_html_m7b574bba.gif

Решение.hello_html_1dc28628.gif

  1. Если hello_html_4239fe2.gif

  2. Если hello_html_m5bfb8e16.gif

  3. Если hello_html_m5317ddc3.gif

Ответ: если hello_html_m48294941.gif если hello_html_m54ab766c.gif










ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


Комбинаторикой называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление и подсчет числа различных комбинаций из конечного множества элементов.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое переводится как «соединять, сочетать».

Простейшие комбинаторные задачи можно решать методом перебора возможных вариантов.


Пример 1. Четыре ученика Миша, Саша, Алеша, Таня углубленно изучают математику. На математическую олимпиаду требуется послать двух учеников. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Составим схему возможных вариантов.


Миша

Саша

Алеша

Саша

Алеша

Таня

Алеша

Таня

Таня


Получаем шесть способов выделения двух человек из четырех.

Ответ: 6.


Пример 2. В меню столовой три первых блюда А1, А2, А3, два вторых В1, В2, и три сока С1, С2, С3. Сколько вариантов комплексного обеда можно составить из этих блюд?

Решение. Составляем схему возможных вариантов.


А1

А2

А3

В1

В2

В1

В2

В1

В2

С1

С2

С3

С1

С2

С3

С1

С2

С3

С1

С2

С3

С1

С2

С3

С1

С2

С3


Получаем 18 вариантов комплексного обеда.

Ответ. 18


Комбинаторные задачи можно решать и, не выписывая все возможные комбинации элементов (не составляя схему вариантов).


Пример 3. В поселке имеется 5 светофоров. Каждый может находится в одном из трех состояний (гореть красным, зеленым или желтым светом). Сколькими способами можно зажечь все светофоры?

Решение. Первый светофор может быть включен тремя разными способами. Для каждого способа включения первого светофора можно получить 3 способа включения второго светофора, т.е. будем иметь 3*3 способом включения двух светофоров. Из всякого способа включения двух светофоров снова можно получить три способа включения третьего светофора, изменяя его состояние, всего получаем 3*3*3 способов включения трех светофоров. При включении каждого нового светофора число способов увеличивается в три раза. Значит, пять светофоров могут быть включены 3*3*3*3*3=35 способами.

Ответ: 243 способа.


Задачи комбинаторики решаются проще, если использовать комбинаторные правила сложения и умножения.

Пусть даны два непересекающихся множества элементов: hello_html_m188c3ea.gif.


Правило сложения.

Пусть элемент a(a A) может быть выбран m способами, а элемент b(b B) может быть выбран n способами, то число способов, которыми можно выбрать один элемент из множества A или множества B, равно сумме m+n.


Пример 4. В одном классе 25 учеников, в другом – 27 учеников. Сколькими способами можно выбрать одного ученика из двух классов?

Решение. 25+27=52

Ответ: 52


Правило умножения (основное правило кобинаторики).

Если элемент a(a A) может быть выбран m способами, а элемент b(b B) после каждого выбора элемента a может быть выбран n способами, то число способов, которыми можно выбрать пару элементов a и b в указанном порядке по одному из каждого множества, равно произведению m*n.


Пример 5. В одном классе 25 учеников, в другом 27 учеников. сколькими способами можно выбрать двух учеников по одному из каждого класса?

Решение. Одного ученика первого класса можно выбрать 25 способами, а второго класса – 27 способами. Двух учеников по одному из каждого класса ( по правилу умножения) можно выбрать 25*27 способами; 25*27=675.

Ответ: 675.


Пример 6. На книжной полке стоит 6 исторических романов и 4 приключенческих. Сколькими способами можно взять с полки две книги разных жанров?

Решение. По правилу умножения существует 6*4 способов взять с полки 2 книги разных жанров.

Ответ: 24


Сформулируем комбинаторное правило умножения в общем виде.

Пусть имеем n элементов, из которых требуется выбрать один за другим некоторые k элементов.

Если первый элемент можно выбрать n1 после чего второй элемент можно выбрать n2 затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1*n2*n3nk.


Пример 7. Собрание из 30 человек должно выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Председателем собрания можно выбрать 30 способами, после чего секретаря – 29 способами (из 29 оставшихся членов собрания). По правилу умножения существует 30*29 способов выбора председателя и секретаря. 30*29=870.

Ответ: 870.


Пример 8. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за праздничным столом, если приготовлено 8 мест?

Решение. Для первого гостя имеется 8 возможностей выбрать место. После выбора места первым, для второго гостя остается 7 возможностей, аналогично для 3 гостя – 6 возможностей (из 6 свободных мест), для четвертого – 5 вариантов, для пятого – 4. По правилу умножения получаем 8*7*6*5*4=6720 способов рассадить гостей.

Ответ: 6720.


Пример 9. Из 10 членов шахматного кружка требуется составить команду из 3 человек для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Первого члена команды (на первую доску) можно выбрать 10 способами, после чего второго (на вторую доску) – 9 способами, а третьего (на третью доску) – 8способами.

Всего получаем 10*9*8=720 вариантов выбоа трех шахматистов из 10.

Ответ: 720.


Перестановки.

Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок его элементов.

Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn (от французского слова permutation – «перестановка»).

Различные перестановки из n элементов отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Если n=1 (т.е. имеем один элемент a), то очевидно, что P1=1.

Если n=2 (т.е. имеем два элемента), то возможны две перестановки: ab и ba; P2=2.

Если n=3 то возможны шесть перестановок: abс и acb, bac, bca, cab, cba; P3=6.

Если n=4, то из каждой предыдущей перестановки, например abс, можно получить четыре различных перестановки из 4 элементов: dabc, adbc, abdc, dbcd; P4=4*6=24.

Таким образом, P1=1; P2=1*2=2; P3=1*2*3=6; P4=1*2*3*4=24.

Число перестановок из n элементов находится по формуле Pn=1*2*3*…*(n-1)*n.

Произведение первых n натуральных числе обозначают n! (читают «n факториал»). Например, 5!=1*2*3*4*5=120. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; поэтому принимается по определению, что 0!=1.

Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n; Pn=n!.


Пример 10. Сколькими способами семья из 5 человек может занять пять спальных мест в пятиместном гостиничном номере?

Решение. P2=1*2*3*4*5=120.

Ответ: 120


Пример 11. Каким числом способов 8 человек могут находится в очереди?

Решение. P8=1*2*3*4*5*6*7*8=40320

Ответ: 40320


Пример 12. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 9,7,5,0, если в каждом числе все цифры должны быть разными?

Решение. Если бы среди данных чисел не было нуля, то количество составленных из них четырехзначных чисел (без повтора цифр в каждом числе) было бы равно количеству перестановок из 4 элементов: P4=1*2*3*4=24.

Целое число не может начинаться цифрой о. Среди найденных 24 чисел с цифры 0 будет начинаться столько чисел, сколько существует перестановок из 3 элементов (цифр 9,7,5): P3=1*2*3=6. Значит, четырехзначных чисел, составленных из данных цифр, будет P4 - P3=24-6=18.

Ответ: 18.


Пример 13. 9 мальчиков купили 9 билетов в театр. Сколькими способами они могут занять 9 кресел в театральном ряду, если Миша, Петя и Ваня обязательно хотят сидеть рядом (в любом порядке).

Решение. Будем считать трех неразлучных друзей (Мишу, Петю, Ваню) как один элемент общей компании, а три занятых ими кресла – как одно место. Тогда можем считать, что размещаем 7 человек в 7 креслах. Это можно сделать столькими способами, каково число перестановок из 7 элементов: P7=1*2*3*4*5*6*7=5040. В то же время трое друзей (Миша, Петя и Ваня) в своих трех креслах могут распределиться P3 способами P3=1*2*3=6.

Таким образом, каждой перестановке из 7 элементов соответствует любая перестановка из трех элементов. Всего перестановок по правилу умножения будет P3* P3=5040*6=30240.

Ответ: 30240.


Размещения.

Размещением из n элементов по k (kn) называется любое упорядоченное множество, состоящее из k элементов, взятых их данных n элементов.

Два размещения могут отличаться самими элементами или порядком расположения элементов.

Символ hello_html_m5b7b7d83.gif обозначает число всевозможных размещений, которые можно составить из n элементов по k (А – первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение», «приведение в порядок»).

Число размещений из n по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n.

hello_html_742b610c.gif

Например, hello_html_6a0231f4.gif

Значит, hello_html_6ae39416.gif.

Формула hello_html_m5b7b7d83.gif может быть записана и так: hello_html_474b9c1e.gif.


Пример 14. Учащиеся класса изучают 11 различных предметов. сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов?

Решение. Различные варианты расписания могут отличаться либо самими предметами, либо их порядком. Количество вариантов равно количеству размещений из 11 элементов по hello_html_743e120f.gif

Ответ: 55440


Пример 15. Сколько четырехзначных числе можно составить их нечетных цифр, если все цифры в числе различны?

Решение. Нечетные цифры: 1,3,5,7,9. Разные числа могут отличаться или самими цифрами, или порядком четырех цифр, из которых они составлены. Количество чисел равно числу размещений из 5 элементов по 4. hello_html_3c548001.gif

Ответ: 120.


Пример 16. Сколькими способами 10 человек могут занять четыре кресла, имеющиеся в комнате?

Решение. hello_html_m48af10ec.gif

Ответ: 5040


Пример 17. В одиннадцатом класе25 учащихся. На выпускном вечере ребята обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение. 25 человек на упорядоченные пары можно разбить hello_html_m6ebf8d82.gif способами; hello_html_m3c89b0f2.gif

Ответ: 600


Пример 18. Студенту необходимо сдать 4 зачета за 10 дней.

  1. Сколькими способами это можно сделать?

  2. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний зачет будет сдаваться на 10 день?

Решение. 1. Искомое число способов равно числу упорядоченных подмножеств из 4 элементов (дней сдачи зачетов), которые можно получить из данных 10 элементов.

hello_html_2c8269e4.gif


2. Так как известно, что последний зачет должен быть в последний день, число вариантов этого зачета равно 4, а – число размещений из 9 элементов (дней для других зачетов) по 3 элемента (3 других зачета) равно hello_html_m39476073.gif, то по правилу умножения общее число вариантов сдачи зачетов равно hello_html_509fce1b.gif

Ответ: а) 5040; б) 2016.


Сочетания.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных их n элементов.

В отличие от размещений, сочетания различаются только элементами, и не имеет значения, в каком порядке заданы элементы.

Например, {a,b,c} и {b,c,a} – одно и то же сочетание.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается hello_html_568c55ef.gif (от французского combinaison- сочетание, комбинация).

Число сочетаний, составленных из n элементов по k, вычисляется по формуле hello_html_m4fdde88c.gif


Пример 19. В вазе стоят 10 красных и 5 белых роз.

а) сколькими способами можно составить букет из 3 роз?

б) сколькими способами можно составить букет из 1 красной и 2 белых роз?

Решение. а) Так как порядок выбора роз не имеет значения, то выбрать 3 розы из 15 можно hello_html_m65507763.gif способами: hello_html_m4c353842.gif

б) Одну красную розу можно выбрать 10 способами, а две белые из имеющихся 5 можно выбрать hello_html_m4121c966.gif способами. Поэтому букет из 1 красной и 2 белых роз можно составить по правилу умножения, 10*10=100 способами.

Ответ: а) 455; б) 100


Пример 20. Из 9 мальчиков и 11 девочек спортивного класса для участия в соревнованиях надо составить команду, в которую должны входить 3 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. hello_html_49193b87.gif

Ответ: 13860


Пример 21. На витрине магазина выставлено 6 сортов сыра и 5 видов йогурта. Покупателю требуется 2 куска сыра разных сортов и 3 йогурта разного вида. Сколькими способами покупатель может составить свою покупку?

Решение. Выбрать 2 сорта сыра из 6 имеющихся можно hello_html_3f056658.gif способами. Выбрать 3 йогурта из 5 предлагаемых видов можно hello_html_2442973d.gif способами. По правилу умножения имеем hello_html_11d747de.gif вариантов составления покупки.

hello_html_75c29ed1.gif*hello_html_53c51989.gif

Ответ: 150


Пример 22. Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

Решение. Из 10 цифр (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9) можно выбрать hello_html_20c80c66.gif подмножеств, состоящих из 4 цифр. Расположив в каждой выбранной группе цифры в порядке убывания, получаем искомые четырехзначные числа. При этом цифра 0 всегда будет стоять лишь последней, так как является наименьшей среди цифр. hello_html_m68e676e4.gif

Ответ: 210


Пример 23. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

Решение. Искомые числа составляем из 9 цифр, исключив 0 (целое число не может начинаться с нуля). Количество искомых чисел равно hello_html_227d3369.gif

Ответ: 126.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

  1. Для проезда из города M в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно поехать из города M в город N?

  2. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекурсников надо выбрать трех студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов?

  3. Сколькими способами можно расставить на полке 10 разных книг?

  4. На полке стоят 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом?

  5. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах?

  6. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные турбазы среди 9 работников. Каким количеством способов это можно сделать?

  7. Сколько трехзначных числе можно составить из цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются?

  8. Сколько существует пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?

  9. Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?

  10. Сколькими способами можно отправить 15 школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них могут принять 8 школьников, во второй – 3, а в третий – 4 школьника?


РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


  1. Для проезда из города M в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно поехать из города M в город N?

Решение. По формуле сложения количество способов равно сумме 5+3=8.

Ответ: 8.


  1. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекурсников надо выбрать трех студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов?

Решение. По теореме умножения получаем 5*7*10=350 способов.

Ответ: 350


  1. Сколькими способами можно расставить на полке 10 разных книг?

Решение. Количество способов равно числу перестановок из 10 элементов.

Р10=10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800

Ответ: 3628800


  1. На полке стоят 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом?

Решение. Будем рассматривать две книги по физике как одну книгу. Тогда 9 книг можно расставить Р9 способами. Далее две книги по физике можно в каждом случае поставить двумя разными способами. По правилу умножения общее количество вариантов равно

2* Р9=2*9!=2*1*2*3*4*5*6*7*8*9=725760.

Ответ: 725760


  1. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах?

Решение. hello_html_m21cbf1c2.gif

Ответ: 116280


  1. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные турбазы среди 9 работников. Каким количеством способов это можно сделать?

Решение. hello_html_5876143c.gif

Ответ: 3024.


  1. Сколько трехзначных числе можно составить из цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются?

Решение. Даны 5 различных цифр, в каждое число должны входить 3 цифры. Числа могут отличаться самими цифрами или порядком их расположения. Количество составленных таким образом чисел равно hello_html_m4091703a.gif

Ответ: 60

  1. Сколько существует пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?

Решение. Способ 1. Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Первая цифра числа может быть любой, кроме нуля. Значит, имеем 9 вариантов первой цифры. Тогда для второй цифры 8 вариантов, так как первая и последняя цифры уже выбраны. Аналогично, для третьей цифры – 7 вариантов, для четвертой – 6 вариантов, пятая цифра равна 0. По правилу умножения имеем 9*8*7*6=3024 вариантов написания искомого числа.

Способ 2. Так как последняя цифра определена и она равна 0, то количество вариантов для заполнения четырех оставшихся разрядов равно hello_html_m438dd458.gif hello_html_75f5cece.gif

Ответ: 3024.


  1. Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. hello_html_20dd2901.gif hello_html_m369ebf0c.gif.

Ответ: 4368


  1. Сколькими способами можно отправить 15 школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них могут принять 8 школьников, во второй – 3, а в третий – 4 школьника?

Решение. В первый лагерь школьников можно отправить hello_html_2a133d95.gif способами. Во второй лагерь выбираем 3 человек из 7 оставшихся, а в третий – 4 из 4 школьников.

Для определения общего числа вариантов применим правило умножения hello_html_48a3aad1.gif

Ответ: 225225


ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Теория вероятностей, зародившаяся в 17 веке из потребностей азартных игр. В современном мире является краеугольным камнем всех наук.

Теория вероятностей – это наука о вычислении вероятностей случайных событий, позволяющих делать прогнозы в области случайных явлений.

В теории вероятностей всякий результат, полученный в процессе испытания, проведения опыта, называется событием.

Примеры.

  1. Играет шахматная партия – это испытание. Выигрыш, ничья, проигрыш – его возможные исходы, т.е. события.

  2. Студент сдаёт экзамен – испытание. Получение оценки «2», «3», «4», «5» - события.

  3. У донора проверяют группу крови – испытание. Первая, вторая, третья, четвертая группы – события.

  4. Производится выстрел – испытание. Поражение мишени, промах – событие.

  5. Подбрасывание монеты – испытание. Выпадение орла или решки – события.

События можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Например, «1 января 2011 года – суббота» - достоверное событие; «1 января 2011 года – будет снегопад» - случайное событие; «1 января 2011 года – вторник» - невозможное событие.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет выполнена определенная совокупность условий. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 200, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» является достоверным.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет иметь место заданная совокупность условий.

Событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» является невозможным, если будет совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называется событие, которое при выполнении данных условий может произойти или не произойти.

Например, выигрыш или проигрыш футбольной команды в матче – случайное событие; пробег новой машиной «Жигули» 100 тыс.км. без капитального ремонта – тоже случайное событие.

Пусть определенное испытание повторяется много раз и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет некоторое событие А. Если n – общее число испытаний, а m – число появления события А в результате проведенных n испытаний, то отношение hello_html_4b823660.gif называется частотой случайного события А.

Каждое случайное событие есть следствие многих причин, законы действий которых нам не известны. Поэтому предсказать, произойдет единичное событие или нет, принципиально невозможно. Другое дело, если рассматриваются массовые однородные случайные события, т.е. такие, которые могут многократно наблюдаться при выполнении одних и тех же условий. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий подчиняется определенным закономерностям. При большом числе испытаний частота случайного события А принимает достаточно устойчивые значения.

Постоянное число, около которого группируются наблюдаемые значения частоты А при большом количестве испытаний, называется статистической вероятностью события А.

Определение статистической вероятности случайного события возможна лишь в результате реального проведения достаточно большого числа экспериментов.

В то же время, если шансы наступления случайного события равновозможные, то вероятность наступления этого события можно определить путем логических рассуждений.

Теория вероятностей и занимается установлением закономерностей, которым подчиняется достаточно большое число однородных случайных событий.

Вероятность является объективной числовой характеристикой, дающей представление о том, как часто при большом числе наблюдений появится событие А.

Вероятность случайного события – это числовая мера его правдоподобности.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.


КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ


События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные «шансы».

Например, появление определенного числа очков на брошенном игральном кубике есть события равновозможные.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров. Причем 2 – красных, 3 – синих, 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно.Появление цветного шара назовем событием А. Каждый из возможных результатов испытания 9испытание состоит в извлечении шара из урны). Т.е. каждое событие, назовем элементарным исходом и обозначим Е1, Е2… . возможны 6 элементарных исходов: Е1 – появится белый шар; Е2, Е3 – красный шар, Е4, Е5, Е6 - синий шар. Все исходы равновозможные. Исходы, при которых событие А наступает, назовем благоприятствующими. Таких исходов 5: Е2, Е3, Е4, Е5, Е6. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу исходов называют вероятностью события А и обозначают Р(А) (Р – первая буква французского слова «probabilite». Что означает «вероятность»). В нашем примере hello_html_m71410c9b.gif – это число и дает количественную оценку возможности появления цветного шара.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n равновозможных элементарных исходов испытания: hello_html_m71410c9b.gif.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.


Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Событие А – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Общее число элементарных исходов равно 10. Число благоприятствующих событию А исходов равно 1.

hello_html_4c66dfde.gif

Ответ: hello_html_m1d4fc936.gif


Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Событие В – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько пар цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по две, т.е. hello_html_4ee1ada0.gif. Общее число исходов 90, благоприятствует событию В лишь один исход, hello_html_m595a3e70.gif.

Ответ: hello_html_m345bbfd4.gif


Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи:

«Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие «А»)».

Решение. Всего возможны два исходы испытания: сумма выпавших очков равна 4 и не равна 4. Поскольку событию А благоприятствует один исход, а общее число исходов равно двум. То hello_html_m606d35a9.gif. Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение.

Общее число равновозможных исходов равно 6*6=36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться сов семи числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1;3);(3;1);(2;2). Следовательно hello_html_m2ada5962.gif.

Ответ: hello_html_m1bcf515d.gif.


Пример 4. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей будет 4 стандартных.

Решение. Общее число элементарных исходов равно числу способов. Которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть hello_html_727db635.gif; 4 детали можно взять из 7 стандартных hello_html_53382309.gif способами; при этом остальные две детали должны быть нестандартными, взять же 2 детали из 3 нестандартных можно hello_html_1744a7dd.gif способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равноhello_html_53382309.gif*hello_html_1744a7dd.gif . Тогда hello_html_m6145411b.gif =hello_html_m769860a0.gif.

Ответ: 0,5


СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ


  1. Вероятность достоверного события равна 1.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарных исход благоприятствует событию, т.е. m=n. hello_html_e124999.gif

  1. Вероятность невозможного события равна 0.

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию А, т.е. m=0; hello_html_m35b93294.gif

  1. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, т.е. 0<m<nследовательно hello_html_4bc75ada.gif

Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенству hello_html_646057ee.gif


Пример 5. На 5000 произведенных заводом телевизоров в среднем приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный телевизор?

Решение. По условию из 5000 телевизоров в среднем 4995 телевизоров оказываются исправными. Вероятность купить исправный телевизор равна hello_html_5a2bf387.gif.

Ответ: 0,999


Пример 6. Из 30 экзаменационных вопросов студент успел подготовить22. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется вопрос, который он не подготовил?

Решение. Из 30 вопросов студент не подготовил 8. Вероятность получить на экзамене неподготовленный вопрос равна hello_html_m65faa2f8.gif.

Ответ: hello_html_c982246.gif


Пример 7. Из 20 полученных магазином компьютеров 3 оказались с дефектами. Школа купила в этом магазине 2 компьютера. Какова вероятность того, что оба компьютеры не имеют дефектов?

Решение. Выбор 2 компьютеров из 20 – равновозможные события. Выбрать 2 компьютера из 20 можно столькими способами, каков число сочетаний из 20 по 2, т.е. hello_html_m998ea0a.gif. Пусть А – событие, при котором 2 купленных компьютера не имеют дефектов. Исходом, благоприятным для события А, является выбор 2 компьютеров из имеющихся 17 исправных. Число благоприятных исходов равно hello_html_m429256a3.gif. Тогда hello_html_5f6a0b0b.gif

Ответ: hello_html_m4641cce5.gif


Пример 8. Бросаем 2 монеты. Какова вероятность появления хотя бы одного орла?

Решение. Выпадение орла или решки – равновозможные события. Перечислим исходы испытания, которые могут быть: (о,р); (о,о); (р,о); (р,р). Из 4 равновозможных событий благоприятными являются 3. Значит, вероятность появления хотя бы одного орла равна hello_html_m57c90caf.gif.

Ответ: 0,75


Пример 9. В урне 3 белых и 4 черных нара. Внимаем сразу 2 шара. Найдите вероятность того, что вынуты 2 белых шара.

Решение. Событие А – вынуты 2 белых шара. Вынуть 2 шара из 7 имеющихся можно hello_html_5ee71569.gif способами. Вынуть 2 белых шара из 3 имеющихся можно hello_html_1744a7dd.gif способами. Итак, имеем hello_html_5ee71569.gifисходов испытания, из них число благоприятствующих событию А равно hello_html_1744a7dd.gif. Тогда hello_html_m6c3d3945.gif

Ответ: hello_html_42b18ad1.gif


Пример 10. В классе, в котором учатся 20 девочек и 5 мальчиков, распределяют по жребию 1 билет в цирк. Какова вероятность того, что билет получит мальчик?

Решение. Событие А – билет получит мальчик. Всего исходов испытания 25, из них благоприятствующих событию А – 5. Тогда hello_html_4de9c6d0.gif

Ответ: 0,2


Пример 11. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Решение. При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 6*6=36 равновозможных исходов. Событие А – в сумме выпало 7 очков.

Благоприятствующие исходы: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Имеем 6 благоприятствующих исходов. hello_html_m3c4182d4.gif

Ответ: hello_html_m11f0fb5b.gif


Пример 12. В классе 30 учащихся, из них 4 отличника. Какова вероятность того, что среди 3 случайно выбранных учащихся окажутся 2 отличника? Ответ округлить до значащей цифры.

Решение. Событие А – среди выбранных учащихся 2 отличника и 1 ученик, не являющийся отличником. Общее число исходов испытания равно hello_html_m38d584c4.gif. Событию А благоприятствуют hello_html_5c0a0b8a.gif исходов, так как двух отличников из 4 можно выбрать hello_html_544fe102.gif способами. А еще одного ученика (не отличника) - hello_html_6eeb80a3.gif способами. Значит, hello_html_m3565684c.gif hello_html_75cd721c.gif

Ответ: 0,04


Пример 13. Среди 200 электрических ламп 5 бракованных. Какова вероятность того, что 2 взятые наугад лампы окажутся обе бракованными?

Решение. Событие А – 2 взятые лампы оказались бракованными. Общее число исходов испытании равно hello_html_6f34ebe5.gif. Число благоприятствующих событию А исходов равно hello_html_435eb831.gif

Ответ: hello_html_79fb8f15.gif


Правило сложения вероятностей несовместимых событий. Правило умножения вероятностей независимых событий.

Суммой А+В двух событий называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле или при втором, или в обоих выстрелах. Если событие А – последняя цифра случайно набранного телефонного номера 5. А событие В – последняя цифра набранного номера 7, то событие А+В – последняя цифра набранного номера 5 или 7.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же опыте. Т.е. эти события не могут произойти вместе в одном опыте.

Например, событие А- последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна 5 и событие В – последняя цифра набранного номера равно 7, являются несовместными. Если же событие А – попадание в цель при первом выстреле, а событие В – попадание в цель при втором выстреле. То события А и В могут произойти в одном и том же испытании, т.е. они являются совместными.


Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).


Пример 14. В урне 30 шаров: 10 красных. 5 синих и 5 белых. Найдите вероятность появления цветного шара т.е. красного или синего).

Решение. Пусть событие А – появление красного шара, В – появление синего шара.

hello_html_m3df7b31d.gif

Событие А+В – появление красного или синего (т.е. цветного) шара.

События А и В – несовместны.

hello_html_4c77528.gif

Ответ: 0,5


Пример 15. Вероятность того, что початки кукурузы сорта Буковинский = 3 имеют 12 рядов, равна 0,49, 14 рядов -0,27 и 15 – 0,24. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь не менее 14 рядов?

Решение. Событие А – початок кукурузы имеет 14 или 15 рядов.

Р(А)=0,27+0,24=0,51

Ответ: 0,51


Пример 16. Группа, состоящая из 5 юношей и 7 девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе получивших билеты окажется больше девушек, чем юношей?

Решение. Испытание – распределение 4 билетов в театр среди 12 человек. Общее число исходов испытания равно hello_html_m30317d24.gif. Событие А – в числе получивших билеты девушек больше, чем юношей. Событие А произойдет в двух случаях:

а) билеты получили 3 девушки и один юноша (событие А1);

б) билеты получили 4 девушки (событие А2).

Событие А равно сумме несовместных событий А1 и, А = А1+ А2.

В первом случае 3 девушки из 7 могут быть выбраны способами. , а один юноша из hello_html_m76e113f7.gif способами. По правилу умножения число исходов, благоприятствующих событию А1, равно hello_html_m5157baa6.gif. Во втором случае число исходов , благоприятствующих событию А2, равно hello_html_m291c9007.gif

Ответ: hello_html_495832a3.gif


Пример 17. Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна 5 или кратна 3?

Решение. Испытание – набор случайного телефонного номера. Пусть событие А – последняя цифра набранного номера 5. Всего исходов испытания – 10, так как последняя цифра случайно набранного номера может быть любой из 10 цифр; при этом порядок предыдущих цифр не имеет значения. Число благоприятных исходов равно 1 (последняя цифра 5); hello_html_4c66dfde.gif.

Пусть событие В – последняя цифра набранного номера кратна 3, т.е. равна 0, 3, 6 или 9. Благоприятных исходов для события В-4; hello_html_1d6648cd.gif.

События А и В являются несовместными. Событие А+В – последняя цифра набранного номера 5 или кратна 3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В); Р(А+В)=0,1+0,4=0,

5

Ответ: 0,5


Следствия из теоремы 1. Система несовместных событий А1, А2,…,Аn называется полной, если события, входящие в данную систему, являются единственно возможными.

Следствие 1. Если в результате испытания обязательно происходит одно из возможных попарно несовместных событий А1, А2,…,Аn, то сумма вероятностей этих событий равна 1.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое событие. Событие, противоположное А, обозначают hello_html_m5a614bfc.gif. например, опоздание на урок и приход на урок вовремя – противоположные события.

Очевидно, что события А и hello_html_m5a614bfc.gif всегда несовместны и составляют полную систему событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

hello_html_7436c732.gif

На этом следствии основан очень распространенный в теории вероятностей прием перехода к противоположному событию, когда вероятность интересующего события А вычислить трудно, а вероятность противоположного hello_html_m5a614bfc.gif легко; тогда вычисляют hello_html_7502b631.gif и вычитают её из единицы; hello_html_1285143e.gif


Пример 18. В урне находится 3 синих, 5 красных, 11 желтых, 7 белых, 23 зеленых и 1 черный шар одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления не черного шара при одном вынимании шара из урны?

Решение. Испытание – одно вынимание шара из урны. Пусть событие А – вынимание не черного шара из урны. Тогда событие hello_html_7502b631.gif - вынимание черного шара из урны.

Число исходов испытания, благоприятных для hello_html_m5a614bfc.gif, равно 1. Общее число исходов испытания равно числу шаров в урне: 3+5+11+7+23+1=50

hello_html_4974ea74.gif

Ответ: 0,98


Пример 19. В результате испытания обязательно происходит только одно из равновозможных событий А1, А2, А3, А4, А5. Если вероятности событий А1, А2, А3 соответственно 0,2;0,15;0,27, то чему равна вероятность наступления каждого из событий А4, и А5?

Решение. Р(А4+ А5)=1-(0,2+0,15+0,27)=1-0,62=0,38; Р(А4)=Р(А5)=0,19

Ответ: 0,19


Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Например, если в ящике содержаться детали, изготовленные заводами №1 №2, А – появление стандартной детали, В – появление детали, изготовленной заводом №1, то АВ – появление стандартной детали завода №1.

События А и В называются независимыми, если наступление одного из событий не зависит от наступления другого.

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В).


Пример 20. Найти вероятность одновременного появления двух гербов при одном бросании двух монет.

Решение. Пусть событие А – появление герба на первой монете, hello_html_m606d35a9.gif. Событие В – появление герба на второй монете, hello_html_525f86c.gif. Так как А и В - независимые события, то hello_html_3820adfd.gif

Ответ: 0,25


Пример 21. Стрелок производит 4 выстрела по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в цель хотя бы один раз.

Решение. Пусть событие А – попадание в цель хотя бы один раз. Тогда событие hello_html_m5a614bfc.gif - ни одного попадания при 4 выстрелах. По условию вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3, тогда вероятность противоположного события, т.е. промаха при одном выстреле, равна 1-0,3=0,7. Попадание или промах при каждом выстреле не зависит от результата других выстрелов. Значит, вероятность промаха при 4 выстрелах равна произведению вероятностей промаха при каждом из этих выстрелов hello_html_m47c2b490.gif. Попадание и промах при выстрел – несовместные события, поэтому hello_html_m598637c.gif

Ответ: 0,7599


Пример 22. Имеется 2 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть событие А – деталь из первого ящика оказалась стандартной.

Событие В – деталь из второго ящика оказалась стандартной. События А и В являются независимыми. hello_html_m27787d38.gif Событие АВ – обе детали оказались стандартными Р(А*В)=Р(А)*Р(В); Р(А*В)=0,8*0,7=0,56

Ответ: 0,56


Пример 23. Вероятность того, что двигатель новой автомашины проработает безотказно при пробеге автомобиля 100 тыс. км равна 0,9, а вероятность того, что ходовая часть проработает без поломок такой же срок равна 0,7. Чему равна вероятность того, что и двигатель и ходовая часть проработают безотказно 100 тыс.км?

Решение. Р(А*В)=0,9*0,7=0,63

Ответ: 0,63


Примеры решения задач на совместное применение теорем о вероятности суммы и вероятности произведения событий.

Пример 24. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель по одному разу. Вероятность попадания в цель 1-го стрелка – 0,5. 2-го – 0,7. Какова вероятность того, что один стрелок промахнется, а другой попадет в цель?

Решение. Испытание состоит в выполнении двух независимых выстрелов по мишени. Пусть событие А – попадание в цель 1-го стрелка, В – попадание в цель 2-го стрелка. Требуется найти hello_html_m603561aa.gif События hello_html_m3246b86c.gif и hello_html_m5e092435.gif несовместны, т.е. hello_html_m4a84ab22.gif

Ответ: 0,38


Пример 25. Вероятность того, что учащийся Иванов сдаст математику – 0,9, физику – 0,8. Какова вероятность того, что Иванов сдаст хотя бы один экзамен?

Решение. Испытание состоит в сдаче 2-х экзаменов. Пусть событие А1 - сдача экзамена по математике, А2 – по физике, событие А – учащийся сдаст хотя бы один экзамен. Тогда противоположное событие hello_html_m5a614bfc.gif означает, что учащийся не сдал ни одного экзамена.

Способ 1. hello_html_m194b1ed1.gif

Тогда hello_html_74a51762.gif

Способ 2. hello_html_m53e1cb0e.gif

Ответ: 0,98


ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ


Классическое определение вероятности случайного события hello_html_m63738231.gif) применимо лишь тогда, когда число исходов испытания конечно. При изучении же многих явлений реального мира оказывается, что число исходов бесконечно.

Например, если испытание состоит в том, что сигнальщик в течение часа должен принимать мгновенный световой сигнал, то его исходами можно считать появление или не появление сигнала в любой момент времени этого часа. Число исходов оказывается бесконечным.

Другой пример. Вне шара находится точечный источник света. Испытание состоит в изучении освещенности различных точек, взятых на поверхности шара. Исходы испытания: точка освещена или точка не освещена. Точек на поверхности шара, а, значит, и число исходов испытания, бесконечно.

Как определить вероятность того, что наудачу взятая точка на поверхности шара освещена?

Ещё пример. В круге радиуса R вписан квадрат. Как найти вероятность того, что точка, наудачу взятая в этом круге, попадет внутрь этого квадрата.

В приведенных примерах число возможных исходов испытания и число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, бесконечно.

В этом случае применяется геометрический способ вычисления случайного события.

Пусть в результате испытания наудачу выбирается точка Ев некоторой области S, которая геометрически изображается в виде совокупности точек отрезка прямой, плоской фигуры или пространственного тела. Требуется найти вероятность того, что точка E окажется в области s, являющейся частью области S.

Делается допущение, что исходы испытания распределены равномерно. Это значит, что если разделить область S на конечное число равновеликих частей hello_html_46f7d772.gif, то события, означающие попадание наудачу выбранной точки из области S в любую ее часть hello_html_m2719fba9.gif, равновозможны. Тогда можно считать, что вероятность попадания наудачу выбранной точки из области S в какую-либо часть s этой области пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы (т.е. считаем не количество исходов испытаний, а занимаемую ими длину отрезка, площадь или объем). Значит, hello_html_m70783fc0.gif, где hello_html_1274f675.gif – вероятность того, что наудачу выбранная точка из области S окажется в области s, m(s) и m(S) – меры соответствующих областей, выраженных в единицах длины, площади или объема.


Пример 26. Товарищ должен прийти на встречу с другом в промежутке времени от 15 ч. До 15 ч. 30 мин. Найдите вероятность того, что встреча произойдет с 15 ч. 10 мин. До 15 ч. 20 мин.

Решение. пусть событие А – встреча произошла в промежуток времени от 15 ч. 10 мин. До 15 ч. 20 мин. Т.е. в течение 10 мин. После 15 ч. 10 мин.

Изобразим все исходы испытания в виде отрезка ОМ на оси Ох.

hello_html_377cf836.jpg


Событие А произойдет, если точка (время встречи) окажется на отрезке KN. Следовательно, hello_html_3bc2cc31.gif

Ответ: hello_html_7f8f9891.gif


Пример 27. В круг радиуса R вписан квадрат. Найдите вероятность того, что наудачу взятая в этом круге точка окажется внутри квадрата. Ответ округлите до сотых.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что наудачу взятая точка оказывается внутри квадрата. Тогда hello_html_m3d8a70d1.gif

Ответ: 0,64


Замечание. В отличие от задач. Решаемых на основе классического определения вероятности, вероятность, вычисленная на основе геометрического определения, может выражаться иррациональным числом.


Пример 28. Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 см, 6 см, 10 см расположен куб с ребром 4 см. наудачу выбирается точка В внутри параллелепипеда. Найдите вероятность того, что точка В окажется внутри куба.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что точка В оказалась внутри куба с ребром 4 см. Считаем, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда hello_html_bb822fe.gif


Ответ: hello_html_77ad79ba.gif


ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ


Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Предметом математической статистики является изучение случайных событий по результатам наблюдений. Данные (как правило, числовые), которые получают в результате экспериментов (наблюдений), называются статистическими (от латинского status – состояние).

Статистических данных должно быть очень много. Поэтому, прежде всего, полученные данные необходимо упорядочить: расположить в порядке возрастания (убывания), представить в виде таблицы, диаграммы, графика и т.д.

Затем ставится задача оценить, хотя бы приближенно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины.

В простейших случаях, когда данные исследования представлены в виде чисел, такими характеристиками могут быть среднее арифметические, мода, медиана, размах числового ряда.


Пример 1. Для анализа результатов ВОУД по алгебре выпускников 9 класса сельской школы выписали количество заданий, верно выполненных каждым из 15 учеников этого класса. Расположив полученные данные в порядке возрастания, получили следующий ряд числе: 6; 7; 10; 13; 13; 13; 13; 15; 15; 16; 16; 17; 18; 20; 21.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Для данного ряда чисел имеем hello_html_m292b9e0c.gif

Итак, в среднем учащиеся класса смогли верно выполнить приблизительно 124 заданий экзаменационной работы. Однако, выпускники показали очень разный уровень математической подготовки. Чтобы количественно охарактеризовать разброс данных в числовом ряду, вычисляют размах ряда.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

В нашем примере учащиеся класса решили от 6 до 21 экзаменационной задачи, т.е. размах ряда равен 21-6=15.

Следующий вопрос: какое количество решенных задач является типичным для выпускников этого класса, т.е. какое число чаще других встречается в нашем ряду чисел? Легко увидеть. Что таким числом является число 13. Число 13 называется модой данного ряда чисел.

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Заметим, что ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 23; 23; 24; 27; 27; 27; 41; 45; 45; 45 две моды – это числа 27 и 45 (каждое из них входит в ряд 3 раза), а ряд чисел 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 не имеет моды.

Моду ряда полученных в ходе эксперимента данных находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Мода, если существует, то обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Понятие моды может применяться не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно выяснить любимый учебный предмет каждого из них. Модой будут являться те ответы, которые будут встречаться чаще других.


Пример 2. В таблице показано число посетителей музея в разные дни недели:

День недели

понедельник

вторник

среда

четверг

пятница

суббота

воскресенье

Число посетителей

230

535

350

290

512

711

820


Какие дни недели являются наиболее посещаемыми?

Решение. Упорядочим данный ряд чисел:

День недели

понедельник

вторник

среда

четверг

пятница

суббота

воскресенье

Число посетителей

230

535

350

290

512

711

820


Для ответа на вопрос выделим число, расположенное в середине данного ряда чисел – это 512, оно показывает число посетителей музея в пятницу. Дни недели, расположенные в таблице правее пятницы, дают ответы на поставленный вопрос. Итак, наиболее посещаемые дня – вторник, суббота воскресенье. Число 512 называется медианой данного ряда чисел (от латинского слова mediana – «среднее»).

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.

Рассмотрим упорядоченный числовой ряд, содержащий четное число членов:

53; 62; 67; 71; 85; 98. В середине ряда расположены два числа: 67 и 71. Среднее арифметическое этих чисел равно hello_html_25fe1ea3.gif Число 69, не являясь членом данного ряда, разбивает ряд на две одинаковые по численности части: слева от него находится три числа (53; 62; 67) и справа тоже три числа (71; 85; 98). Число 69 называется медианой данного ряда чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.


Пример 3. При каких значениях x медианы ряда чисел 7; 5; 4; 8; х равна 7?

Решение. Упорядочим данный ряд чисел при различных значениях х: х; 4; 5; 7; 8, , если hello_html_1be5d147.gif

Для каждого ряда найдем медиану: 5; 5; х; 7; 7. Значит, медиана равна 7, если hello_html_m2a971b43.gif.

Ответ: hello_html_m2a971b43.gif


Пример 4. При каких значениях х среднее арифметическое ряда чисел 15; 9; 7; 10; х будет равно 11?

Решение. По условию hello_html_m5966ee28.gif

Ответ: 14.


Пример 5. В школе четыре одиннадцатых класса. В таблице приведен средний балл, полученный выпускниками каждого класса на ЕГЭ по математике:

Класс

11 а

11 б

11 в

11 г

Кол-во учащихся

26

28

25

27

Средний балл

65

59

61

55


Найдите средний балл ЕГЭ по математике по всей школе. Ответ округлите до десятых.

Решение. Чтобы найти средний балл по школе, надо сумму баллов, набранных всеми выпускниками школы, разделить на общее количество выпускников.

Количество баллов, полученных учениками каждого класса, равно произведению среднего балла на число учащихся этого класса. Тогда сумма баллов, полученных всеми выпускниками школы, равна 65*26+59*28+61*25+55*27=6352

Общее количество выпускников школы 26+28+25+27=106

Средний балл по школе равен hello_html_m1dad4dd8.gif

Ответ: 59,9

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

  1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «школа». Маленький мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «школа»?

  2. На полке стоят учебники по географии, истории, алгебре, геометрии, физике. Наугад с полки берутся три книги. Найдите вероятность того, что книги взяты в таком порядке: геометрия, алгебра, физика.

  3. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, равна 5.

  4. Одновременно бросают три монеты. Какова вероятность того, что на них выпадут 2 орла и 1 решка?


РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


  1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «школа». маленький мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «школа»?

Решение. Пусть событие А – составлено вновь слово «школа». Событию А благоприятствует один исход. Разных слов из 5 букв можно составить столько, сколько существует перестановок из 5 элементов (букв), т.е. Р5. Вероятность события А равна hello_html_10bcccd6.gif

Ответ: hello_html_m3671fbd0.gif


  1. На полке стоят учебники по географии, истории, алгебре, геометрии, физике. Наугад с полки берутся три книги. Найдите вероятность того, что книги взяты в таком порядке: геометрия, алгебра, физика.

Решение. Испытание – выбор трех книг из пяти. Событие В – книги выбраны в указанном порядке. Общее число равновозможных, несовместных исходов испытания hello_html_md972cce.gif Исход, благоприятствующий событию В, один, m=1. Вероятность наступления события В: hello_html_7503bda2.gif

Ответ: hello_html_2482bf50.gif


  1. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, равна 5.

Решение. Испытание – бросание двух игральных кубиков. Событие А - сумма выпавших очков равна 5. Общее число исходов испытания равно 6*6=36; n=36.

4 исхода благоприятствуют событию А: 1+4; 2+3; 3+2; 4+1; m=4. Тогда hello_html_6175444.gif

Ответ: hello_html_m218a2db.gif



  1. Одновременно бросают три монеты. Какова вероятность того, что на них выпадут 2 орла и 1 решка?

Решение. Испытание – одновременное бросание трех монет. Возможны 8 несовместных исходов испытания: ООО; ООР; ОРО; ОРР; РРО; РОР; РОО; n=8.Событию А выпали 2 орла, 1 решка. Имеем 3 исхода, благоприятствующих событию А: ООР; ОРО; РОО; m=3. Вероятность наступления события А: hello_html_5ded724e.gif

Ответ: hello_html_m1b987981.gif



















Литература



  1. Математика 5 класс Т. Алдамуратова, Е. Байшоланов, Атамұра, 2010

  2. Математика 6 класс, Т. Алдамуратова, Е. Байшоланов, Атамұра, 2006

  3. Алгебра 7 класс, А. Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, Мектеп, 2007

  4. Геометрия 7 класс, И. Бекбоев, А.Абдиев, Ж.Қайдасов, Мектеп, 2007

  5. Алгебра 8 класс, А. Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, Мектеп, 2008

  6. Алгебра 9 класс, А. Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, Мектеп, 2009

  7. Геометрия 8 класс, И. Бекбоев, А.Абдиев, Ж.Қайдасов, Мектеп, 2008

  8. Геометрия 9 класс, .Бекбоев, А.Абдиев, Ж.Қайдасов, Мектеп, 2009

  9. Тестовые задания составленные по материалам учебников, рекомендованных Министерством образования и науки РК







88



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 23.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров339
Номер материала ДВ-549422
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх