Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыЭкстремумы функции 11 класс (теория)

Экстремумы функции 11 класс (теория)

Скачать материал

Экстремальные задачи  Нахождение экстремумов функции

Промежутки возрастания и убывания функции

Непрерывная функция возрастает в окрестности точки только в том случае, если значение производной в этой точке положительно. И убывает, если отрицательно.

Верно и обратно утверждение: если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то убывает.

Таким образом, если функция дифференцируема в некоторой области (то есть в каждой точке промежутка у функции есть производная), то для определения промежутков возрастания/убывания функции в этой области, достаточно вычислить производную функции и определить её знак.

 

Экстремумы функции. Нахождение максимума/минимума функции на отрезке

Точка   называется точкой локального максимума, если существует её окрестность, для всех значений  х которой, за исключением самой точки  , выполнено неравенство    .При этом  называется локальным максимумом.

Точка   называется точкой локального минимума, если существует её окрестность, для всех значений х которой, за исключением самой точки  , выполнено неравенство   . При этом   называется локальным минимумом.

Точки экстремума – это иксовые значения. Экстремумы – игрековые значения.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Замечание: термин «локальный максимум» не тождественен термину «максимальное значение функции».

Таким образом, если производная функции в точке https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/293756/283a33f0_b3a8_0133_1b87_12313c0dade2.png меняет свой знак с минуса на плюс, то в этой точке у функции локальный минимум. Если же с плюса на минус, то – локальный максимум. При этом значение самой производной в этой точке должно равняться нулю.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна  0  или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

·         найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,

·         найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,

·         выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

 

Выпуклость функции. Точки перегиба

Если вторая производная положительна, то функция выпукла вниз, а если отрицательна – то вверх. (Например, у   вторая производная равна 2 , то есть положительна, а сама парабола выпукла вниз, а   – вторая производная отрицательна, а сама парабола выпукла вверх).

Если же вторая производная меняет свой знак в некоторой точке, то эта точка называется точкой перегиба, то есть в этой точке функция меняет направление своей выпуклости (примером такой точки может быть точка ноль для кубической параболы:  ).

 

Экстремальные задачи

Когда есть два параметра и более, которые меняются в противоположные стороны, то возникает задача на оптимизацию. Необходимо подобрать соотношение параметров таким образом, чтобы интересующий нас результат был оптимальным.

Алгоритм решения экстремальных задач:

1.     Выделить изменяемый параметр, который мы ищем.

2.     Выразить оптимизируемую величину через параметр из п. 1, используя данные в условии ограничения.

3.     Найти экстремум полученной в п. 2 функции и значения изменяемого параметра, при которых он достигается.

4.     Проанализировать полученные результаты.

Некоторые выводы из решенных экстремальных задач:

·         кривая заданной длины будет ограничивать фигуру максимальной площади, если она является окружностью;

·         из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

 

Исследование функции

Схема исследования функции:

·         Область определения функции и, если возможно, область значений функции.

·         Нули функции (точки пересечения с осью  Ох) и точка пересечения с осью Оу .

·         Чётность/нечётность, периодичность функции.

·         Промежутки монотонности, экстремумы (первая производная).

·         Выпуклость функции, точки перегиба (вторая производная).

·         График функции.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Экстремумы функции 11 класс (теория)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Бизнер-тренер

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 743 235 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 19.08.2017 2511
    • DOCX 19.1 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Юракова Наталия Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Юракова Наталия Петровна
    Юракова Наталия Петровна
    • На сайте: 9 лет
    • Подписчики: 6
    • Всего просмотров: 65970
    • Всего материалов: 17

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Мини-курс

Личностный рост и развитие карьеры

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Понятие стресса: теоретические аспекты и эмоциональное благополучие

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Преодоление эмоционального выгорания в социальной работе

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе