Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективныи курс "Удивительныи мир квадратных уравнении ".

Элективныи курс "Удивительныи мир квадратных уравнении ".

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Цели конкурса: повысить интерес учеников к математике, усилить внутреннюю мотивацию, веру в себя и свои силы. Ученики отвечают на задания прямо на сайте конкурса, учителю не нужно распечатывать задания. Для каждого ученика конкурс по математике «Поверь в себя» - это прекрасная возможность проявить себя и раскрыть свой потенциал.

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:








Элективный курс по математике

для предпрофильной подготовки

«Удивительный мир квадратных уравнений».






































Пояснительная записка.


Элективный курс «Удивительный мир квадратных уравнений» предназначен для учащихся 9-х классов, интересующихся математикой, однако, много интересного в нем могут найти и учащиеся 10-11 классов. Данный курс можно изучать целостно, как отдельный курс, или использовать его элементы как на уроках математики 8-9 классов, так и на занятиях кружков и факультативов. Предлагаемый курс более полно освещает намеченные в школьном курсе математики вопросы, связанные с историей, решением различных видов квадратных уравнений, а также уравнений, сводящихся к ним.

Стоит отметить, что навыки решения различных видов квадратных уравнений необходимы каждому ученику, желающему успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике, и будет хорошим подспорьем для подготовки к математическим олимпиадам и дальнейшему обучению в профильном математическом классе.

Познавательный материал курса позволит школьникам не только выработать умения и навыки решения квадратных уравнений, но и поможет им систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с квадратными уравнениями, подготовиться к дальнейшему изучению тем, использующих навыки решения квадратных уравнений.

Наряду с обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических и исследовательских способностей, ориентация на профессии, связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Учебный процесс данного курса предполагает использование типового школьного оборудования кабинета математики.


Цель и задачи курса.


Цель: развитие у ученика умения сделать ответственный выбор профиля и способа дальнейшего обучения.

Задачи:

1) создание у учащихся положительной мотивации обучения на профильном курсе;

2) помощь ученикам в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы;

3) помощь ученикам утвердится в сделанном ими выборе направления дальнейшего обучения, связанного с математикой, или отказаться от него;

4) восполнение содержательных пробелов основного курса, придающих ему необходимую целостность;

5) освоение нестандартных приемов решения квадратных уравнений и уравнений к ним сводящихся.


Организация учебного процесса.


Программа элективного курса рассчитана на 17 часов и предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до достаточно трудных заданий. В основном занятия состоят из 2-х частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи, для самостоятельного (или домашнего) решения.

Основные формы организации учебных занятий: лекция, диалог, объяснение, практикум, различные формы групповой и индивидуальной работы.

Количество часов и объем изучаемого материала позволяют принять темп продвижения по курсу, который соответствует возрасту учащихся.

Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется на большом числе доступных учащимися упражнений. В то же время это не означает монотонной и скучной деятельности, так как курс наполнен заданиями, разнообразными по форме и содержанию.

Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития умственной деятельности - дети учатся анализировать конкретные ситуации, замечать существенное, подмечать общее и делать обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения.

Условием, позволяющим правильно построить учебный процесс, является то, что изучение каждой темы начинается с проведения установочных занятий, выделяется главное и, исходя из этого, дифференцируется материал: выделяются те задачи, на которых происходит отработка ЗУН, и, те, которые служат развитию, побуждению интереса и др., и в соответствии с этим они не дублируются.

Материал курса доступен для обучения, способствует развитию логического мышления учащихся, повышению интеллектуального и творческого уровня, математической культуре. В процессе работы динамика интереса к элективному курсу будет фиксироваться с помощью диагностики на первом и последнем занятии. На всех этапах занятий предусматривается активный диалог с учащимися. Доля самостоятельности учеников при изучении курса достаточно велика, они могут проявлять активность, реализовывать свой творческий потенциал.

Большинство задач данного курса – это задания, в которых предлагается самостоятельно установить алгоритм решения, т.е. провести небольшое самостоятельное математическое исследование, что существенно способствует развитию логического мышления.

Итоговой формой контроля, подводящей изучение курса к логическому завершению, является проведение круглого стола.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметного интереса к математике, эти занятия могут стать толчком к увлечению предметом и вызвать желание узнать больше. Программа может быть эффективно использована в 9-ом классе с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору математического профиля обучения или отказ от него.


















Содержание курса.


Тема 1. Квадратные уравнения.


1. Неполные квадратные уравнения.

2. Полные квадратные уравнения.

3. Теорема Виета.


Тема 2. Нестандартные способы решения квадратных уравнений.


1. Частные случаи нахождения корней полного квадратного уравнения.

2. Решение квадратных уравнений методами геометрической арифметики.

3. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.


Тема 3. Решение уравнений сводящихся к квадратным.


1. Квадратные уравнения с модулем.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение уравнений методом введения новой переменной.

4. Решение иррациональных уравнений.

5. Решение возвратных уравнений.

6. Решение симметричных уравнений.































Примерное тематическое планирование.


п/п

Тема занятия

Время

Формы организации учебной деятельности

Формы контроля


1. Квадратные уравнения.

4 часа



1

Неполные квадратные уравнения.


Беседа. Коллективное и самостоятельное решение заданий.

Диагностика. Проверка самостоятельно решенных уравнений.

2

Полные квадратные уравнения.


Лекция. Практикум.

Самостоятельное решение заданий.

Математический диктант. Конспект. Проверка самостоятельно решенных уравнений.

3

Теорема Виета.


Диалог. Практикум.

Обсуждение решаемых заданий.

4

Обобщающее занятие-игра.


Математическая игра.

Демонстрация решенных заданий.


2. Нестандартные способы решения квадратных уравнений.

3 часа



5

Частные случаи нахождения корней полного квадратного уравнения.


Объяснение. Коллективное и самостоятельное решение заданий.

Самостоятельная работа. Составление таблицы-памятки.

6

Решение квадратных уравнений методами геометрической арифметики.


Лекция с элементами исследования.

Творческое домашнее задание.

7

Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.


Объяснение. Работа в парах.

Конспект. Проверка самостоятельно решенных уравнений.


3. Решение уравнений сводящихся к квадратным.

8 часов



8

Квадратные уравнения с модулем.


Беседа. Индивидуальные консультации с учителем.

Решение уравнений с комментариями.

Конспект.




9

Решение уравнений методом разложения на множители.


Объяснение. Работа в парах.

Решение уравнений с комментариями.

Конспект.

10

Решение уравнений методом введения новой переменной.


Объяснение. Практикум.

Решение уравнений с комментариями.

Конспект.

11

Решение уравнений методом введения новой переменной.


Практикум.

Самостоятельная работа в малых группах.

12

Решение иррациональных уравнений.


Беседа. Коллективное и самостоятельное решение заданий.

Решение уравнений с комментариями. Проверка самостоятельно решенных уравнений.

13

Решение возвратных уравнений.


Лекция.

Конспект.

14

Решение возвратных уравнений.


Практикум.

Самостоятельная работа в малых группах.

15

Решение симметричных уравнений.


Объяснение. Практикум.

Решение уравнений с комментариями.

16

Проверочная работа.


Индивидуальные консультации с учителем.

Зачет.

17

Итоговое занятие.


Круглый стол.

Дискуссия. Обсуждение различных способов решения уравнений. Диагностика.















Ожидаемый результат.


В результате изучения темы «Квадратные уравнения» курса учащийся может:

усвоить основные приемы решения различных видов квадратных уравнений;

научиться устно решать простые квадратные уравнения, используя теорему Виета.

В результате изучения темы «Нестандартные способы решения квадратных уравнений» курса учащийся может:

научиться устно решать простые квадратные уравнения, используя зависимости между коэффициентами квадратного уравнения;

получить представление о решении квадратных уравнений методами геометрической арифметики и с использованием циркуля и линейки;

В результате изучения темы «Решение уравнений сводящихся к квадратным» курса учащийся может:

научиться применять различные методы для сведения уравнений к квадратным;

научиться решать основные типы квадратных уравнений с модулем, иррациональных уравнений, возвратных и симметричных уравнений.


Итоговое занятие – заседание «Круглого стола» на тему: «Самое красивое решение. За и против» предполагает дискуссию о различных способах решения предложенных учащимся уравнений, т.к. каждое из них может быть решено несколькими способами или комбинацией различных методов. Такая форма занятия дает возможность для индивидуальной и коллективной исследовательской деятельности.


Прохождение курса завершается качественной оценкой работы учащихся, являющейся результатом отслеживания их личностного роста.

Качественные критерии оценки:

стремление расширить знания путем самообразования;

активность при самостоятельной деятельности;

разнообразие заданий, решаемых на промежуточном контроле;

степень сложности решенных задач.

Количественные критерии оценки:

каждая самостоятельно решенная задача оценивается одним баллом;

за решение заданий повышенной сложности добавляется еще один балл;

активность при коллективной работе дает один балл;

выступление с сообщением, выполнение заданий исследовательского характера добавляет по баллу за каждый вид деятельности.

Все баллы на каждом занятии вносятся в оценочный лист ученика.














Методические материалы к занятиям.


Тема 1. Квадратные уравнения.


Занятие 1: Неполные квадратные уравнения.


Цели:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме неполные квадратные уравнения; закрепить изучаемый материал в ходе решения уравнений.


Ход занятия.


1. Объяснение.

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a0 называется квадратным.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называется неполным. Существуют три вида неполных квадратных уравнений.

  1. с = 0, тогда уравнение имеет вид ax2+bx=0. Его решают с помощью вынесения общего множителя х за скобки.

x(ax+b)=0.

Произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю


x=0 или ax+b=0;

x = -hello_html_7df487c8.png.

В уравнениях такого вида всегда один корень равен нулю.

  1. b=0, тогда уравнение примет вид ax2+c=0;

ax2=-c;

x2 = -hello_html_6ecbcea6.png.

Если -hello_html_6ecbcea6.png> 0, то уравнение имеет два корня х1,2 = hello_html_m5ad9606d.png

Если -hello_html_6ecbcea6.png< 0, то уравнение не имеет корней.

Вывод: Если уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни, то они равны по модулю, но противоположны по знаку.


  1. b = c = 0, тогда уравнение принимает вид ax2=0;

x2=0;

x =0.

Уравнение такого вида имеет единственный корень (двойной кратности) равный нулю.


2. Закрепление.

1. Устно:

1) Выберите, какие из данных уравнений имеют:

а) корни одинаковые по модулю и противоположные по знаку;

б) два корня, один из которых равен нулю;

в) один корень.

2) Решите устно уравнения:

1)hello_html_m714c80d.png

2)hello_html_m30955f34.png

3)hello_html_m49a820d1.png

4)hello_html_m48d1c1e7.png

5)hello_html_m2910462c.png

6)hello_html_m7fc80bd7.png

2. Решите уравнения письменно:

1) hello_html_m7fa9bb65.png

2)hello_html_m78d12df2.png

3) hello_html_65fda128.png

4) hello_html_m39c2813a.png

5) hello_html_m7a686d4d.png

6) hello_html_m92f260.png

7) hello_html_48f9d5b8.png

8) hello_html_m1b73a351.png

9) hello_html_m4898ccfb.png



Приведем решение уравнения №7.


hello_html_6482db31.png

1 случай: hello_html_m378ffdd7.png, тогда hello_html_51a3f961.pngуравнение примет вид:

hello_html_m49dd2135.png

hello_html_a5c4169.png

hello_html_4ba19a43.png

hello_html_m38b141fe.pngили hello_html_1f4447a3.png

hello_html_3f2378b3.png

Оба корня удовлетворяют условию hello_html_7d8583f6.png


2 случай: hello_html_2d3979fe.png, тогда hello_html_m5df22695.pngи уравнение примет вид:

hello_html_m34204be5.png

hello_html_b999410.png

hello_html_mfc8aaf9.png

hello_html_m38b141fe.pngили hello_html_m199ff32d.png

hello_html_1242bd24.png

Оба корня не удовлетворяют условию hello_html_m365afd3d.png. Следовательно, являются посторонними.

Ответ: 0; 1.


3. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_m25bc14d4.png

2) hello_html_m5fd37ffe.png

3) hello_html_621e1170.png

4) hello_html_7428364f.png

5) hello_html_2bb94a08.png




Занятие 2: Полные квадратные уравнения.


Цели:

проверить усвоение учащимися материала;

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Полные квадратные уравнения»;

познакомить с историей вопроса;

закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.


Ход занятия.


1. Математический диктант.


Вариант 1. Вариант 2.

Решите уравнения: Решите уравнения:

1)hello_html_31dc9f96.png 1) hello_html_m1361de47.png

2)hello_html_m6eee9208.png 2) hello_html_m6725cb45.png

3)hello_html_64700094.png 3) hello_html_m7dc1afa8.png

4)hello_html_59074d6a.png 4) hello_html_1989eb7c.png

5)hello_html_m130cd43c.png 5)hello_html_1adf01f1.png



2. Лекция.


Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида

hello_html_1fcb37f8.png, где hello_html_ma1c22de.png

Выражение hello_html_7b892e16.pngназывают дискриминантом квадратного трехчлена hello_html_1fcb37f8.png.

При этом если D > 0, то корни действительные и различные hello_html_m798a7c6f.png;

при D = 0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два),

при D < 0 действительных корней нет.


Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому

математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждения видна из рисунка.





hello_html_m5f842689.png








hello_html_m5f842689.png







hello_html_7d66adc3.png







hello_html_m5f842689.png


hello_html_m5f842689.png




Он рассматривает уравнение hello_html_22cc23ca.png.

Площадь большого квадрата равна hello_html_m136fcaf3.png.

Она складывается из площади hello_html_5226cd9e.pngфигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения и площади четырех квадратов со стороной 5/8, равной 25. Таким образом,

hello_html_m1fdcbad4.png

hello_html_m5140f461.png

hello_html_m3ede71c0.png



4. Закрепление.

Решите уравнения:

1)hello_html_m145bab8f.png

2)hello_html_m6790ceb1.png

3)hello_html_71a45a12.png

4)hello_html_m40333a60.png

5)hello_html_39916360.png

6)hello_html_m746b9387.png

7) hello_html_m34bea4ba.png

8) hello_html_3f54e11e.png

5. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1)hello_html_3be93180.png

2)hello_html_39f14d36.png

3)hello_html_39f14d36.png

4)hello_html_49e4ba00.png



Занятие 3: Теорема Виета.


Цели:

обобщить знания учащихся по теме «Теорема Виета»;

закрепить изученный материал:


Ход занятия.


1. Объяснение.


Для коэффициентов и корней квадратного уравнения выполняются соотношения:


hello_html_maa55d39.png


Эти соотношения называются теоремой Виета, по имени французского математика

Ф. Виета (1540-1603 гг.)

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения

hello_html_4b291949.png,

тогда hello_html_25fb51dc.png

Запомнить теорему Виета поможет стихотворение:


По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что проще, скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни,

И дробь уж готова.

В числителе «с», в знаменателе «а».

И сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда?

В числителе «b», в знаменателе «а».


Верна и теорема обратная теореме Виета. Ее также лучше применять для приведенного квадратного уравнения.

«Если числа х1и х2таковы, что выполняются равенства: х12=p и х1х2=q, то х1и х2 – корни приведенного квадратного уравнения».


2. Сообщение о Франсуа Виете (готовят ученики).

3. Закрепление.

Устно: hello_html_5d8e6a28.png

hello_html_m62bd4cf4.png

hello_html_12dca847.png

hello_html_3742414c.png

hello_html_m736c8c4.png

Письменно:

  1. Не вычисляя корней квадратного уравнения hello_html_m62c0a8f6.png, найдите:

а) hello_html_1fd34f07.png

б) hello_html_m3466ee53.png

в) hello_html_35f34615.png

г) hello_html_43128201.png

д) hello_html_14780574.png

е) hello_html_m677314d4.png

ж) hello_html_m164840fb.png

з) hello_html_70ba3192.png

Покажем, например, решение задания з)


hello_html_m1665a045.png



По теореме Виета hello_html_4e465409.png

hello_html_m7dc3fd14.png, откуда,

hello_html_m65113f7b.png

hello_html_m2b2a23ea.png

hello_html_m620b1ce7.png

hello_html_1744b9ba.png

hello_html_m4009d979.png


4. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Не решая квадратного уравнения hello_html_m4f804e01.png, вычислите:

а) hello_html_m3466ee53.png

б) hello_html_14780574.png

в) hello_html_m387ac639.png

г) hello_html_m3ad45cba.png




Занятие 4: Игра «Математические крестики-нолики».


Цели:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Квадратные уравнения».


Ход занятия.


1. Сообщение правил игры.

Правила игры: класс разбивается на 2 команды, которые решают задачи. С помощью жребия выбирается код команды – «крестик» или «нолик». Выигрывает та команда, которая набирает большее количество своих знаков. Команда, которая с очередным заданием справилась быстрее, имеет право выбора следующего конкурса. Непременное условие игры – начинать с конкурса «Вспомни».

Оформление: на доске расположена таблица с названием конкурсов, каждая графа которой содержит определенное задание.

Вспомни

Т

SOS

!

Черный ящик

Тест-прогноз

Реши задачу

Письма из прошлого

Эрудит


Если команда выиграла конкурс, то в таблице вместо названия конкурса проставляется код команды – «крестик» или «нолик», так участники могут следить за ходом игры.


2. Актуализация опорных знаний.

Конкурс «Вспомни». Заполнить таблицу, где a, b – коэффициенты квадратного уравнения hello_html_3dfd194b.pngгде D – его дискриминант, N – число корней уравнения и x1, x2 – корни этого уравнения.

Уравнения

a

b

c

D

N

x1, x2

x1,+x2

x1 · x2

hello_html_7270aab3.png











3. Игровые действия.

Следующие конкурсы проходят в таком порядке, в каком их выбирают команды, проставляя в таблице соответственно «крестик» или «нолик», поэтому структура урока может измениться в рамках игровых действий.

Конкурс «Т». Каждой команде предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Определение квадратного уравнения.

2. Виды квадратных уравнений.

3. Что называется дискриминантом квадратного уравнения?

4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

5. Каковы формулы для нахождения корней квадратного уравнения?

6. Формулировка теоремы Виета.

Конкурс «SOS». В этом конкурсе каждой команде предлагается выяснить следующее:

1. Какие уравнения называются биквадратными?

2. Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

3. Решить уравнения: hello_html_604f2677.png

Конкурс «Тест-прогноз». Каждой команде предлагается решить следующие уравнения.

Вариант I


hello_html_cc46fe0.png

hello_html_m4ac5c170.png

hello_html_m64ec35ff.png


Вариант II


hello_html_1c245edc.png

hello_html_m5fc80f87.png

hello_html_m280ed190.png

Конкурс «Реши задачу». Каждой команде предлагается старинная задача. На вопрос о возрасте одна дама ответила, что ее возраст таков, если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696, то получится одно и то же число.

Конкурс «!». Каждой команде предлагается составить приведенное квадратное уравнение, имеющее два совпадающих корня, равных 3.

Конкурс «Письмо их прошлого». Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.

Вот одна из задач индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Вы скажите, в этой стае?

Конкурс «Черный ящик». Каждой команде предлагается решить уравнение.



Вариант I


hello_html_m7f02c77a.png


Вариант II


hello_html_79432651.png


Конкурс «Эрудит». Учитель или заранее подготовленный ученик делает сообщение о комплексных числах.

Рассмотрим уравнение hello_html_m616b3b29.png

Хотя оно имеет отрицательный дискриминант D=-4, напишем чисто формально формулы для его корней:

hello_html_m6cfeebb6.png

Упростив выражения, получим hello_html_m7190bac6.png

До сих пор мы считали, что такие выражения не имеют смысла, так как символу hello_html_m723692e0.pngне соответствует никакое действительное число. Однако этот символ оказался очень полезным в математике. Его обозначают буквой hello_html_m3c1877c3.pngи называют мнимой единицей.

С помощью мнимой единицы i и действительных чисел можно составлять буквенные выражения.

Например, hello_html_363af74.png

Для таких буквенных выражений создано счисление, подчиняющееся следующему правилу: эти выражения преобразуются как обычные буквенные выражения, однако при этом считают, что hello_html_m90aab36.png

Выражение hello_html_635924b6.pngгде a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, называют комплексным числом.

Действительное число a есть частный случай комплексного числа hello_html_46ff2fdb.pngпри hello_html_28e024a7.png

Выражение hello_html_3e8f21e3.pngгде b – действительное число, называют мнимым числом. Например, hello_html_531aa2de.png- мнимые числа. Мнимое число hello_html_m6cf85e4a.pngесть частный случай комплексного числа hello_html_46ff2fdb.pngпри hello_html_e6422fd.pngНаконец, считают, что hello_html_m23d042c6.png

Итак, выражения hello_html_m2281eb47.pngи hello_html_184a1695.pngпредставляют собой комплексные числа hello_html_m18a73e48.png

Числа hello_html_46ff2fdb.pngи hello_html_m12e0c7be.pngназывают сопряженными. Например, hello_html_m57f0d57c.pngи hello_html_md0b1a61.pngесть сопряженные числа.

С введением комплексных чисел можно утверждать, что любое квадратное уравнение имеет два корня: действительные различные, если дискриминант положительный, действительные совпадающие, если дискриминант равен нулю, и комплексные (различные), если дискриминант отрицательный.

4. Подведение итогов.



Тема 2. Нестандартные способы решения квадратных уравнений.


Занятие 5: Частные случаи нахождения корней полного квадратного уравнения.


Цели:

проверить усвоение учащимися материала;

познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного уравнения;

закрепить изученный материал в ходе решения уравнений;


Ход занятия.


1. Объяснение новой темы.


В некоторых случаях можно решить квадратные уравнения, не считая его дискриминант.


1) Если hello_html_44392bdb.png, то hello_html_m49b85154.png

Пример: hello_html_m6d8638d2.png, то hello_html_2d2746bf.png

роверить по теореме обратной теореме Виета).

2) Если hello_html_m58ccc393.png, то hello_html_3a495fb9.png

Пример: hello_html_m49414671.png, то hello_html_m6d5ff3a.png

3) Если hello_html_1153c763.png, то есть уравнение имеет вид hello_html_199326fd.png, то

hello_html_68beb335.png

Пример: hello_html_1c449688.png, то hello_html_m68027d1e.png


4) Если hello_html_7d484b81.png, то есть уравнение имеет вид hello_html_621318ce.png, то hello_html_5149e853.png

Пример: hello_html_m7bdda711.png, то hello_html_c1a382.png


2. Закрепление.

Решите устно уравнения:

1)hello_html_7f36c47.png

2)hello_html_68427692.png

3)hello_html_m29ab839.png

4)hello_html_m51422261.png

5)hello_html_6d75a4da.png

6)hello_html_m5124215b.png

7)hello_html_m7e9052c5.png

8)hello_html_m347ccedd.png

9)hello_html_m5a32d23a.png

10)hello_html_44bfb6a6.png


3. Самостоятельная работа (проверяется в классе).

Решите уравнения:


1)hello_html_2f21ccf.png

2)hello_html_1dc125bf.png

3)hello_html_m15d20aaf.png

4)hello_html_3d77d6c8.png


4. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_22c6d73b.png

2) hello_html_m11987db8.png

3) hello_html_3fd6162b.png

4) hello_html_a719706.png



Занятие 6: Решение квадратных уравнений методами геометрической арифметики.


Цели:

проверить полученные знания;

познакомить учащихся с идеями геометрической арифметики;

показать учащимся возможность решения квадратного уравнения геометрическим способом;


Ход занятия.


1. Лекция.


Никаких арифметических задач не решить, если не умеешь выполнять четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Можно ли выполнять арифметические действия не с числами, а с другими объектами, например с отрезками?

Давайте обсудим, как сложить и вычесть отрезки. (Идет обсуждение с учащимися.)

Рассмотрим рисунок, который позаимствуем из книги «Геометрия» великого французского ученого Рене Декарта (1596-1650). Как умножить и делить отрезки?

Вот что об этом пишет Декарт.

hello_html_53348b22.jpg

Пусть, например, AB является единицей, и требуется умножить BD на BC; для этого я должен только соединить точки A и B, затем провести DE параллельно CA, и BE будет результатом этого умножения.

Декарт не объясняет, почему так получается, так как считает, что его читатели сами это поймут. Мы тоже не будем объяснять этого – и по этой же причина.

Про деление Декарт пишет, снова обращаясь к этому же чертежу:

«Если BE нужно разделить на BD, то, соединив точки E и D, я провожу AC параллельно DE, и BC будет результатом этого деления».

Но если hello_html_7ba6bef6.pngИз того же рисунка мы видим, что пропорция

hello_html_7eb86cfe.png

будет справедлива всегда, если толькоhello_html_m7648364d.pngзначит, мы всегда можем ее решить (т.е. найти какой-либо из четырех ее членов по трем данным) чисто геометрически. Все это и значит, что геометрически – при помощи циркуля и линейки – можно решать задачи на сложение, вычитание, умножение и деление отрезков, причем для умножения совсем не обязательно обращаться к площадям!

А можно ли геометрически извлечь квадратный корень? Оказывается, можно, более того, существует много приемов выполнения этой операции.


hello_html_m5698ecea.jpg

На рисунке AB – отрезок, из которого надо извлечь квадратный корень. Построим hello_html_m24fe8089.pngПриняв BC за диаметр окружности, построим ее (вам надо вспомнить, как с помощью циркуля и линейки делят пополам отрезки). А теперь проведем AD перпендикулярно диаметру. Это и есть квадратный корень из AB. Почему? Соедините точку D с концами диаметра, у вас получится прямоугольный треугольник, в котором AD – высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, а AC и AB – проекции катетов на гипотенузу. Закончите доказательство самостоятельно.

Из геометрического метода нахождения квадратный корней вытекает любопытнейший способ решения квадратных уравнений. Рассмотрим его на нескольких примерах.

Пусть надо решить уравнение

hello_html_16b27b9b.png











Выполним следующее построение.


hello_html_m2788310a.jpg

Сначала по катету hello_html_76c9561e.pngи гипотенузе hello_html_5eed5918.pngпостроим прямоугольный треугольник. Заметим сразу, что

hello_html_m5f5700a0.pngА теперь радиусом, равным hello_html_43675b9c.pngпроведем окружность с центром в точке A. Она пересечет продолжение катета AC в двух точках, которые обозначим D и E. Заметим, что отрезок DC составлен из hello_html_20f6ca36.pngи

hello_html_48ea4188.pngт.е. hello_html_4223c701.pngОтрезок же CE есть разность отрезков hello_html_m4f433b15.pngи

hello_html_76d8bbf9.pngт.е. отрезок hello_html_m6929abfb.pngПочему так хорошо получается? Да потому, что отрезок BC есть корень квадратный из произведения отрезков hello_html_m8411e62.png и hello_html_cb6f8c0.png

Итак, получается такой порядок. Сначала, имея уравнение hello_html_59b241a7.pngпостроим отрезки hello_html_m4a9228ae.pngи hello_html_mffdf6d3.pngЭто всегда можно сделать. Начнем строить прямоугольный треугольник по двум отрезкам – гипотенузе и катету. Сначала отложим катет, равный hello_html_m3369169d.pngЭто тоже всегда получится. Возьмем теперь раствор циркуля, равный hello_html_2e10150e.pngножку циркуля поместим в точку B и проведем дугу окружности, чтобы получить точку A. А вот это получится далеко не всегда! Если катет hello_html_m714b74fa.pngбольше гипотенузы hello_html_m5c4288fe.pngто треугольника не получится. Иначе можно сказать, что если hello_html_m492a16a2.pngто hello_html_m4cebddc3.pngдискриминант квадратного уравнения, отрицателен и, как вы знаете из учебника, такое уравнение решений не имеет

Но если p<0? А ничего особенного – лишь бы q было положительным числом, а все остальное делается одинаково и для p>0, и для p<0. Надо только знать, какие знаки прописать числам, выражающим длины отрезком CE и BC. На этот вопрос ответьте сами.

В случае, когда перед q стоит знак минус (мы не будем считать q отрицательным числом, а просто будем говорить, что вычитается положительное число), построение производится иначе, и здесь старый рисунок нам уже не поможет.

Итак, пусть дано уравнение


hello_html_2f7eb75f.png

hello_html_552293a2.jpg

Построим прямоугольный треугольник ABC с катетами hello_html_b5af174.pngи hello_html_m370c16b1.pngЕго гипотенуза AB по теореме Пифагора hello_html_40c34f62.pngЗаметим сразу, что такое построение возможно всегда, тут нет каких-либо исключений. А теперь радиусом hello_html_1af87ef7.pngпроведем окружность в точке A. Она пересечет гипотенузу и ее продолжение в точках D и E. Нетрудно убедиться – на этот раз вы сделаете это сами, что hello_html_m67c47a2c.png а hello_html_527e307c.pngЗнак модуля поставлен для того, чтобы можно было рассматривать эту задачу и для p < 0, но над знаками корней все же придется подумать.

Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять эти замысловатые построения. Но нам интересно отметить сейчас важный факт: квадратные уравнения могут быть решены геометрическим путем. Могут быть! Иногда в науке важно установить саму возможность решения задачи заданными средствами, а уж надо будет решать именно этими средствами или не надо – другое дело.


2. Задание для исследовательской домашней работы.

Попробуйте решить квадратное уравнение hello_html_4b291949.pngтригонометрически.

Указание: обозначим буквой hello_html_m734ad136.pngугол BAC.


Отметим, что вы получите совершенно особый способ решения квадратных уравнений – тригонометрический.

Подводя итоги, можно сказать, что об одном и том же явлении мы рассказали на трех языках – алгебраическом, геометрическом и тригонометрическом. Еще раз подчеркнем – языки разные, а задача одна.







































Занятие 7: Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.


Цели:

научить учащихся решать квадратные уравнения с применением циркуля и линейки;

проверить усвоение учащимися материала;

закрепить умение решать квадратные уравнения.


Ход занятия.


1. Объяснение.

Корни квадратного уравнения hello_html_578d1972.pngможно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром hello_html_m2545a978.pngпроходящей через точку A(0; 1), и оси 0x.


hello_html_m1646e809.png

Рис. 1


Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QA (для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью 0x. Возможны три случая:

1) если hello_html_m2a466b41.pngто окружность пересекает ось 0x в двух точках M(x1; 0) и

N(x2; 0) (рис. 1, a), уравнение имеет корни x1, x2;

2) если hello_html_m46ff4ffc.pngто окружность касается оси 0x в точке M(x1; 0) и

N(x2; 0) (рис. 1, б), уравнение имеет корень x1;

3) если hello_html_m25db3eca.pngто окружность не имеет общих точек с осью 0x (рис. 1, в),

у уравнения нет корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений описанным способом.













Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m1a818989.png

Решение показано на рис. 2.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m5bfb4fe3.png

Решение показано на рис. 3.

Ответ: -5; 1.

Пример 3. Решите уравнение hello_html_mdc3d711.png

Решение показано на рис. 4.

Ответ: нет корней.


Замечание. Конечно, Решать уравнения по формуле проще, чем выполнять построение. Но нам сейчас интересно отметить важный факт: квадратные уравнения могут быть решены с привлечением геометрии. Правда, этот способ не позволяет получать точные решения в случае произвольных коэффициентов уравнения.


2. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_450d49a6.png

2) hello_html_64320127.png

3) hello_html_5af98f48.png

4) hello_html_61f9cadb.png













Тема 3. Решение уравнений сводящихся к квадратным.


Занятие 8: Квадратные уравнения с модулем.


Цели:

научить учащихся решать квадратные уравнения с модулем;

проверить усвоение учащимися материала;

закрепить умение решать квадратные уравнения.


Ход занятия.


1. Объяснение.


Напомним, что модуль числа равен этому числу, если оно неотрицательное, и числу противоположному данному, если оно отрицательное, т.е. hello_html_m66e5efe8.png

2. Закрепление.

Решите уравнения:

1) hello_html_653adb3.png

2) hello_html_m6d63d2de.png

3) hello_html_m7a573dba.png

4) hello_html_4aa861ff.png

5) hello_html_54c105ef.png

6)hello_html_m7e3c30e4.png

7) hello_html_5bdc412d.png


Решение уравнения № 3.


hello_html_7fefe5b4.png


Т.к. модуль числа неотрицателен, то hello_html_2edb1179.pngзначит, hello_html_7ec71682.png

hello_html_m20da0e46.png или hello_html_m63c883a1.png

hello_html_c95659b.png hello_html_1048cbf0.png

hello_html_67b5dff.png hello_html_2eb23188.png

hello_html_m78fc835e.png hello_html_m52a97b65.png

hello_html_m5b98740f.png hello_html_m758ede37.pngзначит, два корня.

hello_html_1bcd457e.png- посторонний корень, т.к. hello_html_m220c1bb5.png

не удовлетворяет условию hello_html_m77b5b07d.png hello_html_1902eb24.png

hello_html_5d8a24ba.png

hello_html_mf5426ee.png- посторонний корень, т.к.

не удовлетворяет условию hello_html_m77b5b07d.png

Ответ: hello_html_6a5e22c6.png



Решение уравнения № 6.


hello_html_42cd97a4.png


hello_html_m56b26a9e.png или hello_html_m24bbfcd7.png

hello_html_4d59d152.png hello_html_c6120d2.png

hello_html_m64c13d99.png hello_html_m70eb3e8.png

hello_html_m4f66ec68.png hello_html_5a44a723.png

hello_html_5a44a723.png hello_html_2494bcd3.png значит, два

корня.

hello_html_35c41075.png значит, два корня. hello_html_7e7891aa.png

hello_html_7e7891aa.png hello_html_c5c4ff8.png

hello_html_m26428c4d.png

hello_html_18b55c75.png


Ответ: hello_html_m5fdc23a4.png



3. Дидаhello_html_m7a26950c.gifhello_html_m7a26950c.gifhello_html_m7a26950c.gifктические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:


1) hello_html_m6c955789.png

2) hello_html_6ba2bc40.png

3) hello_html_m1bd7689b.png

4) hello_html_6981f5a9.png













































Занятие 9: Решение уравнений методом разложения на множители.


Цели:

показать учащимся возможность решения уравнений методом разложения на множители;

развивать умение учащихся раскладывать многочлены на множители;

проверить усвоение материала.


Ход занятия.


1. Объяснение.


Многие уравнения степени выше второй, можно решить методом разложения на

множители. Рассмотрим этот метод на примере решения уравнения:


hello_html_139b2ee5.png

hello_html_403e91c2.png

hello_html_m6d0536e4.png

Воспользуемся формулой разности квадратов:

hello_html_m6fae5b54.png

hello_html_m7e4ebab9.png

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

hello_html_5e8e8e5d.png или hello_html_m2605a591.png

Пусть x1 и x2 корни Пусть x3 и x4 корни

уравнения, тогда по уравнения, тогда по

теореме Виета теореме Виета

hello_html_36055a14.png hello_html_7d38f0fb.png


hello_html_m1878ec0a.png hello_html_24385d46.png

Ответ: hello_html_m379fce00.png


2. Закрепление.

Решите уравнения:

1) hello_html_m60653d13.png

2) hello_html_m6fbe351f.png

3) hello_html_1de637e7.png

4) hello_html_m7265bef1.png

5) hello_html_21e1fa6c.png

6) hello_html_m38aabb07.png

7) hello_html_m43c3ad8b.png



3. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_1b3700b5.png

2) hello_html_672feaed.png

3) hello_html_m683ac657.png

4) hello_html_m3f07fa4e.png

5) hello_html_m7950f87d.png



































Занятие 10: Решение уравнений методом введения новой переменной.


Цели:

расширить знания учащихся по заданной теме;

развивать умения учащихся решать квадратные уравнения;

проверить усвоение материала.


Ход занятия.


1. Объяснение.


К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной.

Вам уже знакомы биквадратные уравнения, т.е. уравнения вида

hello_html_a832378.pngкоторые сводятся к квадратным заменой y=x2.

Рассмотрим и другие виды уравнений, решаемых аналогично.

hello_html_m1bcf37e6.png

hello_html_m408ffe19.png

hello_html_m166a5c22.png

hello_html_m53a77d3f.png

Введем новую переменную

hello_html_474b2bba.pngгде hello_html_m6b1688c1.png

hello_html_28774dfa.png

hello_html_5a44a723.png

hello_html_21b17f8f.pngзначит, два корня.

hello_html_m61940fcc.png

hello_html_m7098644b.png- посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условию hello_html_49dbf220.png


Вернемся к прежней переменной.

hello_html_m261bb009.png

hello_html_608b8099.pngили hello_html_740239d6.png

hello_html_626fe3d7.png hello_html_m7ac056e5.png

Ответ: hello_html_m29fd460a.png









2. Закрепление.

Решите уравнения:

1) hello_html_3391ca25.png

2) hello_html_m16c33149.png

3) hello_html_1e764c03.png

4) hello_html_m5a57b61.png

5) hello_html_m4a52f206.png


3. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_m13beac5f.png

2) hello_html_304b7ebf.png

3) hello_html_496f6f7.png

4) hello_html_mf32892f.png






























Занятие 11: Решение уравнений методом ведения новой переменной.


Цели:

выработать навыки решения уравнений методом введения новой переменной;

проверить усвоение материала.


Ход занятия.


1. Закрепление.


Рассмотри более сложные случаи решения уравнений методом введения новой переменной.


hello_html_76a5e7e7.png

hello_html_m216c8f04.png

Введем новую переменную.

Пусть hello_html_m27e4ee02.png

hello_html_m56ead61e.png

hello_html_3d1f9185.png

hello_html_m6fd3f5da.png

Полученное уравнение равносильно системе

hello_html_m32b1fbf0.png

hello_html_649ce436.png

Решим первое уравнение системы

hello_html_6429cb1b.png

hello_html_2e637032.pngгде hello_html_m4386a37a.png

hello_html_m5939b448.png

hello_html_md887204.png значит, два корня.

hello_html_1b1b5b3f.png

hello_html_m5eaae306.png

hello_html_m1383cdd3.png


Вернемся к прежней переменной

hello_html_m14ccaadd.png

hello_html_70481696.png


Вернемся к исходной переменной


hello_html_m216fd06d.png или hello_html_291a632a.png или hello_html_m50ddc257.png или hello_html_3182bb35.png

hello_html_m34aab3a5.png hello_html_2330d81b.png hello_html_m7293da58.pnghello_html_194b8324.png

hello_html_2ce018b0.png hello_html_m1389240e.png hello_html_maf10f.png hello_html_m2684e72c.png

hello_html_m6b4be8cb.png hello_html_cda3ce9.png hello_html_mc8e6979.png hello_html_a85f353.png

hello_html_m5af1f8e3.png hello_html_m4d055180.png hello_html_195b77bc.png hello_html_42db1dca.png


hello_html_1c803a79.png hello_html_m4dba7bca.png

hello_html_m7448bf0f.png


Ответ: hello_html_7a2b3ac1.png




2. Самостоятельная работа.

(Работа в малых группах с последующим обсуждением.)


Решите уравнения:

1) hello_html_6e3fc243.png

2) hello_html_16598a86.png

3) hello_html_2352b2c2.png



3. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:


1) hello_html_5cde2577.png

2) hello_html_7ed67ddd.png





























Занятие 12: Решение иррациональных уравнений.


Цели:

познакомить учащихся с методами решения иррациональных уравнений;

выработать навык решения квадратных уравнений;

проверить усвоение материала.


Ход занятия.


1. Объяснение.


Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными.

Рассмотрим различные виды иррациональных уравнений.

  1. Уравнения вида

hello_html_me031395.pngсводится к квадратному заменой переменной

hello_html_feb21be.png

  1. Рассмотрим уравнение

hello_html_7c10f9bf.png

hello_html_m36e131b0.png

  1. Особенно отметим уравнение вида hello_html_24e52f5f.png

Оно также сводится к квадратному возведением данного уравнения в квадрат при условии hello_html_1704b928.pngТаким образом данное уравнение равносильно системе

hello_html_3e6196cc.png


2. Закрепление.

Решите уравнения:

1) hello_html_m25c5818.png

2)hello_html_127abbc8.png

3) hello_html_359ba252.png

4) hello_html_m6bbf9eef.png

5) hello_html_7f18533e.png

6) hello_html_7701d28e.png




Покажем, например, решение уравнения № 6.

hello_html_m387abde3.png

hello_html_m16f63ce8.png

Данное уравнение равносильно системе

hello_html_m59fa5282.png

hello_html_m73fa78d2.png

hello_html_8de8660.png

hello_html_502d8b00.png

hello_html_m51a280c5.png

hello_html_m52021b8.png


hello_html_4bcb88ed.png


Ответ: hello_html_4bcb88ed.png


3. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_m4cd68c.png

2) hello_html_mbce396c.png

3) hello_html_21c56a94.png

4) hello_html_m35e767e7.png













Занятие 13: Решение возвратных уравнений.


Цели:

познакомить учащихся с понятием возвратного уравнения;

показать способ решения возвратного уравнения;

проверить усвоение материала.


Ход занятия.


1. Объяснение.


Возвратным называется уравнение вида hello_html_m4250a4f5.png

В этом уравнении коэффициенты членов, равноотстоящих от начала до конца, одинаковы. Возвратное уравнение не имеет корня, равного нулю. Если же оно имеет корень x1, то оно имеет корень hello_html_31a9ac16.png

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень hello_html_m460234be.pngи если его разделить на hello_html_m6051d38a.pngто получится возвратное уравнение четной степени, на единицу меньшей степени с помощью подстановки hello_html_17b45837.pngможно привести к уравнению степени, в два раза меньшей, чем степень исходного. Для этого делят все члены данного уравнения на hello_html_m713c6a5c.pngи группируют попарно члены, равноотстоящие от начала до конца. После этого делают замену по формулам:

hello_html_m71070fa9.pngи т.д.

Замечание: Данное уравнение относится к обобщенным возвратным уравнениям четной степени. Так называется уравнение вида

hello_html_609220c.png

В рассматриваемом случае hello_html_m2a177c3c.pngи hello_html_m6fb08b35.pngСтепень такого уравнения можно понизить на n единиц, если разделить обе части уравнения на hello_html_5484ea0.pngобъединить попарно члены, равноотстоящие от концов, и положить hello_html_19ca7ca1.png

Есть также обобщенные возвратные уравнения нечетной степени. Это уравнения вида

hello_html_2d4aaed0.png


Рассмотрим, например, решение уравнения

hello_html_m22af340d.png

Разделим все части уравнения на hello_html_492dd7fb.png

hello_html_m172f1923.pngв данном уравнении hello_html_29ccfbc0.png

hello_html_6d584f42.png

Введем новую переменную hello_html_6e5111cb.pngтогда hello_html_m3ffc176c.pngи уравнение сведется

к следующему

hello_html_m56a17d71.png

hello_html_2800b7ca.png

Пусть y1 и y2 корни уравнения, тогда по теореме Виета

hello_html_m131e9bba.png

hello_html_4c84e347.png


Вернемся к исходной переменной.


hello_html_3740138.png или hello_html_4f784cad.png

т.к. hello_html_1e5460c1.png т.к. hello_html_2a084ca1.png

hello_html_4c6a65d5.png hello_html_1ce87c11.png

hello_html_m6f971d06.png по теореме Виета

hello_html_2ec271c3.png hello_html_m2065a4a0.png

hello_html_m220c1bb5.png

hello_html_ma7fe88d.png


Ответ: hello_html_13775eea.png








Решим уравнение.

hello_html_7c6b3c70.png

Это возвратное уравнение нечетной степени, значит, оно имеет корень hello_html_4109a640.png

Разделим его на hello_html_57a9045.png

hello_html_2a0aba73.png hello_html_79a12665.png

hello_html_22327c66.png hello_html_m18e5743e.png

hello_html_m95bbd9b.png

hello_html_27636618.png

hello_html_6e4e58fb.png

hello_html_12be343e.png

hello_html_m48f301b1.png

hello_html_m54b99032.png

hello_html_7bffbf7f.png

hello_html_m4ee7af83.png

hello_html_md4881c0.png

hello_html_m2fd95245.png


Получим возвратное уравнение четной степени.

Разделим его на hello_html_33c540fa.png

hello_html_m5e9a1af9.png

hello_html_2cb20776.png

Введем новую переменную hello_html_m63d8e879.pngтогда hello_html_1fff0713.pngи уравнение примет вид:

hello_html_m356cbcbf.png

hello_html_m7822eac8.png

hello_html_4acac469.png


hello_html_40786062.png


hello_html_200be5e9.png или hello_html_44c15a2d.png

hello_html_ba0e4b5.png



Вернемся к прежней переменной.

hello_html_963a71b.png hello_html_m1f9dcae6.png (умножим на 2x)

hello_html_m4fe1f59e.png hello_html_m32371b80.png

hello_html_m2c1fa73f.png hello_html_m6f971d06.png


Корней нет. hello_html_m2f155645.pngзначит, корней нет.


Ответ: -1.


2. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_1455dabf.png

2) hello_html_m2f052f4e.png


































Занятие 14: Решение возвратных уравнений.


Цели:

закрепить умение решать возвратные уравнения;

проверить усвоение материала.


Ход занятия.


1. Закрепление изученного материала.


  1. Устная работа.

а) Возвратное уравнение четвертой степени имеет корни hello_html_3070f2fd.pngназовите два других корня.

б) Назовите число, которое является корнем любого возвратного уравнения нечетной степени.

  1. Письменная работа. (Работа в малых группах с последующим обсуждением.)


I вариант. II вариант.

Решите уравнения: Решите уравнения:

1) hello_html_439bbc3f.png 1) hello_html_m40723b9a.png

2) hello_html_6c4fc1c9.png 2) hello_html_21991ece.png



III вариант. IV вариант.

Решите уравнения: Решите уравнения:

1) hello_html_m63a70a7e.png 1) hello_html_45a5d814.png

2) hello_html_m3029c4e.png 2) hello_html_43c35da9.png



2. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1) hello_html_dc28fca.png

2) hello_html_423d6aac.png












Занятие 15: Симметричные уравнения.


Цели:

познакомить учащихся с понятhello_html_7f30b859.gifhello_html_7f30b859.gifhello_html_7f30b859.gifhello_html_7f30b859.gifhello_html_7f30b859.gifhello_html_25b28c6f.gifием симметричных уравнений и методами их решения.


Ход занятия.


1. Объяснение.

Уравнение hello_html_m65953337.pngсимметричное относительно hello_html_m2ac6e165.pngт.к. выражения, входящие в него выражения «равноудалены» от выраженияhello_html_57a9045.png

Покажем решение этого уравнения. Введем новую переменную hello_html_613daeb8.pngтогда hello_html_m3e3cc74.png

Тогда данное уравнение примет вид

hello_html_10eda2c6.png

hello_html_m3ecfe04d.png

hello_html_m5ec64f92.png

hello_html_2959098d.png

hello_html_m1004c337.png

hello_html_26e31f5b.png

Введем новую переменную hello_html_m6ae9b596.pngгде hello_html_59402cc5.pngтогда уравнение примет вид:

hello_html_515a88c8.png

hello_html_m6f971d06.png

hello_html_49cab74a.pngзначит, два корня.

hello_html_m759d0581.png

hello_html_dfd4d54.png

hello_html_19e34e1d.pnghello_html_m1f5fb9f7.png- посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условиюhello_html_48dd3408.png


Вернемся к прежней переменной

hello_html_44c54851.png

hello_html_m65ded97f.png

Вернемся к исходной переменной.

hello_html_7dcc4bb8.png или hello_html_2121f830.png

hello_html_3f2378b3.png hello_html_m4cc3ebe9.png


Ответ: -3; 1.


2. Закрепление.

Решить уравнение:


hello_html_mfef2f97.png


Указание: решить уравнение двумя способами:

1) как симметричное относительно hello_html_273c54d.png

2) заменой переменнойhello_html_m6ad5393e.png


3. Дидактические материалы для индивидуальной работы.

Решите уравнения:

1)hello_html_29a0883e.png

2)hello_html_m2c57340d.png

3)hello_html_2790f97d.png




























Занятие 16: Зачет.


Цели:

проверить качество усвоения материала.


Ход занятия.


Вариант 1. Вариант 2.

Решите уравнения: Решите уравнения:


1)hello_html_3c8872e2.png 1)hello_html_m538d17ff.png

2)hello_html_m3cd0f647.png 2)hello_html_5912bd80.png

3)hello_html_m7a572bc9.png 3)hello_html_m451b69d7.png


Вариант 3. Вариант 4.

Решите уравнения: Решите уравнения:


1)hello_html_m1bb60f3a.png 1)hello_html_2261abab.png

2)hello_html_15d1e48.png 2)hello_html_m113ad95d.png

3)hello_html_585d94bd.png 3)hello_html_m305f5ba9.png























Занятие 17: Итоговое занятие. Круглый стол «Самое красивое решение. За и против».


Цели:

определить эффективность курса;

обсудить решение уравнений, решаемых композицией изученных методов (или различными методами);

подвести итоги.


Ход занятия.


1. Задания для обсуждения.


Решите уравнения:

1)hello_html_m6306456.png

2)hello_html_549b7b38.png

3)hello_html_5cde2577.png

4)hello_html_54a3e9a1.png

5)hello_html_3dbb7bfd.png

6)hello_html_e774fb3.png


2. Диагностика.

3. Подведение итогов.





















Литература для учителя.


1. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе / Под ред. Л.В. Кузнецовой. – Москва: Просвещение, 2007. – 191 с.

2. Алгебра. 9 класс. Итоговая аттестация – 2008 / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 256 с.

3. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – Москва: Просвещение, 2007. – 335 с.

4. Галицкий Л.М. Курс алгебры 8-го класса в задачах / Л.М. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – Львов: Квантор, 1991. – 89 с.

5. Галицкий Л.М. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов / Л.М. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – Москва: Просвещение, 1992. – 271 с.

6. Неброева К.Н. Элективные курсы в предпрофильной подготовке / Сост. К.Н. Неброева – Смоленск, 2007. – 40 с.

7. Печурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / Л.Ф. Печурин. – Москва: Просвещение, 1990. – 224 с.

8. Пресман А.С. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. // Квант. –1972. – № 4.

9. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы / Под ред. М.И. Сканави. – Москва: ООО «Издательский дом «Оникс 21 век», 2004. – 608 с.

10. Система тренировочных задач и упражнений по математике. / Под ред. А.Я. Симонова. – Москва: Просвещение, 1991. – 208 с.

11. Студенецкая В.Н. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов / В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. – Волгоград: Учитель, 2007. – 205 с.

12. Шахно К.У. Как готовиться к приемным экзаменам в ВУЗ по математике / К.У. Шахно. – Минск: Вышейшая школа, 1970. – 392 с.

13. Энциклопедический словарь юного математика / Под ред. А.П. Савина. – Москва: Педагогика, 1989. – 352 с.






















Литература для учащихся.


1. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе / Под ред. Л.В. Кузнецовой. – Москва: Просвещение, 2007. – 191 с.

2. Алгебра. 9 класс. Итоговая аттестация – 2008 / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 256 с.

3. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс./А.Г. Мордкович. – Москва: Мнемозина, 2008. – 215 с.

4. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс./А.Г. Мордкович. – Москва: Мнемозина, 2008. – 220 с.

5. Печурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / Л.Ф. Печурин. – Москва:

Просвещение, 1990. – 224 с.

6. Энциклопедический словарь юного математика / Под ред. А.П. Савина. – Москва: Педагогика, 1989. – 352 с.



































Приложение № 1. Франсуа Виет (биографическая справка).


Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году (1440-1603) в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глубоко знать математику. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астрономии так и не написал. Свою знаменитую теорему, которая известна под названием теорема Виета, он доказал в 1591 году. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.

Во время войны Франции с Испанией Виет оказал большую услугу своей родине – он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шифра волшебству чародея.

В работе «Введение в аналитическое искусство» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобретенных символов. В названном трактате Виет использовал алгебраические выкладки при рассмотрении вопросов геометрии.

Виет ввел в алгебру общую символику. Числовые коэффициенты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый термин – коэффициент, позаимствовав из латинского языка слово coefficiens – «содействующий». Знаки «+» и «-» он употреблял в современном значении, неизвестные обозначал буквами латинского алфавита.




























Приложение № 2. Тригонометрическое решение квадратного уравнения.


hello_html_62140854.jpg


Соединим E с C и рассмотрим треугольник EBC.

В нем hello_html_7da1f8a4.png(почему?), а угол BCE составляет hello_html_m75a23495.png

Значит, по теореме синусов:

hello_html_1a2f8592.png

Отсюда сразу следует (если только не забыть, что

hello_html_3c3164a5.pngи hello_html_m5dc597f7.png

hello_html_51aa139b.png


Точно так же, но уже из треугольника BCD , можно вычислить

hello_html_m19528316.png

И снова по теореме синусов hello_html_726c2802.png




Приложение № 3. Оценочный лист.


Оценочный лист учени___ ___ класса___ средней школы № ___


……………………………………………………………………………

(Ф.И. уч-ся)


На занятиях элективного курса


«…………………………………………………………………………………………………...»

в 200_ - 200_ учебном году.


Дата

Баллы за самостоятельное решение заданий

Дополнительные баллы за…

(Указать за какой вид деятельности)

Количество баллов за занятие

Подпись учителя


















































































Итого







Учитель …………………………….. / /.

Приложение № 4. Диагностическая карта.


Диагностическая карта учени___ ___ класса___ средней школы № ___


……………………………………………………………………………

(Ф.И. уч-ся)


На занятиях элективного курса


«…………………………………………………………………………………………………...»

в 200_ - 200_ учебном году.


п/п

Типы заданий

Решаю хорошо

Иногда ошибаюсь

Испытываю трудность

В начале курса

В конце курса

В начале курса

В конце курса

В начале курса

В конце курса

1

Решение неполных квадратных уравнений.







2

Решение полных квадратных уравнений.







3

Применение теоремы Виета.







4

Решение квадратного уравнения, используя зависимости между его коэффициентами.







5

Решение квадратного уравнения методами геометрической арифметики.







6

Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.







7

Решение уравнений с модулем.







8

Решение уравнений методом разложения на множители.







9

Решение уравнений методом введения новой переменной.







10

Решение иррациональных уравнений.







11

Решение возвратных уравнений.







12

Решение симметричных уравнений.










Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 25.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров141
Номер материала ДВ-376523
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх