Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс "Алгебра модуля. Исследование квадратного уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс "Алгебра модуля. Исследование квадратного уравнения"

библиотека
материалов

hello_html_m43bdc9a6.gifhello_html_m5ec8133e.gifhello_html_35b473c8.gifhello_html_m7d6bd2ef.gifhello_html_m30b5a0a.gif02.21.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Кучеряевская основная общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области



РАССМОТРЕНО

На ШМО

Протокол № 1

от «26» августа 2015г.

________ / _______________

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по УВР

____________ Семенютина С.Н.

«___» __________ 2015г.

УТВЕРЖДАЮ

Директор МКОУ Кучеряевская ООШ

____________ Солодунова В.В.

Приказ № 61/1 от___ «_27__» августа 2015г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

элективного курса

«Алгебра модуля. Исследование квадратного уравнения»

для 9 класса (II ступень)



1 час в неделю, 34 – в год

Из них: федеральный компонент 0

региональный компонент 0

школьный компонент 34





Составил учитель математики

Халанская Валентина Григорьевна

(1 квалификационная категория)

2015- 2016 учебный год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа по элективному курсу для 9 класса по предпрофильной подготовке по математике по темам « Алгебра модуля» и «Исследование квадратного уравнения» составлена на основе нормативных документов, определяющих проведение эксперимента по введению профильного обучения обучающихся в общеобразовательных учреждениях, с учетом рекомендаций авторских программ Т.Е.Бондаренко, И.Н.Данковой и О.В.Заниной.

Алгебра модуля

 Элективный курс «Алгебра модуля»  – предметно – ориентированный курс по выбору учащихся в рамках предпрофильной подготовки.  Основная цель курса – повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования, самостоятельному определению в выборе профиля обучения  на старшей ступени.

Курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит “нестандартные” методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Исследование квадратного уравнения

Функции вида y=ax2+bx+c (ax2+bx+c-квадратный трёхчлен), где а не равно 0, в  школьном курсе математики придаётся большое значение. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трёхчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратное уравнение с параметром часто включается в письменные работы и в тесты при поступлении в  ВУЗы. Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного трёхчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнения. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром.

Цель данного курса перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений и задач на их составление) к творческому. Научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при выполнении нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской работы.

В результате изучения курса учащиеся смогут творчески применять теорему Виета, решать задачи на исследование расположения корней квадратного уравнения и решать квадратные уравнения с параметром.

Курс рассчитан на 34 часа, 1 час в неделю.

Задачи курса:

- научить решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем сложности;

- овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;

- приобрести определенную математическую культуру;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;

Цели курса:

- создание условий для обоснованного выбора учащимися профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в освоении математического материала на основе расширения представлений о модуле;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы;

- формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для жизни в современном обществе;

- помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как: а) преобразование выражений, содержащих модуль; б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль; в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль;

- создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Контроль усвоения учебного материала проводится в форме тестов, самостоятельных и проверочных работ.





































Учебно-тематический план

п/п

Раздел. Тема раздела

Количество часов

1

Определение модуля числа и его применение при решении уравнений

2

2

Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

2

3

Решение неравенств вида /х/ > а, /х/ < а посредством равносильных переходов

3

4

Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

3

5

Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

2

6

Модуль и преобразование корней

2

7

Модуль и иррациональные уравнения

1

8

Контрольная работа

1

9

Квадратное уравнение и его корни.

4

10

Теорема Виета.

2

11

Существование корней квадратного уравнения.

2

12

Расположение корней квадратного уравнения.

4

13

Решение квадратных уравнений с параметром.

2

14

Разные задачи.

2

15

Зачёт.

2


Итого

34















Содержание учебного курса

Алгебра модуля (16 часов)

1.Определение модуля числа и его применение при решении задач. (2 часа)

Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.

2.Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль. (2часа)

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля, метод интервалов. Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенста с модулем.

3. Решение неравенств вида /х/<а и /х/>а посредством равносильных переходов. (3 часа)

Метод интервалов при решении неравенств, содержащих абсолютные величины. Применение систем неравенств или совокупности неравенств, содержащих модуль.

4.Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств (3 часа)

.Основные свойства модуля:

1.Свойства со знаком равенства

2.Свойства со знаком неравенства

3.Решение систем уравнений, содержащих модуль.

5.Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой. (2 часа)

Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Применение формулы для определения расстояния по заданным координатам. Использование геометрического представления для решения уравнений и неравенств. Построение графиков некоторых простейших функций, заданных явно или неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений.. аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпиадных заданиях.

6.Модуль и преобразование корней.(2 часа)

Использование понятия модуля при преобразовании квадратных корней.

7.Модуль и иррациональные уравнения.(1час)

Решение иррациональных уравнений с использованием модуля .Применение интервалов при решении иррациональных уравнений.

8. Контрольная работа (1час)

Исследование квадратного уравнения (18 часов)

9.Квадратное уравнение и его корни. (4ч.)

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

10.Теория Виета (2ч.)

Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения.

Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.

11.Существование корней квадратного уравнения(2ч.)

Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта.

Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

12.Расположение корней квадратного уравнения(4ч.)

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей.

Решение задач.

Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.

13.Решение квадратных уравнений с параметром (2ч.)

Что значит решить уравнение с параметром.

Решение уравнений.

14.Решение задач. (2 часа)

15.Зачет (2 часа)



I. Квадратное уравнение и его корни

      Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х-переменная, а, b, с - некоторые числа, а0. В зависимости от дискриминанта D=b2-4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D>0), один корень (D=0) и не иметь корней (D<0). При D>0 корни уравнения могут быть найдены по формуле    

  -bD   

   

 Если в квадратном уравнении коэффициент b заменить на 2к, то формулу корней квадратного уравнения можно записать в другом виде:

                  -kD/4 

                        а

                Квадратное уравнение, у которого а=1, называют приведенным и записывают в виде х2+рх+q=0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.   

















Примеры.

  1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

 а) 3х2+х+2m-3=0

 б) х2-2х+m-1=0

 в) x2+(m+3)x+m-3=0

  1. При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

а) х2+(3а-5)х=2

б)2х2-(5а-3)х+1=0

в)4х2+(5а-1)х+3а+а=0

  1. При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:

а)3х2+(к-1)х+1-к=0

б)х2-(3к+4к)х+9к-16=0

в)х2+(16-к)х+к+8=0

4. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, если

а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.

Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения .

5. При каком значении а уравнения х2 + ах + 1= 0  и  х2 + х + а = 0 имеют общий корень?   Ответ: а = -2.

6. Доказать, что при любом значении а уравнение ( а - 3 ) х2 + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.

                                    II. Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения   выражает теорема Виета, получившее своё название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

      Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0, тогда х12=-b/a, х1х2=c/a. Для приведённого квадратного уравнения х2+рх+q=0, если х1 и х2 – корни этого уравнения, то х12=-p, x1x2=q.

      Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+q=0.

Примеры:

1.  Не вычисляя корней уравнения 3х2+8х-1=0 найти:

а) х1222                         б)х1х232х13

в)х1221                     г)х1424.

1.      Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х1-2 и х2-2                  б) 2х1+3 и 2х2+3

в)1/x1 и 1/x2                   г) х1+1/х2 и х2+1/x1

2.      При каком значении параметра а один из корней уравнения х2-3,75х+а=0 является квадратом другого?

Ответ: -125/8; 27/8.

3.      При каком значении параметра а один из корней уравнения х2-(3а+2)х+а2=0 в девять раз больше другого?

 Ответ: -6/19; 6.

4.      Корни х1 и х2 уравнения х2+рх+12=0 обладают свойством х21=1. Найти р.

Ответ:  7.

5.      При каком значении параметра а уравнение х2+(а2+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?

Ответ: - 2.

6.      При каком значении параметра а уравнение (а-1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни одного знака?

Ответ: [- 2,125; -2) (1;+).

7.      При каком значении параметра а корни уравнения ах2+(2а-1)х+а-2=0 отрицательны и их сумма меньше –5?

Ответ: [- 0,25; 0).

8.      При каком значении параметра р корни уравнения (р-2)х2+2рх+р+4=0 разных знаков и их сумма отрицательна?

Ответ: (- 4; 0).

               

III.Существование корней квадратного уравнения

Для того чтобы квадратное уравнение ах2+bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ах02+bx0+c<0. Чаще всего в качестве х0 берут 0 (даёт достаточное условие с<0), 1(условие а+b+с<0) или –1 (условие а-b+c<0).

Пример 1.

Доказать, что при любом а уравнение (а3-2а22-(а3-а+2)х+а2+1=0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Очевидно, что f(1)=-a2+a-1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что  наше уравнение всегда имеет решение

Пример 2.

    При каких значениях параметра а уравнение х2-23(а-3)х 2-3а+2=0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

    Решение. Если а2-3а+2<0, т.е. 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков. В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть те случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х. Значит, для того чтобы было х1>0 и х2>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:

а2 –3а+2>0

           а-3>0

           D/4=2а2-15а+25>0 , откуда а>5.

    Также рассматриваются другие случаи.

    Ответ: если а<1 или 2<а<2,5, то х1<0, х2<0;

                  если а=1 или а=2, то х1<0, х2=0;

                  если 1<а<2, то х1<0, х2>0;

                  если а=2,5, то х12<0;

                  если 2,5<а<5, то корней нет;

                  если а=5, х12>0;

                  если а>5, х1>0, х2>0.

Пример 3.

      При каких значениях параметра а уравнение а(а+3)х2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

      Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а0, а3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4=(а+3)2-а(а+3)(-3а-9)>0

Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а=0 и а=-3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а=-3.

      Ответ: -3-1/3;0)(0;+)

Пример 4.

      При каком значении параметра а уравнение (а-2)х2+(4-2а)х+3=0 имеет единственный корень?

      Комментарий к решению. Если а=2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D2-7а+10=0 при а=2 или а=5. Значение а=2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

      Ответ: а=5.

                  Пример 5.

При каком значении параметра а уравнение (а-1)х2+(а+4)х+а+7=0 имеет единственное решение?

Ответ: 1;2;-22/3.

            Пример 6.

При каком значении параметра а уравнение (2а-5)х2-2(а-1)х+3=0 имеет единственное решение?

Ответ: 5/2;4.

Пример 7.

При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?

2-(3а-1)х+2а2-2)/(х2-3х-4)=0.

 Ответ:-2;0,5.

IV. Расположение корней квадратного уравнения

Для решения задач этого пункта существует таблица (см. приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.

Пример 1.

      При каком значении параметра а один корень уравнения х2-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?

      Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у=х2-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х12] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х2-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х1<1<х2.

Ответ: а>-2.

      В общем случае для того, чтобы уравнение f(х)=ах2+вх+с=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A)<0.

Пример 2.

      Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2-а)х2-3ах+2=0 больше 1/2.

      Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 >1/2). Если а  2, то уравнение -  квадратное. Введем обозначение f(x) = (2-а)х2-3ах+2,   хв=3а/2(2-а), D=а(17а-16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D0, хв>1/2, (2-а)f(1/2)>0. Решая эту систему получим: 16/7а<2.

      Ответ:  [16/17;2].

                    Пример 3.

      При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х2-2(а+3)х+4а=0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а2. Рассмотрим функцию f(х)= (а-2)х2-2(а+3)х+4а, (а2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале (-;2) и один раз на интервале (3;+). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:

      (а-2)f(2)<0

      (а-2)f(3)<0    

      Ответ:  2<а<5.

Пример 4.

      При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2-(3а+1)х-а-2=0 лежат в промежутке (-1;2)?

Комментарий к решению. Рассмотрим функцию f(х)= 4х2-(3а+1)х-а-2. Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох внутри интервала (-1;2). Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:

 D0         

-1<хв<2                     

f(-1)>0

f(2)>0                   Ответ: (-3/2; 12/7).

  Пример 5.

Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х2+2ах+3а-2=0   удовлетворяет условию х<-1.

Ответ: а=2, а<1.

 Пример 6.

 Найти все значения а, при которых уравнение х2-6х+а=0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Ответ: -7<a5.

      Пример 7.

 Найти все значения а, при которых все корни уравнения х2+х+а=0 больше а.

 Ответ: а<-2.

V.Решение квадратных уравнений с параметром

   Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

             Пример 1.

    Решить уравнение х2-вх+4=0.

   Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D2-16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в<-4 или в>4, то х=(вв2-16)/2; если в=4, то х=в/2;если –4<b<4, то корней нет.

Пример 2.

Решить уравнение (а-2)х2-2ах+2а-3=0.

  Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а=2 и а2. В первом случае исходное уравнение принимает вид –4х+1=0. Это линейное уравнение с одним корнем х=0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D=-4(a-1)(a-6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

            В результате решения получаем ответ:

если а<1, то корней нет;

                             если а=1, то х=-1;

                             если 1<a<2, то х1,2=(а(1-а)(а-6))/(a-2);

                             если а=2, то х=0,25;

                             если 2<a<6, то х1,2=(а(1-а)(а-6))/(a-2);

                             если а=6, то х=1,5;

                             если а>6, то корней нет.

Пример 3.

Решить уравнение (2а-1)х2-(3а+1)х+а-1=0.

Ответ: если а=0,5, то х=-0,2;

                     если –9-84<a<-9+84, то корней нет;

                  если а-9-84 или –9+84а<0,5 или а >0,5

то х=(3а+1+а2+18а-3)/(2а-1)

   Пример 4.

   Решить уравнение ах2-(1-2а)х+2-а=0.

Ответ:  если а=0, то х=-2;

                        если а<-0,25, то корней нет;

                        если а=-0,25, то х=-3;

                        если –0,25<а<0 или а > 0, то х1,2=(1-2а4а+1)/2а.

       Пример 5.

  Решить уравнение (х2-5х+6)/(х-а)=0

      Ответ: если а=2, то х=3;

                    если а=3, то х=2;

                    если а2,а3, то х=2 или х=3.    

VI. Разные задачи

      Пример 1.

  Найти все значения а, при которых уравнения ах2+(3+4а)х+2а2+4а+3=0 имеет только целые корни.

        Решение. Пусть а=0, тогда из уравнения следует, что 3х+3=0, х=-1. Поэтому а=0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а0, тогда уравнение равносильно уравнению х2+(4+3/а)х +2а+4+3/а=0. Если х1 и х2 – целые корни нового уравнения, то -4-3/а и 2а+4+3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а=n, где nZ, тогда а=n/2, 3/а=6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел 1; 2; 3; 6. Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни исходного уравнения являются целыми числами. 

Ответ:  0; -1/2; 3/2.

Пример 2.

Найти все значения а, при которых уравнение х2+(а+2)х+1-а=0 имеет 2 действительных корня х1 и х2 такие, что х1х2<0, |х1| <4, |х2| <4.

      Решение. Обозначим f(х)= х2+(а+2)х+1-а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f(-4)>0, f(4)>0, f(0)>0. Получили систему:

      9-5а>0

      3а+25>0

      1-а<0          Решая систему, получаем 1<а<9/5.

      Ответ: 1<а<9/5.

      Пример 3.

Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1+а)х2-3ах+4а=0 в зависимости от а?

      Ответ: если –1<а0,5, то один корень меньше 1;

                      если –0,5<а0, то оба корня меньше 1;

                      при других а таких корней нет.

         Пример 4.

Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение:

1.      ах2+х-1=0

Ответ: если а<-1/4, то два корня;

              если а=-1/4, то три корня;

              если –1/4<а<0, то четыре корня;

              если а=0, то один корень;

              если а>0, то корней нет.

 

2.      х2+ах-2=0

Ответ: если а<-8, то четыре корня;

              если а=-8, то три корня;

              если –8<а<0, то два корня;

              если а=0. то один корень;

              если а>0, то корней нет.

3.      х2+2х-а=5

Ответ :если а<-3 или а>3, то корней нет;

              если а=3, то один корень;

              если –3<а<3, то два корня.

VII. Задачи к зачёту

1.      При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения                

      2-рх+2р2-3р=0 равен нулю?

Ответ: р=1,5.

2.      При каком значении параметра р корни уравнения 3х2+(р2-4р)х+р-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Ответ: р=0.

3.      При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х2+(3а2-а)х-а3-3а=0 равны нулю?

Ответ: а=0.

4.      Не вычисляя корней уравнения 2х2-5х-4=0 найти:

а) 1/х21+1/х22;

б) х1х242х14;

в) х1/x23+x2/x13.

5.      Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х2-6х-1=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х1х22 и х2х12;

б) 1/х21 и 1/х22;

в) х12+1 и х21+1;

6.      В уравнении 5х2-ах+1=0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.

Ответ: 5.

7.      При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х2-(а+3)х+6=0 равно 1,5?

Ответ: –8 ; 2.

8.      При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а+1)х2+(а+1)х+а=0 положительна?

Ответ:[-1/7;1/2)

9.      При каких значениях параметра а корни уравнения (а+1)х2+(2-а)х+а+6=0 положительны?

Ответ: [-10 ; -6)

10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеют одинаковые знаки?

Ответ: [-2,125 ; -2) (1;+).

11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2+(3а+4)х-3=0 лежат в промежутке (-2 ; 1).?

Ответ: (-5/2 ; 5/7).

12. При каких значениях параметра а уравнение (а-1)х2=(а+1) х-а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0<х<3?

Ответ: (0;12/7); 1+23/3.

13. Решить уравнения при всех значениях параметра:

а) ах2-6х+1=0;

б) ах2=4;

в) х2-ах=0;

г) ах2+8=2х2+4а.

14.      Решить уравнение (а-1)х2+2(2а+1)х+(4а+3)=0.

Ответ:      если а<-4/5, то корней нет;

                        если а=1, то х=-7/6,

                        если а-4/5 и а1, то х1,2=(-(2а+1)5а+4)/(a-1).

15.      При каких значениях параметра а уравнение (а2-6а+8)х2+(а2-4)х+(10-3а-а2)=0 имеет более двух корней?

Ответ: а=2.

Требования к уровню подготовки обучающихся

Учащиеся должны знать:

- определение модуля числа;

- решение уравнений и неравенств, содержащих модель;

- преобразование выражений, содержащих модуль.

-способы решения неполных квадратных уравнений;

-формулу корней квадратного уравнения;

-формулировку теоремы Виета для полного и приведенного квадратного уравнения.

научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;



Учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий

-применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

-преобразовывать выражения, содержащие модуль;

-cтроить графики элементарных функций, содержащих модуль.

-решать квадратные уравнения;

-находить зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта

-давать графическую характеристику расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу;

- решать квадратные уравнения с параметром.







Информационно – методическое обеспечение

1.Уравнения и неравенства второй степени с параметрами.

Авторы: Беляева Э.C. Занина О. В. Савинков Ю. А.

Воронеж 2003г

2.Предпрофильная подготовка учащихся 9 класса по математике

Воронеж ВОИПКРО 2004 г

Авторы- составители: И.Н. Данкова, Т.Е. Бондаренко, О.В. Занина

  1. Тематическое планирование и дидактические материалы

Авторы: Данкова И.Н. Занина О.В. Савинков Ю.А.



Воронеж 2003г











































Календарно-тематическое планирование



п/п

Тема урока

Количество часов

Дата по плану

Дата фактически

1

Определение модуля числа и его применение при решении уравнений

1



2

Определение модуля числа и его применение при решении уравнений

1



3

Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль

1



4

Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль

1



5

Решение неравенств вида /х/> а, /х/ < а посредством равносильных переходов

1



6

Решение неравенств вида /х/>a, x<a посредством равносильных переходов

1



7

Решение неравенств вида /x/>a, /x/<a посредством равносильных переходов

1



8

Свойство модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

1



9

Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

1



10

Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

1



11

Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой

1



12

Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой

1



13

Модуль и преобразование корней

1



14

Модуль и преобразование корней

1



15

Модуль и иррациональные уравнения

1



16

Зачет

1



17

Квадратное уравнение

1



18

Квадратное уравнение

1



19

Неполные квадратные уравнения

1



20

Неполные квадратные уравнения

1



21

Теорема Виета

1



22

Теорема Виета

1



23

Существование корней квадратного уравнения

1



24

Существование корней квадратного уравнения

1



25

Расположение корней квадратного уравнения

1



26

Расположение корней квадратного уравнения

1



27

Расположение корней квадратного уравнения

1



28

Расположение корней квадратного уравнения

1



29

Решение квадратных уравнений с параметром

1



30

Решение квадратных уравнений с параметром

1



31

Разные задачи

1



32

Разные задачи

1



33-34

Зачет

2




Итого

34





Автор
Дата добавления 15.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров324
Номер материала ДВ-063674
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх