Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Элективный курс ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учебно-методическая разработка




Элективный курс




ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ













Составители:

Астахова Татьяна Анатольевна,

учитель математики МОУ СОШ № 13

Беляева Ольга Петровна,

учитель математики МОУ лицея № 28 имени Н.А.Рябова

Дунюшина Дарья Анатоьевна,

учитель математики МОУ СОШ № 22

Кирина Елена Викторовна,

учитель математики МОУ СОШ № 13

Склярова Светлана Александровна,

учитель математики МОУ СОШ № 22

Юминова Зинаида Александровна,

учитель математики МОУ Тулиновская СОШ










Пояснительная записка.

В системе основного общего образования математическое образование занимает одно из ведущих мест, что определяется практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, представления о научных методах познания действительности. Данный элективный курс является естественным дополнением основного курса математики: развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы.

Элективный курс посвящен одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – функциональному методу. Под функциональным методом решения понимают метод, опирающийся на использование свойств функций, входящих в уравнение или неравенство.

Функциональный метод используется:

  1. в обосновании классических методов решения уравнений и неравенств (теорем равносильности, метода интервалов и др.);

  2. как единственный способ решения задачи;

  3. как наиболее рациональный способ решения задачи;

  4. при решении уравнений и неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений, нахождение интервалов монотонности функций.

Для использования функционального метода необходимо знание свойств элементарных функций. На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования имеют эмпирический характер. Затем, по мере накопления опыта решения уравнений и неравенств, все большую роль приобретает дедуктивное пояснение процесса решения.

Целесообразность этого метода состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений или неравенств. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике, к конкурсным экзаменам в вузы. Во временных рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору.


Цели курса:

  • углубление и расширение знаний учащихся;

  • привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач;

  • познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций;

  • формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

  • выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой;

  • подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.


Требования к подготовке учащихся.

В результате изучения данного элективного курса ученик должен

знать:

  • элементарные функции

(определение, графические интерпретации)

  • основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;

уметь:

  • определять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;

  • решать уравнения и неравенства с использованием свойств входящих в них функций;

  • использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:

  • поддержание изучения базового курса алгебры;

  • социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности учащихся, расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;

  • обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).

Основная форма изложения теоретического материала – лекция. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: как индивидуально, так и в группах. Такая организация учебной деятельности способствует реализации поставленных целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих школьников.

Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. Численность учебной группы может быть любой.


Ожидаемый результат изучения курса:

  • знание учащимися методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций;

  • умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;

  • приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения уравнений и неравенств;

  • практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).

  • успешно решать задачи этой тематики, предлагаемые в тестах Единого государственного экзамена, вступительных экзаменах в ВУЗы, олимпиадных заданиях.


Контроль уровня достижений учащихся и критерии оценки. Уровень достижений учащихся определяется в результате:

  • наблюдения активности на практикумах;

  • беседы с учащимися;

  • анализа творческих, исследовательских работ;

  • проверки домашнего задания;

  • выполнения письменных работ;

Итоговая аттестация проводится по каждой теме в виде зачетной работы в форме теста, состоящего из трех блоков: А - задания с выбором вариантов ответа; В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие развернутый ответ.

Итоговая оценка является накопительной, т.е. результаты выполнения предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса.


Содержание программы.

Программа рассчитана на второе полугодие 11 класса (1 час в неделю, всего 17 часов).

  1. Функции и их основные свойства.(1час)

Понятие функции. Область определения и область значения функции. Монотонность функции. Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций. Элементарные функции. Свойства и графики элементарных функций.

  1. Использование области определения функций.(2часа)

Решение уравнений и неравенств с использованием области определения входящих в них функций

  1. Использование монотонности функций.(3 часа)

Теоремы о корне. Нахождение промежутков монотонности с помощью производной. Решение уравнений и неравенств. Уравнения вида hello_html_7612b1ca.gif.

  1. Использование ограниченности (области значения) функции при решении уравнений.(4 часа)

Способы определения области изменения функции: с помощью построения схемы графика, введение нового неизвестного, сведение к простой функции с помощью преобразований. Решение уравнений и

неравенств. Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство.

  1. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.(2 часа).

Определение четности функций, входящих в уравнение и неравенство. Теоремы о симметричности корня. Алгоритмы определения множества решений для уравнений с четными функциями.

  1. Решение комбинированных уравнений и неравенств Единого государственного экзамена (3 часа)

Систематизация задач, предлагаемых на итоговой аттестации. Способы решения задач комбинированного характера.

  1. Итоговое повторение (2 часа)

Решение итоговых обобщающих тестов.


Учебно-тематическое планирование элективного курса

п/п

Содержание учебного материала

Всего часов


В том числе




Лекц.

Практ.

Семин.


1

Функции и их свойства

1

1




2

Использование области определения для решения уравнений и неравенств

2


1

1


3

Использование монотонности функций для решения уравнений и неравенств

3

1

2



4

Использование ограниченности функций для решения уравнений и неравенств

4

1

2

1


5

Использование четности и нечетности функций для решения уравнений и неравенств

2

1

1



6

Решение заданий ЕГЭ

3


3



7

Итоговое повторение

2


2














Литература:

  1. Алгебра и начала анализа 10-11класс : учебник для общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов [и др.]. М.: Просвещение.-2010.

  2. Алгебра и начала анализа 11 класс. В 2 частях. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П.В.Семенов. – М.: Мнемозина, 2007.

  3. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы : учебник / Под ред. А.. Н.  Колмогорова. – М.: Просвещение, 1991.

  4. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.

  5. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений.: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.

  6. Денищева, Л. О.,Глазков, Ю. О. Единый государственный экзамен 2007. математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Л. О. Денищева, Ю. О. Глазков [и др.]. – М.: Интеллект-Центр, 2007.

  7. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / Г. И. Ковалева [и др.]. – Волгоград: Учитель, 2008.

  8. Олехник, С. Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы [Текст]: учебно-методическое пособие / С. Н. Олехник [и др.]. – М.: Дрофа, 2004.

  9. Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому экзамену. ЕГЭ-2006. Математика/ А.Г. Клово. – М.: Федеральный центр тестирования, 2006.

  10. В.Л. Шагин. 30 задач за 90 минут. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2004.

  11. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2006.

  12. М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. Алгебра и анализ элементарных функций. – М.: АО СТОЛЕТИЕ, 1996.

  13. Функциональный метод решения уравнений и неравенств/О.П.Беляева, Е.В.Бучнева – Тамбов: ТГУ, 2011.

  14. 3000 конкурсных задач по математике/ Е.Д. Куланин и др. – М.: АЙРИС РОЛЬФ, 1997.









Содержание занятий


Занятие №1

Тема: «Функции и их основные свойства».

Цель : повторить и систематизировать знания по теме «Элементарные функции и их свойства»

Лекция по теме «Функции и их основные свойства».

Функции С (постоянная), xⁿ, ах, 1оgа х, sin х, соs х, tg х, ctg x, аrcsin х, аrccos х, аrctg х называются простейшими элементарными функциями.

Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями. Например, у = sin (xⁿ) — элементарная функция.

Элементарные функции нам известны из школьной математики.

Способы задания функции:

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.


Определение функции.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.

Независимая переменная x называется также аргументом функции.

В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента x (её называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями x и y (Область Y изменения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений).

Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше.

Для указания того факта, что y есть функция от x, пишут:

y=f (x), y=g (x), y=F (x) и т.п.

Буквы f, g, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x, отвечающее заданному y. Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента x, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.

Хотя именно буква f связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву y: y=y(x). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, hello_html_mad125b8.gif.

Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.

Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением x, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа.

Однако будет ошибочным думать, что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция E(x) – “целая часть числа x”. Например,

E (1)=1, E (2,5)=2, E (hello_html_9639fac.gif)=3, E (-hello_html_m1df5a3e1.gif)=-4 и. т.,

хотя никакой формулы, выражающей E(x), у нас нет.

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C (f (x) = C).

Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.

Функция f (x) называется периодической, если существует число Т hello_html_6f3e595a.gif0 такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T). Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то её периодом является также число – T, так как f (x-T) = f [(x - T) +T] = f (x).

Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=hello_html_m30f723cb.gif1, hello_html_7551af21.gif2, hello_html_7551af21.gif3; …). Действительно, f (x hello_html_7551af21.gif2T) = f [(xhello_html_m126efd78.gifT)hello_html_m18d07ecc.gifT] = f (xhello_html_m17ceaee2.gifT) = f (x), f (x hello_html_3d6320c7.gif 3T) = f [(x hello_html_3d6320c7.gif 2T) hello_html_3d6320c7.gifT] = f (x hello_html_3d6320c7.gif 2T) = f (x hello_html_3d6320c7.gif 2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.

Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f1)<f2).

Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f1)>f2).

Исследование элементарных функций .

Линейная функция. y = kx + b

1.Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x

2. Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

5. Асимптоты графика функции не существуют.

6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.

7. Функция не является ограниченной.

8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если 0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.

9. Точек перегиба не существует.

10. Не существует экстремальных точек.

) y=kx+b (k>0)hello_html_m5abe42d.png


y=kx+b (k<0)




Степенная функция.

Степенная функция с натуральным показателем y=xn,

где n-натуральное число.

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений: E(f)= (0+∞);

3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

4. Нули функции: y=0 при x=0;

5. Функция убывает при xhello_html_m1416538e.gif(-∞;0];

6. Функция возрастает при xhello_html_m1416538e.gif[0;+ ∞);

  1. a) нет вертикальных асимптот

b) нет наклонных асимптот

8. Если n-четное, то экстремум функции x=0

Если n-нечетное, то экстремумов функции нет

9. Если n-четное, то точек перегиба нет

Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

10. График функции:

a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;

b)Если п = 3, то функция задана формулой у = х3. Ее графиком является кубическая   парабола;

c)Если п — нечетное натуральное число, причем пhello_html_7eeb9f88.gif 1, то функция обладает    свойствами теми же, что и у = х3.

n - нечетное

n – четное

[1] hello_html_m25c006e2.png[2] hello_html_m49d1d4fb.png

Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (пhello_html_7eeb9f88.gif1):

1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений [0,+∞];

3.  Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);

4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).

6.  График функции: [1]

Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :

1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений: E(f)= R;

3.  Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);

4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция возрастает на всей области определения.

6.  График функции: [2]

Показательная функция. Y = ax

  1. Область определения функции: -∞ < х < +∞

  2. Множество значений функции: 0 < y < +∞

  3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x

  4. Функция не является периодической.

  5. Асимптоты графика функции:

Вертикальных асимптот не существует,

Горизонтальная асимптота у = 0

  1. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.2);

  2. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 1);

  3. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.

9. Не существует точек перегиба.

10. Не существует экстремальных точек.

[1] [2]hello_html_m4240f9c4.pnghello_html_m7e849823.png











Логарифмическая функция.

Y = logax

  1. Область определения функции: 0 < x < ∞

  2. Множество значений функции: -∞ < y < +∞

  3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)

  4. Функция не периодическая

  5. Асимптоты графика функции:

Вертикальные асимптоты х = 0

Горизонтальных асимптот не существует

  1. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);

если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);

  1. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями координат.

8. Не существует точек перегиба.

9. Не существует экстремальных точек.

hello_html_m19ea675f.pnghello_html_7414152.png











Тригонометрические функции.

Функция y=sin x


Свойства функции y=sin x:

  1. Область определения функции: D(f)=R;

  2. Область значений: E(f)=[-1;1];

  3. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;

  4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;

  5. Нули функции: sin x = 0 при x = πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  6. Функция принимает положительные значения: sin x>0 при xhello_html_m79f24a27.gif( 2πk π+2πk), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  7. Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при xhello_html_m79f24a27.gif( π+2πk 2π+2πk), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  8. Функция возрастает на [-1;1] при xhello_html_m79f24a27.gif[ -hello_html_78c35af7.gif+2πk hello_html_78c35af7.gif+2πk], khello_html_m79f24a27.gifZ;

  9. Функция убывает на [1;-1] при xhello_html_m79f24a27.gif[hello_html_78c35af7.gif+2πk hello_html_54b648f9.gif+2πk], khello_html_m79f24a27.gifZ;

  10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=hello_html_78c35af7.gif+2πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  11. Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=hello_html_54b648f9.gif+2πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  12. hello_html_4b3c7d5d.gif a) нет вертикальных асимптот

b) нет горизонтальных асимптот

hello_html_14a71f3e.gif 13. Графиком функции является синусоида.



y=sinx

hello_html_291f2bdf.png


Функция y=cos x

Свойства функции y=cos x:

  1. Область определения функции: D(f)=R;

  2. Область значений: E(f)=[-1;1];

  3. Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;

  4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π;

  5. Нули функции: cos x = 0 при x = hello_html_78c35af7.gif+πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  6. Функция принимает положительные значения: cos x>0 при xhello_html_m79f24a27.gif( -hello_html_78c35af7.gif+2πk; hello_html_78c35af7.gif+2πk), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  7. Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при xhello_html_m79f24a27.gif( hello_html_78c35af7.gif+2πk hello_html_68d03338.gif+2πk), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  8. Функция возрастает на [-1;1] при xhello_html_m79f24a27.gif[ -π+2πk 2πk], khello_html_m79f24a27.gifZ;

  9. Функция убывает на [1;-1] при xhello_html_m79f24a27.gif[2πk π+2πk], khello_html_m79f24a27.gifZ;

  10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  11. Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=π+2πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  12. hello_html_m74e1dc43.gifa) нет вертикальных асимптот

b) нет горизонтальных асимптот




  1. Графиком функции является косинусоида:

y=cosx

hello_html_3fbaf009.png


Функция y=tg x

Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =hello_html_78c35af7.gif+πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  1. Область значений: E(f)=R;

  2. Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;

  3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;

  4. Нули функции: tg x = 0 при x = πk, khello_html_m79f24a27.gifZ;

  5. Функция принимает положительные значения: tg x>0 при xhello_html_m79f24a27.gif( πk; hello_html_78c35af7.gif+πk), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  6. Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при xhello_html_m79f24a27.gif( -hello_html_78c35af7.gif+πk πk), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  7. Функция возрастает на (-hello_html_m1fbc7767.gif;+∞) при xhello_html_m79f24a27.gif(-hello_html_78c35af7.gif+πk hello_html_78c35af7.gif+πk ), khello_html_m79f24a27.gifZ;

  8. a) вертикальные асимптоты x=hello_html_78c35af7.gif + πn

b) наклонных асимптот нет

y=tgx

Графиком функции является тангенсоида:


hello_html_m6d3b2dfd.gif

Функция y=ctg x

Свойства функции y=ctg x:

  1. Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где nhello_html_m79f24a27.gif Z;

  2. Область значений: E(f)=R;

  3. Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;

  4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;

  5. Нули функции: ctg x = 0 при x = hello_html_78c35af7.gif+πn, nhello_html_m79f24a27.gifZ;

  6. Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при xhello_html_m79f24a27.gif( πn; hello_html_78c35af7.gif+πn), nhello_html_m79f24a27.gifZ;

  7. Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при xhello_html_m79f24a27.gif( hello_html_78c35af7.gif+πn π +πn), nhello_html_m79f24a27.gifZ;

  8. Функция убывает в каждом из промежутков (πn  π +πn), nhello_html_m79f24a27.gifZ;

  9. a) вертикальные асимптоты x= πn и x=0

b) наклонных асимптот нет

hello_html_503efdf6.gifГрафиком функции является котангенсоида: y= ctgx

Занятия №2,3

Тема: «Использование области определения для решения уравнений и неравенств».

Цель: изучение метода решения уравнений и неравенств, основанном на применении области определения, входящих в них функций.

Лекция по теме «Использование области определения для решения уравнений и неравенств».

Областью определения функции hello_html_m6ebf54ee.gif называется множество значений переменной hello_html_m4f3a936b.gif, при которых функция имеет смысл.

Рассмотрим уравнение hello_html_m1270c89.gif, где hello_html_mb93dfec.gif и hello_html_2dc92dca.gif элементарные функции. Обозначим области определения функций hello_html_m32460160.gif и hello_html_4b806e04.gif соответственно.

Если hello_html_275a1a6c.gif то уравнение корней не имеет.

Если множество hello_html_1c1ff921.gif состоит из конечного числа точек, то корни уравнения содержатся среди этих точек, и, следовательно, решить уравнение можно перебором элементов этого множестваhello_html_11852162.gif.


Пример 1. Решите уравнение hello_html_cb2144e.gif

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

hello_html_5f2ec2c6.gifhello_html_mcd8b873.gifhello_html_763cf166.gif.

Подставляя найденные значения х в данное уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, следовательно, все hello_html_763cf166.gifhello_html_m5c062083.gif решения уравнения.

Ответ: hello_html_m390ecc87.gif.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_4bd654ca.gif.

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

hello_html_12cd6baa.gifhello_html_1d8b1510.gifhello_html_m5eda0789.gif

Подставляя значение hello_html_6f3fc6c7.gif в уравнение, получим, что его левая и правая части равны, следовательно, это и есть корень уравнения.

Ответ: 5.

Пример 3. Решите неравенство

hello_html_m2dcaeb19.gif.

Решение. Найдем ОДЗ данного неравенства:

hello_html_m1fb7053d.gif

Проверкой убеждаемся, что hello_html_m1c7b9ae5.gifhello_html_4f0bc8cf.gif единственное решение неравенства.

Ответ: 1.

Пример 4. Решите неравенствоhello_html_m43f088ea.gif.

Решение. ОДЗ данного неравенства:

hello_html_34c85019.gif

Для решения первого неравенства системы рассмотрим функции hello_html_m4a41c817.gif и hello_html_e0be387.gif. hello_html_md3fb746.gif. Обе функции на указанном промежутке являются возрастающими. Решив это неравенство (см. пример 10 стр. 17), находим, что hello_html_25f2d278.gif единственное его решение. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки hello_html_m3dc385c0.gif

При hello_html_25f2d278.gif данное неравенство не выполняется, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: нет решений.


Упражнения:

  1. hello_html_m3c48e62c.gif;

  2. hello_html_m67a4555b.gif;

  3. hello_html_m586b4091.gif;

  4. hello_html_223316e3.gif;

  5. hello_html_48360139.gif;

  6. hello_html_61c04039.gif;

  7. hello_html_3561eb8a.gif;

  8. hello_html_5aaf303c.gif.




Занятия №4,5,6

Тема: «Использование монотонности функций для решения уравнений и неравенств».

Цели:

а) изучение метода решения уравнений и неравенств, основанном на применении монотонности функций;

б) обобщение и систематизация знаний учащихся о монотонности функций, способах исследования функции на монотонность.

Лекция по теме: «Использование монотонности функций для решения уравнений и неравенств».

Функция hello_html_mb93dfec.gif называется возрастающей (убывающей) на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. для любых hello_html_3b6461be.gif из промежутка hello_html_5a4a4068.gif, таких, что hello_html_264e8383.gif, выполняется неравенство hello_html_527acc60.gif.

Функцию, возрастающую или убывающую на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, называют монотонной функцией на промежутке hello_html_5a4a4068.gif.

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций, которые лежат в основе функционального метода решения уравнений и неравенств:

ТЕОРЕМА 1. Монотонная на промежутке hello_html_5a4a4068.gif функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

ТЕОРЕМА 2. Если функция hello_html_mb93dfec.gif возрастает (убывает) на промежутке hello_html_5a4a4068.gif и функция hello_html_758f3af0.gif возрастает (убывает) на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, то функция

hello_html_7e97d.gif также возрастает (убывает) на промежутке hello_html_5a4a4068.gif (chello_html_m5c062083.gifпроизвольная постоянная).

ТЕОРЕМА 3. Если обе функции hello_html_16ee1752.gif возрастающие или обе убывающие, то функция hello_html_m14a678.gif – возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, тоhello_html_m14a678.gifhello_html_m5c062083.gif убывающая функция.

0

hello_html_m56d84833.gif

hello_html_m2c0af38f.gif

hello_html_5a44a6b1.gif

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_68d59393.gif

ТЕОРЕМА 4. Если функция hello_html_mb93dfec.gif монотонна на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, то уравнение hello_html_45aea371.gif имеет на промежутке hello_html_5a4a4068.gif не более одного корня (рис 2).

hello_html_66dffbe2.gif

hello_html_m56d84833.gif

hello_html_69b83015.gif

hello_html_m2c0af38f.gif

hello_html_5a44a6b1.gif

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_68d59393.gif










Рис. 2


hello_html_66dffbe2.gif

hello_html_69b83015.gif

hello_html_68d59393.gif

hello_html_m32b33b64.gif

hello_html_5a44a6b1.gif

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m32b33b64.gif

hello_html_5a44a6b1.gif

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_68d59393.gif

ТЕОРЕМА 5. Если функция hello_html_mb93dfec.gif возрастает на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, а hello_html_758f3af0.gif убывает на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, то уравнение hello_html_27b14ad4.gif имеет на промежутке hello_html_5a4a4068.gif не более одного корня (рис 3)







Рис 3

ТЕОРЕМА 6. Если функция hello_html_mb93dfec.gif возрастает на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, то уравнение hello_html_2cde8933.gif равносильно на промежутке hello_html_5a4a4068.gif уравнению hello_html_32fc5f3.gif.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m5f2eaf3b.gif.

Решение. Разделив обе части на hello_html_1e8c7a2d.gif, получим уравнение hello_html_m5b2fa5c2.gif , левая часть которого возрастающая показательная функция, а правая часть – убывающая дробно-рациональная функция. Следовательно, по теореме 5 уравнение имеет не более одного решения. Подбором находим hello_html_m14b55a82.gif единственный корень.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_50f1d13.gif.

Решение. ОДЗ уравнения hello_html_m549f02fc.gif. Функции hello_html_m6ee07e29.gif и hello_html_44f88c37.gif являются убывающими на промежутке hello_html_m5c684214.gif. В силу теоремы 2 функция hello_html_ma94767.gif убывает на промежутке hello_html_m5c684214.gif и, следовательно, она может принимать значение 12 не более чем в одной точке. Подбором находим hello_html_m6af2c02d.gif единственный корень уравнения.

Ответ: hello_html_m7a0d0e08.gif

Пример 3. Решите уравнение hello_html_ma46f591.gif.

Решение. Область допустимых значений уравнения распадается на два промежутка hello_html_5347195b.gif и hello_html_5fd00604.gif. На каждом из этих промежутков левая часть уравнения hello_html_5690526c.gif является убывающей функцией, а правая часть hello_html_1775e489.gif – возрастающей функцией. Следовательно, на каждом из промежутков уравнение может иметь не более одного корней.

При hello_html_f164d52.gif функция hello_html_mb93dfec.gif принимает отрицательные значения, а hello_html_758f3af0.gif – положительные, это означает, что на промежутке hello_html_5347195b.gif уравнение корней не имеет.

На промежутке hello_html_5fd00604.gif подбором находим hello_html_6f3fc6c7.gif, удовлетворяющее уравнению. По теореме 5 делаем вывод, что hello_html_6f3fc6c7.gif – единственный корень.

Ответ:5.


Пример 4.

Найдите положительный корень уравнения hello_html_176f9984.gif.

Решение. ОДЗ уравнения hello_html_2f20a95b.gif.

Правая часть равенства hello_html_m555d974f.gif является возрастающей функцией. Левая часть равенства hello_html_m4cfba5d8.gif – функция не монотонная на промежутках hello_html_1fbd22f5.gif и hello_html_m4182a63a.gif.

Заметим, что функция hello_html_5e6081e2.gif является ограниченной, поэтому данное равенство возможно только в том случае, если hello_html_m581d7908.gif, отсюда hello_html_2a5cbab5.gif. Учитывая условие hello_html_738e1867.gif, получаем, что при hello_html_643c0821.gif функция hello_html_36c8c24c.gif является монотонно убывающей.

Подбором находим hello_html_m14b55a82.gif. По теореме 5 утверждаем, что hello_html_m14b55a82.gif – единственный корень уравнения.

Ответ: 2.


Упражнения

  1. hello_html_m1c0ff08a.gif;

  2. hello_html_m36624053.gif;

  3. hello_html_m4eef4945.gif;

  4. hello_html_m3290d07e.gif;

  5. hello_html_m65338af7.gif;

  6. hello_html_m30627d59.gif;

  7. hello_html_m758719cc.gif.


Занятия № 7,8,9,10

Тема: «Использование ограниченности функций для решения уравнений и неравенств».

Цели:

а) изучение теоретического материала по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений»;

б) ознакомление с основными способами определения множества значений функции.

Лекция по теме «Использование понятия ограниченности функций при решении уравнений и неравенств».

Областью (множеством) значений функции hello_html_m6ebf54ee.gif называется множество значений hello_html_68d59393.gif при допустимых значениях переменной hello_html_dcdffbb.gif

Если существует число hello_html_m38caab32.gif такое, что для любого hello_html_m4f3a936b.gif из hello_html_4ea5d19b.gifhello_html_5a4a4068.gif выполняется неравенствоhello_html_2b15f8c2.gif, то функция hello_html_m261c8cc.gif называется ограниченной сверху на множестве hello_html_5a4a4068.gif.

Если существует число hello_html_m8f522f9.gif такое, что для любого hello_html_m4f3a936b.gif из hello_html_4ea5d19b.gifhello_html_5a4a4068.gif выполняется неравенство hello_html_m6e69cdac.gif, то функция hello_html_m261c8cc.gif называется ограниченной снизу на множестве hello_html_5a4a4068.gif.

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве hello_html_5a4a4068.gif. Геометрически ограниченность функции hello_html_m6ebf54ee.gif на множестве hello_html_5a4a4068.gif означает, что ее график, лежит в полосе hello_html_m363fd3d5.gif.

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Пусть дано уравнение hello_html_27b14ad4.gif, где hello_html_a461ad0.gif – элементарные функции. Обозначим область (множество) значений этих функций hello_html_51f7ced9.gif соответственно. Рассмотрим решения данного уравнения для различных результатов множества hello_html_m173b80b4.gif

Если для уравнения hello_html_27b14ad4.gif выполняется hello_html_m45bdcb8a.gif, то уравнение корней не имеет. Однако, если hello_html_4342478.gif (hello_html_m7c48e444.gif)

то это не означает наличие корней, так как неравенство (hello_html_m7c48e444.gif) является необходимым, но не достаточным условием существования решения уравнения.

Пусть для уравнения hello_html_27b14ad4.gif выполняется hello_html_m147f77ca.gif, т.е. найдется такое число hello_html_m1fd67f5d.gif, что для любого hello_html_m4f3a936b.gif из области определения hello_html_mb93dfec.gif и hello_html_758f3af0.gif имеем hello_html_64d9e06.gif и hello_html_47601b27.gif. Тогда

hello_html_27b14ad4.gifhello_html_m67c7897f.gif

Рассмотрим аналогичную ситуацию для неравенства hello_html_m4a3f592b.gif:

hello_html_m3e149605.gif

Перечислим неравенства, которые полезно «держать под рукой», при нахождении множества значений функции.

НЕРАВЕНСТВО № 1. hello_html_m6495c9f1.gif,

т.е. hello_html_mc22fcc8.gifпри hello_html_m25646f4b.gif и hello_html_m129a4b54.gif при hello_html_m1691e919.gifпричем равенство достигается только при hello_html_766ef0ea.gif


НЕРАВЕНСТВО № 2. hello_html_6ecbff1c.gif.

НЕРАВЕНСТВО № 3. hello_html_md3bdb30.gifhello_html_2a1d9092.gifhello_html_m4e28217.gif

НЕРАВЕНСТВО № 4. hello_html_m74e87488.gif


Пример 1. Решите уравнение hello_html_m259e8a1f.gif.

Решение. Правая часть уравнения является функцией

hello_html_224c4794.gif, где hello_html_m1f4e8e10.gif, а левая часть hello_html_m5c062083.gif функцией

hello_html_m707b0423.gif где hello_html_m173650b6.gif. Поэтому hello_html_m5eaabc4e.gif.

Так как функция hello_html_m5898e36c.gif является ограниченной, то данное равенство возможно только в том случае, если hello_html_1b6a62.gif

hello_html_47b984c5.gifhello_html_73b2965b.gifНо при hello_html_6d774f28.gif выполняется hello_html_m31fa09d8.gif т.е. функции hello_html_6a2f082f.gif имеют разные знаки и уравнение не имеет решений.

Ответ: hello_html_m551931f2.gif

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m37e67a02.gif.

Решение. По определению арксинуса hello_html_576f3ae8.gif для допустимых значений hello_html_m4f3a936b.gif, следовательно, hello_html_m5b20417.gif

Так как hello_html_4108a5da.gif делаем вывод, что данное равенство справедливо, если hello_html_66a866da.gif

Решим первое уравнение системы: hello_html_m24cb0c61.gif hello_html_6240af3d.gif hello_html_c75bbcc.gif Проверкой убеждаемся, что это значение переменной удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, hello_html_3e56d1a5.gif является решением системы и уравнения.

Ответ: hello_html_51886ece.gif

Пример 3. Решите неравенство hello_html_3554a364.gif.

Решение. На ОДЗ неравенства, т.е. при hello_html_mec819d1.gif, имеем

hello_html_5c3ae9cb.gif,следовательно,hello_html_3aa5746.gif

Поэтому данное неравенство выполняется, если

hello_html_1073c518.gifhello_html_m2b12c50d.gif.

Решая совокупность, получим hello_html_7cd5914c.gif. Таким образом, решением неравенства является промежуток hello_html_5170781d.gif

Ответ: hello_html_5170781d.gif


Упражнения

Решите уравнения и неравенства:

    1. hello_html_7f414733.gif;

    2. hello_html_7ff08ddb.gif;

    3. hello_html_m3982d0b0.gif;

    4. hello_html_m6ee777c9.gif;

    5. hello_html_m33967c33.gif;

    6. hello_html_59ec03d0.gif;

    7. hello_html_2dae92a6.gif;

    8. hello_html_m7df9479.gif;

    9. hello_html_763d8afe.gif;

    10. hello_html_m61ca8222.gif.


Занятия №11,12

Тема: «Использование четности и нечетности функций для решения уравнений и неравенств».

Цели: знакомство с новым приемом решения уравнений и неравенств – использование свойств четности, нечетности и периодичности функций.




Лекция по теме «Использование четности и нечетности функций при решении уравнений и неравенств».

Функция hello_html_m7eced531.gif называется четной, если для любого значения hello_html_m4f3a936b.gif, взятого из области определения функции, значение hello_html_m570abe83.gif также принадлежит области определения и выполняется равенство hello_html_m1175bb40.gif.

Функция hello_html_m7eced531.gif называется нечетной, если для любого значения hello_html_m4f3a936b.gif, взятого из области определения функции, значение hello_html_m570abe83.gif также принадлежит области определения и выполняется равенство hello_html_4a27fcc8.gif.

Сформулируем некоторые свойства, используемые для решения уравнений и неравенств:

1) Области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля.

2) График четной (нечетной) функции симметричен относительно оси hello_html_m6b79b6a.gif (начала координат hello_html_m7d0509f6.gif(0,0)).

Из свойства следует, что если hello_html_m5decc691.gif четная или нечетная функция, и hello_html_69b83015.gif является корнем уравнения hello_html_m7fee0c88.gif, то (hello_html_23601a15.gif также является корнем этого уравнения.

3) Если нечетная функция hello_html_m7eced531.gif определена в точке hello_html_6f34565d.gif, то hello_html_21b2586.gif. Таким образом, чтобы решить уравнение hello_html_m7fee0c88.gif, где hello_html_m7eced531.gif – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются корни hello_html_4f0bc8cf.gif числа противоположные найденным корням. Для нечетной функции корнем будет hello_html_m7f115f30.gif если это значение входит в область определения hello_html_m7eced531.gif. Для четной функции значение hello_html_6f34565d.gif проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m59f288e3.gif

Решение. Левая и правая части равенства – четные функции. Для hello_html_m2e500778.gif найдем корни данного уравнения:

hello_html_m2b59dfe0.gif

Первая система совокупности имеет решение hello_html_m14b55a82.gif. Вторая система решений не имеет. Учитывая свойства четных функций, делаем вывод: hello_html_25f2d278.gif также является корнем данного уравнения.

Ответ: hello_html_33d409fb.gif

Пример 2.

Решите уравнение hello_html_6bbde6df.gif.

Решение. Рассмотрим функцию hello_html_39b7aaf9.gif Для любых значений hello_html_m48cb0f77.gif следовательно, hello_html_m784e2bd4.gifhello_html_m5c062083.gif монотонно возрастающая.

Данное уравнение можно записать в виде

hello_html_41da5d48.gif.

Функция hello_html_m784e2bd4.gifhello_html_m5c062083.gif нечетная, следовательно, hello_html_3b18ce9f.gif.

В силу монотонности функции hello_html_m784e2bd4.gif последнее уравнение равносильно hello_html_63cc0bb9.gif, отсюда hello_html_m4b195ad9.gif Ответ: hello_html_m3ffc1b83.gif

Упражнения

Решить уравнения (1-7):

1) hello_html_m6f612630.gif

2) hello_html_m6c4a4113.gif

3) hello_html_m643c02ce.gif

4) hello_html_49419d24.gif

5) hello_html_m1154a9d2.gif

6) hello_html_427e3c3b.gif

7) hello_html_30313b06.gif

8) Нечетная функция hello_html_5a44a6b1.gif определена на всей числовой прямой. Для всех неположительных значений hello_html_m4f3a936b.gif значение функции совпадает со значением функции hello_html_4e833238.gif Сколько корней имеет уравнение hello_html_m7fee0c88.gif?

9) Четная функция hello_html_5a44a6b1.gif определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной значение функции совпадает со значением функции hello_html_m15654719.gif Сколько корней имеет уравнение hello_html_m7fee0c88.gif?

10) График четной функции hello_html_m54ecf354.gif ось hello_html_m53325340.gif в четырех точках. Найдите сумму всех корней уравнения hello_html_10ce2d0e.gif?

11) График четной функции hello_html_m54ecf354.gif ось hello_html_m53325340.gif в пяти точках. Найдите сумму всех корней уравнения hello_html_3f7f1fba.gif?


Занятия № 13,14,15 Тема: «Решение заданий ЕГЭ»

ТЕСТ № 1

А1. Найдите (корень или сумму корней, если их несколько) уравнения

hello_html_m30337c66.gif.

1) 1 2)hello_html_m4f0ff780.gif 3) 4) 2 5) hello_html_m6fe65818.gif

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень (или произведение корней) уравнения, если их несколько.

hello_html_79589fbc.gif.

hello_html_m5055a68e.gif 2) hello_html_516e0dff.gif 3) hello_html_m5792bb7d.gif 4) hello_html_m58424ab4.gif 5) hello_html_2301fc4c.gif

А3. Найдите наибольшее целое значение функции hello_html_m1646fe7c.gif.

1) 21,7 2) 7 3) hello_html_4bea0498.gif 4) hello_html_6ae6a53.gif 5) 21

А4. Функция hello_html_m6ebf54ee.gif нечетная, периодическая с периодом 6, определенная

на всей числовой прямой. Для всех неположительных х значения этой

функции совпадают со значениями функции hello_html_23e0e87.gif.

Укажите количество корней уравнения hello_html_m7fee0c88.gif на отрезке hello_html_m16f7c39d.gif.

1) 6 2) 4 3) 3 4) 8 5) 5

А5. Значение выражения hello_html_7527617e.gif, где hello_html_69b83015.gif - наименьшее целое положительное

решение неравенства hello_html_7e66e64b.gif принадлежит промежутку:

1) hello_html_m4c681b3a.gif 2) hello_html_5916d923.gif 3)hello_html_m4285d1db.gif 4) [-2,8; -0,8) 5) hello_html_m5c7d2027.gif

А6. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

hello_html_m4da84e6b.gif равна:

1)1 2) 8 3) 0 4) 12 5) 4

А7. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения

hello_html_7f535885.gif.

1)hello_html_30dcda55.gif 2) hello_html_m4f0ff780.gif 3) 0 4) 2 5) 4

А8. Количество целочисленных решений неравенства

hello_html_m50e90ce5.gif равно:

1) 1 2) 0 3) 2 4) 4 5) бесконечно много.

А9. Количество корней уравнения hello_html_4c3b2bb5.gif равно:

1) 1 2) 2 3) 3 4) 0 5) бесконечно много

В1. Решите уравнение hello_html_1f55446f.gif. В ответе

укажите корень уравнения или произведение его корней, если их

несколько.

В2. Найти все а, при которых уравнение

hello_html_5c13de8e.gif имеет нечетное число корней.

В ответе укажите значение выражения hello_html_10e2e382.gif, где а – значение параметра.

ТЕСТ № 2

А1. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения

coshello_html_1703c4df.gif

1) 1 2) hello_html_m4f0ff780.gif 3) 6 4) 27 5) hello_html_64487431.gif

А2. Корень (или произведение корней, если их несколько)

hello_html_m9a880b5.gif принадлежит промежутку:

hello_html_37d397fd.gif 2) hello_html_4fe6f513.gif 3) hello_html_m18afc9c8.gif 4) hello_html_6fc30ecc.gif 5) hello_html_m683c9a27.gif

А3. Наибольшее значение функции hello_html_251751a7.gif равно:

1) 8,6 2) hello_html_688ff607.gif 3) 8 4) hello_html_76c4e8ef.gif 5) 2

А4. Функция hello_html_m6ebf54ee.gif четная, периодическая с периодом 4, определенная на всей числовой прямой. Для всех неотрицательных значений х значения

этой функции совпадают со значениями функции hello_html_519e65a1.gif.

Сколько корней имеет уравнение hello_html_m7fee0c88.gif на отрезке hello_html_m7f2732f.gif?

1) 6 2) 4 3) 3 4) 8 5) 5

А5. Значение выражения hello_html_6b6e4f3e.gif, где hello_html_69b83015.gif - наименьшее целое положительное

решение неравенства hello_html_6bbdebae.gif принадлежит промежутку:

1) hello_html_3b73f274.gif 2) hello_html_70ec22a2.gif 3)hello_html_76a08330.gif 4) [hello_html_42b00e65.gif; 0,6) 5) hello_html_m366af93f.gif

А6. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

hello_html_m5ceae0b2.gif равна:

1) 1 2) 8 3) 0 4) 4 5) 2

А7. Корень (или сумма корней) уравнения hello_html_283b8d45.gif равен:

1) 1 2) 2 3) hello_html_m6fe65818.gif 4) hello_html_m4f0ff780.gif 5) 7

А8. Для неравенства hello_html_3a3ee871.gif укажите число

целочисленных решений.

1) 0 2) 1 3) 3 4) бесконечно много 5) 2

А9. Число корней уравнения hello_html_f545b4e.gif равно:

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) бесконечно много

В1. Решите уравнение

hello_html_1cf0d246.gif.

В ответе укажите корень уравнения или произведение его корней,

если их несколько.

В2. Найти все а, при которых уравнение hello_html_4ff7ce44.gif

имеет нечетное число корней.


Занятие №16, 17

Тема: «Итоговое повторение».

Зачетная работа.

Вариант 1.

Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.

А1. Решите уравнение hello_html_12ddd289.gif.

1) -2; 2) 2; 3)1; 4) не имеет корней.

А2. Решите уравнение hello_html_cccf50a.gif и укажите верное утверждение о его корнях.

1) корень только один, и он положительный;

2) корень только один, и он отрицательный;

3) корней два, и они разных знаков;

4)корней два, и они отрицательные.

А3. Найдите область значений функции hello_html_6e347c32.gif.

1)[-2;0]; 2)[-2;1]; 3)[-3;1]; 4)[-2;2].

Часть 2

Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.

В1. Решите уравнение hello_html_312b5c59.gif. (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).

В2. Решите уравнение hello_html_m4a625ff7.gif

В3. Решите неравенство hello_html_m5db80b46.gif

Часть 3

На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.

С1. Найдите нули функции hello_html_m22b99364.gif

Вариант 2.

Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.

А1. Решите уравнение hello_html_m30d67d90.gif.

1) -5; 2) 5; 3)4; 4) не имеет корней.

А2. Решите уравнение hello_html_m6e3a8c60.gif и укажите верное утверждение о его корнях.

1) корней два, и они разных знаков;

2) корней два, и они положительные;

3) корень только один, и он положительный;

4) корень только один, и он отрицательный.

А3. Найдите область значений функции hello_html_m4148527f.gif.

1)[3;+∞); 2)(-∞;+∞); 3)(-∞;3); 4)(3;+∞).

Часть 2

Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.

В1. Решите уравнение hello_html_m38c8d792.gif. (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).

В2. Решите уравнение hello_html_21089fbf.gif

В3. Решите неравенство hello_html_mcafdbe.gif

Часть 3

На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.

С1. Найдите нули функции hello_html_4d949518.gif.

Ответы к зачетной работе.

Номер задания

А1

А2

А3

В1

В2

В3

С1

Вариант 1

2

2

3

0

3

0

-2

Вариант 2

2

3

2

1

0

3

Нет решений


Критерии оценок:

Часть А: каждое задание оценивается по 1 баллу. Всего можно получить 3 балла.

Часть В: за верное выполнение задания выставляется 1 балл. Всего – 3 балла.

Часть С: максимум – 3 балла, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования выполнены верно, получен верный ответ;

2 балла – приведена верная последовательность всех шагов решения, при решении одного из уравнений допущена одна описка, или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения;

1 балл приведена верная последовательность всех шагов решения, допущена грубая ошибка в тождественных преобразованиях, в результате которой получен неверный ответ;

0 баллов – все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

Оценка: «5» – 7-9 баллов;

«4» – 5-6 баллов;

«3» – 2-4 балла;

Не зачтено – 0-1 балл.


32


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 16.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров166
Номер материала ДВ-460765
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх