Элективный курс «Геометрия окружности» Тема занятия: «Теорема Птолемея»

Липатова Елена Юрьевна, МБОУ «Гимназия № 17»

Учитель математики

Элективный курс «Геометрия окружности» 10 класс

Тема занятия: «Теорема Птолемея»

Занятие № 1

Цели занятия

1. Обучающие:

Продолжить знакомство учащихся со свойствами вписанных четырехугольников, доказать теорему Птолемея, рассмотреть решения задач на свойства  описанных около четырехугольников окружностей, познакомить учащихся с возможностями практического применения теоремы Птолемея.

2.Развивающие:

 Развивать геометрические представления учащихся.

Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации. Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

3.Воспитательные:

Развивать познавательную и творческую активность учащихся  

Задачи: 

- повторить понятие вписанного четырехугольника;

-с помощью средств GEOGEBRA выдвинуть гипотезу, провести численный эксперимент

- доказать теорему Птолемея

-определить применение теоремы Птолемея в практических задачах.

Фрагмент занятия

АКТУАЛИЗАЦИЯ

Когда около четырехугольника можно описать окружность?

Учащиеся разделены на три группы. Каждой группе предлагается выполнить следующие задания:

1.     Описать окружность около параллелограмма

2.     Описать окружность около ромба

3.     Описать окружность около трапеции.

В результате выполнения данного задания с помощью средств GEOGEBRA учащиеся вспоминают что:

1)    Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

2)    Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

3)    Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией

1 группа:

2 группа:

3 группа:

Далее учащимся предлагается проверить в полученных четырехугольниках следующее соотношение:

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Данные заносятся в следующую таблицу:

	a	b	c	d	m	n	ac+bd	mn
прямоугольник	3,4	5,92	3,4	5,92	6,83	6,83	46,6	46,6
квадрат	4,82	4,82	4,82	4,82	6,82	6,82	46,5	46,5
Равнобедренная трапеция	5,17	3,76	5,17	7,32	7,36	7,36	54,2	54,2
Произвольный четырехугольник, вписанный в окружность	2,31	3,33	3,75	4,76	4,74	5,16	24,49	24,49

Далее учащимся предлагается вписать в окружность произвольный четырехугольник и проверить данное соотношение.

Таким образом, данный эксперимент  проведен.

Далее доказывается теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

ПЕРВИЧНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ.

Задача.

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.

1)    Проверить выполнение данного равенства с помощью средств GEOGEBRA

2)    Провести доказательство с помощью теоремы Птолемея.

Для четырехугольника АСPB выполняется теорема Птолемея:

AP∙BC=AB∙PC+BP∙AC

Пусть сторона треугольника АВС равна a, тогда:

AP∙a=a∙PC+a∙BP.

Разделив данное равенство на а, получаем:

AP = BP + CP.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Задача. На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что 

1)    Проверить выполнение данного равенства с помощью средств GEOGEBRA

Провести доказательство с помощью теоремы Птолемея.

Краткое описание документа:

Данное занятие позволяет продолжить знакомство учащихся со свойствами вписанных четырехугольников, доказать теорему Птолемея, рассмотреть решения задач на свойстваописанных около четырехугольников окружностей, познакомить учащихся с возможностями практического применения теоремы Птолемея. Одной из задач данного занятия является научить учащихся выдвигать гипотезу, проведя эксперимент

с помощью средств GEOGEBRA выдвинуть гипотезу.