Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс «Методы решения уравнений с параметром» 10-11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс «Методы решения уравнений с параметром» 10-11 класс

библиотека
материалов



Элективный курс
«Методы решения уравнений с параметром»

Автор: Семкина Ольга Николаевна,

учитель математики МБУ «Лицей № 57»


Пояснительная записка

Элективный курс профильной подготовки учащихся 10 классов посвящён одной из тем курса алгебры – задачам с параметрами. К сожалению, в средней школе при изучении алгебры практически не рассматриваются (или рассматриваются недостаточно) уравнения с параметрами.

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречались в 7 классе, когда изучали линейные уравнения , и при изучении в 8 классе квадратных уравнений .

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, однако часто предлагается на выпускных экзаменах по математике. Решение задач с параметрами вызывает у учащихся значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение. В связи с этим на первом этапе работы по этой теме ученикам предлагаются простые по алгоритму решения задачи (ЗЗ – знакомая задача), с последующим усложнением задач (МЗ – модифицированная задача, НЗ –незнакомая задача).

Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и является развитием системы ранее приобретенных знаний . Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направлена на развитие самостоятельной исследовательской деятельности. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный.

Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

  1. Овладение математическими знаниями, достаточными для изучения смежных дисциплин на современном уровне и для продолжения образования в высшей школе по любой специальности, не требующей высокого уровня владения математическим аппаратом.

  2. Интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности.

  3. Развитие представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в истории цивилизации и современном обществе.

  4. Формирование представлений о математики как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах математики, об особенностях математического исследования и его отличии от методов естественных и гуманитарных наук.

Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижении следующих целей:

  1. Формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов.

  2. Овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне.

  3. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции. Творческих способностей на уровне, необходимом для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности.

  4. Воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Изучение темы «Уравнения с параметрами » на базовом уровне в старшей школе направлено на достижении целей:

  • овладение знаниями при решении линейных, квадратных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и применение этих знаний при решении уравнений с параметрами;

  • формирование у учащихся представления о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера и показ их многообразия;

  • интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для сдачи ЕГЭ и дальнейшего обучения;

  • формирование представлений о «параметре» как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах решения уравнений, об особенностях решения задач подобного типа и его отличия от традиционных методов.

Данные цели направлены на формирование математической (прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы.

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы будет способствовать

  • умению использовать теоретический материал при решении задач;

  • умению пользоваться математическими формулами;

  • умению выполнять переход от частного к общему;

  • владению аппаратом построения графиков и их преобразований.

Социально-личностная компетентность будет способствовать

  • владению стилем мышления, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;

  • умению проводить аргументированные рассуждения, делать логические обоснования, выводы;

  • умению проводить обобщения на основе анализа частных примеров, выдвигать предположения и их обосновывать;

  • умению ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи, выбирать из информационного потока нужный материал.

Общекультурная компетентность будет способствовать

  • умению понимать и объяснять значимость математики как общечеловеческой культуры;

  • умению использовать математической символики, терминов ,символов и формул;

  • умению представлять об особенностях математического языка и соотношения их с русским языком.

Предметно-мировоззренческая компетентность будет способствовать

  • умению понимать особенности применения математических методов к исследованию.

Формирование навыков исследовательской деятельности учащихся

при решении уравнений с параметрами

Программа элективного курса по математике для учащихся 10 профильных классов общеобразовательных школ.

Изучение элективного курса в профильном классе направлено на достижение следующих целей:

  • усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задач с параметрами;

  • продолжить работу по интеллектуальному и творческому развитию учащихся, формированию уровня абстрактного и логического мышления;

  • открыть перспективные возможности усвоения курса математики в высших учебных заведениях.

Достижение поставленных целей возможно через решение задач с параметрами, что позволяет решать следующие основные задачи:

  • обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений при решении задач с параметрами;

  • формирование интеллектуальных умений, умений и навыков самостоятельной математической деятельности, определённых государственными стандартами программы курса;

  • обеспечение прочной математической подготовки для сдачи ЕГЭ и изучения содержания математического образования в технических вузах страны.

Формы контроля.

Результатом учебной деятельности учащихся профильных классов является групповая исследовательская работа по темам: «Иррациональные задачи с параметрами», «Графически-иллюстративный метод решения рациональных уравнений с параметрами в системе (х; а)», «Применение производной при анализе и решении физических задач с параметрами».

Требования к знаниям и умениям

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

  • решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

  • решать иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения с параметром как аналитически так и графически;

  • применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.











Содержание программы

10 класс – 17ч. (1 час в неделю)

I . Аналитические решения основных типов задач (7часов).

1. Необходимые условия в задачах с параметрами.

2. Решение линейных уравнений.

3. Параметр и теорема Виета.

4. Параметр и поиск решения рациональных уравнений.

5. Параметр и поиск решения дробно-рациональных уравнений.

6. Квадратный трехчлен.

7. Решение уравнений, содержащих модуль.


Основная цель

  • обобщить и систематизировать знания учащихся о методах и приёмах решения дробно-рациональных, рациональных, тригонометрических, линейных уравнений;

  • показать «двойственную природу» параметра. («общение» с параметром, как с числом, степень свободы «общения» ограничивается неизвестностью).

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

  • определение уравнения, содержащего параметры;

  • принципы решения линейного, дробно-рационального, квадратного уравнения, содержащего параметр, алгебраическим методом;

  • методику решения уравнения.

Уметь

  • Применять методы и приёмы решения линейных, квадратных, тригонометрических уравнений при отыскании корней уравнений в зависимости от параметра;

  • Методы разложения в задачах с параметрами.

ΙΙ. Квадратичная функция у=ах2 + bх + с, где а≠0 (5 часов).

1. «Каркас» квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и

старшего коэффициента при построении «каркаса» квадратичной

функции, содержащей параметры, определение вершины параболы. Теорема Виета.

2. Расположение корней квадратичной функции относительно данных

точек.

3. Решение уравнений, приводящих к исследованию квадратичной

функции.

4. Метод интервалов в задачах с параметрами.

5. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к исследованию

расположения корней квадратичной функции.

Основная цель

  • продолжить формирование у учащихся представлений о следующих понятиях: область определения; область значения; наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции на промежутке;

  • выработать умение графического решения квадратного уравнения; исследование и чтение графиков.

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

  • алгоритм построения графика квадратичной функции у = ах2 + bх + с;

  • этапы исследования графика и квадратичной функции;

  • теорема Виета;

  • методы решения уравнений, сводящихся к составлению квадратного уравнения.

Уметь

  • строить графики квадратичной функции с использованием свойств этой функции;

  • строить «каркас» квадратичной функции, содержащей параметры;

  • применять теорему Виета для исследования квадратичной функции.

III. Применение производной (5часов).

1. Геометрический и физический смысл производной в задачах с параметрами.

2. Касательная к кривой.

3.Отыскание стационарных (критических) точек при исследовании

функции, содержащей параметры.

4. Возрастание и убывание функции, содержащей параметры.

5. Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего

значения функции, содержащей параметры.


Основная цель

  • обобщить и систематизировать знания учащихся, связанных с понятием производная, её механическим и геометрическим смыслом;

  • научить применять аппарат математического анализа к исследованию функций, содержащих параметры.

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

  • теоретические обоснования геометрического и физического смысла производной;

  • нахождение точек экстремума и экстремумов функции;

  • алгоритм отыскания промежутков монотонности функции.

Уметь

  • применять теоретические обоснования применения производной к исследованию функции;

  • исследовать полученную функцию ранее изученными методами.






Календарно-тематическое планирование учебного материала

10 класс- 17 часов (1 час в неделю)

Кол-во

часов

I . Аналитические решения основных типов задач

7

1. Необходимые условия в задачах с параметрами.

1

2. Решение линейных уравнений.

1

3. Параметр и теорема Виета.

1

4. Параметр и поиск решения рациональных уравнений.

1

5. Параметр и поиск решения дробно-рациональных уравнений.

1

6. Квадратный трехчлен.

1

7. Решение уравнений, содержащих модуль.

1

ΙΙ. Квадратичная функция у=ах2 + bх + с, где а≠0

5

1. «Каркас» квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и старшего коэффициента при построении «каркаса» квадратичной функции, содержащей параметры, определение вершины параболы. Теорема Виета.

1

2. Расположение корней квадратичной функции относительно данных точек.

1

3. Решение уравнений, приводящих к исследованию квадратичной функции.

1

4. Метод интервалов в задачах с параметрами.

1

5.Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к исследованию расположения корней квадратичной функции.

1

III. Применение производной.

5

1. Геометрический и физический смысл производной в задачах с параметрами.

1

2. Касательная к кривой.

1

3.Отыскание стационарных (критических) точек при исследовании функции, содержащей параметры.

1

4. Возрастание и убывание функции, содержащей параметры.

1

5. Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, содержащей параметры.

1














































Содержание программы

11 класс – 17ч. (1 час в неделю)


I. Графические приёмы (4 часа).

1. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; у).

2. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; а).

3. Отыскание решений уравнений с помощью наглядно-графической интерпретации.

4. Контрольная работа по теме «Графические приёмы».

Основная цель

  • обобщить и систематизировать знания учащихся, свойств и графиков элементарных функций;

  • изучить построение графических образов и графиков у = f (х+а) + b и графиков, содержащих модуль;

  • познакомить учащихся с алгоритмом отыскания корней уравнения при графическом методе решения уравнений, содержащих параметры.

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Знать, понимать

  • графики элементарных функций;

  • построение графика функции: у = f (х-хо) + уо; у = f (|х|-хо) + уо;

у = f (|х-хо|) + уо;

  • алгоритм построения графического образа в системе (х; а) и отыскание решения.

Уметь

  • строить графики уравнений в системе (х; у) и (х; а);

  • применять наглядно-графическую интерпретацию к решению уравнений;

  • обосновать применение того или иного метода.

ΙΙ. Свойства функции в задачах с параметрами (5 часов).

1. Задачи с параметрами на отыскание Е(у).

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

3. Монотонность и обратимость функции в задачах с параметрами.

4. Четность, периодичность в задачах с параметрами.

5. Нахождение D(y) в задачах с параметрами.

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Знать, понимать

  • знать свойства элементарных функций и уметь применять их при исследовании.

Уметь

  • находить наибольшее и наименьшее значения функций;

  • применять периодичность, четность и нечетность функций при исследовании.

ΙΙΙ. Аналитические решения основных типов задач (5часов).

1. Параметр и поиск решения иррациональных уравнений.

2. Параметр и поиск решения показательных уравнений.

3. Параметр и поиск решений логарифмических уравнений.

4. Параметр как равноправная переменная.

5. Разные приёмы (введение новой переменной, использование свойств функции, «ветвление»).

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Знать, понимать

  • строить графики элементарных функций;

  • применять графический метод в системе (х; у) при решении иррациональных уравнений;

  • методы решения иррациональных уравнений.

Уметь

  • применять аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ;

  • введение новой переменной;

  • введение двух переменных.

ΙV. Методы поиска необходимых условий (3 часа).

1. Исследование симметрии аналитических выражений.

2-3. Разные приемы.

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Уметь

  • определять аналитические выражения, геометрические образы которых имеют или ось, или плоскость симметрии.









































Календарно-тематическое планирование учебного материала

11 класс- 17 часов (1 час в неделю)

Кол-во

часов

I. Графические приёмы

4

1. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; у).

1

2. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; а).

1

3. Отыскание решений уравнений с помощью наглядно-графической интерпретации.

1

4. Контрольная работа по теме «Графические приёмы».

1

ΙΙ. Свойства функции в задачах с параметрами

5

1. Задачи с параметрами на отыскание Е(у).

1

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

1

3. Монотонность и обратимость функции в задачах с параметрами.

1

4. Четность, периодичность в задачах с параметрами.

1

5. Нахождение D(y) в задачах с параметрами.

1

ΙΙΙ. Аналитические решения основных типов задач

5

1. Параметр и поиск решения иррациональных уравнений

1

2. Параметр и поиск решения показательных уравнений.

1

3. Параметр и поиск решений логарифмических уравнений.

1

4. Параметр как равноправная переменная.

1

5. Разные приёмы (введение новой переменной, использование свойств функции, «ветвление»).

1

ΙV. Методы поиска необходимых условий

3

1. Исследование симметрии аналитических выражений.

1

2. Разные приемы.

2




















Матричное представление многоуровневой системы учебных математических задач

Многочлены


а) Линейные

уравнения

б) Квадратные

уравнения


Аналитический

метод








ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

ax=a



МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

x+2=a






НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

(a2-1)x=2a2+a-3



ЗЗ При каких значениях параметра а квадратное уравнение ах2+2(а+1)х+2а=0 имеет:

два различных корня?


МЗ два положительных корня?








НЗ два различных корня в интервале (1;2)?

Графически-аналитический метод


ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение



МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение


НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение


ЗЗ При каких значениях параметра а уравнение

х2+2(а-1)х+а+5=0 имеет хотя бы один положительный корень?


МЗ При каких значениях параметра а уравнение

(а-1)х2+(2а+3)х+а+2=0 имеет корни одного знака?



НЗ При каких значениях параметра а уравнение

(а-2)х2-2(а+3)х+4а=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?




Графически-аналитический метод




ЗЗ При каких значениях параметра а корни уравнения

(а-2)х2-3(а+3)х+а+1=0 имеют разные знаки?


МЗ При каких значениях параметра а корни уравнения

(а+1)х2+2х-3а-1=0 меньше 1?


НЗ Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения

(а+1)х2-(а2+2а)х-а-1=0 принадлежат отрезку [-2;2]?




Координатно- параметрический метод













ЗЗ Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

(a2-1)x=2a2+a-3



МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение






НЗ Применяя КП метод исследовать в зависимости от значений параметра а решения уравнений




ЗЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение

(2-х)(х+1)=а имеет два различных неотрицательных корня.


МЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение

х2-х-а=0 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству .



НЗ Найти все значения параметра а, при которых оба корня уравнения х2+х+а=0 действительны и больше а.























Тригонометрические уравнения




Иррациональные уравнения


Уравнения с модулем


ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

a sin x=1





МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

cos 2x=1+a2





НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

2sin2x-(2a+1)sin x+a=0



ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.




МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.




НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.




ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение




МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет более трёх решений?




НЗ При каких значениях параметра а уравнение


имеет 4 различных решения?












ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.


МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.



НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение




ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение




МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение



НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение







ЗЗ (a2-5a+6)sinx=a-3 на [0;2π]








МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение


НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

cosx+cosax=2



ЗЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение?





МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет два корня?




НЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет два корня?



ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение





МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение?




НЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет 3 решения?



ЗЗ Для каждого допустимого значения параметра а найти решение уравнения
sin x=а, принадлежащие промежутку .


МЗ Определить область значений параметра а, при которых уравнение

2cos2x-4a cosx+a2+2=0 не имеет действительных решений.


НЗ При каких значениях параметра а уравнение


имеет ровно 3 корня, расположенные на отрезке ?


ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение .





МЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения, принадлежащие промежутку [0;1].


НЗ Для каждого действительного положительного а найти все корни уравнения


ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.





МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение




НЗ При каких значениях параметра а все решения уравнения


удовлетворяют неравенству ?


Производная



Показательные

уравнения




Логарифмические

уравнения


ЗЗ При каких значениях m функция

f(x)=2x3-3(m+2)x2+48mx+6x-3 возрастает на всей числовой прямой?



МЗ При каком значении а касательная к параболе y=ax2+x-3 в точке М(1; а-2) параллельна прямой 3y-6x=1?







ЗЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение 4х-а2х+1-3а2+4а=0 имеет единственный корень.



МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

а.



НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.





ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

(2x-a)log2x=0





МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

(x-1)log2(x-a)=0




НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

logx(2x-a)=1



ЗЗ При каком а прямая y=9x+a является касательной к графику функции ?


МЗ При каком а прямая y=ax является касательной к графику функции y=ex-1-3?




НЗ При каком а>0 кривая y=alnx имеет с графиком функции y=2x2+2xа одну общую точку













ЗЗ Найти все значения а, при которых уравнение


имеет единственное решение.


МЗ Найти все значения а, при которых уравнение


имеет решение.




ЗЗ Найти число корней уравнения

2+2х3-18х+n=0 в зависимости от параметра n.






МЗ Найти число положительных корней уравнения ex=ax2 в зависимости от параметра а.




ЗЗ При каких значениях параметра а уравнение

25х+5х(2-3а)+2а2-5а+3=0

имеет ровно одно решение?




МЗ При каких значениях параметра а уравнение

9х-(5а+3)3х+6а2+11а-10=0

не имеет корней?




НЗ При каких значениях параметра а уравнение

4х-2(3а-2)·2х+5а2-4а=0

имеет два решения?




ЗЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение


имеет единственное решение.




МЗ Сколько корней имеет уравнение


в зависимости от параметра а?










ЗЗ Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

.



МЗ При каких значениях параметра а уравнение


имеет ровно два решения?


НЗ Для любых значений а решить уравнение


ЗЗ При всех а решить уравнение

logx+1ax=2.







МЗ Определить при каких а уравнение


имеет решение, и найти эти решения.




НЗ Для любых допустимых значений а решить уравнение

loga(x2-3a)=loga(a2-3x).






Автор
Дата добавления 27.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров296
Номер материала ДБ-100972
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх