Элективный
курс
«Методы решения уравнений с параметром»
Автор:
Семкина Ольга Николаевна,
учитель
математики МБУ «Лицей № 57»
Пояснительная записка
Элективный
курс профильной подготовки учащихся 10 классов посвящён одной из тем курса
алгебры – задачам с параметрами. К сожалению, в средней школе при изучении
алгебры практически не рассматриваются (или рассматриваются недостаточно)
уравнения с параметрами.
С
понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречались в
7 классе, когда изучали линейные уравнения , и при
изучении в 8 классе квадратных уравнений .
Рассматриваемый
материал не входит в базовый уровень, однако часто предлагается на выпускных
экзаменах по математике. Решение задач с параметрами вызывает у учащихся
значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по
сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность
в техническом и логическом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами
можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской.
Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа
предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать,
сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные
результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но
и нестандартные методы, упрощающие решение. В связи с этим на первом этапе
работы по этой теме ученикам предлагаются простые по алгоритму решения задачи
(ЗЗ – знакомая задача), с последующим усложнением задач (МЗ – модифицированная
задача, НЗ –незнакомая задача).
Преподавание
курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой
основного курса и является развитием системы ранее приобретенных знаний .
Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения
математических задач, требующих применения высокой логической и операционной
культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и
направлена на развитие самостоятельной исследовательской деятельности. Тематика
задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности –
повышенный.
Изучение
математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих
целей:
- Овладение
математическими знаниями, достаточными для
изучения смежных дисциплин на современном уровне и для продолжения
образования в высшей школе по любой специальности, не требующей высокого
уровня владения математическим аппаратом.
- Интеллектуальное
развитие, формирование уровня абстрактного и
логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для обучения
в высшей школе и будущей профессиональной деятельности.
- Развитие представлений
о математике как части общечеловеческой культуры,
о значимости математики в истории цивилизации и современном обществе.
- Формирование
представлений о математики как форме описания и
методе познания действительности, об идеях и методах математики, об
особенностях математического исследования и его отличии от методов
естественных и гуманитарных наук.
Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на
достижении следующих целей:
- Формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как
универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов.
- Овладение устным и письменным математическим языком, математическими
знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных
дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности
на современном уровне.
- Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного
воображения, развитие математического мышления и интуиции. Творческих
способностей на уровне, необходимом для самостоятельной деятельности в
области математики и её приложений в будущей профессиональной
деятельности.
- Воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей
развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости
математики для общественного прогресса.
Изучение темы
«Уравнения с параметрами » на базовом уровне в старшей школе направлено на
достижении целей:
- овладение
знаниями при решении линейных, квадратных, иррациональных,
тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и применение
этих знаний при решении уравнений с параметрами;
- формирование у
учащихся представления о задачах с параметрами как задачах
исследовательского характера и показ их многообразия;
- интеллектуальное
развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и
алгоритмической культуры, необходимого для сдачи ЕГЭ и дальнейшего
обучения;
- формирование
представлений о «параметре» как форме описания и методе познания
действительности, об идеях и методах решения уравнений, об особенностях
решения задач подобного типа и его отличия от традиционных методов.
Данные цели
направлены на формирование математической (прагматической),
социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой
компетентностей выпускника старшей школы.
Математическая
(прагматическая) компетентность выпускника старшей
школы будет способствовать
- умению
использовать теоретический материал при решении задач;
- умению
пользоваться математическими формулами;
- умению выполнять
переход от частного к общему;
- владению
аппаратом построения графиков и их преобразований.
Социально-личностная
компетентность будет способствовать
- владению стилем
мышления, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;
- умению проводить
аргументированные рассуждения, делать логические обоснования, выводы;
- умению проводить
обобщения на основе анализа частных примеров, выдвигать предположения и их
обосновывать;
- умению ясно и
точно выражать свои мысли в устной и письменной речи, выбирать из
информационного потока нужный материал.
Общекультурная
компетентность будет способствовать
- умению понимать и
объяснять значимость математики как общечеловеческой культуры;
- умению
использовать математической символики, терминов ,символов и формул;
- умению
представлять об особенностях математического языка и соотношения их с
русским языком.
Предметно-мировоззренческая
компетентность будет способствовать
·
умению понимать особенности применения
математических методов к исследованию.
Формирование
навыков исследовательской деятельности учащихся
при
решении уравнений с параметрами
Программа
элективного курса по математике для учащихся 10 профильных классов
общеобразовательных школ.
Изучение
элективного курса в профильном классе направлено на достижение следующих целей:
- усвоить, углубить
и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задач с
параметрами;
- продолжить работу
по интеллектуальному и творческому развитию учащихся, формированию уровня
абстрактного и логического мышления;
- открыть
перспективные возможности усвоения курса математики в высших учебных
заведениях.
Достижение
поставленных целей возможно через решение задач с параметрами, что позволяет
решать следующие основные задачи:
- обеспечение
прочного и сознательного овладения учащимися системой математических
знаний и умений при решении задач с параметрами;
- формирование
интеллектуальных умений, умений и навыков самостоятельной математической
деятельности, определённых государственными стандартами программы курса;
- обеспечение
прочной математической подготовки для сдачи ЕГЭ и изучения содержания
математического образования в технических вузах страны.
Формы контроля.
Результатом
учебной деятельности учащихся профильных классов является групповая
исследовательская работа по темам: «Иррациональные задачи с параметрами»,
«Графически-иллюстративный метод решения рациональных уравнений с параметрами в
системе (х; а)», «Применение производной при анализе и решении физических задач
с параметрами».
Требования к знаниям и умениям
В результате
изучения курса учащиеся должны уметь:
- решать линейные и квадратные уравнения с
параметром;
- решать иррациональные, логарифмические,
показательные, тригонометрические уравнения с параметром как аналитически
так и графически;
- применять аппарат алгебры и математического
анализа для решения прикладных задач.
Содержание программы
10 класс – 17ч. (1 час в неделю)
I .
Аналитические решения основных типов задач (7часов).
1. Необходимые
условия в задачах с параметрами.
2. Решение линейных
уравнений.
3. Параметр и
теорема Виета.
4. Параметр и поиск
решения рациональных уравнений.
5. Параметр и поиск
решения дробно-рациональных уравнений.
6. Квадратный
трехчлен.
7. Решение
уравнений, содержащих модуль.
Основная
цель
- обобщить и
систематизировать знания учащихся о методах и приёмах решения
дробно-рациональных, рациональных, тригонометрических, линейных
уравнений;
- показать
«двойственную природу» параметра. («общение» с параметром, как с числом,
степень свободы «общения» ограничивается неизвестностью).
Планируемые
результаты обучения при изучении темы.
Знать,
понимать
- определение
уравнения, содержащего параметры;
- принципы решения
линейного, дробно-рационального, квадратного уравнения, содержащего
параметр, алгебраическим методом;
- методику решения
уравнения.
Уметь
- Применять методы
и приёмы решения линейных, квадратных, тригонометрических уравнений при
отыскании корней уравнений в зависимости от параметра;
- Методы разложения
в задачах с параметрами.
ΙΙ.
Квадратичная функция у=ах2 + bх + с, где а≠0 (5 часов).
1. «Каркас»
квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и
старшего
коэффициента при построении «каркаса» квадратичной
функции,
содержащей параметры, определение вершины параболы. Теорема Виета.
2. Расположение
корней квадратичной функции относительно данных
точек.
3. Решение
уравнений, приводящих к исследованию квадратичной
функции.
4. Метод интервалов
в задачах с параметрами.
5. Решение
тригонометрических уравнений, сводящихся к исследованию
расположения
корней квадратичной функции.
Основная
цель
- продолжить
формирование у учащихся представлений о следующих понятиях: область
определения; область значения; наибольшее и наименьшее значения
квадратичной функции на промежутке;
- выработать умение
графического решения квадратного уравнения; исследование и чтение
графиков.
Планируемые
результаты обучения при изучении темы.
Знать, понимать
- алгоритм построения графика квадратичной
функции у = ах2 + bх + с;
- этапы исследования графика и квадратичной
функции;
- теорема Виета;
- методы решения уравнений, сводящихся к составлению
квадратного уравнения.
Уметь
- строить графики квадратичной функции с
использованием свойств этой функции;
- строить «каркас» квадратичной функции,
содержащей параметры;
- применять теорему Виета для исследования
квадратичной функции.
III. Применение производной (5часов).
1. Геометрический и физический смысл
производной в задачах с параметрами.
2. Касательная к кривой.
3.Отыскание стационарных (критических) точек
при исследовании
функции, содержащей параметры.
4. Возрастание и убывание функции, содержащей
параметры.
5. Решение текстовых задач на нахождение
наибольшего и наименьшего
значения функции, содержащей параметры.
Основная
цель
- обобщить и систематизировать знания
учащихся, связанных с понятием производная, её механическим и
геометрическим смыслом;
- научить применять аппарат математического
анализа к исследованию функций, содержащих параметры.
Планируемые
результаты обучения при изучении темы.
Знать,
понимать
- теоретические
обоснования геометрического и физического смысла производной;
- нахождение точек
экстремума и экстремумов функции;
- алгоритм
отыскания промежутков монотонности функции.
Уметь
- применять теоретические обоснования
применения производной к исследованию функции;
- исследовать полученную функцию ранее изученными
методами.
Календарно-тематическое планирование учебного
материала
10 класс- 17 часов (1 час
в неделю)
Тема
|
Кол-во
часов
|
I .
Аналитические решения основных типов задач
|
7
|
1. Необходимые
условия в задачах с параметрами.
|
1
|
2. Решение
линейных уравнений.
|
1
|
3. Параметр и
теорема Виета.
|
1
|
4. Параметр и
поиск решения рациональных уравнений.
|
1
|
5. Параметр и
поиск решения дробно-рациональных уравнений.
|
1
|
6. Квадратный
трехчлен.
|
1
|
7. Решение
уравнений, содержащих модуль.
|
1
|
ΙΙ. Квадратичная функция у=ах2 + bх + с,
где а≠0
|
5
|
1. «Каркас»
квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и старшего
коэффициента при построении «каркаса» квадратичной функции, содержащей
параметры, определение вершины параболы. Теорема Виета.
|
1
|
2. Расположение
корней квадратичной функции относительно данных точек.
|
1
|
3. Решение
уравнений, приводящих к исследованию квадратичной функции.
|
1
|
4. Метод
интервалов в задачах с параметрами.
|
1
|
5.Решение тригонометрических
уравнений, сводящихся к исследованию расположения корней квадратичной
функции.
|
1
|
III. Применение производной.
|
5
|
1. Геометрический и физический смысл
производной в задачах с параметрами.
|
1
|
2. Касательная к кривой.
|
1
|
3.Отыскание стационарных (критических) точек
при исследовании функции, содержащей параметры.
|
1
|
4. Возрастание и убывание функции,
содержащей параметры.
|
1
|
5. Решение текстовых задач на нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции, содержащей параметры.
|
1
|
Содержание программы
11 класс – 17ч. (1 час в неделю)
I. Графические
приёмы (4 часа).
1. Построение графического образа на
координатной плоскости в системе (х; у).
2. Построение графического образа на координатной
плоскости в системе (х; а).
3. Отыскание решений уравнений с помощью
наглядно-графической интерпретации.
4. Контрольная работа по теме «Графические
приёмы».
Основная
цель
- обобщить и
систематизировать знания учащихся, свойств и графиков элементарных
функций;
- изучить
построение графических образов и графиков у = f (х+а) + b и графиков,
содержащих модуль;
- познакомить
учащихся с алгоритмом отыскания корней уравнения при графическом методе
решения уравнений, содержащих параметры.
Планируемые
результаты обучения при изучении темы
Знать,
понимать
- графики
элементарных функций;
- построение
графика функции: у = f (х-хо) + уо; у = f (|х|-хо)
+ уо;
у = f
(|х-хо|) + уо;
- алгоритм
построения графического образа в системе (х; а) и отыскание решения.
Уметь
- строить графики уравнений в системе (х; у) и
(х; а);
- применять наглядно-графическую интерпретацию
к решению уравнений;
- обосновать применение того или иного метода.
ΙΙ. Свойства функции в задачах с
параметрами (5 часов).
1. Задачи с параметрами на отыскание Е(у).
2. Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции.
3. Монотонность и обратимость функции в
задачах с параметрами.
4. Четность, периодичность в задачах с
параметрами.
5. Нахождение D(y) в
задачах с параметрами.
Планируемые
результаты обучения при изучении темы
Знать,
понимать
- знать свойства
элементарных функций и уметь применять их при исследовании.
Уметь
- находить
наибольшее и наименьшее значения функций;
- применять
периодичность, четность и нечетность функций при исследовании.
ΙΙΙ. Аналитические решения основных
типов задач (5часов).
1. Параметр и поиск решения иррациональных
уравнений.
2. Параметр и поиск решения показательных
уравнений.
3. Параметр и поиск решений логарифмических
уравнений.
4. Параметр как равноправная переменная.
5. Разные приёмы (введение новой переменной,
использование свойств функции, «ветвление»).
Планируемые
результаты обучения при изучении темы
Знать,
понимать
- строить графики
элементарных функций;
- применять
графический метод в системе (х; у) при решении иррациональных уравнений;
- методы решения
иррациональных уравнений.
Уметь
- применять аналитические методы решения
иррациональных уравнений, содержащих параметры: ;
; ;
- введение новой переменной;
- введение двух переменных.
ΙV. Методы поиска необходимых условий (3 часа).
1. Исследование симметрии аналитических
выражений.
2-3. Разные приемы.
Планируемые
результаты обучения при изучении темы
Уметь
- определять
аналитические выражения, геометрические образы которых имеют или ось, или
плоскость симметрии.
Календарно-тематическое планирование учебного
материала
11 класс- 17 часов (1 час
в неделю)
Тема
|
Кол-во
часов
|
I. Графические
приёмы
|
4
|
1. Построение графического образа на
координатной плоскости в системе (х; у).
|
1
|
2. Построение графического образа на
координатной плоскости в системе (х; а).
|
1
|
3. Отыскание решений уравнений с помощью
наглядно-графической интерпретации.
|
1
|
4. Контрольная работа по теме
«Графические приёмы».
|
1
|
ΙΙ.
Свойства функции в задачах с параметрами
|
5
|
1. Задачи с параметрами на отыскание Е(у).
|
1
|
2. Нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции
|
1
|
3. Монотонность и обратимость функции в
задачах с параметрами.
|
1
|
4. Четность, периодичность в задачах с
параметрами.
|
1
|
5. Нахождение D(y) в
задачах с параметрами.
|
1
|
ΙΙΙ.
Аналитические решения основных типов задач
|
5
|
1. Параметр и
поиск решения иррациональных уравнений
|
1
|
2. Параметр и поиск решения показательных
уравнений.
|
1
|
3. Параметр и поиск решений логарифмических
уравнений.
|
1
|
4. Параметр как равноправная переменная.
|
1
|
5. Разные приёмы (введение новой переменной,
использование свойств функции, «ветвление»).
|
1
|
ΙV.
Методы поиска необходимых условий
|
3
|
1. Исследование симметрии аналитических
выражений.
|
1
|
2. Разные приемы.
|
2
|
Матричное представление многоуровневой системы учебных
математических задач
|
Многочлены
|
|
а) Линейные
уравнения
|
б) Квадратные
уравнения
|
Аналитический
метод
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
ax=a
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
x+2=a
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
(a2-1)x=2a2+a-3
|
ЗЗ При каких
значениях параметра а квадратное уравнение ах2+2(а+1)х+2а=0 имеет:
два различных корня?
МЗ два
положительных корня?
НЗ два различных
корня в интервале (1;2)?
|
Графически-аналитический метод
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
|
ЗЗ При каких
значениях параметра а уравнение
х2+2(а-1)х+а+5=0 имеет хотя бы
один положительный корень?
МЗ При каких
значениях параметра а уравнение
(а-1)х2+(2а+3)х+а+2=0 имеет корни
одного знака?
НЗ При каких
значениях параметра а уравнение
(а-2)х2-2(а+3)х+4а=0 имеет два
корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
|
Графически-аналитический метод
|
|
ЗЗ При каких
значениях параметра а корни уравнения
(а-2)х2-3(а+3)х+а+1=0 имеют
разные знаки?
МЗ При каких
значениях параметра а корни уравнения
(а+1)х2+2х-3а-1=0 меньше 1?
НЗ Найти все
значения параметра а, при которых корни уравнения
(а+1)х2-(а2+2а)х-а-1=0
принадлежат отрезку [-2;2]?
|
Координатно-
параметрический метод
|
ЗЗ Для каждого
действительного значения параметра а решить уравнение
(a2-1)x=2a2+a-3
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
НЗ Применяя
КП метод исследовать в зависимости от значений параметра а решения уравнений
|
ЗЗ Найти все
значения параметра а, при которых уравнение
(2-х)(х+1)=а имеет два различных
неотрицательных корня.
МЗ Найти все
значения параметра а, при которых уравнение
х2-х-а=0 имеет хотя бы одно
решение, удовлетворяющее неравенству .
НЗ Найти все
значения параметра а, при которых оба корня уравнения х2+х+а=0
действительны и больше а.
|
Тригонометрические уравнения
|
Иррациональные уравнения
|
Уравнения с модулем
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
a sin x=1
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
cos 2x=1+a2
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
2sin2x-(2a+1)sin x+a=0
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
МЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет более трёх решений?
НЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет 4 различных решения?
|
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
|
ЗЗ (a2-5a+6)sinx=a-3
на [0;2π]
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
cosx+cosax=2
|
ЗЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?
МЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет
два корня?
НЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет
два корня?
|
ЗЗ Для каждого значения параметра а
решить уравнение
МЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет единственное
решение?
НЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет 3 решения?
|
ЗЗ Для каждого
допустимого значения параметра а найти решение уравнения
sin x=а,
принадлежащие промежутку .
МЗ Определить
область значений параметра а, при которых уравнение
2cos2x-4a cosx+a2+2=0 не имеет действительных решений.
НЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет ровно 3 корня, расположенные на
отрезке ?
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение .
МЗ Найти все
значения параметра а, при которых уравнение имеет
решения, принадлежащие промежутку [0;1].
НЗ Для каждого
действительного положительного а найти все корни уравнения
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
НЗ При каких
значениях параметра а все решения уравнения
удовлетворяют неравенству ?
|
Производная
|
Показательные
уравнения
|
Логарифмические
уравнения
|
ЗЗ При каких
значениях m функция
f(x)=2x3-3(m+2)x2+48mx+6x-3 возрастает на всей числовой прямой?
МЗ При каком
значении а касательная к параболе y=ax2+x-3 в точке М(1;
а-2) параллельна прямой 3y-6x=1?
|
ЗЗ Найти все
значения параметра а, при которых уравнение 4х-а2х+1-3а2+4а=0
имеет единственный корень.
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
а4х+а2х=а6х.
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
.
|
ЗЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
(2x-a)log2x=0
МЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
(x-1)log2(x-a)=0
НЗ Для каждого
значения параметра а решить уравнение
logx(2x-a)=1
|
ЗЗ При каком а
прямая y=9x+a
является касательной к графику функции ?
МЗ При каком а
прямая y=ax является касательной к
графику функции y=ex-1-3?
НЗ При каком
а>0 кривая y=alnx имеет с
графиком функции y=2x2+2xа одну общую точку
|
|
ЗЗ Найти все
значения а, при которых уравнение
имеет единственное решение.
МЗ Найти все
значения а, при которых уравнение
имеет решение.
|
ЗЗ Найти число
корней уравнения
6х2+2х3-18х+n=0 в зависимости от параметра n.
МЗ Найти число
положительных корней уравнения ex=ax2 в зависимости от параметра а.
|
ЗЗ При каких
значениях параметра а уравнение
25х+5х(2-3а)+2а2-5а+3=0
имеет ровно одно решение?
МЗ При каких
значениях параметра а уравнение
9х-(5а+3)3х+6а2+11а-10=0
не имеет
корней?
НЗ При каких
значениях параметра а уравнение
4х-2(3а-2)·2х+5а2-4а=0
имеет два решения?
|
ЗЗ Найти все значения параметра а,
при которых уравнение
имеет единственное решение.
МЗ Сколько
корней имеет уравнение
в зависимости от параметра а?
|
|
ЗЗ Для каждого
действительного значения параметра а решить уравнение
.
МЗ При каких
значениях параметра а уравнение
имеет ровно два решения?
НЗ Для любых
значений а решить уравнение
|
ЗЗ При всех а решить
уравнение
logx+1ax=2.
МЗ Определить
при каких а уравнение
имеет решение, и найти эти решения.
НЗ Для любых
допустимых значений а решить уравнение
loga(x2-3a)=loga(a2-3x).
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.