Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс На перекрестке элементарной и высшей алгебры

Элективный курс На перекрестке элементарной и высшей алгебры

  • Математика

Документы в архиве:

1.14 МБ 1.1. Корни многочленов.Теорема Безу.pdf
834.51 КБ 1.2. Уравнения низших степеней.pdf
1.05 МБ 1.3. Уравнения разных степеней.pdf
715.21 КБ 2.1. Рациональные алгебраические уравнения.pdf
778.44 КБ 2.2. Рациональные алгебраические неравенства.pdf
473.78 КБ 3.1. Задачи с параметрами.pdf
1.46 МБ 3.2. Линейные уравнения и неравенства с параметром.pdf
3.26 МБ 3.3. Квадратные уравнения и неравенства с параметром.pdf
283.51 КБ 4.1. Уравнения с несколькими переменными.pdf
674.96 КБ 4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы..pdf
594.07 КБ 4.3. Решение систем. Метод замены. Симметрические системы.pdf
693.21 КБ 4.4. Решение систем. Метод разложения и др.pdf
457.85 КБ 4.5. Cистемы с тремя переменными.pdf
1.95 МБ 4.6. Cистемы с параметрами.pdf
106 КБ Курс На перекрестке высшей и элементарной алгебры.doc
111.6 КБ Разные задачи 2.notebook
132.6 КБ Разные задачи 3.notebook
75.66 КБ Разные задачи 4.notebook
79.61 КБ Разные задачи.notebook
691.09 КБ 1.1. Корни многочленов.Теорема Безу..notebook
436.68 КБ 1.2. Уравнения низших степеней.notebook
402.02 КБ 1.3. Уравнения разных степеней.notebook
368.72 КБ 2.1. Рациональные алгебраические уравнения_.notebook
769.9 КБ 2.2. Рациональные алгебраические неравенства_.notebook
262.11 КБ 3.1. Задачи с параметрами_.notebook
881.15 КБ 3.2. Линейные уравнения и неравенства с параметром_.notebook
1.5 МБ 3.3. Квадратные уравнения и неравенства с параметром_.notebook
5.4 КБ 3.3.17.ggb
5.72 КБ 3.3.18.ggb
148.56 КБ 4.1. Уравнения с несколькими переменными_.notebook
386.08 КБ 4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы_.notebook
341.22 КБ 4.3. Решение систем. Метод замены. Симметрические системы_.notebook
362.53 КБ 4.4. Решение систем. Метод разложения и др_.notebook
227.84 КБ 4.5. Cистемы с тремя переменными_.notebook
1.28 МБ 4.6. Cистемы с параметрами_.notebook
139.73 КБ 5.1. Уравнения с радикалами_.notebook

Название документа Курс На перекрестке высшей и элементарной алгебры.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Специальный курс по математике
«На перекрестке высшей и элементарной алгебры»

(для 10-11х классов)

Цели и задачи курса.

Знания, умения, компетенции.

Основной утилитарной целью изучения курса «На перекрестке высшей и элементарной алгебры» является:

  1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

В то же время курс направлен на достижение следующих целей:

  1. Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.

  2. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.

  3. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.

  4. Получение представления об универсальном характере математических методов, о тесной взаимосвязи элементарной алгебры с высшей математикой: арифметикой, высшей алгеброй, математическим анализом; о единстве математики в целом.

  5. Развитие внутренней мотивации и интрапсихического фактора поисковой активности в предметной деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней.

При изучении данного курса перед учащимися ставятся конкретные задачи:

− получение знаний об основных логических и содержатель­ных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональ­ными функциями/выражениями; овладение навыками со­ответствующих алгебраических преобразований выраже­ний и логических преобразований алгебраических задач;

− овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;

— освоение методов решения и исследования вычислитель­ных и логических задач с параметрами;

— получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, высшей алгебры, математического анализа) с элементарной алгеброй на основе использования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания.

Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена.

Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано—Тарталья.

Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координатная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основ­ные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограни­ченности, оценок и монотонности. Системы с тремя перемен­ными — основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный.

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

  • умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

  • умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

  • умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

Общеинтеллектуальные умения:

  • умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное, достоверное в той или иной информации;

  • владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

  • умение конструктивно подходить к предлагаемым задачам;

  • умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

Общекультурные компетенции:

  • понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

  • понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;

  • восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Программа курса

Содержание курса

Тема 1. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических выражения. Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано. Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Схема разложения Феррари. Метод неопределенных коэффициентов Декарта.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

Логика алгебраических задач: элементарные алгебраические задачи как предложение с переменными, следование и равносильность, системы и совокупности задач.

Представление о рациональных алгебраических выражениях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 3. Алгебраические уравнения и неравенства с параметром.

Что такое задача с параметром. Основные типы задач с параметром.

Линейные, квадратные уравнения и неравенства с параметром. Теорема Виета в задачах с параметром.

Уравнения и неравенства высокого порядка с параметрами.

Тема 4. Рациональные алгебраические системы.

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виеты с тремя переменными.

Линейные системы с параметрами.

Решение нелинейных систем с параметрами аналитическими методами.

Решение нелинейных систем с параметрами графическими методами.

Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи.

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.

Смешанные системы с двумя переменными.

Иррациональные уравнения и неравенства с параметром.

Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

Системы с параметром.

Календарно-тематическое планирование

(68 часа, 2 раз в неделю)

1. Числовые кольца и поля. Кольца многочленов.

1.1.2. Корни многочленов и полиномиальных уравнений.

1.1.3. Деление многочлена на двучлен. Теорема Безу.

1.1.4. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини-Горнера.

1.1.5. Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена.

1.1.6. Формулы сокращенного умножения. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.


§1.2. Уравнения низших степеней

4

1.2.1. Линейная замена переменной в квадратном трехчлене.

1.2.2. Линейная замена переменной в многочленах.

1.2.3. Метод Руффини-Горнера и треугольник Паскаля.

1.2.4. Решение кубических уравнений.

1.2.5. Уравнение степени 4: схема Феррари.


§1.3. Уравнения разных степеней. Методы упрощения.

4

1.3.1. Простейшие полиномиальные уравнения.

1.3.2. Линейные замены, основанные на симметрии.

1.3.3. Метод разложения. Поиск рациональных корней.

1.3.4. Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.

1.3.5. Применение теоремы о рациональных корнях к числовым задачам.

1.3.6. Разложение методом неопределенных коэффициентов.


Тема 2. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

6

§2.1. Рациональные алгебраические уравнения.

2

2.1.1. Рациональные алгебраические выражения и задачи.

2.1.2. Метод замены.

2.1.3. Симметрические и кососимметрические уравнения.


§2.2. Рациональные алгебраические неравенства

4

2.2.1. Простейшие рациональные неравенства.

2.2.2. Методы решения рациональных алгебраических неравенств.

2.2.3. Сведение к системам неравенств.

2.2.4. Метод интервалов.

2.2.5. Метод замены.

2.2.6. Неравенства с двумя переменными.

2.2.7. Метод областей.


Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
с параметрами.

13

§3.1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

5

3.1.1 Что такое задача с параметром.

3.1.2. Линейные уравнения с параметром.

3.1.3. Линейные неравенства с параметром.


§3.2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

6

3.3.1. Квадратные уравнения с параметром.

3.3.2. Квадратные неравенства с параметром.

3.3.3 Теорема Виета и квадратный трехчлен.

3.3.3. Расположение корней квадратного трехчлена.


§3.3. Уравнения 3й и 4й степени с параметрами

2



Тема 4. Рациональные алгебраические системы

21

§4.1. Уравнения с несколькими переменными

2

4.1.1. Рациональные уравнения с двумя переменными.

4.1.2. Однородные уравнения с двумя переменными.


§4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы.

4

4.2.1. Общий метод постановки.

4.2.2. Линейные подстановки.

4.2.3. Однородные системы.

4.2.4. Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования.


§4.3. Решение систем: метод замены. Симметрические системы.

4

4.3.1. Метод замены.

4.3.2. Системы Виета.

4.3.3. Общие симметрические системы.


§4.4. Решение систем: метод разложения. Частные методы и приемы.

4

4.4.1. Решение систем методом разложения.

4.4.2. Метод оценок.

4.4.3. Метод итераций.

4.4.4. Сведение уравнений к системам.

4.4.5. Оценка значений переменных.


§4.5. Системы с тремя переменными.

3

4.5.1. Метод подстановки.

4.5.2. Метод замены.

4.5.3. Использование однородности.

4.5.4. Система Виета с тремя переменными.

4.5.5. Симметрические системы.

4.5.6. Метод разложения.


§4.6. Системы с параметрами.

4

4.5.1. Линейные системы с параметрами.

4.5.2. Решение нелинейных систем с параметрами аналитическими методами.

4.5.3. Решение нелинейных систем с параметрами графическими методами.


Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи.

16

§5.1. Уравнения с радикалами.

4

5.1.1. Иррациональные алгебраические выражения.

5.1.2. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.

5.1.3. Неэквивалентные преобразования с проверкой.

5.1.4. Метод эквивалентных преобразований.

5.1.5. Сведение уравнений к системам.

5.1.6. Освобождение от кубических радикалов.

5.1.7. Использование монотонности.

5.1.8 Использование однородности.


§5.2. Неравенства с радикалами.

4

5.2.1. Сложности неравенств с радикалами.

5.2.2. Эквивалентные преобразование неравенств.

5.2.3. «Дробно-рациональные» неравенства.

5.2.4. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

5.2.5. Замена при решении иррациональных неравенств.

5.2.6. Использование монотонности при решении иррациональных неравенств.

5.2.7 Смешанные системы с двумя переменными.


§5.3. Уравнения и неравенства с модулями.

3

5.3.1. Уравнения с модулями.

5.3.2. Неравенства с модулями.

5.3.3. Комбинированные задачи с модулями


§5.4. Иррациональные алгебраические задачи с параметрами.

5

5.4.1. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром.

5.4.2. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

5.4.3. Системы с параметром.


Литература.

1. Земляков, А.Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.– М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.-319с. ил.

2. Земляков, А.Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.– М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 118с.: ил.

3. Земляков, А.Н. Введение в алгебру и анализ: культурно-исторический дискурс. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-320 с. ил.

4. Земляков, А.Н. Введение в алгебру и анализ: культурно-исторический дискурс. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.–127 с. ил.

5. Высоцкий, В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.: 262 ил.

6. Козко, А.И., Панферов, В.С., Сергеев, И.Н., Чирский, В.Г. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.– М.: МЦНМО, 2013.– 180 с.: ил.

7. Субханкулова, С.А. Задачи с параметрами – М.: ИЛЕКСА, 2010.– 208 с.: ил.– (Математика: элективный курс).

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

В архиве представлен элективный курс "На перекрестке элементарной и высшей алгебры" разработанного на основе курса А.Н.Землякова "Алгебра+".

Содержание:
1. программа курса;

2. уроки в формате Notebook для интерактивной доски SmartBoard (с решениями задач и выводом формул);

3. уроки в формате PDF (также с полными решениями задач).

Автор
Дата добавления 10.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров48
Номер материала ДБ-073823
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх