860955
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс на тему "АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА"

Элективный курс на тему "АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Абсолютная величина числа. Основные свойства (1ч).

Определение абсолютной величины числа или модуля. Аналитическая запись определения. Геометрический смысл. Основные свойства. Историческая справка.

Основная цель – систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме “Абсолютная величина”, полученные ими в 6 и 8 классах; рассмотреть геометрический смысл абсолютной величины и основные свойства; дать историческую справку о введении термина “модуль” и “знак модуля”; рассмотреть примеры, решение которых основано на определении модуля.

Решение уравнений с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных уравнений с модулями, а также уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель – геометрическая интерпретация выражения hello_html_m54f52ba0.pngи использование ее для решения уравнений вида hello_html_m40efa3c6.png; рассмотреть решение линейных уравнений, основанных на определении модуля; решение квадратных уравнений, содержащих знак абсолютной величины, а также графическое решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Решение неравенств с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных неравенств с модулями, а также неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель – выработать умения решать линейные неравенства с модулем различными способами (используя геометрический смысл, возведение неравенства в квадрат, с помощью двойного неравенства); квадратные неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя схематический набросок графика квадратной функции, а также метод интервалов; дать представление о решении неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Метод интервалов (2ч).

Решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, методом интервалов.

Основная цель – научить школьников решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину, методом интервалов; сформулировать теорему, на которой основано отыскание интервалов знакопостоянства; нахождение нулей модуля.

Неравенства вида hello_html_me80096.png, hello_html_1d33cfa.png, решаемые посредством равносильных переходов (2ч).

Решение неравенства вида hello_html_me80096.pngпосредством равносильных переходов к совокупности неравенств hello_html_m49c65732.png, а неравенства hello_html_1d33cfa.png- к системе неравенств hello_html_2a3a6c6c.png.

Основная цель – закрепить понятие равносильности, известное учащимся из 8 класса; сформулировать (а в “сильном” классе доказать) свойство равносильного перехода от неравенства hello_html_me80096.pngк совокупности hello_html_m49c65732.pngи от неравенства hello_html_1d33cfa.pngк системе hello_html_2a3a6c6c.png.

Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств (1ч).

Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины.

Основная цель – повторить при необходимости основные свойства модуля; научить обучающихся решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины; показать графические приемы при записи ответа; расширить класс уравнений с модулем (рассмотреть уравнение с двумя переменными).

Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (1ч).

Решение линейных уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Основная цель – повторить формулу расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой; научить обучающихся решению уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Модуль и преобразование корней (1ч).

Применение понятия модуля при оперировании арифметическими корнями. Преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

Основная цель – выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратный корень, при которых используется модуль.

Модуль и иррациональные уравнения (2ч).

Решение иррациональных уравнений с использованием метода выделения полного квадрата или введения новой переменной.

Основная цель – повторить известное обучающимся из 8 класса определение иррациональных уравнений; показать на примерах решение иррациональных уравнений, связанных с необходимостью использования модуля.

Учебно-тематический план

№ п/п

Тема

Количество часов

Форма проведения занятий

Форма контроля

Наименование образовательного продукта

1

Абсолютная величина числа. Основные свойства.

2

лекция

-

-

2

3

4

Решение уравнений с модулями:

-линейных;

-квадратных;

-с параметрами.

2

2

2

практикум

практикум

изучение нового материала

решение контрольных заданий

решение контрольных заданий

проверка рабочих тетрадей

-

5

6

7

Решение неравенств с модулями:

-линейных;

-квадратных;

-с параметрами.

2

2

2

практикум

семинар

изучение нового материала

проверка домашнего задания

ответы на вопросы

проверка рабочих тетрадей

-

8

9

Метод интервалов.

2

2

комбинированный урок

урок-соревнование

ответы на вопросы

урок взаимопроверки

-

10

11

Решение неравенств вида hello_html_me80096.png, hello_html_1d33cfa.png, решаемые посредством равносильных переходов.

2

2

изучение нового материала

закрепление изученного материала

проверка конспектов

математический диктант

-

12

Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.

2

обобщение и систематизация знаний

устный опрос

-

13

Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

2

обобщение и систематизация знаний

самостоятельная работа

-

14

Модуль и преобразование корней.

2

практикум

работа в группах

-

15

16

Модуль и иррациональные уравнения.

2

проверка и коррекция ЗУН

консультация

домашняя контрольная работа

ответы на вопросы

-

17

Зачет.

1

контрольная или тестовая работа

-

составление опорного конспекта

Всего -34 часа





Список литературы для учителя



  • Голубев В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих ВУЗов страны).- Львов: Квантор, 1991.

  • Голубев В. Эффективные методы решения задач по теме “Абсолютная величина”.- М.: Чистые пруды, 2006.

  • Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике.- М.: 5 за знания, 2006.

  • Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике “Выпускной, вступительный, ЕГЭ на 5+”.- М.: ВАКО, 2006.

  • Смыкалова Е.В. Математика (модули, параметры, многочлены), предпрофильная подготовка, 8-9 кл.- Санкт-Петербург: СМИО-Пресс, 2006.

Список литературы для обучающихся

  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1988.

  • Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по Математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1973.

  • Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа,1974.

  • Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной сложности по алгебре и началам анализа.- М.: Просвещение, 1990.

  • Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издательство “Наука”, главная редакция физико-математической литературы.- М.: Наука, 1975.

  • Круликовский Н.Н. Математические задачи для абтуриентов.- Томск: изд. Томского Университета, 1973.

  • Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике.- М.: Наука, 1986.

  • Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов, Москва, “Дрофа”, 1995.

Методические материалы

Занятие №1: Определение абсолютной величины числа (модуля числа), его геометрический смысл и основные свойства.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Модуль числа а обозначается так:hello_html_1a2cde5b.png. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения:

hello_html_1a2cde5b.png= hello_html_m21df16a0.png

Модулем числа называется также расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. В этом состоит геометрический смысл модуля. Т.о. используются термины “модуль”, “абсолютная величина” или “абсолютное значение” числа. В соответствии с приведенным определением hello_html_7dfc64c3.png= 5, hello_html_ede126b.png= 3, hello_html_m67313b33.png=0. Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и – а.

Историческая справка: термин “модуль” (от лат.modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (1682—1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897), в 1841 г.

Основные свойства модуля:

  1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: hello_html_1a2cde5b.pnghello_html_1655a648.png0.

  2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -hello_html_1a2cde5b.pnghello_html_3e7c44d0.pngаhello_html_3e7c44d0.pnghello_html_1a2cde5b.png.

  3. Если число a hello_html_1655a648.png0 и для числа х справедливо одно из неравенств хhello_html_4f0549c7.pngа или хhello_html_515e5df1.png-а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству hello_html_3c72a334.pnghello_html_1655a648.pngа. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству hello_html_3c72a334.pnghello_html_1655a648.pngа, удовлетворяет одному из неравенств хhello_html_m4d27dc37.pngа или хhello_html_515e5df1.png-а.

  4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству -аhello_html_515e5df1.pngхhello_html_515e5df1.pngа, то модуль числа х удовлетворяет неравенству hello_html_3c72a334.pnghello_html_515e5df1.pngа. Если hello_html_3c72a334.pnghello_html_515e5df1.pngа, то справедливо неравенство:-аhello_html_m16834a8a.pngхhello_html_m16834a8a.pngа.

  5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: hello_html_m21b3d662.pnghello_html_515e5df1.pnghello_html_1a2cde5b.png+hello_html_m6a555e49.png,

  6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел hello_html_7ec1005d.pnghello_html_m4d27dc37.pnghello_html_1a2cde5b.png-hello_html_m6a555e49.png.

  7. Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: hello_html_m585a1042.png=hello_html_m2a08868a.pnghello_html_m6a555e49.png.

  8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: hello_html_m60ceee8f.png=hello_html_1a2cde5b.png:hello_html_m6a555e49.png.

  9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: hello_html_1a2cde5b.pngn=hello_html_398468f7.png причем если п= – четное число, то hello_html_1a2cde5b.png=а.

  10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: hello_html_7ec1005d.png=p(а,в). Из этого свойства следует важное равенство: hello_html_7ec1005d.png=hello_html_m6fe9689e.png. В частности, hello_html_1a2cde5b.png=hello_html_4b4fbe45.png.

  11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю.

  12. Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: hello_html_8a6fe4d.png.

  13. hello_html_m493f5f95.pngКвадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: hello_html_71a98fab.png=hello_html_1a2cde5b.png.

Рассмотрим примеры, решение которых основано на определении модуля.

№ 1. Решить уравнение hello_html_3c72a334.png=4.

По определению модуля; х=4 или х =-4.

№ 2. Решить уравнение: hello_html_mebea3a0.png=3.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:hello_html_2b532a5c.png

Откуда: х1 =2 и х 2=-1.

№ 3. Решить уравнение: hello_html_316f67a.png=-2.

По свойству 1: модуль любого действительного числа есть число неотрицательное, делаем вывод, что решения нет.

№ 4. Решить уравнение: hello_html_m23d67c53.png=х–5.

По этому же свойству 1: х–5hello_html_m4d27dc37.png0, хhello_html_4f0549c7.png5.

№ 5. Решить уравнение: hello_html_3c72a334.png+х=0.

hello_html_3c72a334.png=- х, хhello_html_515e5df1.png0.

№ 6. Решить уравнение: hello_html_m499fe212.png=х+2.

В отличие от предыдущего примера в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что х +2hello_html_11db81fc.png0,т.е. хhello_html_11db81fc.png-2. Тогда имеем:

2х+1= х +2 или

2х+1 = - х – 2.

Т.о. при х hello_html_1655a648.png-2, имеем:

х = 1,

х = - 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

  1. hello_html_mebea3a0.png=х–3,

  2. hello_html_m59920682.png=х+2,

  3. hello_html_m6d67f46.png=hello_html_m26bb5f20.png,

  4. hello_html_746a85fd.png-2=3,

  5. 2hello_html_5d06abf1.png=3х+1,

  6. hello_html_a3123f4.png+х=9,

  7. х+hello_html_m6d67f46.png =11,

  8. hello_html_5d06abf1.png+ х+2=6,

  9. х–4-hello_html_553d556b.png=-2,

  10. hello_html_m1e8b1f3e.pnghello_html_e38af96.png=3,

  11. hello_html_m1212af9a.png+х+3=hello_html_3c72a334.png,

  12. hello_html_m5d6930c6.png-hello_html_14ec5aa2.png=6х–1,

  13. hello_html_m1e8b1f3e.png+3х=hello_html_m23d67c53.png–18,

  14. hello_html_4037f682.png+hello_html_m5c27e2e.png+3х=2.

Занятие №2. Решение линейных уравнений с модулями.

При решении линейных уравнений используется или геометрический смысл модуля числа или раскрытие знака модуля. Рассмотрим на примере: решить уравнение

hello_html_m23d67c53.png+hello_html_m1212af9a.png = 7.

а) Используем геометрический смысл модуля числа. Запишем уравнение в виде: hello_html_m23d67c53.png+hello_html_f76906e.png=7. Тогда d=х–5 - расстояние от точки х до точки 5 на числовой прямой, f =х–(-2) - расстояние от точки х до точки (-2) .По условию задачи сумма этих расстояний d+f=7. Нанесем точки 5 и -2 на числовую прямую. Легко проверить, что для любого числа из отрезка [-2;5] сумма расстояний d+f равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х<2 или х>5 сумма расстояний d+f>7. Поэтому решением уравнения является интервал hello_html_m3f3e7aba.png.

б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.

В интервале 1 (х<-2) получаем: -(х–5)–(х+2)=7 или –х+5–х–2=7 или –2х+3=7, откуда получаем: х=-2. Но эта точка в рассматриваемый промежуток не входит. Поэтому х=-2 не является решением.

В интервале 2: хhello_html_433fe499.pnghello_html_m74f52ea.png получаем: -(х–5)+(х+2)=7 или 7=7. Так как получилось верное равенство, то любая точка из этого промежутка является решением данного уравнения.

В интервале 3 (х>5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7, откуда х=5. Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.

Итак, решение данного уравнения: -2hello_html_m3c83eedb.pngхhello_html_m3c83eedb.png5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

1. х=hello_html_m6d67f46.png+hello_html_m59920682.png,

2. hello_html_3c72a334.png+hello_html_m2024bfc2.png+hello_html_1a7af847.png=2,

3. hello_html_316f67a.png+hello_html_1a7af847.png-hello_html_m1541883.png=2х+4,

4. hello_html_746a85fd.png+hello_html_553d556b.png+hello_html_3c72a334.png=11,

5. hello_html_m6d67f46.png-2hello_html_m1212af9a.png=0.

Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.

Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:

№1. Решить уравнение

х2 -6hello_html_3c72a334.png+8=0.

Введем замену hello_html_3c72a334.png, тогда при у hello_html_1655a648.png0 уравнение принимает вид:

y2–6у+8=0, откуда у1=2 и у2=4. а х=2 или -2; 4 или -4.

№2. Решить уравнение:

hello_html_3880dd19.png+ hello_html_m26bb5f20.png= 0.

Уравнение равносильно системе: hello_html_m10642656.pngОткуда х=1.

№3. Решить уравнение:

hello_html_13508122.png= 2х – 1.

Уравнение имеет решение при условии, что 2х–1hello_html_11db81fc.png0, а равенство возможно при условии: значения выражений х2–1 и 2х–1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: хhello_html_1655a648.png0,5. Составим уравнения: х2–1=2х–1 или х2+х–1=-(2х–1); решая которые, получим

Ответ: hello_html_504992d3.png.

№4. Найти корни уравнения: hello_html_48745323.png.

Представим данное уравнение в виде: hello_html_m6d67f46.png= х 2 – 1, откуда:

х2 – 1hello_html_15f9e95e.png,

х – 1 = х2 – 1,

или х – 1 = - (х2 – 1).

х2 – 1 hello_html_15f9e95e.pngпри х hello_html_515e5df1.png- 1 и х hello_html_1655a648.png1.Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1, из второго: х=-2 и х=1.

Ответ: х=1; х=-2.

№5. Найти целые корни уравнения: hello_html_d2c39cc.png= hello_html_1946f646.png.

Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х2–1 и 2х+3–х2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

hello_html_m73451541.png

Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.

№6. Решить уравнение: hello_html_m4172842.png=2х2–3х+1.

Обозначим выражение 3х-1-2х2 буквой а. Тогда данное уравнение примет вид: hello_html_1a2cde5b.png=-а. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х2hello_html_m3c83eedb.png0, решая которое, получим ответ: хhello_html_515e5df1.png0,5 и хhello_html_1655a648.png1.

Упражнения для самостоятельной работы.

Решить уравнение:

1.hello_html_m45ed4f22.png2+ х–20.

2. hello_html_m86c9540.png+ 3х -5=0,

3. hello_html_3880dd19.png=(х–1)(х+1),

4. х2–6hello_html_3c72a334.png+5=0,

5. х2+8hello_html_3c72a334.png=9,

6.hello_html_m3deb5e7c.png2 –6х+6,

7. х hello_html_15bdc3a1.png=-8.

Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром

3–х=hello_html_m3b55920d.png.

Построим графики функций у=3–х и у=hello_html_m3b55920d.png. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у=hello_html_m3b55920d.pngполучается из графика фукции у=hello_html_3c72a334.png, зависит от параметра а. Поэтому рассмотрим 3 случая:

Этот случай, как видно из рисунка, будет при а<3. Графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А равен углу В и равен 450, проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д х =(а + 3)/2.

Этот случай имеет место при а=3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х<3.

В этом случае а>3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

1.hello_html_m1e8b1f3e.png=а,

2. аhello_html_3c72a334.png=3,

3. (а–2)hello_html_3c72a334.png=а–2,

4. а2х2hello_html_3c72a334.png=0.

Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:

№1.Решить неравенство:

hello_html_m405ec807.png>4.

Первый способ: Имеем: hello_html_73d37c70.png>4,

hello_html_m2d5e6bf4.png>4,

hello_html_6cbff9c7.png>2.

Геометрически выражение hello_html_6cbff9c7.pngозначает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.

Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат:hello_html_m405ec807.png2>42 .

(2х–5)2>42,

(2х–5)2–16>0,

(2х–5–4)(2х–5+4)>0,

2(х–4,5) 2(х–0,5)>0,

(х–4,5)(х–0,5)>0.

Применив метод интервалов, получим: х<0,5 и х>4,5.

Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:

hello_html_c7c7926.pnghello_html_31dac8b9.png

Откуда: х<0,5 и х>4,5.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №2.Решить неравенство: hello_html_m1e8b1f3e.png<3.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

hello_html_m3e4ff160.pnghello_html_765e1612.png

Из первой системы получаем 2hello_html_m3c83eedb.pngх<5, из второй -1<х<2. Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5.

Пример №3. Решить неравенство: 3hello_html_m6d67f46.pnghello_html_3e7c44d0.pngх+3.

Данное неравенство равносильно двойному неравенству -х-3hello_html_m3c83eedb.png3х–3hello_html_m3c83eedb.pngх+3 или системе hello_html_m385b71c2.pnghello_html_67bad0b2.png

Имеем: 0hello_html_515e5df1.pngхhello_html_515e5df1.png3.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1. hello_html_mebea3a0.png<3х+1,

2. hello_html_1b4f420c.png+hello_html_m59920682.png>2,

3. -hello_html_m3a61cf12.png>hello_html_3c72a334.png-2.

Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.

Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: hello_html_m65f218a0.png+х–2<0.

Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство hello_html_m4c811176.pngравносильно системе неравенств: hello_html_2a3a6c6c.png, а неравенство hello_html_27dbba21.pngравносильно совокупности неравенств hello_html_m49c65732.png.

Поэтому наше неравенство равносильно системе неравенств: hello_html_m73ed1485.pngрешая которые, получим: hello_html_33c0f1d.pnghello_html_m43cd82c.png

Запишем ответ: (1-hello_html_12f9d95a.png;2-hello_html_4c5ed49a.png).

Пример №2. Найти целые решения неравенства: hello_html_m439644bb.pnghello_html_3e7c44d0.png2х–х2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

hello_html_m66e90ee0.pnghello_html_6a70323b.png

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: хhello_html_515e5df1.png1; хhello_html_1655a648.png2.

из второго: 2–5х+2hello_html_515e5df1.png0, или 0,5hello_html_515e5df1.pngхhello_html_515e5df1.png2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.

Т.о. 0,5hello_html_515e5df1.pngхhello_html_515e5df1.png1 и х=2. Это решение первой системы.

Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2, из второго: -(х2 -3х+2)hello_html_515e5df1.png2х–х2, или – х2+3х–2–2х+ х2hello_html_515e5df1.png0, или хhello_html_515e5df1.png2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2. Это решение второй системы.

Объединив найденные решения систем неравенств 0,5hello_html_515e5df1.pngxhello_html_515e5df1.png1; х=2; 1, получаем: 0,5hello_html_515e5df1.pngxhello_html_515e5df1.png2 и т.о. целыми решениями будут х=1 и х=2.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства:

1. hello_html_mc22652a.png<6,

2. hello_html_m354646ca.png<х,

3. hello_html_m19035274.png<3х–3,

4. х2-3hello_html_3c72a334.png+2>0,

5. х2-х<3hello_html_3c72a334.png,

6. х2-6х+7-hello_html_m59920682.png<0,

7. 3hello_html_m6d67f46.png2–7>0,

8. hello_html_m4ae61a31.png>hello_html_m33e2d335.png.

Занятие № 7. Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах2+4hello_html_3c72a334.png+а+3<0?

При хhello_html_m4d27dc37.png0 имеем ах2+4х+а+3<0. Старший коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант – меньше нуля.

а<0, Д=16–4а(а+3)<0; 16-4а2-12а<0; а2+3а-4>0; а<-4 и а>1;

абсцисса вершины параболы х0=-в/2а=- 4/2а=-2/аhello_html_m3c83eedb.png 0, откуда а<-4.

При х<0 имеем ах2–4х+а+3<0. Рассуждая аналогично, получим: а<-4.

Ответ: при а<-4 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства с параметрами:

1.hello_html_b8c70d9.png>-а,

2. (х–а)hello_html_m3b8c7bfb.png<0,

3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах2>2hello_html_3c72a334.png+5 не имеет решений?

Занятия №8 - 9. Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения

hello_html_6b665969.png-hello_html_3c72a334.png+3hello_html_m6d67f46.png-2hello_html_m1e8b1f3e.png=х+2.

Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.

Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений

х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:

Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:

hello_html_1d0abaa0.png

hello_html_m314505eb.png

hello_html_7f8c4b49.png

hello_html_5e1c6808.png

hello_html_14a7c0b1.png

Последняя совокупность приводится к виду:

hello_html_2e465fcf.png

hello_html_m338c3651.png

hello_html_3ac2986a.png

hello_html_m77d9bb55.png

hello_html_43a69901.png

Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; хhello_html_4f0549c7.png2.

Использованный прием называется методом интервалов. Он применяется и при решении неравенств.

Решить неравенство: hello_html_m65f218a0.png+х–2<0.

1) Найдем нули выражения: х2-3х.

х1=0, х2=3.

2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х2-3х на каждом интервале:

3) Раскроем модуль: hello_html_m6098a090.pnghello_html_m32ca5f65.png

Решение первой системы: hello_html_m4d918f84.png, решение второй hello_html_m2ad0055a.png. Решение данного неравенства: hello_html_4dbf2789.png.

Упражнения для самостоятельной работы:

1hello_html_m4ec827ce.png

2hello_html_3803ed77.png

3hello_html_510c8d24.png

Занятие №10 - 11. Решение неравенств вида hello_html_1d33cfa.png, hello_html_me80096.pngпосредством равносильных переходов.

Рассмотрим неравенства вида hello_html_1d33cfa.pngи hello_html_me80096.png. Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство hello_html_1d33cfa.pngравносильно системе неравенств hello_html_m2c1d3f0.pngа неравенство hello_html_me80096.pngравносильно совокупности неравенств hello_html_3678e303.png

Рассмотрим пример: решить неравенство:hello_html_m80409e8.png>х+2.

Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:

hello_html_4425022b.png

hello_html_21428f9.png

hello_html_5fb7ff79.png

hello_html_m1a06cdc7.png

Система hello_html_6d5ac72c.pngи неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является хhello_html_m69a04ca7.png.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. hello_html_mc22652a.png<6,

2.hello_html_361db37b.png1,

3.hello_html_m5743d8d.png>х+3,

4. hello_html_11518bc8.png<х+3.

Занятие № 12. Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.

При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).

Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.

Пример №1: решить уравнение: hello_html_m44da7c0.png=1.

Заметим, что hello_html_m2c0629ab.png=1, значит, hello_html_m1e1e3178.png. Следовательно, по свойству 5: 3-1)(2–х3)hello_html_4f0549c7.png0, решением которого является числовой отрезок hello_html_m27cb227.png

Пример №2. Решите систему уравнений: hello_html_75412a50.png

Заметим, что hello_html_m5f563ac4.pngСледовательно, по свойству 5 хуhello_html_4f0549c7.png0, т.е. х и у принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:

hello_html_m420e1cb7.pngили hello_html_m1cfed3ba.png

Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, (0,5; 0,5), (1/6; 5/6).Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна – 1. Например, (0,8;-0,2).

Пример №3.Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел а, в, с, d отлично от нуля.

Ответ: hello_html_m7177f1f4.png

Пример №4. Дано: hello_html_703b5dc0.png<1,hello_html_m625c8183.png<10, hello_html_mbe30725.png<10.

Докажите неравенство: hello_html_m5dea03c4.png<20.

Доказательство:

hello_html_99630ca.png10=20.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. Решите систему: hello_html_283e5bd3.png

2. При каких значениях х справедливы равенства:

а) hello_html_m42e3746d.png,

б)hello_html_56ca60fe.png

3. Найдите числа х и у такие, что hello_html_m5fc9cda0.png=0;

4. Найдите наименьшее значение суммы:

а) hello_html_m71f74a79.png

б) hello_html_m3d270db7.png

5. Решите уравнение: hello_html_d99c1e4.png

Занятие № 13. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

При изучении расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ=hello_html_m2dacbbd2.png. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида hello_html_m3b55920d.png=в, hello_html_77052de4.png, hello_html_m3b55920d.png<в, hello_html_m7557aac0.png, hello_html_m2a8b37c0.png, а также уравнения и неравенства, к ним приводимые.

Рассмотрим примеры.

№1. Решите уравнение: hello_html_m59920682.png=1.

Переводя запись данного уравнения на “язык расстояний”, получим предложение “расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1”. Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1.

Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

№2. hello_html_m499fe212.png= 3.

Приводя данное уравнение к виду hello_html_18a3eb77.png=1,5, используем формулу расстояния:

Ответ: - 2; 1.

№3. hello_html_m7271403f.png.

Запишем данное уравнение в виде: hello_html_1f55bf9c.png. Исходя из геометрических представлений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и – 2, т.е. число – 0,5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения и неравенства:

1. hello_html_m1e8b1f3e.png=0,4;

2. hello_html_m5c27e2e.png=0,7;

3. hello_html_6cbff9c7.png<0,5;

4. hello_html_m7bb3d131.png<7;

5.hello_html_2c26e9ec.png

6. hello_html_m1eb5e622.png

7. hello_html_228e94e1.png

8. hello_html_m1656548b.png

Занятие №14. Модуль и преобразование корней.

Понятие модуля находит применение при оперировании арифметическими корнями. Так как арифметический квадратный корень из числа может принимать лишь неотрицательные значения, то при записи этих значений используется модуль. Так, например,

hello_html_m399655a5.pnghello_html_2650c233.png

В общем случае справедливо тождество: hello_html_m7adcb43e.png

Приведем примеры заданий на преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

№1. Упростить выражение:

hello_html_1af99e8b.pnghello_html_m62a3cf84.png

при в>0, вhello_html_53cfe225.png0 получим:

hello_html_m52e1d4dd.pnghello_html_25366cb1.png

№2. Вычислите значение выражения:

А=hello_html_m777729dd.png при х=0,5hello_html_41b09370.png, где а>0, в>0.

1) Преобразуем выражение для х:

 

х=0,5hello_html_41b09370.png=hello_html_m114c49bf.png.

2) Вычислим значение корня:

hello_html_72a59a6.png.

3) Вычислим значение знаменателя:

hello_html_3dceb492.png.

4) Вычислим значение выражения А:

А=hello_html_10988dc.pnghello_html_b2a934d.png

Упражнения для самостоятельной работы:

Упростить:

1. hello_html_3c16f813.png

2. hello_html_m3523ed1f.png;

3. hello_html_1900e9dd.png;

4. hello_html_7b1ea38e.png

Занятие № 15-16. Модуль и иррациональные уравнения.

Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении иррациональных уравнений.

Решите уравнение: hello_html_284143e3.png+hello_html_74a11bbd.png=1.

Обозначим hello_html_m29b7032a.pngчерез у, где у hello_html_1655a648.png0.

Тогда х+1=у2; х+5=у2+4; х+10=у2+9.

Данное уравнение примет вид:

hello_html_m3e79f14d.pngили hello_html_2d1cd7f0.png, решая которое методом интервалов получим совокупность:

hello_html_2f36b20c.pnghello_html_m3f64b40.png

hello_html_m4b4a6fa6.pngили hello_html_255218ef.png

hello_html_m4a186828.pnghello_html_7c2e4a3e.png

Т.о., 2hello_html_3e7c44d0.pngуhello_html_3e7c44d0.png3, т.е. 2hello_html_515e5df1.pnghello_html_m1d7b4dfb.png3, откуда х принадлежат отрезку [3;8].

Упражнения для самостоятельной работы:

При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используйте модуль.

1. х2-5hello_html_73c1d0d7.png-6=0,

2. hello_html_m44167ecc.png=10,

3. hello_html_c82fed5.png

В качестве домашнего задания обучающимся можно предложить домашнюю контрольную работу. Приведем примерный вариант такой работы:

1. Решите уравнение:

а) hello_html_m1212af9a.png=2(3-х);

б) hello_html_m42b8ad42.png

2. Решите неравенство:

а) hello_html_m6fac70b6.png

б) hello_html_44e5185a.png

3. Упростить выражение:

а) hello_html_692ea4f9.png

б) hello_html_m1126445f.png

4. Решите уравнение:

а) hello_html_4a352562.png

б) hello_html_m60cb3fe3.png

5. Решите систему уравнений:

hello_html_51452b7e.png

Занятие №17. Зачет.


Общая информация

Номер материала: ДВ-030794

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.