Элективный курс на тему "Решение неравенств с модулем"

РАССМОТРЕНО Педагогическим советом МОУ «Зашижемская СОШ» Протокол № 1 от « 14   » августа  2015г.

СОГЛАСОВАНО  Заместитель директора по УВР _______ /Сидоркина Р.Л./ «  14   »  августа  2015 г.

УТВЕРЖДАЮ Директор школы: ________ А.П.Конаков Приказ  №63 от « 01» сентября 2015 г.

Рабочая программа

                                      по элективному курсу

Неравенства с модулем

                                                                                                      Программу составила:

                                                                                     учитель математики высшей

                                                                            категории  МОУ «Зашижемская СОШ»

                                                                                                            Сидоркина Р.Л.

                                  Август, 2015 г.

Неравенства с модулем

Решение неравенства, содержащего абсолютную величину, основано на переходе к равносильной системе неравенств, в которых абсолютная величина не содержится.

1.Неравенство ,

при а>0, равносильно двойному неравенству

при а0,  неравенство  решений не имеет;

2. Неравенство ,

при а>0, равносильно совокупности двух неравенств 

 и ,

при а=0, неравенство верно при всех допустимых значениях х, при которых f(x)0;

при а<0, неравенство верно при всех допустимых значениях х.

При решении простейших неравенств иногда удобно пользоваться геометрической интерпретацией абсолютной величины.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Используя, геометрический смысл абсолютной величины числа, можно перевести это неравенство на язык геометрии: решить данное неравенство – это найти все точки на числовой оси, расстояние от которых до начала координат меньше пяти. Из рисунка

ясно, что  -5 <х <5.

Ответ: (-5;5)

Пример 2. Решить неравенство  .

Решение. Неравенство равносильно системе двух неравенств:

.

Геометрическая интерпретация решения системы:

Можно было бы записать двойное неравенство:

 , которому равносильно исходное неравенство.

Тогда .

Ответ: (2;3).

3. Неравенства вида .

Пусть в некоторой точке выполнено неравенство , тогда  и  . Тогда выполнены неравенства и на числовой оси имеет место:

И, наоборот, пусть в некоторой точке  выполнены неравенства      .

Тогда, во-первых, , а во-вторых, .

Следовательно, имеет место условие равносильности

Пример 3. Решить неравенство

.

Решение. Неравенство можно записать в виде

,

а оно равносильно системе неравенств:

Каждое из квадратных неравенств можно решить, например, методом интервалов. Решая первое из них, получим:

,   то есть  или .

Решая второе квадратное неравенство, будем иметь:

,   то есть  или .

Решая систему и совмещая результаты, получим

то есть   х.

Ответ: .

4. Неравенства вида .

Пусть дано неравенство . Тогда, если , то неравенство выполнено, т.к. модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа; если , то выполнена совокупность неравенств

и на числовой оси имеет место ситуация:

 

 И, наоборот, пусть в некоторой точке  имеет место совокупность неравенств

Тогда, если , то неравенство  выполнено; если , то имеет место ситуация изображенная на рисунке и выполнено неравенство .

Следовательно, имеем равносильные соотношения

 

 Пример 4. Решите неравенство .

Решение:

Преобразуем неравенство:

Ответ: .

 5. Неравенства вида .

 Рассмотрим разность . Она может быть любого знака, но сумма  всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т.е.:

Правило1: Знак разности модулей  совпадает со знаком произведения .

Правило2: Если , то знак разности  совпадает со знаком произведения .

Имеем еще одно условие равносильности:

Пример 5. Решите неравенство .

Решение:

Воспользуемся (6):

 

 Последнее неравенство решено методом интервалов.

Ответ: .

Список используемой литературы.

1.     «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

2.     Математика. ЕГЭ – 2011, 2012. Типовые экзаменационные варианты. /Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко./

3.     М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике