Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс на тему "Решение неравенств с модулем"

Элективный курс на тему "Решение неравенств с модулем"



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



РАССМОТРЕНО

Педагогическим советом МОУ

«Зашижемская СОШ»

Протокол № 1

от « 14 » августа 2015г.

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по УВР

_______ /Сидоркина Р.Л./

« 14 » августа 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ

Директор школы:

________ А.П.Конаков

Приказ №63

от « 01» сентября 2015 г.



Рабочая программа

по элективному курсу



Неравенства с модулем















Программу составила:

учитель математики высшей

категории МОУ «Зашижемская СОШ»

Сидоркина Р.Л.









Август, 2015 г.





Неравенства с модулем

Решение неравенства, содержащего абсолютную величину, основано на переходе к равносильной системе неравенств, в которых абсолютная величина не содержится.

1.Неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/ner_mo50.gif,

при а>0, равносильно двойному неравенству

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image002.gif

при аhttp://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image004.gif0,  неравенство  решений не имеет;

2. Неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/ner_mo51.gif,

при а>0, равносильно совокупности двух неравенств 

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image006.gif и http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image008.gif,

при а=0, неравенство верно при всех допустимых значениях х, при которых f(x)http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image010.gif0;

при а<0, неравенство верно при всех допустимых значениях х.

При решении простейших неравенств иногда удобно пользоваться геометрической интерпретацией абсолютной величины.

Пример 1. Решить неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image012.gif.

Решение. Используя, геометрический смысл абсолютной величины числа, можно перевести это неравенство на язык геометрии: решить данное неравенство – это найти все точки на числовой оси, расстояние от которых до начала координат меньше пяти. Из рисунка

 

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image014.jpg

ясно, что  -5 <х <5.

Ответ: (-5;5)

Пример 2. Решить неравенство  http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image016.gif.

Решение. Неравенство равносильно системе двух неравенств:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image018.gif.

Геометрическая интерпретация решения системы:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image020.jpg

Можно было бы записать двойное неравенство:

 http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image022.gif, которому равносильно исходное неравенство.

Тогда http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image024.gif.

Ответ: (2;3).

3. Неравенства вида http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image026.gif.

Пусть в некоторой точке http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image028.gifвыполнено неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image026.gif, тогда http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image031.gif и  http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image033.gif. Тогда выполнены неравенстваhttp://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image035.gif и на числовой оси имеет место:

Подпись: 0

 

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/ner_mo52.gif

И, наоборот, пусть в некоторой точке http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image028.gif выполнены неравенства      http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image035.gif.

Тогда, во-первых, http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image038.gif, а во-вторых, http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image033.gif.

Следовательно, имеет место условие равносильности

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image041.gif

Пример 3. Решить неравенство

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image043.gif.

Решение. Неравенство можно записать в виде

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image045.gif,

а оно равносильно системе неравенств:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image047.gif

Каждое из квадратных неравенств можно решить, например, методом интервалов. Решая первое из них, получим:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image049.jpg,   то есть http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image051.gif или http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image053.gif.

Решая второе квадратное неравенство, будем иметь:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image055.jpg,   то есть http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image057.gif или http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image059.gif.

Решая систему и совмещая результаты, получим

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image061.jpg

то есть   хhttp://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image063.gifhttp://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image065.gif.

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image065.gif.

 

4. Неравенства вида http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image067.gif.

Пусть дано неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image067.gif. Тогда, если http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image069.gif, то неравенство выполнено, т.к. модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа; если http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image071.gif, то выполнена совокупность неравенств

 

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image073.gif

 

и на числовой оси имеет место ситуация:

 http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/ner_mo53.jpg

 И, наоборот, пусть в некоторой точке http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image075.gif имеет место совокупность неравенств

 

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image077.gif

 

Тогда, если http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image079.gif, то неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image081.gif выполнено; если http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image083.gif, то имеет место ситуация изображенная на рисунке и выполнено неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image081.gif.

Следовательно, имеем равносильные соотношения

 http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image085.gif

 Пример 4. Решите неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image087.gif.

Решение:

Преобразуем неравенство:

 

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image089.gif

 

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image091.gif.

 5. Неравенства вида http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image093.gif.

 Рассмотрим разность http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image095.gif. Она может быть любого знака, но сумма http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image097.gif всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т.е.:

Правило1: Знак разности модулей http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image095.gif совпадает со знаком произведения http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image099.gif.

Правило2: Если http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image071.gif, то знак разности http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image102.gif совпадает со знаком произведения http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image099.gif.

Имеем еще одно условие равносильности:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image104.gif

Пример 5. Решите неравенство http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image106.gif.

Решение:

Воспользуемся (6):

 http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image108.gif

 Последнее неравенство решено методом интервалов.

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ner_mod.files/image110.gif.





Список используемой литературы.

  1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

  2. Математика. ЕГЭ – 2011, 2012. Типовые экзаменационные варианты. /Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко./

  3. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 13.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров131
Номер материала ДВ-154016
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх