Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс "Наглядная геометрия на плоскости и в пространстве" часть 1 для 5 класса
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Элективный курс "Наглядная геометрия на плоскости и в пространстве" часть 1 для 5 класса

библиотека
материалов

Министерство просвещения РФ

МОУ лицей № 4 города Краснодара








Наглядная геометрия

на плоскости

и в пространстве



(Экспериментальный курс для учащихся 5-6 классов)




Разработал: учитель математики

Высоцкая В.М.


hello_html_40c3296f.gif












- Краснодар- 2006 г.-

Пояснительная записка.


Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Галилео Галилей


Геометрия - это не только раздел математики, это феномен, являющийся носителем собственного метода познания мира.

Данный курс разработан с учетом новой концепции образования, основная цель которой заключается в приоритете развивающей функции обучения. Одной из задач математики является задача заинтересовать, привлечь внимание всех школьников, обладающих каким-то типом математических способностей, а для этого необходимо показать предмет во всей его многогранности, акцентируя внимание на наиболее интересных темах.

Геометрическое мышление в своей основе является разновидностью образного, чувственного мышления, поэтому абстрактные и пространственные представления у детей, которые являются продуктом пространственного мышления, согласно данным психологических особенностей развития, целесообразно формировать в возрасте от 8 до 12 лет. В это время очень легко вызвать интерес учащихся к предмету, который непосредственно связан с их личностным опытом, что позволяет легко развивать геометрическую изобразительную культуру и систематизировать первичные сведения по изучаемому предмету.

Нетрадиционная форма изложения материала позволяет сделать его увлекательным, легким для восприятия, а более раннее знакомство с геометрическими понятиями и телами подготовить учащихся к изучению курса планиметрии в 7 классе, и изучается параллельно основному курсу математики по любому из общепринятых учебников для 5 6 классов.

Ведущей методической линией курса является организация разнообразной геометрической деятельности: наблюдение, экспериментирование, конструирование, в результате которой учащиеся самостоятельно добывают геометрические знания и развивают геометрическую интуицию, пространственное воображение, глазомер, изобразительные навыки, начиная с приобретения навыков использования чертежных инструментов.

Курс рассчитан на 68 часов (34 часа в 5 классе и 34 часа в 6 классе)

Тематический план

5 класс (34 часа)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Тема кол-во

пп часов

  1. Точка, прямая линия, отрезок, длина отрезка, треугольник………………...1

  2. Линии: прямая, кривая, ломаная, вертикальная, наклонная. Луч…………..1

  3. Плоскость. Внутренняя область, внешняя область, граница фигуры………1

  4. Измерение отрезков……………………………………………………………1

  5. Перпендикулярные прямые…………………………………………………...1

  6. Параллельные прямые…………………………………………………………1

  7. Понятие перпендикулярных и параллельных плоскостей. Куб…………….2

  8. Развертка куба. Квадрат и его свойства………………………………………2

  9. Танграм…………………………………………………………………………1

  10. Площади и объемы. Равные, равновеликие и равносоставленные фигуры..1

  11. Единицы площадей и объемов. Метрические соотношения………………..2

  12. Палетка. Площадь произвольной фигуры……………………………………1

  13. Площадь прямоугольника, квадрата…...……………………………………..1

  14. Прямоугольный параллелепипед, развертка…………………………………1

  15. Объем прямоугольного параллелепипеда……………………………………1

  16. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда………………….1

  17. Объем и площадь поверхности куба………………………………………….1

  18. Основные задачи на определение площадей и объемов сложных фигур… .2

  19. Угол, определение, виды………………………………………………………1

  20. Измерение и построение углов. Транспортир………………………………..2

  21. Треугольники. Классификация………………………………………………..1

  22. Построение треугольников по заданным элементам с помощью линейки

и транспортира…………………………………………………………………2

Зачетные практические работы

  1. Параллельные и перпендикулярные линии, измерение отрезков………….1

  2. Площади и объемы…………………………………………………………….1

  3. Измерение и построение углов……………………………………………….1

  4. Треугольники…………………………………………………………………..1

Итоговая контрольная работа…………………………………………… ……1

Заключительный урок-игра…………………………………………………… 1

6 класс (34 часа)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Тема кол-во

пп часов

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  1. Пространство и размерность. эксперименты с листом Мебиуса…………….1

  2. Параллельные и перпендикулярные плоскости, поверхности……………….1

  3. Призмы: прямая, наклонная. Грани, ребра, основания. Изображение………1

  4. Моделирование………………………………………………………………….1

Практическая работа № 1……………………………… ………………..1

  1. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, как разновидности

граней призмы, понятия, изображение, свойства, признаки, взаимосвязь …5

  1. Прямой круговой цилиндр как фигура вращения. Круг. Окружность.

Длина окружности, площадь круга………………………………………….…5

  1. Площадь поверхности цилиндра. Моделирование……………………………2

Практическая работа № 2…………………………………………………1

  1. Шар и сфера, определение. Сечение шара плоскостью. Земной шар:

параллели, меридианы…………………………………………………………..1

  1. Конус, как фигура вращения. Понятие, изображение. Сечение конуса

плоскостями, параллельными основанию. Усеченный конус………………..1

  1. Площадь поверхности конуса. Моделирование, особенности расчетов….….2

Практическая работа № 3………………………………………………....1

  1. Пирамиды. Понятие, изображение, моделирование. Усеченная пирамида….1

Практическая работа №4……………………………………………….….1

  1. Элементы начертательной геометрии: сечение прямоугольного парал-

лелепипеда и пирамиды плоскостями, проходящими через заданные

точки………………………………………………………………………………3

10.Симметрия: осевая и центральная……………………………………………….2

11.Основные задачи на построение:………………………………………………...2

  • построение серединного перпендикуляра к отрезку;

  • построение биссектрисы угла;

  • построение параллельных прямых;

  • построение перпендикуляра к отрезку, проходящего через

точку, принадлежащую (не принадлежащую)отрезку.

Практическая работа №5…………………………………………….1

Итоговая контрольная работа………………………………..……..1

Урок-игра № 1

Начальные геометрические понятия

(Точка, прямая линия, отрезок, длина отрезка, треугольник)

Если мы возьмем угольник

Иhello_html_4d0c2978.gif мелок сожмем в руке, a

То увидит каждый школьник

Это чудо на доске:

Эта линия простая

Называется прямая.

Прямая линия может изображаться и обозначаться следующим образом:

Жили - были две сестрички -

Озорные точки - птички

С именами А и В.

Птички жили не на воле,

Аhello_html_m275f1d8a.gifhello_html_3e43c2e5.gifhello_html_3e43c2e5.gif порхали в нашей школе. a

Пролетели над доской А В

И уселись на прямой. рис.1

Определение: Часть прямой линии, заключенная между двумя точками, называется отрезком.

hello_html_m206fb01e.gifhello_html_5816435b.gifhello_html_m60aa6254.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifD P K

С M

N

Точки С и D, M и N, P и К называются концами отрезков.

Любые две точки можно соединить отрезком, т.е. через любые две точки можно провести прямую линию.

Отрезок прямой - самый короткий путь (наименьшее расстояние) между двумя точками на плоскости и в пространстве !

Но вернемся к нашим птичкам:

Озадачены сестрички,

Замерли как изваяния -

Между ними расстояние!

Определение: Расстояние между точками А и В, лежащими на прямой а, называется длиной отрезка АВ.

Для измерения отрезков применяют метрические единицы длины.

Основная единица измерения длины - метр. Сотая часть метра называется сантиметром, десятая часть сантиметра называется миллиметром, десятая часть метра называется дециметром. Итак

1м = 10дм = 100см = 1000мм, 1дм = 10см = 100мм, 1см = 10мм

Для измерения больших расстояний применяют такую единицу длины как километр. 1км = 1000м = 10000дм = 100000см = 1000000мм

ЗАДАНИЕ 1.

Измерить все изображенные отрезки, сравнить их по величине и выписать, начиная с самого большего (1 вариант), с самого меньшего (2 вариант).

Что-то много птиц у нас!

Пhello_html_m616b062b.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifтичка С влетела в класс

За сестричками своими А С В

И уселась между ними.

ЗАДАНИЕ 2.

аhello_html_23e855d.gifhello_html_23e855d.gif) выписать все полученные отрезки, б) сравнить их по величине с помощью знаков = ,, . в) в записи АВ АС СВ вставить вместо кружков знаки + и = , чтобы получилась правильная запись.

Нhello_html_m5072ee3d.gifhello_html_5d3b72d1.gifепоседе птичке С В

Лhello_html_7cfe5353.gifучше бы сидеть в яйце! А

Что-то пискнув сестрам звонко

Вдруг отпрыгнула в сторонку

И уселась произвольно…

Точки- птички на доске С

Образовали треугольник

Треугольник АВС.

Определение: Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, трех отрезков, попарно соединяющих эти точки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками.

Дhello_html_1ebb0867.gifля обозначения треугольника используется специальный знак АВС. Точки А, В и С называются вершинами треугольника, отрезки АВ, ВС и АС сторонами треугольника. Сумма всех сторон треугольника называется периметром. Р = АВ + ВС + АС.

ЗАДАНИЕ 3.

а) измерить все стороны изображенного треугольника и вычислить его периметр.

б) сколько прямых можно провести через 3 точки, 2 точки, 1 точку? (иллюстрировать свой ответ).

в) как изобразить четырехугольник, пятиугольник? Начертить эти фигуры и обозначить буквами их вершины.

г) вычислить периметры полученных фигур.

д) выразить в см: 13дм = см, 1м3см = см, 70мм = см

выразить в м: 150дм = м 25000см = м 1км35м = м

выразить в дм: 700см = дм 12м = дм 1600мм = дм



Урок № 2.

Линии прямая, кривая, ломаная, вертикальная,горизонтальная, наклонная. Луч.

"…начала вещей недоступны для глаза"

Лукреций Кар

Любая геометрическая фигура состоит из точек. Точка - основная геометрическая фигура. Точки могут произвольно располагаться в пространстве: лежать на плоскости (гладкой поверхности), на прямой, принадлежать или не принадлежать различным фигурам. Точки не имеют размеров. На предыдущем уроке мы установили, что через любые две точки можно провести прямую линию. Прямая - это тоже геометрическая фигура. Изобразить ее целиком невозможно, т.к. она не имеет конечной длины; мы можем изобразить только ее часть. Напомним, что точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, B, C, D и т.д., а прямые - строчными буквами a, b, c, d …или двумя заглавными. Если прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке.

Прямые бывают горизонтальными, вертикальными, или наклонными. Будем условно считать, что любая прямая линия, проведенная по поверхности пола - горизонтальная. Если взять в руки отвес (ниточку с прикрепленным к ее концу тяжелым грузом), то получим вертикальную линию. Если линия не является ни вертикальной, ни горизонтальной - она называется наклонной.

Зhello_html_m10800eb3.gifhello_html_7361964c.gifhello_html_m3313049c.gifhello_html_m51664aae.gifhello_html_m2c69e7c4.gifадание 1.

Какие из нарисованных прямых горизонтальные, вертикальные, наклонные?

hello_html_642ce298.gifd

a A b

hello_html_m7e4de439.gifm

B

hello_html_40f62b94.gifc k

Рис 1. P N

Если взять в руки карандаш и, не пользуясь линейкой, начать плавно водить ним по бумаге, то мы получим кривую линию. В жизни кривые линии встречаются гораздо чаще прямых: тропинки в лесу, брошенная на землю скакалочка, линия полета мухи или бабочки…Кривые также могут иметь определенную форму, подчиняющуюся математическим закономерностям: спираль, окружность.

Задание 2.

Из букв алфавита выписать те заглавные буквы, которые можно изобразить только а) с помощью отрезков прямой, б) с помощью только кривых линий, в) с помощью отрезков прямой и кривых линий.

Если мы возьмем несколько точек и последовательно соединим их отрезками, то в результате получится геометрическая фигура, которую мы называем ломаной.

B

hello_html_m60a1b0a5.gifhello_html_m4461daa1.gifhello_html_a7e8788.gifТочки А,В,С,D,E и F-

hello_html_6ce4d444.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifC называются вершинами

A ломаной, а отрезки АВ,

ВС, CD, DE и EF -

hello_html_m1911ccf6.gifhello_html_m56806595.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifF D звеньями ломаной.

hello_html_a7e8788.gifРис.2

E

Если начало и конец ломаной совпадают, то она называется замкнутой.

аhello_html_4d5c062e.gifhello_html_77c97b7c.gifhello_html_321c9328.gifhello_html_37aff207.gifhello_html_m6ed62d1b.gifhello_html_647311f1.gifhello_html_m11b05669.gifhello_html_m252fadea.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gifhello_html_a7e8788.gif)

б)




Ломаные также бывают простые (а) и самопересекающиеся (б).

Лhello_html_447a8b2e.gifhello_html_256bec77.gifhello_html_m6e7d6e54.gifhello_html_347ee206.gifhello_html_27d174b6.gifhello_html_ma5e96da.gifhello_html_m4b6ae37e.gifhello_html_e7b25b2.gifhello_html_m58a6eb9f.gifhello_html_m4b6ae37e.gifhello_html_6e5b4c93.gifоманые линии находят свое неожиданное и интересное применение в астрономии. Изучая созвездия, очень удобно соединять звезды отрезками и получать ломаные, которым можно дать различные названия:



hello_html_m4b6ae37e.gif

hello_html_m55592903.gifСозвездие

"Большая медведица"

hello_html_m5a6833b8.gifРис.4



Мы знаем, что у каждого отрезка есть длина, и так как ломаная состоит из отрезков, то у нее есть длина, которая называется длиной ломаной и равна сумме длин ее звеньев.

Зhello_html_17b01e30.gifhello_html_146d55a8.gifhello_html_25275bb.gifадание 3. М

Доказать,что длина ломаной АВС меньше

дhello_html_m5cb3d960.gifhello_html_25275bb.gifhello_html_25275bb.gifлины ломаной АМС. В


hello_html_25275bb.gifА С

Тhello_html_m6ea10898.gifочка, лежащая на прямой, разбивает ее на две части, которые носят название лучей, причем такие лучи называются дополнительными друг к другу. Луч имеет начало, но не имеет конца, следовательно, можно говорить о том, что он имеет направление. Лучи иногда называют полупрямыми. Лучи обозначают латинскими буквами: одной строчной или двумя заглавными, первая из которых обозначает начало луча, а вторая какую-нибудь точку на луче. луч DC

hello_html_282b66e0.gifhello_html_25275bb.gifhello_html_25275bb.gifhello_html_m70e60d27.gifb

луч b C D

Понятие направления мы часто употребляем в повседневной жизни: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча, направление полета самолета, или направление ветра. Кроме того, мы говорим о противоположных направлениях: он пошел в противоположную (обратную) сторону. Очевидно, что при задании направления удобно пользоваться понятием луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие направления модно как множество лучей, одинаково направленных (сонаправленных) с данным. Примером сонаправленных лучей служит поток световых лучей, идущих от мощного прожектора. Итак сонаправленные лучи имеют одинаковое направление. Тогда естественно назвать лучи, имеющие противоположное направление - противоположно направленными.

Задание 4. № 77 стр. 20.

Домашнее задание: выучить понятия и определения по теме. Выполнить №№ 81,82


Урок № 3.

Плоскость. Внутренняя область, внешняя область, граница фигуры.


Всякое человеческое познание начинает с созерцаний,

переходит от них к понятиям и заканчивает идеями.

И.Кант

Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения: длину, ширину и высоту, хотя иногда эти измерения мы заменяем другими (толщина). Идеальным предметом, имеющим три измерения, служит наш класс. В таком пространстве могут жить такие геометрические фигуры как шар, кубик; предметы: книга, ручка, стол; мы с вами, животные и все, что нас окружает. А теперь представим, что высота исчезла. Мир стал плоским как лист бумаги, остались только два измерения: длина и ширина. Какие геометрические фигуры могут жить в таком мире? Отрезок, прямая линия, круг, квадрат. А вот мы в таком мире уже жить не сможем. Плоскость - абстрактное геометрическое понятие. У плоскости нет толщины, нет ширины и длины, она бесконечно распространяется во все стороны. Стены, пол и потолок класса - это части шести плоскостей, поверхность стола и доска, а также лежащий на столе лист бумаги - это также части плоскостей, на которых нам предстоит работать. В пространстве существует бесконечно много плоскостей. Плоскости обозначаются строчными греческими буквами:hello_html_62364d10.gif и т.д.

Попробуем положить кусочек стекла на острие одного карандаша - пластина держаться на нем не будет. Неудачной будет также попытка положить пластину на острия двух карандашей - она будет качаться из стороны в сторону. Но пластина будет устойчиво лежать на концах трех стержней. Можно сделать вывод, который в геометрии называют аксиомой плоскости:

Чhello_html_m4426202e.gifерез три точки, не лежащие на одной прямой проходит одна и только одна плоскость.

Упрощенно плоскость можно изобразить так: А

В С

Но 4 точки не всегда лежат в одной плоскости.

Для изображения геометрических фигур на плоскости (или фигур произвольной формы) используются линейка, циркуль, транспортир, угольник.

hello_html_m1259a7c5.gif





Если мы изобразим на листе бумаги каждую из предложенных фигурок, то во всех случаях часть плоскости (лист) разобьется на две части: внутреннюю область и внешнюю область, а сама линия, которой мы изображали фигурку, будет границей фигуры - границей между ее внутренней и внешней областями. Из внутренней области нельзя попасть во внешнюю и наоборот, не пересекая границы фигуры.

hello_html_284ae313.gif

А B

C D



Плоская фигура называется выпуклой, если отрезок прямой, соединяющий две любые точки внутренней области фигуры, полностью лежит во внутренней области.

Задание 1.

Привести примеры выпуклых плоских геометрических фигур. Изобразить их. Изобразить три фигуры, которые не являются выпуклыми. Для любой из фигур окрасить ее внутреннюю область желтым цветом и часть внешней области, прилегающей к фигуре, голубым цветом

Изображая фигуры, начиная с точки и прямой и кончая плоскими фигурами, а также, изображая на уроках рисования пространственные предметы, мы модем отметить важный момент:

Любая фигура (в том числе и геометрическая) представляет собой множество точек.

Введем понятия объединения и пересечения фигур.

Объединением фигур является фигура, состоящая из точек, принадлежащих хотя бы одной фигуре (рис. 1).

Пhello_html_m1c9ef1d3.gifhello_html_4c3a4cce.png
ересечением фигур называется фигура, состоящая из точек, принадлежащих одновременно всем этим фигурам (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Задание 2. Изобразить объединение и пересечение данных геометрических фигур.

hello_html_m1a252f82.gif







а) б) в)


Урок № 4.

Измерение отрезков.


В природе мера и вес суть главные орудия познания.

Наука начинается тогда, когда начинают измерять.

Д.И Менделеев

Каждому отрезку соответствует его длина. Длину отрезка также называют расстояние между двумя точками, являющимися концами. Длина отрезка является важным примером величин.

Задание. Вспомните, с какими еще величинами вам приходилось встречаться. (площадь, объем, вес, скорость, масса…)

Величины одного и того же рода можно сравнивать и складывать. Например:

90см, 350м + 650м = 1000м = 1км., 3000с1ч.

Умножение величин устроено более сложно. Иногда при умножении величин одного и того же рода получаются величины другого рода, так умножая длины сторон прямоугольника, мы получаем его площадь.

Величины можно умножать на числа, при этом получаются величины того же рода. В геометрии часто приходится заниматься измерением величин. Величины одного рода измеряются своими единицами. Длина отрезков, ломаных и кривых линий измеряется в сантиметрах, метрах, километрах, масса в граммах, килограммах, тоннах. Промежутки времени в часах, минутах, секундах.

Процесс нахождения длин отрезков называется измерением отрезков. Измерить отрезок - значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения.

Основное свойство измерения длин отрезков:

Каждый отрезок имеет определенную длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на который он разбивается любой его точкой.

Когда мы говорим, что два числа равны, то понимаем под этим, что они совпадают, т.е. это одно и тоже число. В геометрии и в окружающей нас действительности мы часто встречаем фигуры, имеющие одинаковые размеры и формы. Мы их называем одинаковыми или равными. Давайте попробуем сформулировать понятие равенства отрезков.

Отрезки равны, если равны их длины.

Существует подход к определению равенства фигур через наложение одной на другую:

Отрезки равны, если при наложении друг на друга они совпадают.

Оба эти определения имеют свои недостатки в практическом применении, но тем не менее они позволяют нам продолжить изучение свойств отрезков.

Итак, какими же свойствами обладает расстояние между двумя точками.

hello_html_1b8d2925.gifhello_html_41c1ba9a.gifhello_html_41c1ba9a.gifhello_html_41c1ba9a.gifА В С

а

  1. АВ = ВА

  2. Расстояние от точки до нее самой равно нулю.

  3. АС = АВ + ВС, если точка В лежит между точками А и С.

  4. Если три точки не лежат на одной прямой, то АСАВ + ВС:

hello_html_41c1ba9a.gifhello_html_m515b4e1f.gifhello_html_m4c6e628a.gifВ

hello_html_41c1ba9a.gifhello_html_41c1ba9a.gifhello_html_m3ac61597.gifА

С

В геометрии есть строгое ограничение для использования понятия "лежать между" - оно используется только для точек, лежащих на одной прямой. После того как мы ввели понятие расстояния между двумя точками, можно определить понятие "лежать между".

Точка А лежит между точками В и С, если выполняется равенство ВА + АС = ВС.

Рассмотрим треугольник АВС. Свойство (4) выполняется для любой его стороны. Можно записать: АВ ВС + СА, ВС АВ + АС. Поэтому свойство (4) называют неравенством треугольника.

Используя понятие "лежать между" можно точно определить понятие отрезка:

Отрезком АВ называется часть прямой линии, состоящая из точек А и В и всех точек, лежащих между ними.

Определим понятие середина отрезка:

Точка В называется серединой отрезка АС, если:

  1. Точка В лежит между точками А и С,

  2. АВ = ВС

С понятием расстояния между точками связано еще два важных понятия: расстояние от точки до фигуры и расстояние между двумя фигурами.

Зhello_html_m627631ce.gifhello_html_m335c02ef.gifhello_html_627f593b.gifhello_html_m7cc5751b.gifhello_html_m7cc5751b.gifhello_html_m7cc5751b.gifhello_html_m7cc5751b.gifадание. К

Если бы вам пришлось пробежать от точки

К до прямой а, какой бы путь вы выбрали?

А если бы вас попросили сбегать и принести

Dhello_html_508d3be4.gif воды из круглого бассейна, при условии,что

вы находитесь в точке Р, какой бы путь вы

N выбрали?

hello_html_m5a758523.gifhello_html_3440283b.gif

M Р

а

Вывод:

Рhello_html_25ecf770.gifhello_html_m14f03014.gifасстоянием от точки до фигуры называется расстояние от данной точки, до ближайшей к ней точки фигуры.


Ф1 Ф2


Пусть мы имеем две фигуры Ф1 и Ф2й Если среди расстояний между точками, одна из которых принадлежит фигуре Ф1, а другая фигуре Ф2 существует наименьшее, то его называют расстоянием между фигурами Ф1 и Ф2.

Задание.

  1. Изобразите две произвольные фигуры и начертите отрезок, длина которого, по вашему мнению, будет расстоянием между этими двумя фигурами.

  2. Изобразить расстояние между двумя горизонтальными линиями

а

hello_html_m1426ff02.gifhello_html_m1426ff02.gifв


Уроки № 5, 6.

Параллельные и перпендикулярные прямые.


"Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в таком геометрическом мире. Все вокруг -

геометрия".

Ле Корбюзье.

Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения используют в строительстве, технике, искусстве.

Если мы изобразим на листе бумаги горизонтальную и пересекающую ее вертикальную прямые, то полученные прямые и будут перпендикулярными. Как бы мы потом не поворачивали нашу картинку, взаимное расположение этих двух прямых не изменится.

hello_html_4874714f.gifhello_html_e304a9e.gifhello_html_m40658c24.gif

hello_html_m775625d5.gifhello_html_5ea530b4.gifhello_html_m5284f954.gif

hello_html_m23755581.gifhello_html_m77855f1c.gif

hello_html_m3808ecc5.gif



а) б)……………………..в)

Практически перпендикулярные прямые можно легко получить дважды сгибая пополам листок бумаги. Перпендикулярные прямые обладают многими интересными свойствами.

  • Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее.

hello_html_m551ed0fe.gifn

hello_html_645bd742.gif

А

hello_html_m623c978.gif

m

  • Если точку взять на самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых, прпендикулярных данной.

  • Дhello_html_m63d9df92.gifве прямые, перпендикулярные на плоскости третьей прямой не могут пересечься друг с другом. a

b

c


Дhello_html_77d0fd73.gifhello_html_m2a7690f7.gifве прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности и перпендикулярности служат специальные знаки: bc, ahello_html_m1478b121.gifb, ahello_html_m1478b121.gifc.

Используя линейку и чертежный треугольник можно без труда вычерчивать параллельные и перпендикулярные прямые:

hello_html_67400bd9.gif

Передвигая чертежный треугольник

так, чтобы одна его сторона скользила

по линейке, мы получим множество

параллельных прямых, каждая их ко-

торых будет перпендикулярна прямой,

проведенной по линейке.


Отрезки, лежащие на параллельных прямых будут

параллельны, а лежащие на перпендикулярных

прямых - перпендикулярны.


Нhello_html_m3c8c71d.gifhello_html_m3c8c71d.gifhello_html_m6d0cb589.gifhello_html_77d0fd73.gifhello_html_m333e9a93.gifhello_html_m77cbc2fe.gifhello_html_32f8ad77.gifа пространственных геометрических фигурах и на ваших рисунках тоже можно найти параллельные и перпендикулярные прямые.

hello_html_m4bf19604.gif

hello_html_51ab3e84.gif

hello_html_476e7a91.gif

  • hello_html_m46c2cdfd.gifhello_html_19ba1b4e.gif

Задания:

  1. Давайте немного поиграем. Итак, класс разделим на две команды - девочек и мальчиков. Участники команд по очереди приводят примеры параллельных или перпендикулярных прямых, встречающихся в окружающем нас мире. Побеждает та команда, чей пример был последним B C

hello_html_m110c8634.gifА D

  1. Перед вами рисунок коробочки для спичек.

cможете ли вы, глядя на рисунок выписать

пары сначала параллельных, а потом перпен- В1 С1

дикулярных прямых А1 D1

  1. Пользуясь линейкой и чертежным треугольником, найдите на предложенном рисунке пары параллельных и перпендикулярных прямых и выпишите их.

hello_html_m2468b364.gifa b c d

n

m


h


k p


  1. Попробуйте получить перпендикулярные и параллельные прямые, сгибая лист бумаги. Получите эти линии, проведите по ним карандашом, обозначьте их и выпишите пять пар параллельных и пять пар перпендикулярных прямых. Листочки подпишите и сдайте.

Урок № 7.

Практическая работа № 1

Вариант А.

1. Среди изображенных прямых найти и выписать

а) параллельные прямые б)перпендикулярные прямые

2. Точка С лежит между точками А и В на прямой m.

Найти ВС, если АС = 3см, АВ = 4см 6мм

  1. Нhello_html_454e6c43.gifайти расстояние от точки А до прямой а.

hello_html_13e3db10.gifа А

  1. АМ = МС, СN = NB, MN = 4см. Найти АВ.

hello_html_m4ae3ebd8.gif

А М С N В

Вариант В

1. Дана прямая АВ. Построить прямую СК  АВ, прямую DN АВ.

  1. Точка С лежит между точками А и В. ВС на 2 см больше, чем АС. Найти АС и ВС, если АВ = 12см.

  2. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

  3. АМ = МС, CN = NB. АВ = 14см. Найти MN.

hello_html_m4ae3ebd8.gifhello_html_211b384b.gif

А М С N В

Вариант С m

  1. Через точку С провести прямую аm, и прямую bn C

n

  1. АВ = 3см 7мм, ВС = 2см 3мм. Найти АВ, если точки А, В и С лежат на одной прямой.

  2. Нhello_html_2a8250fd.gifайти расстояние от прямой а до центра квадрата.

4hello_html_47a119c7.gif.. АN = 3см, ВС = 5см, NК = 4см. Найти AD, если a

AM = MB, BN = NC, CK = KD.

hello_html_4eb88bd3.gifhello_html_39738a77.gifhello_html_39738a77.gifhello_html_39738a77.gifhello_html_39738a77.gifhello_html_39738a77.gifhello_html_39738a77.gifhello_html_39738a77.gif

A M B N C K D

Урок № 8, 9

Понятие перпендикулярных и параллельных

плоскостей. Куб.


Подобные представления об этих вещах весьма полезны,

поскольку никто не является для нас более наглядным, чем

фигура, ибо ее можно осязать и видеть.

Рене Декарт

Кhello_html_m3495cd65.gifhello_html_77d0fd73.gifуб является представителем большого сомейства геометрических фигур, которые называются многранниками. Поверхность куба состоит из граней, каждая из которых является квадратом. Всего граней шесть. Две соседних грани имеют общую сторону, которая называется ребром. Ребер у куба двенадцать. Прежде, чем начать изучать некоторые свойства куба, давайте научимся правильно изображать его в тетради, используя свойства клетчатой бумаги. Точки, в которых сходятся три ребра куба, называются вершинами куба. Всего вершин восемь.

hello_html_1fe272f1.gifВ С Видимые ребра изображаются сплошными прямыми

линиями, невидимые - пунктирными.

Нетрудно заметить, проведя необходимые измере-

А D ния, что все ребра куба равны.

Сhello_html_28adc6c4.gif Поставим куб на поверхность стола. Сможет ли жу-

  • чок, ползающий по верхней горизонтальной грани

A1 D1 (плоскости) встретиться с жучком, ползающим по

нижней горизонтальной грани (плоскости), если жучки не могут переползать через ребра и вершины куба?

Итак мы установили что две горизонтальные плоскости не пересекаются, и именно поэтому наши жучки встретиться не могут. По аналогии с прямыми линиями непересекающиеся плоскости называются параллельными.

Задания: а) привести примеры параллельных плоскостей

hello_html_336f52e8.gifhello_html_34283bcd.gifб) можно ли по аналогии с прямыми сказать, что горизонтальная и вертикальная плоскости будут перпендикулярны? А как бы вы с помощью чертежного треугольника проверили свое предположение?

в) сколько пар перпендикулярных граней вы можете найти на модели куба? Сколько пар параллельных граней вы при этом насчитаете?

г) изменится ли взаимное расположение граней от положения кубика в пространстве?

hello_html_4ece95ab.gifд) приведите пример перпендикулярных плоскостей в пространстве.

m е) на круглой горизонтальной площадке вбит

A шест m. В точке A к нему привязаны три

веревочки и натянуты к колышкам D, В и С.

Определите взаимное расположение прямых

ОА и СО, ОD и ОА, ОВ и ОА. А какими будут

hello_html_m78f494f2.gifhello_html_m5dee6654.gifплоскости треугольников АОС, АОВ, АОD по

O B отношению к плоскостиhello_html_m5dee6654.gif?

C D ж) если АО и АС - два шеста, представляется ли возможным отклонить от вертикали шест АО? Следует ли отсюда вывод: если прямая АО перпендикулярна двум прямым ОС и ОВ, лежащим в плоскости hello_html_m5dee6654.gif, то она перпендикулярна любой другой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку О, т.е. самой плоскости hello_html_m5dee6654.gif?

з) как расположены по отношению друг к другу стены, пол и потолок класса?

и) сколько плоскостей можно провести:

  • через одну прямую?

  • через две пересекающиеся или параллельные прямые?

  • через три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости?

  • через прямую и точку, не лежащую на ней?

и) сколько плоскостей, параллельных (перпендикулярных) данной можно провести:

  • через прямую, не лежащую в данной плоскости?

  • через точку, не лежащую в данной плоскости?

кhello_html_mcdffbb6.gif) m mn. Следует ли отсюда, что

прямая m параллельна плоскости

hello_html_m805b930.gifn hello_html_m4035d1eb.gif hello_html_m4035d1eb.gif? Дополните условие так,чтобы

все таки они были параллельны

k

Следует ли отсюда вывод: прямая параллельна плоскости, если она

параллельна двум прямым, лежащим в этой плоскости.

л) найдите на модели куба ребра, перпендикулярные горизонтальным и вертикальным плоскостям.

л) имеется куб со стороной 3 см. Сколько нужно сделать распилов, чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см?

м) в наиболее удаленных друг от друга вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путем добрался хитрый паук до мухи? Поясните его действия.

Рhello_html_7df093cf.gifассмотрим несколько загадочных фигур. В зависимости от окраски горизонтальных и вертикальных плоскостей меняется их восприятие. Сколько различных изображений вы найдете на каждой из них











Урок № 10, 11

Развертка куба. Квадрат и его свойства.

(Урок практического познания)


Правильных выпуклых многогранников

вызывающе мало.

Льюис Кэрролл

Мы уже знакомы с замечательным выпуклым многогранником - кубом, а также знаем, что каждая из его шести граней представляет собой квадрат. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера, которая гласит: если В - число вершин, Г- число граней, а Р -число ребер, то справедливо соотношение В + Г - Р = 2

Задание 1. Убедиться в правильности соотношения на примере куба.

Изобразим на клетчатой бумаге следующую фигуру и вырежем ее (сторона каждого квадратика 4 см). Вырезанная фигура называется разверткой куба.

hello_html_m2cc6175e.gif






Задание:2. Подумайте, почему мы так назвали эту фигуру. Придумайте еще несколько разверток куба и начертите их в тетради (сторона квадратика - 1 клеточка)


Зhello_html_598741b9.gifадание 3. Определите, какая из предложенных фигур является разверткой куба. Почему?






Задание 4. Склейте вырезанную развертку так, чтобы получился куб. Как вы думаете, получился бы у вас куб, если бы квадраты на его развертке были бы разной величины? Сделайте вывод о величине граней куба.

Найдите на любой грани куба две самые удаленные друг от друга точки. Они будут расположены в вершинах куба А и С (противоположных вершинах квадрата

hello_html_77d0fd73.gifhello_html_2d08418a.gifА. Отрезок АС называется диагональю квадрата (диагональю

грани куба). А теперь найдите две самые удаленные точки

В куба. Они будут расположены в противоположных

С вершинах куба А и В. Отрезок АВ называется диагональю куба.

Тhello_html_1e7b49bf.gifеперь приступим к изучению самого квадрата. Из бумаги вырежьте квадрат со стороной 5 см и обозначьте его вершины.

Зhello_html_4a16a938.gifадание 5. Сложите квадрат по указанным пунктирным линиям (дважды пополам - получатся 4 одинаковых маленьких квадратика, а затем по диагонали маленького квадратика - получатся 8 одинаковых треугольников). Объясните как вы определили одинаковы ли маленькие квадратики и маленькие треугольники.

А В

О


C D

Задание 6. Какой вывод вы можете сделать о диагоналях квадрата?

Диагонали квадрата равны.

Задание 7. Одинаковы ли расстояния от точки О до вершин квадрата?

Задание 8. Одинаковы ли расстояния от точки О до сторон квадрата? Почему вы выбрали именно эти отрезки? Какими по отношению друг к другу являются отрезки АD и ВС? Сделайте выводы из своих последних наблюдений.

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Диагонали квадрата перпендикулярны.

Выполняя задания урока вы не могли не заметить очень важное для вас понятие. Мы называли равными (одинаковыми) фигуры, которые совпадали при наложении (отрезки, треугольники, квадраты). Поэтому нелишне будет заметить что

Диагональ (диагонали) квадрата делят его на 2 (4) равных треугольника.

Задание 9. Какое бы "имя" вы дали точке О и почему?

В дальнейшем мы еще вернемся к этой замечательной точке, а также к линиям, по которым мы сгибали квадрат в теме "Симметрия"


Урок № 12.

"Квадратическая сказка": танграм.


В голове у Архимеде было гораздо

больше воображения, чем в голове у Гомера.

Вольтер

Оhello_html_5cb24c16.gifтец, у которого было четыре сына имел квадратное

поле. Четверть поля он оставил себе. Остальную часть обе-

щал отдать сыновьям, если те сумеют разделить поле между

собой на равные по площади и форме части.

Как сыновьям выполнить условие отца?

Занимательных задач на разрезание квадрата множество. Если разрезать квадрат, как показано на рисунке, то получится популярная китайская головоломка ТАНГРАМ, которую в Китае называют "чи тао ту", то есть умственная головоломка из семи частей.

hello_html_m3a3f577c.gif









Задания:


  1. В танграме среди его семи кусочков имеются треугольники трех разных размеров. Но можно ли сложить еще один треугольник, используя только 2 кусочка, только три кусочка, пять кусочков, шесть кусочков, все семь кусочков?,

из трех кусочков?


2. Используя все семь кусочков танграма, сложите картинки, приведенные на рисунке, а дома постарайтесь придумать свои собственные.



  1. hello_html_m4c71fedb.png

Урок № 13.

"Площади и объемы. Равные, равновеликие и равносоставленные фигуры"


Измерь самого себя - и ты станешь настоящим

геометром.

Марсилио Сичино

При изучении свойств квадрата мы установили важное понятие равенства фигур: две фигуры равны, если они при наложении совпадают. Таким способом сравнения удобно пользоваться в том случае, если нет возможности сравнивать размеры фигуры.

Задание 1. Как сравнить два отрезка, изображенных в вашей тетради или на доске (рис.1), пользуясь линейкой? А как бы вы сравнили две окружности? Можно ли таким же образом сравнить две произвольные фигуры (рис 2.)? Предложите практический способ их сравнения.

hello_html_6fabf46d.gif

В


А С D

Рис 1 Рис.2

Задание 2.Закончите утверждение:

  • все отрезки одинаковой длины - …………..

  • если длины двух или нескольких отрезков одинаковы, то ………………..

Задание 3. Придумайте способы для сравнения по величине двух кубов (что удобнее: сравнить размеры ребер кубов, или сравнить путем наложения их разверток?). Дайте определение равных кубов.

Давайте сделаем некоторые выводы:

  • каждая плоская фигура или пространственное тело имеют форму и размеры.

  • равные фигуры - это фигуры одинаковые по форме и размерам.

Задание 4. Среди предложенных фигур найти пары равных.

hello_html_m4f119e01.gif



А) В) С) D)

Рис 3.

hello_html_m4e9c21ce.gif



А) В) С) D) Е)

hello_html_775b1204.gifРис 4.





А) В) С) D) Е)

Рассмотрим две предложенные фигуры:



hello_html_24815fb4.gif




Рис 5

Их можно разрезать на одинаковые части, или говорят, можно составить из одинаковых частей. Такие две фигуры имеют одинаковую площадь, то есть вам потребуется одинаковое количество бумаги, чтобы изготовить их части. Такие фигуры называются равносоставленными. Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Задание 5. а) как вы понимаете фразу: "нарисуйте площадь фигуры"?

б) проверьте справедливость следующих утверждений:

  • равные фигуры имеют одинаковую площадь.

  • фигуры, имеющие одинаковую площадь, равны.

  • равносоставленные фигуры являются равновеликими.

  • равновеликие фигуры равны.

  • равносоставленные фигуры равны.

  • равновеликие фигуры являются равносоставленными.

  • равные фигуры являются равносоставленными.

Последнее утверждение иллюстрируйте примером.

Тhello_html_m2a7690f7.gifеперь мы постараемся перенести наши знания на пространственные тела. Равные пространственные тела имеют одинаковый объем (приведите пример). Пространственные тела, составленные из одинаковых частей, имеют одинаковый объем. Но обратное утверждение неверно.


hello_html_m4c31744c.gif

1л 1л

1л 1л 1л 1л 4л

1л 1л

Задание 6.

а). во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза, в 3 раза?

б). во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в 2 раза, в 3 раза?

в). проверьте справедливость следующих утверждений:

  • равные (одинаковые) пространственные тела имеют одинаковый объем

  • пространственные тела, имеющие одинаковый объем - одинаковы (равны)



Уроки № 14, 15.

"Единицы площадей и объемов. Метрические соотношения"


Чтобы видеть невидимое надо внимательно

смотреть на видимое.

Древнее высказывание

Любые измерения проводятся в каких либо единицах: длина - в единицах длины (метр, сантиметр, дециметр, километр), вес - в единицах веса (тонна, грамм, килограмм, центнер), время - в единицах времени (час, минута, секунда) и т.д. За всю историю человечество придумало огромное количество всевозможных единиц, причем каждый народ имел свои. Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в "попугаях" и неплохо справились со своей задачей

Вhello_html_42865710.gifы много раз слышали такие выражения: площадь поля 35 га, мама купила 3 л молока. Что же можно взять в качестве единицы площади или объема? Очевидно, надо исходить из уже имеющихся единиц длины. Далеко не сразу человек додумался до "квадратных" и "кубических" единиц. Что же это такое? Возьмем квадрат со стороной 1см. Его площадь равна 1 кв. см., а объем кубика с ребром 1см будет 1 куб. см. Площадь квадрата со стороной 1дм будет равна 1кв.дм, а объем куба с ребром 1дм будет равен 1 куб. дм. Давайте установим зависимость между этими величинами.

hello_html_m23d6e902.gif

hello_html_m6356676.gifhello_html_m1152773b.gif1дм

1см hello_html_m5f1fe400.gifhello_html_m7b315aa3.gif

1дм. = 10см

hello_html_m6745846c.gif. = hello_html_m6fe8676e.gif

hello_html_461ccca6.gif= hello_html_m3d946e32.gif. hello_html_461ccca6.gif

hello_html_461ccca6.gif= 1л, то есть если мы возьмем литро-

вую банку воды, то этой водой

как раз можно будет заполнить

наш кубик.

Аналогично получаются и остальные метрические соотношения линейных, "квадратных" (для площадей) и "кубических" (для объемов) единиц измерений

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 см = 10мм

1дм = 10см = 100мм

1м = 10дм = 100см = 1000мм

1км = 1000м = 10000дм = 100000см = 1000000мм

------------------------------------------------------------------------------------------------------

hello_html_3cd093b1.gif hello_html_m37a03cd1.gif

hello_html_684afc05.gif=hello_html_m6745846c.gif hello_html_m420e49ca.gif

hello_html_m7f5d6da3.gif

hello_html_49384ecc.gif

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

hello_html_m22ba6d06.gif

hello_html_3201ab6b.gif hello_html_m5a210ded.gif

hello_html_m54964a57.gif

hello_html_m6b100dbb.gifмhello_html_m1720d425.gif

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задание (с проведением подробного разбора):

Выполнить перевод в требуемые метрические единицы:

125 см = ……м……см 300смhello_html_37518272.gif=…ммhello_html_37518272.gif, 12мhello_html_37518272.gif=….смhello_html_37518272.gif

3км200м = …………м, 5м2см = …………..мм, 520000мhello_html_37518272.gif= дмhello_html_37518272.gif

1752мм =…м….дм….см…мм 162500смhello_html_37518272.gif=….мhello_html_37518272.gif…..дмhello_html_37518272.gif

32000ммhello_html_m1720d425.gif=…..смhello_html_m1720d425.gif, 173дмhello_html_m1720d425.gif=…….л, 276000дмhello_html_m1720d425.gif=……мhello_html_m1720d425.gif=……смhello_html_m1720d425.gif

256га = …….а 8кмhello_html_37518272.gif=………га


Урок № 16.

"Палетка. Площадь произвольной фигуры"

(урок - лабораторная работа)


"Не знающие геометрии - не допускаются !"

Девиз Афинской Академии.


Нетрудно найти площадь фигуры, составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров, или и тех и других. А как быть если фигура произвольна?

Возьмем лист клетчатой бумаги и нарисуем на нем произвольную фигуру.

Условимся считать, что каждая клеточка равна hello_html_m7092b5f9.gif. Посчитаем число целых


hello_html_1928cec4.gifклеточек, лежащих внутри фигуры и

обозначим их число буквой N:

N = 38

После этого посчитаем число "полови-

нок" клеток, которые принадлежат на-

шей фигуре и расположены на ее грани-

це. Из количество обозначим буквой M:

M = 26

Тогда площадь нашей фигуры (конечно,

не абсолютно точно) можно определить

по формуле S = N + M : 2,

то есть S = 38 + 26 : 2 = 51 (hello_html_2b68ac6d.gif)

Можно поступить и по-другому. Мы уже посчитали, что внутри фигуры находится 38 клеток. А чтобы покрыть всю фигуру потребуется 64 клетки. Таким образом, площадь фигуры больше 38hello_html_2b68ac6d.gif, но меньше 64hello_html_2b68ac6d.gifСамым логичным будет принять за площадь в данном случае полусумму этих двух величин : S = (64 + 38) : 2 = 51(hello_html_2b68ac6d.gif)

Если взять листок прозрачной бумаги (кальки) или пластика и нанести на нем сетку с размером ячейки 1 х 1 см, то получим простой инструмент для измерения площадей произвольных фигур - палетку.

А как поступить, если нужно измерить площадь произвольной фигуры точнее? Для этого пришлось бы дробить каждую квадратную единицу. Естественно, если бы на палетке была нанесена сетка с размером ячейки 1х1мм, то и площадь мы бы вычислили с более высокой точностью.

Дhello_html_m7d7f3f5c.gifавайте убедимся в целесообразности пользования палеткой. Возьмем произвольный треугольник АВС так чтобы одна из его сторон располагалась горизонтально, а другая - вертикально.

Найдем его площадь с помощью палетки. А

N = 15, M = 10, S = 15 + 10:2=20(cмhello_html_37518272.gif).

Подумайте, как можно найти площадь

Этого же треугольника, не применяя

палетку, а пользуясь только расчетами.

(Два таких треугольника могут быть

покрыты с помощью 40 клеток палетки,

следовательно, площадь нашего В С

треугольника равна S = 40:2=20(cмhello_html_37518272.gif)

Задание:Положите на чистый листок клетчатой бумаги свою ладонь и аккуратно обведите ее простым карандашом. Учитывая, что квадратик из четырех клеточек в тетради равен 1смhello_html_37518272.gif, расчертите листик клеточками поверх изображения ладони. Найдите площадь ладони. У кого ладонь самая большая?

Примечание.

Не всегда число клеточек лежащих на границе делится на 2, оно может быть и нечетным. Аналогично, не всегда сумма целых клеточек внутри фигуры и клеточек, полностью покрывающих фигуру, тоже может быть нечетной. В этом случае нечетное число можно увеличить (уменьшить) на 1 и сделать его четным. Большого влияния на точность ваших расчетов это не окажет, так как мы при этом можем допустить ошибку только на половину 1смhello_html_37518272.gif


Урок № 17.

"Площадь прямоугольника, квадрата"


Ни тридцать лет, ни тридцать столетий

не оказывают никакого влияния на ясность и красоту

геометрических истин.

Льюис Кэролл


При решении задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы, позволяющие выразить искомые величины, через другие, известные или легко находимые. Простейшие из них - формулы для вычисления площадей прямоугольника и квадрата.

Задание: опишите прямоугольник, используя понятия параллельных и перпендикулярных прямых. Попробуйте сформулировать определение прямоугольника, опираясь на эти понятия.

hello_html_7c3ee30b.gifЕсли а и в - длины сторон прямоугольника (в

в каких либо единицах), то его площадь S = а х в

квадратных единиц.

В этом легко убедиться, изобразив произвольный

а прямоугольник

Но ведь может так случиться, что стороны прямоугольника будут равны, то есть прямоугольник превратится в известный уже нам квадрат.

Задание: Определите квадрат, пользуясь понятием "прямоугольник".

Тhello_html_c39cf9d.gifаким образом, задача отыскания площади квадрата свелась к нахожде-нию площади прямоугольника. S = а х а квадратных единиц.

В этом случае условились записывать : а hello_html_m69d246e0.gif

Задания:

1.Изобразите на клетчатой бумаге прямоугольник или квадрат,

или, если возможно обе эти фигуры, имеющие площадь 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20, 25, 26 клеток. Объясните свои действия

2. Изобразите прямоугольник со сторонами 2 и 4 см. Как изменится его площадь, если стороны увеличить в два раза? Убедитесь в правильности своих выводов как с помощью формул, так и с помощью наглядного изображения.

  1. Давайте попробуем определить площадь квадрата АВСD. Как это сделать, разрезая предложенный квадрат на части? А как это сделать, используя только формулы?

hello_html_m62a0bbb0.gifhello_html_6a13e3fb.gifВ



А С



D

  1. Показать, что треугольник и прямоугольник на предложенном рисунке имеют одинаковую площадь.

  2. Найти площадь прямоугольника со сторонами

а) 5см и 6см, б) 2см 3мм и 20мм, в)100мм и 2дм, г) 200см и 1м д) 10см и 1м 2дм

  1. Каков размер стороны квадрата, если его площадь равна

а) 1мhello_html_37518272.gif, б) 25смhello_html_37518272.gif, в) 100дмhello_html_37518272.gif, г) 9мм


Урок № 18.

"Прямоугольный параллелепипед. Развертка."

(Урок практического познания)


Со времен древнегреческих философов

выпуклые многогранники считались не более чем

игрушкой для математиков.

Джон Кэндрью

Каждый из вас не раз держал в руках коробочку спичек или предмет подобной формы. Каждая из граней этой геометрической фигуры - уже извест-

hello_html_m7575667c.gifhello_html_436f83.gifный вам прямоугольник. Исследуя фигуру, вы без труда

hello_html_37e23734.gifhello_html_m3ce4d15d.gifhello_html_1d4a0b43.gifможете установить, что ее поверхность состоит из трех

пар (одинаковых) равных прямоугольников, причем плос-

кости, содержащие эти равные прямоугшольники не

B C пересекаются, то есть параллельны. Такая геометрическая

A D фигура называется прямоугольным параллелепипедом.

У него так же как и у куба, двенадцать ребер и восемь вершин. Для удобства вершины нижней грани обозначают начальными буквами латинского алфавита, а, находящиеся над ними вершины верхней грани теми же буквами, но с использованием индексов. "Прочитать" такой рисунок можно так: прямоугольный параллелепипед АDhello_html_28adc6c4.gif. Прямоугольники АВСD и Аhello_html_28adc6c4.gifВhello_html_28adc6c4.gifСhello_html_28adc6c4.gifDhello_html_28adc6c4.gif называются основаниями прямоугольного параллелепипеда, а остальные четыре прямоугольника образуют боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда.

Задания

1. Изобразить в тетради, используя свойства клетчатой бумаги произвольный прямоугольный параллелепипед и выписать группы равных.

2. Как вы считаете, сколько измерений нужно сделать в отличие от куба, чтобы полностью описать размеры прямоугольного параллелепипеда?

3. Сделайте необходимые измерения для спичечного коробка и запишите полученные результаты, используя следующие обозначения: длина а мм, ширина в мм, высота с мм.

Сhello_html_203d241b.gifейчас мы изобразим развертку прямоугольного параллелепипеда, вырежем ее из бумаги и сделаем модель этой геометрической фигуры. ) 4см

Пусть a = 5см, b = 3см, с = 4см

Сумма длин сторон основания А hello_html_28adc6c4.gif Вhello_html_28adc6c4.gif Сhello_html_28adc6c4.gif Dhello_html_28adc6c4.gif Ahello_html_28adc6c4.gif

прямоугольного параллелепипе-

да образует периметр прямоугольника - А 5см В 3см С 5см D 3см

АВСD (периметр основания прямоугольного параллелепипеда)

Вырежем нашу развертку, согнем ее по сплошным линиям и склеим.

Задания:

  1. Определить и сравнить площади оснований полученного прямоугольного параллелепипеда.

  2. Придумать и изобразить другие развертки для этого же самого прямоугольного параллелепипеда.

  3. В чем основное отличие прямоугольного параллелепипеда от куба? В чем их сходство?

  4. Приведите примеры пространственных тел, окружающих вас и имеющих форму прямоугольного параллелепипеда.

  5. Опишите прямоугольный параллелепипед с помощью понятий параллельных и перпендикулярных плоскостей, применяя их к соседним и противолежащим граням.

  6. Как вы думаете, можно ли куб с ребром 6 см поместить внутрь прямоугольного параллелепипеда размером 6 х 4 х 7см? Почему?


Как вы думаете, можно ли такую фигуру как прямоугольный параллелепипед собрать из кубиков? Каких размеров кубики вы бы выбрали, чтобы сложить такой же прямоугольный параллелепипед, как на вашей модели? Какой вывод напрашивается?


Урок № 19.

"Объем прямоугольного параллелепипеда".


Так же, как самое большое здание складывается из

маленьких кирпичиков, так и сложные геометрические

фигуры составляются из простейших геометрических

фигур.

Рене Декарт.

Мhello_html_m2a7690f7.gifы уже знакомы с метрическими единицами, которые применяют для измерения объема: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр. Например, кубический сантиметр - это объем кубика с ребром 1 см. Если же изготовить из картона кубик с ребром 1дм, то в него поместится ровно 1 л воды.

Иhello_html_m2a7690f7.gifз кубиков можно сложить многие геометрические фигуры, в том числе и прямоугольный параллелепипед, если длины его сторон выражаются целыми числами.

Пhello_html_m28ff6989.gifредложенный прямоугольный

параллелепипед, длиной 4см, шириной 3см

и высотой 2 см можно собрать из 24 2см

одинаковых кубиков, объем каждого из

которых равен 1 смhello_html_m1720d425.gif.

Следовательно, объем данного прямоугольного параллелепипеда равен 24 смhello_html_m1720d425.gif.

Однако этот же результат можно получить не складывая данный прямоугольный параллелепипед из кубиков, а просто воспользовавшись формулой для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:

V = abc, где a, b и c - соответственно длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда: V = 4*3*2 = 24 (смhello_html_m1720d425.gif)

Таким образом мы имеем правило (алгоритм) для вычисления: чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Задание1. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда 24смhello_html_37518272.gif. Определить высоту этого прямоугольного параллелепипеда, если его объем равен 96смhello_html_m1720d425.gif.

Задание 2. Объем нашего класса равен 600мhello_html_m1720d425.gif.Высота класса 5м, его длина 12 м. Найти ширину класса.

Задание 3.Сколько рыбок смогут жить в аквариуме длиной 65см, шириной 40см и высотой 50см, если каждой рыбке для нормального существования необходим 1л воды?

Задание 4. Деревянный брус, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 4 м, шириной 30см и высотой 2дм распилили по длине на две части, отрезав часть длиной 1м5дм. Вычислить объемы полученных частей. Равен ли объем исходного бруса сумме объемов его частей? Сделайте вывод. Можно ли утверждать, что объем любой геометрической фигуры равен сумме объемов ее частей?

Задание 5. Выразите:

а) в куб.см: 5дмhello_html_m1720d425.gif 635смhello_html_m1720d425.gif, 2дмhello_html_m1720d425.gif 8смhello_html_m1720d425.gif б) в куб.дм: 6мhello_html_m1720d425.gif 580дмhello_html_m1720d425.gifhello_html_m1720d425.gif 15дмhello_html_m1720d425.gif

в) в кубических метрах и дециметрах 3270дмhello_html_m1720d425.gif, 12540000смhello_html_m1720d425.gif

Самостоятельная работа.

Вар."3" № 818 № 822б № 817 ,

Вар."4" № 821 № 822в № 817

,Вар."5" № 819 № 822г № 817


Урок № 20.

"Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда".


Хотя изучение пространственных тел является мало

распространенной и пренебрегаемой ветвью геометрии, но весьма

важное и значительное продвижение вперед в этой науке будет сде-

лано тем, чей гений сумеет одинаково хорошо проникнуть в ее тео-

ретические и практические аспекты.

Абрахам Шарп

Дhello_html_m6e12da64.gifавайте вернемся к изготовленной нами развертке прямоугольного параллелепипеда с размерами 5см х 3см х 4см Вhello_html_28adc6c4.gif 5 Аhello_html_28adc6c4.gif

Развертка состоит из трех пар одинаковых 3 3

прямоугольников: Аhello_html_28adc6c4.gif 5 Вhello_html_28adc6c4.gif 3 Сhello_html_28adc6c4.gif 5 Dhello_html_28adc6c4.gif 3 Аhello_html_28adc6c4.gif

ААhello_html_28adc6c4.gifВhello_html_28adc6c4.gifВ и ССhello_html_28adc6c4.gifDhello_html_4c0d4140.gifD, 4 4 4 4 4

ВВhello_html_28adc6c4.gifСhello_html_28adc6c4.gifС и DDhello_html_28adc6c4.gifAhello_html_28adc6c4.gifA,

СВАD и Сhello_html_28adc6c4.gifВhello_html_28adc6c4.gifАhello_html_28adc6c4.gifDhello_html_28adc6c4.gif А 5 В 3 С 5 D 3 А

площади которых соответственно равны: 20смhello_html_37518272.gif, 12смhello_html_37518272.gif и 15смhello_html_37518272.gif

Следовательно, чтобы изготовить наш прямоугольный параллелепипед потребуется 2*20 + 2*12 + 2* 15 = 40 + 24 + 30 = 94(смhello_html_37518272.gif) бумаги. Этот же результат мы могли получить, выполняя вычисления немного по-другому:

(20 + 12 + 15)*2 = 47*2 = 94(смhello_html_44c43880.gif)

Полученный результат является площадью повернхности прямоугольного параллелепипеда

.hello_html_6d1b3c0f.gif

с Имея опыт практического ее определение, будет

нетрудно вывести формулу площади поверхности

S = 2(ab + bc + ac), где а, b и c -

hello_html_356986c0.gifа b соответственно длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Задание 1.

hello_html_m58dd9e82.gif


8см


3см

10см 3см 7см


Прямоугольный параллелепипед разрезали на 2 части

а) найти объемы исходного прямоугольного параллелепипеда и его частей, сумму объемов его частей, сделать вывод.

б) найти площади поверхностей исходного прямоугольоного параллелепипеда, его частей, сумму объемов его частей, сделать вывод и объяснить результат.

Задание 2. Здание, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, построено из кирпича. Длина дома 12м, ширина 5м и высота 4м.В доме имеется дверь шириной 1м и высотой 2м и5 окон шириной 1 м20см и высотой 1м 50смкаждое, которые расположены на фасаде и боковой стороне дома. Определить объем здания (без крыши)

и площадь боковой поверхности дома.

Задание 3. Выразить: в смhello_html_37518272.gif: 71дмhello_html_37518272.gif2смhello_html_37518272.gif, 6мhello_html_37518272.gif75дмhello_html_37518272.gif, 345дмhello_html_37518272.gif,

В дмhello_html_m1720d425.gif: 23м,hello_html_m1720d425.gif 172000смhello_html_m1720d425.gif, 3мhello_html_m31fbd8d5.gif2дмhello_html_m1720d425.gif


Урок № 21.

"Объем и площадь поверхности куба".


Со времен древнегреческих философов

правильные многогранники считалисьне более, чем

игрушкой для математиков, не имеющей никакого

практического применения. Весьма замечательно,

что именно эти фигуры оказались в центре внима-

ния представителей естественных наук сегодня.

Джон Кендрью, биолог


Пhello_html_62942240.gifредставим себе прямоугольный параллелепипед, у которого длина, ширина и высота одинаковы. Такая геометрическая фигура называется кубом.

Так как куб - это только частный случай прямоугольного параллелепипеда,

он, естественно, сохраняет все его свойства: у куба 6 граней, 12 ребер,

8 вершин. Но если у прямоугольного параллелепипеда грани были

равны попарно (противоположные грани), то у куба все грани одинаковы, а, следовательно, равны все ребра. Таким образом, куб имеет свои собственные свойства.

Фhello_html_m3373b10.gifормулы для вычисления объема куба и площади его поверхности значительно упрощаются. Пусть каждое из ребер куба будет равно а. Тогда соответствующие формулы примут вид:

V = аbс = а*а*а = аhello_html_m1720d425.gifV = аhello_html_m1720d425.gif

S = 2(ab + bc + ac) = 2(а*а + a*a + a*a) = 2*3ahello_html_37518272.gif= 6ahello_html_37518272.gif S =6ahello_html_37518272.gif

Задание 1.

Согласны ли вы с утверждением: любой куб является прямоугольным параллелепипедом. Верно ли обратное утверждение? Какое условие должно выполняться ,чтобы оно стало верным. Сформулируйте определение куба.

Задание 2.

Согласны ли вы с утверждениями: а) каждая грань куба квадрат,

б) если две грани прямоугольного параллелепипеда - квадраты, то он является кубом. Иллюстрируйте ответ рисунком.

hello_html_754b7508.gif

hello_html_m238a5259.gif


Задание 3. Найти объем куба, если его ребро равно 4см 3мм.

Задание 4. Найти ребро куба, если его объем равен 8смhello_html_m1720d425.gif, 27смhello_html_m1720d425.gif, 1000мhello_html_m1720d425.gif.

Задание 5. Найти площадь поверхности куба, ребро которого равно 4см.hello_html_m53d4ecad.gif

Задание 6. Площадь поверхности куба равна 150дмhello_html_37518272.gif. Найти ребро куба и его объем.

Зhello_html_m292d25fe.gifадание 7. Изобразите развертку куба с ребром 2см.

Сколько различных разверток вы сможете при-

думать? Проверьте правильность формулы для

вычисления площади поверхности куба, найдя

площадь развертки, как сумму площадей 6-ти

одинаковых квадратов.


Задание 8. Найдите площадь развертки как сумму площадей двух квадратов и прямоугольника.

Общая информация

Номер материала: ДВ-387793

Похожие материалы