Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс по геометрии для 9 класса
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Элективный курс по геометрии для 9 класса

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
hello_html_68ac30e4.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif






Элективный курс













Автор курса: учитель математики

МБОУ «СОШ № 30»

I квалификационной категории

Кандалова Светлана Ивановна












« Природа говорит языком математики:

буквы этого языка – круги, треуголь-

ники и иные математические фигуры ».

Галилей.


«Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случаев делать

его немного занимательным ».

Паскаль.

Пояснительная записка.

Элективный курс «Геометрия Робинзонов» рассчитан на 10 часов, для учащихся 9 классов.

Целью данного элективного курса является формирование у девятиклассников представления о прикладных возможностях математики, а также о практической значимости геометрических знаний. Научить ребят замечать знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире вещей и явлений.

С этой целью геометрия как бы выводится из стен школы, привлекая внимание детей к страницам Жюля Верна и Марка Твена, находя темы для геометрических задач в произведениях А.С. Пушкина и Л.Н. Толстого. Для решения задач не требуются ни толстые справочники, ни быстродействующие компьютеры лишь карандаш, листок бумаги и, главное, … смекалка.

Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включится в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя . Поэтому при изучении акцент следует делать на развитие способности учащихся самостоятельно приобретать эти знания. Научить детей пользоваться приобретенными геометрическими знаниями на практике, в затруднительных случаях жизни, в походе или в экстремальной обстановке. Поэтому темы предстоящих занятий следует объявить заранее, тогда каждый ученик будет иметь возможность подобрать необходимый материал.

Надеюсь, что курс доставит детям немалое удовольствие.

Учебно-тематический план.

Тема

Кол-во часов

1. Геометрия в дороге.

Искусство мерить шагами и руками. Дальность горизонта.

2. Геометрия в лесу и у реки.

Определение высоты предмета по длине тени.

Измерение ширины и глубины реки.

3. Геометрия на местности.

Решение задач.

4. Геометрическая экономия.

Замечательное свойство квадрата. Произведение равных множителей. Треугольник с наибольшей площадью. Из картонного треугольника.

Как удлинить доску. «Затруднение жестянщика».

5. Итоговое занятие.

Рассмотрение задач, подобранных учениками.

Резерв.

1


2



1


4




1


1

Календарно-тематический план.


Тема

Кол-во часов

Дата

1. Геометрия в дороге.

Искусство мерить шагами и руками. Дальность горизонта.

2. Геометрия в лесу и у реки.

Определение высоты предмета по длине тени.

Измерение ширины и глубины реки.

3. Геометрия на местности.

Решение задач.

4. Геометрическая экономия.

Замечательное свойство квадрата. Произведение равных множителей. Треугольник с наибольшей площадью. Из картонного треугольника.

Как удлинить доску. «Затруднение жестянщика».

5. Итоговое занятие.

Рассмотрение задач, подобранных учениками.

Резерв.

1



2



1


4






1


1






























Литература

1. Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение», 1999 г.

2. Погорелов А.В. «Геометрия 7-11», М. «Просвещение», 1992 г.

3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. «Наглядная геометрия», М. «Дрофа», 2002 г.

4. Сергеев И.Н. и др. «Примени математику», М. «Наука», 1990 г.

5. Перельман Я.И. «Занимательная геометрия», М. «Триада-литера», 1994 г.

6. Жюль Верн «Таинственный остров».

7. Пушкин А.С. «Скупой рыцарь».

8. Толстой Л.Н. «Как Пахом покупал землю».







































Материал для занятий.

Занятие 1.

Измерения голыми руками.

«Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» - воскликнул средневековый философ Марсилио Сичино.

Конечно, измерить самого себя и стать настоящим геометром очень трудно. Не всякому удается сделать это за всю жизнь, но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно сказать, что каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-либо измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка и многое другое. Но не всегда в путешествии мы имеем сантиметровую ленту. Хорошо бы каждому из нас обзавестись «живым метром» , чтобы в случае нужды пользоваться им для измерений.

Полезно также помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи: оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами».


hello_html_419cebe5.png


Рис1. Правило Леонардо да Винчи.


В среднем высота взрослого человека (славянской расы) около 170 см; это легко запомнить. Но полагаться на среднюю величину не следует: каждый должен измерить свой рост и размах своих рук.

Для отмеривания – без масштаба – мелких расстояний следует помнить длину своей «четверти», т.е. расстояние между концами расставленных большого пальца и мизинца. Полезно измерить и запомнить длину своего указательного пальца, ширину своих пальцев (ширина трех средних пальцев, плотно сжатых, примерно 5 см).


Вооружившись всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнить разнообразные измерения буквально голыми руками.


Задание. Измерьте пальцами окружность стакана (рис 3.).


hello_html_m6d40de8c.png


Исходя из средних величин, можно сказать, что длина окружности равна 18+5=23 см.


Дальность горизонта.

В степи или на ровном поле вы видите себя в центре окружности, которая ограничивает доступную вашему глазу земную поверхность. Это – горизонт. Для каждой точки наблюдения имеется определенная граница видимой из нее земной поверхности, и дальность этой границы нетрудно вычислить. Как же далеко от наблюдателя линия горизонта? Другими словами, как велик радиус того круга, в центре которого мы видим себя на ровной местности? Как вычислить дальность горизонта, зная величину возвышения наблюдателя над земной поверхностью?


рис


Задача сводится к вычислению длины отрезка CN касательной, проведенной из глаза наблюдателя к земной поверхности. Квадрат касательной равен произведению внешнего отрезка h секущей на всю длину этой секущей, т.е. на h+2R, где R – радиус земного шара. Так как возвышение глаза наблюдателя над землей обычно крайне мало по сравнению с диаметром земного шара, то h+2R можно принять равным 2R, и тогда формула упростится: CN2= h .2R. Значит, дальность горизонта можно вычислить по очень простой формуле:

Дальность горизонта = hello_html_3c9bb33.gif

Где R – радиус земного шара, а h – возвышение глаза наблюдателя над поверхностью.

Так как радиус земного шара 6400 км, то формула примет вид:

Дальность горизонта = 80hello_html_m5e8e6c77.gif=113√h,

Где h – непременно должно быть выражено в частях километра.

Задача. «Холм Пушкина»

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу, -

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

(А.С. Пушкин. «Скупой Рыцарь»)

Как далеко мог видеть царь?

Сделаем примерный расчет. Сколько воинов могло быть у древнего царя? Самое многочисленное войско, которое знал древний мир, около 700 000 человек. Значит, холм состоит из 700 000 горстей. Захватите самую большую горсть земли и насыпьте в стакан: вы не заполните его одной горстью. Мы примем, что горсть древнего воина равнялась по объему 0,2 дм3. Тогда объем холма будет 0,2.700 000=140 000 дм3=140м3.

Значит , холм представляет собой конус объемом около 140м3. Определим высоту холма. Приняв угол естественного откоса в 450 ,заключаем, что высота такого конуса равна радиусу его основания, следовательно, 140=πx3/3, х=3√420/π=5,1м. Глаз зрителя возвышался бы на 5,1+1,5=6,6 м. Тогда дальность горизонта равна hello_html_mb4b125c.gif=9,1км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле.


Искусство мерить шагами.

Очутившись на шоссе, вы можете выполнить ряд интересных геометрических упражнений. Прежде всего, воспользуйтесь шоссе, чтобы измерить длину своего шага и скорость ходьбы. Это даст вам возможность измерять расстояния шагами – навык, который приобретается довольно легко после недолгих упражнений. Главное здесь -приучить себя делать шаги всегда одинаковой длины. На шоссе через каждые 100 м установлен белый столб, пройдя такой 100-метровый промежуток своим обычным шагом и сосчитав число шагов, вы легко найдете среднюю длину своего шага. Отметим любопытное соотношение, обнаруженное многократными измерениями: средняя длина шага взрослого человека равна примерно половине его роста, считая до уровня глаз. Если, например, рост человека до уровня глаз 1,4 м, то длина его шага – около 70 см (проверьте это утверждение).

Приятно и полезно уметь не только измерять расстояния без мерной цепи, но и оценивать их на глаз, без измерения. Этот навык вырабатывается лишь путем упражнения. Идя по улице города, вы можете ставить себе глазомерные задачи, стараясь отгадать, сколько шагов до ближайшего дома, до того или иного предмета. Глазомерному определению расстояний много внимания уделяют военные: хороший глазомер необходим разведчику, стрелку, артиллеристу.

При определении расстояний по степени отчетливости видимых предметов следует иметь в виду, что кажутся ближе предметы, освещенные или ярче отличающиеся по цвету от местности или на воде; предметы, расположенные выше других. Можно руководствоваться следующими признаками: «до 50 шагов можно ясно различать глаза и рот людей; до 100 шагов глаза кажутся точками; на 200 шагов пуговицы еще можно различать; на 300 – видно лицо; на 400 – различаются движения ног; на 500 – виден цвет одежды» (замечания из учебника артиллерии).

При этом наиболее изощренный глаз делает ошибку до 10% определяемого расстояния в ту или другую сторону. Бывают случаи, когда ошибки глазомера гораздо значительнее. Во-первых, при определении расстояний на ровной, совершенно одноцветной поверхности – на водной глади, на чистой песчаной равнине, на густо заросшем поле – расстояния всегда кажутся меньшим истинного; оценивая его на глаз, мы ошибаемся вдвое, если не больше. Во-вторых, ошибки вполне возможны, когда определяется расстояние до такого предмета, основание которого заслонено каким-нибудь возвышением (зданием, холмом). В таких случаях мы невольно считаем предмет находящимся не позади возвышения, а на нем самом и, следовательно, делаем ошибку в сторону уменьшения расстояния.


Занятие 2-3.

По длине тени.

Как определить высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, как определить расстояние до недоступного предмета?

Самый легкий и самый древний способ – тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой ею тени. Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадрата основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.

Задача греческого мудреца представляется нам теперь простой, но не будем забывать, что смотрим мы на нее с высоты грандиозного знания геометрии, воздвигнутой уже после Фалеса. Чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо знать несколько геометрических свойств треугольника: 1)углы при основании равнобедренного треугольника равны и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника равны между собой; 2) сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.

Только вооруженный этими знаниями Фалес вправе был заключать, что когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, центр ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.

Этим простым способом очень удобно, казалось бы, пользоваться в ясный солнечный день для измерения одиноко стоящих деревьев, тень которых не сливается с тенью соседних. Но в наших широтах не так легко выбрать нужный для этого момент: Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасываемых их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев. Поэтому способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

Изменим, этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она не была. Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вы можете вычислить искомую высоту из пропорции AB:A1B1 =BC:B1C1, так как высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени. Это вытекает из подобия треугольников ABC и A1B1C1 (по двум углам).

рис2

Рис4. Измерение высоты дерева по тени.


Но это правило не применимо к теням, отбрасываемым при свете уличного фонаря или лампы. Объяснить, почему в одном случае способ применим, а в другом нет, невозможно без геометрии. Рассмотрим поближе, в чем тут разница. Суть дела сводится к тому, что солнечные лучи между собой параллельны, лучи же фонаря непараллельны. Последнее очевидно; но почему мы вправе считать лучи Солнца параллельными, хотя они, безусловно, пересекаются в том месте, откуда исходят?

Лучи Солнца, падающие на Землю, мы можем считать параллельными потому, что угол между ними чрезвычайно мал, практически неуловим. Несложный геометрический расчет убедит нас в этом. Вообразите два луча, исходящих из какой-нибудь точки Солнца и падающих на Землю на расстоянии, скажем, 1 км друг от друга. Т.е., если мы поставим одну ножку циркуля в точку Солнца, а другой опишем окружность радиусом, равным, расстоянию от Солнца до Земли (150 000 000 км), то между нашими двумя лучами окажется дуга в 1 км длиной. Полная длина этой огромной окружности равна 2π.150 000 000 км=940 000 000 км. 10 этой окружности в 360 раз меньше, т.е. около 2 600 000 км. 1 дуговая минута в 60 раз меньше градуса, т.е. равна 43 000 км. А одна дуговая секунда еще в 60 раз меньше, т.е. равна 720 км. Но наша дуга в длину всего только 1 км, значит, она соответствует углу в 1/720 секунды. Такой маленький угол неуловим даже для точнейших астрономических приборов. Следовательно, мы можем считать лучи Солнца, падающие на Землю, за параллельные. Если бы эти геометрические соображения не были нам известны, мы не смогли бы обосновать рассматриваемый способ определения высоты по тени.


По способу Жюля Верна.

Следующий способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюля Верна в романе «Таинственный Остров».

«- Сегодня нам надо измерить высоту площадки Далекого Вида, - сказал инженер.

- Вам понадобится для этого инструменты? – спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к несколько простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться возможно большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, футов 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нес за ним отвес, врученный ему инженером: просто камень, привязанный к концу веревки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на 2 в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.

Затем он отошел от шеста на такое расстояние, чтобы, лежа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.

- Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Да.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.- Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

- Да. И, следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдемся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.

Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам.

По окончании измерений инженер составил следующую запись: 15:500=10:х, 500.10=5 000, 5 000:15=333,3.

Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам».


Измерение ширины реки.

Не переплывая реки, измерить ее ширину – так же просто для людей знающих геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Недоступное расстояние измеряют теми же приемами, какими мы измеряли недоступную высоту.

Выберем на противоположном берегу предмет близко у воды (камень, дерево) - точка А, и на своем берегу точку В, расстояние от которой до точки А представляет по вашему ширину реки. А также точку D, не лежащую на прямой АВ и точку С, на продолжении прямой АВ. Затем выберем точки E и F на продолжениях прямых BD и CD, чтобы выполнялось равенство BD=DE, CD=DF. Наконец найдем точкуG пересечения прямых EF и AD. Тогда искомое расстояние между точками А и В будет равно длине отрезка EG.

рис 3

Действительно, из равенства треугольников BDC и EDF ( по двум сторонам и углу между ними) имеем равенство углов CBD и FED. Поэтому треугольники BAD и EGD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), значит, равны и их соответственные стороны AB и GE.


Глубина реки.

У древних индусов был обычай задачи и правила предлагать в стихах. Вот одна из таких задач.


рис 4

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Более цветка над водой,

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока?

(Перевод В.И. Лебедева)

Обозначим искомую глубину пруда (АВ) через х. Тогда по теореме Пифагора имеем ВС22=АС2, (х+1/2)22=22, х2+х+1/4-х2=4, х=3 3/4 . Искомая глубина – 33/4 фута.

Близ берега реки или неглубокого пруда вы можете отыскать водяное растение, которое доставит вам реальный материал для подобной задачи без всяких приспособлений, не замочив даже рук, определить глубину водоема в этом месте.





Занятие 4.

Задача 1. Вам понадобилось измерить расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как тем не менее можно произвести указанные измерения?

Задача 2. Вы плывете на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Задача 3. Укажите способ, как измерить высоту дерева, не взбираясь на него и не прибегая к помощи теней.

Задача 4. Стоя на краю обрыва, вы хотите измерить глубину находящегося перед вами котлована. Нельзя ли это сделать, не спускаясь с обрыва никаких веревок?

Задача 5. Вы находитесь на одном берегу реки, а на другом, недоступном для вас берегу расположены два объекта. Как измерить расстояние между ними?


Занятие 5-8.

Замечательное свойство квадрата.

Замечательное свойство квадрата – заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра. Докажем это свойство. Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким же периметром, то каждая сторона его должна равняться Р/4. Докажем что укорачивая одну из его сторон на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что

(Р/4)2 > (P/4-b)(Р/4+b). Так как правая сторона этого неравенства равна (P/4)2-b2, то все выражение принимает вид 0>-b2, или b2>0. Но последнее неравенство очевидно: квадрат любого числа больше 0. Следовательно, справедливо и первоначальное неравенство, которое привело нас к этому.

Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.

Отсюда следует, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр.


Произведение равных множителей.

Мы знаем, что площадь квадрата больше, чем площадь любого прямоугольника такого же периметра. Если перевести это геометрическое положение на язык арифметики, оно будет означать следующее: когда требуется разбить число на две такие части, чтобы произведение их было наибольшим, то следует делить пополам. Например, из всех произведений 13х17, 16х14, 12х18, 11х19, 10х20, 15х15 и т.д., сумма множителей которых равна 30, наибольшим будет 15х15, даже если сравнивать произведения дробных чисел (14 1/2х151/2).

То же справедливо и для произведения трех множителей, имеющих постоянную сумму: произведение их достигает наибольшей величины, когда множители равны между собой. Пусть три множителя x, y, z в сумме равны a: x+y+z=a. Допустим, что х и у не равны между собой. Если заменим каждый из них полусуммой (х+у)/2, то сумма множителей не изменится: (х+у)/2+(х+у)/2+z=а. Но согласно предыдущему ((х+у)/2)((х+у)/2)>ху, то произведение трех множителей ((х+у)/2)((х+у)/2)z больше произведения хуz: ((х+у)/2)((х+у)/2)z>хуz.

Вообще, если среди множителей хуz есть хотя бы два неравных, то можно всегда подобрать числа, которые, не изменяя общей суммы, дадут большее произведение, чем хуz. И только когда все три множителя равны, произвести такой замены нельзя. Следовательно, при х+у+z=а произведение хуz будет наибольшим тогда, когда х=у=z.

Треугольник с наибольшей площадью.

Какую форму нужно придать треугольнику, чтобы при данной сумме его сторон он имел наибольшую площадь?

Площадь треугольника со сторонами a,b,c выражается формулой

S=√p(p-a)(p-b)(p-c), где р=(a+b+c)/2/

S2/p=(p-a)(p-b)(p-c)

Площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величина и ее квадрата, или выражение S2/p, где р полупериметр, есть согласно условию величина постоянная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение (p-a)(p-b)(p-c) станет наибольшим. Заметив, что сумма этих трех множителей есть величина постоянная, p-a+p-b+p-c=р, можно заключить, что произведение их достигнет наибольшей величины, когда осуществится равенство (p-a)=(p-b)=(p-c), т.е. a=b=c.

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.


Задача. «Из картонного треугольника»

Имеется кусок картона треугольной формы. Нужно вырезать из него параллельно данному основанию и высоте прямоугольник наибольшей площади.

Р е ш е н и е.

Пусть АВС данный треугольник, MNOP – тот прямоугольник, который должен остаться после обрезки.

рис5

Из подобия треугольников АВС и NBM имеем

BD:BE=AC:NM

(ВЕ – высота треугольника NDM, BD – высота

треугольника АВС).

NM= (BE.AC)/BD.

Обозначив сторону NM через у, BE - через х,

основание АС через а, а высоту BD через h,

имеем: у=(ах)/h.

Площадь S прямоугольника MNOP равна MN.NO=MN.(BD-BE)=y(h-x)=(h-x)(ax)/h, следовательно, Sh/a=(h-x)x.

Площадь S будет наибольшей тогда же когда и выражение Sh/a, а следовательно когда достигнет наибольшей величины произведение (h-x)x. Но сумма (h-x)+x=h – величина постоянная. Значит, произведение их максимально, когда (h-x)=x. Получаем х=h/2.

Мы узнали, что сторона NM искомого прямоугольника проходит через середину высоты треугольника и, следовательно, соединяет середины его сторон. Значит, эта сторона прямоугольника равна а/2, а другая – равна h/2.


Как удлинить доску?

При изготовлении той или иной вещи бывает иной раз так, что размеры имеющегося под руками материала не те, какие нужны.

Тогда следует попытаться изменить размеры материала соответственной обработкой его, и можно многого добиться при помощи геометрической и конструкторской смекалки и расчетов.

Представьте себе такой случай: вам для изготовления полки нужна доска строго определенного размера, а именно 1 м длиной и 20 см шириной. У вас есть доска длиной 75 см и шириной 30 см. Как поступить?

1) Можно отпилить вдоль доски полоску шириной в 10 см (пунктир), распилить ее на 3 равных кусочка длиной по 25 см каждый и двумя из них наставить доску.

Такое решение задачи было бы неэкономным по числу операций (3 отпиливания и 3 склеивания) и не удовлетворяющим требованиям прочности ( прочность была бы пониженной в том месте, где планки приклеены к доске).

2) Надо распилить доску ABCD по диагонали АС и сдвинуть одну из половинок (АВС) вдоль диагонали параллельно самой себе на 25 см (75см+25см=100см=1м).

Теперь эти половинки надо склеить по линии АС1 и излишки (заштрихованные треугольники) отпилить. Получится доска требуемых размеров.

рис6

Действительно, из подобия треугольников ADC и С1ЕС имеем: AD:DC=C1E:EC, EC=DC/AD.C1E, EC=30/75.25=10, DE=DC-EC=30-10=20(см).


Затруднение жестянщика.

Жестянщику заказали изготовить из квадратного куска жести в 60 см шириной коробку с квадратным дном и поставили условие, чтобы коробка имела наибольшую вместимость. Жестянщик долго примерял, какой ширины нужно для этого отогнуть края, но не мог прийти к определенному решению. Не удастся ли нам ему помочь?

Пусть ширина отгибаемых полос равна х. Тогда ширина квадратного дна коробки равна 60-2х, объем же коробки выражается произведением (60-2х)2х.


При каком х произведение (60-2х)(60-2х)х имеет наибольшее значение? Если бы сумма трех множителей была постоянна, произведение было бы наибольшим в случае их равенства. Но здесь сумма множителей 60-2х+60-2х+х=120-3х не есть постоянная величина, так как изменяется с изменением х. Умножим обе части равенства

V=(60-2х)(60-2х)х на 4. Получим 4V=(60-2х)(60-2х)4х. Сумма этих множителей равна 60-2х+60-2х+4х=120, величине постоянной. Значит, произведение этих множителей достигнет наибольшей величины при их равенстве, т.е. когда 60-2х=4х, х=10. Итак, коробка получится наибольшего объема, если у листа отогнуть 10 см.


Занятие 9-10

Итоговое. Рассмотрение задач, подобранных учениками.








Общая информация

Номер материала: ДA-006316

Похожие материалы