Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс по математике "Модули в конкурсных задачах" (10 класс)

Элективный курс по математике "Модули в конкурсных задачах" (10 класс)


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Муниципальное образовательное учреждение

Средняя школа № 10”

г. Рославля Смоленской области















Элективный курс

Модули в конкурсных задачах”

для 10 класса














Учитель

Костенкова

Оксана Витальевна







2015

Пояснительная записка.

Математическое образование в системе среднего (полного) общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

В условиях современной школы актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Программа курса “Модули в конкурсных задачах” предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в обязательный курс школьной математики, но изучение этого материала необходимо для успешной сдачи ЕГЭ и при учебе в высших учебных заведениях.

Рассматриваемый курс позволяет расширить знания учащихся по теме “Модуль действительного числа”. Решение задач, рассмотренных в этом курсе, будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.


Целями данного курса являются:

1. Создание условий для расширения и углубления знаний учащихся.

2. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

3. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2. Выделить логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

3. Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.


Курс предназначен для учащихся 10 классов, рассчитан на 18 часов аудиторного времени, призван помочь ученику успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в ВУЗе и повысить уровень общей математической культуры.

Требования к уровню усвоения курса.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

  • Свободно решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину.

  • Проводить тождественные преобразования алгебраических выражений, содержащих модули.

  • Строить графики функций, содержащих модули.


Формы организации учебной деятельности: лекции, семинарские занятия, уроки-практикумы по решению задач. Заключительное занятие проводится в форме круглого стола, на котором обсуждаются решения задач “Олимпиады”, предложенной учащимся заранее.

Для осуществления текущего и итогового контроля в процессе работы по данному курсу формируется рейтинг ученика: учащиеся получают баллы (от 1до 3) за решение задачи, дополнительный балл ученик получает за активную работу на занятии, за выступление на заключительном занятии. Баллы заносятся в ведомость, и на последнем занятии подводятся итоги и выставляются отметки.


Содержание курса.


Тема 1.

Предполагает изучение вопросов, связанных с тождественными преобразованиями алгебраических выражений с модулями.

В нее включены следующие вопросы:

1. Определение и свойства модулей.

2. Тождественные преобразования алгебраических выражений с модулями.

3. Модуль в формулах с радикалами.

Формы организации учебной деятельности: лекция (занятие1),семинар (занятие2), уроки-практикумы по решению задач (занятия3;4).


Тема 2.

Построение графиков функций, содержащих модули:hello_html_4a4a13d5.gifhello_html_m23afd6aa.gifhello_html_m664afb2b.gif

Формы организации учебной деятельности: лекция (занятие5), уроки-практикумы по решению задач(занятия6;7).


Тема 3.

Предполагает изучение и отработку алгоритмов решения уравнений с модулями.

Формы организации учебной деятельности: уроки-практикумы по решению задач (занятия8-12).


Тема 4.

Предполагает отработку алгоритмов темы 3 на примерах решения систем уравнений с модулями.

Формы организации учебной деятельности: семинар (занятия13-14).




Тема 5.

Предполагает изучение и отработку алгоритмов решения неравенств с модулями.

Формы организации учебной деятельности: лекция (занятие15),уроки-практикумы по решению задач (занятия16-17).

Завершается изучение курса выполнением учащимися “Олимпиады”, в которую включены конкурсные задачи. Задания сообщаются ученикам на первом занятии. Заключительное занятие проводится в форме “круглого стола” по обсуждению решений задач “Олимпиады”. На этом занятии подводятся итоги, сообщается рейтинг каждого, выставляются отметки.


Тематическое планирование.

1)Модули в алгебраических выражениях……………………4часа.

2)Графики функций, содержащих модули…………………..3часа.

3)Уравнения с модулями……………………………………...5часов.

4)Системы уравнений с модулями……………………………2часа.

5)Неравенства с модулями…………………………………….3часа.

6)Итоговое занятие…………………………………………….1час.



Материалы для проведения занятий.


Тема1. Модули в алгебраических выражениях.


Занятие1.Определение и свойства модуля.

Форма организации занятия: лекция.

Одним из основных понятий математики является понятие модуля (абсолютной величины ) действительного числа. С ним связаны многие формулы (например, формулы действий с радикалами и логарифмами ), а также многочисленные преобразования алгебраических выражений. Модуль может встретиться при решении уравнений и неравенств , при описании геометрических объектов и графиков .

Определение. Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется неотрицательное чиcло, которое обозначается hello_html_m36746e2d.gif и определяется с помощью двойного равенства

hello_html_dcf5ba.gif

Пример:hello_html_m37e0020a.gif=5, hello_html_m1c9aa0aa.gif=-(-5)=5.

Свойства модуля:

1.hello_html_m36746e2d.gif=0hello_html_39bcdcee.gifа=0; 6.hello_html_m7f26ba6f.gif=hello_html_15a76d3.gif

2.hello_html_m36746e2d.gif=hello_html_m21a523ae.gifhello_html_39bcdcee.gifa=hello_html_m78531b32.gifb; 7. hello_html_49334a56.gif

3. hello_html_7314b4ef.gif; 8.hello_html_2ec846e1.gifhello_html_m7eb99de3.gif;

4.hello_html_40fbb7f.gif 9.hello_html_7322ae8d.gif

5.hello_html_m4963b329.gif,bhello_html_3750bfcb.gif0;hello_html_m53d4ecad.gif 10.hello_html_f12edfb.gif


Модуль действительного числа имеет простой геометрический смысл. Модуль равен расстоянию от точки А, изображающей число а на числовой оси Ох, до начала координат О на этой оси. Отсюда вытекает, что модуль разности hello_html_25a58693.gifравен расстоянию между точками А и В, изображающими на числовой оси числа a и b.

Задача 1. Раскрыть модуль: hello_html_m7c1a1dcd.gif

Решение. Установим знак выражения y=hello_html_12a5b3df.gifвходящего под знак модуля. Корнями данного квадратного трехчлена являются числа hello_html_m33542a8f.gifпоэтому yhello_html_352419eb.gifпри xhello_html_4a9dbf6d.gifили xhello_html_m38a68859.gify<0 при 0<x<7. Теперь запишем требуемый результат:

hello_html_2e3f5377.gif=hello_html_m2ba60cab.gif




Задача 2. Раcкрыть модуль:hello_html_38de83ae.gif

Решение. Найдём значения переменной х, при которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля:hello_html_1c7bfa0b.gif=0;hello_html_6078b3b7.gif=1; xhello_html_593ecfc6.gif=2. Разобьем область определения данного выражения (множество всех действительных чисел) на промежутки этими значениями x и определим знак каждого подмодульного выражения на промежутках:

hello_html_m61c74936.gif

hello_html_6d641a54.gif


Обозначим данное выражение А.

а) Если xhello_html_m5df72ca2.gifто А=hello_html_m2c058e3e.gif

б) Если xhello_html_5c3fa293.gif

в) Если xhello_html_4f8c4ddb.gif

г) Если xhello_html_m5d979f22.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Снять модуль:

1)hello_html_2ef45d97.gif

2)hello_html_4b7f5894.gif

3)hello_html_m21f98b1a.gif

4)hello_html_m22167497.gif

5)hello_html_16a996c.gif

6)hello_html_m481c0334.gif

7) hello_html_mcd11736.gif

8) hello_html_m28c800b3.gif

9) hello_html_md94f985.gif

10) hello_html_m6687436a.gif


hello_html_m53d4ecad.gifЗанятие2.Тождественные преобразования алгебраических выражений, выражений, содержащих модули.

Форма организации занятия: семинар.

Задача1.Упростить выражение

А=hello_html_37551e06.gif

Решение. Областью определения выражения А является множество D(А)=hello_html_md948b5.gif.

Для упрощения данного выражения освободимся от знака модуля. Заметим, что оба подмодульных выражения в А имеют один и тот же знак, так как неравенства (x+2)(x-3)<0 (>0) соответственно равносильны неравенствам hello_html_m7e4eba39.gifЗнак квадратного трехчлена y=(x+2)(x-3) устанавливается просто: у>0 при xhello_html_m6ec8c176.gif и у<0 при xhello_html_m38571422.gifУчитывая, что точка x=-2 входит в D(А), будем иметь:

а)если xhello_html_m4cfa7893.gif то

А=hello_html_2c1fa53b.gif

б)если xhello_html_m48b3c99a.gifто

А=-hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m2e6c4ce2.gif

Ответ:А=hello_html_1983c4db.gif

Задача2. Упростить А=hello_html_154d2918.gif

Решение. Областью определения выражения А является множество D(А)=hello_html_m4c2dce70.gif

Для упрощения выражения освободимся от знака модуля. Заметим, что подмодульные выражения обращаются в нуль при x=0 и x=1.

hello_html_547ddd1b.gif

а) Если xhello_html_152e14d.gifто

А=hello_html_mac11a47.gif

б) Если xhello_html_m6fd64ea5.gifто

А=hello_html_m1e2a56b.gif

в) Если xhello_html_mfd1f325.gifто

А=hello_html_m5e230378.gif

Ответ:hello_html_m2632efdb.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Упростить выражения:

1)hello_html_m5841b109.gif

2)hello_html_38539b78.gif

3)hello_html_5d61e830.gif

4)hello_html_29d5103c.gif

5)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m42f3d881.gif

6)hello_html_436165b5.gif

7)hello_html_m496b4919.gif

8)hello_html_m2a50e522.gif

Решения задачи 1 и задачи 2 готовят два ученика под руководством учителя и сообщают их на семинаре. Задания 1-5 из списка заданий выполняются на занятии, задания 6-8 предназначены для домашней работы.


Занятие 3. Модуль в формулах с радикалами.

Форма организации занятия: урок-практикум по решению задач.

hello_html_229af64b.gif

Задача 1.hello_html_7eba3b22.gif

Задача 2. Вычислить:hello_html_m1d7d3b83.gif

Решение.

hello_html_4751fbe6.gif

Ответ:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7eba93ee.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся:


1.Упростить и вычислить:

а) hello_html_m5c7ed37b.gif

б)hello_html_598a7dbd.gif

в)hello_html_76a8c9a1.gif

г)hello_html_4d6d7e44.gif

д)hello_html_1c5f307.gif

е)hello_html_m52568014.gif

ж) hello_html_m9e4a784.gif

з) hello_html_m691283ff.gif

2.Упростить выражения:

а)hello_html_2f501cd3.gif

б)hello_html_m765b666e.gif

в) hello_html_m79d78f6c.gif


Задача 3. Внесите множитель под знак корня: а) hello_html_m4ceafc5f.gif б)hello_html_7ccacaa2.gif

Решение. а) Поскольку hello_html_m17469b1.gif и hello_html_20a3f2b5.gifто имеем

hello_html_m14a7121.gifhello_html_3f72dbea.gif

б)hello_html_m23d78940.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся.


Внесите множитель под знак корня: а)hello_html_5e2f808d.gif б)hello_html_m4ef74cef.gifв)hello_html_7cc6b8a7.gif г)hello_html_m60172ebd.gif д)hello_html_m25b3c919.gif

е)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_690d39ee.gif ж)hello_html_3aefa0e8.gif з) hello_html_m5f8e41da.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Занятие 4. Решение конкурсных задач.


Форма организации занятия: урок-практикум по решению задач.


1.Упростить выражения:


а)hello_html_m14b3b9a9.gif

б)hello_html_m5a8f4702.gif

в)hello_html_1b54222.gif

г)hello_html_3512bdf2.gif

Задания а, в, г решаются на уроке, задание в - для домашней работы.


  1. Упростить выражение для функций f(x) и построить их графики:


а)hello_html_m246af998.gif

б)hello_html_5e04aaf1.gif

в) hello_html_5d858c7f.gif

г)hello_html_m4f7f403f.gif

д)hello_html_4fb9a2be.gif

е) hello_html_72b18a96.gif

Задания а, б, в, д решаются в классе, задания г, е - для домашней работы.


Тема 2. Графики функций, содержащих модули.


Занятие 5.Построение графиков функций вида y=hello_html_m71afda8.gify=hello_html_362abf.gify=hello_html_m301075a5.gify=hello_html_m26d48ca9.gif

Форма организации занятия: лекция.


Задача1. Построить график функции y=hello_html_3c5d666e.gif

Решение. 1) Найдем область определения функции D(f):

D(f) =hello_html_m119c1435.gif

2)Раскроем модули.

hello_html_4bf4accd.gif

y



=hello_html_70896229.gif

hello_html_254d35a3.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Построить графики функций:

1) y=hello_html_m5f784160.gif

2) y=hello_html_4b450687.gif

3) y=hello_html_m6134dea7.gif

4) y=hello_html_7fd81bc1.gif

5) y=hello_html_3885e649.gif

Задания 1-3 выполняются в классе, задания 4-5 дома.


Задача 2. Как построить график функции y =hello_html_362abf.gifесли известен график функции y=hello_html_m491b2afd.gify =hello_html_3a472eef.gif

Решение. График в верхней полуплоскости остается без изменения, а часть графика, лежащая в нижней полуплоскости, симметрично отображется относительно оси Ох в верхнюю полуплоскость.

2

hello_html_m2b992d13.gif



Задания для самостоятельной работы учащихся.

Построить графики функций: 1) y=hello_html_6436102f.gif

2)y=hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_20b889af.gif

3) y=hello_html_mc3e81e.gif

4) y=hello_html_m52cd1d2b.gif

5) y=hello_html_mbf0c474.gifhello_html_m53d4ecad.gif

6) y=hello_html_43c1bffb.gif

Задания 1;4;5 выполняются в классе, задания 2;3;6 – дома.


Задача 3. Как построить график функции y=hello_html_388ef21a.gif, если известен график функции

y=hello_html_m7ab13190.gif. y=hello_html_574eecf7.gif

Решение. График в правой полуплоскости остается без изменения, а график в левой полуплоскости заменяется на симметричный графику в правой полуплоскости относительно оси Оу.





hello_html_61d891e2.gif

2

Задачи для самостоятельной работы учащихся.

hello_html_m53d4ecad.gif

Построить графики функций: 1) y=hello_html_4c83c8bb.gifhello_html_m53d4ecad.gif

2) y=hello_html_175d5372.gif

3) y=hello_html_m280eed82.gif

4) y=hello_html_m6bce810c.gif

5) y=hello_html_m6eda82a0.gif

6) y=hello_html_m2887af09.gif

7) y=hello_html_79cbed8a.gif

8) y=hello_html_4fc6bea5.gif

9) y=hello_html_m4847b2d5.gif


Задания 1; 4; 5; 7 выполняются в классе, задания 2; 3; 6; 8; 9 - дома.

Форма организации занятий 6;7 – урок-практикум по решению задач.


hello_html_m53d4ecad.gifЗанятие 6. Построение графиков функций, имеющих точки разрыва.


Задача 1. Построить график функции y=hello_html_m36751de.gif

Решение.

1)D(f)=hello_html_669036d8.gif

2) Упростим выражение для функции, освободившись от знака модуля:

y=hello_html_667af400.gif

hello_html_18c6d35c.gif

Задача 2. Построить график функции y=hello_html_m15179bbd.gif

Решение.

1)D(f):xhello_html_mf1ae123.gif

2) Упростим выражение для функции, освободившись от знака модуля:

y=hello_html_m425f9c3a.gif


hello_html_m612e0343.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся.


Построить графики функций:

1) hello_html_6213b718.gif

2)hello_html_m6b149f78.gif

3) hello_html_m7549c0c6.gif

4) hello_html_m45402144.gif

5) hello_html_28faa825.gif

6) hello_html_76428231.gif

7) hello_html_67d1514.gif


Задания 1; 4; 5; 6 выполняются в классе, задания 2; 3; 7 –дома.



Занятие 7. Решение конкурсных задач.


Задача 1. Найдите значение выражения

А=hello_html_m3a1bc361.gif

Решение.

  1. Найдем О.Д.З. переменной: hello_html_m5183d44d.gif

  2. Упростим выражение:

А=hello_html_m779f6275.gif

Ответ:-19.


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Упростить выражение и найти его значение:

1) А=hello_html_m4c35dcdc.gif

2) А=hello_html_m45212c01.gif


Задача 2. Найдите значение выражения

А=hello_html_m2bbc3628.gif


Решение.

  1. Найдем О.Д.З. переменной:

hello_html_m1197de08.gif

Если hello_html_2ef04f0a.gifтоhello_html_2935d567.gif

  1. Упростим выражение:

А=hello_html_5358c487.gif

Ответ: 0.


Задание для самостоятельной работы учщихся.

Найдите значение выражения:

А=hello_html_6ed9774f.gif Ответ: -3.

Задача 3. Найдите площадь фигуры (или целую часть площади, если она не является целым числом), ограниченной линиями y=0, y=hello_html_m358c47ba.gifx=-2, x=4.

Решение. В одной системе координат построим графики функций y=hello_html_5791bc67.gif,

y=0 и графики уравнений x=-2, x=4.

Упростим выражение для функции, освободившись от знака модуля:

y=hello_html_3b0375.gif

hello_html_5581a9be.gif

0

A

hello_html_m754594f7.gifhello_html_m9a18bbd.gifhello_html_4d1d4723.gif

Ответ: 41.


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Найдите площадь фигуры (или целую часть площади, если она не является целым числом), ограниченной линиями:

1) hello_html_m41ae5bc9.gifОтвет: 300.

2) hello_html_m69b1e25.gifОтвет: 279.


Тема 3. Уравнения с модулями.


Занятия по теме 3 проводятся в форме уроков-практикумов по решению задач.


Занятие 8. Решение уравнений вида hello_html_m35883e69.gif


Задача 1. Решить уравнение hello_html_m65c8b88e.gif

Решение.

1 способ(аналитический).

hello_html_m710ed91b.gif

Ответ:1,5;2,5.

2 способ (графический).

В одной системе координат построим графики функций y=2x-4 и y=1.

hello_html_228479ba.gif

Графики функций пересекаются в точках А(1,5;1) и В(2,5;1), поэтому уравнение имеет два корня: hello_html_m5b9de14b.gif

Поверка: если x=1,5 ,то hello_html_m458ead46.gif

если x=2,5 , то hello_html_7415518a.gif

Ответ:1,5;2,5.



Задания для самостоятельной работы учащихся.


1. Решить аналитически и графически уравнения:

а) hello_html_7657e8f5.gif

2. Решить уравнения:

hello_html_4da46076.gif

hello_html_102f07dd.gif(1)


Задача 2. Решить уравнение: 1) hello_html_4a6849aa.gif


Решение. 1)По формуле (1):hello_html_m344e91ea.gif

Ответ: 2;4.

2) hello_html_m1eb754a4.gif

Ответ: 2hello_html_m717d402c.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


  1. Решить уравнения: а) hello_html_677ebfa6.gif

б) hello_html_6cd17320.gifНайти наименьший корень уравнения.

в) hello_html_437508a.gif

г) hello_html_6c0d8ae.gif

д) hello_html_m5f905911.gif

е) hello_html_m255af050.gif

2. Найти корни уравнения hello_html_m39e2841a.gif удовлетворяющие неравенству hello_html_m28c21321.gif


Задания 1а; 1д; 1е; 2 выполняются в классе, задания 1б-г – дома.


Занятия 9;10. Решение уравнений вида hello_html_m3e6cc0b7.gif

Задача 1. Решите уравнение hello_html_7fd65b0a.gif

hello_html_674cd42c.gif

Решение. Подмодульные выражения обращаются в нуль при х=2 и х=1,5.


Данное уравнение равносильно совокупности трех систем:

hello_html_m6365aef7.gif

Ответ: 0;3hello_html_719d6830.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решить уравнения:

1) hello_html_3db1c649.gif

2) hello_html_m5226809e.gif

3) hello_html_2f1d169d.gif


Задача 2. Решить уравнение hello_html_m978b0c9.gif

Решение. Подмодульные выражения обращаются в нуль при х=0 и х=-2.

hello_html_m6165f08b.gif

Данное уравнение равносильно совокупности трех систем:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_194aa513.gif

Ответ: hello_html_m47dd6be7.gif



Задания для самостоятельной работы учащихся.

Решите уравнения: 1)hello_html_m5ed5041b.gif

2) hello_html_m3f4e29ef.gif

3) hello_html_6942cfa7.gif

18

4) hello_html_59328b50.gif


Задача 3. hello_html_3d45b062.gif

Решите уравнение: hello_html_m757963b4.gif

Решение.hello_html_m1f5f981c.gif Ответ: hello_html_20daf5d5.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решите уравнения: 1) hello_html_3ca8c068.gif В ответе укажите наименьший корень уравнения.

2) hello_html_m57261b3f.gif

3) hello_html_m895ff72.gif

4) hello_html_m14eff15.gif


Занятия 11; 12. Решение конкурсных задач.

Задача 1. Решите уравнение hello_html_m6564b658.gif

Решение.

hello_html_m6defd2c6.gif

Ответ: hello_html_661a38d1.gif

Задача 2. Решите уравнение:hello_html_5f35ded4.gif

Решение.

hello_html_m53d4ecad.gifО.Д.З. : hello_html_21f03ec.gif

hello_html_2c74170.gif

Ответ: 0;hello_html_78861cc3.gif

Задача 3. Решить уравнение hello_html_m21d5c2fb.gif

Решение. Снимем модули:

hello_html_1aa875ca.gif

а) Если hello_html_5bee6b98.gifуравнение примет вид:

hello_html_69f1dc52.gif

Уравнение корней не имеет.

б) Если hello_html_m6d49ef14.gifто уравнение примет вид:

hello_html_219f15a2.gif



1,25-корень уравнения.

в) Если hello_html_5086d6fc.gif то уравнение примет вид:

hello_html_m366ee5ad.gif

Уравнение корней не имеет.

г) Если hello_html_2d4fc9cd.gifто уравнение примет вид:

hello_html_m4ed3238.gif

Ответ:hello_html_m2498d8b4.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Задача 4. Найдите все действительные корни уравнения hello_html_m7e88478d.gif

Решение. О.Д.З.:hello_html_5614c6bf.gif

Введем новую переменную: hello_html_m67aaa9f2.gif тогда уравнение примет вид:

hello_html_43bf7d8c.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m887eb1f.gifтак как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, поэтому

имеем уравнение:

hello_html_dada569.gif

Так как hello_html_7f889630.gif то -1- посторонний корень. Вернемся к прежней переменной:

hello_html_m69aa30e1.gif

Ответ: 9. hello_html_m53d4ecad.gif

Задача 5.Решите уравнениеhello_html_1ede6295.gif

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, значит, уравнение

имеет решения при hello_html_m5466282d.gif Преобразуем левую часть уравнения с учетом условия

hello_html_m22cbccae.gifhello_html_m404a6fa2.gif

Снимем модуль:

hello_html_m5b6bf9d3.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif

0 0,5 x

а) Если hello_html_m3032bfbd.gif то имеем уравнение: hello_html_311b05f4.gif

hello_html_m290d0497.gif

hello_html_m2e8b0b6f.gif

hello_html_m73d315b7.gif

Условию hello_html_831492c.gif удовлетворяет только х=0- корень уравнения.

б) Если hello_html_7d8761bc.gif то имеем уравнение:hello_html_871a34.gif

hello_html_80ef1ed.gifОтвет: hello_html_m7595021.gif


Задача 6. Найдите наименьший из целых положительных корней уравнения

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1456cff.gif

Решение.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m30942552.gif

Наименьший целый положительный корень уравнения 3.

Ответ: 3.

Задача 7. Решить уравнение hello_html_m30bb1dcb.gif

Решение. В левой части уравнения сумма неотрицательных слагаемых, следовательно,

уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_m5189448b.gif

введем новые переменные:hello_html_2106e935.gifполучим систему уравнений:

hello_html_m5d5d17e7.gif

вернемся к переменным x и y:

hello_html_60bf5b06.gif

Ответ:hello_html_m58151970.gif

Задача 8. Решите уравнение hello_html_4ea8d5d1.gif

Решение. Обозначим hello_html_m61663097.gif Имеем hello_html_4750e984.gif

hello_html_3ab728d4.gifт.е. hello_html_m51111b6e.gifОтсюда следует,что hello_html_m7a9d37cc.gif

или hello_html_m43c66de9.gif

Вернемся к переменной х:

1) hello_html_178605be.gif

2) hello_html_3ee37c1f.gif Корней нет.

Ответ: hello_html_2d991665.gif

Задача 9. Решить уравнение hello_html_1e05dc6d.gif

Решение. Так как hello_html_56fd48.gif, а равенство hello_html_m15da037e.gifравносильно неравенству hello_html_7d55eedb.gif, то

hello_html_m1833d390.gif

или hello_html_e29b495.gif

Равенство возможно тогда и только

тогда, когда все выражения, стоящие под модулем, неотрицательны, то есть когда имеет

место следующая система неравенств:

hello_html_m411706c.gif

Ответ:hello_html_m6d44531.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


  1. Найти наименьшее значение функции hello_html_3030f4a9.gifОтвет: hello_html_m69473e88.gif

  2. Решить уравнение hello_html_m140cd387.gif

Ответ:hello_html_m6d44531.gif

Тема 4. Системы уравнений с модулями.


Занятия 13;14. Решение систем уравнений, содержащих модули.


Форма организации занятий: семинар.

Задача 1. Пусть hello_html_5cb5ce88.gif-решение системы hello_html_3ecd9102.gif

Найдите разность hello_html_5204c368.gif

Решение.

hello_html_m4cc5954f.gif

Итак, hello_html_m76aa1a06.gif hello_html_m647ceb3b.gif

Ответ;-4.


Задания для самостоятельной работы учащихся.

  1. Пусть hello_html_m241c2168.gifрешение системы hello_html_25236784.gif

Найдите произведение hello_html_m494a2d63.gif

Ответ: 9.

  1. Пусть hello_html_m241c2168.gifрешение системы hello_html_1721013e.gif

Найдите сумму hello_html_m27f7d968.gif

Ответ: 3.

  1. Пусть hello_html_m241c2168.gifрешение системы hello_html_m4e1892bb.gif

Найдите значение выражения hello_html_m3ba2f90d.gif

Ответ: -22.


Задача 2. Решите систему уравнений hello_html_m30ea23a7.gif

Решение. 1) Если х<0, то имеем систему уравнений

hello_html_m3b514c1.gif

hello_html_69b21a3a.gif

hello_html_544f1f0d.gif


Вернемся к системе уравнений:


hello_html_55ddc793.gif

C учетом условия х <0, hello_html_4ab65c07.gifпостороннее решение.

2) Если hello_html_m6699643d.gif, то имеем систему уравнений hello_html_m24ea82c6.gif

hello_html_m3115fd31.gif

Вернемся к системе уравнений:hello_html_m78a8c268.gif

Условие hello_html_m6699643d.gif выполнено.

Ответ:hello_html_6ba20d10.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решите системы уравнений: a)hello_html_m77777f46.gifОтвет:hello_html_m7af7b7f4.gif

б)hello_html_m6740757f.gifОтвет:hello_html_m473703fb.gif


Задача 3. Решите систему уравнений hello_html_m76c8785a.gif

Решение.

hello_html_m7cdebe8f.gif

Ответ:hello_html_m66c31bc.gif


Задание для самостоятельной работы учащихся.

Решите систему уравнений hello_html_1718f9a8.gifОтвет:hello_html_66f11ce6.gif


Задача 4. Решите систему уравненийhello_html_4ec912b5.gif


Решение.


hello_html_641c17fd.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifРешим уравнение (1):

hello_html_669cfe67.gif

Решим уравнение (2):

hello_html_m61934a25.gif

Вернемся к системе уравнений:

hello_html_m6b0498e1.gif

Ответ: hello_html_m8730d43.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решите систему уравнений: hello_html_1bd632a2.gif Ответ: hello_html_791224a2.gif


Задача 5. Решите уравнение hello_html_568bdf7e.gif

Решение. Преобразуем данное уравнение:

hello_html_m42ca3cf6.gif

Левая часть уравнения представляет собой сумму неотрицательных слагаемых, поэтому

уравнение равносильно системе уравнений:


hello_html_m5046bd28.gif


hello_html_m6d2eb9a8.gif

hello_html_m461f644e.gif

Ответ: hello_html_m20691ee6.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решите уравнения:

1)hello_html_5110bf36.gifОтвет:hello_html_5440955f.gif

2) hello_html_69b40bee.gifОтвет: hello_html_m38f02d87.gif

3) hello_html_md7518d0.gif Ответ:hello_html_12f2d8a3.gif

Тема 5. Неравенства с модулями.


Занятие 15. Решение неравенств с модулями.


Форма организации занятия: лекция.

1. hello_html_m6e3733a2.gif


Задача 1. Решите неравенство hello_html_m233ebed9.gif

Решение.

hello_html_m24ea5a88.gif

hello_html_3ad40530.gif

Ответ: hello_html_21db6199.gif


Задача 2. Решите неравенство hello_html_m73fc4696.gif

Решение.

hello_html_m1835ad36.gif

Ответ: hello_html_7349770.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.

Решите неравенство: 1) hello_html_m1e682c5d.gif Ответ:hello_html_6f981dcc.gif

2) hello_html_1d500844.gif Ответ: hello_html_m43e37de3.gif


2. hello_html_69910883.gif


Задача 3. Решите неравенство hello_html_m5b7c8458.gif

Решение.

hello_html_360392c1.gif


Ответ: hello_html_mc870d83.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.

Решите неравенство: 1) hello_html_4fa7d9cf.gif Ответ:hello_html_997ad9b.gif

2) hello_html_64b477bd.gif Ответ: hello_html_m51015eeb.gif

3) hello_html_772dba62.gif Ответ: hello_html_2626a433.gif

4) hello_html_m32271e17.gif Ответ: hello_html_m6240dfbe.gif


Задача 4. Решите неравенство hello_html_m3fca4647.gif


Решение. О.Д.З.: hello_html_61c1a592.gif

hello_html_2ec0dea4.gif

Снимем модуль. Данное неравенство равносильно совокупности трех систем неравенств:

hello_html_72e0dc76.gif

Ответ: hello_html_m6e7a3ee3.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решите неравенство: 1) hello_html_m1c308e32.gif Ответ: hello_html_1af90d71.gif

2) hello_html_m6700b0d0.gif Ответ: hello_html_114d671.gif

3) hello_html_72027b40.gif Ответ: hello_html_2fb71a57.gif

4) hello_html_26826309.gif Ответ: hello_html_m65a448b0.gif



3. hello_html_223d6db9.gif


Задача 5. Решите неравенство hello_html_m20b1798b.gif

Решение.


hello_html_m381ad537.gif

hello_html_m444262ac.gif

hello_html_m3a386464.gif






hello_html_68c302c8.gif

Ответ: hello_html_m6d02e989.gif


Задания для самостоятельной работы учащихся.


Решите неравенство: 1) hello_html_46108698.gif Ответ: hello_html_7e815da8.gif

2) hello_html_m4015fd4f.gif Ответ: hello_html_m677cb22f.gif


Занятия 16;17. Решение конкурсных задач.


Форма организации занятий: уроки-практикумы по решению задач ( игра “ Математический марафон”).

1. 1) Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции

hello_html_m427c8eba.gif

Ответ: 2.

2) Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции

hello_html_68f733e4.gif

Ответ: 2.

3) Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции

hello_html_m3bb29c2e.gifhello_html_3308bdfc.gif

Ответ: 63.

2. 1) Решите неравенство: а) hello_html_23dc9a31.gif Ответ:hello_html_df54d3.gif

б) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_38fa6c62.gifОтвет: hello_html_73531ca0.gif

2) Найти количество целых решений неравенства hello_html_714f05a.gifОтвет: 5.

3) Найдите область определения функции hello_html_m407da702.gif

Ответ: hello_html_m2f076d60.gif

4) Решите неравенство hello_html_m26e1f155.gif

Ответ: hello_html_519b1982.gif

3. Решите системы неравенств: 1)hello_html_123b89d8.gif

Ответ: hello_html_3271f9e7.gif

2) hello_html_m3bed5e5f.gif

Ответ: hello_html_5cb7d200.gif

3) hello_html_41a152d1.gif

Ответ:hello_html_61955fe1.gif

Занятие 18. Олимпиада.


Форма организации занятия: “ круглый стол” по обсуждению решений конкурсных задач.


Задача 1. Разность hello_html_408b0841.gif является целым числом. Найдите это целое число.

Ответ:-10.

Задача 2. Постройте графики функций: а) hello_html_2dca1556.gif

б) hello_html_5b121daf.gif

Задача 3.


Дана функция hello_html_m2df518a5.gif

а) Найдите наименьшее значение функции у(х).

б) Решите неравенство у(х)>8.

Ответ: а) 2; б)hello_html_m51cbd078.gif

Задача 4. Решите уравнения: а) hello_html_m5bcd770a.gif

б) hello_html_697f0138.gif

Ответ: а) 0; 3,75; 4.б) 0;2.


Задача 5.

Решите неравенства: а) hello_html_6c20bdbd.gif

Ответ: hello_html_m1c1dd91b.gif

б) hello_html_m450c49d8.gif

Ответ: hello_html_mbcee4b4.gif

в) hello_html_4af305f3.gif

Ответ: hello_html_m3a7b082c.gif

Задача 6. Решите систему уравнений: hello_html_5edf6d50.gif

Ответ: hello_html_m67240130.gif

Задача 7.


Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной,

периодической с периодом 4 и на промежутке hello_html_m42f854d8.gifее значения вычисляются по фор-

муле hello_html_3b6ce64f.gif

Решите уравнение hello_html_5f18d91d.gif

Ответ: hello_html_m3bba3a96.gif





Задача 8.


Найти все значения y, при которых любое действительное число является

решением неравенства

hello_html_4cbee0ee.gif

Ответ: hello_html_m4df5f943.gif

Задача 9.


Решите уравнение: hello_html_3102dff0.gif

Ответ: hello_html_56380344.gif


Олимпиадные задания сообщаются ученикам на первом занятии. Перед началом последнего занятия учащиеся сдают учителю выполненные задания, которые проверяются позже. На уроке проводится обсуждение решений. Во время “ круглого стола” должен выступить каждый ученик. Задачи, решения которых будет представлять учащийся, распределяются заранее. Верно решенные задачи 1-6 оцениваются 1-3 баллами, за правильное решение задач 7-9 ученик может получить 5 баллов, плюс дополнительный балл за выступление. Подведение итогов изучения курса проводится позже: ученикам сообщается их рейтинг и выставляется отметка за работу.



Литература

  1. Козко А.И. Математика. Письменный экзамен. Решение задач. Методы и идеи:Учебное пособие/ А.И. Козко, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский.- М.:Издательство ”Экзамен”,2006.-511с.

  2. Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике.3-е издание, исправленное и дополненное.- М.: Рольф, 1999.-624с.,илл..

  3. Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Сборник задач по математике (с основами теории и методическими указаниями): Учебное пособие для довузовской подготовки.- М.:Издательство МЭИ, 2000.- 624 с.: ил.

  4. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы( с решениями). В 2-х кн.

Кн. 1. Алгебра: учебное пособие/ В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И.Сканави.-7-е изд., переработанное и дополненное. М.Высшая школа,2013.-528с.

  1. Ткачук В.В. Математика-абитуриенту.-9-е изд., исправленное и дополненное.

М.:МЦНМО,2002.-904с.






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Вопросы, связанные с модулем действительного числа, в комплексе не рассматриваются в курсе школьной математики. Поэтому мною был разработан данный элективный курс .

Представленная программа элективного курса предполагает решение дополнительных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к экзаменам, в частности ЕГЭ, так и при учебе в высших учебных заведениях. Предлагаются к рассмотрению следующие вопросы, выходящие за рамки школьной программы: модули в алгебраических выражениях; построение графиков функций, содержащих модули; уравнения с модулями; системы уравнений с модулями; неравенства с модулями.

Рассматриваемый курс позволяет расширить знания учащихся по теме “Модуль действительного числа”. Решение задач, рассмотренных в этом курсе, будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся. Материал может использоваться в 10-11 классах.

Автор
Дата добавления 21.07.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров286
Номер материала 318819
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх