Элективный курс по теме "Делимость чисел. Целые числа"

Скачать материал

Рассмотрено на заседании
методического объединения

«___»_____________ 2015 г.
протокол №____

Принято на заседании
педагогического совета

«___»_____________2015 г.
протокол №

Утверждено
приказом №___

от «___»___________2015г.

Директор школы

_______________(Васильева И.П.)

подпись

МП

Рабочая программа

элективного курса

«Целые числа. Делимость чисел»

Составитель: Ившина Л.Г.,

учитель математики

МБОУ Уканская средняя

общеобразовательная школа

2015- 2016 уч. год

Рецензия на рабочую программу элективного курса по математике «Целые числа. Делимость чисел».

Составитель: Ившина Л.Г., учитель математики МБОУ Уканская СОШ.

Программа элективного курса «Целые числа. Делимость чисел» рассчитана на обучающихся 8- 9 классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению математики. Рабочая программа включает следующие разделы: пояснительную записку с определением целей и задач курса; описание места учебного курса в учебном плане; личностные, метапредметные и предметные результаты освоения элективного курса; содержание элективного курса; тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности обучающихся; описание учебно- методического обеспечения элективного курса; приложение. Анализ содержания программы позволяет констатировать, что программа соответствует основным принципам реализации концепции профильного обучения, содержание ее актуально, так как программа содержит новые для учащихся знания, не содержащиеся в базовых программах. Так же программа содержит все знания необходимые для достижения запланированных целей обучения. Развертывание материала в программе структурировано таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими темами. Степень обобщенности включенных в программу знаний соответствует поставленным в ней целям и обучения и развитию абстрактного мышления учащихся, формированию системности знаний. Методы обучения соответствуют поставленным в программе целям. Материал программы распределен во времени с учетом его достаточности для качественного изучения учащимися и получения запланированных результатов. Элективный курс позволит учащимся систематизировать, расширить и укрепить знания по теме «Целые числа. Делимость чисел». Данный курс позволит учителю наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам. Весь курс рассчитан на 30 часов. В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активации познавательной деятельности учащихся. Учителем разработаны занятия по всем темам курса, разработаны примерные задания по темам курса с их решением, также есть методические рекомендации к изучению курса. Таким образом, рабочая программа элективного курса «Целые числа. Делимость чисел» полностью соответствует ФГОС, типовой программе дисциплины и может быть использована в учебном процессе.

Рецензент директор МБОУ Уканская СОШ: ________________ (Васильева И.П.)

Заявка на участие в конкурсе элективных курсов

1.ФИО участника	Ившина Лариса Геннадьевна
2. Место работы	МБОУ Уканская средняя общеобразовательная школа Ярского района
3.Контактные телефоны: Рабочий сотовый	9-05-46 89508156303
4.Наименование элективного курса	Целые числа. Делимость чисел.
5.Сроки реализации курса	1 год
6.Список прилагаемых к программе материалов	Разработки занятий, методические рекомендации, дидактические материалы.

Элективные курсы по математике

в системе профильного обучения

«В математике всё основано на непрерывном труде, когда человек непосредственно собственными усилиями как бы поднимается по высокой лестнице обучения всё выше и выше».

М.И.Калинин.

Математика занимает одно из центральных мест в общей системе образования. Эта её роль определяется глубоким богатством математических идей и результатов, накопленных человечеством за тысячи лет развития и являющихся существенной частью его культурного наследия, непрерывно расширяющимся спектром приложений математики к самым различным сторонам жизни и деятельности человека, несомненным влиянием математики на воспитание важнейших личностных качеств, её воспитательным потенциалом.

Слова Галилея о том, что «природа написана на языке математики», сказанные четыреста лет назад и подтверждаемые каждым новым поколением, являются достаточным основанием для того, чтобы отвести математике подобающее место в системе общего образования.

В нашей стране обучение в школе долгое время проводилось по единому учебному плану и программам. При этом не учитывались индивидуальные особенности учащихся. Такой подход к образованию не позволял выявить профессиональные интересы школьников, приводил к перегрузке учебным материалом одних и недогрузке других, что не могло не сказываться на общей успеваемости каждого ученика. Усилия решить эту проблему с помощью пересмотра содержания учебного материала или сокращения часов по одним предметам и увеличения по другим не давали положительных результатов. Также недостаточно эффективно действовало решение о разделении классов на группы «слабых» учащихся и «сильных». Не всегда правильно подбирались формы и методы обучения, что приводило к снижению научного уровня образования. В результате у учащихся снижался интерес к учению, к самому процессу получения знаний.

Сегодня школа должна учитывать индивидуальные особенности каждого ученика, его профессиональные интересы, социальный заказ семьи и государства. Решением данной проблемы является использование дифференциации обучения, точнее одной из форм дифференциации - профильного обучения.

Переход школ на профильное обучение является основным моментом концепции модернизации российского образования на период до 2010 года. Российская школа накопила немалый опыт по дифференцированному обучению учащихся. Первая попытка осуществления дифференциации обучения в школе относится к 1864 году, когда был принят Указ об организации семиклассных гимназий двух типов: классической и реальной.

В двадцатом веке несколько раз предпринимались попытки осуществить дифференциацию обучения, в том числе были и предложения о введении профильного обучения на старшей ступени школы. Одним из самых ярких и долговечных примеров дифференциации обучения в нашей стране является введение факультативных занятий, школ и классов с углублённым изучением отдельных предметов, которые сохранились до настоящего времени.

В чём же основное преимущество дифференциации обучения перед остальными способами изменения структуры учебного процесса?

1. Дифференциация обучения позволяет организовать учебный процесс на основе учёта индивидуальных особенностей личности.

2. Процесс обучения в условиях дифференциации становится максимально приближённым к познавательным потребностям ученика, его профессиональному интересу.

3. Организация дифференцированного обучения усиливает развивающие функции процесса обучения; например, в классах естественно – математического профиля обращается внимание на развитие таких мыслительных операций ученика, как анализ и синтез, выявление закономерностей, сравнение, выдвижение гипотез и их проверка.

Таким образом, основная цель дифференциации обучения – обеспечить каждому ученику условия для максимального развития его способностей, склонностей, профессиональных интересов и удовлетворения познавательных потребностей.

Основными целями профильного обучения являются следующие:

1.Обеспечение углублённого изучения отдельных предметов программы полного общего образования.

2.Создание условий для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ.

3.Способствование установлению равного доступа к полноценному образованию для разных категорий обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями.

4.Расширение возможностей специализации учащихся обеспечит преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективную подготовку выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Система профильного обучения включает в себя учебные предметы следующих типов: базовые, общеобразовательные и элективные.

«Элективный» происходит от латинского слова «electus»- избранный, избирательный.

Элективные курсы в системе профильного обучения выполняют несколько основных функций:

- дополняют содержание профильного курса;

- развивают содержание одного из базисных курсов, изучение которого в данном классе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне;

- удовлетворяют познавательные интересы отдельных школьников, выходящие за рамки выбранного ими профиля, в различных областях деятельности человека.

Одной из важных задач введения элективных курсов по математике является развитие у учащихся интереса собственно к математике. Ученик должен чувствовать эстетическое удовлетворение от красиво решённой задачи, от установленной им возможности приложения математики к другим наукам.

Тематика элективных курсов для профиля математической направленности может быть самой разнообразной. Основные типы элективных курсов по математике:

1. Элективные курсы, основная цель которых- углубить изучение определённого раздела из курса математических дисциплин. Примерами таких курсов могут быть: «Замечательные неравенства, их обоснование и применение», «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики».

2. Лабораторно-практические или прикладные элективные курсы, цель которых- научить учащихся основным специальным навыкам и умениям, познакомить с методами применения знаний на практике и развить интерес учащихся к исследовательской деятельности по математике. Примерами таких курсов могут быть: «Математика в архитектуре», «Задачи прикладной математики».

3. Межпредметные элективные курсы. В данном случае можно выбрать следующие курсы: «Математические основы информатики», «Геометрическое моделирование окружающего мира», «Математический язык через призму естественного языка или язык математики».

4. Элективные курсы, посвящённые истории развития математической науки. Примерами таких курсов могут быть: «Обоснования в математике (от Евклида до компьютера)», «Мир, математика, математики (историческая реконструкция элементарной алгебры и математического анализа)».

5. Элективные курсы, посвящённые изучению современных направлений в математической науке и её основных достижений. Например: «Современные достижения в области математики».

Элективные курсы являются одним из основных компонентов профильного обучения, так как направлены на достижение важной цели профильного обучения: развитие личности ребёнка, распознавание и раскрытие его способностей.

А важной целью обучения в математическом профиле является знакомство учащихся с математикой как с общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Элективный курс проводится для сравнительно небольшого числа учащихся, изъявивших желание его выбрать. Ученики, занимающиеся на элективных курсах, должны написать проект по одной из тем, которые предлагает учитель или по своей теме.

« Мало знать, надо и применять.

Мало хотеть, надо и делать».

И.Гёте.

Пояснительная записка

«Никогда не считай, что ты

знаешь всё, что тебе уже

больше нечему учиться».

Н.Д. Зелинский

Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются и как цель, и как средство обучения, а иногда и как предмет изучения. Ограниченность учителя временными рамками урока и временем изучения темы, нацеленность учителя и учащихся на достижение ближайших целей, к сожалению, мало способствует решению на уроке задач творческого характера, нестандартных задач, задач повышенного уровня сложности, при решении которых необходимы знания разделов математики, выходящих за пределы школьного курса. Представленная программа элективного курса предполагает решение дополнительных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к олимпиадам, так и при учебе в высших учебных заведениях. Предлагаются к рассмотрению следующие вопросы курса математики, выходящие за рамки школьной программы: алгоритм Евклида; свойства остатков при делении; числа, сравнимые по модулю; метод математической индукции; решение уравнений с двумя переменными в целых числах. Стоит также отметить, что при изучении темы, входящей в школьный курс математики, на элективном курсе рассматриваются задачи нестандартного вида (олимпиадные задачи). Элективный курс представлен в виде практикума, который позволит систематизировать и расширить знания учащихся в решении задач по математике и позволит начать целенаправленную подготовку к олимпиадам.

Программа элективного курса предназначена для учащихся 8 классов, рассчитана на 30 часов (также можно курс провести и в 9 классе).

Цель курса :

· создание условий для формирования и развития у обучающихся самоанализа и систематизации полученных знаний, подготовка к олимпиадам по математике.

· интеллектуальное развитие учащихся, совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся, формирование качеств мышления, характерных дл математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе: лаконизм, точность, полнота, ясность, интуиция, умение отличать известное от неизвестного, искусство анализировать, ставить гипотезы, опровергать их или доказывать, пользоваться аналогиями и т.д.

· овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

· развитие интереса к математике через решение задач повышенной трудности.

Задачи курса:

· формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;

· расширение и углубление курса математики;

· формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;

· формирование навыка работы с научной литературой, использования различных интернет-ресурсов;

· развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Рассчитанная на 30 часов, программа может быть реализована за 1 учебный год в 8 классе, по 1 часу в неделю.

Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация, комбинированный урок, зачет.

Формы проведения занятий включают в себя лекции, практикумы и т.д. по использованию методов поиска решений.
Основной тип занятий комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания. Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала. В ходе обучения проводятся рассчитанные на 45 минут зачеты для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Контрольные замеры обеспечивают эффективную обратную связь, позволяющую обучающим и обучающимся корректировать свою деятельность .Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет обучающимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.

Предполагаемые результаты

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

· повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

· освоить основные приемы решения задач;

· овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

· познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

· повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

· познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе интернет-ресурсов, в ходе подготовки к олимпиадам.

Место элективного курса

Рабочая программа рассчитана на 30 часов, 1 час в неделю, 30 учебных недель. В течение года планируется провести 4 зачета. При организации учебного процесса будет обеспечена последовательность изучения учебного материала: новые знания опираются на недавно пройденный материал; обеспечено поэтапное раскрытие тем с последующей их реализацией.

Учебно-тематический план

№п/п	Наименование разделов	Всего часов	В том числе		Форма контроля
№п/п	Наименование разделов	Всего часов	Теорет	Практ.
1.	Простые и составные числа. Числа Мерсенна. Совершенные числа.	2	1	1
2.	Признаки делимости. Свойства делимости чисел.	3	1	2	Зачет
3.	Общие делители и кратные.	2	1	1
4.	Алгоритм Евклида.	2	1	1
5.	Свойства остатков при делении.	2	1	1
6.	Разные задачи с применением алгоритма Евклида.	3		3	Зачет
6.	Разные задачи с применением алгоритма Евклида.	3		3
7.	Числа, сравнимые по модулю.	3	1	2
8.	Метод математической индукции.	4	1	3	Зачет
9.	Решение уравнений в целых числах. Линейные уравнения.	2	1	1
10.	Решение уравнений в целых числах. Нелинейные уравнения.	2	1	1
11.	Решение уравнений в целых числах. Разные задачи.	3		3	Зачет
12.	Обобщающий урок по курсу.	2		2
	Итого:	30	9	21

Содержание курса и методические рекомендации

Простые и составные числа. Числа Мерсенна. Совершенные числа. (2 часа)

Простые и составные числа. Числа Мерсенна. Совершенные числа. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа. Числа близнецы.

Методические рекомендации. Теоретический материал дается в виде лекции, основное внимание уделяется отработке практических навыков. Учащиеся должны научиться определять простые и составные числа, применяя решето Эратосфена. Научиться записывать каноническое разложение числа.

Признаки делимости. Свойства делимости чисел. (3 часа)

Признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Признаки делимости на составные числа (условия делимости). Свойства делимости числа.

Методические рекомендации. В ходе изучения этой темы учащиеся должны усвоить признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Также научиться определять признаки делимости на составные числа, например, признак делимости на 8 или на 15. Учащиеся должны изучить свойства делимости числа, кроме этого изучить делимость суммы, делимость произведения. Данный материал отработать на примерах. Решение примеров данного вида позволяет ученикам научиться анализировать, находить способы решения задач.

Общие делители и кратные. (2 часа)

Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел.

Методические рекомендации. Изучение этой темы предполагает систематизацию полученных знаний по теме и углубление школьного курса. В лекции разбираются задачи разного уровня сложности. От простых, повторяющих школьную программу задач (таких немного), до сложных задач, решение которых обеспечивает хорошую и отличную подготовку к олимпиадам.

Алгоритм Евклида. (2 часа)

Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида.

Методические рекомендации. Теоретический материал дается в виде лекции, основное внимание уделяется отработке практических навыков. Учащиеся должны научиться находить НОД чисел с помощью алгоритма Евклида. Решать задачи на нахождение НОК чисел. Сокращать дроби, находить общий знаменатель дробей при больших числах. При решении используются коллективная, групповая и индивидуальная формы работы с учащимися.

Свойства остатков при делении.(2 часа)

Четные и нечетные числа. Кратные числа. Деление с остатком. Свойства остатков при делении.

Методические рекомендации. Теоретический материал дается в форме беседы. Учащиеся учатся находить закономерности, обобщают знания по данной теме.

Разные задачи с применением алгоритма Евклида.(3 часа)

Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида. Четные и нечетные числа. Кратные числа. Деление с остатком. Свойства остатков при делении.

Методические рекомендации. Обобщение знаний по данным темам. Уметь применять знания при решении нестандартных задач. Уметь находить решение поставленной задачи.

Числа, сравнимые по модулю.(3 часа)

Остаток числа. Деление с остатком. Числа, сравнимые по модулю. Свойства остатков.

Методические рекомендации. Теоретический материал дается в виде лекции, основное внимание уделяется отработке практических навыков. На лекции разбираются задания от простых до сложных. На втором занятии закрепляются умения и навыки по данной теме при решении нестандартных задач.

Метод математической индукции.(4 часа)

Метод математической индукции. Преобразование выражений. Признаки делимости. Свойства делимости.

Методические рекомендации. Теоретический материал дается в виде лекции. Необходимо разобрать данный метод, изучить его суть. Показать его применение при решении заданий на делимость.

Решение уравнений в целых числах. Линейные уравнения.(2 часа)

Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Линейное уравнение и его вид. Способы решения линейных уравнений в целых числах.

Методические рекомендации. На первом занятии повторить понятие уравнения, корни уравнения, линейное уравнение с двумя переменными. Изучить способы решения линейных уравнений в целых числах. Показать при решении уравнений применение алгоритма Евклида, НОД чисел.

Решение уравнений в целых числах. Нелинейные уравнения.(2 часа)

Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений в целых числах.

Методические рекомендации. На первом занятии повторить понятие уравнения, корни уравнения, нелинейное уравнение с двумя переменными. Изучить способы решения нелинейных уравнений. Закрепить способы решения нелинейных уравнений.

Решение уравнений в целых числах. Разные задачи. (3 часа)

Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений и линейных уравнений в целых числах. Текстовые задачи.

Методические рекомендации. Применять решение линейных и нелинейных уравнений при решении текстовых задач. Уметь решать текстовые задачи с помощью уравнений. Уметь анализировать полученные ответы по смыслу задачи.

Обобщающий урок по курсу. (2 часа)

Основные понятия по всему курсу. Виды заданий и способы их решения. Олимпиадные задания по теме: «Делимость чисел».

Методические рекомендации. Последние занятия проходят в виде практикума.

Методические рекомендации к курсу

1. В данный элективный курс учитель может добавить часы на изучение определенных тем на свое усмотрение.

2. В данный элективный курс можно добавить темы для изучения.

3. Разработаны примерные задания по каждой теме. Также есть задания к зачетам. Учитель может также к зачетам добавлять теоретическую часть.

4. Перед проведением некоторых занятий можно задавать задания учащимся: повторить определенную тему, вспомнить некоторые свойства и правила и т.д. для того, чтобы урок был более плодотворным и учитель мог больше дать практических заданий.

5. На последних обобщающих уроках можно решать задания всем классом или сделать зачет по решению олимпиадных задач по данному курсу. Также их можно заменить на изучение какой- либо темы.

Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания элективного курса

Изучение элективного курса по данной программе способствует формированию у учащихся личностных, метапредметных и предметных результатов обучения, соответствующих требованиям федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования.

Личностные результаты:

1) воспитание российской гражданской идентичности: патриотизма, уважения к Отечеству, осознания вклада отечественных учёных в развитие мировой науки;

2) ответственное отношение к учению, готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

3) осознанный выбор и построение дальнейшей индивидуальной траектории образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений с учётом устойчивых познавательных интересов, а также на основе формирования уважительного отношения к труду, развитие опыта участия в социально значимом труде;

4) умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности;

5) критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении задач.

Метапредметные результаты:

1) умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности;

2) умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности

в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;

3) умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основное, устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы;

5) развитие компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий;

6) первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;

7) умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

8) умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме, принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной или вероятностной информации;

9) умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

10) умение выдвигать гипотезы при решении задачи, понимать необходимость их проверки;

11) понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Предметные результаты:

1) осознание значения математики для повседневной жизни человека;

2) представление о математической науке, как сфере математической деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;

3) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования;

4) владение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания;

5) практически значимые математические умения и навыки, их применение к решению математических и не математических задач, предполагающее умения:

• определять простые и составные числа; использовать решето Эратосфена;

• использовать признаки делимости и свойства делимости чисел при вычислениях и решении задач на доказательство;

• находить НОД и НОК чисел, применять алгоритм Евклида;

• применять свойства остатков при делении;

• применять метод математической индукции при решении задач на доказательство;

• проводить несложные практические вычисления с числами, использовать деление с остатком;

• использовать буквенную символику для записи общих утверждений, формул, выражений, уравнений;

• решать линейные, нелинейные уравнения перебором возможных вариантов; использовать другие способы решения данных уравнений;

• уметь решать текстовые задачи с помощью уравнений; анализировать полученные ответы;

• использовать математические знания при решении нестандартных задач.

•овладение символьным языком алгебры, приемами решения уравнений; умение моделировать реальные ситуации на языке алгебры; исследовать построенные модели; интерпретировать полученный результат.

Виды универсальных учебных действий

Личностные УУД обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание моральных норм и умение выделить нравственный аспект поведения), а также ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Применительно к учебной деятельности следует выделить три вида действий:

1) самоопределение - личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

2) смыслообразование - установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется. Учащийся должен задаваться вопросом о том, «какое значение, смысл имеет для меня учение», и уметь находить ответ на него;

3) нравственно-этическая ориентация - действие нравственно – этического оценивания усваиваемого содержания, обеспечивающее личностный моральный выбор на основе социальных и личностных ценностей.

Регулятивные УУД обеспечивают организацию учащимся своей учебной деятельности. К ним относятся следующие:

1) целеполагание - как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

2) планирование - определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

3) прогнозирование – предвосхищение результата и уровня усвоения; его временных характеристик;

4) контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений от него;

5) коррекция – внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения ожидаемого результата действия и его реального продукта;

6) оценка – выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, оценивание качества и уровня усвоения;

7) саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии; способность к волевому усилию – выбору в ситуации мотивационного конфликта и к преодолению препятствий.

Познавательные УУД включают общеучебные, логические действия, а также действия постановки и решения проблем.

Общеучебные универсальные действия:

1) самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

2) поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

3) структурирование знаний;

4) осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

5) выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

6) рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

7) смысловое чтение; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

8) постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

1) моделирование;

2) преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Логические универсальные действия:

1) анализ;

2) синтез;

3) сравнение, классификация объектов по выделенным признакам;

4) подведение под понятие, выведение следствий;

5) установление причинно-следственных связей;

6) построение логической цепи рассуждений;

7) доказательство;

8) выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:

1) формулирование проблемы;

2) самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Коммуникативные УУД обеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнера по общению или деятельности, умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми. Видами коммуникативных действий являются:

1) планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение целей, функций участников, способов взаимодействия;

2) постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

3) разрешение конфликтов – выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешение конфликта, принятие решения и его реализация;

4) управление поведением партнера – контроль, коррекция, оценка действий партнера;

5) умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Развитие системы УУД в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий, определяющих становление психологических способностей личности, осуществляется в рамках нормативно - возрастного развития личностной и познавательной сфер ребенка. Процесс обучения задает содержание и характеристики учебной деятельности ребенка и тем самым определяет зону ближайшего развития указанных УУД – уровень их сформированности, соответствующей нормативной стадии развития и релевантный «высокой норме» развития, и свойства.

Тематическое планирование

№ п/п	Планиру-емая дата проведе-ния урока	Тема урока	Планируемые результаты		Основные виды деятельности обучающихся
№ п/п	Планиру-емая дата проведе-ния урока	Тема урока	Базовые понятия	УУД	Основные виды деятельности обучающихся

1		Простые и составные числа. Числа Мерсенна. Совершенные числа.	Цели и задачи изучения элективного курса « Делимость целых чисел». Содержание курса. Методы поиска информации в книгах, журналах и сети Интернет. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Числа Мерсенна, совершенные числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся находить необходимую информацию в учебных пособиях, наблюдать, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, слушать одноклассников, учителя, вести небольшой познавательный диалог по теме урока. Личностные: имеют мотивацию к учебной и творческой деятельности.	Работа с текстом учебника, фронтальная работа с классом, индивидуальная работа.
2		Простые и составные числа. Числа Мерсенна. Совершенные числа.	Методы поиска дополнительной информации в книгах, журналах и сети Интернет. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Числа Мерсенна, совершенные числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся находить необходимую информацию в учебных пособиях, наблюдать, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, слушать одноклассников, учителя. Личностные: имеют мотивацию к учебной и творческой деятельности.	Работа с текстом учебника, фронтальная работа с классом, индивидуальная работа. Усвоение основных определений и понятий по теме.

3		Признаки делимости. Свойства делимости чисел.	Признаки делимости на2, на 3, на 5, на 9, на 10. Признаки делимости на составные числа (условия делимости). Свойства делимости числа.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся находить необходимую информацию в учебных пособиях и других источниках, перерабатывать полученную информацию, делать выводы в результате совместной работы всего класса, наблюдать, анализировать информацию, вести познавательный диалог по теме урока. Коммуникативные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, слушать одноклассников, учителя. Личностные: имеют мотивацию к учебной и творческой деятельности.	Фронтальная работа с классом, индивидуальная работа (карточки-задания). Усвоение основных определений и понятий по теме.
4		Признаки делимости. Свойства делимости чисел.	Признаки делимости на2, на 3, на 5, на 9, на 10. Признаки делимости на составные числа (условия делимости). Свойства делимости числа.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, перерабатывать полученную информацию, делать выводы в результате совместной работы всего класса, выбирать наиболее эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других, умение выражать полноту своих мыслей. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная работа с классом, индивидуальная работа (карточки-задания). Усвоение основных определений и понятий по теме.
5		Зачет по теме: «Простые и составные числа. Признаки делимости».	Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Числа Мерсенна, совершенные числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа. Признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Признаки делимости на составные числа (условия делимости). Свойства делимости числа.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся организовывать рабочее место, перерабатывать полученную информацию, делать выводы в результате своей работы, наблюдать, анализировать информацию, Коммуникативные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, слушать одноклассников, учителя. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Индивидуальная работа (карточки- задания). Контроль полученных знаний и умений.
6		Общие делители и кратные.	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу, определять в диалоге с учителем успешность выполнения задания. Познавательные: научатся находить необходимую информацию в учебных пособиях, анализировать информацию, делать выводы, строить логическую цепь рассуждений. Коммуникативные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, слушать одноклассников, учителя. Личностные: имеют мотивацию к учебной и творческой деятельности.	Работа с текстом учебника, фронтальная работа с классом, индивидуальная работа.
7		Общие делители и кратные.	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу, определять в диалоге с учителем успешность выполнения задания. Познавательные: научатся находить необходимую информацию в учебных пособиях, анализировать информацию, делать выводы, строить логическую цепь рассуждений. Коммуникативные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, слушать одноклассников, учителя. Личностные: имеют мотивацию к учебной и творческой деятельности.	Работа с текстом учебника, фронтальная работа с классом, индивидуальная работа.
8		Алгоритм Евклида.	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, выбирать наиболее эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
9		Алгоритм Евклида.	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу, определять успешность выполнения заданий. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы в результате работы всего класса, выбирать наиболее эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная работа с классом. Индивидуальная работа (карточки- задания).
10		Свойства остатков при делении.	Четные и нечетные числа. Кратные числа. Деление с остатком. Свойства остатков при делении.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Участие в беседе по теме, усвоение основных операций и понятий по теме.
11		Свойства остатков при делении.	Четные и нечетные числа. Кратные числа. Деление с остатком. Свойства остатков при делении.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
12		Разные задачи с применением алгоритма Евклида.	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида. Свойства остатков при делении.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, структурирование знаний. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других, умение с полнотой выражать свои мысли. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Применение знаний и умений по теме при решении нестандартных задач.
13		Разные задачи с применением алгоритма Евклида.	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида. Свойства остатков при делении.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, структурирование знаний. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других, умение с полнотой выражать свои мысли. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Применение знаний и умений по теме при решении нестандартных задач.
14		Зачет по теме: «Делители и кратные. Алгоритм Евклида».	Общие делители. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель (НОД) чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Связь между НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида. Четные и нечетные числа. Кратные числа. Деление с остатком. Свойства остатков при делении.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу, определять успешность выполнения заданий. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Индивидуальная работа (карточки- задания). Контроль полученных знаний и умений.
15		Числа, сравнимые по модулю.	Остаток числа. Деление с остатком. Числа, сравнимые по модулю. Свойства остатков.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
16		Числа, сравнимые по модулю.	Остаток числа. Деление с остатком. Числа, сравнимые по модулю. Свойства остатков.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся рассуждать, формулировать ответы на вопросы, вступать в учебное сотрудничество, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
17		Числа, сравнимые по модулю.	Остаток числа. Деление с остатком. Числа, сравнимые по модулю. Свойства остатков.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
18		Метод математической индукции.	Метод математической индукции. Преобразование выражений. Признаки делимости. Свойства делимости.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, осознанное и произвольное построение речевого высказывания. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других, уметь с полнотой выражать свои мысли. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
19		Метод математической индукции.	Метод математической индукции. Преобразование выражений. Признаки делимости. Свойства делимости.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, осознанное и произвольное построение речевого высказывания. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других, Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
20		Метод математической индукции.	Метод математической индукции. Преобразование выражений. Признаки делимости. Свойства делимости.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, осознанное и произвольное построение речевого высказывания. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других, Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
21		Зачет по теме: «Числа, сравнимые по модулю. Метод математической индукции».	Остаток числа. Деление с остатком. Числа, сравнимые по модулю. Свойства остатков. Метод математической индукции. Преобразование выражений. Признаки делимости. Свойства делимости.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу, определять успешность выполнения заданий. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, осознанное и произвольное построение речевого высказывания. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Индивидуальная работа (карточки- задания). Контроль полученных знаний и умений.
22		Решение уравнений в целых числах. Линейные уравнения.	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Линейное уравнение и его вид. Способы решения линейных уравнений в целых числах.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, предлагать эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Участие в беседе по теме, усвоение основных операций и понятий по теме.
23		Решение уравнений в целых числах. Линейные уравнения.	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Линейное уравнение и его вид. Способы решения линейных уравнений в целых числах.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, предлагать эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
24		Решение уравнений в целых числах. Нелинейные уравнения.	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений в целых числах.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, предлагать эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Участие в беседе по теме, усвоение основных операций и понятий по теме.
25		Решение уравнений в целых числах. Нелинейные уравнения.	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений в целых числах.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, предлагать эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом.
26		Решение уравнений в целых числах. Разные задачи.	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений и линейных уравнений в целых числах. Текстовые задачи.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Применять полученные знания при решении нестандартных задач.
27		Решение уравнений в целых числах. Разные задачи.	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений и линейных уравнений в целых числах. Текстовые задачи.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Усвоение основных определений и понятий по теме. Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Применять полученные знания при решении нестандартных задач.
28		Зачет по теме: «Линейные и нелинейные уравнения в целых числах».	Уравнение и его корни. Перебор решений уравнения. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Способы решения нелинейных уравнений и линейных уравнений в целых числах. Текстовые задачи.	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы, предлагать эффективные пути решения задачи. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Индивидуальная работа (карточки- задания). Контроль полученных знаний и умений.
29		Обобщающий урок по курсу.	Основные понятия по всему курсу. Виды заданий и способы их решения. Олимпиадные задания по теме: «Делимость чисел».	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Применять полученные знания при решении нестандартных задач.
30		Обобщающий урок по курсу	Основные понятия по всему курсу. Виды заданий и способы их решения. Олимпиадные задания по теме: «Делимость чисел».	Регулятивные: научатся принимать и сохранять учебную задачу. Познавательные: научатся наблюдать, осуществлять поиск необходимой информации из различных источников, анализировать информацию, делать выводы. Коммуникативные: научатся формулировать ответы на вопросы, слушать одноклассников, учителя, воспринимать мнение других. Личностные: проявляют интерес к новым знаниям.	Фронтальная и индивидуальная работа с классом. Применять полученные знания при решении нестандартных задач.

Учебно методическое обеспечение курса

1.Агаханов Н.Х., Подлипский О.Н.Методические олимпиады московской области 1993- 2005. Изд.2- М.: МФТИ, 2006.

2. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 2-е издание.- М.: МЦНМО, 2005.

3. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики, 10-11. –М.: Просвещение, 1996.

4. Галкин В.Я., Сычугов Д.Ю., Хорошилова Е.В. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел.- М.: Макс Пресс,2003.

5. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8- 9 классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2001.

6. Кравцев С.В.Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. М.: Издательство «Экзамен», 2005.

7. Математическая энциклопедия абитуриента, вып.1: Петрович А.Ю., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Числа и многочлены. М.: МФТИ и РОУ , 1992.

8. Фалин Г.И., Фалин А.И. Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ.- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

9.Чубарова Е.И., Чубаров И.А. Элементы теории сравнений и их применение к решению задач.- «Потенциал», 2005.

10. Шень А. Простые и составные числа. – М.: МЦНМО,2005.

11. Шибасов Л.П. От единицы до бесконечности. – М.: Дрофа, 2006.

Приложение

Делимость чисел.

Простые и составные числа.

Делимость - способность одного числа делиться на другое. Свойства делимости зависят от того, какие множества чисел рассматривают. Если рассматривают только целые положительные (натуральные) числа, то говорят, что одно число делится на другое (является кратным другого), если частное от деления первого числа на второе будет также целым числом.

Число называется простым, если у него нет делителей, отличных от него самого и от единицы (например, числа 2, 3, 5, 7, 97, 199 и т.д.), и составным в противном случае. Число 1 не является ни простым числом, ни составным. Обратим внимание, что среди простых чисел только одно четное – 2.

Доказано, что простых чисел - бесконечно много. Таблицы простых чисел печатаются в математических справочниках и учебниках, их можно найти в Интернете.

Учителю. Напомните ученикам о методе нахождения простых чисел – решете Эратосфена.

Таблица простых чисел до 1500.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61
67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251
257	263	269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941	947	953
967	971	977	983	991	997	1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163	1171	1181	1187	1193	1201	1213
1217	1223	1229	1231	1237	1249	1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321
1327	1361	1367	1373	1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439	1447	1451	1453	1459	1471	1481
1483	1487	1489	1493	1499

Задание 1. Если простые числа отличаются на 2, то их называют числами-близнецами. Например, в первой сотне это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73. Назовите числа-близнецы из пятой сотни.

Ответ: 419 и 421, 431 и 433, 461 и 463.

Учителю. Можно провести несколько игр на эту тему: устроить соревнование по нахождению чисел–близнецов, сравнить разные сотни по количеству пар и т.д.

Числа Мерсенна.

Марен Мерсенн (1588 - 1648) - французский математик и философ. Со времен учебы дружил с Декартом. Переписывался с Галилеем, Паскалем, Торричелли и Ферма. Когда он жил в Париже, то в его доме еженедельно происходили собрания математиков и физиков, сообщавших результаты своих исследований. Позднее при содействии Кольбера в 1666 году из этого кружка образовалась парижская академия наук. Сочинения самого Мерсенна были посвящены богословию, физике и теории чисел.

Мерсенн исследовал числа вида М_р= 2^р- 1,где р – простое число.

М₂= 2²- 1 = 3; простое число;

М₃= 2³- 1 = 7; простое число;

Задание 2. Найдите первых шесть чисел Мерсенна и определите, есть ли среди них составные числа.

Решение.

М₅= 2⁵- 1 = 31; простое число.

М₇= 127 - простое число.

М₁₁= 2047 – составное (23∙89).

М₁₃=8191 –простое.

Математикам всегда было интересно найти самое большое простое число. Леонард Эйлер в своё время нашел большое простое число 2³¹ − 1 = 2147483647.

p	Число цифр в числе p	Год открытия	Кто открыл
2¹²⁷ – 1	39	1876	Люка
(2¹⁴⁸ + 1)/17	44	1951	Феррье
114(2¹²⁷ – 1) + 1 180(2¹²⁷ – 1)² + 1	41 79	1951	Миллер + Уиллер + EDSAC 1
2⁵²¹ – 1 2⁶⁰⁷ – 1 2¹²⁷⁹ – 1 2²²⁰³ – 1 2²²⁸¹ – 1	157 183 386 664 687	1952	Лемер + Робинсон + SWAC
2³²¹⁷ – 1	969	1957	Ризель + BESK
2⁴²⁵³ – 1 2⁴⁴²³ – 1	1281 1332	1961	Хурвитц + Селфридж + IBM 7090
2⁹⁶⁸⁹ – 1 2⁹⁹⁴¹ – 1 2¹¹²¹³ – 1	2917 2993 3376	1963	Гиллис + ILIAC 2
2¹⁹⁹³⁷ – 1	6002	1971	Таккермэн + IBM 360
…

На сегодняшний день известно более 40 простых чисел Мерсенна. Современная техника позволяет ускорить процессы вычислений, однако все равно это трудоемкий процесс, и тому, кто найдет простое число из более чем 100 000 000 цифр обещана большая премия.

Число называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от него самого. Например, 6 – совершенное число, так как 6 = 1 + 2 + 3. Евклид обнаружил, что если число 2^p – 1 – простое, то число 2^p^–1(2^p – 1) будет совершенным. Например, для р =2, 2^р- 1 = 2²- 1 = 3; 2^p^–1(2^p – 1) = 2²^–1(2² – 1) =2∙3 =6.

Через века Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид. Существуют ли вообще нечётные совершенные числа науке до сих пор неизвестно.

Задание 3. Найдите три совершенных числа.

Решение.

Если р = 3, 2^р- 1 = 2³- 1 = 7, 2^p^–1(2^p – 1) = 2³^–1(2³ – 1) = 4∙7 = 28. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Если р = 5, 2^р- 1 = 2⁵- 1 = 31, 2^p^–1(2^p – 1) = 2⁵^–1(2⁵ – 1) =16∙31 =496.

496 = 1 + 2 + 4 + 6 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Если р = 7, 2^р- 1 = 2⁷- 1 = 127, 2^p^–1(2^p – 1) = 2⁷^–1(2⁷– 1) =64∙127 =8128.

8128 = 1 + 2 + 4 +8 + 16 + 32+ 64 + 127 + 254 + 508 +1016 + 2032 + 4064.

Ответ: 28, 496, 8128.

Любое целое число можно представить в виде произведения простых чисел или разложить на простые множители. Например, 504 = 2×2×2×3×3×7, причём это разложение единственно с точностью до порядка множителей (как говорят, однозначно). Так, разложение числа 504 на множители может быть записано также следующим образом: 504 = 3×2×7×3×2×2 = 7×3×2×2×3×2 и т.д., однако все эти разложения отличаются только порядком множителей.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел единственным образом.

Запись числа в виде произведения степеней в порядке возрастания их оснований называется каноническим разложением числа: 504 = 2³×3²×7¹

Признаки делимости

В общем случае, число n делится на простое число р тогда и только тогда, когда р встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Существует ряд признаков делимости, по которым можно легко определить, делится ли натуральное число n на данное простое число р.

1. Число делится на 2, если оно оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то есть, если оно четное.

2. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

3. Число делится на 3 или на 9, если сумма цифр числа делится на 3 или на 9 соответственно. Например, число 414 делится и на 3 и на 9 (сумма цифр равна 9), а число 417 делится на 3, но не делится на 9 (сумма цифр равна 12, делится на 3 и не делится на 9).

4. Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11. Например, число 1969 делится на 11 (сумма цифр, стоящих на четных местах равна 18, а на нечетных - 7).

Есть более сложные признаки делимости, но иногда полезно знать и о них.

5. Число делится на 7 или на 13, если на эти числа делится разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами; эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трёхзначному числу. Например, 825 678 делится на 7, т.к. 825-678 = 147 делится на 7.

Задание 1: Припишите к числу 1 000 000 три цифры справа так, чтобы число делилось на 7, 8 и 9.

Решение. Чтобы искомое число делилось на 8, число, составленное из приписанных цифр должно делиться на 8; чтобы делилось на 9 – сумма цифр искомого числа должна делиться на 9. Получить такое число (делится на 8 и 9) самым простым способом можно приписав 008. Получится число 1000 000 008. Проверим делимость его на 7.

По признаку делимости на 7: 1000000 – 8 = 999992;

999 -992 = 7; 7 делится на 7.

Или просто делим, 1 000 000 008: 7= 142 857 144. Мы получили искомое число.

Ответ: 1000 000 008.

Кроме признаков делимости на простые числа существуют также признаки делимости на составные числа. Например:

1. Число делится на 4, если число, записываемое двумя последними цифрами этого числа, делится на 4.

2. Число делится на 8, если число, записываемое тремя последними цифрами этого числа, делится на 8.

Установлено, что если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. На этом факте основаны простые признаки делимости на 6 = 2×3, на 12 = 3×4, на 15 = 3×5, на 18 = 2×9 и т.д.

1. На 6 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 3. Например, 12432 делится на 6, так как делится и на 2 и на 3.

2. На 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель). Например, 75348 делится на 12, так как делится и на 3 и на 4.

3. На 15 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 5. Например, 23520 делится на 15, так как делится и на 3 и на 5.

4. На 18 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 9. Например, 13518 делится на 18, так как делится и на 2 и на 9, и т.д.

Учителю. Попросите учеников самим придумать и сформулировать новые признаки делимости и примеры (например, на 21=3×7, 45 =5×9 и т.п.)

Полезно помнить и следующие свойства делимости чисел.

1. Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

2. Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

3. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число.

4. Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это же число.

5. Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Задание 2. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.

1 число	2 число	3 число	Сумма	Произведение
д	д	д
н	д	д
д	н	д
д	д	н
н	н	д
н	д	н
д	н	н
н	н	н

Решение.

1 число	2 число	3 число	Сумма	Произведение
д	д	д	д	д
н	д	д	н	д
д	н	д	н	д
д	д	н	н	д
н	н	д	Может делиться, может не делиться	д
н	д	н	Может делиться, может не делиться	д
д	н	н	Может делиться, может не делиться	д
н	н	н	Может делиться, может не делиться	н

Задание 3. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.

Задание 4. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Решение.

А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

Б) Ложное. Пример: 6 × 10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.

В) Ложное. Пример: 6 × 10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

Общие делители и кратные

Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка. Например, числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 являются общими делителями для чисел 36 и 24, а числа 14 и 15 имеют только один общий делитель – 1.

Для двух и более чисел среди всех их общих делителей существует наибольший, называемый наибольшим общим делителем (НОД). Например, НОД (48, 36, 24)=12.

Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то числа называются взаимно простыми. Например, НОД (16, 27) =1, значит, 16 и 27 – взаимно простые числа.

Пусть НОД(а,в)=с, тогда с= х·а +у·в, где х и у – целые числа. Такое представление общего делителя бывает удобно при решении некоторых задач.

Задание 1. Приведите 2-3 примера взаимно простых чисел и чисел, имеющих несколько общих делителей, найдите для них НОД.

Общим кратным данных чисел называется любое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел (без остатка). Например, числа 18, 12, 6, 120, 60 являются общими кратными для чисел 2 и 3.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Например, 6 – наименьшее общее кратное для 2 и 3.

Обратим внимание, что

Обычно НОД и НОК нескольких чисел находят, используя разложения чисел на простые множители. НОД равен произведению множителей, входящих в каждое разложение; НОК – произведению всех множителей, входящих хотя бы в одно разложение.

Рассмотрим множество делителей числа 20 и множество делителей числа 30:

Д(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}, Д(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Найдем пересечение этих множеств.

Д(20) È Д(30) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 30}, а Д(20) Ç Д(30) = {1, 2, 5, 10}.

НОД (20,30) = 10, то есть НОД нескольких чисел – это наибольший элемент из пересечения множеств делителей этих чисел.

Задание 2. Найдите НОД и НОК для чисел:

А) 18, 63;

Б) 18, 84;

В) 63, 84;

Г) 18, 63, 84.

Ответ.

А) НОД = 9; НОК = 126.

Б) НОД = 6; НОК =252.

В) НОД = 21; НОК =252.

Г) НОД = 3; НОК = 252.

Существует способ для вычисления НОД двух чисел – алгоритм Евклида, который особенно удобен, если числа большие.

Он основан на следующих свойствах делимости:

1. Любой общий делитель чисел а и в (а>в) является делителем числа (а -в).

2. Любой общий делитель чисел в и (а -в) является делителем числа а.

Тогда НОД (а, в)= НОД (в, а -в ).

Например, НОД (451, 287) = НОД (451-287, 287) = НОД (164, 287) = НОД (164, 123) = НОД (41, 123) = НОД (41, 82) = НОД (41, 41) = 41.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида работает так: на каждом шаге от пары чисел a > b мы переходим к паре a − b и b, то есть от большего числа отнимаем меньшее. Продолжим этот процесс. Так как числа никогда не будут отрицательными, и всегда будут натуральными, то процесс не может продолжаться вечно. А когда он остановится? А только тогда, когда числа в паре станут одинаковыми. Когда это произойдёт, найти их НОД уже не будет составлять никакого труда.

Пример 1. НОД(511,292) = НОД(219,292) = НОД(219,73) = НОД(146,73) = НОД(73,73) = 73

Ещё более упростить процесс помогает такое соображение: когда несколько раз вычитаем из большего числа меньшее: a − b, a − 2b, a − 3b, то остановимся мы тогда, когда число из большего наконец станет меньшим, например так: a − 4b < b. Но тогда a = (a − 4b) + 4b, то есть a − 4b это остаток от деления a на b. Так что можно было не расписывать все a − b, a − 2b и тд, а сразу заменить a на остаток от деления a на b. Часто это оказывается быстрее, чем много раз вычитать.

Пример 2. (413523,1443) = (825,1443) = (825,618) = (207,618) = (207,204) = (3,204) =3

3.Найдите НОД а) 142 и 235; б) 1313 и 13953.

4.Найдите НОД а) 10⁷ − 1 и 10⁵ − 1; б) 11...1 (n единиц) и 11...1 (m единиц); в) a^m − 1 и

aⁿ − 1.

5.Вася и Петя нашли на дороге по пачке 11-рублевок. В чайной Вася выпил 3 стакана чая, съел 4 калача и 5 бубликов. Петя выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Стакан чая, калач и бублик стоят по целому числу рублей. Оказалось, что Вася может расплатиться 11-рублевками без сдачи. Покажите, что это может сделать и Петя.

Несмотря на свою простоту, алгоритм Евклида является важным элементом математического образования. Рассмотрим несколько задач.

Задание 6: Вася рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей - еще на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2011 частей?

Решение. Так как Вася все время рвет на 8 частей, то в первый раз у него получится 8 частей, во второй раз - 15 разных частей (1∙7+8), в третий раз 22 части (2×7+8) и т.д., то есть каждый раз у него увеличивается на 7 частей, общее количество частей всегда имеет вид К×7+8. Посмотрим на число 2011, его нельзя представить в виде К×7+8. (2011 – 8 =2003, а 2003 не делится на 7). Значит, Вася не сможет разорвать газету на 2011 частей.

Ответ: нет.

Задание 7: Докажите, что k³- k делится на 6 при любом целом k.

Решение. k³– k = k(k²-1) = k(k-1)(k+1). Получили произведение трех последовательных чисел, из них одно всегда будет делиться на 3, и хотя бы одно будет делиться на 2, значит, произведение будет делиться на 6.

Задание 8. Докажите, что если р – простое нечетное число, то р² – 1 делится на 4.

Решение.р²– 1 = (р - 1)(р +1). Получили произведение двух чисел, одно из них больше на 1 нечетного числа, другое - меньше на 1, значит, оба четные. Произведение двух четных чисел делится на 4.

Учителю. В восьмом классе усложните задачу – докажите делимость на 8.

Произведение двух последовательных четных чисел всегда будет делиться на 8. Первое четное 2n, второе (2n + 2) , их произведение 2n(2n + 2) =2n∙2(n + 1) =4n∙(n + 1)делится на 4 и хотя бы одно из чисел nили (n + 1) будет делиться на 2, значит, произведение будет делиться на 8.

Задание 9. На какую цифру оканчивается число 3²⁰¹⁰?

Решение. Попробуем найти закономерность: 3¹=3, 3²=9; 3³=27; 3⁴=81; 3⁵=243; 3⁶=729, 3⁷=2187 и т.д. Очевидно, что последние цифры степени числа 3 начинают повторяться в определенном порядке: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… и т. д. Обратим внимание, что повторяются всего 4 цифры (3, 9, 7, 1), то есть, число равное 3ⁿ, где n кратно четырем, всегда оканчивается на 1. Разделим степень числа 3 на 4: 2010=4∙500 +10 = 4∙500 +8 + 2, отсюда, 3²⁰⁰⁸ оканчивается на 1, а 3²⁰¹⁰оканчивается на 9.

Ответ: 9.

Задание 10. Найдите знаменатель дроби, полученной после сокращения .

Решение. 10¹⁰⁰= 2¹⁰⁰∙5¹⁰⁰. Следовательно, в числителе нас интересуют только множители, кратные 2 и 5.

100! = 1 ∙ 2∙ 3 ∙ 4 ∙ …..∙ 98 ∙ 99 ∙ 100 – произведение 100 первых натуральных чисел. Среди них половина четные, это дает 50 множителей равных 2. Ровно 25 чисел делятся на 4, это дает еще дополнительно 25 множителей, равных 2. На 8 делятся 12 чисел, еще 12 множителей, равных 2. На 16 делятся 6 чисел, на 32 - 3 числа, на 64 - 1. Итого 97 множителей равных 2. Значит, в каноническом разложении числителя присутствует 2⁹⁷. Аналогично∙рассуждая, находим 24 множителя равных 5. Значит, в каноническом разложении присутствует 5²⁴. После сокращения в знаменателе останется 2³ ∙5⁷⁶.

Ответ: 2³ ∙5⁷⁶.

Задание 11 (Кенгуру-2004): Каков наибольший делитель числа 3²⁰⁰⁴ + 6, отличный от этого числа?

Решение. Число 3²⁰⁰⁴ + 6 не делится на 2, так как 6 делится на 2, а 3²⁰⁰⁴– не делится. Но 3²⁰⁰⁴ + 6 делится на 3. Поэтому наименьший делитель этого числа равен 3. Чтобы получить наибольший делитель, отличный от самого числа, надо это число разделить на наименьший делитель. Поэтому наибольший делитель равен (3²⁰⁰⁴ + 6) : 3 = 3²⁰⁰³ + 2.

Ответ: 3²⁰⁰³ + 2.

Свойства остатков.

Мы уже знаем, что для любого натурального числа n существует представление его в виде n=km + r, где 0£r <m, k, r целые числа.

k называется неполным частным от деления n на m, а r – остатком.

Задание 1. Запишите:

а) формулу четного числа;

б) формулу нечетного числа;

в) формулу числа, кратного числу b;

г) Формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.

Решение. а) n= 2m;

б) n= 2m+1;

в) n= km;

г) n= 17m+11.

Задание 2. При делении натуральных чисел на 4, образуются подмножества натуральных чисел, делящихся на 4 с разными остатками. Изобразите схематично, как множество натуральных чисел и эти подмножества связаны между собой. Приведите примеры чисел из каждого подмножества.

Существуют ли натуральные числа, не входящие ни в одно из этих подмножеств.

Ответ.

Множество натуральных чисел разбивается на четыре непересекающихся подмножества.

Натуральных чисел, не входящих ни в одно из этих подмножеств, нет.

Основные свойства остатков:

Пусть остаток от деления целого числа n₁ на m равен r₁, а остаток от деления n₂ на m равен r₂. Тогда:

1. Остаток от деления n₁+n₂ на m равен остатку от деления r₁+r₂ на m;

2. Остаток от деления n₁–n₂ на m равен остатку от деления r₁–r₂ на m;

3. Остаток от деления n₁´n₂ на m равен остатку от деления r₁´r₂ на m.

Задание 3. Не производя вычислений, докажите, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.

Решение. Если рассмотрим попарно первое и седьмое, второе и шестое, третье и пятое слагаемые, то очевидно, что их сумма (пара чисел) будет делиться на 87 (и равна 2×87). Тогда вся сумма равна 7×87.

Задание 4. Не используя калькулятор и вычисления в столбик, найдите остаток от деления на 25 значения выражения 53×55 + 27×24 - 101×29.

Решение. Остаток от деления на 25 числа 53 равен 3, числа 55 равен 5, числа 27 - 2, числа 24 – 24, числа 101 - 1, числа 29 – 4.

Используя основные свойства остатков, получаем:

1. Остаток от деления на 25 произведения 53×55 равен 15 (3×5 =15, 15 : 25 =0(ост.15)).

2. Остаток от деления на 25 произведения 27×24 равен 23 (2×24 =48, 48 : 25 = 1(ост.23)).

3. Остаток от деления на 25 произведения101×29 равен 4 (1×4=4, 4 : 25 = 0(ост.4)).

Тогда остаток от деления на 25 значения выражения 53×59 + 101×29 - 27×24 равен

остатку от деления на 25 числа 34 (23 + 15 – 4), то есть 9.

Ответ: 9.

Задача 5 (Кенгуру-1998). Каков остаток от деления 1997-значного числа 100…00 на 15?

Решение. Попробуем начать делить число 100…00 на 15.

Очевидно, что в результате деления остаток будет равен 10.

Ответ. 10.

Остатки. Числа, сравнимые по модулю.

Если числа n и m имеют одинаковый остаток от деления на k, то их называют сравнимыми по модулю k. Записывается это так: n ≡ m (mod k). (Если понятно, какой модуль имеется в виду, то скобку для краткости опускают.)

Пример 1. 2 ≡ 7 (mod 5); 11 ≡ 301 (mod 10); 5 ≡ − 4 (mod 9).

Чтобы узнать, сравнимы ли два числа по модулю k, достаточно проверить, делится ли их разность на k.

1.Докажите это.

Сравнение по модулю обладает замечательным свойством, связанным со сложением: если a ≡ b (mod k) и c ≡ d(mod k), то a + c ≡ b + d (mod k). Доказать это просто: раз (a − b) и (c − d) делятся на k, то и их сумма (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d) делится на k, что и означает, что a + c и b + d имеют одинаковый остаток при делении на k.

Пример2. 4414 + 14757 ≡ 4 + 2 ≡ 1 (mod 5)

Пример 3. 300 − 151 ≡ 0 − 1 ≡ 2 (mod 3)

Часто помогает такая запись: если a ≡ b (mod k), то можно записать, что для некоторого целого числа n(возможно, нулевого или отрицательного) a = b + kn. Например, свойство о сложении можно доказать так: a + c= b + kn + d + km = b + d + k·(n + m) ≡ b + d (mod k)

2.Докажите, что у сравнения по модулю есть такое же свойство с умножением.

3.Найдите остаток от деления 99993 + 90995 на 9.

4.Найдите остаток от деления 133·90 на 11.

5.Найдите остаток от деления а) 35·35; б) 35· 35· 35; в) 35³⁵ на 3.

6.Найдите остаток от деления 7³⁴³⁵ на 8.

7.Докажите, что 30⁹⁹ + 63⁹ делится на 31.

8.Докажите, что aⁿ + bⁿ делится на a + b при всех нечётных n.

9.Докажите, что 1¹⁷ + 2¹⁷ + … + 16¹⁷ делится на 17.

10.Какое число нужно прибавить к (n² + 1)¹⁰⁰⁰(n³ − 1)¹⁰⁰¹, чтобы результат делился на n?

11.Докажите, что 5ⁿ + 1 не делится на 5^m − 1 ни при каких натуральных n и m.

12.При каких n можно разложить n яблок по 10 корзинам так, чтобы число яблок в соседних корзинах отличалось ровно на 1?

13.Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых имеют одинаковый остаток при делении на 100.

Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

1. P(1) является истинным предложением (утверждением);

2. P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).

2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

Пусть m - натуральное число, m > 1 и P(n) - предложение, зависящее от n, n ≥ m.

Если

1. P(m) справедливо;

2. P(n) будучи истинным предложением, влечет истинность предложения P(n + 1) для любого натурального n, n ≥ m, тогда P(n) - истинное предложение для любого натурального n, n ≥ m.

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства

Решение. a) При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

получим

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Замечание 2. Этот пример можно было решить и иначе. Действительно, сумма 1 + 2 + 3 + ... + n есть сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом a₁= 1 и разностью d = 1. В силу известной формулы , получим

b) При n = 1 равенство примет вид: 2·1 - 1 = 1² или 1=1, то есть, P(1) истинно. Допустим, что имеет место равенство

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²

и докажем, что имеет место P(n + 1):

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n + 1)²

или

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)².

Используя предположение индукции, получим

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n² + (2n + 1) = (n + 1)².

Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.

c) При n = 1 равенство истинно: 1=1. Допустим, что истинно равенство

и покажем, что

то есть истинность P(n) влечет истинность P(n + 1). Действительно,

и, так как 2n² + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2), получим

и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

d) При n = 1 равенство справедливо: 1=1. Допустим, что имеет место

и докажем, что

Действительно,

e) Утверждение P(1) справедливо: 2=2. Допустим, что равенство

справедливо, и докажем, что оно влечет равенство

Действительно,

Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f) P(1) справедливо: ¹/₃ = ¹/₃. Пусть имеет место равенство P(n):

Покажем, что последнее равенство влечет следующее:

Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим

Таким образом, равенство доказано.

g) При n = 1 имеем a + b = b + a и, следовательно, равенство справедливо.

Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть,

Тогда

Используя равенство получим

Решение уравнений в целых числах

Линейные уравнения

Рассмотрим линейное уравнение ах+ву=с, (1) где а,в и с- ненулевые целые числа.

Если с не делиться на НОД(а,в), то уравнение (1) в целых числах решений не имеет.

Если d=НОД(а,в)≠1, то на него все коэффициенты уравнения (1) можно сократить (предполагается, что решение у уравнения (1) есть). Поэтому далее будем рассматривать случай взаимно простых а и в, т.е. НОД(а,в)=1. Пусть х=х₀ и у=у₀удовлетворяют уравнению (1). Докажем, что х=х₀+вк, у=у₀- ак с целым параметром к задают все решения уравнения (1).

Решение: проверим, что (х₀+вк, у₀- ак) являются решениями: а(х₀+вк)+ в(у₀- ак)=ах₀+ву₀=с. Докажем, что это все решения. Пусть (х,у)- какое -то решение, тогда ах+ву=с=ах₀+ву₀ или а(х-х₀)+в(у-у₀)=0. Так как число х-х₀=в(у₀-у)/а- целое, а числа в и а взаимно просты, то число к= (у₀-у)/а- целое. Поэтому х-х₀=вк, у-у_{0 =}-ак.

Пример 1. Решить уравнение 2х+9у=50.

Решение: здесь частное решение легко подобрать х₀=25,у₀=0, поэтому общее решение: х=25+9к, у=- 2к.

Пример 2. Решить уравнение 37х+5у=232.

Решение: решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент: у=232 – 37х/5. Подставляя вместо х числа 0,1,2,3,4 (остатки при делении на 5), мы получим частное решение х₀=1,у₀=39, тогда общее решение х=1+5к, у=39- 37к.

Пример 3. Решить уравнение: 19х- 15у=3.

Решение: здесь использовать предыдущий способ затруднительно (придётся подставлять 14 значений у). Поэтому приведём универсальный метод поиска частного решения. Существуют такие числа m и l, что 19l- 15m=1. Тогда х₀=3l,у₀=3mбудет частным решением нашего уравнения. Построим m и l явно. Из алгоритма Евклида имеем: 19=15∙1+4, 15=4∙3+3, 4=3∙1+1. Из последнего равенства: 1=4 - 3∙1, подставляя 3=15 - 4∙3 (из второго равенства),получим 1= 4 – (15 - 4∙3)= 4∙4 - 15∙1.Наконец, подставляя 4= 19- 15∙1 (из первого равенства), получим 1= 4(19 - 15)- 15∙1=4∙19 – 5∙15. Итак, l=4, m=5, х₀=12,у₀=15.

Решение уравнений в целых числах

Нелинейные уравнения

1 способ

Одной из популярных идей решений уравнений в целых числах является ограничение перебора. Для этого может быть использовано, например, разложение на множители.

Пример 1. Решить уравнение: ху+х -3у= -4.

Решение: уравнение приводится к виду (х -3)(у+1)= -7, число -7 можно разложить на множители только двумя способами: - 7= -1∙7 и – 7=1∙(- 7).Отсюда получаем ответ: (-4; 0),(2; 6),(4; -8),(10;-2). Ответ получается путем решения 4 – х систем уравнений.

2 способ

Другим способом решения этого уравнения является выражение х через у: х=(3у -4)/(у+1)=3 - 7/(у+1). Так как выражение 7/(у+1 ) должно быть целым числом, то (у+1 ) может быть равно только 1, - 1, 7,- 7. После этого находим значения у, а потом значения х.

3 способ

Ограничить перебор можно преобразованием левой части уравнения к сумме неотрицательных функций.

Пример 2. Решить уравнение: 5х⁴ + 10х² + 2у⁶ + 4у³=6.

Решение: Уравнение приводится к виду 5(х² + 1)² + 2(у³+1)²=13. Отсюда имеем 5(х² + 1)²≤13, а так как

(х² + 1)² – целое число, то (х² + 1) может быть только равен 0,1, -1. Легко видеть, что только х=0 возможен. Тогда (у³+1)²=4 и у=1. Решение: (0;1).

4 способ

Если относительно одного из неизвестных уравнение является квадратным, то ограничить перебор можно, используя неотрицательность дискриминанта.

Пример 3.Решить уравнение: 10х+ у=х²+у² – 13.

Решение: относительно переменной х это уравнение – квадратное: х² – 10х + (у² – у + 13)=0. Условием существования решения является D/4= 25 – у² + у – 13 ≥0, т.е. - 3≤ у ≤ 4. Таким образом, достаточно перебрать случаи у=4, 3, 2, 1, 0, - 1,- 2, - 3. Получим ответ: (- 5; - 3), (5; 4).

Задания по теме «Простые и составные числа»

1. Представить число в виде произведения простых чисел:

а) 1991; б) 1999; в) 2249; г) 4081.

Решение: а) используем алгоритм отыскания простых чисел, не превосходящих данного числа (решето Эратосфена). Пользуясь изложенным алгоритмом, выпишем сначала все простые числа, не превосходящие . поскольку 44< < 45, то возможными простыми сомножителями являются числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43. Наименьшим простым делителем оказывается число 11: 1991=11·181. Поскольку 13< < 14, то достаточно проверить делимость числа 181 на 13. Число 181 не делится нацело на 13. Следовательно, 181- простое число.

Ответ: 1991= 11·181.

Ответ: б) простое число; в) 13·173; г) 7·11·53.

2. Найти каноническое представление чисел:

а) 1998; б) 666; в) 2003.

Ответ: а)2·3³·37; б) 2·3²·37; в) простое число.

3. Доказать , что данные числа составные:

а) 8ⁿ + 1, 8ⁿ – 1; б) 2⁹ + 5¹² ; в) 222⁵⁵⁵+ 555²²²; г) 1977·1997 + 100.

Решение: а) 8ⁿ + 1= (2ⁿ)³ + 1³= (2ⁿ+1)·( 4ⁿ - 2ⁿ +1). Получили разложение на множители, значит число составное.

в) 222⁵⁵⁵+ 555²²²= (2·111)⁵⁵⁵+(5·111)²²²= 111²²²·( 2⁵⁵⁵·111³³³+5²²²).

г) 1977·1997 + 100= (1987- 10)(1987+10) + 100= 1987²- 100+ 100= 1987².

4. p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа: а) pq; б) p²q; в) p²q²;

г⁾ pⁿq^m ?

Ответ: а) 4; б) 6; в) 9; г) (n+1)(m+1).

5. Каково наименьшее натуральное число n, при котором n! делится на 990?

Решение: разложим 990 на множители и получим: 990= 2·3²·5·11, поэтому n=11.

Задания по теме «Признаки делимости»

Признаки делимости

1. Верно ли, что если число а+ 4в делится на 13, то и число 10а+ в делится на 13?

Решение: 10а+ в= 9(а+ 4в) + (а+ 4в) – 39в. Каждое слагаемое делится на 13, значит и сумма делится на 13.

2. Верно ли, что если число 3а+ 2в делится на 17, то и число 10а+ в делится на 17?

3. Вася взял большее число. С помощью признака делимости на 3, он проверил, что число делится на 3. Далее с помощью признака делимости на 9, он проверил, что это число делится на 9. Он сделал вывод, что число делится на 27. Прав ли он?

Ответ: нет

4. В числе 65432789 вычеркните наименьшее число цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 36?

Делимость сумм

1.Коля заметил, что суммы 1+2, 2+3,3+4 – нечетные числа. Сформулируйте общее утверждение и докажите его.

2. Коля заметил, что суммы 1+2+3, 2+3+4,3+4+5 – делятся на 3. Сформулируйте общее утверждение и докажите его.

3. Сумма двух последовательных натуральных чисел не делится на 2, а сумма трех последовательных чисел делится на 3. Продолжите исследование для четырех, пяти и т.д.слагаемых. Сформулируйте общее утверждение.(Каким свойством обладает сумма а) нечетного числа, б) четного числа слагаемых натуральных чисел?)

4. При каких n:

а) (7ⁿ – 1) делится на 6; б) (15ⁿ – 1) делится на 7; в)( 2ⁿ+ 3ⁿ) делится на 5; г) (2²ⁿ – 1) делится на 3.

Делимость произведений

1. Доказать, что: а) n⁴ + 6n³+ 11n²+ 6n делится на 24; б) n⁵- 5n³+4n делится на 120.

2. Найти НОД чисел вида n⁵- n, где n- пробегает множество натуральных чисел.

Решение: Вычисляя значения данного выражения при n=2,3,4, получаем числа 30,240,1020. Видим, что все эти числа делятся на 30. Попробуем доказать, что НОД= 30=2·3·5.Поскольку n⁵- n= n(n - 1)(n+1)(n²+1), то делимость на 2 и 3 очевидна. Чтобы доказать делимость на 5 тем же способом, надо бы иметь ещё скобки (n-2)(n+2). Заметим, что n²+1=(n-2)(n+2) +5. Данное выражение делится на 5. Следовательно, n⁵- n делится на 5, а значит, и на 30.

3. Найти НОД чисел вида:

а) n²- n ; б) n³- n ; в) n(n²- 1)( n²- 4), где n пробегает все целые числа.

4. При каких n произведение n(n+1) делится на 2? На какое наибольшее число делится n(n+1)(n+2) при любом натуральном n? А выражение n(n+1)(n+2)(n+3)?

5. На какое наибольшее число делится а²(а² – 1) при любом целом а?

Решение: при а=2 наше выражение равно 4·3=12,

при а= 3 оно равно 9·8= 72,

при а=4 оно равно 16·15=240.

Заметим, что а²(а² – 1) при всех целых а делится на 3, а на большую степень 3 может и не делится (например, а=2). Далее, если а – четное, то а² делится на 4, а если а- нечетное, а² – 1- делится на 4.

Ответ: 12.

Задания по теме «Общие делители и кратные»

1. Найти НОД(х,у) и представить его в виде а·х+в·у, где а и в – целые числа.

а) 204 и 372; б)235 и 157.

Решение: а) применяем алгоритм Евклида:

372=204·1 + 168

204=168·1 +36

168= 36·4 +24

36= 24·1 +12

24=12·2 + 0.

НОД(204,372)=12.

Далее, получаем 12=36- 24=36-(168 - 36·4)= - 168 +5· (204- 168)= 5·204- 6·168= 5·204- 6·(372- 204)=

=11·204 - 6·372.Окончательный ответ: 12= 11·204 - 6·372.

Ответ: б)НОД(235;157)= 1, 1= 3·157- 2 ·235.

2. Найти НОД и НОК чисел:

а) х=2⁵·13³ ; у=2³·5⁶·13. б) х=2³·3⁵·7²·13, у= 2²·3³·7⁴·11², z=2⁴·3²·5·7³.

3. Решите систему :

а)НОД(х,у)=5, НОК(х,у)=31; б) НОД(х,у)=5, НОК(х,у)=10; в) НОД(х,у)=1, НОК(х,у)=4; г) НОД(х,у)=1, НОК(х,у)=30.

Задания по теме «Алгоритм Евклида».

1. Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД чисел:

а) (846,246); б) (1960, 588); в) (15283,10 013).

Решение: а) Алгоритм Евклида: 846= 3·246+ 108, 246= 2·108 + 30, 108= 3·30+ 18, 30= 1·18 + 12, 18=

=1·12 + 6 , 12=2·6 +0. Значит НОД(846,246)= 6 (последний ненулевой остаток).

2. Сократите дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Доказать, что дробь несократима.

Решение: применяем алгоритм Евклида: НОД(30n+2; 12n+1)=НОД(12n+1; 6n)=НОД(6n; 1)=1.

4. Найдите НОК чисел:

а) (846;246); б) (1920;588).

Подсказка: примените формулу НОД(а,в) ·НОК(а,в)= а·в, где НОД(а,в) находим по алгоритму Евклида.

5. Приведите дроби и к общему знаменателю.

Решение: применим формулу НОД(а,в)·НОК(а,в) = а ·в. Общий знаменатель – это есть НОК(а,в). Найдем НОД(а,в) по алгоритму Евклида:

30720= 21120 ·1 +9600

21120= 9600·2 + 1920

9600= 1920 ·5 +0.

НОД(21120;30720)= 1920. Тогда НОК(21120;30720)= = 21120· 16= 30720 · 11= 337920.

= = , = = .

6. Сложите дроби: и .

Решение: необходимо привести дроби к общему знаменателю, т.е. найти НОК(192;1620). Применим формулу НОД(а,в)·НОК(а,в) = а ·в. Найдем НОД(а,в) по алгоритму Евклида:

1620= 192· 8 + 84

192= 84 ·2 + 24

84= 24 ·3 + 12

24= 12 ·2 + 0.

НОД(192; 1620)= 12. Тогда НОК(192; 1620)= =1620·16= 192·135= 25920.

+ = + = + = .

Затем необходимо проверить какой будет данная дробь: сократимая или несократимая. Проверить самостоятельно.

Задания по теме «Свойства остатков при делении»

1. Какой остаток дает число 123321 при делении на 999?

2. Делитель и делимое увеличили в 3 раза. Как изменится частное и остаток?

3. Известно, что остаток при делении на 7 числа а равен 2, от числа в равен 3. Определите остаток от деления на 7 чисел а+в , а- в, а· в. Те же вопросы, если остатки от деления на 7 равны 6 и 10 соответственно.

4. Число а кратно 3. Может ли остаток от деления числа а на 12 быть равным 2?

5. Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 9 дает остаток 2, а при делении на 6- остаток 1?

6. Найти наименьшее натуральное число (кроме 1), которое дает остаток 1 при делении: а) на 2 и на 3;

б) на 2, на 3, на 5; в) на 2, на 3, на5, на 7.

7. Докажите, что n³+2n делится на 3 для любого n.

Решение: число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0,1,2. Рассмотрим три случая. Если n дает остаток 0, то и n³, и 2n делятся на 3 и поэтому n³+2n также делится на 3. Если n дает остаток 1, то n³дает остаток 1, 2n – остаток 2, а 1+ 2 делится на 3. Если n дает остаток 2, то n²дает остаток 1, а n³ остаток 2, 2n – остаток 1, а 2+1 делится на 3. Доказано.

8.Докажите, что n⁵+4n делится на 5 для любого натурального n.

9. Докажите, что n²+1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

10. Составьте таблицу всех возможных остатков квадратов и кубов чисел при делении на : а) 3; б) 4;

в) 5; г) 7; д) 9.

Ответы: а) ост₃(а²)=0,1, ост₃(а³)=0,1,2; б) ост₄(а²)=0,1, ост₄(а³)=0,1,3 ; в) ост₅(а²)=0,1,4,ост₅(а³)=0,1,2,3,4;

г) ост₇(а²)=0,1,2,4,5, ост₇(а³)=0,1,6.

11. Найти остатки : а) ост₆(7¹⁰¹) ; б) ост₇(3¹⁹⁸⁹) ; в) ост₃(1996²+1997·1998·1999).

Ответ: а) 1; б) 6; в) 1.

Задания по теме «Числа сравнимые по модулю»

1. Найти остаток при делении 7ⁿ на 8.

Решение: Число 7≡ - 1(mod 8), тогда 7ⁿ ≡ (- 1)ⁿ(mod 8). Значит, остатки могут быть 1-при четном n, -1-при нечетном n.

2. Докажите, что 30⁹⁹+ 61¹⁰⁰ делится на 31.

Решение: 30⁹⁹≡ -1 (mod 31), 61¹⁰⁰≡ 1 (mod 31). Складывая сравнения: 30⁹⁹+ 61¹⁰⁰≡0(mod 31). Данное число делится на 31.

3.Докажите, что число 43¹⁰¹+ 23¹⁰¹ делится на 66.

4. Положительное целое число делится на 18, а после прибавления единицы делится на 17. Может ли такое быть?

Решение: так как число делится на 18, то его можно записать в виде:18n. После прибавления 1 оно будет иметь вид: 18n +1. Выражение 18n +1=17n +(n+1), значит 18n +1≡ n+1 (mod 17). Число n+1 может делится на 17, например, при n=16. Тогда может быть задумано число 16·18+1= 288.

5. Докажите, что при любом натуральном n число 12²ⁿ⁺¹+ 11ⁿ⁺² делится на 133.

Решение: 12²ⁿ⁺¹ = 12 ·12²ⁿ= 12· 144ⁿ. Но 144≡11(mod 133), поэтому 144ⁿ≡ 11ⁿ (mod 133). Умножая на 12, получаем: 12· 144ⁿ≡ 12 ·11ⁿ (mod 133), так что 12²ⁿ⁺¹≡ 12 ·11ⁿ (mod 133). Далее, 11ⁿ⁺² = 121·11ⁿ. А так как 121 ≡ -12(mod 133), то 121·11ⁿ≡ -12 ·11ⁿ (mod 133), т.е. 11ⁿ⁺² ≡ -12 ·11ⁿ (mod 133). Складывая сравнения:

12²ⁿ⁺¹≡ 12 ·11ⁿ (mod 133) и 11ⁿ⁺² ≡ -12 ·11ⁿ (mod 133), получим 12²ⁿ⁺¹+ 11ⁿ⁺² ≡ 0 (mod 133). Число делится на 133 при всех натуральных n.

6. При каких n число 5²ⁿ⁺¹· 2ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺²·2²ⁿ⁺¹ делится на 19?

7. Найти остаток от деления числа 222⁵⁵⁵ на 7.

Решение: 222≡5(mod 7), поэтому 222⁵⁵⁵≡5⁵⁵⁵(mod 7). Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней 5 при делении на 7. Находим 5²=25≡4(mod 7), 5³≡4·5≡6(mod 7), 5⁴≡6·5≡2(mod 7), 5⁵≡2·5≡ 3 (mod 7), 5⁶≡3·5≡1(mod 7). Итак, 5⁶≡1(mod 7). Возведя в степень к получаем 5^6к≡1(mod 7) при любом натуральном числе к. Поэтому 5⁵⁵⁵= 5^{6·92+ 3}=5^6·92 ·5³≡ 6(mod 7).

8. Найти остаток от деления числа 6⁵⁹² на 11.

Решение: будем находить остатки степеней 6 при делении на 11. Находим 6²=36≡3(mod 11), 6³≡3·6≡7(mod 11), 6⁴≡7·6≡9(mod 11), 6⁵≡9·6≡ 10 (mod 11), 6⁶≡10·6≡5(mod 11), 6⁷≡5·6≡8(mod 11), 6⁸≡8·6≡4(mod 11), 6⁹≡4·6≡2(mod 11), 6¹⁰≡2·6≡1(mod 11). Поэтому 6⁵⁹²= 6^59·10+2= 6^59·2·6²≡3(mod 11).

9. Найти остаток от деления числа 7¹⁰⁰+ 11¹⁰⁰ на 13.

Решение: рассмотрим деление каждого слагаемого на 13 и найдем их остатки. Найдем остаток от деления числа 7¹⁰⁰ на 13. Будем находить остатки степеней 7 при делении на 13. Находим 7²=49≡10(mod 13), 7³≡10·7≡5(mod 13), 7⁴≡5·7≡9(mod 13), 7⁵≡9·7≡ 11 (mod 13), 7⁶≡11·7≡12(mod 13), 7⁷≡12·7≡6(mod 13),

7⁸≡6·7≡3(mod 13), 7⁹≡3·7≡8(mod 13), 7¹⁰≡8·7≡4(mod 13), 7¹¹≡4·7≡2(mod 13), 7¹²≡2·7≡1(mod 13). Получаем 7¹⁰⁰= 7^12·8+4= 7^12·8· 7⁴≡ 9(mod 13).

Найдем остаток от деления числа 11¹⁰⁰ на 13. Будем находить остатки степеней 11 при делении на 13.

Находим 11²=121≡4(mod 13), 11³≡4·11≡5(mod 13), 11⁴≡5·11≡3(mod 13), 11⁵≡3·11≡ 7 (mod 13), 11⁶≡7·11≡12(mod 13), 11⁷≡12·11≡ 2 (mod 13), 11⁸≡2·11≡9 (mod 13), 11⁹≡9·11≡ 8 (mod 13), 11¹⁰≡8·11≡ 10 (mod 13), 11¹¹≡10·11≡ 6 (mod 13), 11¹²≡6·11≡ 1 (mod 13). Получаем 11¹⁰⁰= 11^12·8+4= 11^12·8 ·11⁴≡3(mod 13).

Складывая сравнения получаем 7¹⁰⁰+ 11¹⁰⁰ ≡ 12(mod 13).

10. Какой цифрой оканчивается число 777⁷⁷⁷?

Решение: если число разделить на 10, то остаток при делении совпадет с последней цифрой числа. Найдём остаток от деления числа 777⁷⁷⁷ на 10.

777≡ 7(mod 10), тогда 777⁷⁷⁷≡ 7⁷⁷⁷(mod 10). Найдем остатки степеней 7 при делении на 10: 7²=49≡9(mod 10), 7³≡9 ·7≡3(mod 10), 7⁴≡3·7≡1(mod 10) . Получаем 7⁷⁷⁷= 7^4·194+1= 7^4·194 ·7≡ 7 (mod 10).Последняя цифра 7. Ответ: 7.

11. Делится ли число 222⁵⁵⁵+ 555²²² на число 7?

12. Делится ли число 2222⁵⁵⁵⁵- 5555²²²² на число 7?

13. Какой цифрой оканчивается число: а) 5¹⁰⁰; б) 1245¹⁰⁰; в) 4¹⁰⁰; г) 3²⁰⁰⁹.

Задания по теме: «Метод математической индукции».

1. Докажите, что при любом n€N выполняется равенство:

а) 1·3+2·5+…+n(2n+1)=.

б) 2·2+ 3·5+…+ (n+1)(3n-1)=.

в) 5+ 9·5+13·5²+ …+ (4n+1)· 5ⁿ^-1= n5ⁿ.

2. Докажите, что при любом n€N:

а) n³+ 5n кратно 6.

б) n³+9n²+26n+24 кратно 6.

в) 7²ⁿ- 1 кратно 24

Решение: в) При n=1: 7²- 1= 48, 48 кратно 24.

Пусть при n=k утверждение верно. Докажем, что оно верно и для n=k+1.Получим: 7²⁽^k⁺¹⁾ – 1= 7²ⁿ⁺² -1= =7²ⁿ·7²- 1= (7²ⁿ-1)+ 48·7²ⁿ. Первое слагаемое кратно 24 по утверждению, второе слагаемое кратно 24, т.к. есть множитель 48, который делится на 24. Значит, вся сумма также кратна 24. На основании принципа математической индукции утверждение доказано для любого натурального n.

г) 13ⁿ+5 кратно 6.

д) 15ⁿ+ 6 кратно 7.

е) 9ⁿ+ 3 кратно 4.

ж) 7ⁿ+ 9 кратно 8, если n- нечетное.

Решение: при n=1: 7+9 =16, 16 кратно 8.Пусть при n=k (нечётное) утверждение верно. Докажем, что оно верно и для n=k+2. Получим: 7^k⁺²+9=7ⁿ·7²+9= (7ⁿ+9) + 48·7ⁿ. Каждое слагаемое делится на 8, значит и сумма делится на 8. На основании принципа математической индукции утверждение доказано для любого натурального n.

з) 7ⁿ+ 3n- 1 кратно 9.

и) 7ⁿ+ 12n + 17 кратно 18.

к) 5ⁿ+2·3ⁿ+5 кратно 8.

Задания по теме «Линейные уравнения»

Решить уравнения в целых числах:

1. 16х + 20у= 14.

Решение: так как НОД(16, 20)=4, а число 14 не делится на 4, то уравнение не имеет целочисленных решений.

Ответ: решений нет.

2. 5х + 7у=6.

Решение: НОД(5,7)=1, поэтому применим изложенную схему отыскания решений данного уравнения. Сначала найдем представление 1= 5а + 7в. Тогда частное решение будет х₀= 6а, у₀=6в. Для отыскания чисел а и в используем алгоритм Евклида:

7= 5· 1 +2

5= 2·2 + 1

2=2· 1 + 0

Тогда 1=5 - 2·2 = 5- 2(7 -5)= 3·5 - 2·7. Отсюда, а=3, в=- 2. Тогда частное решение будет пара х₀= 18,

у₀=-12. Тогда общее решение будет иметь вид: х= 18 + 7к, у= - 12 - 5к.

Ответ: х= 18 + 7к, у= - 12 - 5к.

3. 132х – 37у=2. Ответ: х= -14+ 37к, у=- 50+ 132к.

Решение: НОД(132,37)=1. Сначала найдем представление 1=132а – 37в. Тогда частное решение будет х₀= 2а, у₀=2в. Для отыскания чисел а и в используем алгоритм Евклида:

132=37·3+21

37=21·1 + 16

21=16 ·1 +5

16=5·3+1

5=5·1 +0.

1=16 - 5·3= 16 – (21 - 16·1) ·3= 16·4 - 21·3= (37- 21·1) ·4 – 21·3= 37·4 - 21·7= 37·4 – (132- 37·3) ·7= =37·25- 132·7=132·(-7) - 37·(- 25) .Отсюда, а= -7, в= - 25. Тогда частное решение будет пара х₀= - 14, у₀= - 50. Исходное уравнение можно записать в виде 132х+ (– 37)у=2. Значит, решение будет иметь вид:

х= - 14 – 37к, у= - 50- 132к или х= - 14+37к, у= - 50+132к, (если уравнение записать в виде -132х+ +37у= - 2. )

4. 54х + 26у= - 4. Ответ: х= -2+13к, у=4- 27к.

Решение: НОД(54, 26)=2. Число -4 делится на 2. Разделим все коэффициенты на НОД(54,26)=2. Получим уравнение: 27х+13у= - 2.НОД(27,13)=1. Сначала найдем представление 1= 27а+13в. Тогда частное решение будет пара х₀= -2а, у₀= -2в. Для отыскания чисел а и в используем алгоритм Евклида:

27= 13·2+1

13=13·1+ 0.

1=27 - 13 ·2=27·1+ 13·(-2). Отсюда, а= 1, в=-2. Тогда частное решение: х₀= -2, у₀= 4. Значит, решение будет иметь вид: х= -2+13к, у=4- 27к.

5. 19х – 15у= - 1. Ответ: х=-4 +15к, у= - 5 +19к.

6. 53х – 47у=11. Ответ: х=88+47к, у=99+ 53к.

7.85х – 71у=5. Ответ: х= -25 + 71к, у= -30+85к.

8. 23х – 17у=11.Ответ: х= 33+ 17к,у=44+23к.

9. 35х – 18у= 3. Ответ: х= -3+18к, у=6+ 35к.

10.41х – 11у=7. Ответ: х= -28+11к, у= - 105+41к.

Задания по теме « Нелинейные уравнения»

1. Решить уравнение в целых числах:

а) ху= х+у

б) х² – 3ху + 2у²=7

в) х²+ 5у² +4ху + 2у+1=0

г) 6 х²+ 5у²=74

д) 55х²-12ху - 91у² =59

е) 71х+ 13у=ху- 14

ж) ху²-7(х+у²)= 1

Решение: а) ху= х+у ↔ ху – х –у+1=1 ↔(ху – х) – (у - 1)=1 ↔ (у- 1)(х -1)=1.

Возможны случаи: 1) или 2)

Решая системы получим решения: (2;2), (0;0).

б) х² – 3ху + 2у²=7↔ х² – ху- 2ху + 2у²=7↔ (х² – ху)-( 2ху - 2у²)=7 ↔(х- у)(х- 2у)=7.

Учитывая, что число 7 простое, получаем: 7=1·7=7·1=(-1)·(-7)=(-7)·(-1). Получаем системы уравнений:

1) 2) 3) 4)

Решая системы уравнений получаем ответ: (-5;-6), (13;6), (5;6),(-13;-6).

в) х²+ 5у² +4ху + 2у+1=0↔ (х²+ 4ху+4у²) +(у² + 2у+1)=0 ↔ (х+ 2у)²+ (у+1)²=0. Каждое из слагаемых больше или равно нуля, но так как сумма равна нулю, то это возможно лишь когда каждое слагаемое равно нулю: . Ответ: (2;-1).

г) 6 х²+ 5у²=74. Слагаемые меньше или равны 74. Число 6 х²≤74, при этом х²- полный квадрат. Отсюда следует, что х={0; 1;2;3; -1;-2;-3}. Выполняем перебор вариантов:

1) если х=0, то 5у²=74.→целых решений нет.

2) если х=1, то 6+5у²=74→целых решений нет.

И т.д. проверяем все значения х. Ответ: (3;2),(3;-2),(-3;2),(-3;-2).

д) 55х²-12ху - 91у² =59.

Разложим левую часть на множители.

55х²-12ху - 91у²=0 (решаем относительно переменной х).

D= 20164у²=(142у)², D>0, т.к. у≠0.

х₁= у, х₂= - у, 55х²-12ху - 91у²= (5х- 7у)(11х+ 13у).

(5х- 7у)(11х+ 13у)=59. Число 59- простое. Возможны варианты:

1) 2) 3) 4)

Решить системы и выбрать целочисленные решения.

Ответ: (3;2),(-3;-2).

ж) ху² -7(х+у²)= 1↔ ху² -7х= 7у²+1↔ х= =7+ .

По условию х- целое число, значит и полученная дробь также является целым числом. Из данного условия следует, что у² - 7=±1; ±2; ±5; ±10; ±25; ±50. Из них удовлетворяет лишь одно значение:

у² – 7=2, у=±3. Зная значения у, находим значения х: х= 7+25=32. Ответ: (32;3),(32;-3).

Задания по теме «Уравнения в натуральных числах»

1. Летит над лесом стая сороконожек и трехголовых драконов. У них всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки ровно одна голова. Сколько ног у трехголового дракона?

Решение: пусть x и y- число сороконожек и драконов, n- число ног у дракона. Тогда х+3у=26, 40х+ nу=298. Из второго уравнения х≤7, а из первого- х≡2(mod 7).Подставляя такие значения х в уравнения, находим только одно целое n- 14 (при х=5).

Ответ: 5.

2. Пять участников олимпиады стали ее победителями, набрав по 15, 14 и 13 баллов и заняв соответственно 1, 2 и 3 места. Сколько участников завоевали каждое призовое место, если вместе они набрали 69 баллов?

Ответ: 1 место- 1, 2 место- 2, 3 место- 2.

3. При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только 8, 9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, набрал 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

Решение: пусть спортсмен х раз попал в восьмерку, у раз- в девятку, z- в десятку. По условию задачи 8х+9у+ 10z=100. Отсюда следует, что 8х+8у+ 8z= 8(х+у+ z)<100, т.е. число выстрелов х+у+ z< 100/ 8<13. Так как х+у+ z>11, то получаем, что х+у+ z=12.Но тогда уравнение принимает вид у+2z=4. Отсюда следует, что у- четное число, у= 2t, t≥1,т.е. t+z=2. Так как t≥1 и z≥1, то единственной возможностью являются равенства t=1 и z=1, т.е. у=2, и , значит, х=9, z=1.

4. Три группы рыбаков поймали 113 рыб. На каждого рыбака первой группы пришлось по 13 рыб, на каждого рыбака второй группы- по 5 рыб, третьей группы – по 4 рыбы. Сколько рыбаков было в каждой группе, если всего их- 16?

Решение: пусть x,y,z- число рыбаков в группах. Тогда имеем 13х+5у+4 z=113, х+у+z=16. Отсюда получим 9х= 49- у. Так как у=16-х- z<16, то 33≤49-у≤49, и 49-у делится на 9. Но 9х=36 (х=4,у=13, z=-1)- невозможно, поэтому 9х= 45, откуда х=5,у=4, z=7.

5. Дядька Черномор каждый вечер из 33 богатырей назначает на дежурство 9 или 10 по своему усмотрению. Через какое наименьшее число дней может оказаться, что каждый из богатырей выходил на дежурство одинаковое число раз?

Скачать материал

Скачать материал "Элективный курс по теме "Делимость чисел. Целые числа""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 653 949 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Комплект заданий для устного счета по математике 9 класс

Учебник: «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

Рейтинг: 5 из 5

02.05.2019
3117
228

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

docx

Урок по теме "Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии".

Учебник: «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Тема: 27. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

02.05.2019
371
2

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

docx

Тест по алгебре на тему: "Прогрессии"

02.05.2019
1896
18

rar

Поурочные планы по ФГОС алгебра 9 класс

Учебник: «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

Рейтинг: 5 из 5

02.05.2019
7648
620

zip

Открытый урок по алгебре на тему: "Квадратные уравнения в нашей жизни"

02.05.2019
400
1

docx

Задание 22 ОГЭ. Задачи на движение по прямой.

Учебник: «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

01.05.2019
4423
26

docx

Технологическая карта урока "Квадратные неравенства"

Учебник: «Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Тема: § 30. Квадратные неравенства

01.05.2019
493
11

«Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

pptx

Презентация к математической викторине "Что? Где? Когда?"

Учебник: «Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Тема: § 33. История возникновения и развития геометрии

30.04.2019
496
6

«Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 02.05.2019 2265
- DOCX 950.5 кбайт
- 41 скачивание
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Ившина Лариса Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Ившина Лариса Геннадьевна
- На сайте: 4 года и 11 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 141044
- Всего материалов: 8