Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс по теме "Показательные и логарифмические уравнения и неравенства"

Элективный курс по теме "Показательные и логарифмические уравнения и неравенства"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_290a5ca1.gifЭлективный курс по теме «Показательные и логарифмические

уравнения и неравенства»



Работы выполнила: Габдулзянова Мария

Александровна учитель математики

МОУ «СОШ» с.Корткерос



Элективный курс по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства».


Пояснительная записка.

Элективный курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 11 часов. Прикладная часть курса направлена на расширение знаний учащихся по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Следует отметить, что навыки в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств необходимы любому ученику, желающему не только участвовать на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к сдаче Единого Государственного Экзамена и поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.

Материал данного курса содержит задачи повышенной трудности, что позволяет использовать его учителем как на уроках математики в 11 классах в качестве дополнительного материала, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Цель курса: систематизировать и углубить знания в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Задачи курса

- повторить решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

- изучить нестандартные методы решения;

- рассмотреть примеры и основные приемы решения части С ЕГЭ.

Примерное тематическое планирование

Наименование тем курса

Тип занятия

Всего часов

  1. Показательные уравнения.

  2. Показательные неравенства.

  3. Логарифмические уравнения.

  4. Логарифмические неравенства.

  5. Решение нестандартных уравнений.

  6. Логарифмические неравенства с переменной в основании.

7. Задания из части С.

8. Контрольная работа.

Урок – повторение

Урок – повторение

Урок – повторение

Урок – повторение

Урок – лекция

Урок – лекция


Урок – практикум

Урок – оценки и коррекции знаний

1

1

1

1

2

1


3

1



Программа данного элективного курса позволяет организовать повторение и закрепление понятия логарифма и степени, навыков решения уравнений, неравенств, содержащих логарифм и показатель степени.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- преобразовывать выражения, содержащие логарифм и показатель степени;

- решать уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащих логарифм и показатель степени.




Занятие №1. «Показательные уравнения».

Цель:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по показательным уравнениям; вспомнить методы решения уравнения этого вида.

Ход урока.

Определение 1. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида: hello_html_26709f2f.gif, где hello_html_47499b08.gif

Определение 2. Показательными уравнениями называют уравнения вида: hello_html_7e443d35.gif, где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к виду hello_html_m60985839.gif

Теорема. Показательное уравнение hello_html_7e443d35.gif (где hello_html_m73437e0a.gif) равносильно уравнениюhello_html_m60985839.gif

Пример 1. Решить уравнение hello_html_6de79063.gif.

Строим графики hello_html_m213a3b3f.gif, они пересекаются в точке (3;8), значит, уравнение имеет единственное решение х = 3.hello_html_m7bb88cd8.png

Проверка: hello_html_m4c8b008e.gif.

hello_html_mdcb2879.gif, верно.

Ответ: х = 3.



Уравнение можно решить подбором. Так как показательная функция монотонна, то корень, найденный подбором, будет единственным.

А как решить уравнение hello_html_79bcbc47.gif?

По графику можно заметить, что hello_html_m46e54a59.gif.

Более точное значение можно получить из определения логарифма:

hello_html_m76f83523.gif

Ответ: hello_html_m76f83523.gifC:\Users\дом\Desktop\Безымянный.jpg








Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.


1)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции.

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_7709b8fe.gif.

Данное уравнение решаем графически, строим графики функций: hello_html_m41893595.gif,hello_html_m663a1ba9.png

hello_html_m37e78cd2.gif

(2 ; 4)-точка пересечения,

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Так как графический метод решения не является точным, то найденные корни нуждаются в проверке.

Проверка: hello_html_48c8fef5.gif

hello_html_3005e09c.gif, верно.

Ответ:hello_html_m5b397a29.gif

2)Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение аf(х) = аg(х) (где а > 0, а ≠ 1) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Пример 3. Решить уравнение: hello_html_23547a75.gif

hello_html_1dd7d0d.gif,

hello_html_3e70fb7c.gif,

hello_html_6f3fc6c7.gif.

Ответ: hello_html_6f3fc6c7.gif.


Пример 4. Решить уравнение: hello_html_m3f05ea9c.gif.

hello_html_m72bdf614.gif;

hello_html_m1c52338e.gif;

hello_html_516f24c4.gif;

hello_html_6f3fc6c7.gif.

Ответ: hello_html_m5eda0789.gif


3)Метод введения новой переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё уравнение не было показательным. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример 5. Решить уравнение: hello_html_m14caf65e.gif.

hello_html_64eab492.gif. Пусть, hello_html_65ab5935.gif, где, а > 0, получим уравнение:

hello_html_m34d165ce.gif,

hello_html_783eb60.gif,так как hello_html_m25646f4b.gif, то -6 не является корнем,

hello_html_m2b94cd39.gif, hello_html_m1c7b9ae5.gif.

Ответ: hello_html_m1c7b9ae5.gif

После повторения методов решения показательных уравнений приступаем к упражнениям различной сложности. Устные упражнения так же можно использовать, как и устно, так и письменно. Для слабых классов этот список упражнений можно дать для письменного решения, а для сильных классов и классов с углубленным изучением математики дать для устного решения.

Так же присутствуют тренировочные упражнения и задания повышенной сложности. Для каждого уравнения в скобках дан ответ.


Устные упражнения.

Решить уравнения:


1) hello_html_2c67f7e8.gif (hello_html_m14b55a82.gif);

2) hello_html_1fa0f179.gif (hello_html_dc854c4.gif);

3) hello_html_m69084f75.gif (hello_html_554b3652.gif);

4) hello_html_m27d2a540.gif (hello_html_25f2d278.gif);

5) hello_html_m59d6390d.gif (hello_html_449dc4e5.gif);

6)hello_html_m105b007a.gif (hello_html_57f6376a.gif)

7)hello_html_2298faa8.gif (hello_html_m39be9756.gif);

8)hello_html_m445d5539.gif (hello_html_554b3652.gif);

9)hello_html_m679f473f.gif (hello_html_25f2d278.gif);

10)hello_html_m465713c4.gif (hello_html_dc854c4.gif).



Тренировочные упражнения.


1)hello_html_58e71ab.gif (hello_html_m1c7b9ae5.gif);

6) hello_html_m6ab9fd21.gif (hello_html_m1c7b9ae5.gif);

2) hello_html_m342a96df.gif (hello_html_6f34565d.gif);

3) hello_html_m5adebc6a.gif (hello_html_m1688d91f.gif);

4) hello_html_6a7d03b2.gif (hello_html_1176d800.gif);

7) hello_html_m721055ce.gif (hello_html_m1c7b9ae5.gif);

8)hello_html_m71b7051.gif (hello_html_1bd2a92d.gif);

9)hello_html_780f4cd0.gif (hello_html_1176d800.gif);

10)hello_html_m7f367027.gif (hello_html_6f34565d.gif).


5) hello_html_2d52542a.gif (hello_html_m4bad9d6e.gif)



Задачи повышенной трудности.

  1. hello_html_m790d9b02.gif;

  2. hello_html_1ec95e59.gif;

  3. hello_html_6faf891c.gifhello_html_m7ad89cdf.gif;

  4. hello_html_m7cb2c08c.gifhello_html_m2d375870.gif;

  5. hello_html_7bcda704.gifhello_html_62988799.gif;

  6. hello_html_m3f252d3d.gifhello_html_m7566b9f3.gif.



Занятие №2. «Показательные неравенства».

Цель:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме «показательные неравенства».

Ход урока.

Определение 1. Простейшее показательное неравенство – это неравенство вида hello_html_7f1ccd9.gif или hello_html_4f93a7d.gif, где hello_html_m73437e0a.gif.

Определение 2. Показательными неравенствами называют неравенства вида hello_html_7e443d35.gif, где a – положительное число, отличное от 1, и неравенство, сводящиеся к этому виду.

Теорема: Показательное неравенство hello_html_m5d312ef9.gif равносильно неравенству того же смысла hello_html_6803b2c9.gif, если hello_html_7db4e636.gif; hello_html_m4f49e6dd.gif, еслиhello_html_m6309732.gif.


Рассмотрим методы решения неравенств.

1) Сведение к одному основанию.

Пример 1. Решить неравенство: 22х – 4 > 64

22х – 4 > 26

так как основание больше 1, то hello_html_41a4eeb4.gif

hello_html_m740d56c1.gif

Ответ: hello_html_m740d56c1.gif.

Пример 2. Решить неравенство: hello_html_299db1bb.gif

hello_html_7e4c0fde.gif;

так как основание меньше 1, то hello_html_m7e0458cc.gif;

hello_html_485fdc5f.gif;

hello_html_62e05309.gif.

Ответ: hello_html_m39e50274.gif

2) Замена переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.

Пример 3. Решить неравенство: 4х – 2х+1 – 24<0

hello_html_m4d2de6a.gif

hello_html_m28675e7.gif

Ответ: hello_html_m272884a8.gif

Пример 4. Решить неравенство: hello_html_m41fb0dbd.gif.

hello_html_231e810f.gif;

hello_html_78d05139.gif.

Пусть hello_html_6837dea9.gif, где hello_html_7fc1ec82.gif, получим уравнение:

hello_html_51ebc59.gif;

hello_html_63ef5852.gif.

Разложим на множители: hello_html_154c6afd.gif

hello_html_m5615eb80.gif.

hello_html_m1f3f7aa3.gif.

Поскольку hello_html_6837dea9.gif, выражение hello_html_6700af17.gif

3)Функционально-графический метод. При решении неравенств графическим способом необходимо рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат и выяснить при каких значениях аргумента значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решения неравенства.

Пример 5. Решить неравенство: hello_html_1897343.gif

Строим графики: hello_html_m3f229ed0.gif

hello_html_76944e3c.png

Эти графики пересекаются в точке (1;2), график функции hello_html_3839fc19.gif лежит не выше графика функции hello_html_m6244e38b.gif при hello_html_13645775.gif.


Ответ: hello_html_18a25915.gif



  1. Метод интервалов (иногда его называют также методом промежутков), так называется метод решения неравенств, основанный на исследовании промежутков знокопостоянства функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, дробно-линейных неравенств. Так как показательная функция непрерывна на всей области определения, то теорема о непрерывности функции позволит расширить область определения функции, в том числе и показательного неравенства.

Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.

Пример 6. Решить неравенство: hello_html_m2f7a6c2c.gif.

hello_html_7461d598.gif;

hello_html_24087faa.gif, hello_html_6f6fefb9.gif.

hello_html_m774dbf0e.gif

Нули функции: hello_html_569ed9d4.gif, hello_html_m74e6d1bf.gif, hello_html_m14b55a82.gif


Ответ: hello_html_m14ecbe2f.gif


Устные упражнения

Решить неравенства:


1) 2х ≥ 4; (hello_html_f87ca86.gif)

2) 2х ≤ 8; (hello_html_c8f3c22.gif)

3) 2х > hello_html_m1b6be723.gif; (hello_html_6346ba01.gif)

4) 3х ≥ 81; (hello_html_794f2a0f.gif)

5) 5х ≤ 125; (hello_html_m1924c3c1.gif)

6) 0,2х > 0,04; (hello_html_f87ca86.gif)

7) hello_html_ma6b5368.gif; hello_html_m137de3c1.gif

8)hello_html_5694f553.gif; (hello_html_m7cc80640.gif)


Тренировочные упражнения

Решить неравенства:


1) hello_html_579195d0.gif hello_html_m6d2e4ab.gif;

2) hello_html_m4765a6fe.gif; (hello_html_m5bbad1f3.gif);

3) hello_html_596e3185.gif hello_html_m5b6aadc6.gif);

4) hello_html_74e3ea23.gif (корней нет);

5) 2х + 2х + 2 ≥ 20 (hello_html_686712eb.gif);

6) 0,36х – 1 – 0,36х ≥ 0,7 (hello_html_m5d4eab94.gif);

7) 52х + 4 · 5х - 5 ≤ 0 (hello_html_m1a8da5d0.gif);

8) 3х ≥ 5х (hello_html_m2e500778.gif) ;

9) 0,6х > 3х (hello_html_7086eec3.gif).


Задачи повышенной сложности:

  1. hello_html_7456de78.gifhello_html_m2f5ce9cb.gif;

  2. hello_html_m6428bc1a.gif

  3. hello_html_m59f0c794.gif

  4. hello_html_44095ce4.gif

  5. hello_html_m261dff8a.gif

  6. hello_html_m309ba7df.gif









Занятие №3. «Логарифмические уравнения».

Цель:

Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся по теме «логарифмические уравнения».


Ход урока.

Свойства логарифмов:

• hello_html_428cbd68.gif;

• hello_html_934d477.gif

• hello_html_1c690932.gif,hello_html_m6812b785.gif;

hello_html_7ecd5a60.gif

hello_html_m7eb7f3a5.gifсправедливо тогда и только тогда, когда t = s;

hello_html_m5c17a617.gif

hello_html_m4ec2f8fa.gif;

hello_html_52f60945.gif;

hello_html_1e8e60c2.gif

Если подлогарифмическое выражение содержит переменную, некоторые формулы имеют следующий вид:

hello_html_m66a5e095.gif;

• hello_html_m44b026ec.gif

• hello_html_1bbca11b.gif,hello_html_m31ada88c.gif, при hello_html_m69086db5.gif - четных.


Определение 1. Простейшее логарифмическое уравнение – это уравнение вида hello_html_29ac45d.gif, где hello_html_m73437e0a.gif, hello_html_4df3c4f8.gif.

Определение 2. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида hello_html_m6fe19ea5.gif, где hello_html_m73437e0a.gif, и уравнения, сводящиеся к виду hello_html_27b14ad4.gif.

Теорема. Если hello_html_57ee814d.gif и hello_html_464a8fec.gif, то логарифмическое уравнение hello_html_3a440f96.gif (где hello_html_m73437e0a.gif) равносильно уравнению hello_html_m60985839.gif


Рассмотрим методы решения логарифмического уравнения.

1)Метод потенцирования. Он основан на теореме приведенной выше.

Привет 1. Решить уравнение: hello_html_m34d11f7.gif .


hello_html_7b043791.gif;

hello_html_m67bdb8ad.gif;

hello_html_m10b8114e.gif;

hello_html_m20a8d4f9.gif;

ОДЗ: hello_html_m28cc6e4c.gif




hello_html_m57944548.gif.

Ответ: hello_html_3e56d1a5.gif


2)Метод введения новой переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё уравнение не было логарифмическим.

Привет 2. Решить уравнение: hello_html_m20f24b18.gif . ОДЗ:hello_html_m7b0a2d01.gif

hello_html_m3784c486.gif;

Пусть hello_html_md81b27a.gif , получим квадратное уравнение: hello_html_m3f432e60.gif;

hello_html_7512ca34.gif;

hello_html_3e3e9e1.gif;

hello_html_m74d358e4.gif.

Ответ: hello_html_m4f3a936b.gif = 100

3)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции.

Пример 3. Решить уравнение: hello_html_7d180f47.gif.

Строим графики следующих функций:hello_html_m320bdf4c.png

hello_html_12637b3b.gif;

hello_html_m2b92713d.gif;

Проверка: hello_html_m65a9adf4.gif.

Следовательно, hello_html_5ef76bca.gif.


Ответ: hello_html_5ef76bca.gif.


Устные упражнения

Решить уравнения:


1)hello_html_15feaded.gif (hello_html_mdfaab81.gif);

2) hello_html_9581332.gif hello_html_m60c5e9c1.gif;

3) hello_html_m4fbb0a.gif (hello_html_m4ff7d743.gif);

4) hello_html_m41238560.gif hello_html_m7a0c4ef9.gif;

5) hello_html_m9b983c1.gif; hello_html_32d547f.gif

6) hello_html_m7cc06b3b.gif (hello_html_m7ce60853.gif);

7) hello_html_4716216a.gif (hello_html_2d7a6e6e.gif);

8)hello_html_6cb05540.gif (hello_html_554b3652.gif);

9) hello_html_2c71feb3.gif (hello_html_m14b55a82.gif);

10)hello_html_m5b0ef73f.gif hello_html_525637db.gif. .


Тренировочные упражнения


Решить уравнения:


1) hello_html_m3f31e0ce.gif (hello_html_4fc933d6.gif);

2) hello_html_m5353de48.gif (hello_html_49c73f71.gif);

3) hello_html_m611fccfa.gif (hello_html_m399608c2.gif);

4) hello_html_m6c2c52ca.gif hello_html_m15b5a8ba.gif;

5) hello_html_m1d2a91bf.gif (hello_html_m729c2a4f.gif);

6) hello_html_277f0086.gif hello_html_m4eb2b795.gif;

7) hello_html_m8aa9172.gif (hello_html_3e5e11ce.gif);

8) hello_html_74699e65.gif (hello_html_ae509e1.gif);

9) hello_html_579f64a4.gif (hello_html_m14b55a82.gif);

10) hello_html_7e92aec7.gif (hello_html_m14318b38.gif


Задачи повышенной сложности:

1)hello_html_10f15cef.gif hello_html_m4c58d0ed.gif;

2)hello_html_m25670b43.gif hello_html_4293f6f.gif;

3)hello_html_2a37c55d.gif hello_html_45ed5458.gif

4) hello_html_m6b2c16f3.gif hello_html_m4561fff0.gif

5)hello_html_2f429ab7.gif hello_html_m5e617c8b.gif

6) hello_html_m468184ac.gif hello_html_m3a7a4dc7.gif



Занятие №4. «Логарифмические неравенства».

Цель:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме «логарифмические неравенства».


Ход урока.

Определение 1. Простейшее логарифмическое неравенство – это неравенство вида hello_html_47f5f8f5.gif (вместо знака > может стоять <, hello_html_m9921110.gif), где hello_html_m73437e0a.gif, hello_html_4df3c4f8.gif.

Определение 2. Логарифмическими неравенствами называют неравенства видhello_html_m47767ff2.gif,где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если hello_html_57ee814d.gif и hello_html_464a8fec.gif, то:

при hello_html_7db4e636.gif логарифмическое неравенство hello_html_45e442c6.gif равносильно неравенству того же смысла: hello_html_6803b2c9.gif;

при hello_html_m6309732.gif логарифмическое неравенство hello_html_45e442c6.gif равносильно неравенству противоположного смысла: hello_html_m4f49e6dd.gif.


Методы решения неравенств совпадают с методами решения логарифмических уравнений.

1)Потенцирование.

Пример 1. Решить неравенство: hello_html_m4587da4b.gif.

hello_html_56da3b17.gif;

Первое неравенство приравниваем к нулю и решаем как квадратное уравнение:

hello_html_2de53b18.gifhello_html_m550c7537.gif

hello_html_m22eec6b1.gifhello_html_5b494dde.gif

Решение находим с помощью координатной прямой:


Ответ: hello_html_m39a6f1f4.gif

2)Введение новой переменной.

Пример 2. Решить неравенство: hello_html_246628eb.gif

hello_html_m4837bd62.gif;

t =hello_html_28ba07ca.gif , hello_html_m46a3839f.gif получим неравенство: hello_html_m588161a7.gif;

hello_html_m50d85c6e.gif;

hello_html_m1d901174.gif,

делаем обратную замену:

hello_html_5260b328.gif.


Ответ: hello_html_m63b39f13.gif

3)Графический метод.

Пример 3. Решить неравенство: hello_html_m7c7e4d30.gif

hello_html_7e097b7d.png

hello_html_m57d56574.gif

hello_html_m40a806e3.gif





Ответ: hello_html_m166fd1bc.gif


4)метод интервалов.

Пример 4. Решить неравенство: hello_html_m253ec54c.gif

hello_html_m59fc486c.gif

hello_html_m7bbb9a38.gif;

hello_html_m16537837.gif;

hello_html_6eb509b2.gif

Нули функции: hello_html_m1e9e58ed.gif;

hello_html_7d6c03d4.gifhello_html_m6c51c551.png



Ответ: hello_html_626bf7f1.gif


Устные упражнения

Решить неравенства:


1) hello_html_5ff3c097.gif hello_html_4fa21c0d.gif;

2) hello_html_7f501a92.gif hello_html_m2250df16.gif;

3) hello_html_11db5339.gif hello_html_6fb3f93.gif;

4) hello_html_df63f55.gif hello_html_2c9fe1bc.gif;

5) hello_html_m57abb84c.gif (hello_html_1b75038.gif);

6) hello_html_349c9684.gif hello_html_mb5e8f79.gif;

7)hello_html_f32658c.gif hello_html_11b04016.gif;

8) hello_html_m1203db4.gif hello_html_m5c021cb3.gif

9)hello_html_178edb76.gif hello_html_m2ffdd671.gif;

10)hello_html_m7c48ec65.gif hello_html_2ff5eb57.gif.



Тренировочные упражнения

Решить неравенства:


1)hello_html_m55b56f2f.gif (нет корней);

2) hello_html_35d584ec.gif (hello_html_18059162.gif);

3) hello_html_m643919f.gif (hello_html_aed66d3.gif);

4) hello_html_28e803cf.gif (hello_html_594e0ef0.gif);

5) hello_html_192c4fa3.gif (hello_html_24f9b734.gif);

6) hello_html_2957489c.gif (hello_html_7b3bd27f.gif);

7) hello_html_5795eb1a.gif (hello_html_m3f49d37a.gif);

8) hello_html_m122cd9e6.gif hello_html_m2019817c.gif;

9) hello_html_46258393.gif hello_html_3f0afecc.gif.



Задачи повышенной сложности

1) hello_html_m531164cb.gif hello_html_6544a41c.gif;

2)hello_html_m74fc6852.gif hello_html_7e3e5016.gif;

3)hello_html_40b58f48.gif

4)hello_html_709f01d2.gif

5)hello_html_116509ae.gif

6)hello_html_319ccd40.gif

Занятие 5. «Решение нестандартных уравнений».

Цель:

Изучить показательно-логарифмические уравнения, логарифмические уравнения с переменной в основании, показательно-степенные уравнения и методы их решения.

Ход урока:

1)Показательно-логарифмические уравнения.

Определение: Показательно-логарифмическим уравнением называется уравнение, у которого неизвестные уравнения входят в показатель степени и под знак логарифма. Показательно-логарифмические уравнения решают логарифмированием обеих частей уравнения, после чего получают логарифмическое уравнение при этом, так как в основании степени находится переменная, то часто учащиеся логарифмируют по переменному основанию. Такой подход может привести к потере корней. Рассмотрим этот случай на примере.

Пример 1. Решить уравнение: hello_html_4b94066f.gif ОДЗ: hello_html_m4f3a936b.gif > 0

Логарифмируем по основанию х:

hello_html_m6b7bee7f.gif;

hello_html_38499917.gif;

Пусть hello_html_4516b16c.gif;

hello_html_1ce34a23.gif;

hello_html_783e1c2a.gif.

Ответ: hello_html_783e1c2a.gif.

Это же уравнение прологарифмируем по основанию 2:

hello_html_5b0c3c7b.gif

hello_html_m31e65130.gif

hello_html_1ae3fa09.gifhello_html_23c358a4.gif

hello_html_32f33866.gifПусть hello_html_4516b16c.gif

hello_html_m78f8b758.gif

hello_html_15225e44.gif

Ответ:hello_html_m5a2339e1.gif.

Произошла потеря корня при переходе к основанию х, следовательно, при решении таких уравнений необходимо логарифмировать по постоянному основанию, чтобы не произошла потеря корня.


Тренировочные упражнения

  1. hello_html_m7989d784.gif(hello_html_m2b2d75a5.gif)

  2. hello_html_m7119b4aa.gif(hello_html_5bf2bc84.gif)

  3. hello_html_742f1353.gif(hello_html_253e6b.gif)

  4. hello_html_62be8151.gif(hello_html_54ab0fc6.gif)


2)Логарифмические уравнения с переменной в основании.

Это уравнение вида: hello_html_m55efd703.gif, a(x)>0, a(x)≠1. Уравнение равносильно системе: hello_html_78acc0b3.gif

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_518e0ba1.gif ОДЗ:hello_html_7ead495.gif

hello_html_m21515eb0.gif

hello_html_4eaacccb.gif

hello_html_m2a5360c9.gif

hello_html_m2d840194.gif

hello_html_m6a39c363.gif

Ответ: hello_html_m6a39c363.gif


Тренировочные упражнения

1)hello_html_37ff735.gif;

2)hello_html_m424f7b14.gif;

3)hello_html_149b786c.gif;

4)hello_html_m6008f13a.gif;

5)hello_html_435c313f.gif hello_html_m60c5e9c1.gif;

6)hello_html_m27dea921.gif

hello_html_24f7f736.gif.


3) Показательно-степенные уравнения.

Так  называются уравнения  вида  hello_html_m7c22b8ed.gif,  где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.  Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида  hello_html_m7c22b8ed.gif. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения hello_html_m7c22b8ed.gif будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) <0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x)  и  а(х)g(x) теряют смысл. То есть при переходе от  hello_html_m7c22b8ed.gif к  f(x) = g(x)  при  hello_html_m27aa9f3b.gif могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи, а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно. Итак, для полного решения уравнения hello_html_7e903421.gif рассматриваем случаи.
1.  hello_html_m6b895919.gif. Корни этого уравнения являются корнями данного, если значения функций f(x) и g(x) от этих корней – целые числа одинаковой четности или дробные несократимые с нечетными знаменателями и одинаковой четности числителя.

2.  hello_html_m38460a84.gif. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения, если значения функций  f(x) и g(x) от этих корней положительны.
3.  hello_html_3d69737.gif. Корни этого уравнения являются корнями данного, если они входят в область определения функций  f(x) и g(x).

4.  f(x)= g(x). Корни этого уравнения являются корнями данного, если они входят в область определения уравнения.


Пример 3. Решить уравнение:hello_html_m63600e4f.gif.
Решение.
По определению арифметического квадратного корня: ОДЗ: hello_html_m4f3a936b.gif – 1 ≥ 0, hello_html_m4f3a936b.gif ≥ 1. 
1) hello_html_m4f3a936b.gif – 1 = 0 или  hello_html_m4f3a936b.gif = 1,   hello_html_m7ef92cd1.gif, это не решение. 
2) hello_html_m4f3a936b.gif – 1 = 1         hello_html_m4f3a936b.gif 1 = 2. 
3) hello_html_m4f3a936b.gif – 1 = -1        hello_html_m4f3a936b.gif 2= 0 не входит в ОДЗ. 
4) hello_html_627e2d00.gif,

hello_html_1c10164e.gif

hello_html_m19c359c5.gif
                
       hello_html_m63521801.gif – корней нет.


 Ответ: hello_html_m4f3a936b.gif = 2.

Тренировочные упражнения:

1)hello_html_m2587371c.gif

2)hello_html_m32981df6.gif hello_html_m763dff3a.gifhello_html_m3fff25ed.gif

3)hello_html_6272081c.gif hello_html_m74b1c7d2.gif

4)hello_html_507c8a79.gif hello_html_11852162.gif(hello_html_75900e5d.gif)

Занятие 6. «Логарифмические неравенства с переменной в основании».

Цель.

Изучить логарифмические неравенства с переменной в основании.

Ход урока.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.

Пусть неравенство имеет вид: hello_html_m29c15ec9.gif

Мы помним, что:

Если основание логарифма больше единицы hello_html_m4ffc406b.gif, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы hello_html_22a5bfda.gif, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.

Чтобы не рассматривать эти два случая по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде: hello_html_m33b2fc28.gif

Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:

если hello_html_263bc158.gif,  то hello_html_2dc7ab6.gif знак неравенства сохраняется;

если hello_html_m5c80989c.gif, то hello_html_m25962ea4.gif знак неравенства меняется на противоположный.

Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство: hello_html_583a06b6.gif будет равносильно системе:

hello_html_m56160e0b.gif

Последние четыре неравенства системы – ОДЗ исходного неравенства.

Пример 1. Решите неравенство hello_html_m2ca29822.gif.

Решение. hello_html_m4e19472a.gif;

hello_html_m303a9424.gif;

hello_html_1881de1a.gif

Ответ: hello_html_96a4730.gif


Пример 2. Решить неравенство:

hello_html_m6fa3b62.gif

Решение: hello_html_m4a8d22da.gif

hello_html_m6dc388f.gif

hello_html_m6967027a.gif



hello_html_m4f8bed37.gif

Ответ: hello_html_759bd7bc.gif



Пример 3. Решите неравенство hello_html_m6dbebfd3.gif .

Решение: hello_html_m111079a0.gif 

hello_html_m11b86390.gif

hello_html_1f1ee3.gif

hello_html_m4c0f4b61.gif

hello_html_5386ba14.gif

hello_html_m71780dc4.gif



Решение первого неравенства последней системы – объединение промежутков hello_html_m7b753ce9.gif. Пересечением решений трех оставшихся неравенств является множество hello_html_m28a216e4.gif. Следовательно, решение всей системы: hello_html_m52334f48.gif

Ответ: hello_html_m52334f48.gif.

Тренировочные упражнения

1)hello_html_m147d9025.gif hello_html_2fec8e83.gif;

2)hello_html_51819d68.gif hello_html_mf708c88.gif;

3)hello_html_6c17b808.gif

4)hello_html_m2b28070.gif

5)hello_html_m5cf04de5.gif

6)hello_html_m7e070342.gif hello_html_m68922a4.gif

























Занятие 7. «Задания из части С ЕГЭ».

Цель.

Подготовить к решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств, которые встречаются на едином государственном экзамене.


Рассмотрим некоторые виды части С.

Пример 1. Решить систему неравенств: hello_html_m698a5ecf.gif

  1. hello_html_7da3f534.gif

Пусть  hello_html_m485e1e1d.gif    тогда:

hello_html_1253a8d2.gif,

hello_html_m4716fa64.gif,

hello_html_5e212f25.gif,

hello_html_595458a8.gif,

 

  1. hello_html_m54c83dab.gif

hello_html_425913c4.gifОДЗ: hello_html_m73d38426.gif

1)  если  hello_html_m289701c1.gif

hello_html_78753ebf.gif

hello_html_m2be42c8f.gif

hello_html_4fdfbec5.gif

С учетом ОДЗ: hello_html_m7c6c1c0e.gif   


2)  если  hello_html_m1f25618a.gif

hello_html_78753ebf.gif

hello_html_m64715b91.gif

hello_html_m58ba638e.gif

Объединив оба случая, получим:

hello_html_6452fee4.gif

Теперь решим следующую систему:

hello_html_m5df1cb21.gif

Откуда решением будет: hello_html_267f02a3.gif.

Ответ: hello_html_267f02a3.gif.


Пример 2. Решить систему: hello_html_2f280fff.gif

ОДЗ: hello_html_3bacf64c.gif.

1)hello_html_m1aa62c23.gif

hello_html_5a759369.gif

hello_html_m23ac51e4.gif

hello_html_238965.gif.

2)hello_html_m1e8d779e.gif

hello_html_mf4874e6.gif

hello_html_m57a2b915.gif

hello_html_687423e5.gif

  1. Объединяем решения первого и второго неравенства.

hello_html_m192cca61.pnghello_html_76d3f823.gif

Ответ: hello_html_76d3f823.gif


Пример 3. Решить уравнение: hello_html_35051b00.gif.

hello_html_m9f8a670.gif;

hello_html_1aeb3764.gif;

hello_html_m7d4b7f0b.gif;

hello_html_7bb8b2a0.gif;

hello_html_3d61a5ee.gif

Ответ: hello_html_mba05d3c.gif.


Пример 4. При каждом значении а решите систему:

hello_html_60fe2b6.gif.

Решение. Пары (х;у), дающие решение системы, должны удовлетворять условиям:

hello_html_2704e6e5.gif

Из второго уравнения системы находим hello_html_m138ff0d9.gif. Осталось заметить, что тогда hello_html_m5cd507f.gif.

Уравнение hello_html_m108f5ebe.gif при условии hello_html_78370599.gif и hello_html_3ffcec7c.gif имеет при hello_html_m73437e0a.gif решение hello_html_3f5fc4dc.gif. тогда и из полученной системы находим hello_html_f786948.gif.

Ответ: при hello_html_175573b3.gif решений нет, при hello_html_1768dd12.gif

hello_html_m7da28f87.gif

Тренировочные упражнения:

  1. При каждом а решите систему уравнений: hello_html_332afcb1.gif

hello_html_f306ac1.gif;

  1. hello_html_m11d55853.gif

hello_html_4b8dc4de.gif;

  1. Решить систему: hello_html_afc1a17.gif

hello_html_cdc3a3d.gif;

  1. Решить неравенство: hello_html_261f39a.gif

hello_html_m5f66c839.gif.








Занятие 8. «Контрольная работа».

Цель: контроль качества усвоения изученного материала и самостоятельной работы учащихся.

Ход урока.

Данная контрольная работа проверяет знания и умения учащихся по теме: «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства». Работа проводится в форме теста, применяемого, в ЕГЭ до 2010 года и состоит из двух вариантов. В каждом варианте по 8 заданий, разбитые на три вида: А, В, С. Часть А состоит из 4 заданий, В из 3, а в части С два задания.

При этом решение оформляется кратко, по необходимости, или вообще выполняется устно. Подробное решение записывается только у заданий  части С.

Критерии оценки:

«3» - правильно выполнена часть А и хотя бы одно задание части В;

«4» -  правильно выполнены части А и В;

«5» - правильно выполнены все части работы.

На все части контрольной работы даны ответы.

Вариант 1.

При выполнении заданий А1 – А4 обведите номер правильного ответа.



А1. Указать промежуток, которому принадлежат все корни уравнения hello_html_1a58ab12.gif

hello_html_mb7e094d.gif hello_html_2e27f4ef.gif hello_html_m3adfbee9.gif hello_html_madeb18d.gif





А2. Решить неравенство: hello_html_2167fb64.gif

hello_html_73523276.gif



А3. Укажите промежуток, принадлежат все корни уравнения:

hello_html_m63e32f07.gif.

hello_html_mcd36e84.gif



А4. Решить неравенство hello_html_m4a931564.gif.

hello_html_7a596d80.gif

Ответом к заданиям В1 – В3 должно быть некоторое число. Это число надо записать в ответ.



авенство инадлежат все корни уравнения ний. нения с переменной в основании.

ием их решения, так же



В1. Решить неравенство: hello_html_m29c3e6b.gif.

В2. Решить неравенство: hello_html_adccd3f.gif

В3. Решить неравенство: hello_html_3bef128e.gif


Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение.


C1. Решить систему: hello_html_m7a4ffc57.gif



Ответы 1 вариант:

А1. 4;

А2. 3;

А3. 2;

А4. 4;

В1. hello_html_m691e9c19.gif;

В2. hello_html_m754e827e.gif;

В3. hello_html_m61876d8a.gif;

С1. hello_html_m681b9ab6.gif.


Вариант 2.

При выполнении заданий А1 – А4 обведите номер правильного ответа.



А1. Указать промежуток, которому принадлежат все корни уравнения hello_html_mcfd5206.gif

hello_html_m14b76359.gif hello_html_2e27f4ef.gif hello_html_m5b4f1808.gif hello_html_6e9c926c.gif





А2. Решить неравенство: hello_html_m6d9067e4.gif

hello_html_m31a610ef.gif



А3. Укажите промежуток, принадлежат все корни уравнения:

hello_html_5925933.gif.

hello_html_m2ee36cdd.gif



А4. Решить неравенство hello_html_m4e5e5cde.gif.

hello_html_7384e377.gif

Ответом к заданиям В1 – В3 должно быть некоторое число. Это число надо записать в ответ.



авенство инадлежат все корни уравнения ний. нения с переменной в основании.

ием их решения, так же



В1. Решить неравенство:hello_html_m3bfaf823.gif.

В2. Решить неравенство: hello_html_m18cb8c8c.gif

В3. Решить неравенство: hello_html_2936572b.gif


Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение.


C1. Решить систему: hello_html_1b4746ec.gif


Ответы 2 вариант:

А1. 4;

А2. 3;

А3. 3;

А4. 3;

В1. hello_html_76177138.gif;

В2. hello_html_m3c548e66.gif;

В3. hello_html_m594c985f.gif;

С1. hello_html_m7d2d2fcf.gif.





Литература

  1. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Алгебра и начала анализа. [Текст]: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразовательных учреждений. – 8 изд. перераб. – М.: Просвещение, 2000. – 384с.

  2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс. [Текст]: учебник для общеобразовательных учебных заведений. – 4-е издание стереотип. – М.: Дрофа, 2002. – 400с.

  3. Виленкин Н.Я., Ивашев – Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 классов. [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 288с.

  4. ЕГЭ 2013. Математика. Задачи С3. Уравнения и неравенства [Текст] / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – 4 изд., стереотип. – М.:МЦНМО, 2013. – 80с.

  5. ЕГЭ 2013. Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий [Текст]/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2013. – 123с.

  6. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. [Текст]/ под. ред. А.Н. Колмогорова: - 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384с.

  7. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия [Текст]: учебное пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. институтов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: «ABF», 1995. – 352с.

  8. Лихтарников Л.М., Поволоцкий А.И. Основы математического анализа. Книга для учителей математики старших классов средних школ. [Текст]/ Оформление обложки А. Олексенко, С. Шапиро. – СПб.: Издательство Лань, 1997. – 304с.

  9. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты: учебно-методическое пособие [Текст]/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 144с.

  10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 класс: В двух частях, часть 1. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 375с.

  11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс: В двух частях. Часть 1. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2007. – 287с.

  12. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений профильный уровень [Текст]/ М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М.: Просвещение, 2010. – 400с.

  13. Рыжик В.И., Черкасов Т.Х. «Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу» 10 – 11 класс. [Текст]: учебное пособие для профильной школы. – СПб: СМИО Пресс, 2013 – 432с.

  14. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства [Текст]: учебное пособие. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. – 352с. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»).

  15. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса [Текст]/ М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 424с.


Интернет ресурсы:

  1. Аналитический отчет о результатах ЕГЭ 2012года. ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: http://www.fipi.ru/view/sections/138/docs/ (дата обращения: 7.04.13).

  2. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: http://www.fipi.ru/view/sections/226/docs/627.html (дата обращения: 3.04.13).

  3. Статистические информационно – аналитические материалы ЕГЭ – 2012. [Электронный ресурс] / Республиканский информационный центр оценки качества. - URL: http://ricoko.ru/?page_id=2213 (дата обращения: 7.04.13).

















Автор
Дата добавления 12.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров427
Номер материала ДВ-330800
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх