Элективный курс по теме Преобразование графиков функций

Глава 4. Элективный курс «Преобразование графиков функции»

4. 1. Пояснительная записка

Курс «Преобразование графиков функций» рассчитан на 10-11 классы, объем 12 часов и посвящен такому понятию, как график функции. С понятием график функции учащиеся первые встречаются в 7 классе, когда изучают линейную функцию. В дальнейшем эти знания дополняются другими видами графиков функций, их свойствами, а также различными методами преобразования над ними.

Свободное владение техникой построения графиков функции часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу и, следовательно, не изучаются.

На изучение темы «Преобразование графиков функций» отводится всего 6 часов, хотя поведение функции и построение графиков являются важным разделом школьного курса. В школе наиболее часто используются комплекты учебников Алимова Ш.А., Колягина Ю.М., Сидорова Ю.В. и др. и Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. и др., где эта тема описана более подробно.

Задачи, предлагаемые в данном элективном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и дает им возможность проверить свои способности к математике. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения как путём использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки.

Для текущего контроля усвоения материала рекомендуется проводить зачётное мероприятие на 1 час в виде контрольной работы.

Цель курса:

Углубить знания в области преобразований графиков функций и дополнить алгебраическими действиями над ними; подготовить учащихся к решению заданий С5 из ЕГЭ с использованием функционально-графического метода.

Задачи курса:

1) Систематизировать знания о различных видах преобразований графиков функций.

2) Закрепить имеющиеся умения для построения графиков различных функций, решения уравнений и неравенств.

3) Развивать представление о взаимосвязи преобразования графиков при переходе от простых заданий к более сложным.

4) Научить алгебраическим действиям над графиками функций.

После прохождения элективного курса, обучаемые овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• Представлять в каких четвертях находится и как примерно должен выглядеть график функции до начала изображения на координатной плоскости;

• Знать свойства графика;

• Уметь правильно по основным точкам чертить графики;

• Преобразовывать графики функций и применять алгебраические действия над ними.

• Решать уравнения и неравенства, в том числе с параметром, функционально-графическим методом.

Тематический план курса:

№ урока

Название темы

Кол-во часов

1

Растяжение и сжатие графиков функций. Симметричное отображение относительно координатных осей

1

2

Параллельный перенос графиков функций

1

3

Графики функций, содержащих модуль

1

4,5

Графики суммы и разности

2

6,7

Графики произведения и частного

2

8,9,10,11

Решение задач С5 ЕГЭ

4

12

Контрольная работа

1

4.2. Поурочное планирование

Растяжение и сжатие графиков функции. Симметричное отображение относительно координатных осей (1ч.)

Цель:

Закрепить знания, применяемые при построении графиков функций с использованием правил растяжения и сжатия, а также симметричного отображения относительно координатных осей.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение

На уроках алгебры мы изучали посторенние элементарных функций. Сегодня начнем рассматривать преобразования графиков функций. Тема нашего первого урока «Растяжение и сжатие графиков функции. Симметричное отображение относительно координатных осей».

Для построения графиков более сложных функций используют следующие правила:

1)При , график функцииможно получить из графика растяжением вдоль оси Oy в k раз, если , сжатием в раз, если .

2)При , график функцииможно получить из графика функции сжатием вдоль оси Ox в k раз, если ; растяжением в раз, если .

3)График функцииполучают из графика функции симметричным отображением относительно оси Ox.

4)График функцииполучают из графика функции симметричным отображением относительно оси Oy.

3. Работа по теме

Построить графики функций:

Пример: 1).

Для построения этого графика сначала строим график функции , затем сжимаем его в 2 раза вдоль оси Ox.

2).

Этот график получаем из графика функции сжатием в 2 раза вдоль оси Ox и симметричным отображением относительно оси Ох.

Задания для самостоятельной работы:

3. .

3. .

3. .

6).

7)).

В силу четности график функции ) и )совпадают.

8).

9)x.

Параллельный перенос графиков функции(1ч.)

Цель:

Систематизировать и закрепить знания, используемые при преобразовании графиков функций способом параллельного переноса.

Ход урока

1. Организационный момент

II. Повторение

Для движения графика функций вдоль осей используют следующие правила:

1)График функции получают из графика функции параллельным переносом: наа единиц вправо, если и на единиц влево, если .

2) График функции получают из графика функции параллельным переносом: на b единиц вверх, если и на единиц вниз, если .

III. Работа по теме.

1. .

Этот график получают из графика функции параллельным переносом на единиц вправо.

 

2. .

График функции получают из графика параллельным переносом на 2 единицы влево.

Задания для самостоятельной работы:

3).

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Графики функций, содержащих модуль(1ч.)

Цель:

Повторить понятие модуля и рассмотреть построение графиков функций, содержащих модуль.

Ход урока

1. Организационный момент

II. Повторение

1. Для построения графиков функций, содержащих модуль, используют правила:

1) Для построения графика функции , строят график функции для неотрицательных x и дополняют его симметричным отображением относительно Oy.

2)Для построения графика функции, строят график функции и часть этого графика, который находится выше оси Ox оставляют на месте, а часть находящуюся ниже Ox, отображают вверх симметрично относительно оси Ox.

III. Работа по теме

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Построим график функции по правилу 1. По свойству четности степени (), т.е. данную функцию можно записать в виде . Построим график функции для и дополним его симметричным отображением относительно Оy (рис. 1).

.

Пример 2. Следующий график вида .

График функции получают следующим образом: строят график функции , оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Задания для самостотельной работы:

3. .

4. .

5. .

2.Для функции более сложного вида построить графики только с помощью правил 1,2 нельзя. В этом случае раскрывают модули, рассматривая область определения функции по частям.

Важным понятием является понятие узловой точки, т.е. точки, в которой выражение находящееся под знаком модуля обращается в ноль.

6. .

.

При.

При .

;

Задание для самомстоятельной работы

7. .

3.Важным случаем функций, содержащих модули, являются кусочно-линейные функции, т.е. функции, в которых под знаком модуля встречается только линейные выражения, а сами модули участвуют только в операциях сложения, вычетания и умножения на число.

Графиком таких функций является ломаная, ее строят по точкам излома, которые находятся в узловых точках, левый и правый лучи строят по дополнительным точкам.

8. .

Узловые точки:

Дополнительные точки:

Задание для самостоятельной работы

9. .

Графики суммы и разности функций(2ч.)

Цель:

Изучить метод построения графиков суммы и разности функций.

1. Организационный момент.

2. Работа по теме.

1. График суммы функции

Для построения графика функции в одной системе координат строят графики и . Построение графика суммы ведут по точкам: фиксируем значение х_0, по исходным графикам находим и и строим точку . При этом обязательно в качестве берут: точки экстремумов, точки излома, точки пересечения графиков, точки пересечения графиков с осью Оx. Если х₀ – точка пересечения графика одной функции с осьюОх, то точка итогового графика принадлежит графику второй функции.

При построении графика суммы следует учитывать следующие свойства:

1. Областью определения суммы функций является пересечение областей определения слагаемых:

2. Если одна из функций в точке х₀ имеет вертикальную асимптоту, то график суммы тоже может иметь (но не обязательно) в этой точке вертикальную асимптоту.

3. Если обе функции имеют горизонтальные асимптоты , , то график суммы тоже имеет горизонтальную асимптоту: .

4. Если обе функции имеют наклонные асимптоты , --, , тогда график суммы также имеет наклонную асимптоту: .

5. Если график одной из функций имеет горизонтальную асимптоту , то график суммы приближается к графику другой функции.

6. Если на некотором интервале обе функции возрастают, то сумма также возрастает на этом интервале, если обе функции убывают, то сумма убывает.

Пример: 1)Построим график функции .

Построим на одном чертеже графики прямой и гиперболы .

Функция – нечётная, поэтому построим сначала график при х> 0.

Определим значения функций  (синий график) и  (зеленый график) в точке . Значение функции в этой точке  получим, сложив ординаты функций   и  . Точку на графике суммы отметим жёлтым цветом. Аналогично получаем значения суммарной функции в других точках.

При х, близких к 0, значения функции приближаются к нулю, но являются положительными числами, поэтому значения суммы близки к значениям гиперболической функции, но больше их, то есть график приближается к гиперболе сверху.

При , функция имеет горизонтальную асимптоту – ось Ох, поэтому график суммы приближается к графику , причем, так как значения гиперболической функции положительны, то приближается сверху.

Через полученные точки проводим кривую. Пользуясь свойством графиков нечётных функций, достраиваем график при х< 0 симметрично относительно начала координат.

Итак, мы получили график суммы  (он изображен красным цветом).

Задания для самостоятельной работы

.

2. .

.

3. .

.

4. .

.

1. График разности функций

График функцииможно построить, как сумму и . А можно ввести построение по точкам, вычитая из ординат функции положительные ординаты или добавляя модуль отрицательных ординат .

При построении графика разности функций учитывают следующие свойства:

1. Областью определения разности функции является пересечение областей определения уменьшаемого и вычитаемого:

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты исходных графиков дают асимптоты разности и .

3. Так же, как и при суммировании, могут сохраняться вертикальные асимптоты.

4. Если функцияимеет горизонтальную асимптоту, то график разности приближается к графику .

Если же наоборот, первая функцияимеет горизонтальную асимптоту, то график разности приближается к графику вспомогательной функции .

5. В точках пересечения исходных графиков график разности пересекает ось Оx.

6. Разность возрастающей и убывающей функций - функция возрастающая; разность убывающей и возрастающей функций - убывающая функция.

Пример: 1)

.

Построим на одном чертеже графики прямой и гиперболы .

Функция – нечётная, поэтому построим сначала график при х> 0.

Определим значения функций и в точке .Значение функции в этой точке получим, вычитая ординаты функций и . Полученное значение разности обозначено красной точкой. Аналогично получаем значения разности функции в других точках.

При , функция имеет горизонтальную асимптоту – ось Ох, поэтому график разности приближается к графику , причем, так как значения гиперболической функции положительны, то приближается снизу.

Через полученные точки проводим кривую. Пользуясь свойством графиков нечётных функций, достраиваем график при х< 0 симметрично относительно начала координат.

Итак, мы получили график разности  (он изображен красным цветом).

Задания для самостоятельной работы

2).

.

3).

.

.

.

5. .

.

Графики произведения и частного функций (2ч.)

Цель:

Изучить метод построения графиков произведения и частного функций.

3. Организационный момент.

4. Работа по теме.

1. Произведение графиков функций

График функциистроят с помощью графиков функций и по точкам. Удобно брать точки, в которых хотя бы одна из функций имеет целочисленные ординаты.

При построении графика учитывают следующие свойства:

1. Областью определения произведения функций является пересечение областей определений графиков функцийи .

.

2. Если хотя бы одна из функций в точке пересекает ось Ox, то график произведения так же пересекает ось Ox в точке .

3. Вертикальные асимптоты могут сохраняться, а могут дать выколотую точку.

4. Если график функциипересекает прямую в точке , то точка на графике произведения будет принадлежать графику . Если график функции пересекает прямую в точке , то точка графика произведения будет принадлежать графику .

5. Если обе функции имеют горизонтальные асимптоты и , то график произведения имеет горизонтальную асимптоту .

6. Если одна функция имеет наклонную асимптоту , а другая функция имеет горизонтальную асимптоту , тогда функция произведения имеет наклонную асимптоту .

Пример: 1).

.

Построим графики функций  и .

Далее при каждом  перемножим ординаты двух графиков. Сначала рассмотрим точки, в которых функция  принимает нулевые значения. В этих точках значения функции произведения тоже будут равны 0, т.е.точки графика остаются на месте. Отметим эти точки красным цветом.

Теперь рассмотрим точки, в которых функция  принимает значения равные единице (они обозначены голубым цветом). В этих же точках определяем значения функции.
.

Значения функции произведения в этих точках будут равны значениям функции (рис.1), т.е. точки графика произведения лежат на прямой . 

Далее рассмотрим точки, в которых функция  принимает значения равные минус единице (они обозначены голубым цветом).В этих точках значения функции  равны –х, т.к. .

    Значения функции произведения в этих точках будут противоположны по знаку и равны по абсолютной величине значениям функции . Поэтому, чтобы получить значение функции произведения в этих точках, нужно отложить ординаты функции  в этих точках с противоположным знаком

Мы видим, что эти значения принадлежат прямой  . Для наглядности проведем ее голубым цветом (рис.2).

(рис.2)

    По свойствам синуса, , поэтому искомая кривая будет ограничена прямымии . Через полученные точки, соответствующие значениям функции произведения, проводим кривую красным цветом (рис.2).

Заметим, что функция  четная, то есть её график симметричен относительнo оси Oy. Поэтому построение графика можно было производить только при положительных аргументах, а затем симметрично отразить полученную кривую относительно оси Oy(рис.3).

(рис.3)

Задания для самостоятельной работы

2).

.

.

3).

.

.

.

.

1. .

.

.

2. Частное графиков функций

График частного двух функцийстроят как график произведения

.

График функции строят по свойствам:

1. ;

2. Если непрерывна в точке и значение функции , то прямая является вертикальной асимптотой ;

3. Точки пересечения графика функции спрямыми и лежат так же на графике перевернутой функции ;

4.При перевернутая функция , при , ;

Если - вертикальная асимптота, то функция имеет выколотую точку .

Если при, то функция имеет горизонтальную асимптоту .

5. Точки экстремума остаются точками экстремума, но переименовываются, т.е. точки максимума становятся точками минимума, и наоборот;

6. График функции не пересекает ось Ox;

7. Если функцияимеет горизонтальную асимптоту , то функция имеет горизонтальную асимптоту .

Пример: 1).

.

Построим графики функций и .

Далее идем вдоль оси Oxслева направо и при каждом фиксированном значении аргумента умножаем значение первой функции на соответствующее значение второй.

Рассмотрим подробно следующие точки:

1. При первый множитель функции произведения равен 0 (2 множитель не равен 0), значит, график функции проходит через начало координат.

.

Отметим эту точку красным цветом.

При x=2функция принимает значение равное двум. Функция в этой точке принимает значение равное.

Мы получили вторую точку, через которую проходит график искомой функции.

При функция принимает значение равное минус двум. Функция в этой точке принимает значение равное .

.

Мы получили третью точку, через которую проходит график искомой функции. Аналогично получаем другие точки.

Теперь можно выявить закономерности поведения графика произведения двух функций. Так, например, видно, что при отрицательных значениях аргумента значения произведения двух функций симметричным отображением относительно начала координат. Пересекая ось Oxв нуле, функция будет убывать.

На представленном графике изображены первый множитель (зеленого цвета), второй множитель (черного цвета) и произведение (красного цвета).

Задания для самостоятельной работы

2).

.

3).

.

.

.

5).

.

ЕГЭ является обязательной формой задачи экзамена по математике во всех школах России, в его составляющую входит две части: В и С. При решении задач С5 с параметром часто используется графический метод, такое решение задач вызывает трудности у учащихся, так как их изучению не во всех учебных пособиях выделяется достаточно внимания и приводится мало заданий на графический метод решения уравнений и неравенств. После прохождения нового материала, в заданиях на повторение у многих авторов отсутствуют примеры, решаемые с помощью графиков функций. Поэтому особое внимание на элективном курсе следует уделить решению заданий ЕГЭ графическими методами.

Решение заданий С5 ЕГЭ (4ч.)

Цель:

Систематизировать знания по методам построения графиков; повторить функционально-графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами на примере заданий С5 из ЕГЭ.

1. Организационный момент

II. Работа по теме

Пусть даны две функции f(x) иg(x)и построены их графики в одной системе координат. Понятно, что в точках пересечения графиков значения функций равны при одном и том же значении аргумента. Такая графическая интерпретация может оказаться полезной при решении уравнений, а именно: решениями уравнения f(x)=g(x) в этих условиях как раз и будут абсциссы точек пересечения графиков и .

В случае неравенств мы имеем аналогичную ситуацию. Решениями неравенствабудут все значения x, принадлежащие, при которых график функции лежит выше графика функции .

Наконец, рассмотрим часто встречающуюся задачу: определить число корней уравнения , где число a – параметр, . Для этого достаточно построить график функциии в этой же системе координат рассмотреть всевозможные прямые вида , т.е. прямые параллельные оси Ox. Количество точек пересечения такой прямой с графиком даст нам количество корней уравнения при данном значении a, при этом собственно решениями уравнения будут абсциссы этих точек.

Пример.

На рисунке видно, что уравнение имеет:

при - одно решение,

при - два решения,

при - три решения,

при - два решения,

при - одно решение.

Таким образом, чтобы решить графически задачу о числе корней уравнения в зависимости от значения a, можно построить график и подсчитать, сколько раз пересекает этот график горизонтальная прямая в зависимости от расположения этой прямой.

Также встречаются другие виды исследования характеристик решения уравнений и неравенств с параметром.

1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно три различных решения. Для каждого полученного значенияа найдите все эти решения.

Решение. Поделим обе части уравнения на 5, .

Построим график функции , содержащий части прямых с угловыми коэффициентами или .

Функция задает семейство прямых с угловым коэффициентом .

Условию задачи удовлетворяют два расположения прямой l: и .

Так как прямая проходит через точку (0;2), то из уравнения прямой

получим . В этом случае уравнение прямой имеет вид: . Найдем абсциссы точек пересечения A и B прямой с неподвижным графиком.

а) Для точки A решим уравнение .

b) Для точки B решим уравнение .

Так как прямая проходит через точку (-2;0), то из уравнения прямой

получим . В этом случае уравнение прямой имеет вид:

. Найдем абсциссы точек пересечения C и D прямой с неподвижным графиком.

а) Для точки C решим уравнение .

b) Для точки D решим уравнение .

Ответ: при решения .

при решения .

2. Найдите все значенияпараметраa, при каждом из которых график функции пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

Решение: Рассмотрим вспомогательную функцию .

График функции f(x) пересекает ось абсцисс в трех и более точках, если уравнение имеет более двух различных корней.

График функциисостоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение имеет более двух корней, только если , .

Ответ: (-3,5;1).

3. При каких значениях параметраа уравнение имеет ровно два корня, лежащих на отрезке ?

Решение. Преобразуем исходное уравнение: где

При исходное уравнение принимает вид , а это уравнение решения не имеет, так как левая часть строго больше 2.

Таким образом, мы решаем уравнение при . Разберем 3 случая:

1. Если , то решения нет, так как .

2. Если, то снова решений нет, так как .

3. Значит , очевидно являются корнями уравнения.

Итак, случай дает решение , которое принадлежит отрезку при любых a.

Случай дает решение . Найдем условие на a, при котором решение принадлежит отрезку :

.

: .

4. При всех значениях параметраа найти область определения функции .

Решение. Для функции область определения является множество тех значений аргумента, для которых знаменатель дроби не обращается в нуль, т. е. . Функция определена на множестве тех значений x, для которых . Область определения функцииесть пересечение областей определения функций fиg,и значит, она состоит из значений x, являющихся решениями системы:

Графическое решение системы:

Условию задачи при каждом параметре a удовлетворяют все точки, лежащие на пересечении прямой выделенной фоном областью на плоскости Oax.

Ответ.Если , то ; если , то ; если , то .

5. Из области определения функции взяли все положительные числа и сложили их. Найдите все значения a, при которых такая сумма будет больше 7, но меньше 11.

Решение.Рассмотрим сначала при .

Так как , то имеем .

Обозначим . График уравнения , состоящий из прямой (пунктирная линия) и гиперболы (пунктирная линия), разбивает первый координатный угол ( и переменная xпринимает натуральные значения) на три области. Применяя метод областей, получаем необходимое множество точек плоскости: области и

Решаем уравнение относительно переменной x и найдем . При решением является промежуток , который содержит все натуральные числа. Эти значения параметра a не удовлетворяют условию задачи.

При решением является промежуток . Рассмотрим суммы: 1; . Согласно условию задачи имеем неравенство . Так как, то получаем

Ответ. .

По окончанию элективного курса для закрепления и контроля усвоения знаний учащихся проводится контрольная работа, рассчитанная на один час, которая будет оцениваться по пятибалльной школе. Контрольная работа состоит из двух частей. Первая часть состоит из заданий на преобразование графиков функций, вторая – задачи с параметром, решаемые графическим методом. Ниже предлагаются примеры разного уровня сложности, из которых учитель может подобрать задания индивидуально для каждого учащегося.

1. 3. Контрольная работа (1ч.)

Цель:

Контроль и закрепление полученных знаний.

5. Организационный момент

6. Работа по теме

Контрольная работа рассчитана на два варианта, каждому учащемуся раздается карточка с заданиями.

1 вариант.

1.

1.

2.

3.

2.При каких значениях b уравнение имеет единственное решение?

Ответ: 1.

1.

2.

3.

2. Решение: Рассмотрим неподвижный график функции (прямую) и семейство графиков, состоящих из полупарабол с вершиной в точке на оси Ox.

Если вершина полупараболы лежит левее точки (-3;0), то точка пересечения одна. В этом случае или . Если вершина находится в точке (-3;0), то имеется две точки пересечения. Тогда . Точек пересечения будет две до тех пор, пока прямая не станет касательной к графику функции . Так как угловой коэффициент касательной равен 1, то найдем абсциссу точки касания из условия .

.

Точка касания принадлежит прямой и полупараболе, поэтому или . Отсюда и , т.е. вершины параболы находятся в точке (-2,75;0). В этом случае точка пересечения графика одна. При точек пересечения графиков не будет.

Ответ: .

2. вариант.

1. 1.

2.

3.

Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет три решения.

Ответ: 1.1.

2.

3.

Решение. Изобразим на плоскости параболу, заданную уравнением (равносильным уравнению ), и ломаную. Условию задачи удовлетворяют значения и только они.

Ответ: .

Заключение

Данный Элективный курс посвящен методическим аспектам преобразований графиков функции в общеобразовательной школе.

Важность данной темы проявляется не только в математике, но и в других областях науки, например, физике, химии и др. Также графики функций используются в тестах единого государственного экзамена, хотя и нет отельных заданий на их преобразование, зато она используется в решении уравнений и неравенств с параметром.

По данной теме был проведен анализ учебных пособий различных авторов за 7-11 классы. Мною было отмечено, что, например, теме «Графическое решение уравнений и неравенств с параметром» многие авторы не рассматривают и даже не дают примерного описания их решения, хотя важность этой темы очевидна на ЕГЭ.

На основе этого был составлен элективный курс для учащихся общеобразовательных классов. Также мною были рассмотрены алгебраические действия над графиками функций, что не дается в учебных пособиях ни одного автора.

Таким образом, все поставленные нами цели и задачи выпускной квалификационной работы были достигнуты. Элективный курс может использоваться в общеобразовательной школе для учащихся различного уровня знаний.

Литература

1. Алимов Ш. А. ,Шабунин М.И., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 7 класс. [Текст]:М.: Просвещение, 1995. - 191с.

2. Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоклистов Е.Алгебра. 7 класс. [Текст]:8-е изд., 2008. - 335 с.

3. МордковичА.Г., Николаев Н.П. Алгебра. 8 класс. [Текст]: 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010 - 215с.

4. Макарычев Ю.Н. , Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоклистов Е. Алгебра. 8 класс. [Текст]:М.: Просвещение, 1996 – 384 с..

5. Макарычев Ю.Н., , Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоклистов Е. Алгебра с углубленным изучением математики 9 класс. [Текст]: Просвещение, 2003 -270 с.

6. Алимов Ш.А., Шабунин М.И.,Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. [Текст]: Просвещение, 1995. -223с.

7. Алимов Ш. А.,Шабунин М.И., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра и начало анализа 10-11 класс. [Текст]:М.: Просвещение, 2007. - 385с.

8. МордковичА.Г., Николаев Н.П. Алгебра. 10-11 класс. [Текст]: 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010 - 215с.

9. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И., Ивашев -Мусатов О.С. Алгебра и начало анализа 10 класс. [Текст]:Мнемозина, 2006– 335 с.

10. Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. [Текст]: М.: Просвещение, 2009. - 415с.

11. Попов В.А. Задачи с параметрами в курсе алгебры. [Текст]: Издательство РИПКРО, 1997 – 32 с.

12. Потапов М.К. Алгебра и анализ элементарных функций. [Текст]: Издательство Наука, 1981 – 189 с.

13. Потапов М.К., Александров В.В. Алгебра. Тригонометрия и элементарные функции. [Текст]: Издательство Высшая школа, 2001 – 736 с.

14. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. [Текст]: ФИПИ-М: Интеллект-центр,2010 – 87 с.

15. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. [Текст]: – М.: Просвещение, 1989 – 384 с.

16. Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. [Текст]: – М.: МЦНМО, 2009 – 208 с.

17. Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г. ЕГЭ 2013. Математика. Задачи С5. Задачи с параметром. [Текст]: Под ред.: Семенова А.Л. и Ященко И.В. М.: Издательство МЦНМО, 2013 – 180 с.

18. Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. [Текст]: М.: Просвещение, 2009. - 415с.

Интернет ресурсы.

1. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2012. Функции и параметры (типовые задачи С5) [Электронный ресурс]. // Режим доступа: http://alexlarin.net/ege.html . (Дата обращения 08.04.2013)

2. Аналитический отчет о результатах ЕГЭ 2012года. ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: http://www.fipi.ru/view/sections/138/docs/ (Дата обращения: 17.04.13).

3. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL:http://www.fipi.ru/view/sections/226/docs/627.html (дата обращения: 08.04.13).