Элективный курс «Построение графиков функций, уравнений и соответствий»

Подушкина О.Ю., учитель математики МБОУ «МАЛ»

Элективный курс по математике

«Построение графиков функций, уравнений и соответствий»

10 класс (физико-математический профиль)

Пояснительная записка

Элективные курсы – это обязательные для посещения старшеклассниками курсы по выбору, целями которых является развитие, дополнение, углубление содержания профильного курса математики, удовлетворение познавательных интересов школьников, развитие различных сторон математического мышления, воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Математический и информационно-технологический профили относятся к курсам повышенного типа, обеспечивающим дальнейшее изучение математики и её применение в качестве элемента профессиональной подготовки. Это наиболее строгий и полный курс, ориентированный на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой.

Целями изучения математики в этом профиле являются овладение учащимися необходимым объёмом конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности.

Изучение математики в математическом профиле преследует цели:

• формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

• овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения обучения и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

• воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса;

• формирование способов деятельности, необходимых для планирования и организации работы по самообразованию;

Поэтому элективные курсы в профиле, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:

1.Развитие, дополнение и углубление содержания курса математики, что позволяет поддерживать степень знаний на профильном уровне и получать дополнительную подготовку по предмету и для сдачи ЕГЭ по математике.

2. Удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности.

3. Развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами изучения математики.

Предлагаемый элективный курс по профильной подготовке учащихся 10 классов посвящен одному из основных понятий современной математики – функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Существуют различные способы задания функции: аналитический, табличный, словесный, а также графический. Иногда график является единственно возможным способом задания функции. Он широко используется в технике, лежит в основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся.

Цели:

* прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и их графиками;

* представить систематизацию функций по их видам;

* представить систематизацию функций по методам построения их графиков.

В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 16 часов, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие.

Задачи:

* развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической культуры учащихся;

* знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач, связанных с построениями графиков соответствий;

* привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач;

* расширение и углубление знаний по математике по программному материалу.

В результате изучения программы элективного курса «Построение графиков функций, уравнений и соответствий» учащиеся получают возможность

Уметь:

• строить графики функций путем геометрических преобразований (сдвиг, растяжение – сжатие, симметричное отображение относительно координатных осей, и т.д.)

• читать и строить графики различных функций;

• строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;

• решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные уравнения с параметром графическим способом;

• иметь представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

Программа элективного курса состоит из четырех разделов. Курс имеет практико-ориентированную направленность. В условиях предпрофильного обучения в лицее некоторые учащиеся уже имеют знания по некоторым темам курса. Задачей для них ставится систематизация и обобщение знакомых тем. Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий.

Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития умственной деятельности, так как школьники учатся анализировать, замечать существенное, подмечать общее и делать обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения.

Уделяется внимание развитию речи: учащимся предлагается объяснять свои действия, вслух высказывать свою точку зрения, ссылаться на известные правила, факты, высказывать догадки, предлагать способы решения, задавать вопросы, публично выступать.

Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный.

Содержание программы-16 часов

Тема 1. Понятия функции и графика. 3 часа

На первых двух занятиях учащимся сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются их знания о функциональной зависимости. Определяется понятийный аппарат, круг доступных задач, предоставляется дополнительная информация для расширения возможностей учащихся. Понятия функции и графика. Зависимости y = f(x); x=f(y). График функции, график уравнения. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический, словесный. Кусочное задание функции. Графики кусочно заданных функций. Графики уравнений с двумя переменными: , , , ;; ;

Тема 2. Преобразование графиков. 4 часа

При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного исследования. Изложению методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графиков, посвящены следующие четыре урока. В результате учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих функций. Преобразование графиков:

• параллельный перенос; построение графиков функций , ,

• сжатие (растяжение) вдоль оси ординат; построение графиков функций ,

• сжатие (растяжение) вдоль оси абсцисс

• отображение от осей координат и прямых , построение графиков функций ,, .

Тема 3. Действия над функциями. 3 часа

Графики суммы (разности) произведения и частного двух функций также можно построить без применения методов математического анализа, используя определенные правила. Особенно эффективен этот метод в случае, когда исходные функции являются элементарными. Построение графиков квадратичной и дробно-линейной функций, содержащих знак модуля.

Тема 4. Графики уравнений, содержащими модуль. 4 часа.

Построение графиков уравнений с двумя переменными, содержащими модуль:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

Тема 5. Функционально-графический подход к решению задач. 2 часа.

Рассматривается функционально-графический подход к решению задач. Графическое решение уравнений и неравенств. Перевод с «языка» уравнения и неравенства на «язык» графиков и обратно. Решение функциональных уравнений и неравенств.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.

2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. Киев, 1981.

3. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. М., 1994.

4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. М., 1967.

5. Крейнин Я.Л. Функции, пределы, уравнения и неравенства с параметрами. М., 1995.

6. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. М., 1965.

7. Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.

8. Чудаева Е.В. Функционально – графический подход к решению задач с параметром и модулем. Элективный курс.

Занятие элективного курса

Тема: Преобразование графиков

Класс: 10, уровень: профильный

УМК: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов «Алгебра и начала анализа». В 2-х частях: учебник и задачник для профильных классов

Количество часов: 1

Цели:

а) предметные

1. Систематизировать знания учащихся по теме «Преобразование графиков»

2. Составить модель классификации разных преобразований графиков

б) метапредметные

- развивающие:

1. Способствовать развитию умений учащихся обобщать знания

2. Обеспечить условия для развития умений устанавливать причинно - следственные связи

3. Содействовать развитию умений применять полученные знания в новой ситуации

- воспитательные:

1. Способствовать развитию творческого отношения к учебной деятельности

2. Способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.

Планируемые результаты обучения:

1) личностные:

- формировать умения работать в группе;

- умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

- умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи

2) метапредметные:

- умение понимать и использовать математические средства наглядности (схемы, таблицы) для иллюстрации, интерпретации фактов;

- выбирать и создавать алгоритмы решения учебных математических задач

3) предметные:

- получить практическое руководство для построения эскизов графиков многих функции

Ход занятия

Формы работы

Формируемые виды деятельности

1. Актуализация знаний

При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного исследования. У многих из нас уже есть опыт построения эскизов графиков многих функций. Вспомните различные случаи преобразований графиков функций.

Фронтальная, индивидуальная

Предлагается построить графики, обсудить уже известные правила построения и обозначить те виды графиков, где правила построения не известны:

- Применять изученные знания в новой ситуации;

- Осуществлять установление причинно- следственных связей;

- Выдвигать гипотезы;

-Осуществлять взаимно обратные мыслительные операции;

- Устанавливать связи между отдельными понятиями, явлениями, законами, теориями

-Самоопределение

2. Сбор информации по различным случаям преобразований графиков функций

Предлагается использовать учебник для подбора вариантов формул графиков функций

Групповая

Учащиеся подбирают варианты формул графиков функций

-Извлекать информацию из предложенных источников;

-Работа с текстом

3. Постановка цели и определение алгоритма работы

Систематизация вариантов

Фронтальная

-Постановка учебной задачи в сотрудничестве

-Развивать способность к классификации

-Планирование учебного сотрудничества

4. Работа над проектами

Учащиеся подбирают варианты формул графиков функций

Групповая, индивидуальная (по желанию)

Учащиеся работают над созданием модели (таблица, схема) справочника правил по преобразованию графиков функций

- Устанавливать связь между исследуемыми объектами;

-Обобщать материал;

-Преобразовывать объёмный материал в краткую форму;

5. Защита оптимального варианта

Выступления представителя от каждой группы

- Осуществлять синтез выводов каждой группы;

-контроль и оценка процесса и результатов деятельности

6. Рефлексия

Оценка своего проекта

-Коррекция,

контроль и оценка процесса и результатов деятельности

Образец (Приложение 1)

16

• 1 слайд

  Преобразование графиков Подушкина Ольга Юрьевна учитель математики МБОУ «МАЛ»

• 2 слайд

  У = - f(x) ← y = f(x) , симметрия относительно оси ОХ 2. У = f(- x) ← y = f(x), симметрия относительно оси ОУ 3. У = - f (- x) ← y = f(x), симметрия относительно начала координат 4. У = f(x – a) ← y = f(x), параллельным переносом по ОХ на а 5. У = f(x) + b ← y = f(x), параллельным переносом по ОУ на в Виды преобразований графиков

• 3 слайд

  6. У = f(kx) ← y = f(x) если 0 < к < 1 если к > 1 растяжение сжатие вдоль оси ОХ в 1/к раз в к раз У = kf(x) ← y = f(x) если 0 < к < 1 если к > 1 сжатие растяжение вдоль оси ОУ в 1/к раз в к раз Виды преобразований графиков

• 4 слайд

  8. У = If(x)I – совпадает с у = f(x) в тех точках, которые лежат выше оси ОХ симметричен графику у = f(x) относительно оси абсцисс в остальных точках 9. У = f(Ix I) ← y = f(x) строим график функции y = f(x) при х ≥ 0 и отображаем его относительно оси ОУ Виды преобразований графиков

• 5 слайд

  х у 0 y = f(x) y = - f(x) 1. График функции y=-f(x)

• 6 слайд

  x y 0 y = f(x) y = f(-x) 2. График функции y=f(-x)

• 7 слайд

  x y 0 y = f(x) y= -f(- x) 3. График функции y=-f(-x)

• 8 слайд

  4.График функции y=f(x-a),где а -постоянное число Построение осуществляется с помощью параллельного переноса графика f(x) на а вдоль оси абсцисс Пример 1 y= (x-3)2 x y=x2 y=(x-3)2 Пример 2

• 9 слайд

  x y 0 y = f(x) y = f(x – a), a < 0 y= f(x – a), a > 0

• 10 слайд

  5.График функции y=f(x) + b,где b -постоянное число Построение осуществляется с помощью параллельного переноса графика f(x) на b вдоль оси ординат Пример 1 y= x2 + 2 x y=x2 y=x2 +2 y=x2 - 3 Пример 2 y= x2 - 3

• 11 слайд

  у х y = f(x) y = f(kx), 0 < k < 1 y= f(kx), k > 1 0 6. График функции y=f(kx),где k -постоянное число

• 12 слайд

  7. График функции y=kf(x),где k -постоянное число Построение осуществляется с помощью растяжения графика f(x) в k раз вдоль оси ординат Пример 1 y= 2x2 x y=x2 y= - 3x2 Пример 2 y= -3x2 y= 3x2

• 13 слайд

  у х 0 y = f(x) y= kf(x), k > 1 y= kf(x), 0 < k < 1

• 14 слайд

  y x 0 y = f(IxI) 8. График функции y = f(IxI), где k -постоянное число

• 15 слайд

  y x 0 y x 0 y = If(x)I 9. График функции y = If(x)I, где k -постоянное число

Приложение 1

Преобразования графиков

f(x-a)

2. f(x+a)=

= f(x-(-a))

f(x-a)

Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОХ на a единиц

f(x+a)= f(x-(-a))

Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОХ на -a единиц

4

1. f(x)+b

2. f(x)-b

f(x)+b

Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОУ на b единиц

f(x)-b

Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОУ на -b единиц

5

f(kx)

k>1

Cжатие графика f(x) в k раз вдоль оси ОХ

0<k<1

Растяжение графика f(x) в раз вдоль оси ОХ

6

kf(x)

k>1

Растяжение графика f(x) в k раз вдоль оси ОУ

0

Сжатие графика f(x) в раз вдоль оси ОУ

7

f(│x│)

Часть графика f(x), расположенная справа от оси 0У, остается без изменений, а затем эта часть (вместо левой) симметрично отображается относительно оси ОУ

8

│f(x)│

Часть графика f(x), расположенная ниже оси 0X, симметрично отображается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменений