697637
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаРабочие программыЭлективный курс «Построение графиков функций, уравнений и соответствий»

Элективный курс «Построение графиков функций, уравнений и соответствий»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ #U041f#U043e#U0434#U0443#U0448#U043a#U0438#U043d#U0430 #U041e. #U042e.#U044d#U043b#U0435#U043a#U0442#U0438#U0432.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Подушкина О.Ю., учитель математики МБОУ «МАЛ»



Элективный курс по математике

«Построение графиков функций, уравнений и соответствий»

10 класс (физико-математический профиль)

Пояснительная записка


Элективные курсы – это обязательные для посещения старшеклассниками курсы по выбору, целями которых является развитие, дополнение, углубление содержания профильного курса математики, удовлетворение познавательных интересов школьников, развитие различных сторон математического мышления, воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Математический и информационно-технологический профили относятся к курсам повышенного типа, обеспечивающим дальнейшее изучение математики и её применение в качестве элемента профессиональной подготовки. Это наиболее строгий и полный курс, ориентированный на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой.

Целями изучения математики в этом профиле являются овладение учащимися необходимым объёмом конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности.


Изучение математики в математическом профиле преследует цели:


формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения обучения и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса;

формирование способов деятельности, необходимых для планирования и организации работы по самообразованию;


Поэтому элективные курсы в профиле, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:


1.Развитие, дополнение и углубление содержания курса математики, что позволяет поддерживать степень знаний на профильном уровне и получать дополнительную подготовку по предмету и для сдачи ЕГЭ по математике.

2. Удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности.

3. Развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами изучения математики.


Предлагаемый элективный курс по профильной подготовке учащихся 10 классов посвящен одному из основных понятий современной математики – функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Существуют различные способы задания функции: аналитический, табличный, словесный, а также графический. Иногда график является единственно возможным способом задания функции. Он широко используется в технике, лежит в основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся.

Цели:

* прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и их графиками;

* представить систематизацию функций по их видам;

* представить систематизацию функций по методам построения их графиков.

В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 16 часов, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие.

Задачи:

* развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической культуры учащихся;

* знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач, связанных с построениями графиков соответствий;

* привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач;

* расширение и углубление знаний по математике по программному материалу.


В результате изучения программы элективного курса «Построение графиков функций, уравнений и соответствий» учащиеся получают возможность

Уметь:

  • строить графики функций путем геометрических преобразований (сдвиг, растяжение – сжатие, симметричное отображение относительно координатных осей, и т.д.)

  • читать и строить графики различных функций;

  • строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;

  • решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные уравнения с параметром графическим способом;

  • иметь представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА


Программа элективного курса состоит из четырех разделов. Курс имеет практико-ориентированную направленность. В условиях предпрофильного обучения в лицее некоторые учащиеся уже имеют знания по некоторым темам курса. Задачей для них ставится систематизация и обобщение знакомых тем. Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий.

Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития умственной деятельности, так как школьники учатся анализировать, замечать существенное, подмечать общее и делать обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения.

Уделяется внимание развитию речи: учащимся предлагается объяснять свои действия, вслух высказывать свою точку зрения, ссылаться на известные правила, факты, высказывать догадки, предлагать способы решения, задавать вопросы, публично выступать.

Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный.


Содержание программы-16 часов


Тема 1. Понятия функции и графика. 3 часа


На первых двух занятиях учащимся сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются их знания о функциональной зависимости. Определяется понятийный аппарат, круг доступных задач, предоставляется дополнительная информация для расширения возможностей учащихся. Понятия функции и графика. Зависимости y = f(x); x=f(y). График функции, график уравнения. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический, словесный. Кусочное задание функции. Графики кусочно заданных функций. Графики уравнений с двумя переменными: hello_html_3427f232.gif, hello_html_168fd669.gif, hello_html_m50dd0f18.gif, hello_html_263795.gif ;hello_html_59c5039c.gif; hello_html_4578a6df.gif; hello_html_m1540d55d.gif


Тема 2. Преобразование графиков. 4 часа

При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного исследования. Изложению методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графиков, посвящены следующие четыре урока. В результате учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих функций. Преобразование графиков:

  • параллельный перенос; построение графиков функций hello_html_4cbbf642.gif, hello_html_m3b8d21c.gif,hello_html_m68b111fa.gif

  • сжатие (растяжение) вдоль оси ординат; построение графиков функций hello_html_m7071bfe1.gif,

  • сжатие (растяжение) вдоль оси абсциссhello_html_mf458fe5.gif

  • отображение от осей координат и прямых hello_html_m46860f71.gif, построение графиков функций hello_html_m5aba431e.gif,hello_html_m153a75a6.gif, hello_html_mef433e8.gif.


Тема 3. Действия над функциями. 3 часа

Графики суммы (разности) произведения и частного двух функций также можно построить без применения методов математического анализа, используя определенные правила. Особенно эффективен этот метод в случае, когда исходные функции являются элементарными. Построение графиков квадратичной и дробно-линейной функций, содержащих знак модуля.


Тема 4. Графики уравнений, содержащими модуль. 4 часа.

Построение графиков уравнений с двумя переменными, содержащими модуль:

hello_html_m61711d95.gif; hello_html_m289872f0.gif; hello_html_m32baef20.gif; hello_html_mcd71394.gif; hello_html_79c2d736.gif; hello_html_m3f0d27e6.gif;

hello_html_m792a27b.gif; hello_html_m2bab2f03.gif; hello_html_5f4bd605.gif; hello_html_m5cfc8070.gif; hello_html_m24765132.gif; hello_html_m5073bf0b.gif


Тема 5. Функционально-графический подход к решению задач. 2 часа.


Рассматривается функционально-графический подход к решению задач. Графическое решение уравнений и неравенств. Перевод с «языка» уравнения и неравенства на «язык» графиков и обратно. Решение функциональных уравнений и неравенств.


Литература

  1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.

  2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. Киев, 1981.

  3. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. М., 1994.

  4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. М., 1967.

  5. Крейнин Я.Л. Функции, пределы, уравнения и неравенства с параметрами. М., 1995.

  6. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. М., 1965.

7. Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.

8. Чудаева Е.В. Функционально – графический подход к решению задач с параметром и модулем. Элективный курс.

Занятие элективного курса

Тема: Преобразование графиков

Класс: 10, уровень: профильный

УМК: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов «Алгебра и начала анализа». В 2-х частях: учебник и задачник для профильных классов

Количество часов: 1

Цели:

а) предметные

1. Систематизировать знания учащихся по теме «Преобразование графиков»

2. Составить модель классификации разных преобразований графиков

б) метапредметные

- развивающие:

1. Способствовать развитию умений учащихся обобщать знания

2. Обеспечить условия для развития умений устанавливать причинно - следственные связи

3. Содействовать развитию умений применять полученные знания в новой ситуации

- воспитательные:

1. Способствовать развитию творческого отношения к учебной деятельности

2. Способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.

Планируемые результаты обучения:

1) личностные:

- формировать умения работать в группе;

- умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

- умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи

2) метапредметные:

- умение понимать и использовать математические средства наглядности (схемы, таблицы) для иллюстрации, интерпретации фактов;

- выбирать и создавать алгоритмы решения учебных математических задач

3) предметные:

- получить практическое руководство для построения эскизов графиков многих функции


Ход занятия


Формы работы

Формируемые виды деятельности

1. Актуализация знаний

При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного исследования. У многих из нас уже есть опыт построения эскизов графиков многих функций. Вспомните различные случаи преобразований графиков функций.


Фронтальная, индивидуальная

Предлагается построить графики, обсудить уже известные правила построения и обозначить те виды графиков, где правила построения не известны: hello_html_77ee4b91.gif

hello_html_m2f6d39f3.png

hello_html_m36ca1179.png

hello_html_m46e1349f.png

- Применять изученные знания в новой ситуации;

- Осуществлять установление причинно- следственных связей;

- Выдвигать гипотезы;

-Осуществлять взаимно обратные мыслительные операции;

- Устанавливать связи между отдельными понятиями, явлениями, законами, теориями

-Самоопределение

2. Сбор информации по различным случаям преобразований графиков функций

Предлагается использовать учебник для подбора вариантов формул графиков функций

Групповая

Учащиеся подбирают варианты формул графиков функций


-Извлекать информацию из предложенных источников;

-Работа с текстом


3. Постановка цели и определение алгоритма работы

Систематизация вариантов


Фронтальная

-Постановка учебной задачи в сотрудничестве

-Развивать способность к классификации

-Планирование учебного сотрудничества

4. Работа над проектами

Учащиеся подбирают варианты формул графиков функций



Групповая, индивидуальная (по желанию)


Учащиеся работают над созданием модели (таблица, схема) справочника правил по преобразованию графиков функций


- Устанавливать связь между исследуемыми объектами;

-Обобщать материал;

-Преобразовывать объёмный материал в краткую форму;


5. Защита оптимального варианта


Выступления представителя от каждой группы

- Осуществлять синтез выводов каждой группы;

-контроль и оценка процесса и результатов деятельности

6. Рефлексия


Оценка своего проекта

-Коррекция,

контроль и оценка процесса и результатов деятельности


Образец (Приложение 1)



16

Выбранный для просмотра документ #U041f#U0440#U0435#U043e#U0431#U0440#U0430#U0437#U043e#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U0433#U0440#U0430#U0444#U0438#U043a#U043e#U0432 #U041f#U043e#U0434#U0443#U0448#U043a#U0438#U043d#U0430.ppt

библиотека
материалов
Преобразование графиков Подушкина Ольга Юрьевна учитель математики МБОУ «МАЛ»
У = - f(x) ← y = f(x) , симметрия относительно оси ОХ 2. У = f(- x) ← y = f(...
6. У = f(kx) ← y = f(x) если 0 < к < 1 если к > 1 растяжение сжатие вдоль оси...
8. У = If(x)I – совпадает с у = f(x) в тех точках, которые лежат выше оси ОХ...
х у 0 y = f(x) y = - f(x) 1. График функции y=-f(x)
x y 0 y = f(x) y = f(-x) 2. График функции y=f(-x)
x y 0 y = f(x) y= -f(- x) 3. График функции y=-f(-x)
4.График функции y=f(x-a),где а -постоянное число Построение осуществляется с...
x y 0 y = f(x) y = f(x – a), a < 0 y= f(x – a), a > 0
5.График функции y=f(x) + b,где b -постоянное число Построение осуществляется...
у х y = f(x) y = f(kx), 0 < k < 1 y= f(kx), k > 1 0 6. График функции y=f(kx)...
7. График функции y=kf(x),где k -постоянное число Построение осуществляется с...
у х 0 y = f(x) y= kf(x), k > 1 y= kf(x), 0 < k < 1
y x 0 y = f(IxI) 8. График функции y = f(IxI), где k -постоянное число
y x 0 y x 0 y = If(x)I 9. График функции y = If(x)I, где k -постоянное число

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Преобразование графиков Подушкина Ольга Юрьевна учитель математики МБОУ «МАЛ»
Описание слайда:

Преобразование графиков Подушкина Ольга Юрьевна учитель математики МБОУ «МАЛ»

2 слайд У = - f(x) ← y = f(x) , симметрия относительно оси ОХ 2. У = f(- x) ← y = f(
Описание слайда:

У = - f(x) ← y = f(x) , симметрия относительно оси ОХ 2. У = f(- x) ← y = f(x), симметрия относительно оси ОУ 3. У = - f (- x) ← y = f(x), симметрия относительно начала координат 4. У = f(x – a) ← y = f(x), параллельным переносом по ОХ на а 5. У = f(x) + b ← y = f(x), параллельным переносом по ОУ на в Виды преобразований графиков

3 слайд 6. У = f(kx) ← y = f(x) если 0 &lt; к &lt; 1 если к &gt; 1 растяжение сжатие вдоль оси
Описание слайда:

6. У = f(kx) ← y = f(x) если 0 < к < 1 если к > 1 растяжение сжатие вдоль оси ОХ в 1/к раз в к раз У = kf(x) ← y = f(x) если 0 < к < 1 если к > 1 сжатие растяжение вдоль оси ОУ в 1/к раз в к раз Виды преобразований графиков

4 слайд 8. У = If(x)I – совпадает с у = f(x) в тех точках, которые лежат выше оси ОХ
Описание слайда:

8. У = If(x)I – совпадает с у = f(x) в тех точках, которые лежат выше оси ОХ симметричен графику у = f(x) относительно оси абсцисс в остальных точках 9. У = f(Ix I) ← y = f(x) строим график функции y = f(x) при х ≥ 0 и отображаем его относительно оси ОУ Виды преобразований графиков

5 слайд х у 0 y = f(x) y = - f(x) 1. График функции y=-f(x)
Описание слайда:

х у 0 y = f(x) y = - f(x) 1. График функции y=-f(x)

6 слайд x y 0 y = f(x) y = f(-x) 2. График функции y=f(-x)
Описание слайда:

x y 0 y = f(x) y = f(-x) 2. График функции y=f(-x)

7 слайд x y 0 y = f(x) y= -f(- x) 3. График функции y=-f(-x)
Описание слайда:

x y 0 y = f(x) y= -f(- x) 3. График функции y=-f(-x)

8 слайд 4.График функции y=f(x-a),где а -постоянное число Построение осуществляется с
Описание слайда:

4.График функции y=f(x-a),где а -постоянное число Построение осуществляется с помощью параллельного переноса графика f(x) на а вдоль оси абсцисс Пример 1 y= (x-3)2 x y=x2 y=(x-3)2 Пример 2

9 слайд x y 0 y = f(x) y = f(x – a), a &lt; 0 y= f(x – a), a &gt; 0
Описание слайда:

x y 0 y = f(x) y = f(x – a), a < 0 y= f(x – a), a > 0

10 слайд 5.График функции y=f(x) + b,где b -постоянное число Построение осуществляется
Описание слайда:

5.График функции y=f(x) + b,где b -постоянное число Построение осуществляется с помощью параллельного переноса графика f(x) на b вдоль оси ординат Пример 1 y= x2 + 2 x y=x2 y=x2 +2 y=x2 - 3 Пример 2 y= x2 - 3

11 слайд у х y = f(x) y = f(kx), 0 &lt; k &lt; 1 y= f(kx), k &gt; 1 0 6. График функции y=f(kx)
Описание слайда:

у х y = f(x) y = f(kx), 0 < k < 1 y= f(kx), k > 1 0 6. График функции y=f(kx),где k -постоянное число

12 слайд 7. График функции y=kf(x),где k -постоянное число Построение осуществляется с
Описание слайда:

7. График функции y=kf(x),где k -постоянное число Построение осуществляется с помощью растяжения графика f(x) в k раз вдоль оси ординат Пример 1 y= 2x2 x y=x2 y= - 3x2 Пример 2 y= -3x2 y= 3x2

13 слайд у х 0 y = f(x) y= kf(x), k &gt; 1 y= kf(x), 0 &lt; k &lt; 1
Описание слайда:

у х 0 y = f(x) y= kf(x), k > 1 y= kf(x), 0 < k < 1

14 слайд y x 0 y = f(IxI) 8. График функции y = f(IxI), где k -постоянное число
Описание слайда:

y x 0 y = f(IxI) 8. График функции y = f(IxI), где k -постоянное число

15 слайд y x 0 y x 0 y = If(x)I 9. График функции y = If(x)I, где k -постоянное число
Описание слайда:

y x 0 y x 0 y = If(x)I 9. График функции y = If(x)I, где k -постоянное число

Выбранный для просмотра документ Приложение Преобразования графиков.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Приложение 1


Преобразования графиков


f(x-a)

2. f(x+a)=

= f(x-(-a))



f(x-a)


Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОХ на a единиц


f(x+a)= f(x-(-a))


Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОХ на -a единиц



hello_html_6ae5eb15.gif

4

1. f(x)+b

2. f(x)-b


f(x)+b


Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОУ на b единиц


f(x)-b


Сдвиг графика f(x) вдоль оси ОУ на -b единиц


hello_html_161e66d2.gif

5

f(kx)

k>1

Cжатие графика f(x) в k раз вдоль оси ОХ


0<k<1

Растяжение графика f(x) вhello_html_25ff60ad.gif раз вдоль оси ОХ



hello_html_5bc42df5.gif

6

kf(x)

k>1

Растяжение графика f(x) в k раз вдоль оси ОУ


0

Сжатие графика f(x) в hello_html_25ff60ad.gif раз вдоль оси ОУ



hello_html_m542c9762.gif

7

f(│x│)

Часть графика f(x), расположенная справа от оси 0У, остается без изменений, а затем эта часть (вместо левой) симметрично отображается относительно оси ОУ

hello_html_m4654feed.gif

8

f(x)│

Часть графика f(x), расположенная ниже оси 0X, симметрично отображается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменений


hello_html_6eb4c505.gif


Общая информация

Номер материала: ДБ-114291

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.