Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс "Преобразование радикалов"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Элективный курс "Преобразование радикалов"

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

hello_html_m53d4ecad.gif



Элективный курс по математике 11 класс.


«ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДИКАЛОВ»











Выполнила учитель

математики Шпилева М.М.

МКОУ Гниловская ООШ


























Г. Острогожск -2013 год






Пояснительная записка.

Выполнение заданий на преобразование выражений, содержащих корень п-й степени,

всегда вызывает трудность. Это связано как с большим числом применения свойств, так и

с вычислениями требующими повышенной концентрации внимания.

Понятие арифметического корня n-й степени- одно из основных понятий курса школьной математики. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны, часто не просты в решении, что позволит повысить уровень знаний у учащихся и проверить свои способности к математике. Данный курс рассчитан на предпрофильную подготовку учащихся в старших классах.

Цель курса: расширить знания учащихся об арифметическом корне n -й степени

умение преобразовывать выражения содержащие радикалы и модули, сложные радикалы,

а также решать нестандартные иррациональные уравнения и неравенства в рамках

предпрофильной подготовки.

Задачи курса:

1)познакомить учащихся с различными стандартными и нестандартными способами

преобразования выражений, содержащих радикалы и модули, ввести формулу для вычисления сложных радикалов.

2)познакомить учащихся с различными типами иррациональных уравнений и неравенств.

3)развивать логическое мышление и способности учащихся к математической

деятельности.

4)возможность дифференцированного обучения учащихся, как путем использования

заданий различного уровня сложности, так и на основе различной степени

самостоятельности осваивания материала.

Данный курс расширяет базовый курс по математике, является предметно ориентированным и дает учащимся возможность познакомится с различными способами

преобразования выражений, содержащих радикалы и модули, знакомить с различными

видами и способами решений иррациональных уравнений и неравенств, позволяет

проверить способности учащихся к математике.

На изучение курса отводится 12 часов. По окончанию предусмотрена контрольная работа

по 3 уровням сложности.


Учебно-тематический план.


тема

Кол-во

часов

1

Понятие корня п-й степени из действительного числа

1

2

Преобразование выражений содержащих радикалы и модули.

1

3-4

Иррациональные уравнения вида hello_html_a06aab6.gif.

2

5

Уравнения вида hello_html_4df9f831.gif.

1

6

Решение нестандартных иррациональных уравнений.

1

7

Иррациональные неравенства вида hello_html_m5711e9c4.gif.

1

8

Иррациональные неравенства вида hello_html_8ff2a4a.gif и более сложные иррациональные неравенства.



2

9

Иррациональные уравнения с параметром.

1

10

Контрольная работа.

2

Занятие 1.

Понятие корня n-й степени из действительного числа.

Теоретическая часть.

Определение 1.

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n=2,3,4,5,…..) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Если аhello_html_m572f6676.gif

Определение 2.

Корнем нечетной степени n из неотрицательного числа (n=3,5,…) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Если а<0, n=3,5,7,…., то: 1)hello_html_m44995bc5.gif

Свойства корня n-й степени.

Все свойства формулируются только для неотрицательных значений переменных,

содержащихся под знаком корней.

Теорема 1.hello_html_29cde688.gif.

Теорема 2. hello_html_m318a20a9.gif>0 и n-натуральное число, больше 1.

Теорема 3. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m22c4ff25.gif аhello_html_m7eafc923.gifN, nhello_html_3ff464c1.gifбольше 1.

Теорема 4. hello_html_m23979f4f.gif

Теорема 5. hello_html_m51c1b832.gif


Практическая часть.


    1. Вычислите: hello_html_3c166753.gif

Решение.

Чтобы извлечь квадратные корни, преобразуем подкоренные выражения:

вычтем и прибавим по единице. Будим иметь:

hello_html_61345b00.gif

1.2.Найдите чему равна разность: hello_html_16132448.gif

Решение:

Пусть А=hello_html_16132448.gifЗаметим, что hello_html_71115cf3.gif,получим

А=hello_html_m25e1cd5a.gif


Ответ:-6.

1.3.Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

hello_html_58544ea2.gif

Решение.


Чтобы освободится от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

hello_html_6adbd37e.gif

Снова произведя аналогичные действия, находим

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m636364ef.gif

Теоретическая часть.hello_html_m53d4ecad.gif


Формулы сложных радикалов:

1*.hello_html_5ee9be4f.gif

2*.hello_html_m64c4c224.gif

3*.hello_html_m7596f45.gif


1.4.Упростите выражение и найдите его значение при х=2

hello_html_604d5a3b.gif


Решение: В знаменателе применим формулу сложных радикалов (3*), и подставим

х=2, получимhello_html_54853eab.gif

аналогично, hello_html_4d4f0081.gif следовательно

hello_html_58b80fed.gifОтвет:hello_html_m491b3776.gif


1.5. Упростите выражение:hello_html_m260c78fd.gif

Решение: используя свойство внесения множителя под знак корня, упростим данное выражение.

hello_html_m1d1f8553.gif

Ответ: cos hello_html_5fbdd2f0.gif

1.6.Вычислите:hello_html_5387d364.gif

Решение: Преобразуем выражение, используя свойства степени

hello_html_311c0b8d.gif

Ответ: 4.

1.7.Найдите значение выражения:

hello_html_43326bff.gif

решение: преобразуем данное выражение, перейдя к основанию 3: hello_html_1ce97a2d.gif

Раскроем модули, учитывая, что 0<loghello_html_593ecfc6.gif2< 1и 0<loghello_html_17cbf40.gif2<1.

hello_html_m54e67850.gif

Задания для самостоятельной работы.


1.1.Вычислите: а)hello_html_m5488fe4c.gif Ответ:

б) hello_html_m3186067a.gif Ответ:hello_html_2b4a0cb5.gif

1.2.При каком nhello_html_2681319e.gif выполняется равенство:

hello_html_m74a7afd3.gif Ответ:n=3;

1.3.Упростите: а)hello_html_m53a61a72.gif Ответ: 2hello_html_m61787680.gif

б)hello_html_576c7cb8.gif Ответ: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_30cff9fe.gif

в) hello_html_4cf189af.gif Ответ: 1.


1.4.Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а)hello_html_270144c0.gif Ответ: -hello_html_m78e4a28.gif


б)hello_html_m5ec83daa.gif Ответ: (hello_html_186b2090.gif

в) hello_html_m6fea8731.gif Ответ: hello_html_6feff8ff.gif

1.5. Проверить справедливость равенства:

а)hello_html_1bb0b3b.gif

б)hello_html_m5823702e.gif

1.6. а)упростите выражение и найдите его значение при х=3

hello_html_20cb6850.gif Ответ: 2.

б)упростите выражение и найдите его значение при а=5

hello_html_m2cb864bd.gif Ответ: 3.

1.7.Найдите значение выражения: а)hello_html_6ea14da8.gif Ответ:-2.

б)hello_html_25fd02dc.gif Ответ: 24.

в)hello_html_m5b2a3e5.gif Ответ:hello_html_690f9f7e.gif

1.8.Упростите выражение: hello_html_mf2b5248.gif

Ответ:sinhello_html_m7a823a11.gif

Занятие 2.

Преобразование выражений содержащих радикалы и модули .


Теоретическая часть.

Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и в верны

равенства: 1.hello_html_1c2f3960.gif

2.hello_html_fd31fc.gif

3.hello_html_34cbf0c0.gif

4.hello_html_m6b715af0.gif

5.hello_html_48d8591f.gif

hello_html_m53d4ecad.gif


2.0.Упростите:hello_html_3f16f08.gif


Решение: выделим полные квадраты и в числителе и в знаменателе



hello_html_8102a2f.gif

рассмотрим два случая:

1) если hello_html_63ea4aa5.gif т.е.4<х<8 таким образом hello_html_682fb6a4.gif




2) если hello_html_294835ff.gif т.е.hello_html_5cb87250.gif таким образом hello_html_m7c20b01d.gif




Ответ:hello_html_m2e6ff590.gif

2.1.Упростите hello_html_m3292c07.gif

Решение:hello_html_m71a61689.gif

Используя определение модуля и рассматривая различные промежутки изменения а, получаем:

1)hello_html_aefac37.gif имеем hello_html_m3bfd7368.gif

2)hello_html_6360b7df.gif имеем hello_html_m2b5e27d2.gif


3) hello_html_6af9b961.gif имеем hello_html_61e4414a.gif


4) hello_html_7f6ab2b.gif имеем hello_html_3740f6a.gif

Ответ:hello_html_76a0fdf4.gif


2.2.Упростите выражение: hello_html_meeba85b.gif


Решение:

hello_html_m249ad7e6.gif

Ответhello_html_m53d4ecad.gif: hello_html_f5aef87.gif

2.3.Упростите выражение: hello_html_m3948d868.gif


Решение:

hello_html_24ea1cb9.gif

Рассмотрим два случая:

1) если а>-1, тоhello_html_m500add47.gif.

2) если а< -1,то hello_html_47925d64.gif

hello_html_m53d4ecad.gif Ответ: а-1, если а>-1;

hello_html_m53d4ecad.gif 1-а, если а<-1.


2.4.упростите выражение: hello_html_2892f10.gif

Решение:

О.Д.З. а=0,

а²>в²;

hello_html_m12c66c51.gif

Рассмотрим два случая:

1) если а<0, то hello_html_5a6245f3.gif 2) если а>0, тоhello_html_me586a4f.gif


Ответ:hello_html_m53d4ecad.gif -25, если а>0

25, если а<0.

2.5. Упростите выражение:

hello_html_m10f44912.gif

Решение:

О.Д.З.: аhello_html_m3537025a.gif

hello_html_m3c981f53.gif


Рассмотрим два случая:


1) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1970445.gif

аhello_html_m5da69497.gif

hello_html_m41270847.gif

2) hello_html_466b3062.gif

hello_html_91b9ee3.gif

hello_html_63d33b7b.gif

Ответ:hello_html_m5dc3bd69.gif

2.6.упростите выражение:hello_html_37aeca3c.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Решение:

О.Д.З.: аhello_html_m259e7b5b.gif

hello_html_7b09bf9f.gif

Рассмотри два случая:1)hello_html_m5791ff9a.gif 2) hello_html_664ffea3.gif

Имеем:hello_html_m1a68cd00.gif имеем:hello_html_46c80c50.gif

Ответ:hello_html_m23f7c677.gif

Задания для самостоятельной работы.

2.1.Упростите выражения:


hello_html_6cfc043f.gif



Ответ:

.2.Упростите выражение: hello_html_9528426.gif

Ответ:hello_html_127fb26b.gif

    1. Упростите выражение: hello_html_619bb36e.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

Ответ:hello_html_m614d0389.gif

2.4.Упростите выражение: hello_html_m510cee1b.gif

Ответ:hello_html_524aeec9.gif

2.5.Упростите выражение:hello_html_6a487fc.gif

Ответ:hello_html_m7afdf507.gif

2.6.Упростите выражение:hello_html_79074edb.gif

Ответ:hello_html_2e4795aa.gif

2.7Упростите:hello_html_m6451ce8d.gif

Ответ:hello_html_15015208.gif

2.8.Упростите:hello_html_m244ad477.gif


Ответ:hello_html_22cf5c14.gif

2.9.Найдите значение выражения

hello_html_1fab3e3c.gif

Ответ:-24.

Занятие 3-4.

Иррациональные уравнения.

Уравнение вида hello_html_48acff1a.gif

Теоретическая часть.

Иррациональными называются уравнение, в котором переменная входит под знак корня (радикала).

Рассмотрим уравнение hello_html_17cfb8e1.gifВ О.Д.З. левая часть уравнения всегда неотрицательна - поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x)hello_html_2f63b4fc.gif.

В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное в ОДЗ уравнение :hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_2b9c9811.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m10819d4e.gif

hello_html_6a2013ee.gif


3.1.Решите уравнение:hello_html_17b111a4.gif.

Решение. Уравнениеhello_html_m5064580d.gif равносильно системе

hello_html_m3a13ab09.gifhello_html_m63874552.gifhello_html_43eb951b.gif

решим второе уравнение системы: cos x=0 или tg x =1,

x=hello_html_3cfd4c37.gif x=hello_html_m67d2bf26.gif

решение системы найдем, пользуясь тригонометрическим кругом. Получим

х=hello_html_19f06f2b.gif и х=hello_html_m91cad18.gif

Ответ:hello_html_ma31867f.gif

3.2.Решите уравнение:hello_html_6ab7e37b.gif

Решение: воспользуемся условием равносильности , поэтому данное уравнение hello_html_1ae3998e.gif равносильно системе hello_html_m3029f972.gifhello_html_m225eeff1.gif

hello_html_m2cb62cf3.gif

Решая второе уравнение системы имеем х=2.

Ответ: 2.

ЗАМЕЧАНИЕ: при решении уравнений вида hello_html_5b4313b1.gifиспользуют следующие схемы

hello_html_m204aa88d.gifhello_html_4920383c.gif * или hello_html_m8cb7abe.gifhello_html_30120a11.gif** 3.3.Решите уравнение:hello_html_47fa946e.gif.

Решение:hello_html_5fdefc07.gifПри решении данного уравнения

воспользуемся схемой * ,так как правая часть уравнения проще, чем его левая часть.

Имеем: hello_html_m4a84307c.gifhello_html_mc80da24.gif

Решим уравнения х²-2х-4=0 и х²=8,

D=5, х=hello_html_m613ecdf1.gif

хhello_html_360ec405.gif

отберем корни :hello_html_m51bd903e.gifhello_html_m79561ae8.gif

Ответ: 1+hello_html_3dd58d1c.gif

3.4.Решите уравнение: hello_html_a7a7587.gif

Решение: hello_html_m5fd8b008.gif переносим вычитаемое в правую часть, после чего обе

части возводим в квадрат:

hello_html_m33073b51.gifОДЗ: 4х+3hello_html_m1bc61462.gif

очевидно, что х=0 является корнем данного уравнения. При остальных х обе части делим на х и получаем уравнение hello_html_11d1bb9.gif

Рассмотри два случая :

1) приhello_html_m29d8419c.gif,противоречит хhello_html_36e93bb4.gif

2) при х< 4,х=0 имеем 4х-16=16х+24, х=hello_html_m8f77c3f.gif ,противоречит хhello_html_166592e5.gif

Ответ: о.

3.5.Решите уравнение: hello_html_14124ddb.gif

Решение: 1) одз: х >0, хhello_html_m70f6b964.gif Поэтому приведем данное уравнение к виду

hello_html_d6689ea.gif

2) обозначим hello_html_mcceed6f.gif Тогда

hello_html_m48c03a3.gif

3) с учетом замены loghello_html_6485b060.gif получаем х=1 ,что противоречит ОДЗ.

loghello_html_m1f659730.gifполучаем х=hello_html_mcb9bde7.gif

Ответ: hello_html_mcb9bde7.gif

3.6.Сколько корней имеет уравнение:hello_html_m18ecd58e.gif

Решение: hello_html_3f61e739.gif

Применяя формулу двойного аргумента, первый множитель можно заменить выражением cosx. Получаем уравнение cos xhello_html_m41c8ef57.gif

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю и при этом второй множитель имеет смысл. Следовательно, должна выполняться совокупность

двух условий:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7143ea73.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5ae9dcaa.gifhello_html_6af5552f.gif

Ответ:4 корня.

3.7. Решите уравнение: hello_html_m4c8b9c72.gif

Решение: hello_html_m690674b3.gif сделаем замену у=hello_html_m20e2f080.gifПолучим уравнение

hello_html_4d7969c0.gif данное уравнение равносильно системе hello_html_m72029ea9.gif


hello_html_76f23e58.gifhello_html_m4e34d04a.gif у=hello_html_106e0956.gif

возвращаемся к замене: у=hello_html_m67bbb86e.gif имеем hello_html_1ac5ad61.gif

ответ:-1.

Задания для самостоятельного решения.

3.1Решите уравнения:

hello_html_m65a9ea0a.gif

б)hello_html_65cf5722.gif

в)hello_html_m760b47c3.gif

г)hello_html_m130e02df.gif

д)hello_html_72f02ca0.gif

е)hello_html_m66cec13b.gif

ё)hello_html_m2601651e.gif

ж) hello_html_m3d264f99.gif

и)hello_html_234e9ce1.gif

к)hello_html_1c5576e7.gif

л)hello_html_d7be990.gif

3.2.Найдите наименьший корень уравнения: hello_html_m2730e786.gif

3.3.Найдите число целых решений уравнения: hello_html_55c6feb2.gif

3.4.Найдите сумму квадратов корней уравнения hello_html_872ab1a.gif

3.5.Решите уравнение:hello_html_1d91287d.gif



Занятие 5.


Уравнения вида hello_html_m4b063d22.gif

Теоретическая часть.

Пусть задано уравнение hello_html_436f77e4.gif В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильное уравнение f(x)=g(x). Поэтому

hello_html_m2dbc70c1.gifhello_html_32790f63.gif или hello_html_m2dbc70c1.gifhello_html_m3f6fec52.gif

при таком способе решения достаточно проверить не отрицательность одной из функций,

можно выбрать более простую.

Использование равносильных преобразований при решении уравнений вида :


hello_html_2e4f699c.gif

hello_html_m25ed1ab3.gifhello_html_d9db297.gif

hello_html_m2d4bdcda.gifhello_html_m67d39fff.gif

Практическая часть.

5.1.Решите уравнение: hello_html_m132203ef.gif

решение: при решении данного уравнения нельзя забывать об области определения

уравнения. Имеем:

hello_html_5f00fb21.gifhello_html_58832d4d.gif

решая первое уравнение системы, по теореме Виета находим корни уравнения х=1 и х=5, условию системы удовлетворяет х=5.

Ответ:5.

5.2. Решите уравнение: hello_html_1d9165b3.gif


решение: воспользуемся условием равносильности имеем


hello_html_59e22bdb.gifhello_html_m7daec73c.gifhello_html_m859ca95.gifhello_html_m2cc34532.gifhello_html_687bf021.gif

Ответ:-1;2.

5.3.Решите уравнение hello_html_60ffa219.gif


решение: так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то ОДЗ уравнения

определяется условием: hello_html_3ad341c9.gif решая эту систему неравенств, получим:

hello_html_1df10fc1.gif откуда х=hello_html_m6a5f5f4e.gif

Очевидно, что решение уравнения должно находится в ОДЗ. Так как ОДЗ состоит из единственной точки х=hello_html_7e79e4cd.gifто остается проверить , является ли это значение корнем

уравнения. Подставляя значение х=hello_html_m71c65513.gif в уравнение hello_html_m7e213b70.gif 25=25 ,убеждаемся, что это-

корень уравнения.

Ответ:hello_html_m6a5f5f4e.gif

5.4.Решите уравнение:hello_html_m10f37b31.gif

Решение: данное уравнение равносильно системе hello_html_5b221f07.gif

Введем замену: sin x=y, и hello_html_617dd735.gifРешим уравнение системы :

hello_html_m2c98cfd2.gif

находим у=-1 и у=½. Первый корень не является решением системы. Тогда

hello_html_m6ee47fc1.gif


Ответ:hello_html_m6b8f0fd0.gif

5.5.Решите уравнение:hello_html_m52b1e6f2.gif

Решение: преобразуем правую часть уравнения, получаем:

hello_html_67c5f698.gif

Это уравнение имеет решение лишь при условии hello_html_m6008376.gif

Тогда hello_html_5437d195.gif значит, hello_html_m3a026f30.gif

Данное уравнение равносильно системе hello_html_m5ba40225.gifт .е. hello_html_7203bd8c.gif х=-2 есть решение уравнения.

Ответ:-2.

Задания для самостоятельного решения.

5.1.Решите уравнение:



hello_html_m95e54cb.gif

5.2. Решите уравнение:

hello_html_m629f66aa.gif

5.3.Решите уравнение:

hello_html_246947a2.gif

5.4.Решите уравнение:

hello_html_m69aaaf0b.gif

5.5Решите уравнение:

hello_html_4db63d0f.gif

5.6.Решите уравнение:

hello_html_5ed8a95f.gif

5.7.Решите уравнение:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3c43526.gif

5.8.Решите уравнение: hello_html_31f54284.gif

5.9.Решите уравнение:hello_html_74209f7a.gif

5.10.Решите уравнение:hello_html_m6d5ea70f.gif

Занятие 6.

Решение нестандартных иррациональных уравнений .

Теоретическая часть.

Специфика решения уравнений рассматриваемого класса состоит в расширении методов

и формул преобразований, введение замен целью которых, как правило, является сведение

данного уравнения к алгебраическому.

При решении нестандартных уравнений используется монотонность функций.

При решений уравнений вида f(f(x))=x, полезно рассмотреть теорему:

Если у=f(x)-монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x , эквивалентно

yравнению f(f(x))=x.

Практическая часть.

6.1.Решите уравнение: hello_html_m63668b.gif

Решение: Сделаем замену hello_html_105bd458.gif Поскольку hello_html_mef12ecb.gif,то второе

слагаемое в левой части уравнения т.е hello_html_m36738fe0.gif Получаем hello_html_m41053a09.gif имеем

hello_html_60f8296d.gif решим квадратное уравнение hello_html_mb54f67a.gif

с учетом замены находим корни уравнения х=2 и х=-2.

Ответ:2;-2.

6.2.Решите уравнение:hello_html_61b7f18b.gif

Решение: перепишем данное уравнение в виде:hello_html_53861a85.gif Рассмотрим функцию

F(x)=1+hello_html_205edd2a.gif - эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f(f(x))=x. В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение f(x) =x или 1+hello_html_m1797b97a.gif

1-hello_html_m4f8edec2.gif решая данное уравнение находим hello_html_3c5c4b94.gif

Ответ:hello_html_m2ffaad85.gif

6.3.Решите уравнение:hello_html_40697f2c.gif

решение: Перепишем данное уравнение в виде

hello_html_m79427cd9.gif

так как hello_html_3432e0fa.gif то решения уравнения должны принадлежать промежутку

hello_html_m3ebef15d.gif

Введем замену х= sin t. Тогда учитывая условие hello_html_27553500.gif,можно считать, что

thello_html_b229bd7.gifУравнение примет вид


hello_html_79975996.gif


Так как hello_html_m42ada49b.gif то cos 2t hello_html_78f5811a.gif уравнение равносильно уравнению

hello_html_m41a92fc5.gif

следовательно sin2t=-1 sin2t=hello_html_30a0edd.gif

t=hello_html_m5b7addd4.gif t=hello_html_3e44fd3e.gif только эти корни удовлетворяют условию

hello_html_7086371b.gif Тогда hello_html_mdd7c35a.gif

Ответ: hello_html_md6942a1.gif

6.4.Решите уравнение: hello_html_39dda7.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Решение: пусть hello_html_61f76a6.gif тогда уравнение примет вид:

hello_html_124d4007.gif

Это уравнение переписывается без модулей по-разному в каждом их следующих трех случаев:

  1. при уhello_html_m469f990b.gif имеем 2-у+3-у=1, у=2 не является решением.

  2. при уhello_html_716877ba.gif имеем у-2+3-у=1, 1=1 при всех уhello_html_e501cd9.gif

  3. при уhello_html_m1231747c.gif имеем у-2+у-3=1 у=3 не является решением.

Неравенства hello_html_79c59ce8.gif эквивалентны системам:

hello_html_98ab09e.gifhello_html_m6757f658.gifhello_html_m26883c6a.gif

Ответ: хhello_html_70fdc7d7.gif

6.5.Решите равнение: hello_html_me4a5152.gif

Решение: Положим, х+hello_html_18b8267b.gif тогда hello_html_309bf596.gifhello_html_m4fe6601c.gif

Из последнего уравнения следует hello_html_mbe967f0.gifи, в частности, hello_html_2938d7c.gif

Отсюда hello_html_m3594b4b9.gif

Значит, исходное уравнение будет иметь вид:

hello_html_me6d644.gif

отсюда hello_html_6df5dae.gifhello_html_m186a1a8f.gif

второе уравнение корней не имеет.

Корни первого уравнения hello_html_m7d3eb084.gif

При этом hello_html_m3d4ef4d4.gif

Если hello_html_m6e360bc1.gifТак как должно выполняться неравенство hello_html_7870c9d0.gif

то это значение х не является решением .

поскольку t=4+hello_html_15422cae.gif решение.

Ответ:8-hello_html_22ffc32a.gif

6.6. Найдите сумму квадратов корней уравнения hello_html_m17507a1c.gif

Решение: данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

hello_html_6a77f620.gif

Решим каждую систему отдельно и объединим решения.

Решим первую систему:

hello_html_m1b8fb637.gifhello_html_m7e56b563.gifх=3.

Решим вторую систему:

hello_html_m40a46725.gifhello_html_7f66b4f9.gifhello_html_m7c7e9eed.gif

hello_html_m630bd89.gifhello_html_7e72b42e.gif

Найдем сумму квадратов корней уравнения: hello_html_m5e5b25ff.gif

Ответ: 130.

Задания для самостоятельного решения.

6.1.Решите уравнение: а)hello_html_57632fdb.gif

б)hello_html_188c4599.gif

6.2.Решите уравнение: hello_html_5a8ce69e.gif

6.3.Найдите целые корни уравнения: coshello_html_m441e769e.gif

6.4.Решите уравнение: hello_html_m19c68270.gif

6.5.Решите уравнение:hello_html_597ce122.gif

6.6.решите уравнение:hello_html_6ccd1523.gif

6.7.решите уравнение: hello_html_m6a40f6b1.gif

6.8.Решите уравнение:hello_html_42a84264.gif


Занятие 7.

Иррациональные неравенства .

Теоретическая часть.

Иррациональными называются неравенства, в которых переменные входят под знак корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение , прежде всего удобно найти ОДЗ.

а) неравенства вида: hello_html_2788f456.gifhello_html_5cd0586e.gifhello_html_m2f019b34.gifhello_html_2f4c5425.gif

Практическая часть.

7.1.Решите неравенство:hello_html_4da85713.gif

Решение: воспользуемся условием равносильности:hello_html_34ca8591.gif

hello_html_8ea5636.gifhello_html_m602bad8b.gifhello_html_6c064f7b.gif

Ответ:hello_html_6c064f7b.gif

7.2.Решите неравенство:hello_html_m54f75c5d.gif

Решение: Применим обобщенный метод интервалов для функции

hello_html_mfcf42b7.gif на ее области определения, т.е. при hello_html_1c1fb2e3.gif

для этого найдем нули числителя: hello_html_70d25d9f.gif при условии,

что хhello_html_m12134069.gif возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим

hello_html_316e1a90.gif, откуда hello_html_ma6aa79c.gif

отметим эти значения на координатной прямой и распределим знаки для функции f.

Получим hello_html_m48717594.gif

Ответ:hello_html_64cfb54d.gif

Немного теоретического материала.

б)иррациональное неравенство вида:hello_html_m66e5162c.gif> g(x)

можно рассматривать при условии hello_html_2f1267cd.gifОднако при этом условии его правая часть g(x) может быть как неотрицательной, так и отрицательной, а поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

hello_html_m2cd9175b.gifhello_html_695d1d7e.gif

в) иррациональное неравенство вида hello_html_mf6ee5e4.gif

можно рассматривать при условии hello_html_62881a11.gifЗначит, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Из выше рассмотренных рассуждений заключаем, что неравенство равносильно системе неравенств

hello_html_c2e034e.gif

7.3.решите неравенство:hello_html_5e335e6e.gif

решение: данное неравенство равносильно системе

hello_html_m20f836f6.gifhello_html_2d4bc6fd.gifhello_html_m719d15fe.gif

решая квадратное уравнение hello_html_2846b897.gif

построим кривую знаков и стрелкой, направленной вправо от точки –5, отмечаем промежуток х>-5.Решения первого и второго неравенства системы совпадают на промежутке (3;∞).


hello_html_1e3b9cb2.gif




Ответ: (3;∞).

7.4.Решите неравенство:hello_html_379196c7.gif

Решение.

Данное неравенство равносильно следующим условиям:

hello_html_60de18b5.gifhello_html_583a5c67.gifhello_html_bd508c3.gifhello_html_2613fc6f.gif

Ответ: hello_html_1dcc068e.gif

7.5.Решите неравенство: hello_html_m6ef1ed2d.gif

Решение:

Найдем область определения неравенства, которая определяется условием

hello_html_1a1c8b96.gif

Так как при hello_html_78543954.gif

Из последнего неравенства, учитывая, что hello_html_6cbc69d0.gifполучим sinx=-1. Подставим

Полученное значение в данное неравенство, имеем hello_html_555da47c.gif

является решением.

Ответ: hello_html_54a617d.gif

7.6.Решите неравенство: hello_html_m43037988.gif

Решение: При всех допустимых значениях переменной функция f(x)=hello_html_7746d4b5.gif принимает

неотрицательные значения. Поэтому левая часть данного неравенства неотрицательна при всех допустимых значениях переменных. Следовательно hello_html_5364828.gif

полученное уравнение , в свою очередь, равносильно системе уравнений

hello_html_509e1a2c.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m566efb45.gifhello_html_18db1504.gifhello_html_m359fa968.gif

Ответ(-1;3).

Задания для самостоятельного решения:

7.1.Решите неравенства:

а)hello_html_m1e2b0bf9.gif

б)hello_html_63f678c5.gif

в)hello_html_2dbc0db5.gif

7.2.Решите неравенство:hello_html_m7d1b3a98.gif

7.3.Решите неравенство: hello_html_17bcbf2c.gif

7.4. Решите неравенство: hello_html_28e92051.gif

7.5.Решите неравенство:hello_html_m2d6a3755.gif

7.6.Решите неравенство:hello_html_4b55ae7a.gif

7.7.Решите неравенство:hello_html_m40adc4c.gif

7.8. Решите неравенство: hello_html_m53154442.gif

Занятие 8.

Иррациональные неравенства вида hello_html_mba12a36.gif и более

сложные иррациональные неравенства.

Теоретическая часть.

Неравенство видаhello_html_59616af0.gifhello_html_m54fc9c91.gif

hello_html_m474362bd.gifhello_html_7a4f3a04.gif

При решении более сложных неравенств, используют условие равносильности:

hello_html_3197a2a1.gifhello_html_75d8b1bf.gif


так как знак разности hello_html_51f1ed4f.gif совпадает со знаком разности f(x)-g(x) в ОДЗ, то

hello_html_7f893b77.gifhello_html_m199b4a9c.gif

Практическая часть.

8.1.Решите неравенство:hello_html_m232b9e2a.gif

Решение: используем условие равносильности, имеем систему неравенств:

hello_html_m2b1ea78f.gifhello_html_1a7fb09f.gifhello_html_m3ba21d92.gif

hello_html_2b4ffb95.gif


Ответ: hello_html_40db6ac4.gif

8.2 Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства

hello_html_m747707d0.gif

Решение: Умножим числитель на неотрицательное сопряженное выражение- сумму квадратных корней, имеем

hello_html_m4355c026.gifhello_html_6976be30.gifhello_html_m1faa784c.gifхhello_html_m1e049b0f.gif

в силу того, что оба трехчлена hello_html_m79add3eb.gif принимают только положительные значения (имеют отрицательные дискриминанты). Итак, длина искомого промежутка равна 1.


Ответ: 1.

8.3.Решите неравенство:hello_html_m432e86e5.gif

решение: приведем неравенство к стандартному виду, а затем воспользуемся условием равносильности :

hello_html_m3dd1214f.gif

Найдем ОДЗ: hello_html_m433a53e1.gif

  1. Если х-4< 0, то числитель и знаменатель положительны в ОДЗ, неравенство верно, т.е.hello_html_1bb927e3.gif

  2. Если х-4>0, то воспользуемся правилом , что в ОДЗ знак разности

hello_html_m2b233a12.gif совпадает со знаком hello_html_m3bfd883b.gifТогда

hello_html_62cf84df.gif

Учитывая условие hello_html_mb846803.gif получаем результат hello_html_3773baa6.gif

Отмечая результаты 1 и 2 на числовой прямой , получаем окончательный результат.






Ответ: hello_html_75c7e227.gif


8.4.Решите неравенство:hello_html_m61e4a89e.gif

Решение: данное неравенство равносильно системе неравенств:

hello_html_m70425d93.gifhello_html_6bc463fb.gifhello_html_d452790.gifhello_html_45413f6a.gif

отметим полученные результаты на числовой прямой






Получим ответ:hello_html_m573149c2.gif

Ответ: hello_html_m5369105b.gif

8.5.Решите неравенство:hello_html_1a67434b.gif


решение: перейдем к основанию 3 и получим неравенство

hello_html_m36aa8d1b.gif

Разделим обе части неравенства на hello_html_m622946a7.gif имеем

8hello_html_1f6d850e.gif пусть hello_html_76ad951f.gif тогда неравенство примет вмд

hello_html_437d27b6.gif откуда hello_html_7d1058cb.gifТак как у>0, то hello_html_5c3cf2d0.gifт.е. hello_html_m2f2adc75.gif


Теперь положим hello_html_c340db7.gif придем к неравенству hello_html_m53606aef.gif получим hello_html_4af98d3d.gif т.к. аhello_html_78f5811a.gif то остается решить неравенство hello_html_24b7cf09.gif

Ответ:hello_html_m500a0872.gif

8.6. Решите неравенство:


hello_html_m4298f9f1.gif


Решение: Найдем ОДЗ, воспользуемся при этом условием равносильности:

hello_html_m639ee0b8.gifhello_html_321e0abd.gifhello_html_m5d19c012.gifhello_html_b26e0bc.gif



Перейдем во всех логарифмах к основанию 3.

Тогда

hello_html_dddee8a.gif
hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3fbca191.gif


hello_html_524b01d2.gif


hello_html_555d886d.gif

Учитывая ОДЗ получим ответ


Ответ:hello_html_1f29972a.gif


Задания для самостоятельной работы.

8.1. Решите неравенство:hello_html_28059683.gif

8.2. Решите неравенство: hello_html_m6ba24267.gif

8.3.Решите неравенство:hello_html_f6a9f12.gif

8.4.Решите неравенство:hello_html_mb86c3ec.gif

8.5.Решите неравенство:hello_html_61768fa9.gif

Занятие 9.

Иррациональные уравнения с параметром.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно

разделить на два больших класса.

В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить уравнение при всех

возможных значениях параметров.

Ко второму классу отнесем задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а

лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.


Практическая часть.

9.1.Решите уравнение: hello_html_56e5b476.gif

Решение: Данное уравнение равносильно системе

hello_html_7dac0347.gif

Отсюда х=а- корень исходного уравнения при любом а, а х=1- корень лишь при hello_html_m1a42546e.gif

Ответ: Если а<1, то х=а или х=1; если а=1, то х=1; если а>1, то х=а.

9.2.Указать все значения а, для которых уравнениеhello_html_77472b15.gif имеет решения.

Решение: Обозначим sinx=t. Исходное уравнение принимает вид hello_html_m5f51492a.gif

С учетом условия hello_html_1b280c37.gif это уравнение равносильно системе


hello_html_m66a9389a.gif

уравнение системы удобно представить как квадратное относительно параметра а.

Имеем hello_html_6d25370a.gif.Отсюда hello_html_6e9c3e39.gif или hello_html_590da2eb.gifТак как hello_html_71992059.gif

то hello_html_6578a251.gifПоэтому последняя система равносильна такой:

hello_html_48aab7aa.gif

Заметим, что эта система учитывает требование hello_html_89057dd.gif

Рассмотрим функцию hello_html_m5f1610d1.gif Очевидно на отрезке [0;1] ее область значений – весь промежуток hello_html_a43df5a.gifОтсюда hello_html_353589b2.gif

Ответ: hello_html_353589b2.gif

9.3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

hello_html_36a4106e.gif имеет единственное решение.

Решение: Пусть hello_html_361bc553.gifтогда hello_html_75c56bea.gif и уравнение примет вид

hello_html_3c707fbf.gifТеперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение

hello_html_1b9988d3.gif имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место при следующих условиях.

1.Если а=0, то уравнение имеет единственное решение t=2.

2.Если а ≠ 0 и hello_html_624af040.gifто имеет единственное неотрицательное решение, если корни разных знаков, т.е.

hello_html_7eb992c2.gif

при а=0,4 получаем hello_html_26144085.gif

3.Если а≠0 и D=0hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m1e8d26b.gif

то одно неотрицательно решение имеем при а=-0,1.

Ответ: hello_html_m3f29bbab.gif

9.4.Решите уравнение:hello_html_6a90c0d1.gif

решение: поскольку │х│≤ 1, то введем замену hello_html_m7dd7bb81.gifВыполняя подстановку и учитывая, что sinhello_html_72c0b51e.gif получим уравнение hello_html_m321207bc.gif

Отсюда sinhello_html_3c2de70f.gif, очевидно это уравнение имеет решение при hello_html_7c886622.gif

Найдем его корни на отрезке hello_html_m3332dfbe.gifИмеем hello_html_25354a0b.gif

Рассмотрим три случая:

1.Если hello_html_bf25f02.gif, то непосредственным перебором устанавливаем, чтоhello_html_6d8b0eb6.gifлишь

при k=1,2,3,4.

2.Если а=0, то k=0,1,2,3,4;

3.Если hello_html_m38e6d85e.gif то hello_html_272d9f7c.gifгде k=0,1,2,3.

Ответ: Если hello_html_mc8b04c4.gif

если а=0, то х=hello_html_m60058736.gif

если hello_html_64be34a5.gif

9.5.В зависимости от значений параметра а найдите число корней уравнения

hello_html_883352a.gif

Решение: так как уравнение содержит сложный радикал, то выделим квадрат двучлена под корнем. Имеем

hello_html_m47382772.gif

Если а<0, то уравнение не имеет решений.

Если а≥0, то последнее уравнение равносильно такому:

hello_html_mc1f995d.gif

hello_html_m422a32f9.gif

Это уравнение, а значит, и исходное имеет решения лишь при hello_html_m6ad52423.gif

При указанных а получаем hello_html_72eeb275.gif очевидно это уравнение имеет один корень.

Ответ: Если а<hello_html_443f9a69.gifто решений нет;

Если аhello_html_m5c79c12b.gif то уравнение имеет единственное решение.


Задания для самостоятельного решения.

9.1.Решите уравнение:hello_html_224b610b.gif

9.2.Решите уравнение:

а)hello_html_m11a0108e.gif

б)hello_html_4eb4d945.gif

в) hello_html_mee06b92.gif

г)hello_html_10611408.gif

д) hello_html_4ec58d4a.gif

9.3. Решите уравнение:hello_html_398f8b81.gif

9.4.Решите уравнение: hello_html_m28739f7a.gif

9.5.При каких значениях параметра а корни уравнения hello_html_4c49ffed.gif различны и их произведение отрицательно?



Занятие 10.

. Контрольная работа (2ч).


*Вариант 1.

1.Вычислите: hello_html_13c72808.gif

2.Упростите выражение:hello_html_4b324cce.gif

3.Решите неравенство:3hello_html_m6d9e5347.gif

4.Решите уравнение: hello_html_m225a2dc9.gif

5.При каких значениях а уравнение hello_html_m784dc4b9.gif имеет два корня?



**Вариант 2.

1.Докажите тождество hello_html_2aaa68be.gif

2.Упростите выражение hello_html_m3047a381.gif

3.Решите неравенство:hello_html_m99be956.gif

4.Решите уравнение hello_html_372603b3.gif

5.Решите уравнение:hello_html_2d34d8e3.gif



***Вариант 3

1.Вычислите значение выражения:hello_html_29a87d75.gif

2.Упростите выражение hello_html_m286a4cf9.gif

3.Решите неравенство:hello_html_m153e2109.gif

4.Найдите все решения уравненияhello_html_m7de6e5a0.gif удовлетворяющие условию hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m26e6b578.gif

5.При каких значениях а уравнение hello_html_57dc8d11.gif имеет

единственное решение?


































Литература.

И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев Факультативный курс по математике 10-11.Москва «Просвещение» 1991г.

С.И. Колесникова Математика – решение сложных задач Е.Г.Э. Москва. «Айрис-пресс» 2005г.

В.К. Егоров, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Москва «Высшая школа» 1994г.

П.И.Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. Москва «Гимназия»2003г.

А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11 классы. Москва «Мнемозина» 2003г.

Н.П. Кострикина Задачи повышенной трудности в курсе алгебры. Москва «Просвещение»

1991г.

Г.И. Григорьева. Задания для подготовки к олимпиадам. Волгоград «Учитель» 2005г.



33


Общая информация

Номер материала: ДВ-426076

Похожие материалы