Элективный курс "Преобразование радикалов"

                                              

Элективный курс по математике 11 класс.

«ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДИКАЛОВ»

                                                                                                        Выполнила учитель    

                                                                                                      математики Шпилева М.М.

                                                                                                       МКОУ Гниловская ООШ

Г. Острогожск -2013 год

                                                 Пояснительная записка.                                                                                                                                                   

  Выполнение заданий на преобразование выражений, содержащих корень п-й степени,

всегда вызывает трудность. Это связано как с большим числом применения свойств, так и

с вычислениями требующими повышенной концентрации внимания.

  Понятие арифметического корня n-й степени- одно из основных понятий курса школьной математики. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны, часто не просты в решении, что позволит повысить уровень знаний у учащихся и проверить свои способности к математике. Данный  курс рассчитан  на предпрофильную подготовку учащихся в старших классах.

Цель курса: расширить знания учащихся  об арифметическом корне n    -й степени   

умение преобразовывать выражения содержащие радикалы и модули, сложные радикалы,

а также решать  нестандартные иррациональные уравнения и неравенства в рамках

предпрофильной подготовки.

Задачи курса:

1)познакомить учащихся с различными стандартными и нестандартными способами

преобразования выражений, содержащих радикалы и модули, ввести формулу для вычисления сложных радикалов.

2)познакомить учащихся  с различными типами иррациональных уравнений и неравенств.

3)развивать логическое мышление и способности учащихся к математической

деятельности.

4)возможность дифференцированного обучения учащихся, как путем  использования

заданий  различного уровня сложности, так и на основе различной степени

самостоятельности осваивания материала.

   Данный курс расширяет базовый курс по математике, является предметно ориентированным и дает учащимся возможность познакомится с различными способами

преобразования выражений, содержащих радикалы и модули, знакомить с различными

видами и способами решений иррациональных уравнений и неравенств, позволяет

проверить способности учащихся к математике.

 На изучение курса отводится 12 часов. По окончанию предусмотрена контрольная работа

по 3 уровням сложности.

                                            Учебно-тематический план.

№	тема	Кол-во часов
1	Понятие корня п-й степени из действительного числа	1
2	Преобразование выражений содержащих радикалы и модули.	1
3-4	Иррациональные уравнения вида .	2
5	Уравнения вида .	1
6	Решение нестандартных иррациональных уравнений.	1
7	Иррациональные неравенства вида .	1
8	Иррациональные неравенства вида  и более сложные иррациональные неравенства.	2
9	Иррациональные уравнения с параметром.	1
10	Контрольная работа.	2

                                        Занятие 1.

      Понятие корня n-й степени из действительного числа.

                               Теоретическая часть.

Определение 1.

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n=2,3,4,5,…..) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Если а

Определение 2.

Корнем нечетной степени n из неотрицательного числа (n=3,5,…) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Если а<0, n=3,5,7,…., то: 1)

 Свойства корня n-й степени.

Все свойства формулируются только для неотрицательных значений переменных,

содержащихся под знаком корней.

Теорема 1..

Теорема 2. >0 и n-натуральное число, больше 1.

Теорема 3.  аN, nбольше 1.

Теорема 4. 

Теорема 5.  

                                  Практическая часть.

1.1.  Вычислите:                                                                            

                           Решение.

Чтобы извлечь квадратные корни, преобразуем подкоренные выражения:

вычтем и прибавим по единице. Будим иметь:

    

1.2.Найдите чему равна разность:

                         Решение:

Пусть А=Заметим, что ,получим

А=

Ответ:-6.

1.3.Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

                          Решение.

Чтобы освободится от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Снова произведя аналогичные действия, находим

          

                              Теоретическая часть.

Формулы сложных радикалов:

1*.

2*.

3*.

1.4.Упростите выражение и найдите его значение при х=2

Решение: В знаменателе применим формулу сложных радикалов (3*), и подставим

х=2, получим

аналогично,   следовательно

Ответ:

                                                                                                                                                                    1.5. Упростите выражение: 

Решение: используя свойство внесения множителя под знак корня, упростим данное выражение.

Ответ: cos

1.6.Вычислите:

         Решение: Преобразуем выражение, используя свойства степени

Ответ: 4.

1.7.Найдите значение выражения:

решение:   преобразуем данное выражение, перейдя к основанию 3:

Раскроем модули, учитывая, что 0<log2< 1и 0<log2<1.

     Задания для самостоятельной работы.

1.1.Вычислите: а)              Ответ:   

                            б)                                           Ответ:

1.2.При каком n выполняется равенство:

                                   Ответ:n=3;

1.3.Упростите: а)                                         Ответ: 2 

                          б)                                          Ответ:    

                           в)                          Ответ: 1.

1.4.Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а)                                      Ответ: - 

б)                                          Ответ: (

в)                                      Ответ:

1.5. Проверить справедливость равенства:

 а)

 б)

1.6. а)упростите выражение и найдите его значение при х=3

              Ответ: 2.

     б)упростите выражение и найдите его значение при а=5

                                         Ответ: 3.

1.7.Найдите значение выражения: а)                           Ответ:-2. 

б)            Ответ: 24.

в)                                                           Ответ:

1.8.Упростите выражение:

                                                                                                                        Ответ:sin

                                     Занятие 2.

      Преобразование выражений содержащих радикалы и модули .

                                  Теоретическая часть.

Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и в верны

равенства:   1.

                     2.

                     3. 

                     4.

                     5. 

 

2.0.Упростите:

        Решение: выделим полные квадраты и в числителе  и в знаменателе

              

рассмотрим два случая:

1) если      т.е.4<х<8  таким     образом     

2) если        т.е. таким образом

Ответ:

2.1.Упростите

Решение:

Используя определение модуля и рассматривая различные промежутки изменения а, получаем:

1) имеем

2) имеем

3)   имеем

4)  имеем

Ответ:

2.2.Упростите выражение:

                      Решение:

Ответ:     

2.3.Упростите выражение:

                                   Решение:

                                      Рассмотрим два случая:

1) если а>-1, то.

2) если а< -1,то

   Ответ:  а-1, если а>-1;

                1-а, если а<-1.

2.4.упростите выражение:

                               Решение:

О.Д.З.  а=0,

            а²>в²;

                                  Рассмотрим два случая:

1) если а<0, то                                               2) если а>0, то

            Ответ: -25, если а>0

                            25,  если а<0.

                                                                                                                                                                                                          2.5. Упростите выражение:

                

                    Решение:

О.Д.З.: а

             Рассмотрим два случая:

1)

а

2) 

 

Ответ:

2.6.упростите выражение: 

                  Решение:

О.Д.З.: а

Рассмотри два случая:1)                             2)

Имеем:                                имеем:     

Ответ:    

                            Задания для самостоятельной работы.

2.1.Упростите выражения:

Ответ:

.2.Упростите выражение:

Ответ:

2.3.            Упростите выражение:

Ответ:                 

2.4.Упростите выражение:

           Ответ:

2.5.Упростите выражение:

         Ответ:

2.6.Упростите выражение:

          Ответ:        

2.7Упростите:

           Ответ:  

2.8.Упростите:

        Ответ: 

2.9.Найдите значение выражения

Ответ:-24.

                                    Занятие 3-4.

                           Иррациональные уравнения.

                            Уравнение вида

                                      Теоретическая часть.

    Иррациональными называются уравнение, в котором переменная входит под знак корня (радикала).

   Рассмотрим уравнение В  О.Д.З. левая часть уравнения всегда неотрицательна - поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x).

В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное в ОДЗ уравнение :

                                                             

                                                            

3.1.Решите уравнение:.

      Решение. Уравнение  равносильно системе

                 

решим второе уравнение системы: cos x=0            или                            tg x =1,

                                                          x=                          x=

решение системы найдем, пользуясь тригонометрическим кругом. Получим

х=  и х=

Ответ:

3.2.Решите уравнение:

      Решение: воспользуемся условием равносильности , поэтому данное уравнение   равносильно системе

Решая второе уравнение системы имеем х=2.

Ответ: 2.

ЗАМЕЧАНИЕ: при решении уравнений вида используют  следующие схемы

   *          или  **                                                        3.3.Решите уравнение:.

   Решение:При решении  данного уравнения

воспользуемся схемой * ,так как правая часть уравнения проще, чем его левая часть.

Имеем:       

Решим уравнения х²-2х-4=0                   и      х²=8,

                                  D=5,                                  х= 

                                х

отберем корни :    

Ответ: 1+

3.4.Решите уравнение:

 Решение:  переносим вычитаемое в правую часть, после чего обе

части возводим в квадрат:

ОДЗ: 4х+3

очевидно, что х=0 является корнем данного уравнения. При остальных х обе части делим на х и получаем уравнение

Рассмотри два случая :

1) при,противоречит х

2) при х< 4,х=0 имеем 4х-16=16х+24, х= ,противоречит х

Ответ: о.

3.5.Решите уравнение:

Решение: 1) одз: х >0, х Поэтому приведем данное уравнение к виду

2) обозначим  Тогда

            

3) с учетом замены  log получаем х=1 ,что противоречит ОДЗ.

     logполучаем х=

Ответ:

3.6.Сколько корней имеет уравнение:

Решение: 

Применяя формулу двойного аргумента, первый множитель можно заменить выражением cosx. Получаем уравнение  cos x

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю и при этом второй множитель имеет смысл. Следовательно, должна выполняться совокупность

двух условий:           

Ответ:4 корня.

3.7. Решите уравнение:

Решение:   сделаем замену у=Получим уравнение

 данное уравнение равносильно системе

         у=

возвращаемся к замене: у= имеем 

ответ:-1.

                         Задания  для самостоятельного решения.

                                                                                                                                                                                                                                  3.1Решите уравнения:

 б)

 в)

 г)  

  д)

 е)

ё)

 ж)

 и)

 к)

 л)

3.2.Найдите наименьший корень уравнения:

3.3.Найдите число целых решений уравнения: 

3.4.Найдите сумму квадратов корней уравнения

3.5.Решите уравнение:

                                  Занятие 5.

                       Уравнения вида

                    Теоретическая часть.

Пусть задано уравнение    В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат  равносильное уравнение f(x)=g(x). Поэтому

              или    

при таком способе решения достаточно проверить не отрицательность одной из функций,

можно выбрать более простую.

   Использование равносильных преобразований при решении уравнений вида :

            

            

             

                           Практическая часть.

5.1.Решите уравнение:

решение: при решении данного уравнения нельзя забывать об области определения

уравнения. Имеем:

  

решая первое уравнение системы, по теореме Виета находим корни уравнения х=1 и х=5, условию системы удовлетворяет х=5.

Ответ:5.

5.2. Решите уравнение:

решение: воспользуемся условием равносильности имеем

  

Ответ:-1;2.

5.3.Решите уравнение

решение: так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то ОДЗ уравнения

определяется условием:     решая эту систему неравенств, получим:

 откуда х=

Очевидно, что решение уравнения должно находится в ОДЗ. Так как ОДЗ состоит из единственной точки х=то остается проверить , является ли это значение корнем

уравнения. Подставляя значение х= в уравнение     25=25 ,убеждаемся, что это-

корень уравнения.

Ответ:

5.4.Решите уравнение:

Решение:  данное уравнение равносильно системе 

Введем замену: sin x=y, и Решим уравнение системы  :       

                                                                                            

 находим у=-1 и у=½. Первый корень не является решением системы. Тогда

              

Ответ:

5.5.Решите уравнение:

Решение: преобразуем правую часть уравнения, получаем:

                       

Это уравнение имеет решение лишь при условии

Тогда  значит,

 Данное уравнение равносильно системе т .е.   х=-2 есть решение уравнения.

Ответ:-2.

                     Задания для самостоятельного решения.

5.1.Решите уравнение:

5.2. Решите уравнение:

5.3.Решите уравнение:

5.4.Решите уравнение:

5.5Решите уравнение:

5.6.Решите уравнение:

 

5.7.Решите уравнение:

5.8.Решите уравнение:

5.9.Решите уравнение:

5.10.Решите уравнение:

                                  Занятие 6.

             Решение нестандартных иррациональных уравнений .

                           Теоретическая часть.

Специфика решения уравнений рассматриваемого класса состоит в расширении методов

и формул преобразований, введение замен целью которых, как правило, является сведение

данного уравнения к алгебраическому.

При решении нестандартных уравнений используется  монотонность функций.

При решений уравнений вида f(f(x))=x, полезно рассмотреть теорему:

Если у=f(x)-монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x , эквивалентно

yравнению f(f(x))=x.

                            Практическая часть.

6.1.Решите уравнение:   

Решение: Сделаем замену  Поскольку ,то второе

слагаемое в левой части уравнения т.е  Получаем  имеем

  решим квадратное уравнение

с учетом замены находим корни уравнения х=2 и х=-2.

Ответ:2;-2.

6.2.Решите уравнение:

 Решение: перепишем данное уравнение в виде: Рассмотрим функцию 

F(x)=1+ - эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f(f(x))=x. В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение f(x) =x или 1+

1- решая данное уравнение находим

Ответ:

6.3.Решите уравнение:

решение:  Перепишем данное уравнение в виде

                                        

так как  то решения уравнения должны принадлежать промежутку

                                     

Введем замену  х= sin t. Тогда учитывая условие ,можно считать, что

tУравнение примет вид

                                      

Так как    то cos 2t  уравнение равносильно уравнению

                                          

следовательно     sin2t=-1                        sin2t= 

                              t=                           t=     только эти корни удовлетворяют условию

 Тогда

Ответ:

6.4.Решите уравнение:

Решение: пусть  тогда уравнение примет вид:

              

Это уравнение переписывается без модулей по-разному в каждом их следующих трех случаев:

1)      при у  имеем 2-у+3-у=1, у=2 не является решением.

2)      при у  имеем у-2+3-у=1, 1=1 при всех у

3)      при у имеем у-2+у-3=1 у=3 не является решением.

 Неравенства          эквивалентны системам:

                      

Ответ: х

6.5.Решите равнение:

 Решение: Положим, х+ тогда  

Из последнего уравнения следует и, в частности,

Отсюда

Значит, исходное уравнение будет иметь вид:

отсюда

второе уравнение корней не имеет.

Корни первого уравнения

При этом 

Если Так как должно выполняться неравенство

то это значение х не является решением .

поскольку t=4+ решение.

Ответ:8-

6.6. Найдите сумму квадратов корней уравнения

Решение: данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим каждую систему отдельно и объединим решения.

Решим первую систему:

 х=3.

Решим вторую систему:

 

Найдем сумму   квадратов корней уравнения:

Ответ: 130.

                            Задания для самостоятельного решения.

6.1.Решите уравнение: а)

                                         б)

6.2.Решите уравнение:

6.3.Найдите целые корни уравнения: cos

6.4.Решите уравнение:

6.5.Решите уравнение:

6.6.решите уравнение:

6.7.решите уравнение: 

6.8.Решите уравнение:

                                         Занятие 7.

                    Иррациональные неравенства .

                                    Теоретическая часть.

Иррациональными называются неравенства, в которых переменные входят под знак корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение , прежде всего удобно найти ОДЗ.

а) неравенства вида:            

                                      Практическая часть.

7.1.Решите неравенство:

Решение: воспользуемся условием равносильности:

   

Ответ:

7.2.Решите неравенство:

Решение: Применим обобщенный метод интервалов для функции

 на ее области определения, т.е. при

для  этого найдем нули числителя:  при условии,

что х возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим 

, откуда

отметим эти значения на координатной прямой и распределим знаки для функции f.

Получим

Ответ:

Немного теоретического материала.

б)иррациональное неравенство вида:> g(x)

можно рассматривать при условии Однако при этом условии его правая часть g(x) может быть как неотрицательной, так и отрицательной, а поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

      

в) иррациональное неравенство вида

можно рассматривать при условии  Значит, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Из выше рассмотренных рассуждений заключаем,  что неравенство равносильно системе неравенств

7.3.решите неравенство:

решение: данное неравенство равносильно системе

   решая квадратное уравнение

построим кривую знаков и стрелкой, направленной вправо от точки –5, отмечаем промежуток х>-5.Решения первого и второго неравенства системы совпадают на промежутке (3;∞).

 

Ответ: (3;∞).

7.4.Решите неравенство:

Решение.

Данное неравенство равносильно следующим условиям:

  

Ответ:

7.5.Решите неравенство:

Решение:

Найдем область определения неравенства, которая определяется условием

Так как при

Из последнего неравенства, учитывая, что получим sinx=-1. Подставим

Полученное значение в данное неравенство, имеем

является решением.

Ответ:

7.6.Решите неравенство:

Решение: При всех допустимых значениях переменной функция f(x)= принимает

неотрицательные значения. Поэтому левая часть данного неравенства неотрицательна при всех допустимых значениях переменных. Следовательно

полученное уравнение , в свою очередь, равносильно системе уравнений

ОтветL(-1;3).

                         Задания для самостоятельного решения:

7.1.Решите неравенства:

а)

б)

в)

7.2.Решите неравенство:

7.3.Решите неравенство:

7.4. Решите неравенство:

7.5.Решите неравенство:

7.6.Решите неравенство:

7.7.Решите неравенство:

7.8. Решите неравенство:

                                                    Занятие 8.

                     Иррациональные неравенства вида  и более

        сложные иррациональные неравенства.

                                 Теоретическая часть.

Неравенство вида 

                                

При решении более сложных неравенств,  используют условие равносильности:

 

так как знак разности   совпадает со знаком разности f(x)-g(x) в ОДЗ, то

 

                                      Практическая часть.

8.1.Решите неравенство:

Решение: используем условие равносильности, имеем систему неравенств:

Ответ:

8.2 Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства

Решение: Умножим числитель на неотрицательное сопряженное выражение- сумму квадратных корней, имеем

        х

в силу того, что оба трехчлена  принимают только положительные значения (имеют отрицательные дискриминанты). Итак, длина искомого промежутка равна 1.

Ответ: 1.

8.3.Решите неравенство:

решение: приведем неравенство к стандартному виду, а затем воспользуемся условием равносильности :

Найдем ОДЗ:   

1. Если х-4< 0, то числитель и знаменатель положительны в  ОДЗ, неравенство верно,  т.е.
2. Если х-4>0, то воспользуемся правилом , что в ОДЗ знак разности

 совпадает  со знаком Тогда

Учитывая условие  получаем результат

Отмечая результаты 1 и 2 на числовой прямой , получаем окончательный результат.

Ответ:

8.4.Решите неравенство:

Решение: данное неравенство равносильно системе неравенств:

     

отметим полученные результаты на числовой прямой

Получим ответ:

Ответ:

8.5.Решите неравенство:

решение: перейдем к основанию 3 и получим  неравенство

Разделим обе части неравенства на  имеем

8 пусть  тогда неравенство примет вмд

9у откуда Так как у>0, то т.е.

Теперь положим  придем к неравенству  получим  т.к.  а то остается решить неравенство

Ответ:

8.6. Решите неравенство:

Решение: Найдем ОДЗ, воспользуемся при этом  условием равносильности:

    

Перейдем во всех логарифмах к основанию 3.

Тогда

Учитывая ОДЗ получим ответ

Ответ:

                         Задания для самостоятельной  работы.

8.1. Решите неравенство:

8.2. Решите неравенство:

8.3.Решите неравенство:

8.4.Решите неравенство:

8.5.Решите неравенство:

 

                                                            Занятие 9.

                                     Иррациональные уравнения с параметром.

  При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно

разделить на два больших класса.

  В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить уравнение при всех

возможных значениях параметров.

  Ко второму классу отнесем задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а

лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.   

                            Практическая часть.

9.1.Решите уравнение:

Решение: Данное уравнение равносильно системе

Отсюда х=а- корень исходного уравнения при любом а, а х=1- корень лишь при

Ответ: Если а<1, то х=а или х=1;       если а=1, то х=1; если а>1, то х=а.

9.2.Указать все значения а, для которых уравнение имеет решения.

Решение: Обозначим sinx=t. Исходное уравнение принимает вид

С учетом условия  это уравнение равносильно системе

          

уравнение системы удобно представить как квадратное относительно параметра а.

Имеем .Отсюда  или  Так как

то Поэтому последняя система равносильна такой:

Заметим, что эта система учитывает требование

Рассмотрим функцию  Очевидно на отрезке [0;1] ее область значений – весь промежуток Отсюда 

Ответ:

9.3.Найдите  все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

 имеет единственное решение.

Решение: Пусть тогда   и уравнение примет вид

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение

 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место при следующих условиях.

   1.Если а=0, то уравнение имеет единственное решение t=2.

   2.Если а ≠ 0  и то имеет единственное  неотрицательное решение, если корни разных знаков, т.е.

при а=0,4 получаем

3.Если а≠0 и D=0

то одно неотрицательно решение имеем при а=-0,1.

Ответ:

9.4.Решите уравнение:

решение: поскольку │х│≤ 1, то введем замену Выполняя подстановку и учитывая, что sin получим уравнение  

Отсюда sin, очевидно это уравнение имеет решение при

Найдем его корни на отрезке Имеем

Рассмотрим три случая:

1.Если , то непосредственным перебором устанавливаем, чтолишь

при k=1,2,3,4.

2.Если а=0, то k=0,1,2,3,4;

3.Если  то где k=0,1,2,3.

Ответ: Если

           если а=0, то х=

          если

9.5.В зависимости от значений параметра а найдите  число корней уравнения

Решение: так как уравнение содержит сложный радикал, то выделим квадрат двучлена под корнем. Имеем

Если а<0, то уравнение не имеет решений.

Если а≥0, то последнее уравнение равносильно такому:

Это уравнение, а значит, и исходное имеет решения лишь при

При указанных а получаем  очевидно это уравнение имеет один корень.

Ответ: Если а<то решений нет;

            Если а то уравнение имеет единственное решение.

                          Задания для самостоятельного решения.

9.1.Решите уравнение:

9.2.Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

д)

9.3. Решите уравнение:

9.4.Решите уравнение:

9.5.При каких значениях параметра а корни уравнения  различны и их произведение отрицательно?

                                                               Занятие 10.

.                                                            Контрольная работа (2ч).

*Вариант 1.

1.Вычислите:

2.Упростите выражение:

3.Решите неравенство:3

4.Решите уравнение:

5.При каких значениях а уравнение  имеет два корня?

**Вариант 2.

1.Докажите тождество

2.Упростите выражение

3.Решите неравенство:

4.Решите уравнение

5.Решите уравнение:

                                                                                                                                                     ***Вариант 3

1.Вычислите значение выражения: 

2.Упростите выражение

3.Решите неравенство:

4.Найдите все решения  уравнения удовлетворяющие условию

5.При каких  значениях а уравнение  имеет

единственное решение?

 

                                                     Литература.

И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев Факультативный курс по математике 10-11.Москва «Просвещение» 1991г.

С.И. Колесникова   Математика – решение сложных задач Е.Г.Э. Москва. «Айрис-пресс» 2005г.

В.К. Егоров, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский  и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Москва «Высшая школа» 1994г.

П.И.Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С.Якир.  Задачи с параметрами. Москва «Гимназия»2003г.

А.Г. Мордкович.  Алгебра и начала анализа 10-11 классы.       Москва «Мнемозина» 2003г.

Н.П. Кострикина Задачи повышенной трудности в курсе алгебры. Москва «Просвещение»

1991г.

 Г.И. Григорьева. Задания для подготовки к олимпиадам. Волгоград «Учитель» 2005г.