Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс: "Применение процентов к решению прикладных задач"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс: "Применение процентов к решению прикладных задач"

библиотека
материалов



Элективный курс:


Применение процентов для решения прикладных задач ”














Выполнила: Потапова Любовь Николаевна, учитель математики МОУ “ Тоншаловская средняя общеобразовательная школа “ Череповецкого района Вологодской области





Элективный курс: “Применение процентов для решения прикладных задач ”




Пояснительная записка



Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся восьмых-девятых классов посвящен решению текстовых задач на проценты в курсе математики, физики, химии, экономики. Данный курс является пропедевтическим по отношению к профильным курсам повышенного уровня и увеличивает вероятность того, что ученик сделает успешный и осознанный выбор профиля, связанный с математикой.

Программа курса включает материалы, систематизирующие и углубляющие знания, и развивающие умения учащихся, приобретенные при изучении темы “Проценты” в пятых-шестых классах.

Считаю, что введение такого курса достаточно актуально, т.к. проценты изучаются на первом этапе основной школы, причем непродолжительно, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценных представлений о процентах, а следовательно, уровень знаний, необходимый для свободного оперирования ими на уроках математики, химии, физики и просто в быту, оказывается недостаточным.

Эти задачи имеют большое жизненное значение, так как каждому человеку приходится встречаться с ними практически каждый день. Ведется ли речь о банковских вкладах, о выборах президента или о всхожести семян и концентрации кислоты, везде встречается слово “процент”.

Чтобы понять, о чем идет речь, надо знать смысл этого слова.

В последние годы выпускной экзамен проводится в форме ЕГЭ. Задача на проценты включается в число заданий, предполагаемых на этом экзамене. Как показывает практика, многие одиннадцатиклассники отказываются от решения таких задач. Данный элективный курс призван, также, помочь детям в подготовке к Единому Государственному Экзамену.

Направленность курса развивающая, практическая. На каждом занятии учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания дополняются, добавляются новые типы задач и приемы их решения. Появляются возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться в силу возрастных особенностей школьников.

Вопросы, связанные с процентами, позволяют сориентировать курс на практику, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач, сюжеты большинства которых непосредственно взяты из действительности, окружающей современного человека, в том числе и подростка. Это служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Организация занятий должна располагать к самостоятельному поиску решения задач и повышать интерес к изучению предмета.

Программа курса содержит два блока. Первый систематизирует ранее полученные сведения о процентах. Рассматриваются задачи, которые решаются с помощью определения процента, основных правил. Целью второго раздела является рассмотрение задач прикладного характера, где каждое задание направлено на то, чтобы развить интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, а главное, решить интересные задачки.

Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать применение математики на практике, показать связь математики с другими областями.

На изучение двух разделов отводится 10-12 часов, в зависимости от подготовки класса и времени, которым располагает учитель. Программа курса. Программа курса сопровождается дидактическим материалом. Курс является открытым: Можно добавлять новые задачи. Важно, чтобы они были интересны для учащихся, соответствовали их возможностям. Ученик должен чувствовать эстетическое удовлетворение от красиво решенной задачи, от установленной им возможности приложения математики к повседневной жизни и к другой науке.

Основная форма занятий – практикумы по решению задач. На занятиях используются фронтальная, групповая, индивидуальная формы работы.

Эффективная организация творческих дискуссий, обсуждения, взаимоконтроля и самоконтроля.

Результаты изучения данного курса могут быть выявлены при обсуждении задач, самостоятельно решенных учеником, рецензирования ответов учащихся. Учащимся предлагается творческая работа, составить мини-реферат, где будут приведены интересные задачи, составленные самим подростком, или найденные им в математической литературе.

Основные цели курса:


  • Вовлечь каждого ученика в активный познавательный процесс не пассивного овладения знаниями, а активной познавательной деятельности.

  • Помочь учащимся сделать успешный и осознанный выбор профиля, обучения в старшей школе.

  • Помочь детям в подготовке к ЕГЭ.



Программа курса


Тема 1. Определение процента. Основные правила, необходимые для решения задач на проценты. Решение задач . (3 часа)

Роль процентов в жизни человека.

Цель и содержание элективного курса. Определение процента. Нахождение процента от числа по определению. Формула процентов. Выражение процентов обыкновенной или десятичной дробью. Нахождение процента от заданного числа и числа по заданному значению его процентов. Выражение частного в процентах. Нахождение, сколько процентов составляет одно число от другого; нахождение, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина.

Решение задач на пропорции. Применение пропорции при решении обратных задач на проценты. Использование процентов при решении задач на сравнение величин. Задачи на процентное соотношение и части. Задачи на повышение, понижение цены, объема продукции.


Тема 2. Практическое приложение задач на проценты. Межпредметные задачи. (7 – 8 часов)

Понятие о простых и сложных процентах, формула сложных процентов. Основные допущения, принимаемые в задачах на смеси и сплавы. Концентрация. Процентное содержание. Сумма концентраций одной смеси или сплава. Нахождение концентрации по процентному содержанию. Применение алгоритма к решению задач на смеси и сплавы.

Коэффициент полезного действия механизма. Формула для расчета КПД простых механизмов.









Учебно-тематический план



п./п.

Содержание материала

Количество часов

I

Определение процента. Основные правила, необходимые для решения задач на проценты.

3

1

Определение процента. Простейшие задачи.

1

2

Решение задач с помощью составления пропорции.

1

3

Задачи на изменение величин.

1

II

Практические приложения задач на проценты. Межпредметные задачи.

7-8

4

Задачи с экологическим содержанием.

1

5

Задачи с экономическим содержанием.

2

6

Задачи на концентрацию и процентное содержание, смеси и сплавы.

2

7

Решение задач на КПД механизмов.

1

8

Итоговое занятие. Защита рефератов.

1-2




Занятие № 1.

Определение процента. Роль процентов в жизни человека.


Цели занятия:

Показать роль процентов в жизни человека.

Ознакомить учащихся с целью и содержанием элективного курса

Заинтересовать подростков проблемой самопознания, показать значимость, важность изучения себя и своих особенностей для дальнейшего саморазвития.

Повторить определение процента и основных правил, необходимых для решения простейших задач.



Методические рекомендации

В современной жизни люди очень часто встречаются со словом “процент”, например:

  • Всхожесть семян составляет 98 процентов;

  • Концентрация раствора кислоты 70 процентов;

  • В выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей;

  • Тарифы на коммунальные услуги выросли на 20 процентов;


В каждом из этих предложений встречается слово “процент”.

Чтобы понять, о чем идет речь надо знать смысл этого слова. Это слово образовано от латинского pro centum (буквальный перевод: на сто). При записи вместо слова используют значок “%”.

В нашей речи есть слова, обозначающие какую-либо часть числа. Например: -1/2- половина, 1/3-треть,1/4-четверть, 1/100-процент.

Определение: Процентом называется одна сотая часть.

1 копейка- это 1% рубля;

1 см- 1% метра

1 ар- 1 % гектара

Целое составляет 1=100:100=1%

Чтобы найти несколько процентов от числа, надо число разделить на 100 и умножить на число процентов.

Например, чтобы найти 2% от 50, надо 50: 100 2=1.

7% от 200, надо 200: 1007=14

Иначе: можно число процентов выразить дробью и умножить на это число. Например, чтобы найти 20% от 80, надо сначала 20% выразить дробью 20%=20:100= 0,2 , затем 0,280=16

Итак, наш элективный курс посвящен изучению процентов.

Во-первых, каждый из вас сможет проверить себя, достаточно ли хорошо он помнит материал данной темы.

Во-вторых, вы сможете систематизировать ваши знания, познакомиться с решением новых задач, и не только чисто математических. С такими задачами вы встретитесь на уроках физики и химии, на уроках географии и экономики, да и просто в быту.

В-третьих, приобретая умения быстро решать такие задачи, вы будете увереннее чувствовать себя на экзамене, потому что многие задачи взяты из КИМов ЕГЭ.

В-четвертых, каждому из вас предоставляется возможность попробовать себя в качестве студента, который оформляет свою творческую работу.

По каждому занятию вам предлагается составить или найти интересную задачу (можно несколько) и оформить мини реферат. И последнее занятие мы посвятим защите ваших творческих работ. Успехов вам!


Образцы оформления задач


Задача № 1.

В универмаге покупатель истратил 32% имевшихся у него денег. Это составляет 112 рублей. Сколько денег было у покупателя?

Эту задачу можно решить двумя способами.

1-й способ

Один процент денег покупателя составляет 3,5 рубля: 112:32=3,5

Вся сумма составляет 100%. Поэтому у покупателя было 350 рублей: 3,5100=350.

2-й способ

Пусть у покупателя было Х рублей, тогда 1% его денег составляет 0,01х рублей, а 32% составляют 0,0132x рублей, то есть 0,32x рублей.

По условию задачи 0,32х равны 112:

0,32х=112

x =112:0,32

х=350

Ответ: 350 рублей было у покупателя.


Задача № 2

Турист должен пройти 220 км. За первый день он прошел 32 км. Сколько процентов пути прошел турист за первый день?

Эту задачу можно решить тремя способами.

1-й способ

Один процент пути составляет 2,2 км.

220:100=2,2

А 33 км составляют 15% пути: 33:2,2=15.

2-й способ

Пусть в первый день турист прошел x процентов пути. Один процент пути составляет 2,2 км, а x процентов составляют 2,2х км, что по условию задачи равно 33 км:

2,2х=33;

х=33:2,2

х=15.

3-й способ. Найдем, какую часть пути турист прошел в первый день, и выразим полученную дробь в процентах

33/220100%=3100%:20=15%.


Ответ:15%.










Дидактические материалы

1.

а). Запишите предложение в виде дроби, затем выразите дробь в процентах:

сотая часть числа 1/100=0,01=1%

десятая часть числа 1/10=0,1=10%

пятая часть числа 1/5=

четверть числа

половина числа

три четверти числа

треть числа


б). Выразите следующие проценты в виде десятичных дробей: 1%, 15%, 40%, 3,2%, 100%, 120%, 120%, 200%, 350%.


2.

Воздух- это смесь различных газов. Азот составляет 75,5% массы воздуха, кислород - на 52,4% меньше, чем азот, остальное- водород, углекислый и другие газы.

Ответьте на вопросы:

Какая величина принята за 100%?

Какой процент массы воздуха приходится на кислород?

Сколько процентов массы воздуха приходится на водород, углекислый и другие газы?



3.

Найдите:

  1. 1% от 325. Ответ: 3,25.

  2. 2% от 150. Ответ: 3.

  3. 50% от 650. Ответ: 325.

  4. 25% от 800. Ответ: 200.

4.

Найдите число, если

1. 1% его равен 7. Ответ: 700

2. 10% его равны 27. Ответ:270.

3. 5% его равны 35. Ответ 700.


5.

Половину коллекции энтомолога составляют бабочки. Сколько процентов его коллекции приходится на остальных насекомых?

Ответ: 50%.


6.

Прочитайте предложения и ответьте на вопросы:

какая величина принята за 100% в каждом случае?

известна ли эта величина

известна ли величина, которая приходится на 1%?


1). В коллекции филателиста 35 марок, посвященных знаменательным датам, что составляет 1% всех марок его коллекции.

2). В школе 700 учеников. Шахматный кружок при Доме детского творчества посещает 1% учащихся этой школы.

Найдите ту величину, которая неизвестна.

Ответ: 1). 3500 марок; 2). 7 человек.


7.

На приобретение оборудования для школьного кабинета информатики выделили 88 тысяч рублей, что составляет 80% стоимости всего оборудования. Какая сумма нужна для оборудования кабинета?

Ответ:110000 рублей.


8.

Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000000 рублей?

Ответ: 800000 рублей.


9.

Ежемесячный подоходный налог взимается в размере 12% от суммы, превышающей минимальную з/плату. Найти величину “чистого” дохода, если размер минимальной з/платы 1300 рублей, а зарплата 8300 рублей.

Ответ: 7460 рублей.


10.

Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 2000 рублей?

Ответ: 40000 рублей



11.

После снижения цен на 20% товар стоит 1000 рублей. Сколько он стоил до снижения цен?

Ответ: 1250 рублей.



12.

Товар стоит 100 рублей. Сколько он будет стоить после повышения цен на 20%?

Ответ: 120 рублей.


13.

Слесарь и ученик изготовили 1200 деталей. Ученик сделал 30% всех деталей. Сколько деталей сделал слесарь? Решите задачу 2 способами.

Ответ: 840 деталей.


14.

На строительство доставили 24000 штук кирпича. Бой составляет 1,5% всех кирпичей. Сколько целых кирпичей доставили на строительство?


15.

В школу пришел врач и принес для прививки 0,25 кг сыворотки. Скольким ребятам он сделает прививки, если для каждого укола потребуется 0,8% от принесенной сыворотки.

Ответ:125 ребятам.




Занятия 2-3

Решение задач на проценты с помощью составления пропорции. Задачи на изменение величин.


Цели занятий:



Рассмотреть применение пропорции для нахождения процентов от числа и решение обратных задач на проценты.



Сформулировать основные правила, необходимые

для решения задач с использованием процентов.








Методические рекомендации

Повторить определение пропорции и основное свойство пропорции. Рассмотреть способ нахождения процентов от числа с помощью составления пропорции (повторить прямо пропорциональную зависимость величин). При составлении пропорции, очень важно определить, какая величина принимается за 100%.

Показать удобство применения пропорции при решении обратных задач на проценты (повторить определение обратно пропорциональных величин). Сформулировать основные правила, необходимые для решения задач с использованием процентов:


- нахождение процента от заданного числа;

  • нахождение числа по заданному значению его процентов;

  • нахождение процентного отношения двух чисел.


Рассмотреть применение этих правил для решения различных задач. Именно решение простейших задач помогает осмысленному формированию умений, поэтому рекомендуется первые задачи решать с подробным объяснением и с подробными записями на доске и в тетрадях учащихся. Самостоятельная работа поможет активизировать мыслительную деятельность учащихся, приобрести опыт по решению задач.


Дидактические материалы


1.

Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

Решение:

Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой Х число посаженных лип. Запись будет иметь следующий вид:

hello_html_m2df47aa7.gifhello_html_m2df47aa7.gifКол-во лип Число процентов

I Посадили Х лип 100%

II Принялось 57 лип 95%


Зависимость между количеством лип и их числом, выраженная в процентах прямо пропорциональная, так как если количество лип уменьшить в несколько раз, то и число процентов уменьшится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками. Запишем пропорцию: Х:57=100:95.

Теперь найдем неизвестный член пропорции: Х=57100:95=60

Ответ: 60 лип.

2.

Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса?


Решение

Обозначив буквой Х массу ячменя, запишем кратко условия задачи:

Масса в-ва Число %

Рhello_html_m2df47aa7.gifhello_html_m42000418.gifис 5 кг 75%

Ячмень Х кг 60%



Зависимость между массой вещества и числом процентов при одном и том же значении массы крахмала обратно пропорциональная, так как при увеличении массы вещества в несколько раз, число процентов уменьшается во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками.

Запишем пропорцию: 5:Х=60:75.

Теперь найдем неизвестный член пропорции: Х=5 75:60=6,25.

Ответ: 6,25 кг.


3.

Цена увеличилась в 2 раза. На сколько процентов увеличилась цена?

Ответ: на 100%


4.

Цена увеличилась на 250%. Во сколько раз увеличилась цена?

Ответ: в 3,5 раза.


5.

Число увеличили на 20%, получил 108,6. Чему равно это число?

Ответ:90,5.


6.

На сколько процентов увеличится дробь, если ее числитель уменьшить на 20%, а знаменатель увеличить на 60%?

Ответ: на 50%.


7.

На сколько процентов увеличится дробь, если ее числитель увеличить на 80%, а знаменатель уменьшить на 10%?

Ответ: на 100%.


8.

На сколько процентов увеличится периметр и площадь квадрата, если его сторону увеличить на 20%?

Ответ: на 20%; на 44%.


9.

На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 30%, а ширину на 5%?

Ответ: на 36,5%.


10.

Израсходовали 10% топлива, затем еще 25% остатка и осталось 13 литров. Сколько топлива было первоначально?

Ответ:19 литров.


11.

Владелец бензозаправки повысил цены на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цены на 10%. На сколько процентов в результате этих двух изменений понизились или повысились цены на бензин. Если цены понизились, то перед числом процентов в ответе поставьте знак “минус”. Если цены стали прежними, в ответе запишите нуль.

Ответ: -1.


12.

Сумма двух чисел равна 24. Найдите меньшее из чисел, если 85% одного из них равны 35% другого.

Ответ: 7.


13.

Цену товара снизили на 15%, затем новую цену снизили на 20%. На сколько процентов снизилась первоначальная цена?

Ответ: на 32%.


14.

В начале года в сберкассу на книжку было внесено 5000 рублей, а в конце года было взято обратно 2000 рублей. Еще через год на книжке оказалось 3244,5 рублей. Сколько процентов в год начисляет сберкасса?

Ответ:3 %.




15.

Объемы работ, выполненных тремя организациями, относятся как 3:8:9.

Какой процент от общего объема работ выполнен второй организацией?

Ответ: 40 %.



16.

Девушка купила 2 книги, уплатив за них 180 рублей. Если бы первая книга стоила на 20% дешевле, а вторая на 20% дороже, то их цены были бы одинаковы. Сколько стоила каждая книга?

Ответ: 108 руб. и 72 руб.


17.

Аквариум частично заполнен водой. За месяц 40% воды испарилось. При этом объем воздуха в аквариуме увеличился на 60%. Какую часть объема занимала вода в конце месяца?


18.

Первое число равно 0,2, второе 0,3. Сколько процентов составляет первое число от суммы этих чисел? На сколько процентов первое число меньше второго и на сколько процентов второе число больше первого?




Занятие 4.

Задачи с экологическим содержанием.



Цель занятия:


Затронуть некоторые экологические проблемы современного общества через решение задач с экологическим содержанием.



Основным средством экологической культуры учащихся призвана стать целенаправленная система экологического образования.

Вступающие в трудовую жизнь люди должны иметь четкое представление о том, что природные ресурсы не бесконечны и технология производства любой продукции должна удовлетворять такому основному с экологической точки зрения, требованию, как минимальное потребление материалов и электроэнергии. Они должны хорошо закон природы, понимать взаимосвязь природных явлений, уметь предвидеть и оценивать последствия вмешательства в естественное течение различных процессов, иметь твердое убеждение в том, что без уверенности в безвредности для окружающей среды (или минимальности ущерба) того или иного мероприятия оно не должно реализовываться. Такое мировоззрение можно сформировать только в том случае, если с детских лет в школе давать соответствующие знания о природе, знакомить с экологическими проблемами, прививать любовь к природе, учить вести себя так, чтобы не наносить ей вреда.

Работу по экологическому образованию на уроках математики можно начать с экологического просвещения через задачи, игровые моменты на уроках, организацию внеклассной работы.

Важно экологические проблемы вплетать в математику, а не заменять математику экологией. Применение экологического просвещения на уроках математики позволяет включать учащихся в активную познавательную деятельность и готовить их к решению социальных проблем после окончания школы.


Задачи

1.

В Красную книгу России внесены редкие и находящиеся под угрозой исчезновения виды растений и животных - всего 598 видов. Растений в ней записано на 288 видов больше, чем животных. Сколько процентов составляют виды животных и виды растений от общего числа видов, записанных в красную книгу России?


2.

В четырех колосьях озимой пшеницы было 46, 56, 49, и 55 зерен. Сколько процентов составляют зерна каждого колоса от среднего количества зерен в колосе озимой пшеницы?


3.

Семья из трех человек за неделю съедает 12 батонов хлеба. На сколько процентов это превышает норму, если на одного человека в день положено 0,2 кг хлеба, а вес одного батона - 0,5 кг?

Лучше использовать в рационе хлеб грубого помола, в нем содержится больше полезных веществ. Количество употребляемого в день хлеба может быть больше только у юношей, занимающихся спортом.


4.

В лесных насаждениях происходит самоизреживание. Сколько сосновых деревьев придется на один га к 100 годам жизни леса, если в начале было 10000 деревьев на 1 га, к сорокалетнему возрасту деревьев осталось 25% от их числа, а к 100 годам жизни леса осталось только 21% тех деревьев, которые остались к сорокалетнему возрасту.

Ежегодно с лица нашей планеты в результате техногенной деятельности человека исчезают тысячи видов растений, насекомых и животных. В России ежегодно вырубается 1,8 млн. га леса. Нередко при лесозаготовках допускаются гибель подроста.

Миллион гектаров леса ежегодно гибнет или повреждается вредными промышленными выбросами. На Кольском полуострове лес гибнет со скоростью 1 км в год.

В течение 1995-1997 гг. уничтожались леса в Ленинградской области. До 60 груженных лесом трейлеров ежедневно проходили через пограничный пункт Торфяновка в Финляндию. Сплошная рубка грозит превратить Карельский перешеек в пустыню.


5.

Две бригады лесорубов заготовили в январе 900 м3 древесины. В феврале первая бригада заготовила на 15%, а вторая на 12% больше, чем в январе. Известно, что в феврале они заготовили 1020 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины заготовила каждая бригада в январе?


6.

Детям необходимо в среднем потреблять 1,8 л воды в сутки. При этом вода, поступающая с пищей, составляет 20% воды, поступающей в организм в виде питьевой воды. Какое количество питьевой воды дети должны потреблять в сутки?


7.

Содержание фтора в одной чашке чая относится к суточной потребности человека во фторе, как 2:17. Сколько процентов суточной дозы фтора содержится в одной чашке? Сколько чашек чая нужно выпить, чтобы обеспечить свой организм фтором?

Ответ:11,7%, 8,5 чашек.

Фтор необходим человеку для построения эмали зубов и костей. Если человек употребляет в пищу фторированную воду, то вероятность кариеса в два раза меньше, чем, если вода нефторированная. Источники фтора - печень, рыба, чай.


8.

Минимально необходимый 12-му школьнику объем молочных продуктов составляет 15% от всего объема жидкости, выпиваемой за день. Сколько молока, кефира или ряженки должен выпивать подросток, если всего в день в его рацион входит 2 литра жидкости?

Ответ: 300 г.




Учитывая интенсивную скорость роста в этом возрасте, надо понимать, что потребность в кальции очень высока. Дефицит кальция ведет к нарушению формирования костей и зубов, задержке роста. Молоко можно заменить кефиром, кефир - йогуртом.

9.

В 100 г мяса содержится 14 г белка, что составляет 20% суточной нормы белка. Сколько мяса и мясопродуктов необходимо съедать в день?

Ответ: 500г.

Суточная потребность в белках выполняется не только за счет мясных продуктов, но и за счет молочных, рыбных и овощных блюд. Включение в рацион одного только мяса ведет к тяжелым заболеваниям. В древности на Востоке так иногда казнили преступников: кормили их только вареным мясом, и организм не мог переварить такое количество белка. Все хорошо в меру.


10.

Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит 70% воды, а полученный из него мед содержит только 17% воды. Сколько кг нектара приходится перерабатывать пчелам для получения одного кг меда?

Ответ: 2,77 кг.

Употребление меда и продуктов пчеловодства в пищу очень важно, так как в них содержится большинство необходимых для организма человека микроэлементов и аминокислот.


Занятия 5-6

Задачи с экономическим содержанием.



Цели занятий:


Показать связь математики с экономикой.


Рассмотреть с учащимися задачи с экономическим содержанием.


Люди каждый день встречаются с ценами на товары и услуги, и именно школьная математика отвечает за то, чтобы эти встречи не оборачивались для людей финансовыми потерями. Задачи с экономическим содержанием имеют большое жизненное значение, так как нам приходится встречаться с ними ежедневно.




Задачи


1.

Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре - еще на 10%.Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение:

Стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 рублей, то есть 3600,85=306(р.) Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 рублей, то есть 3060,9=275,4(р.)


2.

На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее 1т лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке - до 10%. Сколько должен лука собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение:

Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать Х тонн лука. Тогда после хранения может остаться 0,85Х тонн лука и на ярмарку будет доставлено 0,90,85Х тонн. Составим уравнение: 0,90,85Х=1, откуда Х=1,3, то есть нужно собрать не менее 1,3 т лука.


3.

На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом еще на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 р.?

Решение:

В реальной жизни часто вместо точных подсчетов удобно выполнять прикидку. В нашем случае 593р.- это примерно 600р., а 24%- это примерно 1/4. Четверть от 600 р. составляет 150 р. Таким образом, после первой уценки цена кроссовок снизилась на 150 р. и составила примерно 450 р. После второй уценки новая цена кроссовок снизилась еще примерно на 45 р. В итоге кроссовки подешевели примерно на 195 р.



4.


В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р.15 коп. вместо 2 р. 75 коп. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение:


Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому равно 0,14545…. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%. То есть рост цен соответствует.


5.

В начале года тариф на электроэнергию составил 40 коп. за 1 кВт*ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года - еще на 50%. Увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?

Решение:

Так как тариф увеличился на 50%, то нужно к прежней цене прибавить половину прежней цены, т.е. 60 коп.+30 коп=90 коп. Таким образом, в общей сложности тариф увеличился на 50 коп, что больше, чем 100%.


6.

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за 1 месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение:

Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на 1 день, то им придется заплатить 260 р., на неделю-250+107=320р.


7.

За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада, и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10000 р. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

Решение:

Так как 25% от 10000 р. составляют 2500 р., а 5% от 10000 р. составляют 500 р., поэтому за каждый просроченный месяц сумма штрафа будет составлять 500 р. За 5 месяцев придется заплатить 5000р.


8.

За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение 5 лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через 2 года, через 5 лет?

Решение:

1.Так как 8% от 5000 р. составляют 400 р., то через год на счете окажется 5400 р. В конце второго года банк будет начислять проценты на новую сумму. Так как 8% от 5400 р. составляют 432 р., то через 2 года на счете окажется 5832 р. Вычисляя последовательно, найдем, что через 5 лет на счете вкладчика окажется 7346р. 64 коп.

2. Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в 1,08 раза и составит 50001,08р. Еще через год образовавшаяся на счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через 2 года на счете будет(50001,08)1,08=50001,082р.

Аналогично через 3 года - 50001,083р. и т.д. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через 5 лет сумма на счете вкладчика составит 50001,085 р., то есть 7346,64 р. В данной задаче мы вычисляли так называемые “сложные” проценты, то есть при вычислении процентов исходили из величины, полученной на предыдущем шаге - начислялись “проценты на проценты”.

Сложные проценты лишь в первый год начисляются на первоначальную сумму, а во все последующие на ту сумму, которая образовалась в конце предыдущего года от прибавления дохода от процента.

Точно также, если инфляция составляет 5% в неделю, то через 2 недели она составит не 10%, а 10,25%, так как 5% от 5% это 5×0.05= 0,25%, а через месяц не 20%, а почти 22%.

Вообще, если некоторая величина первоначально имела значение а, а затем, через определённые промежутки времени она увеличивается по правилу сложных процентов, возрастая каждый раз на р процентов.(увеличиваясь в (1+0,01р) раз, то через n промежутков времени она примет значение

b = a (1+ 0,01p)n).


Через какое время цены возрастут вдвое, если инфляция составляет в среднем 20% в месяц?

Решение: Пусть X – исходная цена, тогда X(1+0,2)n=2X

1,2n=2

n ≈ 4

Ответ: примерно через 4 месяца.


10.*

Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тыс. руб. Однако он не стал забирать деньги из банка, а добавив к ним ещё 60 тыс. руб., снова оставил деньги на год. В результате спустя ещё год он получил в банке 1 млн. 100 тысяч руб. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет X тыс. руб.

Тогда процент прибыли за год равен 240/X×100%. Сумма вклада, положенного в банк через год, составила X+240+60 тыс. руб., то есть X+300 тыс. руб. Этот вклад принес доход, равный ( X+300)×240/X тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 руб.

Получаем уравнение:

(X+300)+(X+300)×240/X= 1100.

Решив его, найдем, что уравнение имеет 2 корня:

X=200, X=360.

Если X=200, то 240/X×100%=120%

Если X=360, то 240/X×100%= 66 2/3

Выполнив расчеты можно убедиться, что оба корня соответствуют условию задачи.

Значит, вкладчик вложил первоначально 200 тыс. руб. и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тыс. руб. и получил доход в 66 2/3 % в год. Задача имеет два решения.

11.

Зарплату повысили на р процентов. Затем новую зарплату повысили на 2р процента. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Решение: Пусть первоначальная зарплата равна 1, после 1-го повышения на р процентов она стала равна (1+0,01р), после второго повышения на 2р процента, она будет равна (1+0,01р)+(1+0,01р)0,02р или 1,32.

1+0,01р+(1+0,01р)0,02р=1,32

0,01р+0,02р+0,0002р2=0,32

2+300р-3200=0

р2+150р-1600=0

Р1=10 Р2= -160 – не удовлетворяет условию задачи.

Если р=10, то 2р =20

Ответ: на 20%

12.


Цена на товар была понижена на 20%. На сколько процентов её нужно повысить, чтобы получить исходную цену?

Решение: Первоначальная цена – X руб.

Цена после понижения на 20% - X - 0,2X=0,8X руб.

После повышения новой цены на Y% она стала (0,8X+0,8X×0,01Y) или X руб.

0,8X+0,008XY=X

0, 8+0,008Y=1

Y=25.

Ответ: на 25%

13.


Некоторый товар стоимостью 350 р. Уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число , если известно, что после двойного снижения цен товар стоит 383 р. 50 коп.

Решение: Пусть на X процентов уценивали товар, тогда, используя формулу сложного процента, получим:

350(1 - 0,01X)2= 283,5

(1 - 0,01X)2 = 0,81

1 - 0,01X = 0,9 или 1 - 0,01X = -0,9

X=10 X=190 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10%.

14.


В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод выпускал ежемесячно 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение: Пусть на X% увеличивали выпуск продукции, тогда

600(1+0,01X)2 = 726, откуда

X=10 или X= - 210, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10%.

15.


За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10 %. Определите, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии.

Ответ: 20%.

Занятия 7 – 8

Задачи на концентрацию и процентное содержание,

смеси и сплавы.

Цели занятий:

  • Показать связь математики с химией.


  • Показать применение математических знаний в повседневной жизни.


Методические рекомендации


При решении задач на концентрацию и процентное содержание используют следующие понятия и формулы.

Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами МА, МВ, и МС.

Масса смеси, составленной из этих веществ, равна МА + МВ + МС.

Массовой концентрацией вещества А в смеси называют величину СА, вычисляемую по формуле СА = МА / (МА + МВ + МС), аналогично массовые концентрации веществ В и С в этой смеси вычисляются по формулам:

СВ = МВ / (МА + МВ + МС); СС = МС / (МА + МВ + МС).


Массовые концентрации СА, СВ и СС связаны равенством

СА+ СВ + СС =1.

Процентным содержанием веществ А, В и С в данной смеси называют величины рА %, рВ % и рС % соответственно, вычисляемые по формулам:


рА % = СА × 100% ; рВ % = СВ × 100% ; рС % = СС × 100% .



По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых веществ (компонент) равно двум, четырём, пяти и т. д.

Объёмные концентрации веществ в смеси определяются такими же формулами, как и массовые концентрации, только вместо масс компонент МА, МВ, и МС в этих формулах фигурируют объёмы компонент VА, VВ и VС.

В тех случаях, когда речь идёт об объёмных концентрациях , обычно предполагается, что при смешивании веществ объём смеси равен сумме объёмов компонент. Это предположение не является физическим законом, а представляет собой соглашение, принимаемое при решении задач на объёмную концентрацию.

Если имеем m1 г. вещества, содержащего С1 граммов другого вещества, и m2 г. вещества, содержащего С2 г. другого вещества, то С – процентная концентрация смеси будет вычисляться по формуле:


С = (С1 m1 + С2 m2)/( m1 + m2).


Дидактические материалы


1.


Смешали три раствора кислоты: 2 л – 15%-го раствора, 4 л – 10%-го раствора и 5 л – 12%-го раствора. Определить процентную концентрацию смеси.

Решение: С= (2×15+4×10+5×12) / (2+4+5) = 11 9/11 ≈ 11,82%.

Ответ: ≈ 11,82%.


2.


18%-ый раствор соли массой 2 кг разбавили стаканом воды (0,25кг).

Какой концентрации раствор в процентах в результата был получен?

Решение: Найдём, сколько соли находится в 2 л раствора. Для этого составим пропорцию:

hello_html_m42000418.gifhello_html_m42000418.gif

2 кг - 100%

X кг - 18%


2:X = 100 :18

X = 2×18 : 100

X = 0,36.

После добавления стакана воды получил раствор массой 2+0,25 = 2,25 (кг).

Процентное содержание соли – это та часть , которую составляют 0,36 кг соли в общем количестве раствора (2,25кг), умноженная на 100%.

Следовательно, искомая величина равна 0,36:2,25×100%=16%.

Ответ: 16%.



3.


Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение: Пусть в 40 т руды содержится X т железа, тогда (40-X) т составляют примеси. При выплавке стали количество железа не меняется, а количество примесей уменьшается. Поскольку из условия задачи следует, что в 20 т выплавленной стали содержится 94% железа, то X=0,94×20. теперь вычислим процент примесей в руде:

(40-X)×100/40 = (40-0,94×20)×2,5 = 53.

Ответ: 53%.

4.


Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Решение: Пусть меди в латуни первоначально было X кг. Запишем данные схематично:

hello_html_a2a0e14.gifhello_html_m4d304aed.gifhello_html_7b2dcded.gif

Xhello_html_7b2dcded.gif – 11 X + 12 = X -11 X+12

Цинк медь медь цинк цинк

hello_html_m57513e45.gif

Общий вес нового сплава равен (X-11)+(X+12)=2X+1. 75% от этого числа составляют X+12 кг меди, т. е.

X+12=0,75(2X+1);

X+12=1,5X+0,75;

11,25=0,5X;

X=22,5.

Ответ: 22,5.

5.


В сосуд вместительностью 6 л налито 4 л 70% -го раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же вместительности налито 3 л 90%-го раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нём получился n% раствор серной кислоты? Найдите все значения n, при которых задача имеет решение.

Решение: Обозначим через X л объём 90% раствора серной кислоты, который переливается из второго сосуда в первый. В этом объёме содержится 0,9X л чистой (100%-ой) серной кислоты.

Первоначально в первом сосуде объём чистой серной кислоты был равен 0,7×4 л.

После того, как в первый сосуд перелили X л 90% раствора серной кислоты, в нём окажется (0,7×4+0,9X) л чистой серной кислоты. Используя определение объёмного процентного содержания, в соответствии с условием получаем уравнение:

(0,7×4+0,9X)100% / (X+4)= n%

(280 + 90X) / (x+4) = n

280 + 90 X = 4n+nX

90X – nX = 4n – 280

X(90-n) = 4(n-70)

X= 4(n-70)/ (90-n)

Остаётся выяснить, при каких значениях n задача имеет решение. Из условия, очевидно, что количество доливаемого раствора не может превосходить 2 л, т. к. объём первого сосуда 6 л, т. е. 0 ≤ X ≤ 2. используя оценку для X, получим ограничения на

0 ≤ 4(n-70)/(90-n) ≤ 2.

Решив данное неравенство (с учётом того, что 70 ≤ n ≤ 90), находим, что 70 ≤ n ≤ 76 2/3

Ответ: 4(n-70)/(90-n) (л); задача имеет решение при 70 ≤ n ≤ 76 2/3.

6.


Имеется два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360 г серебра и 40 г олова, а второй слиток – 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказался 81% серебра. Определить массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Ответ: 120 г.

7.


Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Ответ: 1,5 кг.

8.


Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получается из 20 кг свежих?

Ответ: 7 кг.

9.


Влажность сухой смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезённой смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Ответ: 410 кг.

10.


Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?

Ответ: 40 кг.

11.


Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие – 8%. Сколько получится сухих грибов из 23 кг свежих?

Ответ: 2 кг.

12.


Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, а второй – 40 % цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20 % цинка. Определите массу нового сплава.

Ответ: 9 кг.

13.


Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?

Ответ: 15 кг.

14.


В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси и сосуд опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько литров спирта отлили в первый раз?

Ответ: 10 л.

15.


Морская вода содержит (по массе) 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в растворе составило 2%?

Ответ: 60 кг.




Занятие 9.

Решение задач на КПД механизмов.

Цели занятия:

  • Показать связь математики с физикой


  • Рассмотреть решение задач на проценты при вычислении КПД простых механизмов.



Методические рекомендации


Учащиеся должны знать определение КПД, уметь вычислять КПД по формуле

ŋ = Аn/Aз×100%, знать, что полезная работа – это часть работы для выполнения которой создан механизм, объяснять, что КПД реальных машин и механизмов меньше единицы.

Систематизировать и обобщить материал по данной теме можно с помощью таблицы.


Простые механизмы(таблица).

hello_html_m5a640ec2.png


Дидактические материалы


1.

Поднимая при помощи подвижного блока ведро с песком весом 200 Н на высоту 5 м, производят работу 1020 Дж. Какой процент составляет энергия, которая была затрачена непроизводительно?

Ответ: 2%.

2.


Ведро с песком массой 24,5 кг поднимают при помощи неподвижного блока на высоту 10 м, действуя на верёвку силой 250 Н, вычислите КПД установки.

Ответ: 98%.

3.


С помощью неподвижного блока груз массой 100 кг поднят на высоту 5 м. определите совершённую при этом работу, если КПД равно 70%.

Ответ: 7 кДж.

4.


По наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1,5 м поднимается груз массой 180 кг. Чему равны полезная работа и КПД, если коэффициент трения равен 0,3?

Ответ: 51%.

5.


Двигатель подъёмного крана мощностью 6кВт поднимает груз массой 6 т на высоту 8 м. Определите время подъёма груза, если КПД установки равен 80%.

Ответ: 98 сек.

6.


Сколько воды можно поднять из колодца глубиной 36 м в течение 1 часа, если мощность электродвигателей насоса 4,9 кВт, а КПД установки равен 70%.

Ответ: 35 т.

7.


Поднимая груз по наклонной плоскости на высоту 4 м, совершили работу 12 000 Дж. Определите массу груза, если КПД плоскости –

60 %.

Ответ: 180 кг.

8.


Определить КПД рычага, с помощью которого груз массой 80 кг был поднят на высоту 0,9 м. при этом длинное плечо рычага, к которому была приложена сила 500 Н, опустилось на 1,8 м.

Ответ: 80%.


Литература:


  1. Зубарева И.И., Мордкович А. Г. Математика 5 кл. М.: Мнемозина, 2004.

  2. Н. Я. Виленкли и др. Математика 6 , М.: Просвещение 1993.

  3. Пономарёв С.А. и др. Сборник задач по математике для 4 – 5 классов. М.: Просвещение 1979.

  4. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику. М.: Просвещение 1996.

  5. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 -9 классов М.: Просвещение 1994.

  6. Смирнов А. Я. И др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение 1991.

  7. Предпрофильная подготовка учащихся: курсы по выбору.

- Вып. 2: Математика, физика.

- Вологда: Изд. центр ВИРО, 2005.

8. Модернизация естественно – математического образования – выпуск 2- Вологда: Изд. центр ВИРО, 2005.

9. Л. О. Денищева и др. ЕГЭ: Математика: 2003 -2004-2005: КИМ-ы, М-во образования и науки РФ -

М.: Просвещение 2003 -2004 -2005.

10. А. Г. Цыпкин, А. И. Пинский «Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в ВУЗы» М.: ООО «Издательский дом ОНИКС 21 век», 2005.

11. Б. А. Райзберг Введение в экономику М.: МП «новая школа» 1993.

12.Л. Н. Герман и др. Математика, Сборник методических указаний и задач для абитуриентов ЛИАП.

Ленинград 1990.

13. Журнал «Физика в школе» №6, 1989.

14. Лукашик В. И. Сборник вопросов и задач по физике. М. 2002.

15. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школ РСФСР

М.: Просвещение 1990.

16. Н.П. Антонов и др. Сборник задач по элементарной математике. М.: Наука 1979.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 07.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров425
Номер материала ДВ-239573
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 год назад

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся восьмых-девятых классов посвящен решению текстовых задач на проценты в курсе математики, физики, химии, экономики. .

Программа курса включает материалы, систематизирующие и углубляющие знания, и развивающие умения учащихся, приобретенные при изучении темы “Проценты” в пятых-шестых классах.

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх