Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи»

библиотека
материалов


Пояснительная записка


Предлагаемый элективный курс предназначен для обучения учащихся 11 класса средней школы. Рабочая программа элективного курса составлена на основе авторской программы: А.Н. Земляков. Алгебра +: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

Курс «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи» систематизирует, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области «элементарной алгебры». Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.

Элективный курс позволяет не только дополнить и углубить знания учащихся, но и развивать их исследовательские умения, логическое мышление. Рассмотрение системы методов решения алгебраических задача открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и задачах смежных предметных областей.

Структура курса представляет собой три логически и содержательно взаимосвязанных темы: Рациональные алгебраические уравнения и неравенства; Рациональные алгебраические системы; Иррациональные алгебраические задачи.


Цель курса:

  • Углубление, расширение и систематизация знаний учащихся о способах и методах решения задач курса алгебры и начал математического анализа.

  • Создание условий для формирования у учащихся  качеств мышления, характерных для математической деятельности необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования  и продуктивной жизни в современном обществе.


Задачи:

  • Систематизировать теоретические  знания учащихся о приемах и методах решения задач различного вида сложности;

  • Расширить и углубить математические представления учащихся по разделам: «Уравнения и неравенства»

  • Сформировать практические навыки и умения учащихся по решению:

-уравнений и неравенств, содержащих радикалы; степени, логарифмы, тригонометрические функции;

-уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

-уравнений и неравенств, содержащих параметры

  • Развивать коммуникативные умения выпускников средней школы за счет участия в работе группы, организации дискуссий, аргументации выбора способа решения и ответа задачи, презентации результатов учебного проекта.


Материал курса кроме теоретических сведений, необходимых для решения уравнений, неравенств и их систем, содержит интересные нестандартные задачи, освещает способы и методы решения математических задач не рассматриваемые в школьном курсе математики. Углубление базового материал по математике реализуется за счет обучения методам и приемам решений заданий, требующих применения высокой логической  и операционной культуры, развивающим научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Для реализации целей и задач элективного курса предполагается использовать следующие формы проведения занятий: лекции с элементами проблемного изложения, практикумы по решению задач, семинары. Для получения эффективных результатов имеет смысл использовать компьютер, интерактивную доску, которые помогут как в реализации результатов работы с данными вопросами, так и при решении  математических задач.

Эффективность усвоения изучаемого материала отслеживается через выполнение самостоятельных работ (Приложение 1). Итоговый зачет предусматривает выполнение учебного проекта, включающего самостоятельное исследование математической задачи, с помощью методов изучаемых на занятиях курса и его защиту на итоговой конференции. Учебный проект должен содержать теоретическое обоснование решения алгебраической задачи и сопровождаться мультимедийной презентацией. В Приложении 2 представлены примерные темы учебных проектов. Основанием для получения отметки «зачтено» по итогам изучения элективного курса является правильное решение алгебраической задачи с использованием методов, предусмотренных программой курса.


Элективный курс рассчитан на 34 аудиторных часа (один час в неделю).


































Содержание тем курса

Тема 1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (6 часов).

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Метод областей.


Тема 2. Рациональные алгебраические системы. 14ч.

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виеты с тремя переменными.


Тема 3. Иррациональные алгебраические задачи. 12ч.

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.


Итоговый зачет по курсу (2 часа)

Решение рациональных алгебраических задач.

Решение иррациональных алгебраических задач.




Требования к уровню подготовки учащихся.


Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения элективного курса учащиеся должны

знать

  • методы и приемы решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;

  • общую структуру решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;


уметь:

  • решать указанные в программе курса виды уравнений и неравенств, системы уравнений и неравенств;

  • строить математическую модель задач с текстовым содержанием;

  • решать текстовые задачи различного уровня сложности;

  • применять метод интервалов для решения иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и параметр;

  • строить способ решения нестандартных задач с параметрами и модулями,

  • решать алгебраические задачи графическим способом

  • использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений в процессе решения алгебраических задач;

  • применять производную функции для анализа и решения алгебраических задач.


Одним из основных результатов освоения содержания элективного курса выпускниками средней школы является приобретение опыта исследовательской деятельности математических явлений, определенных в программе курса.



Перечень учебно-методического обеспечения

1. УМК по предмету.

  • А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

  • А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-319 с.ил.

2. Дидактические и раздаточные материалы по предмету:

  • Тематические зачеты по курсу «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи» (Приложение 1)

  • Тематика учебных проектов (Приложение 2).

3.  ТСО, компьютерные, информационно-коммуникационные средства:

  • Интерактивная доска.

  • Персональный компьютер.

  • Проектор

  • Интернет- ресурсы:

  • http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика. Функции и их графики.

  • WWW.allmath – Вся математика.

  • htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.

  • WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.

  • WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.

  • http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика.

5. Учебно-практическое оборудование:

  • .Комплект инструментов классных - 1 компл.

  • Линейка классная - 2 шт.

  • Транспортир классный - 2 шт.

  • Угольник классный - 2 шт.

  • Циркуль классный - 2 шт.

  • Демонстрационные таблицы по алгебре и началам анализа для 10 класса - 1 сер.

  • Демонстрационные таблицы по алгебре и началам анализа для 11 класса - 1 сер.

6. Оборудование (мебель): 13 комплектов ученической мебели, 1 меловая доска, 1 стол для учителя.


















Список литературы

Литература для учащихся


  1. Н.В.Александрова. Математические термины. — М., Высшая школа, 1978.

  2. И.Г.Бородуля. Тригонометрические уравнения и неравенства. – М.: Просвещение, 1989.

  3. Математика . 10-11 классы Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/ авт.-сост.Д.Ф.Айвазян.-Волгоград:Учитель , 2009

  4. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

  5. Р.Б.Райхмист. Графики функций. Задачи и упражнения. – М.: Школа – пресс, 1997.

  6. С.М.Саакян, А.М. Гольдман, Д.В.Денисов «Задачи по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов» М.: «Просвещение»,1990.

  7. П.Ф.Севрюков, А.Н.Смоляков. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения: учебно-методическое пособие.- М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.




Литература для учителя


  1. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-319 с.ил.

  2. А.П.Карп, В.Б.Некрасов. Задания по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе. – М.: Просвещение, 2003.

  3. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.:Наука, 1974.

  4. В.И.Голубев. Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина»- М, Чистые пруды,2006

  5. Галицкий, М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. –М.: Просвещение, 1995.

  6. Говоров, В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Просвещение, 1983.

  7. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике/ Под ред. Л.Я.Фальке. Изд. 3-е.- М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005

  8. Калугина, Е.Е, Уравнения, содержащие знак модуля. -М.: ИЛЕКСА,2012. -64с.

  9. М.Л.Галицкий, М.М.Мошкович, С.И. Шварцбурд. Углубленное изучение курса алгебры и матем. анализа (методические рекомендации и дидактические материалы). – М.: Просвещение, 1990.

  10. Математика .10-11 классы Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/ авт.-сост.Д.Ф.Айвазян.-Волгоград:Учитель , 2009

  11. Мерзляк А.Г. и др. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2001.

  12. Севрюков, П.Ф. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения: учебно-методическое пособие. -М.: Илекса, Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола,2005. -112с.

  13. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10 –11 кл. – М.: Просвещение, 1989.




14.Образовательные ресурсы сети Интернет

http://ege.edu.ru

http://eqworld.ipmnet.ru

http://graphfunk.narod.ru

http://www.uztest.ru

http://www.it-n.ru

http://www.ed.vseved.ru

http://mat.1september.ru





Тема 1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства. (6ч.)






Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.



Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.


Лекция с элементами эвристической беседы

Ф,И,П

§ 3.1.

с.161-163, пример 3.1.3

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.



Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.


Практикум.

Ф,Г

Карточки-задания для групп

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Метод сведения к совокупности систем



Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.


Практикум.

Ф,Г

Карточки-задания для групп


§ 3.2.

С.183, №37-40

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Метод интервалов.



Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Метод интервалов.

Практикум.

Ф,Г

Карточки-задания для групп

§ 3.2.

с.183,№45-48

Метод оценки, использование монотонности функций при решении дробно-рациональных неравенств.



Метод оценки, использование монотонности функций при решении дробно-рациональных неравенств.

Лекция с элементами эвристической беседы

Ф,И,П

§ 3.2.

с.284-286, пример 5.2.10

Неравенства с двумя переменными. Метод областей



Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Метод областей.


Практикум.

Тематический зачет №1

Ф,И

Задачи тематического зачета №1

Приложение 1


Тема 2. Рациональные алгебраические системы

(14 ч.)






Решение уравнений с двумя переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными



Решение уравнений с двумя переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными

Эвристический

Ф,Г


Карточки-задания для групп

4.1, с.186, пример 4.1.1

Однородные уравнения с двумя переменными. О симметрических многочленах от двух переменных.



Однородные уравнения с двумя переменными.


Лекция с элементами эвристической беседы

Ф,И,П

Упражнения для анализа способа решения систем уравнений

4.2 с. 203, пример 4.2.6


Решение систем. Общий метод пдстановки. Линейные подстановки.



Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.


Лекция с элементами эвристической беседы

Ф,И,


Решение систем. Однородные системы.



Решение систем. Однородные системы.

Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф,И,П

Упражнения для анализа способа решения систем уравнений


Решение систем. Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования




Практикум.

Ф,Г

Карточки-задания для групп

4.2, с. 207, пример 4.2.8, 4.3.1

Решение систем. Системы ВИЕТА



Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.


Практикум.

Ф,Г

.

Карточки-задания для групп

Общие симметрические системы




Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф,И,П

4.3 с. 216, пример 4.3.3

Решение систем. Метод разложения



Решение систем. Метод разложения

Практикум.

Ф,Г


Карточки-задания для групп

4.4 с. 221, пример 4.4.1

Решение систем. Метод оценок.



Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.


Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф,И,П


Упражнение для анализа способа решения систем уравнений

4.4 с. 228, пример 4.4.5

Решение систем. Метод итераций.



Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.


Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф,И



Сведение уравнений к системам.



Сведение уравнений к системам.

Лекция с элементами эвристической беседы.

.

Ф,П


Упражнение для анализа способа решения систем уравнений

4.4 с. 233, пример 4.4.7


Система уравнений с тремя переменными. Метод подстановки. Метод замены.



Системы с тремя переменными. Основные методы.




Практикум.

Ф,Г


Упражнение для анализа способа решения систем уравнений

Карточки-задания для групп

Использование однородности. Система Виета с тремя переменными.



Системы Виеты с тремя переменными.



Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф,И


Симметрические системы. Метод разложения.



Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).


Практикум.

Тематический зачет № 2

Ф,И

Задачи тематического зачета № 2

Приложение 1


Тема 3. Иррациональные алгебраические задачи

(12 часов)






Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.



Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.


Практикум.

Ф,Г


Карточки-задания для групп

с.299, №1-7

Неэквивалентные преобразования с проверкой.

Метод эквивалентных преобразований.



Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.


Практикум.

М

Упражнение для анализа способа решения неравенств

), с.278, пример 5.2.7

Сведение уравнений к системам.



Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.


Практикум.

Сведение уравнений к системе Разбор примеров.

Ф,И,П



Освобождение от кубических радикалов.



Освобождение от кубических радикалов.


Практикум.

Ф,Г

Карточки-задания для групп

с.286-289, пример 5.2.11

Использование монотонности.



Метод оценки. Использование монотонности.

Практикум.

Ф,И,П

Упражнение для анализа способа решения иррациональных уравнений

5.2 с. 284, пример 5.2.10

Использование однородности.



Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.


Практикум.

Ф,П


Дробно – иррациональные неравенства.



Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).


Практикум.

Ф,П

Упражнения для анализа способа решения дробно-иррациональных неравенств

5.2 с. 278, пример 5.2.7

Метод интервалов при решение иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств



Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.


Практикум.

Ф,П



5.2 с. 282, пример 5.2.8

5.2 с. 283, пример 5.2.9

Использование монотонности при решение неравенств.



Использование монотонности при решение неравенств.

Практикум.

Ф,И

Задачи тематического зачета № 3

Приложение 1

Смешанные системы с двумя переменными.



Использование монотонности при решение неравенств.

Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф,П

5.2 с. 286, пример 5.2.11

Неравенства с модулями



Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Практикум.

Ф,Г

5.3 с. 291, пример 5.3.1,

5.3.2

Комбинированные задачи с модулями



Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.



Практикум.

Ф,Г

5.3 с. 296,

Итоговая конференция



Решение рациональных алгебраических задач.

Решение иррациональных алгебраических задач.


Презентация и защита учебных проектов

Ф,И

Критерии оценки учебных проектов












Приложение 1. Тематические зачеты по курсу «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи».


Зачет № 1. Тема: «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства».

Вариант 2

  1. Решите уравнения:

;

;

  1. Решите уравнения:

;

;

  1. Решите неравенства:


б) (х-1)22+4х-12)<0.

  1. Решите неравенства:

;

б) (х+3)22-10х-+21)>0.

3.Изобразите множество решений неравенств на координатной плоскости Оху.

|y|-|x|>0

а) (х-1)(у- 1)0;


3.Изобразите множество решений неравенств на координатной плоскости Оху.

|y|-|x|<0

а) (х-1)(у- 1)0;




Зачет №2. Тема: «Рациональные алгебраические системы».

a

б)



  1. Решите систему уравнений:


б)



Зачет 3. Тема: «Иррациональные алгебраические задачи».

Вариант 2

  1. Решите уравнения:


  1. Решите уравнения:


  1. Решите неравенства


2.Решите неравенства


Приложение 2. Тематика учебных проектов.

  • «Методы решения кубических уравнений».

  • «Использование формулы Кардано для решения кубических уравнений»

  • «Методы решения уравнений четвертой степени»

  • «Метод замены переменной при решении уравнений»

  • «Метод неопределенных коэффициентов в решении уравнений»

  • «Использование метода Феррари для решения уравнений»

  • «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений»

  • «Решение дробно-рационального уравнения методом замены переменной»

  • «Методы решения дробно-рациональных неравенств»

  • «Метод оценки при решении уравнений и неравенств»

  • «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств»

  • «Неэквивалентные преобразования при решении иррациональных уравнений»

  • «Метод областей при решении систем неравенств»

  • «Методы решения смешанных систем уравнений»

  • «Метод оценок при решении систем уравнений»

  • «Методы решения систем уравнений с тремя переменными»

  • «Методы решения систем Виета»

  • «Методы решения симметрических систем уравнений с двумя переменными»

  • «Освобождении от кубических радикалов при решении уравнений»

  • «Использование монотонности функций при решении иррациональных уравнений»

  • «Использование однородности при решении иррациональных уравнений»

  • «Методы решения иррациональных неравенств»








Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 27.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров295
Номер материала ДБ-167430
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх