Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

Элективный курс "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Элективный курс «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»





Работа составлена учителем математики

МОУ «СОШ № 9» г. Сыктывкара

Строгалевой Валентиной Васильевной

Пояснительная записка

Элективный курс рассчитан на учеников 11 класса, объем 15 часов. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения новым и нестандартным методам и приемам решения тригонометрических уравнений и неравенств. В каждой теме занятий присутствуют примеры решения заданий части С1 из единого государственного экзамена.

Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал, внедрять принцип опережения. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный.

Основная цель курса систематизировать и углубить знания учащихся в решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Задачи курса:

  • Обеспечить овладение учащимися программой тригонометрии на повышенном уровне;

  • Систематизировать знания учащихся о методах решения тригонометрических уравнений и неравенств;

  • Подготовить учащихся к решению тригонометрических заданий единого государственного экзамена.

Тематическое планирование

В результате прохождения курса ученик должен

знать/понимать:

  • формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, частные случаи;

  • методы решения тригонометрических уравнений и неравенств;

уметь:

  • строить графики тригонометрических функций;

  • выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя формулы;

  • использовать общие приемы решения уравнений и частные методы в решении тригонометрических уравнений;

  • применять методы решения тригонометрических неравенств.

Содержание занятий

Раздел I.

Занятие 1. Повторение. Тригонометрическая окружность. Свойства тригонометрических функций (1 ч).

Цель: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся, связанные с применением тригонометрической окружности и свойств тригонометрических функций.

Ход работы:

1. Какое из двух чисел больше или ?

Решение. Вопрос можно переформулировать так: на числовой окружности отмечены точки 1 и 2. У какой из них ордината больше. В такой геометрической интерпретации задача имеет довольно симпатичное решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2.

hello_html_6de7ca10.png

Точка 1 удалена от точки (по окружности) примерно на 0,57 (вы помните, что ); точка 2 удалена от точки (по окружности) примерно на 0,43 . Значит точка 2 находится ближе к точке , чем точка 1, а потому ее ордината больше.

Ответ: . [11]

2. Записать числа, отложенные на окружности


hello_html_d18297f.png

Ответ:

3.Расположить в порядке возрастания следующие числа:

, , , , , .

Решение. убывает на промежутке .

(входит в промежуток);

(входит в промежуток);

(входит в промежуток);

(не входит в указанный промежуток), поэтому преобразуем:

(входит в указанный промежуток);

;

.

Поскольку функция убывает на промежутке , следовательно, чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. С учетом выше сказанного записываем ответ.

Ответ: , , , , , .

Решить задания:

4. Какое из двух чисел больше или ? (Ответ: ).

5. Записать числа, отложенные на окружности

hello_html_m2896db68.png

(Ответ: ).

6. Какое из двух чисел больше или ? (Ответ: ).

7. Расположить числа в порядке возрастания , , .

(Ответ: , , ).

8. Расположить в порядке возрастания числа , , ,.

(Ответ: ,, , ).

9. Расположить в порядке возрастания числа , , ,.

(Ответ: ,, , ).

Занятие 2. Повторение. Простейшие тригонометрические уравнения. Примитивные методы решения тригонометрических уравнений (1ч).

Цель: Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.

Ход работы:

  1. Повторение

10.Решить уравнение:

;

;

;

.

Ответ: .

11. Решить уравнение:

.

Пусть тогда уравнение примет вид:


Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения , следовательно, переходим к обратной замене.



Ответ: ;

12. Решить уравнение:

;



Ответ:

13. Решить уравнение:

.

т.к. , то ,

получаем:

;

;

;

.

Ответ: .

14. Решить уравнение:

.

Т.к то .

;

(замена)

;

или


;


;

.

Ответ: ; .

  1. Далее приведены задания для решения либо в классе, либо в качестве самостоятельной или домашней работы (по усмотрению учителя).

Для всех заданий в скобках приведены ответы.

Решить уравнения:

  1. . (Ответ: ).

  2. . (Ответ: ).

  3. . (Ответ: ).

  4. .

(Ответ: ).

  1. .

(Ответ: ).

  1. . (Ответ: ).

  2. .

(Ответ: ).

  1. .

(Ответ: ).

  1. . (Ответ: ).

  2. . (Ответ:).

  3. . (Ответ: ).

  4. .

(Ответ:).

  1. .

(Ответ:).

  1. .

(Ответ:).

Занятие 3. Решение неоднородных уравнений первой степени (1ч).

Цель – изучить понятие и методы решения неоднородных тригонометрических уравнений первой степени.

Определение: уравнение вида где

называется неоднородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Неоднородные тригонометрические уравнения второй степени сводятся к однородным тригонометрическим уравнениям второй степени. Поэтому рассматривать отдельно их не будем.

Ход работы:

  1. Метод введения вспомогательного угла

Этот метод состоит в том, что левую часть уравнения нужно преобразовать по формуле:

, где - дополнительный угол, т.е.


Пример 29. Решить уравнение:

.

.

Делим обе части уравнения на 5, получим:

.

Вспомогательный аргумент .

Исходное уравнение можно записать в виде:

;

;

где .

.

Ответ: .

  1. Метод универсальной подстановки. Этот метод позволяет свести практически любое тригонометрическое уравнение к рациональному.

При такой подстановке могут быть потеряны корни уравнения

т.е. .

Такие числа подлежат проверке подстановкой в исходное уравнение.

Пример 30. Решить уравнение:

.




или .

Проверяя, получаем, что не удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

  1. Решить уравнения:

  1. . (Ответ: ).

  2. . (Ответ: ).

  3. . (Ответ: ).

  4. .

(Ответ: ).

  1. (Ответ:

  2. (Ответ:

(Ответ:

Занятие 4. Решение уравнений методом оценки. Решение уравнений с помощью различных тригонометрических формул (3ч).

Цель – изучить метод оценки при решении тригонометрических уравнений, закрепить навыки решения уравнений с помощью различных тригонометрических формул.

Ход работы:

  1. Метод оценки в тригонометрических уравнениях

Пример 38. Решить уравнение:


т.к , левая часть данного уравнения может равняться 3 лишь при одновременном выполнении трех равенств:

.

Решением первого уравнения является:


Если подставим это решение во второе уравнение, то получим:


Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

  1. Решение уравнений с помощью тригонометрических формул

Пример 39. Решить уравнение:

.

;

;

;

;

.

Ответ:; .

  1. Решить уравнения:

40. . (Ответ: ).

41. . (Ответ: ).

42. . (Ответ: ; ).

43. .

(Ответ: ; ).

44. . (Ответ: ).

45. . (Ответ: ).

46. . (Ответ: ).

47. . (Ответ: ).

48. (Ответ: ).

Занятие 5. Отбор корней из указанного промежутка (2ч).

Цель – рассмотреть основные способы отбора корней из указанного промежутка.

Задание С1 единого государственного экзамена состоит из двух частей: непосредственно решение тригонометрического уравнения и отбор корней из промежутка. Большинство учащихся допускают ошибки именно при выборе корней, поэтому на данном занятии рассматриваются основные методы отбора корней из указанного промежутка.

Ход работы:

  1. Основные способы отбора корней:

  1. Отбор корней по тригонометрической окружности.

Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит , или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

Пример 49. Найти решения совокупности уравнений .

Решение. Из совокупности уравнений имеем:

,

Отметим, что функция и , входящие в совокупность уравнений, имеют общий наименьший период . Поэтому отбор корней удобно проводить на тригонометрической окружности, при этом используя градусную меру полученных решений или .

hello_html_m725c75da.gif

Из рисунка видно, что вторая серия решений включает в себя первую серию.

Ответ:

Пример 50. Определить количество решений системы на промежутке .

Решение. Из условия получаем: .

Полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности и в ответ запишем количество не совпавших в обеих сериях значений переменной .

hello_html_3032bb2b.gif

Ответ: 6.

  1. Отбор корней тригонометрического уравнения на числовой прямой.

Метод аналогичен выше описанному, все значения отмечаются на числовой прямой. Учителю стоит уделить отдельное внимание корням с разными периодами.

Пример 51. Определить количество решений системы

на промежутке .

Решение. Из условия имеем

hello_html_1647d4f.gif hello_html_1647d4f.gif.

Полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на координатной прямой в промежутке и в ответ запишем количество не совпавших в обеих сериях значений переменной .

hello_html_1c4094a.gif

Ответ: 4.

  1. Подстановка целого в уравнение и имеющиеся ограничения.

Этот способ состоит в подстановке целого в полученные серии решений с последующим удалением «посторонних» корней.

Пример 52. Найти корни уравнения , удовлетворяющие неравенству .

Решение. Из уравнения получаем:

.

Проверим для полученных значений выполнение условия . Для первой серии получаем:

.

Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем:

.

Ответ: .

Пример 53. Решить систему:

.

Решение. Общий наименьший положительный период функций и равен . Поэтому достаточно рассмотреть решения системы на промежутке .

Из уравнения получаем, . Подставляя поочередно значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 для переменной , находим корни , содержащиеся на промежутке . Среди полученных решений отбираем те, для которых справедливо неравенство . Остаются числа 0, и . Следовательно, исходная система имеет множество решений вида , , , .

Ответ: , , , .[19]

  1. Решить задания:

54. Найти все решения совокупности

, удовлетворяющие неравенству .

(Ответ: ).

55. Дано уравнение .

  1. решите уравнение;

  2. укажите корни, принадлежащие отрезку .

(Ответ: а) ; б).).

56. Дано уравнение .

  1. решите уравнение;

  2. укажите корни, принадлежащие отрезку .

(Ответ: а)б) .).

57. Найдите те решения уравнения , для которых .

(Ответ: ).

58. Решить систему: .

(Ответ: ).

59. Решить совокупность уравнений: .

(Ответ: ).

60. Сколько различных корней имеет уравнение:

на промежутке . (Ответ:6).

Раздел II.

Занятие 1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности (2ч).

Цель – повторить и систематизировать знания учащихся по решению тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.

Ход работы:

  1. Повторение

При решении тригонометрических неравенств вида , где одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа .

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

  1. Устно заменяем неравенство уравнением. Чертим единичную окружность и отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению.

  2. Отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, т.е. выделяем соответствующую дугу.

  3. Указываем направление отсчёта.

  4. Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.

  5. Находим угол, соответствующий концу дуги.

  6. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции. [2]

Пример 61. Решите неравенство

Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

hello_html_73a73830.gif

Для решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и соответственно, (на рис. прямые (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.

hello_html_4f069b62.gif

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Пример 62. Решить неравенство .

Решение. Преобразовав данное неравенство, получим:

;

;

.

Обозначим через , тогда .

hello_html_m6694b9e1.png

На рисунке выделена соответсвующая дуга . Так как , получаем . Перейдем к переменной :

;

.

Ответ: .

  1. Решить задания:

  1. . (Ответ: ).

  2. . (Ответ: ).

  3. .

(Ответ:).

  1. . (Ответ: ).

  2. . (Ответ: ).

  3. . (Ответ: ).

  4. . (Ответ:).

  5. . (Ответ: ).

  6. Решить неравенство .

(Ответ: ).

  1. Решить неравенство .

(Ответ: ).

  1. Решить неравенство . (Ответ: ).

Занятие 2. Графический метод решения тригонометрических неравенств (2ч).

Цель: повторить и закрепить знания учащихся в решении тригонометрических неравенств с помощью графиков функций.

Ход работы:

  1. Повторение

Так, как - периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции . Рассмотрим решение неравенства ().

Поскольку , то при неравенство решений не имеет. Если , то множество решений неравенства - множество всех действительных чисел.

Пусть . Функция синус имеет наименьший положительный период , поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке . Строим графики функций и ().

hello_html_m636e5128.gif

На отрезке функция синус возрастает, и уравнение , где , имеет один корень . На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень . На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции . Поэтому для всех из промежутка ) неравенство выполняется, если . В силу периодичности функции синус, все решения неравенства задаются неравенствами вида: .

Аналогично решаются неравенства , , и т.п.

Пример 74. Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим график функции

hello_html_6acd06bf.gif

и выберем из промежутка на оси значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции , все решения неравенства можно записать так: .

Ответ: .

Пример 75. Решить неравенство .

Решение. Для решения данного неравенства воспользуемся графиком функции .

hello_html_551a2d68.gif

Из рисунка следует, что решением неравенства будут все точки полуинтервалов А1В1, А2В2 и т.д., т.е. .

Ответ: .

  1. Решить задания:

  1. Решить неравенство . (Ответ: , где ).

  2. Решить неравенство .(Ответ: ).

  3. Решить неравенство .

(Ответ: ).

  1. Решить неравенство .

(Ответ: ).

  1. Решить неравенство .

(Ответ: ).

  1. Решить неравенство .

(Отв).

  1. Решить неравенство .

(Ответ: ).

Занятие 3. Решение тригонометрических неравенств с помощью метода интервалов (2ч).

Цель:

  • изучить алгоритм метода интервалов при решении тригонометрических неравенств;

  • научить учащихся решению тригонометрических неравенств с помощью метода интервалов.

Ход работы:

  1. Изучение метода

Алгоритм:

  1. Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части (например, в правой) стоял нуль.

  2. Привести функцию к одному аргументу.

  3. Определить нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.

  4. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.

  5. Выбрать произвольное число (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.

  6. Провести луч OX′ под углом к координатному лучу OX.

  7. На луче OX′ получить контрольную точку . Для этого подставить число в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.

Если выражение больше нуля, то это произвольная точка луча OX′, лежащая вне единичной окружности.

В противном случае, это произвольная точка луча OX′, лежащая внутри единичной окружности.

  1. Начиная с точки провести плавную линию так, чтобы та пересекала единичную окружность во всех отмеченных точках последовательности в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Если некоторые точки разных серий ответов совпадают, то будем называть их кратными. Точки, которые повторяются в четном числе серий, называются точками четной кратности, а те, что повторяются в нечетном числе серий, называются точками нечетной кратности.

  2. Выбрать нужные участки конфигурации, которая образовала проведенная линия. Для этого: если выражение, стоящее в левой части неравенства больше нуля, то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности. В противном случае, выбрать те участки фигуры, которые расположены внутри единичной окружности.

  3. Отметить стрелками в положительном направлении, те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам. Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.

  4. Записать ответ с учетом периодичности тригонометрической функции.

Пример 83. Решить неравенство .

Решение.

  1. Приведем левую часть неравенства к виду

.

  1. Рассмотрим уравнение

;

;

;

;


  1. Заполним теперь окружность соответствующими точками. Возьмем (при других значениях точки будут повторяться ).

x = k:

При .

При .

:

При .

При k = 1, х =

x = :

При .

При

  1. Выберем контрольную точку Хк.

Пусть  = , тогда

Значит, в данном случае луч ОХ совпадает с координатным лучом OY (угол между ними равен 0).

  1. Выберем на луче OY произвольную точку Хк, находящуюся внутри окружности.

  2. Соединяем точку Xк со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рисунке.

  3. Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной окружности в тех областях, которые отмечены знаком «+». При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей (на рисунке показана пунктирной линией) нарушается переход от меньших значений X к большему.

В этом случае следует к отмеченному значению прибавить 2 или от большего значения отнять 2.

Ответ:.

Волнообразная линия, идущая от точки Хк , после встречи с точкой нечётной кратности обязана перейти в иную область, то есть если она находилась вне единичной окружности, то теперь будет внутри неё, и наоборот. Но точка чётной кратности не даёт нашей линии возможности перейти в иную область, дает лишь касание к окружности.

  1. Решить задания:

  1. Решить неравенство

(Ответ: ).

  1. Решить неравенство .

(Ответ: ).

Контрольное мероприятие (1ч).

Контроль знаний осуществляется в форме тестирования. Ниже приведенный тест рассчитан на два часа, по окончании которого учитель ставит зачет/незачет учащемуся, также есть возможность оценивания учащихся в баллах. Тест содержит в себе 6 заданий с выбором ответа, кроме того, для более сильных учеников в области тригонометрии дается дополнительное задание, для которого ученик должен написать полное решение.

Контрольный тест

      1. Уравнение вида где называется…

  1. однородным первой степени;

  2. иррациональным;

  3. неоднородным первой степени;

  4. однородным второй степени.

      1. Однородное уравнение второй степени имеет вид…

  1. , где ;

  2. , где ;

  3. ;

  4. , где

      1. Решить уравнение .

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. .

      1. Решить уравнение .

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. .

      1. Решить неравенство .

  1. ;

  2. (.

      1. Решить неравенство .

  1. ;

  2. ;

  3. .

      1. Дополнительное задание с развернутым решением.

Решить неравенство с помощью метода интервалов .

Ответы к тесту: 1-в; 2-г; 3-в; 4-г; 5-б; 6-а; 7-в; 8-а; 9- .




Заключение

Данный элективный курс посвящен методам решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Важность курса состоит в том, что решение тригонометрических уравнений и неравенств используются не только в области математики, но и в стереометрии, астрономии, физике и в других областях. Задания по этой теме встречаются в текстах единого государственного экзамена. На основе этого изложены виды и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и более сложных.

Рассмотрены решение простейших тригонометрических уравнений, а также методы сведения уравнений к простейшим, в том числе метод разложения на множители, метод введения новой переменной, метод оценок, метод введения дополнительного угла.

Также подробно изложены методы решения тригонометрических неравенств, как с помощью единичной окружности, так и по графикам тригонометрических функций, и методом интервалов.

Результаты данного элективного курса могут быть использованы не только как самостоятельный элективный курс, но и в качестве дополнительного учебного материала на уроках математики или при составлении факультативов для школьников. Также работа может применяться для самостоятельной подготовки учащихся к единому государственному экзамену.

Литература

  1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учебник для 10 – 11 кл. Общеобразовательных учреждений. – М. Просвещение, 2001. – 384 с.

  2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. [Текст] Учебник для 10-11 классов средней школы. 2-е изд. – М.: 1992. - 351 с.

  3. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. [Текст] – М.: Просвещение, 1989. – 239 с.

  4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для10 класса [Текст]: Учебное пособие для учащихся школы и класса с углублённым изучением математики. – М.: Мнемозина, 1992. – 335 с.

  5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. [Текст] М.: Наука, 1967. – 416 с.

  6. Дворянинов С. Задачи В3, В7 – тригонометрия [Текст]/ С.Дворянинов // Математика. – 2011. – № 8. – С.24-25.

  7. Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности. [Текст] //Математика в школе. –1992. – № 6. –С. 17-18.

  8. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учебник для 10 – 11 кл. Общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

  9. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. [Текст] 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ABF, 1995. – 352 с.

  10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: [Текст] Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003. – 375 с.

  11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 кл. Часть1. [Текст] Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007. – 425 с.

  12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. [Текст] Задачник. М.: Мнемозина, 2001. – 315 с.

  13. Пратусевич М.Я. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Профильный уровень. [Текст] – М.: Просвещение, 2009. – 415 с.

  14. Хабибуллин К. Я. Систематизируем методы решения тригонометрических уравнений. [Текст]// Образование в современной школе. – 2009. – № 9. – С. 30-38.

  15. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. [Текст] – М.: Наука, 1983. – 416 с.

  16. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. [Текст] – М.: Просвещение, 1989. – 355 с.

  17. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания части С1). [Электронный ресурс] Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2012/C12012.pdf.- (08.05.2013).


Автор
Дата добавления 25.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров89
Номер материала ДБ-165472
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх