Элективный курс "Решение уравнений высших степеней" 9 класс

     Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

г. Мичуринска Тамбовской области

Рабочая программа                                                 элективного курса по математике                                                                                                                                                          «Решение уравнений высших степеней»                                                                                                       9класс       

                                           Составлена учителем  математики

                                          Власовой Ириной Анатольевной

             ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую систематическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Программа курса «Решение уравнений высших степеней» позволяет сделать достаточно полный обзор изученных типов уравнений и предполагает рассмотрение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но необходимы при дальнейшем ее изучении.

Рассмотрение различных видов уравнений и способов их решения будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

               ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА.

-   привить интерес к изучению математики;

-   расширить кругозор учащихся;

-   показать возможность использования школьных знаний для решения более
сложных математических задач;

-   подготовить учащихся к обучению в классах физико-математического
профиля.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

-   приобщить учащихся к работе с математической литературой;

-   выделять логические приемы решения уравнений и способствовать их
осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

Курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 17 часов аудиторного времени.

Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы обучения в классах физико-математического профиля, так и повысить уровень его общей математической подготовки.

КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ.

I полугодие

Всего часов:  17.    Практические занятия:  8.     Лекции:  5.

Контроль:  4.

№ п/п	Тема занятия	Кол – во часов	Вид занятия	Дата проведения
				По плану	Фактически
1	Способы  разложения многочленов на множители.	1	Лекция
2	Решение уравнений способом разложения левой части на множители.	1	Лекция
3	Решение уравнений способом разложения левой части на множители.	1	Практическое занятие
4	Решение уравнений способом разложения левой части на множители.	1	Практическое занятие
5	Самостоятельная  работа №1.	1	Контроль
6	Решение уравнений методом замены переменной.	1	Лекция
7	Решение уравнений методом замены переменной.	1	Практическое занятие
8	Решение уравнений методом замены переменной.	1	Практическое занятие
9	Самостоятельная  работа №2.	1	Контроль
10	Решение уравнений с модулем.	1	Лекция
11	Решение уравнений с модулем.	1	Практическое занятие
12	Решение уравнений с модулем.	1	Практическое занятие
13	Самостоятельная работа №3.	1	Контроль
14	Графическое  решение уравнений.	1	Лекция
15	Графическое  решение уравнений.	1	Практическое занятие
16	Графическое  решение уравнений.	1	Практическое занятие
17	Самостоятельная  работа №4.	1	Контроль

  Программа включает в себя два раздела «Содержание» и «Ожидаемые результаты». Раздел «Содержание обучения» состоит не только из школьного курса математики 9 – го класса общеобразовательной школы, но и ряда дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу. Они углубляют его как по основным линиям, так и включают в себя ряд новых, ранее не рассматривавшихся в школьном курсе типов и методов решения задач, являющихся важными содержательными компонентами современной системы непрерывного математического образования. В этом разделе рассматриваются не только вопросы организации учебно – методического процесса, но и требования к математической подготовке учащихся, задаётся примерный объём знаний, навыков и умений, которых должны достичь школьники. Указанный объём отчасти выходит за рамки типовой программы по математике для 9 – го класса. Это объясняется необходимостью приобретения учащимися умения решать задачи более высокого уровня, по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач, применять наиболее рациональные методы решения, правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

СОДЕРЖАНИЕ.

    Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» имеет следующие содержательные компоненты.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- применение формул сокращённого умножения;

- выделение полного квадрата;

- группировка;

- метод неопределённых коэффициентов;

- подбор корня многочлена по старшему и свободному коэффициентам;

- метод введения параметра;

- метод введения новой переменной;

- симметрические уравнения 3 – й степени.

Решение уравнений методом замены переменных:

- симметрические уравнения 4 – й степени;

- возвратные уравнения 4 – й степени;

- уравнения 4 – й степени вида вида   (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,  где  числа  a,  b,  c,  d  связаны  равенством   a + b = c + d = k.

Решение уравнений с модулем:

- определение модуля.

Графическое решение уравнений:

- построение  графика  функции  у = | ƒ(х) |;

- построение  графика  функции  у = ƒ(|х|);

- построение  графика  функции  у = |ƒ(|х|)|.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении уравнений;

- отличать уравнения  высших степеней  различных типов и знать способы их решения;

- строить графики различных функций.

ЛИТЕРАТУРА.

  1.  М.Л. Галицкий,   А.М. Гольдман,    Л.М. Звавич    «Сборник  задач  по  алгебре  для  8-9  классов».   Учебное  пособие  для  учащихся  школ  и  классов  с  углубленным  изучением  математики.  Москва  «Просвещение»  1999г.

  2.  В.В. Бардушкин,  И.Б. Кожухов,  А.А. Прокофьев,  А.М. Ревякин, 

А.М. Терещенко  «Письменный  вступительный  экзамен  по  математике».  Москва  «Лист»   1998 г.

  3.  Н.В. Бурмистрова,  Н.Г. Старостенкова  «Функции  и  их  графики».  Учебное  пособие.  Саратов  «Лицей»  2003 г.

Вступление. Решение линейных и квадратных уравнений.

   Общие  методы  решения  уравнений  всех  типов  (рациональных,  иррациональных,  тригонометрических,  показательных  и  логарифмических):

      1.  Использование  ОДЗ.

  Иногда  ОДЗ  уравнения  состоит  из  нескольких  точек,  и  остается  только  проверить,  какие  из  них  удовлетворяют  уравнению.  В  случае,  если  ОДЗ— пустое  множество,  уравнение  не  имеет  корней.  

      2.  Вынесение  общего  множителя  (разложение  на  множители).

      3.  Замена  переменной.

  В  тех  случаях,  когда  исходное  уравнение  может  быть  приведено  к  виду ƒ(g(x)) = 0,  заменой  t = g(x)  уравнение  сводится  к  решению  уравнения  ƒ(t) = 0.  Далее  для  каждого  полученного  корня  t_k  решается  уравнение  g(x) = t_k.

      4.  Использование  ограниченности  функций.

  Иногда  уравнение  ƒ(х) = g(x)  устроено  так,  что на  всей  ОДЗ  ƒ(х) ≥ A,  а  g(x) ≤ A  при  некотором  А.  Решение  уравнения  сводится  тогда  к  нахождению  тех  значений  х,  при  которых  одновременно  ƒ(х) =А  и         g(x) = A.

      5.  Использование  монотонности  функций.

  Если  на  некотором  промежутке  (a;b)  функции,  входящие  в  уравнение  ƒ(x) = g(x),  таковы,  что  ƒ(x)  непрерывна  и  строго  возрастает,  а  g(x)  непрерывно  и  строго  убывает,  то  равенство  ƒ(x) = g(x)  возможно  только  в  одной  точке.  Иногда  это  значение  можно  угадать.

       6.  Графический  метод.

  Иногда  полезно  рассмотреть  эскизы  графиков  функций  ƒ(x)  и  g(x),  входящих  в  уравнение  ƒ(x) = g(x).  Это  может  помочь  выяснить:

1)  на  какие  множества  надо  разбить  числовую  ось,  чтобы  на  каждом  из  этих  множеств  использовать  свой  способ  решения;

2)  наличие  или  отсутствие  корней,  их  количество.

       В ходе занятия целесообразно повторить способы решения линейных и квадратных уравнений на примерах из учебников 7 – 8 классов.

       Способы  разложения  многочлена  на  множители

( 1 час)

Занятие №1

Ход занятия

    1.  Вынесение  общего  множителя.

x³ – 3x² + 4x = x(x² – 3x + 4).

2.     Применение  формул  сокращенного  умножения.

aⁿ  – bⁿ =(a – b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + … + a²b^n-3 + ab^n-2 + b^n-1),  n є N.

a⁵ – b⁵ = (a – b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴). 

(x² + 2x)² – (x + 1)² = (x² + 2x + x  + 1)(х² + 2х – х – 1) = (х² + 3х + 1)(х² + х – 1)

      3.  Выделение  полного  квадрата.

х⁴ + 6х² – 10 = (х²)² + 2 × 3 × х² + 3² – 3²  - 10 = (х² + 3)² – ()² =                                    =(х² + 3 − )(х² + 3 + ).

     4.   Группировка.

х⁴ – 5х² + х³ – 5х = (х⁴ + х³) – (5х² + 5х) = х³ (х + 1) – 5х(х + 1) =                                  = (х + 1)(х³ – 5х) = х(х + 1)(х² – 5).

     5.  Метод   неопределенных  коэффициентов.

Суть  этого  метода  состоит  в  том,  что  заранее  предполагается  вид  множителей  -  многочленов,  на  которые  разлагается  данный  многочлен.  Этот  метод  опирается  на  следующие  утверждения: 

   1)  два  многочлена  тождественно  равны  тогда  и  только  тогда,  когда  равны  их  коэффициенты  при  одинаковых  степенях  х;

   2)  любой  многочлен  третьей  степени  разлагается  в  произведение  линейного  и  квадратного  множителей;

   3)  любой  многочлен  четвертой  степени  разлагается  в  произведение  двух  множителей  второй  степени.     

x³ − 5x² + 7x – 3  = (x – a)(b₁x² + b₂x + b₃).

(x – a)(b₁x² + b₂x + b₃) = x³b₁ + x²b₂ + xb₃ – ab₁x² − ab₂x – ab₃ =                            = b₁x³ + (b₂ – ab₁)x²   + (b₃ – ab₂)x + ab₃ .

Приравниваем  коэффициенты.

  b₁ = 1,                                    b₂ – a = - 5,

  b₂ – ab₁ = -5,                          b₃ – ab₂ =7,

  b₃ – ab₂ = 7,                           ab₃ = 3.

  ab₃ = 3.

b₃  = ³/_a  ,  b₂ = a – 5.

³/_a  − a(a – 5) = 7,

³/_a − a² + 5a – 7 = 0,

3 − a³ + 5a² − 7a = 0,  a≠ 0,

a³ − 5a² + 7a – 3 = 0.

Подбором  находим  корень    а = 3.  Отсюда,  b₃ = 1,  b₂ = - 2,  b₁ = 1.  Значит,  х³ − 5х² + 7х – 3 = (х – 3)(х² − 2х + 1).

       6.  Подбор  корня  многочлена  по  его  старшему и  свободному  коэффициентам.

        Иногда  при  разложении  многочлена  на  множители   полезны  следующие  утверждения:

         1)  если  многочлен   a_n + a_n-1 x + … + a₀xⁿ,  a₀ ≠ 0  с  целыми  коэффициентами  имеет  рациональный  корень  х₀ = ^p/_q ,  где  ^p/_q − несократимая  дробь,  p є Z,  q є N,  то  p −  делитель  свободного  члена  a_n ,   a  q  −  делитель  старшего  коэффициента  а₀;

         2)  если  каким – либо  образом  подобран  корень  x = α  многочлена  P_n(x)  степени  n,  то  многочлен   P_n(x)  можно  представить  в  виде  P_n(x) =   = (x – α)P_n-1(x),  где  P_n-1(x) −  многочлен  степени  n-1.

          Многочлен  P_n-1(x)  можно  найти  либо  делением  многочлена  P_n(x)  на  двучлен  (x – α)  столбиком,  либо  соответствующей  группировкой  слагаемых  многочлена  и  выделением  из  них  множителя  (x – α),  либо  методом  неопределенных  коэффициентов.

          x⁴ – 5x³ + 7x² – 5x + 6  (±1, ± 2, ±3, ±6).

           P₄(2) = 0.   

x⁴ – 5x³ + 7x² – 5x + 6  | x – 2  

x⁴ – 2x³                                         x³ – 3x² + x – 3

      -3x³ + 7x² – 5x + 6

      - 3x³ + 6x²

                  x² – 5x + 6

                  x² – 2x

                        -3x + 6

                        -3x + 6

                                  0 

x⁴ – 5x³ + 7x² – 5x + 6 = (x – 2)(x³ – 3x² + x – 3) = (x – 2)(x² (x – 3) + (x -3)) =

= (x – 2)(x – 3)(x² + 1).

       7.  Метод  введения  параметра.

x³ − (+ 1)x² + 3.

Пусть   = а ,  3 = а²,  тогда 

x³ – (a + 1)x² + a² = x³ – ax² – x² + a² = a² – ax² + (x³ – x²).

Корни  квадратного  трехчлена  относительно  а

a₁ = x,  a₂ = x² – x.

a² − ax² + (x³ − x²) = (a – x)(a − x² + x).

x³ − ( + 1)x² + 3 = (x – )(x² − x − ).

           8.  Метод  введения  новой  неизвестной.

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = [x(x + 3)] [(x + 1)(x + 2)] – 15 =

=(x² + 3x)(x² + 3x + 2) – 15 .

Пусть  x² + 3x = y,  тогда  y(y + 2) – 15 =y² + 2y + 1 – 16 = (y + 1)² - 16 =

= (y + 1 + 4)(y + 1 – 4) = (y + 5)(y – 3).

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x² + 3x + 5)(x² + 3x – 3).

           Основные  методы  решения  уравнений  высших  степеней  −  разложение  на  множители  и  замена  переменной.  В  отдельных  случаях  при  решении  уравнений  целесообразно  использовать  свойства  монотонности  и  ограниченности  функций.

Решение уравнений способом разложения левой части на множители

(4 часа)

Занятие №1

Ход занятия

             1)  x³ + x² − 4x − 4 = 0,

                  (x³ + x²) – 4(x + 1) = 0,

                  x²(x + 1) – 4(x + 1) = 0,

                  (x + 1)(x² – 4) = 0,

                  (x + 1)(x – 2)(x + 2) = 0,

x + 1 = 0     или   х – 2 = 0   или  х + 2 = 0

х = - 1                   х = 2                 х = - 2

Ответ:  -1; -2; 2.

              2)  27х³ – 15х² + 5х – 1 = 0,

                   (27х³ – 1) – 5х(3х – 1) = 0,

                   (3х – 1)(9х² + 3х + 1) – 5х(3х – 1) = 0,

                    (3х – 1)(9х² – 2х +1) = 0,  

3х – 1 = 0   или   9х² – 2х + 1 = 0

х = ¹/₃                   Корней  нет,  так  как  D < 0.

Ответ:  ¹/₃ .

              3)  х³ + 4х² – 5 = 0,

                   х³ + 4х² – 4 – 1 = 0,

                   (х³ – 1) + (4х² – 4) = 0,

                   (х – 1)(х² + х + 1) + 4(х – 1)(х + 1) = 0,

                   (х – 1)(х² + 5х + 5) = 0,

х – 1 = 0   или   х² + 5х + 5 = 0

х = 1                   D = 5

                           х =  .       Ответ:  1;   .

                    4)   (х² + 4х)(х² + х – 6) = (х³ – 9х)(х² + 2х – 8),

                   х(х + 4)(х + 3)(х – 2) = х(х – 3)(х + 3)(х + 4)(х – 2),

                   х(х + 4)(х + 3)(х – 2) – х(х – 3) (х + 3)(х + 4)(х – 2) = 0,

                   х( х + 4)(х + 3)(х – 2)(4 – х) = 0,

х = 0   или   х = - 4   или   х = - 3   или  х = 2   или   х = 4

Ответ:  0;  - 4;  4;  -3;  2.

             5)   х⁴ – х³ – 13х² + х + 12 = 0,

                   (х⁴ – 13х² + 12) – х(х² – 1) = 0,

х⁴  − 13х² + 12 = 0 .

Пусть  х² = t,  тогда  t² – 13t + 12 = 0,

                                    t₁ = 12,  t₂ = 1.

                    (x² – 12)(x² – 1) – x(x² – 1) = 0,

                    (x² – 1)(x² – x – 12)  = 0,

                    (x – 1)(x + 1)(x² – x – 12) = 0,

                    (x – 1)(x + 1)(x + 3)(x – 4) = 0,

x – 1 = 0   или  х + 1 = 0   или   х + 3 = 0   или   х – 4 = 0

х = 1                  х = - 1               х = - 3                 х = 4

Ответ:  - 3;  -1;  1;  4.    

             6)  х⁴ – х³ – 13х² + х + 12 = 0,

                  х⁴ – х³ – 12х² – х² + х + 12 = 0,

                  х³(х – 1) – 12(х – 1)(х + 1) – х(х – 1) = 0,

                  (х – 1)(х³ – 13х – 12) = 0,

х− 1 = 0   или  х³ – 13х – 12 = 0.

х = 1                 Подбором  находим,  что  х = -1,  тогда 

                          х³ – 13х – 12              х + 1

                          х³ + х²                       х² – х – 12

                                −х² – 13х – 12

                                − х² – х

                                        −12х – 12 

                                       −12х – 12

                                               0

х³ – 13х – 12 = (х + 1)(х² – х – 12) = (х + 1)(х + 4)(х – 3).

                  (х + 1)(х + 4)(х – 3) = 0,

х + 1 = 0   или   х + 4 = 0   или   х – 3 = 0

х = - 1                 х = -4                 х = 3

Ответ:  -4;  -1;  1;  3.

Симметрические  уравнения  третьей  степени.

Уравнение  вида   ax³ + bx² + bx + a = 0,   a ≠ 0,   называется  симметрическими  уравнениями  3-ей  степени.

               7)  3х³ + 4х² + 4х + 3 = 0,

                      3(х³ + 1) + 4х(х + 1) = 0,

                       (х + 1)(3х² + х + 3) = 0,

х + 1 = 0    или   3х² + 3 + х = 0.

х = - 1                  Корней  нет,  так  как  D < 0.

 Ответ:  - 1.

Занятия №2 - №4

Решите  уравнение  (способом  разложения  левой  части  на  множители).

1)       x³ + x² – 4x – 4 = 0;

2)       3x³ + 5x² + 5x + 3 = 0;

3)       x³ – x² – 81x + 81 = 0;

4)       x³ + 3x² – 16x – 48 = 0;

5)       x⁴ + 2x³ – x – 2 = 0;     

6)       x⁴ – 3x³ + x – 3 = 0;

7)       2x⁴ + 3x³ + 16x + 24 = 0;

8)       24x⁴ + 16x³ – 3x – 2 = 0;

9)       x³ + 3x² – 6x – 8 = 0;

10)    x³ + 5x² + 15x + 27 = 0;

11)     8x³ – 6x² + 3x – 1 = 0;

12)     27x³ – 15x² + 5x – 1 = 0;

13)     3x³ – 7x² – 7x + 3 = 0;

14)     x³ – 7x² – 21x + 27 = 0;

15)     x³ + 1991x + 1992 = 0;

16)     (x + 1)² (x + 2) + (x – 1)²(x – 2) = 12;

17)     x³ + 4x² – 5 = 0;

18)     x³ – 3x² + 2 = 0;

19)     x³ – 3x² – 6x + 8 = 0;

20)     28x³ + 3x² + 3x + 1 = 0;

21)     126x³ – 3x² + 3x – 1 = 0;

22)     (x² + 4x)(x² + x – 6) = (x³ – 9x)(x² + 2x – 8);

23)     (x² + 5x)(x² – 3x – 28) = (x³ – 16x)(x² – 2x – 35);

24)     x⁴ – x³ – 13x² + x + 12 = 0;

25)     x⁴ – x³ – 7x² + x + 6 = 0.

        Решение уравнений методом замены переменной

(5 часов)

Занятие №1

Ход занятия

1.   Симметрические  уравнения  четвертой  степени.

 Уравнения  вида   ax⁴ + bx³ + cx² ± bx + a = 0,   a ≠ 0,   называются  симметрическими  уравнениями  четвертой  степени.  Метод  решения  их  следующий:

                ax⁴ + bx³ + cx² ± bx + a = 0 <=>  ax² + ^a/_x² + bx ± ^b/_x + c = 0,   поскольку  х = 0  не  является  корнем  исходного  уравнения.  Второе  уравнение  можно  переписать  в  виде:

               a[(x ± ¹/_x)²   2] + b(x ± ¹/_x) + c = 0.

       Последнее   уравнение заменой  t = x ± ¹/_x   сводится  к  квадратному   уравнению 

                at² + bt + c   2a = 0.

6x⁴ – 13x³  + 12x² – 13x + 6 = 0.

Так  как х =0  не  является  корнем  данного  уравнения,  то  разделим  обе  его  части  на  х².         

                    6х² – 13х + 12 −  +   = 0,

                   (6х² + ) – 13(х + ) + 12 = 0,

                    6((х +  )² – 2) – 13(х + ) + 12 = 0.

Пусть  х +  = t,  тогда 

                     6t² − 12 – 13t + 12 = 0,

                     6t² − 13t = 0,

                      t(6t – 13) = 0,

                 t = 0   или  t =  .

Значит,   х +  = 0   или   х + = ,

                 = 0           х +    = ,         

                                           6х² - 13х + 6 = 0,

                                           D = 25,

                                            x = ,

                                           x₁ = 1,5 ,   x₂ = .

Ответ:  1,5;  .       

2.   Возвратные  уравнения  четвертой  степени.

  Уравнения  вида   ax⁴ +  bx³ + cx² + dx + e = 0,   где   =     и  a, b, с ≠ 0,   называются  возвратными.   Заменой  t =bx +   они  сводятся  к  квадратному  уравнению  t² + t + с – 2a= 0.

                      x⁴ + 2x³ – 11x² + 4x + 4 = 0,   a = 1,   b = 2,  c = - 11,  d = 4,  e = 4.

Так  как  х = 0  не  является  корнем  данного  уравнения,  то  разделим  обе  его  части  на  х².

                       x² + 2x – 11 +  +  = 0,

                       (x² + ) + (2x + ) – 11 = 0,

                       (x + )² − 4 + 2(x + ) – 11 = 0.

Пусть  t = x + ,  тогда 

                       t² + 2t – 15 = 0, 

                       D = 64, 

                       t = ,

                       t₁ = - 5,   t₂ = 3.

Значит,  x +  = − 5               или   x +  = 3

               x² + 5x + 2 = 0,                   x² – 3x + 2 = 0,

               D = 17,                                D = 1,

               x =  .                   x₁ = 1,   x₂ = 2.

Ответ:  ;  1;  2.

3.   Уравнения  четвертой  степени  вида   (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,  где  числа  a,  b,  c,  d  связаны  равенством   a + b = c + d = k.

Это  уравнение  группировкой  сомножителей                                                                              [(x + a)(x + b)][(x + c)(x + d)] = m,

перемножением  скобок  попарно  и  введением  переменной  y = x² + kx   сводится  к  решению  квадратного  уравнения  относительно  y:                                                            (y + ab)(y + cd) = m.

                          (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19,

                          [(x + 1)(x + 4)][(x – 2)(x +7)] = 19,

                           (x² + 5x + 4)(x² + 5x – 14) = 19.

Пусть  t = x² + 5x + 4,  тогда 

                           t(t – 18) = 19,

                           t² – 18t – 19 = 0,

                           D = 400,

                           t = ,

                           t₁ = - 1,    t_{2 =} 19.

Значит,  х² + 5х + 4 = − 1               или               х² + 5х + 4 = 19

               х² + 5х + 5 = 0,                                      x² + 5x – 15 = 0,

               D = 5,                                                     D = 85,

               x = .                                         x = .

Ответ:    х = ,     х = .

Занятие №2

Ход занятия

                      1)    6х² + 3х + 1 +  = 0,

                              3(2х² + х) + 1 +  = 0.

   Пусть  t = 2x² + x,  t ≠ 0,  тогда

                             3t + 1 +  = 0,

                             3t² + 2t – 5 = 0,

                             D = 64,

                             t = ,

                              t₁ = - ,   t₂ = 1.

Значит,  2x² + x = -             или                          2х² + х = 1

               6х² + 3х + 5 = 0                                         2x² + x – 1 = 0,

               Корней  нет,  так  как  D < 0.                   D = 9,

                                                                                    x = ,

                                                                                    x₁ = - 1,   x₂ = 0,5.

Ответ:  −1;  0,5.

                       2)   2х⁵ – 3х⁴ + 5х³ – 5х² + 3х – 2 = 0.

Подбором  находим,  что  х = 1  является  корнем  данного  уравнения.

          2х⁵ – 3х⁴ + 5х³ – 5х² + 3х – 2                         х – 1

          2х⁵ – 2х⁴                                                          2х⁴ – х³ + 4х² – х + 2

                − х⁴ + 5х³ – 5х² + 3х – 2

                − х⁴ + х³

                          4х³ – 5х² + 3х – 2

                          4х³ – 4х²

                                   −х² + 3х – 2

                                   − х² + х

                                             2х – 2

                                             2х – 2

                                                 0    

                            2х⁴ – х³ + 4х² – х + 2 = 0.

х = 0  не  является  корнем  данного  уравнения.  Разделим  обе  части  уравнения  на  х².  

                        2х² – х + 4 −  +  = 0,

                              2(х² + ) – (х + ) + 4 = 0.

Пусть  t = x + ,  тогда  х²  +  = t² – 2 .

                                2(t² – 2) – t + 4 = 0,

                                2t² – t = 0,

                                 t(2t – 1) = 0,

                                 t₁ = 0,   t₂ = .

Значит,  х +  = 0                                                   или        х + =

               Корней  нет,  так  как  х² + 1 ≠ 0,  х ≠ 0.                = 0,

                                                                                                 2х² – х + 2 = 0.

                                                                                          Корней  нет,  т. к.  D < 0.

Ответ:  1.

                      3)    (2х² – 3х + 1)(2х² + 5х + 1) = 9х².

х = 0  не  является  корнем  данного  уравнения.  Разделим  обе  части  уравнения  на  х².

                             (2х – 3 + )(2х + 5 + ) = 9.

Пусть  t = 2x + ,  тогда 

                            (t – 3)(t + 5) = 9,

                             t² + 2t – 24 = 0,

                             D = 100,

                             t =  ,

                             t₁ = − 6,   t₂ = 4.

Значит,  2х + = − 6          или               2х + = 4

               2х² + 6х + 1 = 0,                         2х² − 4х + 1 = 0,

               D = 28,                                         D = 8,

                x =  .                            x = .

Ответ:      ;     .

                       4)     −  = 1,

                                −  = 1.

Пусть  t = x² + 5x – 6 ,  t ≠ 0,  тогда 

                                −  = 1,

                                16(t + 12) – 20t – t(t + 12) = 0,

                                 t² + 16t – 192 = 0,

                                 D = 1024,

                                 t =  ,

                                 t₁ = − 24,     t₂ = 8.

Значит,  х² + 5х – 6 = − 24                          или         х² + 5х – 6 = 8

               х² + 5х  + 18 = 0.                                          х² + 5х – 14 = 0,

          Корней  нет,  так  как  D < 0.                           D = 81                

                                                                                      х₁= -7, х₂ = 2.

Ответ: - 7, 2.

                      5)    =  + 5.

х = 0  не  является  корнем  данного  уравнения.  Разделим  числитель  и  знаменатель  каждой  дроби  на  х.

                               =   + 5.

Пусть  t = x + ,  тогда 

                              −  − 5 = 0,

                               = 0,

                              − 10t² + 5t + 75 = 0,

                              2t² – t – 15 = 0,

                              D = 121,

                               t = ,

                               t₁ = − ,    t₂ = 3.

Значит,  х +  = 3                    или             х +  = −

               х² – 3х + 2 = 0,                               2х² + 5х + 4 = 0.

               D = 1,                                            Корней  нет,  так  как  D < 0.

               x =  , 

               x₁ = 1,    x₂ = 2.

Ответ:   1;  2.

                     6) х⁴ – 5х³ + 10х² – 10х + 4 = 0

 х = 0  не является  корнем  данного  уравнения.  Разделим  обе  части  уравнения  на  х².

                         х² – 5х + 10 −  + = 0,

                          (х² + )− 5(х + ) + 10 = 0 .

Пусть  t = x + ,  тогда  t² = x² + 4 + ,  x² + = t² – 4 .

                         t²  − 4 – 5t + 10 = 0,

                         t² − 5t + 6 = 0,

                         D = 1,

                          t = ,

                          t₁ = 2,   t₂ = 3.

Значит,  х + = 2                                        или        х + =3,

               х²− 2х + 2 = 0.                                              х² – 3х + 2 = 0,

               Корней  нет,  так  как  D < 0.                                  D = 1,

                                                                                      x = ,

                                                                                       x₁ = 1,   x₂ = 2.

Ответ:  1;  2.

Занятия №3 - №5

Решите  уравнение  способом  подстановки.

1)     (х² – 2х)² – 3х² + 6х – 4 = 0;

2)     (х² – 3х)² – 14х² + 42х + 40 = 0;

3)     (2х² + 3х – 1)² – 10х² – 15х + 9 = 0;

4)     (х² − 5х + 7)² – (х – 3)(х – 2) – 1 = 0;

5)     (х – 2)(х – 3)² (х – 4) = 20;

6)     (х² – 3х)(х – 1)(х – 2) = 24;

7)      (х² – 5х)(х + 3)(х – 8) + 108 = 0;

8)      (х + 4)² (х + 10)(х – 2) + 243 = 0;

9)      х (х + 4)(х + 5)(х + 9) + 96 = 0;

10) х(х + 3)(х + 5)(х + 8) + 56 = 0;

11) (х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1) = 24;

12) (х – 3)(х – 4)(х – 5)(х – 6) = 1680;

13)  х⁴ – 7х³ + 14х² – 7х +1 = 0;

14) 2х⁴ + х³ – 11х² + х +2 = 0;

15)  6х⁴ + 7х³ – 36х² – 7х + 6 = 0;

16)  78х⁴ – 133х³ + 78х² – 133х + 78 = 0;

17)  х⁴ – 5х³ + 10х² – 10х + 4 = 0;

18)  х⁴ – х³ – 10х² + 2х + 4 = 0;

19)  (х + 5)⁴ – 13х²(х + 5)² + 36х⁴ = 0;

20)  2(х – 1)⁴ – 5(х² – 3х + 2)² + 2(х – 2)⁴ = 0;

21)2(х² + х + 1)² – 7(х – 1)² = 13(х³ – 1);                 

22)  3(х + 2)² + 2(х² – 2х + 4)² = 5(х³ + 8);

23)  (2х² – 3х + 1)(2х² + 5х + 1) = 9х²;

24)  (х + 2)(х + 3)(х + 8)(х + 12) = 4х²;

25)  6(х² + ) + 5(х + ) – 38 = 0;

26)  (х² + ) + 7(х − ) + 10 = 0;

27)  (х² + ) – (х + ) – 8 = 0;

28)  (х² +) – (х +) – 12 = 0;

29)  − х²  = 3 – 4х;

30)     −  = 1;

31)   + = 1;

32)   = 12х² + 7х – 6;

33)   2х + 1 +  = 5х²;

34)   =  + 5;

35)   + = −1,5;

36)   =;

37)    + + = 0;

38)    х² + = 3;

39)   х² + = 7.

Решение уравнений с модулем

(2 часа)

Занятие №1

Ход занятия

       1)   х² | х − 3| = 6х – 8 .

а)  Если  х – 3 ≥ 0,  то

             х² (х – 3) = 6х – 8 ,

             х³ – 3х² – 6х + 8 = 0,

             (х³ + 8) – 3х(х + 2) = 0,

             (х + 2)(х² – 2х + 4) – 3х(х + 2) = 0,

             (х + 2)(х² – 5х + 4) = 0,

             (х + 2)(х – 1)(х – 4) = 0,

              х₁ = −2,  х₂ = 1,  х₃ = 4.

     Так  как   х ≥ 3,  то  корнем  данного  уравнения  является  число  4.

б)  Если  х – 3 < 0,  то 

              х²(−х + 3) = 6х – 8,

              −х³ + 3х² – 6х + 8 = 0,

              −(х³ – 8) + 3х(х – 2) = 0,

              −(х – 2)(х² + 2х + 4) + 3х(х – 2) = 0,

              (х – 2)(−х² + х – 4) = 0,

              (х – 2)(х² – х + 4) = 0,

    х – 2 = 0         или    х² – х + 4 = 0

     х = 2                         корней  нет,  так  как  D < 0.

     Если  х < 3, то  число 2  является  корнем  данного  уравнения.

  Ответ:  2;  4.

        2)    х⁴ + 4х³ = 30 – 7 | х² + 2х | − 4х².

   Пусть  y = | х² + 2х |,  y > 0,  тогда  у² = х⁴ + 4х³ + 4х² .

                х⁴ + 4х³ – 30 + 7 | х² + 2х | + 4х² = 0,

                (х⁴ + 4х³ + 4х² ) + 7 | х² + 2х| − 30 = 0,

                 у² + 7у – 30 = 0,

                 у₁ = − 10,  у₂ = 3.

   Значит,  | х² + 2х | = 3,  то  есть 

    х² + 2х = 3                        или             х² + 2х = -3

    х² + 2х – 3 = 0,                                    х² + 2х + 3 = 0.

 х₁ = - 3 ,    х₂ = 1.                                Корней  нет,  так  как  D < 0.

Ответ:  - 3;  1.

            Решите  уравнение   (способом  разложения  левой  части  на  множители  или  методом  замены  переменной).

      1)   х | х² – 6 | = 3х² – 8 ;

      2)   х³ + 8 = 3х | х + 2|.

Занятие №2

Ход занятия

Решите уравнение (способом разложения левой части на множители или методом замены переменной)

      1)   4х² – 2 | 2х – 1 | = 34 + 4х;

      2)   9х² + 2 | 3х + 2 | = 20 – 12х;

      3)   х⁴ + х² + 4 | х² – х | = 2х³ + 12;

      4)   = х² – 4 |х|.

Графическое  решение  уравнений

(2 часа)

Занятие №1

Ход занятия

  1.   Построение  графика  функции  у = | ƒ(х) |.

  Для  построения  графика функции  у = | ƒ(х) |  следует  построить  график  функции  у = ƒ(х)  и  ту  часть графика,  которая  расположена  в  нижней  полуплоскости,  отобразить  относительно  оси  абсцисс.

  Построить график функции у =.

  2.   Построение  графика  функции  у = ƒ(|х|).

  Для  построения  графика  функции  у = ƒ(|х|)  следует  построить  график  функции  у = ƒ(х)  при  х ≥ 0  и  отобразить  его  относительно  оси  ординат.

   Построить график функции у = х.

  3.   Построение  графика  функции  у = |ƒ(|х|)|.

  Для  построения  графика  функции  у = |ƒ(|х|)|  следует  построить  график  функции  у = ƒ(х)  и  ту  часть  графика,  которая  расположена  в  нижней  полуплоскости,  отобразить  симметрично  относительно  оси  абсцисс,  а  затем  отобразить  симметрично  относительно  оси  ординат.

   Построить график функции у =.

Решите графически уравнение.

1)   3 – х² =.

2)   (х – 1)³ = |х²  – 4х + 3| .

      3)   2 – 2х – х² = ;

      4)   =  + 1;

      5)   1 + = ;

      6)   =    − 1,5.

Занятия №2

Ход занятия

Решите   графически  уравнение.

1)   1 – х³ = ;

2)   – 1 = (х + 1)³;

3)   (2 – х)³ = 2х – х²;

4)   (х + 2)³ +  + 2 = 0;

5)  − 3 = 2 − х²;

6)   1 + 2х – х² =.

   Выходной контроль можно провести в форме тестирования, где задания будут подобраны так же, как на ЕГЭ, то есть будет часть В (с кратким ответом) и часть С (с полным ответом). После проверки работ обязательно следует провести анализ допущенных ошибок.